2019-2021北京高一数学上期末汇编：分段函数(教师版)
2019北京高一数学上学期期末汇编：数列答案_326
一．选择题1．（2019秋•海淀区校级期末）已知函数{a n}的前n项和满足S n＝2n+1﹣1，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2nC．a n＝D．a n＝2．（2019秋•石景山区期末）池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时，刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是（）A．第15天B．第20天C．第25天D．第29天3．（2019秋•西城区期末）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A．2000（1﹣0.2x）mg B．2000（1﹣0.2）x mgC．2000（1﹣0.2x）mg D．2000•0.2x mg二．填空题4．（2019秋•海淀区校级期末）已知等比数列{a n}，a10，a30是方程x2﹣10x+16＝0的两实根，则a20等于．5．（2019秋•海淀区校级期末）已知数列{a n}满足a n+1＝，若a1＝﹣，则a2019＝．参考答案一．选择题1．（2019秋•海淀区校级期末）已知函数{a n}的前n项和满足S n＝2n+1﹣1，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2nC．a n＝D．a n＝【答案】C【解答】解：∵函数{a n}的前n项和满足S n＝2n+1﹣1，∴a1＝S1＝22﹣1＝3，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1﹣2n＝2n，∴数列{a n}的通项公式为．故选：C．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式与前n项和的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（2019秋•石景山区期末）池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时，刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是（）A．第15天B．第20天C．第25天D．第29天【答案】D【解答】解：由题意可知，第n天覆盖的面积构成以2为公比的等比数列且a30＝1，∴a1＝，＝，则n＝29．故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式在实际问题中的应用，属于基础试题．3．（2019秋•西城区期末）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A．2000（1﹣0.2x）mg B．2000（1﹣0.2）x mgC．2000（1﹣0.2x）mg D．2000•0.2x mg【答案】B【解答】解：由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2500mg，经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2000×（1﹣20%）x＝2000×0.8x（mg），即y与x的关系式为y＝2000×0.8x．故选：B．【点评】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题．二．填空题4．（2019秋•海淀区校级期末）已知等比数列{a n}，a10，a30是方程x2﹣10x+16＝0的两实根，则a20等于4．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵等比数列{a n}，a10，a30是方程x2﹣10x+16＝0的两实根，∴解方程x2﹣10x+16＝0，得a10＝2，a30＝8或a10＝8，a30＝2，∴a20＝＝4．故答案为：4．【点评】本题考查等比数列的第20项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（2019秋•海淀区校级期末）已知数列{a n}满足a n+1＝，若a1＝﹣，则a2019＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵数列{a n}满足a n+1＝，a1＝﹣，∴a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝﹣，∴{a n}是以3为周期的数列，∵2019＝673×3，∴a2019＝a3＝3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的第2019项的求法，考查数列的通项公式等等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
【精品高一数学试卷】2019北京高一(上)期末数学+答案
2019北京高一（上）期末数 学一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.若sinα=√33，0<α<π2，则cosα=( )A. −√63 B. −12 C. 12D. √632.集合M ={x|x =kπ2+π4,k ∈Z}，N ={x|x =kπ4,k ∈Z}，则( )A. M ⊆NB. N ⊆MC. M ∩N =⌀D. M ∪N =R3.下列命题中正确的是( )A. 共线向量都相等B. 单位向量都相等C. 平行向量不一定是共线向量D. 模为0的向量与任意一个向量平行 4.下列函数为奇函数，且在(−∞,0)上单调递减的是( ) A. f(x)=x −2 B. f(x)=x −1 C. f(x)=log 2 xD. f(x)=3x5.已知函数f(x)=sin(ωx +π4)(x ∈R,ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx 的图象，只要将y =f(x)的图象( )A. 向左平移π8个单位长度B. 向右平移π8个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度6.如图所示，函数y =cosx|tanx|(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是( )A. B.C. D.7.函数y =sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，则ω的最小值是( ) A. 10π B. 20π C.37π2D.39π28.设偶函数f(x)=log a |x −b|在(−∞,0)上是增函数，则f(a +1)与f(b +2)的大小关系是( ) A. f(a +1)=f(b +2) B . f(a +1)>f(b +2) C. f(a +1)<f(b +2) D . 不能确定 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.求值：2log 214−(827) −23+lg 1100+(√2−1)lg1=______．10.已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(sinx,−cosx)，x ∈(0,π)，若a ⃗ //b⃗ ，则x 的值是______．11.若tanθ=3，则2sin 2θ−sinθcosθ−cos 2θ=______．12.若函数y =cos(ωx +π6)(ω∈N ∗)的一个对称中心是(π6,0)，则ω的最小值是______． 13.函数y =√sin(cosx)的值域是______．14.已知点O 为三角形ABC 内一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S △ABC S △AOC=______． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 15.求值：tan150∘cos(−210∘)sin(−420∘)sin1050∘cos(−600∘)．16.已知函数f(x)=log a (1−x)+log a (x +3)，其中a >0且a ≠1．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)有最小值而无最大值，求f(x)的单调增区间．17.已知g(x)=−x 2−3，f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，函数ℎ(x)=g(x)+f(x)是奇函数． (1)求a ，c 的值；(2)当x ∈[−1,2]时，f(x)的最小值是1，求f(x)的解析式．18.设函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，−π<φ≤π)在x =π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2． (1)求f(x)的解析式； (2)求函数g(x)=6cos 4x−sin 2x−1[f(x 2+π6)]2−2的值域．19.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，若y =f(x)x在(0,+∞)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”；若y =f(x)x 2在(0,+∞)上为增函数，则称f(x)为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2． (1)已知函数f(x)=x 3−2ℎx 2−ℎx ，若f(x)∈Ω1且f(x)∉Ω2，求实数h 的取值范围；(2)已知0<a <b <c ，f(x)∈Ω1且f(x)的部分函数值由下表给出，求证：d(2d +t −4)>0；xab c a +b +c f(x) ddt4(3)2x ∈(0,+∞)，f(x)<k}，请问：是否存在常数M ，使得∀f(x)∈ψ，∀x ∈(0,+∞)，有f(x)<M 成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．数学试题答案1. 【答案】D 【解析】解：∵sinα=√33，0<α<π2，∴cosα=√1−cos 2α=√1−(√33)2=√63． 故选：D ．由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 2. 【答案】A【解析】解：∵k ∈Z ； ∴k =2n 或2n +1，n ∈Z ；∴N ={x|x =nπ2,或x =nπ2+π4,n ∈Z}；又M ={x|x =kπ2+π4,k ∈Z}； ∴M ⊆N ． 故选：A ．根据k ∈Z 即可得出k =2n 或2n +1，n ∈Z ，从而得出N ={x|x =nπ2,或x =nπ2+π4,n ∈Z}，从而可得出M ⊆N ，从而选A ．考查描述法表示集合的定义，整数可分为奇数和偶数，奇数表示为x =2n +1，n ∈Z ，偶数表示为x =2n ，n ∈Z ． 3. 【答案】D【解析】解：对于A ，共线向量不一定相等，A 错误；对于B ，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，B 错误； 对于C ，平行向量一定是共线向量，C 错误；对于D ，模为0的向量是零向量，它与任意一个向量是平行向量，D 正确． 故选：D ．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行判断正误即可． 本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题． 4. 【答案】B【解析】解：A.f(x)=x −2=1x 2是偶函数，不满足条件．B.f(x)=x −1=1x 是奇函数，则(−∞,0)上是减函数，满足条件．C.f(x)是非奇非偶函数，不满足条件．D.f(x)是非奇非偶函数，不满足条件． 故选：B ．根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见的奇偶性和单调性.比较基础． 5.【答案】A【解析】解：由题知ω=2，所以f(x)=sin(2x +π4)=cos[π2−(2x +π4)]=cos(2x −π4)=cos2(x −π8)，故选：A ．由周期函数的周期计算公式：T =2πω，算得ω=2.接下来将f(x)的表达式转化成与g(x)同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题． 6. 【答案】C【解析】解：∵y =cosx|tanx|={sinx,0≤x <π2−sinx,π2<x ≤πsinx,π<x <32π，∴函数y =cosx|tanx|(0≤x ≤3π2且x ≠π2)的图象是C ．故选：C ．根据x 的取值情况分类讨论，去掉|tanx|中的绝对值符号，转化为分段函数，再识图即可．本题考查正切函数与正弦函数的图象，确定绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与识图能力，属于中档题． 7. 【答案】C【解析】解：函数y =sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，∴9T +T 4≤1<10T ，即9⋅2πω+14⋅2πω≤1<10⋅2πω，求得37π2≤ω<20π，故ω的最小值为37π2， 故选：C ．由题意利用正弦函数的图象和性质可得9T +T 4≤1<10T ，即9⋅2πω+14⋅2πω≤1<10⋅2πω，由此求得ω的最小值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题． 8. 【答案】B【解析】解：∵f(x)=log a |x −b|为偶函数，∴b =0 ∵f(x)=log a |x −b|在(−∞,0)上是增函数， ∴0<a <1∴f(x)=log a |x −b|在(0,+∞)上单调递减， ∴0<a +1<b +2 ∴f(a +1)>f(b +2)． 故选：B ．由f(x)=log a |x −b|为偶函数，求出b =0，由f(x)=log a |x −b|在(−∞,0)上是增函数，求出0<a <1，从而f(x)=log a |x −b|在(0,+∞)上单调递减，由此能判断f(a +1)与f(b +2)的大小关系．本题考查两个函数值的大小的判断，考查函数的单调性、函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题． 9. 【答案】−3【解析】解：2log 214−(827) −23+lg 1100+(√2−1)lg1=14−[(23)3] −23−2+(√2−1)0 =14−94−2+1 =−3．故答案为：−3．由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用． 10. 【答案】3π4【解析】解：∵a ⃗ //b ⃗ ； −cosx −sinx =0； ∴sinx +cosx =0；∴(sinx +cosx)2=1+sin2x =0； ∴sin2x =−1； ∵x ∈(0,π)； ∴2x ∈(0,2π)；∴2x =3π2；∴x =3π4．故答案为：3π4． 根据a ⃗ //b ⃗ 即可得出sinx +cosx =0，两边平方即可得出1+sin2x =0，从而得出sin2x =−1，根据x 的范围即可求出2x 的范围，从而求出2x 的值，进而得出x 的值．考查平行向量的坐标关系，sin 2x +cos 2x =1，以及二倍角的正弦公式，已知三角函数值求角．11. 【答案】75【解析】解：∵tanθ=3，∴2sin 2θ−sinθcosθ−cos 2θ=2sin 2θ−sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tan 2θ−tanθ−1tan 2θ+1=75．故答案为：75．根据题意，将平方关系代入化为齐次式，再由商的关系将式子转化为关于tanθ式子，代入求值即可．本题考查了同角三角函数的基本关系的灵活应用，即“齐次化切”在求值中的应用，是常考的题型，注意总结． 12. 【答案】2【解析】解：∵函数y =cos(ωx +π6)(ω∈N ∗)的一个对称中心是(π6,0)， ∴ω⋅π6+π6=kπ+π2，k ∈z ，即∴ω=6k +2，故ω的最小值为2，故答案为：2．由题意根据余弦函数的对称性可得ω⋅π6+π6=kπ+π2，k ∈z ，由此ω的最小值．本题主要考查余弦函数的对称性，属于中档题． 13. 【答案】[0,√sin1]【解析】解：∵−1≤cosx ≤1，要使函数有意义则sin(cosx)≥0，则0≤cosx ≤1， 此时0≤sin(cosx)≤sin1， 则0≤√sin(cosx)≤√sin1， 即函数的值域为[0,√sin1]， 故答案为：[0,√sin1].根据根式的意义结合三角函数的有界性进行求解即可．本题主要考查函数的值域的计算，结合根式的应用以及三角函数的有界性是解决本题的关键． 14. 【答案】3【解析】解：如图，取BC 中点D ，AC 中点E ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ；OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴D ，O ，E 三点共线，即DE 为△ABC 的中位线；∴DE =32OE ，AB =2DE ； ∴AB =3OE ；∴S △ABC S △AOC=3．故答案为：3．可作出图形，取BC 的中点D ，AC 的中点E ，并连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，根据条件可以得到OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出DE 为△ABC 的中位线，这样即可得到AB =3OE ，从而便有S△ABC S △AOC=3．考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，三角形中位线的定义及性质，三角形的面积公式．15. 【答案】解：由诱导公式可得：tan150∘=tan(180∘−30∘)=−tan30∘=−√33，cos(−210∘)=cos210∘=cos(180∘+30∘)=−cos30∘=−√32， sin(−420∘)=−sin420∘=−sin(360∘+60∘)=−sin60∘=−√32，sin1050∘=sin(3×360∘−30∘)=−sin30∘=−12，cos(−600∘)=cos600∘=cos(3×180∘+60∘)=−cos60∘=−12， ∴原式=−√33⋅(−√32)(−√32)(−12)(−12)=−√3414=−√3．【解析】由条件利用诱导公式求得tan15∘、cos210∘、sin420∘、sin1050∘、cos(−600∘)的值，可得要求式子的值． 本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题．16. 