最新成都高一数学期末考试难题汇编(含解析)超经典填空选择解答题(高一培优)
成都市2024届高一上数学期末学业水平测试试题含解析
为3，4 55
所以 sin 3 ， 是锐角，可得 cos 4 ，
5
5
因为锐角 的终边与单位圆相交于 Q 点，且纵坐标为 4 ，
5
所以 sin 4 ， 是锐角，可得 cos 3 ，
5
5
所以 sin sin cos cos sin 3 3 4 4 1，
【解题分析】
由已知可得 AD⊥DC 又由其余各棱长都为 1 得正三角形 BCD，取 CD 得中点 E，连 BE，则 BE⊥CD 在平面 ADC 中，过 E 作 AD 的平行线交 AC 于点 F，则∠BEF 为二面角 A﹣CD﹣B 的平面角
∵EF= 1 （三角形 ACD 的中位线），BE= 3 （正三角形 BCD 的高），BF= 2 （等腰 RT 三角形 ABC，F 是斜边中点）
易知该长方体的长、宽、高分别为1、 2 、 3 ，
所以该几何体的外接球半径 r 1 22 32 14 ，
2
2
所以该球的表面积
S
4 r2
4
14 2
2
14
.
故答案为：14 .
12、
，
【解题分析】根据正切函数性质求解、
【题目详解】由正切函数性质，由
得
所以
，，
故答案为：
，
，，
13、 【解题分析】解直角三角形 AOC，求出半径 AO，代入弧长公式求出弧长的值 解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点 0 作 OC⊥AB，C 为垂足， 并延长 OC 交 于 D，则∠AOD=∠BOD=1，AC= AB=1
ABCD ， PA 3 ， AB 1， BC 2 ，则此阳马的外接球的表面积为______.
12．不等式
的解集为______
四川高一高中数学期末考试带答案解析
四川高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.化简cos 15°cos 45°－sin15°sin 45°的值为（ ） A ．－B ．C ．D ．－2.等差数列中，已知，则（ ） A ．5B ．6C ．8D ．103.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．②③ D ．②④4.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 ，A =75°，B =45°，则b 边长为（ ） A ．B ．1C ．2D ．5.棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） A ．12πB ．πC ．8πD ．4π6.设a ，b ，c ，d ∈R ．且a ＞b ，c ＞d ，则下列结论中正确的是（ ） A ．B ．a －c ＞b －dC ．ac ＞bdD ．a +c ＞b +d7.设x ，y 满足约束条件，则z 2x －3y 的最小值是（ ） A ．－7B ．－6C ．－5D ．－38.设向量a,b 满足|a|=|b|=1,a·b=-,则|a+2b|等于( )A ．B ．C ．D ．9.设x 、y ∈R +且，则x +y 的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．3210.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定11.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知，且与 的等差中项为，则S 5=（ ）A ．29B ．33C ．31D ．3612.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．6km/hB ．8 km/hC ．2km/hD ．10 km/h二、填空题1.如图，正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是______.2.已知圆锥的母线，母线与轴的夹角α=30°，则圆锥的体积为______．3.若，，则的值为______．4.若数列是正项数列，且，则______．三、解答题1.已知右图是一个空间几何体的三视图． （1）该空间几何体是如何构成的；（2）求该几何体的表面积2.已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1与a 4的等比中项是4，a 2和a 3的等差中项为6，数列{b n }满足.（1）求{a n }的通项公式； （2）求{b n }的前n 项和.3.已知函数 ． （1）求 的最大值； （2）若 ，求的值．4.已知分别是内角的对边，．（1）若，求（2）若，且 求的面积．5.已知不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }，a ,b ,c ∈R （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.6.已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．四川高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.化简cos 15°cos 45°－sin15°sin 45°的值为（）A．－B．C．D．－【答案】C【解析】根据两角和的余弦公式可得：，故答案为C.2.等差数列中，已知，则（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【解析】因为，即，，则，故选C.3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是（）A．①②③B．①②C．②③D．②④【答案】A【解析】①平行向量不一定相等，因此①不正确；②不相等的向量可能平行，因此②不正确；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量，不一定正确。