【答案】解：(1)要使函数有意义，则{x +3>01−x>0，得{x >−3x<1，得−3<x <1， 即函数的定义域为(−3,1)，(2)f (x)=log a (1−x)+log a (x +3)=log a (1−x)(x +3)=log a (−x 2−2x +3)=log a (−(x +1)2+4)，设t =−(x +1)2+4，当−3<x <1时，0<t ≤4，若函数f(x)有最小值而无最大值，则函数ylog a t 为减函数，则0<a <1，要求f(x)的单调增区间，则等价于求t =−(x +1)2+4，在−3<x <1时的减区间， ∵t =−(x +1)2+4的单调递减区间为[−1,1)， ∴f(x)的单调递减区间为[−1,1)．【解析】(1)根据对数函数的成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域(2)根据复合函数单调性的性质确定0<a <1，结合复合函数单调性的关系进行求解即可． 本题主要考查对数函数的性质，结合复合函数单调性的关系求出a 的范围是解决本题的关键． 17. 【答案】解：(1)(法一)：f(x)+g(x)=(a −1)x 2+bx +c −3， 又f(x)+g(x)为奇函数， ∴ℎ(x)=−ℎ(−x)，∴(a −1)x 2−bx +c −3=−(a −1)x 2−bx −c +3对x ∈R 恒成立，∴{c −3=−c +3a−1=−a+1，解得{c =3a=1；(法二)：ℎ(x)=f(x)+g(x)=(a −1)x 2+bx +c −3， ∵ℎ(x)为奇函数，∴a −1=0，c −3=0， ∴a =1，c =3．(2)f(x)=x 2+bx +3，其图象对称轴为x =−b2， 当−b2≤−1，即b ≥2时，f(x)min =f(−1)=4−b =1，∴b =3；当−1<−b2≤2，即−4≤b <2时， f(x)min =f(−b2)=b 24−b 22+3=1，解得b =−2√2或b =2√2(舍)；当−b2>2，即b <−4时，f(x)min =f(2)=7+2b =1，∴b =−3(舍)， ∴f(x)=x 2+3x +3或∴f(x)=f 2−2√2x +3．【解析】(1)法一：化简ℎ(x)=g(x)+f(x)=(a −1)x 2+bx +c −3，由(a −1)x 2−bx +c −3=−(a −1)x 2−bx −c +3对x ∈R 恒成立得到{c −3=−c +3a−1=−a+1，从而求解，法二：化简ℎ(x)=g(x)+f(x)=(a −1)x 2+bx +c −3，由奇函数可得a −1=0，c −3=0，从而求解； (2)根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f(x)的最小值在何时取得，从而求f(x)的解析式． 本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题． 18. 【答案】解：(1)由题意可得：f(x)max =A =2，T 2=π2⇒T =π，于是ω=2πT=2ππ=2，故f(x)=2sin(2x +φ)，由f(x)在x =π6处取得最大值2可得：2×π6+φ=2kπ+π2⇒φ=2kπ+π6(k ∈Z)，又−π<φ<π，故φ=π6，因此f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x +π6)．(2)由(1)可得：f(x2+π6)=2sin[2(x2+π6)+π6]=2sin(x +π2)=2cosx ， 故g(x)=6cos 4x−(1−cos 2x)−1(2cosx)2−2=6cos 4x +cos 2x −24cos 2x −2=(3cos 2x +2)(2cos 2x −1)2(2cos 2x −1)=3cos 2x +22=32cos 2x +1，(cos 2x ≠12)， 令t =cos 2x ，可知0≤t ≤1且t ≠12，即cos 2x ∈[0,12)∪(12,1]， 从而g(x)∈[1,74)∪(74,52]，因此，函数g(x)的值域为[1,74)∪(74,52]．【解析】(1)先确定函数的周期，可得ω的值，利用函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，−π<φ<π)在x =π6处取得最大值2，即可求得f(x)的解析式；(2)由三角函数恒等变换的应用化简可得g(x)=32cos 2x +1，(cos 2x ≠12)，由cos 2x ∈[0,12)∪(12,1]，即可求得函数g(x)的值域．本题主要考查了由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查三角函数恒等变换的应用，函数的单调性，考查了转化思想和计算能力，正确求函数的解析式是关键，属于中档题． 19. 【答案】(1)解：y =f(x)x=x 2−2ℎx −ℎ，若f(x)∈Ω1，则ℎ≤0；y =f(x)x 2=x −2ℎ−ℎx ，y′=x +ℎx 2，当ℎ≥0，x >0时，y′>0，此时f(x)∈Ω2，不符合题意，舍去；当ℎ<0时，y ′=x 3+ℎx 2，此时函数f(x)x 2在x ∈(0,+∞)有极值点，因此f(x)∉Ω2．综上可得：当ℎ<0时，f(x)∈Ω1且f(x)∉Ω2． 因此h 的取值范围是(−∞,0)．(2)证明：由f(x)∈Ω1，若取0<x 1<x 2， 则f(x 1)x 1<f(x 2)x 2<f(x 1+x 2)x 1+x 2．由表格可知：f(a)=d ，f(b)=d ，f(c)=t ，f(a +b +c)=4， ∵0<a <b <c <a +b +c ， ∴d a <d b <t c <4a+b+c ，∴d <0，d <4aa+b+c ，d <4ba+b+c ，t <4aa+b+c ，∴2d +t <4，∴d(2d +t −4)>0．(Ⅲ)∵集合合ψ={f(x)|f(x)∈Ω2，且存在常数k ，使得任取x ∈(0,+∞)，f(x)<k}， ∴存在f(x)∈ψ，存在常数k ，使得f(x)<k 对x ∈(0,+∞)成立． 我们先证明f(x)≤0对x ∈(0,+∞)成立．假设存在x0∈(0,+∞)，使得f(x0)>0，记f(x0)x02=m>0∵f(x)是二阶比增函数，即f(x)x2是增函数．∴当x>x0时，f(x)x2>f(x0)x02=m>0，∴f(x)>mx2，∴一定可以找到一个x1>x0，使得f(x1)>mx12>k，这与f(x)<k对x∈(0,+∞)成立矛盾．即f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立．∴存在f(x)∈ψ，f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立．下面我们证明f(x)=0在(0,+∞)上无解．假设存在x2>0，使得f(x2)=0，∵f(x)是二阶增函数，即f(x)x2是增函数．一定存在x3>x2>0，使f(x3)x32>f(x2)x22=0，这与上面证明的结果矛盾．∴f(x)=0在(0,+∞)上无解．综上，我们得到存在f(x)∈ψ，f(x)<0对x∈(0,+∞)成立．∴存在常数M≥0，使得存在f(x)∈ψ，∀x∈(0,+∞)，有f(x)<M成立．又令f(x)=−1x(x>0)，则f(x)<0对x∈(0,+∞)成立，又有f(x)x2=−1x3在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)∈ψ，而任取常数k<0，总可以找到一个x n>0，使得x>x n时，有f(x)>k．∴M的最小值为0．【解析】(1)根据：f(x)∈Ω1且f(x)∉Ω2，可得y=f(x)x =x2−2ℎx−ℎ，利用二次函数的单调性可得−−2ℎ2=ℎ≤0；由y=f(f)x2=x−2ℎ−ℎx，y′=x+ℎx2，对h分类讨论可得：当ℎ≥0，此时f(x)∈Ω2；当ℎ<0时，y′=x3+ℎx2，函数f(x)x2在x∈(0,+∞)有极值点，可得f(x)∉Ω2.即可得出．(2)由f(x)∈Ω1，取0<x1<x2<x1+x2，可得f(x1)x1<f(x2)x2<f(x1+x2)x1+x2.由表格可知：f(a)=d，f(b)=d，f(c)=t，f(a+b+c)=4，0<a<b<c<a+b+c，利用“一阶比增函数”可得da <db<tc<4a+b+c，再利用不等式的性质即可得出．(3)根据“二阶比增函数”先证明f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立.再证明f(x)=0在(0,+∞)上无解.即可得出．本题考查了函数的单调性、导数的几何意义，掌握导数法在确定函数单调性和最值时的答题步骤是解答的关键，考查了推理能力与计算能力，本题难度较大．。
2017-2021北京高中数学合格性考试汇编：函数(教师版)
2017-2021北京高中数学合格性考试汇编：函数一．选择题（共17小题）1．（2021•北京学业考试）函数2()log f x x =的定义域是( ) A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞2．（2021•北京学业考试）已知函数21,0()1,0x x x f x a x ->⎧=⎨+⎩，若(1)3f -=，则不等式()5f x 的解集为( )A ．[2-，1]B ．[3-，3]C ．[2-，2]D ．[2-，3]3．（2021•北京学业考试）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，22()f x x x=+，则(1)(f -= )A ．2-B ．2C ．3-D ．34．（2019•北京学业考试）函数()(1)f x lg x =-的定义域为( ) A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞5．（2019•北京学业考试）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且(1)2f -=-，那么f （1）的值为( ) A ．0B ．12C ．1D ．26．（2019•北京学业考试）给出下列四个函数： ①2y x =； ②3y x =； ③|1|y x =+； ④x y e =．其中偶函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④7．（2018•北京学业考试）在2018年3月5日召开的第十三届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理代表国务院向大会报告政府工作，报告中指出：十八大以来的五年，是我国发展进程中极不平凡的五年．五年来，国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，经济实力跃上新台阶，居民消费价格年均上涨1.9%，保持较低水平． 2018年2月国家统计局发布了《2017年国民经济和社会发展统计公报》，其中 “2017年居民消费价格月度涨跌幅度”的折线图如图：说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2017年12月与2016年12月相比较；同比增长率=（本期数一同期数）÷同期数100%⨯．环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2017年12月与2017年11月相比较；环比增长率=（本期数一上期数）÷上期数100%⨯．根据上述信息，下列结论中错误的是( )A ．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌B ．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大C ．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌D ．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大 8．（2018•北京学业考试）给出下列四个函数：①21y x =-+； ②y ③2log y x =； ④3x y =． 其中在区间(0,)+∞上是减函数的为( ) A ．①B ．②C ．③D ．④9．（2018•北京学业考试）给出下列四个函数①1y x=；②||y x =； ③y lgx =； ④31y x =+，其中奇函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④10．（2017•北京学业考试）给出下列四个函数： ①1y x =-；②2y x =；③y lnx =；④3y x =． 其中偶函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④11．（2017•北京学业考试）已知定义在R 上的函数()f x 是单调函数，其部分图象如图所示，那么不等式()3f x <的解集为( )A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(2,)-+∞D ．(,2)-∞-12．（2021•北京学业考试）下列函数中是偶函数，且在(,0)-∞上单调递增的是( ) A ．23()f x x = B ．||()2x f x = C ．21()log |1|f x x =+ D ．1()||||f x x x =- 13．（2018•北京学业考试）在函数①1y x -=；②2x y =；③2log y x =；④tan y x =中，图象经过点(1,1)的函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④14．（2018•北京学业考试）已知函数2()1xf x x =+，关于()f x 的性质，有以下四个推断： ①()f x 的定义域是(,)-∞+∞； ②()f x 的值域是11[,]22-；③()f x 是奇函数；④()f x 是区间(0,2)上的增函数． 其中推断正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．415．（2018•北京学业考试）为应对我国人口老龄化问题，某研究院设计了延迟退休方案，第一步：2017年女干部和女工人退休年龄统一规定为55岁；第二步：从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1岁，至2045年时，退休年龄统一规定为65岁，小明的母亲是出生于1964年的女干部，据此方案，她退休的年份是( ) A ．2019B ．2020C ．2021D ．202216．（2021•北京学业考试）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是( )A ．2y x =B ．y =C ．2x y =D ．1()2x y =17．（2018•北京学业考试）已知函数2()|2|f x x x a a =--+在区间[1-，3]上的最大值是3，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．1[,)2+∞二．填空题（共1小题）18．（2021•北京学业考试）已知函数1()f x x x=+，则()f x 是 函数（填“奇”或“偶” )；()f x 在区间(0,)+∞上的最小值是 ． 三．解答题（共3小题）19．（2021•北京学业考试）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）求(2)f -与f （2）的值； （2）求()f x 的最大值．解：（1）因为20-<，所以(2)f -= ． 因为20>，所以f （2）= ． （2）因为0x 时，有()33f x x =+，而且(0)3f =，所以()f x 在(-∞，0]上的最大值为 ． 又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且 ，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为1． 综上，()f x 的最大值为 ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ” )．20．（2021•北京学业考试）已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且f （3）1=． （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）若不等式(4)(2)x x f t f t ⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立，求实数t 的取值范围．21．（2018•北京学业考试）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为()x xf x ae be -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数 2.71828)e =⋯． （1）当1a =，()f x 为偶函数时，b = ；（2）如果()f x 为R 上的单调函数，请写出一组符合条件的a ，b 值； （3）如果()f x 的最小值为2，求a b +的最小值．2017-2021北京高中数学合格性考试汇编：函数参考答案一．选择题（共17小题）1．【分析】利用对数函数的性质可得答案． 【解答】解：2()log f x x =，0x ∴>，∴函数2()log f x x =的定义域是(0,)+∞，故选：B ．【点评】本题考查函数的定义与及其求法，属于基础题．2．【分析】由1(1)13f a --=+=，解得12a =，从而21,0()1()1,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩，由此能求出不等式()5f x 的解集．【解答】解：函数21,0()1,0x x x f x a x ->⎧=⎨+⎩，(1)3f -=，1(1)13f a -∴-=+=，解得12a =， ∴21,0()1()1,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩，()5f x ，∴当0x >时，215x -，解得03x <，当0x 时，1()152x +，20x -．综上，不等式()5f x 的解集为[2-，3]． 故选：D ．【点评】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得(1)f f -=-（1），运算求得结果． 【解答】解：已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，22()f x x x=+，(1)f f ∴-=-（1）(12)3=-+=-，故选：C ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．4．【分析】由函数的解析式可得10x ->，解得1x >，从而得到函数的定义域． 【解答】解：由函数()(1)f x lg x =-可得10x ->，解得1x >，故函数()(1)f x lg x =-的定义域为(1,)+∞， 故选：C ．【点评】本题主要考查求对数函数的定义域，属于基础题．5．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （1）(1)f =--，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-， 又由(1)2f -=-，则f （1）(1)2f =--=； 故选：D ．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的性质，属于基础题． 6．【分析】判断每个函数的奇偶性即可．【解答】解：2y x =是偶函数，3y x =是奇函数，|1|y x =+和x y e =都是非奇非偶函数． 故选：A ．【点评】考查奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义及判断．