四川高一高中数学期末考试带答案解析
四川高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2.下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．B．C．D．3.等差数列满足，公差，若，则（）A．B．C．D．4.在中，角对边分别为．若，，则（）A．B．C．D．5.若，则下列不等关系正确的是（）A．B．C．D．6.设是平行四边形ABCD的对角线的交点，为四边形ABCD所在平面内任意一点，则（）A．B．C．D．7.等比数列的各项均为正数，且，则（）A．B．8C．10D．128.已知正数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．39.一艘轮船从A出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（）（A）北偏东，（B）北偏东，（C）北偏东，（D）北偏东，10.在中，点D，E分别是边AB，AC上的一点，且满足，，若CD⊥BE，则的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题1.数列满足，则．2.已知实数满足约束条件则的最大值是．3.已知点和点，点在轴上，且为直角，则直线的斜率为．4.在钝角△ABC中，∠A为钝角，令，若．现给出下面结论：①当时，点D是△ABC的重心；②记△ABD，△ACD的面积分别为，，当时，；③若点D在△ABC内部（不含边界），则的取值范围是；④若，其中点E在直线BC上，则当时，．其中正确的有（写出所有正确结论的序号）．三、解答题1.（本小题满分12分）已知公差大于零的等差数列满足：．（Ⅰ）求数列通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和．2.（本小题满分12分）已知点．（Ⅰ）直线m经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线m的方程；（Ⅱ）直线n经过点P，且坐标原点到该直线的距离为2，求直线n的方程．3.（本小题满分12分）在△ABC中，角对边分别为．设向量，，．（Ⅰ）若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；（Ⅱ）已知c＝2，，若m⊥p，求△ABC的面积S．4.（本小题满分12分）在数列中，，又．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．5.（本小题满分13分）已知点，点，直线l：（其中）．（Ⅰ）求直线l所经过的定点P的坐标；（Ⅱ）若直线l与线段AB有公共点，求的取值范围；（Ⅲ）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线l所得线段的长为，求直线的方程．6.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）若，关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）若，解关于的不等式；（Ⅲ）若，且，求的取值范围．四川高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由直线方程可知直线的斜率．设此直线的倾斜角为，由直线斜率的定义可知，因为，所以．故D正确．【考点】直线的倾斜角．2.下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为A，C，D选项中的两个向量均存在实数使得，所以两向量均共线，故不可作为基底．因为B选项中的两个向量不存在实数使得，所以两向量不共线，所以可以作为一组基底．故B正确．【考点】平面向量中基底的定义．3.等差数列满足，公差，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】．故B正确．【考点】等差数列的通项公式．4.在中，角对边分别为．若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正弦定理可得，所以．故C正确．【考点】正弦定理．5.若，则下列不等关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故A正确．【考点】不等式的性质．6.设是平行四边形ABCD的对角线的交点，为四边形ABCD所在平面内任意一点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设分别为的中点，因为为平行四边形对角线交点，所以为的中点．由平面向量加法的平行四边形法则可得，所以．故D正确．【考点】平面向量加法的平行四边形法．7.等比数列的各项均为正数，且，则（）A．B．8C．10D．12【答案】C【解析】由等比数列的性质可得，由得．．故C正确．【考点】1等比数列的性质；2对数的运算．8.已知正数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】，，当且仅当即时取．故A正确．【考点】基本不等式．9.一艘轮船从A出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（）（A）北偏东，（B）北偏东，（C）北偏东，（D）北偏东，【答案】C【解析】依题意可得在中．．由余弦定理可得．，由正弦定理可得，由题意可知在中为锐角，所以．所以如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向为北偏东，路程为海里．故C正确．【考点】1余弦定理；2正弦定理．