7．【分析】根据已知中的图表，结合；同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：由折线图知：从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌，故A 正确；在B 中，从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大，故B 正确； 在C 中，从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌，故C 错误； 在D 中，从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大，故D 正确． 故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．【分析】根据常见函数的性质分别判断即可．【解答】解：①21y x =-+，在区间(0,)+∞上是减函数，符合题意；②y =，在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意； ③2log y x =，在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意； ④3x y =，在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意； 故选：A ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键，本题是一道常规题．9．【分析】运用奇函数的定义，即可得到所求结论． 【解答】解：①1y x=满足()()f x f x -=-，为奇函数；②||y x =满足()()f x f x -=，为偶函数； ③y lgx =为对数函数，为非奇非偶函数； ④31y x =+不满足()()f x f x -=-，不为奇函数． 故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于基础题． 10．【分析】根据题意，依次分析所给四个函数是不是偶函数，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析所给的4个函数： 对于①，1y x =-，为一次函数，不是偶函数； 对于②，2y x =，为二次函数，是偶函数， 对于③，y lnx =，为对数函数，不是偶函数， 对于④，3y x =，为幂函数，是奇函数不是偶函数， 则四个函数中只有②是偶函数． 故选：B ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题． 11．【分析】结合图象即可求得不等式的解集．【解答】解：由图象可知，(0)3f =，且函数()f x 为减函数， 所以不等式()3f x <，即()(0)f x f <的解集为(0,)+∞． 故选：A ．【点评】本题主要考查利用函数图象解不等式，属于基础题．12．【分析】选项A 和B 对应的函数在(,0)-∞上均单调递减，选项C 的函数是非奇非偶，故可以作出判断；也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，对选项D 的函数进行证明． 【解答】解：函数23()f x x =在(,0)-∞上单调递减，即A 错误； 函数||()2x f x =在(,0)-∞上单调递减，即B 错误； 函数21()log |1|f x x =+的定义域为(-∞，1)(1--⋃，)+∞，是非奇非偶函数，即C 错误； 对于选项D ，定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，11()||||()||||f x x x f x x x -=--=-=-，是偶函数， 当0x <时，1()f x x x-=-+，任取120x x <<，则1212121212111()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=-++-=-+， 120x x <<，∴121210,10x x x x -<+>，12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，即D 正确．故选：D ．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握基本初等函数的图象与性质、及图象的变换法则是解题的关键，本题既可以用排除法，也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，直接进行证明，考查学生的逻辑推理能力和分析能力，属于基础题．13．【分析】把点(1,1)代入各个选项检验，可得结论．【解答】解：把点(1,1)代入各个选项检验，可得只有1y x -=的图象经过点(1,1)， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数的图象经过定点问题，属于基础题．14．【分析】根据()f x 的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出()f x 的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据函数的单调性，判断④错误． 【解答】解：①函数2()1xf x x =+， ()f x ∴的定义域是(,)-∞+∞，故①正确； ②1()1f x x x=+，0x >时：1()2f x ， 0x <时：1()2f x -， 故()f x 的值域是11[,]22-，故②正确；③()()f x f x -=-，()f x 是奇函数， 故③正确；④由2221()(1)x f x x -'=+，令()0f x '>，解得：11x -<<， 令()0f x '<，解得：1x >或1x <-， ()f x ∴在区间(0,2)上先增后减，故④错误； 故选：C ．【点评】本题考查了函数的定义域、值域问题，考察函数的奇偶性和单调性，是一道中档题．15．【分析】按原来的退休政策，她应该于：1964552019+=年退休，再据此方案，能求出她退休的年份． 【解答】解：小明的母亲是出生于1964年的女干部，∴按原来的退休政策，她应该于：1964552019+=年退休，从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1岁， ∴据此方案，她退休的年份是2020年．故选：B ．【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 16．【分析】利用基本初等函数单调性的性质对四个选项逐一判断即可． 【解答】解：对于A ，2y x =在区间(0,)+∞上单调递增，故A 错误；对于B ，y =在区间(0,)+∞上单调递增，故B 错误； 对于C ，2x y =在区间(0,)+∞上单调递增，故C 错误； 对于D ，1()2x y =在区间(0,)+∞上单调递减，故D 正确，故选：D ．【点评】本题考查基本初等函数单调性的性质与判断，属于基础题．17．【分析】先求出22x x -的范围，再去绝对值，分类讨论，根据二次函数的性质即可求出a 的范围． 【解答】解：22()|2||(1)1|f x x x a a x a a =--+=---+， 其对称轴为1x =，(1)f f -=（3）|3|a a =-+， 当0a >时，f （1）|1|123a a a =++=+，解得1a ， 此时|3|33a a a a -+=-+=，满足题意，当0a 时，f （1）|1|123a a a =++=+，解得1a ， 此时|3|33a a a a -+=-+=，满足题意， 综上所述a 的取值范围为(-∞，1] 故选：B ．【点评】本题考查了二次函数的性质，以及分段函数，考查了函数的最值问题，属于中档题 二．填空题（共1小题）18．【分析】由函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性，由对勾函数的单调性即可求解()f x 在区间(0,)+∞上的最小值．【解答】解：1()f x x x =+的定义域为{|0}x x ≠，且1()()f x x f x x-=--=-， 所以()f x 是奇函数， 1()f x x x=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以()f x 在区间(0,)+∞上的最小值是f （1）2=．故答案为：奇；2．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．三．解答题（共3小题）19．【分析】依据题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得出答案．【解答】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩， （1）因为20-<，所以(2)231f -=-+=，因为20>，所以f （2）22220=-+⨯=．（2）因为0x 时，有()33f x x =+，而且(0)3f =，所以()f x 在(-∞，0]上的最大值为3，又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+，而且f （1）1=，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为1，综上，()f x 的最大值为3．故答案为：（1）①A ②B ．（2）③A ④A ⑤B ．【点评】本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．20．【分析】（1）由()log a f x x =，且f （3）1=，可得3a =及函数()f x 的定义域；（2）依题意，(4)(2)x x f t f t ⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立42x x t t ⇔⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立，可转化为[1x ∀∈，2]，2114122x x x x t =--恒成立，即1()122max x x t -，又122x x y =-为增函数，[1x ∈，2]时，14[15y ∈，2]3，从而可得实数t 的取值范围．【解答】解：（1）()log (0,1)a f x x a a =>≠，且f （3）1=，log 31a ∴=，3a =，函数()f x 的定义域为(0,)+∞；（2）由（1）知，3()log f x x =，为定义域上的增函数，(4)(2)x x f t f t ∴⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立42x x t t ⇔⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立，即(41)2x x t -对任意[1x ∈，2]恒成立．0410x x >⇒->，[1x ∴∀∈，2]，2114122x x x x t =--恒成立，即1()122max x x t -， 又122x x y =-为增函数，[1x ∴∈，2]时，3[2y ∈，15]4，14[15y ∈，2]3， 23t ∴，即实数t 的取值范围为2[3，)+∞． 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数的单调性的判定与应用，突出考查等价转换思想与运算能力，属于中档题．21．【分析】（1）当1a =时，结合函数是偶函数，利用偶函数的定义进行求解即可．（2）根据指数函数的单调性进行求解即可．（3）利用函数的最值，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：（1）当1a =时，()x x f x e be -=+，()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，即x x x x e be e be --+=+，则1b =．（2）当1a =时，1b =-时，()x x f x e e -=-，为增函数．（3）当0ab 时，()f x 为单调函数，此时函数没有最小值，若()f x 有最小值为2，则必有0a >，0b >，此时()222x x x x fx ae be ae be --=+==， 1=，即1ab =，则22a b ab +=，即a b +的最小值为2．故答案为：1【点评】本题主要考查函数奇偶性和最值的应用，结合指数函数的性质是解决本题的关键．。
分段函数的应用-高中数学知识点讲解(含答案)
分段函数的应用（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2020春•海淀区校级期中）函数2241(0)()2(0)x x x x f x x e⎧++<⎪=⎨⎪⎩的图象上关于原点对称的点有( )对．A ．0B ．2C ．3D ．无数个2．（2019•朝阳区二模）已知函数2,(),x x af x x x a ⎧=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,)+∞3．（2019•朝阳区二模）已知函数2,(),x x af x x x a ⎧=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞4．（2017秋•昌平区期末）设函数||()(0,1)x f x a a a =>≠，且f （2）4=．则下列结论正确的是( ) A ．(1)(2)f f ->-B ．f （1）f >（2）C ．f （2）(2)f <-D ．(3)(2)f f ->-5．（2018•西城区模拟）函数21,0()12,0x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．（2017秋•通州区期末）已知函数sin (sin cos )()()cos (sin cos )x x x f x x R x x x >⎧=∈⎨⎩，关于函数()f x 的性质给出下面三个判断： ①函数()f x 是周期函数，最小正周期为2π； ②函数()f x 的值域为[1-，1]；③函数()f x 在区间[2k ππ-+，2]()k k Z π∈上单调递增． 其中判断正确的是( ) A ．3B ．2C ．1D ．07．（2018秋•通州区期中）已知函数||2,1(),1x x e x f x e x -⎧=⎨>⎩若实数a ，b ，c 互不相等，且f （a ）f =（b ）f =（c ），则a b c ++的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1,3)D ．(2,3)二．填空题（共8小题）8．（2019秋•西城区校级月考）函数22,(0)()log (),(0)x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若0()2f x =，则0x = ．9．（2019秋•西城区校级期中）已知221,0()3,0x x f x x x -⎧=⎨<⎩，则((1))f f -的值为 ．10．（2018秋•丰台区期末）已知函数33,()2,.x x x af x x x a ⎧-+=⎨<⎩①若0a =，则函数()f x 的零点有 个；②若存在实数m ，使得函数()y f x m =+总有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 11．（2018秋•海淀区期末）已知函数122,()2,.x x af x x a x a -⎧<=⎨-+⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是 ；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =． 在①12-； ②12；③1；⑤32中，函数()f x 的包容数是 ．（填出所有正确答案的序号）12．（2018秋•丰台区期末）已知函数||2,(),x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩．①若0a =，则函数()f x 的零点有 个；②若()f x f （1）对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 ． 13．（2018秋•昌平区期末）已知函数,1(),12x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩其中0a >，且1a ≠． ()i 当2a =时，若()4f x <，则实数x 的取值范围是 ；()ii 若存在实数m 使得方程()0f x m -=有两个实根，则实数a 的取值范围是 ．14．（2018秋•西城区期末）已知函数21,2(), 3.x x x cf x x c x -⎧+-=⎨<⎩若0c =，则()f x 的值域是 ；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是 ． 15．（2019秋•海淀区校级月考）已知函数()||f x lgx =，若f （a ）f =（b ）()a b ≠，则函数225,0()2,0x x g x ax b x x ⎧++⎪=⎨+>⎪⎩，最小值为 ．分段函数的应用（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2020春•海淀区校级期中）函数2241(0) ()2(0)xx x xf xxe⎧++<⎪=⎨⎪⎩的图象上关于原点对称的点有()对．A．0B．2C．3D．无数个【分析】作出函数()y f x=的图象，并且作出()y f x=图象位于y轴左侧部分2(241)y x x=++关于原点对称的曲线C，观察函数()y f x=图象位于y轴右侧2()xye=与曲线C的交点的个数，可以得出满足条件的对称点的对数．【解答】解：函数2241(0)()2(0)xx x xf xxe⎧++<⎪=⎨⎪⎩，∴作出函数()y f x=图象如右图所示，再作出2241y x x=++位于y轴右侧的图象，使得恰好与函数图象位于y轴左侧部分关于原点对称，记为曲线C（粗线），发现2xye=与曲线C有且仅有两个交点，∴满足条件的对称点有两对，图中的A、B就是符合题意的点，∴函数2241(0)()2(0)xx x xf xxe⎧++<⎪=⎨⎪⎩的图象上关于原点对称的点有2对．故选：B．【点评】本题考查了分段函数的应用，着重考查了分段函数图象的画法，考查了基本初等函数图象的作法．利用函数奇偶性，作出图象一侧关于原点对称图象，再找交点是解决本题的关键．属于中档题．2．（2019•朝阳区二模）已知函数2,(),x x af xx x a⎧=⎨-<⎩，若函数()f x存在零点，则实数a的取值范围是()A．(,0)-∞B．(,1)-∞C．(1,)+∞D．(0,)+∞【分析】画出函数的图象，利用数形结合推出a 的范围即可． 【解答】解：函数2,(),x x af x x x a ⎧=⎨-<⎩，函数的图象如图：函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是：(0,)+∞． 故选：D ．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力．3．（2019•朝阳区二模）已知函数2,(),x x af x x x a ⎧=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【分析】由指数函数的值域和函数零点的定义，即可得到所求范围． 【解答】解：由20x >，函数()f x 存在零点， 则()f x 的零点为0，可得0a >， 故选：B ．【点评】本题考查函数的零点判断，注意运用指数函数的值域和定义法，属于基础题．4．（2017秋•昌平区期末）设函数||()(0,1)x f x a a a =>≠，且f （2）4=．则下列结论正确的是( ) A ．(1)(2)f f ->-B ．f （1）f >（2）C ．f （2）(2)f <-D ．(3)(2)f f ->-【分析】根据题意，由函数的解析式可得若f （2）4=，则24a =，解可得2a =，即可得函数()f x 的解析式，分析函数()f x 的奇偶性与单调性，据此分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数||()x f x a =， 若f （2）4=，则24a =，则2a =，则||2,0()21(),02x x x x f x x ⎧⎪==⎨<⎪⎩，函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数； 依次分析选项：对于A ，()f x 在(,0)-∞上为减函数，则(1)(2)f f -<-，A 错误； 对于B ，()f x 在(0,)+∞上为增函数，则f （1）f <（2），B 错误； 对于C ，()f x 为偶函数，f （2）(2)f =-，C 错误；对于D ，()f x 在(,0)-∞上为减函数，则(3)(2)f f ->-，D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意求出a 的值，属于基础题． 5．（2018•西城区模拟）函数21,0()12,0x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】画出分段函数的图象，数形结合得答案． 【解答】解：作出函数21,0()12,0x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩的图象如图，由图可知，函数21,0()12,0x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩零点的个数为2．故选：C ．【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（2017秋•通州区期末）已知函数sin (sin cos )()()cos (sin cos )x x x f x x R x x x >⎧=∈⎨⎩，关于函数()f x 的性质给出下面三个判断： ①函数()f x 是周期函数，最小正周期为2π； ②函数()f x 的值域为[1-，1]；③函数()f x 在区间[2k ππ-+，2]()k k Z π∈上单调递增． 其中判断正确的是( )A ．3B ．2C ．1D ．0【分析】分别画出函数sin y x =和cos y x =的图象，运用分段函数写出()f x ，结合图象分析周期性、单调性和值域，即可得到所求结论【解答】解：分别作出函数sin y x =和cos y x =的图象，可得函数sin (sin cos )()cos (sin cos )x x x f x x x x >⎧=⎨⎩的图象是两个图象中在上方的曲线，可得()f x 为周期函数，最小正周期为2π，故①正确；()f x 的值域为2[-，1]，故②错误； ()f x 在[2k ππ-，32]4k ππ-递减，在3(24k ππ-，2)k π递增，故③错误； 故选：C ．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查新定义的理解和运用，注意运用数形结合思想方法，考查判断能力，属于中档题．7．（2018秋•通州区期中）已知函数||2,1(),1x x e x f x e x -⎧=⎨>⎩若实数a ，b ，c 互不相等，且f （a ）f =（b ）f =（c ），则a b c ++的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1,3)D ．(2,3)【分析】作出函数()f x 的大致图象，数形结合可得0a b +=，12c <<，能求出a b c ++的取值范围 【解答】解：不妨设a b c <<， 作出函数||2,1(),1x x e x f x e x -⎧=⎨>⎩的大致图象，由21x e -=，可得2x =；由2x e e -=，可得1x =． 结合图形，得： 0a b +=，12c <<， a b c c ∴++=， 12a b c ∴<++<．a b c ∴++的取值范围是(1,2)，故选：B ．【点评】本题考查分段函数的图象和应用，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质及图象的合理运用． 二．填空题（共8小题）8．（2019秋•西城区校级月考）函数22,(0)()log (),(0)xx f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若0()2f x =，则0x = 1或4- ．【分析】根据题意，分2种情况讨论：当00x 时，有00()22x f x ==，当00x <时，有020()log ()2f x x =-=，解可得0x 的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，22,(0)()log (),(0)xx f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若0()2f x =，分2种情况讨论：当00x 时，有00()22x f x ==，解可得01x =， 当00x <时，有020()log ()2f x x =-=，解可得04x =-， 综合可得：01x =或4-； 故答案为：1或4-【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．9．（2019秋•西城区校级期中）已知221,0()3,0x x f x x x -⎧=⎨<⎩，则((1))f f -的值为 5 ．【分析】根据题意，由函数的解析式求出(1)f -的值，进而分析可得答案． 【解答】解：根据题意，221,0()3,0x x f x x x -⎧=⎨<⎩，则2(1)3(1)3f -=⨯-=，则((1))f f f -=（3）2315=⨯-=； 故答案为：5．【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．10．（2018秋•丰台区期末）已知函数33,()2,.x x x af x x x a ⎧-+=⎨<⎩①若0a =，则函数()f x 的零点有 2 个；②若存在实数m ，使得函数()y f x m =+总有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 【分析】①解方程()0f x =，即可得到零点个数；②函数()y f x m =+有三个零点，通过函数的导数求解函数的极值点，作出()f x 的图象，讨论a 的范围，根据图象判断即可得出结论．【解答】解：①若0a =，则33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨<⎩，由()0f x =，可得0x =或3，可得()f x 的零点有两个； ②函数33,()2,.x x x af x x x a ⎧-+=⎨<⎩，33y x x =-，233y x '=-，令0y '=，可得1x =±函数的极小值点1x =-，极小值为2-；极大值点为1x =，极大值为2． 函数的图象如图：使得函数()y f x m =+有三个零点，1a <-时33y x x =-，与y m =-有3个交点，(1,0)a ∈-时，33y x x =-，与y m =-有2个交点，2y x =与y m =-可以有一个交点，综上，a 的取值范围是(-∞，1)(1--⋃，0)． 故答案为：2，(-∞，1)(1--⋃，0)．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数的导数的应用，极值的求法，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，属于中档题．11．（2018秋•海淀区期末）已知函数122,()2,.x x af x x a x a -⎧<=⎨-+⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是 0a <或2a > ；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =．在①12-； ②12；③1；⑤32中，函数()f x 的包容数是 ．（填出所有正确答案的序号）【分析】（Ⅰ）考虑指数函数的值域和二次函数的单调性，即可得到所求范围；（Ⅱ）由题意可得1()f x 的值域为2()f x 的值域的子集，分别讨论五种情况，由指数函数的单调性和二次函数的单调性，求得值域，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）函数122,()2,.x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+⎩，由x a <时，1()20x f x -=>，无零点； 若x a 时，2()2f x a x =-， 当0a <时，()0f x <，无零点； 当0a 时，由220a x -=，即22a x =， 由x a 时，2y x =递增，可得2y a ， 由22a a <，可得2a >，()f x 无零点； 综上可得0a <或2a >；（Ⅱ）由题意可得1()f x 的值域为2()f x 的值域的子集，当12a =-时，由12x <-时，1()2(0x f x -=∈，322)-；由12x -时，2()1(f x x =--∈-∞，1]-，]，(0，322)(--∞，1]-，不满足题意；当12a =时，由12x <时，1()2(0x f x -=∈，122)-；由12x 时，2()1(f x x =-∈-∞，3]4，(0，122)(-⊆-∞，3]4，满足题意；当1a =时，由1x <时，1()2(0,1)x f x -=∈；由1x 时，2()2(f x x =-∈-∞，1]，(0，1)(⊆-∞，1]，满足题意；当a =x <时，1()2(0x f x -=∈，1)；由2x时，2()(f x x =∈-∞，2]，(0，1)(-∞，2]-，不满足题意；当32a =时，由32x <时，1()2(0x f x -=∈，122)；由32x 时，2()3(f x x =-∈-∞，3]4，(0，122)(-∞，3]4，不满足题意．综上可得函数()f x 的包容数是②③． 故答案为：0a <或2a >；②③．【点评】本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．12．（2018秋•丰台区期末）已知函数||2,(),x x x x af x x x a -+⎧=⎨<⎩．①若0a =，则函数()f x 的零点有 2 个；②若()f x f （1）对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 ． 【分析】①若0a =，解方程()0f x =，即可得到所求零点个数；②求得f （1）1=，画出()f x 的图象，可得1a ，再求得0x <时，()1f x =的根，结合图象，即可得到所求a 的范围．【解答】解：①若0a =，可得||2,0(),0x x x x f x x x -+⎧=⎨<⎩，当0x 时，2()2f x x x =-，由()0f x =，解得0x =或2x =； 当0x <时，()f x x =无零点， 综上可得()f x 的零点个数为2；②由||2,(),x x x x af x x x a -+⎧=⎨<⎩，可得f （1）1=，()f x f （1）对任意的实数x 都成立，可得()f x 的最大值为1，当x a <时，()f x x a =<，即1a ， 当x a 时，()2||f x x x x =-的最大值为1， 由0x 时，2()21f x x x =+=，解得12x =--， 即有12a --综上可得a 的范围是[12--，1]． 故答案为：2，[12--，1]，．【点评】本题考查函数的零点的个数和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和数形结合思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题．13．（2018秋•昌平区期末）已知函数,1 (),12xa xfx ax x⎧>⎪=⎨+⎪⎩其中0a>，且1a≠．()i当2a=时，若()4f x<，则实数x的取值范围是(,2)-∞；()ii若存在实数m使得方程()0f x m-=有两个实根，则实数a的取值范围是．【分析】()i由分段函数241xx⎧<⎨>⎩或141xx+<⎧⎨⎩，解得即可，()ii分类讨论，结合图象，利用函数单调性即可求出．【解答】解：()i当2a=时，241xx⎧<⎨>⎩或141xx+<⎧⎨⎩，解得2x<，故()4f x<，则实数x的取值范围是(,2)-∞；()ii当01a<<时，函数()f x的大致图象为：当1x>时，函数()xf x a=为减函数，则0()f x f<<（1）a=，当1x时，函数()2af x x=+为增函数，则()f x f<（1）12a=+，此时存在实数m使得方程()0f x m-=有两个实根，当1a>时，当1x>时，函数()xf x a=为增函数，则()f x f>（1）a=，当1x时，函数()2af x x=+为增函数，则()f x f<（1）12a=+，如图所示：若存在实数m 使得方程()0f x m -=有两个实根， 则需要满足12a a +>，解得12a <<， 综上所述a 的取值范围为(0，1)(1⋃，2)故答案为：(,2)-∞，(0，1)(1⋃，2)【点评】本题考查不等式的解法，方程的根的个数，考查数形结合的思想方法，注意转化思想，转化为函数的图象的交点个数问题，属于中档题．14．（2018秋•西城区期末）已知函数21,2(), 3.x x x c f x x c x -⎧+-=⎨<⎩若0c =，则()f x 的值域是 1[4-，)+∞ ；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是 ． 【分析】若0c =，分别求得()f x 在[2-，0]的最值，以及在(0，3]的范围，求并集即可得到所求值域； 讨论()f x 在[2-，1]的值域，以及在(c ，3]的值域，注意0c >，运用单调性，即可得到所求c 的范围．【解答】解：0c =时，2211()()24f x x x x =+=+-， ()f x 在[2-，1)2-递减，在1(2-，0]递增， 可得(2)f -取得最大值，且为2，最小值为14-； 当03x <时，1()f x x =递减，可得f （3）13=， 则1()[3f x ∈，)+∞， 综上可得()f x 的值域为1[4-，)+∞； 函数2y x x =+在区间[2-，1)2-上是减函数， 在区间1(2-，1]上是增函数， ∴当[2x ∈-，0)时，函数()f x 最小值为11()24f -=-， 最大值是(2)2f -=；由题意可得0c >，当3c x <时，1()f x x=是减函数且值域为1[3，1)c ， 当()f x 的值域是1[4-，2]， 可得112c ． 故答案为：1[,)4-+∞；1[,1]2． 【点评】本题给出特殊分段函数，求函数的值域，并在已知值域的情况下求参数的取值范围，着重考查了函数的值域和二次函数的单调性和最值等知识，属于中档题．15．（2019秋•海淀区校级月考）已知函数()||f x lgx =，若f （a ）f =（b ）()a b ≠，则函数225,0()2,0x x g x ax b x x ⎧++⎪=⎨+>⎪⎩，最小值为【分析】先由f （a ）f =（b ）得1ab =，再根据二次函数和基本不等式求得分段函数的两段的最小值，再比较可得．【解答】解：因为函数()||f x lgx =，若f （a ）f =（b ）()a b ≠，所以||||lga lgb =，1ab ∴=， 0x时，故22()5(33g x x x =++=++， 当0x >时，2222()ax b b g x ax ax x x ax+==+=+， 0a >，0x >，0ax ∴>， 2()222g x axax ∴=，（当且仅当x =时，等号成立）， 223<， 所以()gx 的最小值为故答案为：【点评】本题考查了分段函数的应用，属中档题．。
2017-2021北京重点校高一(上)期末数学汇编：函数的基本性质章节综合
2017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编函数的基本性质章节综合一、单选题1．（2019·北京师大附中高一期末）已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数,当0x ≥时，()()5πsin 01421()1(1)4x x x f x x ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程()()()2[]0,R f x af x b a b ++=∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭2．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ①f （x ）221x x =+，②f （x ）＝x 3，③f （x ）＝cos 2πx ，④f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①④3．（2021·北京·101中学高一期末）如图所示的是函数sin y x =（0x π≤≤）的图像，()A x y ，是图像上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交图像于另一点B （A ，B 可重合）.设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 的图像是A ．B ．C ．D ．4．（2018·北京·人大附中高一期末）如果幂函数()af x x =的图象经过点()2,4，则()f x 在定义域内A ．为增函数B ．为减函数C ．有最小值D ．有最大值5．（2017·北京八中高一期末）函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．（2019·北京师大附中高一期末）已知()(2),f x f x x R =-∈，当(1,)x ∈+∞时，()f x 为增函数．设(1),(2)a f b f ==，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．（2020·北京·清华附中高一期末）若函数()f x 的图象上存在一点()00,A x y 满足000x y +=，且000x y ≠，则称函数()f x 为“可相反函数”，在①sin y x =；②ln y x =； ③241y x x =++；④x y e -=-中，为“可相反函数”的全部序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③④D ．②③④9．（2018·北京·人大附中高一期末）已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是A ．0x a <B ．0x a >C ．0x c <D ．0x c >10．（2018·北京·人大附中高一期末）下列函数为奇函数的是 A ．2x y =B ．[]sin ,0,2y x x π=∈C ．3y x =D ．lg y x =11．（2018·北京·101中学高一期末）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是 A ．y=e xB ．y=tanxC ．y=lnxD ．y=x 3+x12．（2018·北京·101中学高一期末）不等式2633x x -+>的解集是A ．（-3，2）B ．（-2，3）C ．（-∞，-3）（2，+∞）D ．（-∞，-2）（3，+∞）13．（2018·北京·101中学高一期末）已知函数()()g x f x x =-，若()f x 是偶函数，且()f 21=，则()g 2(-= ) A ．1B ．2C ．3D ．414．（2018·北京·101中学高一期末）函数()2ln 23y x x =-++的减区间是 A ．(]1,1-B ．[)1,3C ．(],1-∞D ．[)1,+∞15．（2017·北京八中高一期末）下列函数中，在区间()0+∞，上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+B ．y =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x=+二、多选题16．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．||2x y = B ．23y x -=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+三、填空题17．（2020·北京·清华附中高一期末）已知函数()212,1,1x x x f x x x -⎧+≤=⎨>⎩，若函数()y f x k =-恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_____18．（2020·北京·清华附中高一期末）定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.若函数()2f x x mx=+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是____19．（2018·北京·人大附中高一期末）函数()2,,(0),0x x t f x t x x t⎧=>⎨<<⎩，在区间(0,)+∞上的增数，则实数t 的取值范围是________.20．（2019·北京·中央民族大学附属中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =+，则()()20f f -+=_________.四、解答题21．（2018·北京·人大附中高一期末）定义：若函数()f x 的定义域为D ，且存在非零常数T ，对任意x D ∈，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（1）下列函数[]21.2, 2.log , 3.xy y x y x ===（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）；（2）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：()()G x g x x =-为周期函数； （3）若()sin x x kx φ=+为线周期函数，求k 的值.22．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由； （2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.23．（2020·北京·清华附中高一期末）若函数()f x 定义域为R ，且存在非零实数T ，使得对于任意的()(),x R f x T Tf x ∈+=恒成立，称函数()f x 满足性质()P T(1)分别判断下列函数是否满足性质()P T 并说明理由 ①()sin 2f x x π= ②()cos2g x x π=(2)若函数()f x 既满足性质()2P ，又满足性质()3P ，求函数()f x 的解析式(3)若函数()f x 满足性质()1.01P ，求证：存在0x R ∈，使得()00.001f x <24．（2018·北京·人大附中高一期末）已知二次函数2()f x x bx c =++满足(1)(3)3f f ==-. （1）求b ，c 的值；（2）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间为 ； （ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.25．（2018·北京·101中学高一期末）设函数()f x 的定义域为R +，且满足条件()f 41=，对任意1x ，2x R ∈﹢，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当12x x ≠时，有()()2121f x f x 0x x ->-．()1求()f 1的值；()2如果()f x 62+>，求x 的取值范围．26．（2019·北京师大附中高一期末）已知奇函数()f x 的定义域为[-1,1]，当[1,0)x ∈-时，1()()2x f x =-．（1）求函数()f x 在(0,1]上的值域； （2）若(0,1]x ∈时，函数21()()142y f x f x λ=-+的最小值为-2，求实数λ的值． 27．（2019·北京·101中学高一期末）正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，侧棱长为x . （1）求出其表面积S （x ）和体积V （x ）； （2）设()()()S x f x V x =，求出函数()f x 的定义域，并判断其单调性（无需证明）.参考答案1．C 【详解】作出()()()5sin 01421114xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩的图象如下，又∵函数y=f （x ）是定义域为R 的偶函数，且关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根， ∴x 2+ax+b=0的两根分别为1255,144x x =<<或12501,14x x <≤<<；由韦达定理可得12x x a +=-，若1255,144x x =<<，则9542a <-<，即5924a -<<-；若12501,14x x <≤<<，则914a <-<，即914a -<<-； 从而可知5924a -<<-或914a -<<-；故选C ．点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 2．A 【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. 【详解】 ①f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足；②f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；③f （x ）＝cos2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足； ④f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力. 3．A 【详解】[0,]2x π∈时，B x x π+=()2,B f x AB x x x π∴==-=-[0,]2x π∈时()f x 表示递减的一次函数所以选A.点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.如能求出具体解析式就可简化问题(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系4．C 【分析】由幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，得到2()f x x =，由此能求出函数的单调性和最值． 【详解】解：幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，()224a f ∴==，解得2a =，2()f x x ∴=，()f x ∴在(],0x ∈-∞递减，在[)0,x ∈+∞递增，有最小值，无最大值．故选C ． 【点睛】本题考查幂函数的概念和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 5．D 【分析】通过分类讨论20x k -≥和20x k -<，将(2)0f x k k --<转化成具体的不等式，再转化为最值问题，根据单调性求出最值，可得k 的取值范围. 【详解】 当12k ≤时，20x k -≥，(2)0f x k k ∴--<，可化为2(2)0x k k --<， 即存在[1,)x ∈+∞，使得22()440g x x kx k k =-+-<成立， 22()44g x x kx k k =-+-的对称轴为21x k =≤， 22()44g x x kx k k ∴=-+-在区间[1,)+∞单调递增，∴ 只要(1)0<g ，即21440k k k -+-<，解得：114k <<， 又12k ≤，1142k ∴<≤， 当12k >时，(2)0f x k k --<可化为2(2)0x k k ---<，此时不等式恒成立， 综上所述，14k >． 故选：D 【点睛】本题考查了不等式有解问题，通过分类讨论转化成最值问题，使问题得到了解决，分类讨论是高中数学经常用到的解题方法，属于中档题. 6．D 【分析】由f （x ）＝f （2﹣x ）可得出f （﹣1）＝f （3），根据f （x ）在（1，+∞）上为增函数可得出f （3）＞f （2）＞f （1），从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】∵f （x ）＝f （2﹣x ）； ∴f （﹣1）＝f （3）；∵x ∈（1，+∞）时，f （x ）为增函数； ∴f （3）＞f （2）＞f （1）； ∴c ＞b ＞a ． 故选D ． 【点睛】本题考查增函数的定义，关键是将自变量的取值通过条件转到同一个单调区间上，再根据增函数，比较函数值的大小． 7．B因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>，所以c b a <<，选B. 8．D 【分析】根据已知条件把问题转化为函数()f x 与直线y x =-有不在坐标原点的交点，结合图象即可得到结论. 【详解】解：由定义可得函数()f x 为“可相反函数”，即函数()f x 与直线y x =-有不在坐标原点的交点． ①sin y x =的图象与直线y x =-有交点，但是交点在坐标原点，所以不是“可相反函数”； ②ln y x =的图象与直线y x =-有交点在第四象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”； ③241y x x =++与直线y x =-有交点在第二象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”； ④x y e -=-的图象与直线y x =-有交点在第四象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”. 结合图象可得：只有②③④符合要求； 故选：D9．B 【详解】∵()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在∞（0，+）上是增函数0a b c ，＜＜＜，且()()()0f a f b f c <，f a f b f c （）、（）、（）∴ 中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：00f a f b f c （）＜，＜（）＜（）；或0f a f b f c （）＜（）＜（）＜； 由于实数0 x 是函数y f x =（）的一个零点， 当00f a f b f c （）＜，＜（）＜（）时，0a x b ＜＜，当0f a f b f c （）＜（）＜（）＜ 时，0x a ＞， 故选B 10．Cy=2x 为指数函数，没有奇偶性；y=sinx ，x ∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性； y=x 3定义域为R ，f （-x ）=-f （x ），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f （-x ）=f （x ），为偶函数． 故选C ． 11．D 【详解】选项A,y=e x 是非奇非偶函数,不合题意;选项B, y=tanx 在每个单调区间上分别递增,但是在定义域内不是增函数,不合题意; 选项C, y=lnx 是非奇非偶函数,不合题意; 故选D. 12．A 【详解】函数3x y =单调递增，原不等式等价于26x x -+>，即260x x +-<，解得-3<x<2,故选A. 13．C 【详解】f （x ）是偶函数，且f （2）=1，则()21f -=,所以g （-2）= ()()223f ---=,故选C. 14．B 【分析】利用一元二次不等式的解法求出函数的定义域，在定义域内求出二次函数的减区间即可. 【详解】令2t x 2x 30=-++>，求得1x 3-<<， 故函数的定义域为()1,3-，且y lnt =递增， 只需求函数t 在定义域内的减区间．由二次函数的性质求得2t (x 1)4=--+在定义域内的减区间为[)1,3，所以函数()2y ln x 2x 3=-++的减区间是[)1,3，故选B ．【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）. 15．A 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法则，即可判断． 【详解】对A ，函数ln(2)y x =+在()2-+∞，上递增，所以在区间()0+∞，上为增函数，符合；对B ，函数y =[)1,-+∞上递减，不存在增区间，不符合；对C ，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，不存在增区间，不符合；对D ，函数1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法则的应用，属于容易题． 16．AD 【分析】利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，对于函数()2xf x =的定义域为R ，()()22xxf x f x --===，该函数为偶函数，当(),0x ∈-∞时，()122xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，则函数2xy =在区间(),0-∞上为减函数，合乎题意；对于B 选项，函数()23g x x-={}0x x ≠，()()g x g x -==，该函数为偶函数，由于该函数在区间()0,∞+上单调递减，则该函数在区间(),0-∞上为增函数，不合乎题意； 对于C 选项，函数()1h x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()11h x x x h x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数，不合乎题意；对于D 选项，()()2ln 1x x ϕ=+的定义域为R ，()()()()22ln 1ln 1x x x x ϕϕ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，该函数为偶函数， 由于函数()()2ln 1x x ϕ=+在区间()0,∞+上为增函数，在该函数在区间(),0-∞上为减函数，合乎题意.故选：AD. 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，属于基础题. 17．(][],1,013-⋃ 【分析】题目转化为()k f x =，画出函数图像，根据图像结合函数值计算得到答案. 【详解】()212,1,1x x x f x x x -⎧+≤=⎨>⎩，()0y f x k =-=，即()k f x =，画出函数图像，如图所示：()13f =，()11f -=-，根据图像知：(][]1,01,3k ∈-.故答案为：(][],1,013-⋃18．0m ≥##[0，)∞+##{|0}m m ≥【分析】 根据题意，方程2(1)(1)1(1)f f x mx --+=--，即20x mx m +-=在(1,1)-内有实数根，若函数2()g x x mx m =+-在(1,1)-内有零点．首先满足∆0，解得0m ，或4m -．对称轴为2m x =-．对m 分类讨论即可得出． 【详解】 解：根据题意，若函数2()f x x mx =+是[1-，1]上的平均值函数， 则方程2(1)(1)1(1)f f x mx --+=--，即20x mx m +-=在(1,1)-内有实数根， 若函数2()g x x mx m =+-在(1,1)-内有零点．则∆240m m =+，解得0m ，或4m -．g （1）10=>，(1)12g m -=-．(0)g m =-． 对称轴：2m x =-． ①0m 时，02m -，(0)0g m =-，g （1）0>，因此此时函数()g x 在(1,1)-内一定有零点．0m ∴满足条件． ②4m -时，22m -，由于g （1）10=>，因此函数2()g x x mx m =+-在(1,1)-内不可能有零点，舍去． 综上可得：实数m 的取值范围是[0，)∞+．故答案为：[0，)∞+．19．1t【分析】作出函数2,()(0),0x x t f x t x x t⎧=>⎨<<⎩的图象，数形结合可得结果. 【详解】解:函数2,()(0),0x x t f x t x x t⎧=>⎨<<⎩的图像如图.由图像可知要使函数2,()(0),0x x t f x t x x t ⎧=>⎨<<⎩是区间(0,)+∞上的增函数， 则1t .故答案为1t【点睛】本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目.20．6-【分析】根据当0x >时,2()f x x x =+直接求得()0f ,再跟根据()f x 是定义在R 上的奇函数,则()2(2)f f -=-代入2()f x x x =+求解即可.【详解】由题()()220(2)(0)(2+2)+06f f f f -+=-+=-=-.故答案为6-【点睛】本题主要考查奇函数的运用与求值计算,属于基础题型.21．（1）3；（2）证明见解析；（3）1k =.【分析】（1）根据新定义逐一判断即可；（2）根据新定义证明即可；（3）若()sin x x kx φ=+为线周期函数，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有()()sin sin x T k x T x kx T +++=++，可得22kT T =，解得k 的值再检验即可.【详解】（1）对于2x y =，()()2222x T x T T f x T f x ++==⋅=⋅，所以不是线周期函数，对于2log y x =，()()()2log f x T x T f x T +=+≠+，所以不是线周期函数，对于[]y x =，()[][]()1111+=+=+=+f x x x f x ，所以是线周期函数；（2）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，则存在非零常数T 对任意x ∈R ，都有()()g x T g x T +=+恒成立，因为()()G x g x x =-，所以()()()()()()()G x T g x T x T g x T x T g x x G x +=+-+=+-+=-=，所以()()G x g x x =-为周期函数；（3）因为()sin x x kx φ=+为线周期函数，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有()()sin sin x T k x T x kx T +++=++，所以()sin sin x T kT x T ++=+，令0x =，得sin T kT T +=，令x π=，得sin T kT T -+=，所以22kT T =，因为0T ≠，所以1k =，检验：当1k =时，()sin x x x φ=+，存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()()()2sin 22sin 22x x x x x x φππππφπ+=+++=++=+，所以()sin x x x φ=+为线周期函数，所以：1k =.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解和应用，以及特殊值解决恒成立问题.22．（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x=<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x=＜不是C 函数，得到答案. （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明.【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0，即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2），∴f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数， 说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0， 即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2），∴()()210f x x x=＜不是C 函数；（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）.（i ）若f （m ）＜f （n ），记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n m T--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2， 那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ），这与f （m ）＜f （n ）矛盾；（ii ）若f （m ）＞f （n ），记x 1＝n ，x 2＝n ﹣T ，α＝1n m T--，同理也可得到矛盾； ∴f （x ）在[0，T ）上是常数函数，又因为f （x ）是周期为T 的函数，所以f （x ）在R 上是常数函数，这与f （x ）的最小正周期为T 矛盾.所以f （x ）不是R 上的C 函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.23．(1)①②满足性质()1P ，理由见解析(2)()0f x =(3)证明见解析【分析】（1）计算()()1f x f x +=，()()1g x g x +=，得到答案.（2）根据函数性质变换得到()()213f x f x +=，()()312f x f x -=，()()121f x f x +=-，解得答案.（3）根据函数性质得到()()111.01 1.011.01n f n f +-⨯=⋅，取()1.01log 1000 1.01N f =，当n N >时满足条件，得到答案. (1) ()()()()1sin 2π1sin 2π2πsin 2πf x x x x f x +=+=+==⎡⎤⎣⎦，故()f x 满足()1P ；()()()()1cos 2π1cos 2π2πcos2πg x x x x g x +=+=+==⎡⎤⎣⎦，故()g x 满足()1P .(2)()()22f x f x +=且33f x f x ，故()()()()312213f x f x f x f x +=++=+=，()()()()213312f x f x f x f x +=-+=-=，()()121f x f x +=-，解得()0f x =.(3)()()1.01 1.01f x f x +=，故()()()()2311.01 1.01 1.01 1.012 1.01 1.01 1.01n f x f x f x f x n ++=-=-⨯=⋅⋅⋅=-⨯，取0x =得到()()11.01 1.01 1.01n f f n +=-⨯，即()()111.01 1.011.01n f n f +-⨯=⋅，取()1.01log 1000 1.01N f =，当n N >时，()11 1.010.0011.01n f +⋅<， 故存在0 1.01x n =-⨯满足()00.001f x <. 24．（1）4b =-；0c ；（2）5a >或50a -<<【详解】试题分析：（1）代值计算即可，（2）先根据函数的奇偶性求出()g x 的解析式，（i ）根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数()g x 的单调减区间，（ii ）根据函数单调性性质可得20 4a a a a ＞＞⎧⎨-⎩ 或20,4.a a a a ≤⎧⎨-->⎩解得即可. 试题解析：二次函数2()f x x bx c =++满足(1)(3)3f f ==-，解得：4b =-；0c .（2）（ⅰ）.（ⅱ）由（1）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--. 若()g a a >，则 20,4;a a a a >⎧⎨->⎩或20,4.a a a a ≤⎧⎨-->⎩解得5a >或50a -<<. 综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<.25．（1）0 ； （2）x 10>.【分析】()1由()()()1212f x x f x f x ⋅=+，令12x x 1==，即可得结果；()2由()()2121f x f x 0x x ->-可得函数()f x 在定义域R 上是增函数，结合()()()f 16f 4f 42=+=，原不等式化为x 616+>，从而可得结果.【详解】()1由()()()1212f x x f x f x ⋅=+，可得()()()()f 1f 11f 1f 1=⨯=+，故()f 10=．()2由条件可得()()()f 16f 4f 42=+=，由()()2121f x f x 0x x ->-，可得函数()f x 在定义域R 上是增函数，再根据()f x 62+>， 可得()()f x 6f 16+>，x 616∴+>，x 10>．【点睛】本题主要考查函数的解析式、函数的单调性，属于中档题.函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解抽象函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．26．（1）(1,2]；（2）4λ=【分析】（1）利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f （x ）在(]0,1上的值域．（2）根据f （x ）的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数λ的值．【详解】（1）设x ∈（0，1]，则﹣x ∈[﹣1，0）时，所以f （﹣x ）12x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2x ．又因为f （x ）为奇函数，所以有f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以当x ∈（0，1]时，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝2x ，所以()f x 在(]0,1上的值域为（1，2]，（2）由（1）知当x ∈（0，1]时，f （x ）∈（1，2]， 所以12f （x ）∈（12，1]． 令t 12=f （x ），则 12＜t ≤1， g （t ）14=f 2（x ）2λ-f （x ）+1＝t 2﹣λt +122t λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭124λ-， ①当122λ≤，即λ≤1时，g （t ）＞g （12），无最小值， ②当122λ≤＜1，即1＜λ≤2时，g （t ）min ＝g （2λ）＝124λ-=-2， 解得λ＝±（舍去）． ③当2λ＞1，即λ＞2时，g （t ）min ＝g （1）＝﹣2，解得λ＝4， 综上所述，λ＝4．【点睛】本题主要考查指数函数的单调性，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．27．（1）()4S x =+()V x =2）x，()f x 是减函数.【分析】（1）画出图形，分别求出四棱锥的高，及侧面的高的表达式，即可求出表面积与体积的表达式；（2）结合表达式，可求出x 的范围，即定义域，然后判断其为减函数.【详解】（1）过点S 作平面ABCD 的垂线，垂足为O ，取AB 的中点E ，连结,OE SE ，因为S ABCD -为正四棱锥，所以112EO AD ==，1AE =，SE =SO所以四棱锥的表面积为()1442S x AB SE AB BC =⨯⨯⋅+⋅=， 体积()13V x SO AB BC =⋅⋅=（2）()()()S x f x V x ===2201020x x x >⎧⎪-≥⎨⎪->⎩解得x > ()f x 是减函数.【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征，考查了表面积与体积的计算，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.。
2019-2021北京高中数学期中、期末汇编：指数函数(教师版)
2019-2021北京高中数学期中、期末汇编：指数函数一．选择题（共8小题）1．（2020秋•东城区校级期中）函数f（x）＝2x和函数的图象关于（）对称．A．原点B．y＝x C．y轴D．x轴2．（2020秋•房山区期末）如果函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）A．b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．0＜b＜1D．b＞13．（2020秋•昌平区校级期中）若a＝0.52，2b＝0.5，c＝20.5，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．（2019秋•朝阳区期末）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E25．（2020秋•西城区期末）设2m＝3n，则m，n的大小关系一定是（）A．m＞n B．m＜nC．m≥n D．以上答案都不对6．（2020秋•海淀区校级期中）若指数函数f（x）＝a x的图象与射线3x﹣y+5＝0（x≥﹣1）相交，则（）A．a∈（0，]B．a∈[，1）C．a∈[，1）∪（1，+∞）D．a∈（0，]∪（1，+∞）7．（2020秋•丰台区期末）已知指数函数y＝a x是减函数，若m＝a2，n＝2a，p＝log a2，则m，n，p的大小关系是（）A．m＞n＞p B．n＞m＞p C．n＞p＞m D．p＞n＞m8．（2020春•海淀区校级期末）令a＝60.7，b＝0.76，c＝log0.76，则三个数a、b、c的大小顺序是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a二．填空题（共7小题）9．（2019秋•石景山区期末）已知函数f（x）是指数函数，如果f（3）＝9f（1），那么f（8）f（4）（请在横线上填写“＞”，“＝”或“＜”）10．（2020秋•东城区期末）已知函数f（x）是指数函数，若，则f（﹣2）f（﹣3）．（用“＞”“＜”“＝”填空）11．（2019秋•东城区期末）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f（x）可以为．（写出符合条件的一个函数即可）12．（2019秋•海淀区期末）函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（﹣1，2），则a的值为．13．（2019秋•海淀区校级期末）函数y＝（）x，（x≥0）的值域为．14．（2020秋•西城区校级期末）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）过点，则f（x）＝．15．（2020秋•大兴区期末）三个数1.10.5，0.90.5，0.90.6按照由小到大的顺序排列是．三．解答题（共1小题）16．（2019秋•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值是最小值的8倍．（Ⅰ）求a的值；（Ⅰ）当a＞1时，解不等式log a（2a+2x）＜log a（x2+1）．2019-2021北京高中数学期中、期末汇编：指数函数参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2020秋•东城区校级期中）函数f（x）＝2x和函数的图象关于（）对称．A．原点B．y＝x C．y轴D．x轴【分析】根据f（﹣x）＝2﹣x＝（）x＝g（x），即可得到结论．【解答】解：f（﹣x）＝2﹣x＝（）x＝g（x），∴函数f（x）＝2x和函数的图象关于y轴对称，故选：C．【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．2．（2020秋•房山区期末）如果函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）A．b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．0＜b＜1D．b＞1【分析】利用函数图象的平移变换，得到关于b的不等式，再求出b的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴函数f（x）＝3x+b是由函数f（x）＝3x的图象向下平移|b|个单位长度得到，且|b|＜1，又∵图象向下平移，∴b＜0，∴﹣1＜b＜0，故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，是基础题．3．（2020秋•昌平区校级期中）若a＝0.52，2b＝0.5，c＝20.5，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】利用指数函数和对数函数的性质求解．【解答】解：∵0＜0.52＜0.50＝1，∴0＜a＜1，∵2b＝0.5，∴b＝log20.5＜log21＝0，即b＜0，∵20.5＞20＝1，∴c＞1，综上所述，b＜a＜c，故选：C．【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，是基础题．4．（2019秋•朝阳区期末）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出答案．【解答】解：根据题意得：lgE1＝4.8+1.5×9 ①，lgE2＝4.8+1.5×7 ②，①﹣②得lgE1﹣lgE2＝3，lg（）＝3，所以，即E1＝1000E2，故选：C．【点评】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．5．（2020秋•西城区期末）设2m＝3n，则m，n的大小关系一定是（）A．m＞n B．m＜nC．m≥n D．以上答案都不对【分析】根据已知可分三种情况讨论，即m＝n，m＞n，m＜n，然后根据每种情况分析求出对应关系即可．【解答】解：当m＞n时，因为函数y＝2x在R上单调递增，所以2m＝3n＞2n，所以（）n＞1，所以m＞n＞0，当m＝n时，（）n＝1，所以m＝n＝0，当m＜n时，因为函数y＝2x在R上单调递增，所以2m＝3n＜2n，所以（）n＜1，所以n＜0，则m＜n＜0，故选：D．【点评】本题考查了指数函数的单调性以及指数不等式的求解，涉及到分类讨论思想的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．6．（2020秋•海淀区校级期中）若指数函数f（x）＝a x的图象与射线3x﹣y+5＝0（x≥﹣1）相交，则（）A．a∈（0，]B．a∈[，1）C．a∈[，1）∪（1，+∞）D．a∈（0，]∪（1，+∞）【分析】结合指数函数的性质，通过讨论a的范围，从而得到结论．【解答】解：当a＞1时，必会有交点，当a＜1时，过（﹣1，2）是临界点，当f（x）过（﹣1，2）时，a＝，若要f（x）与射线有交点，其图象需在（﹣1，2）的上方，比如过（﹣1，3）点此时a＝，由此可知a的取值范围为（0，]．综上a的范围是（0，]∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题考查了指数函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题．7．（2020秋•丰台区期末）已知指数函数y＝a x是减函数，若m＝a2，n＝2a，p＝log a2，则m，n，p的大小关系是（）A．m＞n＞p B．n＞m＞p C．n＞p＞m D．p＞n＞m【分析】由题意可知0＜a＜1，再利用指数函数和对数函数的性质求解．【解答】解：∵指数函数y＝a x是减函数，∴0＜a＜1，∴0＜a2＜a0＝1，∴0＜m＜1，∴2a＞20＝1，∴n＞1，∴log a2＜log a1＝0，∴p＜0，∴n＞m＞p，故选：B．【点评】本题主要考查了三个数大小的比较，合理应用指数函数和对数函数的性质是本题的解题关键，是基础题．8．（2020春•海淀区校级期末）令a＝60.7，b＝0.76，c＝log0.76，则三个数a、b、c的大小顺序是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】由指数函数和对数函数的图象可以判断a、b、c和0 和1的大小，从而可以判断a、b、c的大小．【解答】解：由指数函数和对数函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，所以c＜b＜a故选：D．【点评】本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质，属基础知识、基本题型的考查．二．填空题（共7小题）9．（2019秋•石景山区期末）已知函数f（x）是指数函数，如果f（3）＝9f（1），那么f（8）＞f（4）（请在横线上填写“＞”，“＝”或“＜”）【分析】由f（3）＝9f（1）可求a，然后代入求值即可比较大小．【解答】解：设f（x）＝a x（a＞0且a≠1），∵f（3）＝9f（1），∴a3＝9a，∴a＝3，f（8）＝38，f（4）＝34，∴f（8）＞f（4），故答案为：＞【点评】本题主要考查了指数函数值的应用，属于基础试题．10．（2020秋•东城区期末）已知函数f（x）是指数函数，若，则f（﹣2）＜f（﹣3）．（用“＞”“＜”“＝”填空）【分析】利用待定系数法求出函数f（x）的解析式，再利用函数f（x）的单调性即可比较大小．【解答】解：设f（x）＝a x（a＞0，且a≠1），∵，∴，解得：a＝，∴f（x）＝，在R上单调递减，∵﹣2＞﹣3，∴f（﹣2）＜f（﹣3），故答案为：＜．【点评】本题主要考查了指数函数的概念和指数函数的性质，是基础题．11．（2019秋•东城区期末）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f（x）可以为f（x）＝．（写出符合条件的一个函数即可）【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，故答案为：f（x）＝（）x．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．12．（2019秋•海淀区期末）函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（﹣1，2），则a的值为．【分析】把图象经过的点的坐标代入函数解析式即可求出a的值．【解答】解：由题意可得：a﹣1＝2，∴，故答案为：．【点评】本题主要考查了指数函数的定义，是基础题．13．（2019秋•海淀区校级期末）函数y＝（）x，（x≥0）的值域为（0，1]．【分析】根据函数y＝（）x的单调性，求出该函数在x≥0时的值域．【解答】解：∵函数y＝（）x在定义域R上是减函数，当x≥0时，y＝≤＝1，又∵y＝＞0恒成立；∴函数y的值域为（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】本题考查了求函数的值域的问题，解题时应根据指数函数的单调性进行解答，是基础题．14．（2020秋•西城区校级期末）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）过点，则f（x）＝x﹣2．【分析】使用待定系数法求出f（x）的解析式．【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα（α为常数）过点，∴2α＝，解得α＝﹣2．∴f（x）＝x﹣2．故答案为x﹣2．【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式，是基础题．15．（2020秋•大兴区期末）三个数1.10.5，0.90.5，0.90.6按照由小到大的顺序排列是0.90.6＜0.90.5＜1.10.5．【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点，得出结论．【解答】解：∵1.10.5＝＞1，0.90.5＝∈（0，1），而0.90.6＜0.90.5，∴0.90.6＜0.90.5＜1.10.5，故答案为：0.90.6＜0.90.5＜1.10.5．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．三．解答题（共1小题）16．（2019秋•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值是最小值的8倍．（Ⅰ）求a的值；（Ⅰ）当a＞1时，解不等式log a（2a+2x）＜log a（x2+1）．【分析】（Ⅰ）分类讨论当a＞1时，当0＜a＜1时，求出最大值，最小值，即可求解答案．（Ⅰ）转化log2（4+2x）＜log2（x2+1）得出得出不等式组，求解即可【解答】解：f（x）max＝a2，f（x）min＝a﹣1，则＝a3＝8，解得a＝2；当0＜a＜1时，f（x）＝max＝a﹣1，f（x）min＝a2，则＝a﹣3＝8，解得a＝；故a＝2或a＝（Ⅰ）当a＞1时，由前知a＝2，不等式log a（2a+2x）＜log a（x2+1）即得解集为（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）．【点评】本题考查了指数函数的性质，分类讨论的思想，属于中档题，关键是分类得出方程，不等式组．。
北京市部分区2019届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：函数
北京市部分区2019届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编函数（共10区）一、选择、填空题1、（昌平区2019届高三上学期期末）已知函数,1,(),1,2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩其中0,a >且 1.a ≠ （i ）当2a =时，若()(2)f x f <，则实数x 的取值范围是___________;(ii) 若存在实数m 使得方程()0f x m -=有两个实根，则实数a 的取值范围是___.2、（朝阳区2019届高三上学期期末）对任意实数x ，都有log (e 3)1x a +≥（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 A. 1(0,)3B.(]1,3C. (1,3)D.[3,)+∞ 3、（朝阳区2019届高三上学期期中）已知函数2,0,()(2),0.x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩当1324m ≤<时，方程1()8f x x m =-+的根的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 44、（大兴区2019届高三上学期期末）设函数2,,()(2),.x a x a f x f a x x a -⎧⎪=⎨->⎪⎩≤ ①若0a =，则()f x 的最大值为 ；②若函数()=-y f x b 有两个零点，则b 的取值范围是 ．5、（东城区2019届高三上学期期末）下列函数中，是奇函数且存在零点的是(A)3y x x =+(B) 2log y x = (C) 223y x =- (D)2y x= 6、（房山区2019届高三上学期期末）能够说明“若()f x 在R 上是单调函数，则()f x 的值域为R ”为假命题的一个函数是 ．7、（丰台区2019届高三上学期期末）已知函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-+=⎨<⎩≥① 若0a =，则函数()f x 的零点有____个；② 若存在实数m ，使得函数()y f x m =+总有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是____．8、（海淀区2019届高三上学期期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数 9、（海淀区2019届高三上学期期中）下列函数中，是偶函数且在(,)+∞0上单调递增的是( )（A ）()||f x x x =-2（B ）()f x x=21 （C ）()|ln |f x x = （D ）||()e x f x = 10、（石景山区2019届高三上学期期末）下列函数中为偶函数的是A. ln(1)ln(1)y x x =+--B. ln(1)ln(1)y x x =++-C. cos y x x =D. cos y x x =+11、（通州区2019届高三上学期期末）已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()21x f x =-，则()2f -等于A . 3- B. 114- C. 34- D. 312、（西城区2019届高三上学期期末）能说明“若定义在R 上的函数()f x 满足(0)(2)0f f >，则()f x 在区间(0,2)上不存在零点”为假命题的一个函数是____．13、（通州区2019届高三上学期期中） 已知函数()ln ,0,2ln ,,x x e f x x x e ⎧<≤=⎨->⎩ 若正实数a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是A ．()21,eB ．()2,e eC ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 21,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭14、（海淀区2019届高三上学期期中）计算lg lg ____.+=42515、（海淀区2019届高三上学期期中）能说明“若()()f x g x >对任意的[,]x ∈02都成立，则()f x 在[,]02上的最小值大于()g x 在[,]02上的最大值”为假命题的一对函数可以是()____,()____.f x g x ==16、（石景山区2019届高三上学期期末）已知函数()21,0,log ,0,ax x f x x x +⎧=⎨>⎩≤则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数的判断正确的是 A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点C. 无论a 为何值，均有2个零点D. 无论a 为何值，均有4个零点17、（通州区2019届高三上学期期末）已知函数()()2,1,ln 1,x x f x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩１．若关于x 的方程()2f x kx =-有且只有一个实数根，则实数k 的取值范围是______．18、（通州区2019届高三上学期期中）2log 5，32-，12e 三个数的大小关系是 ．19、（通州区2019届高三上学期期中）能说明“若()f x 是奇函数，则()00f =”为假命题的一个函数是 ． 参考答案一、选择、填空题1、(,2)-∞；(0,1)(1,2)U2、B3、C4、1；（0,1）5、A6、7、2；0a <且1a ≠- 8、C 9、D 10、B11、A 12、 13、B 14、215、16、A 17、{}{}0322k k <<- 18、1322log 52e ->> 19、()1f x x=二、解答题 1、（通州区2019届高三上学期期中）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()22f x x x =+．现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（Ⅰ）画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在R 上的解析式．参考答案二、解答题1、解：（Ⅰ）图略； 3分函数()f x 的单调增区间为()1,0-和()1,+∞； 6分 （Ⅱ）设0x >，则0x -<． 7分 因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+， 所以()()()()()22220f x f x x x x x x =-=-+-=->． 10分 所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩，．13分。
2021北京101中学高一(上)期末数学(教师版)
2021北京101中学高一（上）期末数学一、选择题（共10小题）.1．已知函数f（x）＝lg（4﹣x）的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N＝（）A．M B．N C．{4} D．∅2．sin2021°可化简为（）A．sin41°B．﹣sin41°C．cos41°D．﹣cos41°3．向量“，不共线”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y＝sin（x+），x∈（﹣，]的值域为（）A．B．C．D．5．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，若a＝f（1），b＝f（2），，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b6．甲、乙两人解关于x的方程：log2x+b+c log x2＝0，甲写错了常数b，得到根为，；乙写错了常数c，得到根为，x＝64．那么原方程的根正确的是（）A．x＝4 B．x＝3 C．x＝4或x＝8 D．x＝2或x＝37．已知2cos2α﹣3sin2α＝1，α∈（﹣，﹣π），那么tanα的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．8．如图是函数y＝sin x（0≤x≤π）的图象，A（x，y）是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合）．设线段AB的长为f（x），则函数f（x）的图象是（）A．B．C．D．9．已知3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝﹣，则cosα﹣sinα的取值可以为（）A．B．C．D．10．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮天轮中心O的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（）A．8分钟B．10分钟C．12分钟D．14分钟二、填空题（共6小题）.11．已知向量＝（1，﹣2），＝（x，4），且∥，则实数x＝．12．若角β与角的终边关于直线y＝x对称，则角β的终边上的所有角的集合可以写为13．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为14．在如图所示的方格纸中，向量，，的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与x+y（x，y为非零实数）共线，则的值为．15．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位，1ppm表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间存在函数关系y＝27﹣mt（m为常数）．求得m ＝；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，那么至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．16．已知△ABC，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），给出以下命题：①若，，则P为△ABC的内心；②若λ＝μ＝1，则直线AP经过△ABC的重心；③若λ+μ＝1，且μ＞0，则点P在线段BC上；④若λ+μ＞1，则点P在△ABC外；⑤若0＜λ+μ＜1，则点P在△ABC内．其中真命题为．三、解答题（共4小题）.17．已知函数．（1）求函数f（x）的值域：（2）若函数g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象有交点，请直接写出实数a的取值范围．18．已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ，．（1）求实数b的值；（2）求的值．19．已知函数，．（1）①直接写出函数f（x）的奇偶性；②写出函数f（x）的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：＝；f（4）﹣5f（2）g（2）＝；f（9）﹣5f（3）g（3）＝；（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．20．设A是由n个实数构成的一个有序数组，记作A＝（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i＝1，2，…，n）称为数组A的“元”，i称为数组A的“元”a i的下标，如果数组S＝（b1，b2，…，b m）（m≤n，m∈N+）中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称S为A的“子数组”．定义两个数组A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n）的“关系数”为C（A，B）＝a1b1+a2b2+…+a n b n．（1）若，B＝（b1，b2，b3，b4），且B中的任意两个“元”互不相等，B的含有两个“元”的不同“子数组”共有p个，分别记为S1，S2，…，S p．①p＝；②若b j∈N+，1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），记，求X的最大值与最小值；（2）若，B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1，S为B的含有三个“元”的“子数组”，求C（A，S）的最大值．2021北京101中学高一（上）期末数学参考答案一、选择题（共10小题）.1．解：根据题意得，M＝{x|x＜4}，N{x|x≥4}，∴M∩N＝∅．故选：D．2．解：sin2021°＝sin（360°×60﹣139°）＝sin（﹣1390）＝﹣sin139°＝﹣sin41°．故选：B．3．解：当向量“，不共线”时，由向量三角形性质得“”成立，即充分性成立，反之当向量“，方向相反时，满足“”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，即向量“，不共线”是“”的充分不必要条件，故选：A．4．解：y＝sin（x+）＝cos x，因为x∈（﹣，]，所以cos x∈[﹣，1]，即函数的值域为[﹣，1]．故选：B．5．解：因为偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，因为a＝f（1），b＝f（2），＝f（），又2＞1＞＞0，则b＞a＞c．故选：C．6．解：原方程可变形为：，因为甲写错了常数b，得到根为，，所以，又因为乙写错了常数c，得到根为，x＝64，所以，所以原方程为，解得log2x＝2或3，所以x＝4或8．故选：C．7．解：因为2cos2α﹣3sin2α＝2（1﹣sin2α）﹣3sin2α＝1，可得sin2α＝，cos2α＝，因为α∈（﹣，﹣π），所以sinα＝，cosα＝﹣，可得tanα＝＝﹣．故选：D．8．解：当x＝时，A，B两点重合，此时f（x）＝0，故排除C，D；当x∈（0，）时，f（x）＝π﹣2x是关于x的一次函数，其图象是一条线段，故选：A．9．解：因为3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝3cosα+sinα＝﹣，所以，整理得，所以，①当时，，则②当cos时，，则故选：C．10．解：由题意知，在t时摩天轮上某人所转过的角为t＝t，所以在t时此人相对于地面的高度为h＝10sin（t﹣）+12（t≥0）；由10sin（t﹣）+12≥17，得sin（t﹣）≥，解得≤t﹣≤，即5≤t≤15；所以此人有10分钟相对于地面的高度不小于17 m．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．解：由已知，且，所以1×4﹣（﹣2）x＝0，解得x＝﹣2，故答案为：﹣212．解：角α的取值集合是{α|α＝2kπ+，k∈Z}，角β与角的终边关于直线y＝x对称，可得β＝2kπ+﹣2×（﹣）＝﹣+2kπ，k∈Z，可得角β的取值集合是{β|β＝﹣+2kπ，k∈Z}，故答案为：{β|β＝﹣+2kπ，k∈Z}．13．解：由题意得：m﹣1＝±1，解得：m＝0或m＝2，m＝0时，f（x）＝x2在（0，+∞）递增，符合题意，m＝2时，f（x）＝1，是常函数，不合题意，故答案为：0．14．解：设图中每个小正方形的边长为1，则＝（2，1），＝（﹣2，﹣2），＝（1，﹣2），∴x+y＝（2x﹣2y，x﹣2y），∵与x+y共线，∴﹣2（2x﹣2y）＝x﹣2y，∴5x＝6y，即＝故答案为：15．解：（1）∵函数y＝27﹣mt（m为常数）经过点（4，64），∴64＝27﹣4m，解得m＝；（2）由（1）得y＝，由，解得t≥32．故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．故答案为：（1）；（2）32．16．解：对于①，，此时P点在∠BAC平分线上，但未必在△ABC的内心，则①错；对于②，由λ＝μ＝1知，AP＝，由向量加法法则知APBC中点，AP经过△ABC的重心，则②对；对于③，λ+μ＝1⇒λ＝1﹣μ⇒＝，当μ＞1，P点在BC延长线上，不在BC边上，则③错；对于④，令t＝λ+μ＞1，＝t，t＞1，由向量加法法则知，P点在△ABC外，则④对；对于⑤，取λ═﹣1/4，μ＝1/2，λ+μ＝1/4，0＜λ+μ＜1，但P点在△ABC外，则⑤错；故答案为：②④．三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解：（1）函数．则f（x）＝，因为y＝1﹣x在（﹣2，0）单调递减，可得f（x）值域为[1，3）．（2）当0＜a＜1，当0＜x≤2时，g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象恒有交点，当1＜a时，当0＜x≤2时，g（x）＝log a x是单调递增函数，则log a2≥1，可得a≤2．则1＜a≤2．故得实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a≤2．18．解：（1）∵方程的两根为sinθ、cosθ，∴sinθ+cosθ＝，sinθcosθ＝＞0，∵，∴θ+∈（，π），即sinθ+cosθ＝sin（θ+）＞0，∴（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2×＝，解得：b＝（负值舍去），则b＝；（2）∵（sinθ﹣cosθ）2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2×＝，∴sinθ﹣cosθ＝，∵sinθ+cosθ＝，∴＝＝＝．19．解：（1）①函数f（x）为奇函数．②f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝（﹣）（1+）因为x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，所以＜，所以﹣＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，由奇函数的性质可得f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．（2）经过代入计算可得＝0，f（4）﹣5f（2）g（2）＝0，f（9）﹣5f（3）g（3）＝0．（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式为f（x2）﹣5f（x）g（x）＝0（x≠0），证明：f（x2）﹣5f（x）g（x）＝0＝﹣5••＝﹣＝0．20．解：（1）①根据“子数组”的定义可得，B的含有两个“元”的不同“子数组”有（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共6个，∴p＝6；②不妨设b1＜b2＜b3＜b4，＝，∵1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），则当b1＝1，b2＝2，b3＝100，b4＝101时，X取得最大值为，当b1，b2，b3，b4是连续的四个整数时，X取得最小值为；（2）由B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1可知，实数a，b，c具有对称性，故分为S中含0和不含0两种情况进行分类讨论，①当0是S中的“元”时，由于中的三个“元”都相等及B中三个“元”a，b，c的对称性，可只计算的最大值，∵a2+b2+c2＝1，则（a+b）2≤2（a2+b2）≤2（a2+b2+c2）＝2，可得，故当时a+b达到最大值，故；②当0不是S中的“元”时，，又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，则，当且仅当时，取到最大值，故C（A，S）max＝1，综上，C（A，S）max＝1．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
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2019-2021北京高一数学上期末汇编：分段函数一．选择题（共6小题）1．（2020秋•通州区期末）函数,0()(03,0x a x f x a a x x ⎧=>⎨->⎩且1)a ≠在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．1[,1)3D ．1(0,]32．（2020秋•大兴区期末）已知函数5,1()1,1ax x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，则a 的范围是( )A ．(,0)-∞B ．[4-，)+∞C ．(,4)-∞-D ．[4-，0)3．（2020秋•丰台区期末）若函数2,0()2,0x x x f x x ⎧-=⎨<⎩，则函数()f x 的值域为( )A ．[0，1)B ．(-∞，0]C ．(-∞，0)(0⋃，1)D ．(,1)-∞4．（2021春•海淀区校级期末）已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，12()log f x x =，则()0f x >的解集是( )A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(-∞，1)(0-⋃，1)D ．(1-，0)(0⋃，1)5．（2021春•大兴区期末）若函数323,0()2,0x x x f x x x ⎧->=⎨⎩在区间(1,32)a a --上有最大值，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．[0，1)C ．(,2)-∞D ．(0,1)6．（2021春•海淀区校级期末）若函数2,0()2,0x xe x f x ax x x ⎧=⎨->⎩的值域为1[,)e -+∞，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,)eB ．(,)e +∞C ．(0，]eD ．[e ，)+∞二．填空题（共4小题）7．（2020秋•西城区期末）设()f x 为R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，f （2）0=，则不等式()0f x <的解集是 ．8．（2020春•海淀区校级期末）设函数2,1()5()(3),1log x a x f x x a x a x -⎧=⎨--<⎩．①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．9．（2020春•海淀区校级期末）设函数2,()1,x e x x af x ax x a ⎧-<=⎨-⎩，若2a =，则()f x 的最小值为 ；若()f x 没有最小值，则实数a 的取值范围是 ．10．（2019秋•房山区期末）已知函数21()31x x x f x ax -+<⎧=⎨⎩，当12a =时，()f x 的值域为 ；若()f x 在R 上单调递减，则a 的取值范围是 ． 三．解答题（共1小题）11．（2019秋•海淀区校级期末）已知函数()|log |(0,1)a f x x a a =>≠． （1）若f （2）12=，求实数a 的值； （2）若120x x <<，且12()()f x f x =，求12x x 的值；（3）若函数()f x 在1[2，3]的最大值与最小值之和为2，求实数a 的值．2019-2021北京高一数学上期末汇编：分段函数参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【分析】根据分段函数的单调性建立不等式关系进行求解即可． 【解答】解：若函数在R 上为减函数， 则满足00130a a a <<⎧⎨-⎩，即0113a a <<⎧⎪⎨⎪⎩，得103a<， 故选：D ．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，结合分段函数的单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．2．【分析】根据题意，由函数的单调性的定义可得051a a <⎧⎨+⎩，解之即可得答案．【解答】解：因为函数5,1()1,1ax x f x x x +⎧⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，所以051a a <⎧⎨+⎩，解得40a -<，即a 的取值范围为[4-，0)．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的单调性，属于基础题．3．【分析】根据分段函数()f x 的解析式即可求出每段上()f x 的范围，然后即可得出()f x 的值域． 【解答】解：0x 时，20x -；0x <时，021x <<，()f x ∴的值域为：(,1)-∞．故选：D ．【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，分段函数值域的求法，二次函数和指数函数值域的求法，考查了计算能力，属于基础题．4．【分析】由已知结合奇函数的性质求出()f x 的解析式，然后结合对数函数的单调性即可求解．【解答】解：因为()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，12()log f x x =，当0x <时，0x ->，则12()()log ()f x f x x -=-=-，所以12()log ()f x x =--，又(0)0f =，则由()0f x >可得，1200x log x >⎧⎪⎨>⎪⎩或120()0x log x <⎧⎪⎨-->⎪⎩，解可得01x <<或1x <-． 故选：C ．【点评】本题主要考查了对数函数的单调性在求解不等式中的应用，属于基础试题．5．【分析】先根据单调性画出函数()f x 的大致图象，再数形结合建立不等式，解不等式可得答案． 【解答】解：令3()3g x x x =-，0x >，则22()333(1)g x x x '=-=-， 令()0g x '>，解得01x <<；令()0g x '<，解得1x >， 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． 又f （1）2(1)f ==-，作出函数()f x 的大致图象，结合图象，由题意可得11132a a --<<-，解得01a <， 所以实数a 的取值范围是[0，1)． 故选：B ．【点评】本题考查函数的最值，考查导数的应用，考查数形结合的数学思想，考查直观想象的核心素养，属于中档题．6．【分析】利用导函数研究()x f x xe =的最小值，在讨论2()2f x ax x =-二次函数最小值，可得实数a 的取值范围． 【解答】解：由题意，当0x 时，()x f x xe =， 则()(1)x f x x e '=+， 令()0f x '=，可得1x =-，当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，在函数()f x 在(,1)-∞-单调递减； 当(1x ∈-，0]时，()0f x '>，在函数()f x 在(1-，0]单调递增；∴当1x =-时，()x f x xe =取得最小值为1e -．其值域为1[e-，)+∞那么：当0x >时，二次函数2()2f x ax x =-的最小值大于等于1e-．0a ∴>，其对称10x a=>． 则11()()min f x f a e=-．即121a a e--， 解得：a e 故选：D ．【点评】本题考查了分段函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择 二．填空题（共4小题）7．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：()f x 为R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，f （2）0=，()x ∴在(,0)-∞上单调递增，(2)0f -=，则()f x 对应图象如图：则()0f x <的解集(-∞，2)(0-⋃，2)，故答案为：(-∞，2)(0-⋃，2)．【点评】本题主要考查不等式求解，结合函数奇偶性和单调性的关系，作出函数()f x 的简图，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．8．【分析】①代入a 的值，求出()f x 在各个区间的最小值即可判断；②通过讨论a 的范围，再讨论1x 和1x <的情况，求出满足()f x 恰有2个零点的a 的范围即可．【解答】解：①若1a =，1x 时，2()log 1f x x =-，()f x 在[1，)+∞递增，()f x 的最小值是f （1）1=-， 1x <时，2()5(1)(3)5(43)f x x x x x =--=-+，()f x 在(,1)-∞递减，()f x f >（1）， 故()f x 的最小值是1-；②0a =时，1x 时，2()log f x x =，()f x 递增，()f x 有1个零点是1x =， 1x <时，2()5f x x =，()f x 有1个零点是0x =，故0a =时，()f x 恰有2个零点，符合题意；0a >时，1x 时，2()log f x x a =-，()f x 递增，()f x f （1）0a =-<，()f x 在[1，)1+∞个零点， 1x <时，()5()(3)f x x a x a =--，若()f x 在(,1)-∞恰有1个零点，则零点是1x a =<，31a >，解得：113a <<，0a <时，1x 时，2()log f x x a =-，()f x 递增，()f x f （1）0a =->，()f x 在[1，)0+∞个零点， 1x <时，()5()(3)f x x a x a =--恰有2个零点，则0x a =<，30x a =<，符合题意， 当13a =时，21log ,13()15()(1),13x x f x x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩，当1x <时，函数1个零点是13，当1x >时，函数12个零点， 故13a =符合题意，综上，若()f x 恰有2个零点，则0a 或113a <， 故答案为：1-，(-∞，10][3，1)．【点评】本题考查了求函数最值问题，考查函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．9．【分析】（1）判断()f x 的单调性，分别计算()f x 在各段上的最小值；（2）讨论a 与2ln ，0的关系，得出()f x 的单调性，判断()f x 的有无最小值． 【解答】解：（1）当2a =时，2,2()21,2x e x x f x x x ⎧-<=⎨-⎩，当2x <时，()2x f x e '=-，∴当2x ln <时，()0f x '<，当22ln x <<时，()0f x '>，()f x ∴在(,2)ln -∞上单调递减，在(2,2)ln 上单调递增， ()f x ∴在(,2)-∞上的最小值为(2)222f ln ln =-，当2x 时，()21f x x =-在[2，)+∞上单调递增， ()f x ∴在[2，)+∞的最小值为f （2）3=， 22231220ln ln --=--<，()f x ∴的最小值为222ln -．（2）①若0a <，则()f x 在(,)a +∞上单调递减，()f x 没有最小值；②若0a =，()f x 在(,0)-∞上单调递减，0()01f x e >-=，在(0,)+∞上()1f x =-，故()f x 有最小值1-，舍； ③若02a ln <，则()f x 在(,)a -∞上单调递减，()22220a f x e a ln ∴>-->，()f x 在[a ，)+∞上单调递增，故()f x f （a ）21a =-，而210a -<，()f x ∴有最小值21a -，舍；④若2a ln >，则()f x 在(,2)ln -∞上单调递减，在(2,)ln a 上单调递增，在[a ，)+∞上单调递增，()f x ∴有最小值(2)222f ln ln =-或21a -，舍∴若()f x 没有最小值，则0a <故答案为：222ln -，(,0)-∞．【点评】本题考查了函数的单调性判断，函数的最值计算，考查分类讨论思想，属于中档题．10．【分析】分别求1x <，1x 的值域，再求并集．若()f x 在R 上单调递减，则01a <<且123a -+⨯，即可解出答案．【解答】解：当12a =时，2,1()13(),12x x x f x x -+<⎧⎪=⎨⎪⎩，当1x <时，()2(1f x x =-+∈，)+∞，当1x 时，1()3()2x f x =是减函数，()(0f x ∈，3)2，所以函数()f x 的值域(0,)+∞． 若()f x 在R 上单调递减， 则01a <<且123a -+⨯， 解得103a<． 故答案为：R ，103a<． 【点评】本题考查分段函数的图象和性质，属于中档题． 三．解答题（共1小题）11．【分析】（1）代入直接求解即可；（2）计算可知12log ()0a x x =，由此得到121x x =；（3）分析可知函数()f x 在1[2，3]的最大值为2，讨论即可得解．【解答】解：（1）依题意，1|2|2a log =，即122a log =或122a log =-，解得4a =或14a =； （2）依题意，12|log ||log |a a x x =，又120x x <<，故12log log 0a a x x +=，即12log ()0a x x =，故121x x =； （3）显然当1x =时，函数()|log |a f x x =取得最小值为0，则函数()f x 在1[2，3]的最大值为2，若11()||222a f log ==，解得a =或a若f （3）|log 3|2a ==，解得a 或a =结合（2）可知，只有a =或a = 【点评】本题主要考查对数函数的图象及性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．。