10.在中，点D，E分别是边AB，AC上的一点，且满足，，若CD⊥BE，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由向量加减法的三角形法则可知，，，即，所以当且仅当时取．故A正确．【考点】1向量加减法；2向量的数量积；3基本不等式．二、填空题1.数列满足，则．【答案】21【解析】由可得，，以上各式相加可得，所以，所以．【考点】1累加法求数列通项公式；2等差数列的前项和．2.已知实数满足约束条件则的最大值是．【答案】9【解析】作出可行域及目标函数线如图，平移目标函数线使之经过可行域，当目标函数线过点时目标函数线的纵截距最大此时也最大．，所以．【考点】线性规划．3.已知点和点，点在轴上，且为直角，则直线的斜率为．【答案】或2【解析】设，，因为为直角，所以，所以，解得或．即或．当时，直线的斜率；当时直线的斜率，综上可得直线的斜率为或2．【考点】1直线垂直；2直线的斜率．4.在钝角△ABC中，∠A为钝角，令，若．现给出下面结论：①当时，点D是△ABC的重心；②记△ABD，△ACD的面积分别为，，当时，；③若点D在△ABC内部（不含边界），则的取值范围是；④若，其中点E在直线BC上，则当时，．其中正确的有（写出所有正确结论的序号）．【答案】①②③【解析】①设中点为，则，当时，，因为为上的中线，所以是的重心．所以①正确；②令，所以当时，可知为平行四边形，所以，因为，所以，所以，所以②正确；③当与重合时；当与重合时；当与重合时；所以点在构成的三角形内部（不含边界）．表示点与连线的斜率，由数形结合可知当时，当时，所以．所以③正确；④令，所以，因为，所以，所以④不正确．综上可得结论正确的有：①②③．【考点】平面向量．三、解答题1.（本小题满分12分）已知公差大于零的等差数列满足：．（Ⅰ）求数列通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由解方程组可解得得值，因为公差，所以．从而可求得公差，根据等差数列的通项公式可求得等差数列的通项公式．（Ⅱ）由指数的运算法则可得，可知数列是首相公比的等比数列，由等比数列前项和公式求．试题解析：（Ⅰ）由公差及，解得．3分所以，所以通项．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）有，8分所以是等比数列，首项，公比．10分所以数列的前项和．12分【考点】1等差数列的通项公式；2等比数列前项和公式．2.（本小题满分12分）已知点．（Ⅰ）直线m经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线m的方程；（Ⅱ）直线n经过点P，且坐标原点到该直线的距离为2，求直线n的方程．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）需分情况讨论：当截距均为0时，直线过原点可设其方程为；当截距均不为0时设直线方程为，将点分别代入所设方程即可；（Ⅱ）需分情况讨论：当直线斜率不存在时，可知直线方程为，符合题意；当直线斜率存在时，根据点斜式可设直线方程为，再根据点到线的距离公式求斜率的值．试题解析：（Ⅰ）①当截距为0时，设直线方程为，代入点P坐标得，所以此时直线方程为，即．2分②当截距不为0时，设直线方程为，代入点P坐标得，所以，此时直线方程为．综上所述，直线方程为：或．（少一个方程扣2分）6分（Ⅱ）①当直线斜率不存在时，可知直线方程为，该直线与原点距离为2，满足条件．8分②当直线斜率存在时，可设直线方程为，即，由题可得，解得，11分此时直线方程为，即．综上所述，直线方程为：或．（少一个方程扣2分）12分【考点】1直线方程；2点到线的距离．3.（本小题满分12分）在△ABC中，角对边分别为．设向量，，．（Ⅰ）若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；（Ⅱ）已知c＝2，，若m⊥p，求△ABC的面积S．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据向量共线，可得关系式，由正弦定理可证得；（Ⅱ）由，可得其数量积为0，根据数量积公式可得，整理可得．由余弦定理还可再得间关系式，从而可求得整体的值，根据三角形面积公式求其面积．试题解析：（Ⅰ）因为所以，3分由正弦定理得，即，所以为等腰三角形．5分（Ⅱ）因为，所以，即，．．．．．．①，7分又因为，，由余弦定理，得，9分即，把①代入得，解得（舍去），11分所以的面积．12分【考点】1向量共线，垂直问题；2余弦定理．4.（本小题满分12分）在数列中，，又．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据等比数列的定义证明为常数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以，可根据分组求和法求得，其中求和用错位相减法．试题解析：（Ⅰ）由题有，所以．5分所以，数列是公比为2，首项为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，所以，数列的前项和．令，则，两式相减，得：，所以．所以．【考点】1等比数列的定义；2分组求和法，错位相减法求和．5.（本小题满分13分）已知点，点，直线l：（其中）．（Ⅰ）求直线l所经过的定点P的坐标；（Ⅱ）若直线l与线段AB有公共点，求的取值范围；（Ⅲ）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线l所得线段的长为，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或【解析】（Ⅰ）将直线方程可化为：，根据的任意性可得从而可得直线过的定点的坐标．（Ⅱ）直线与线段有公共点可转化为有解．其中根据的范围即可求得的范围．（Ⅲ）先求得两平行线间距离，根据两条平行直线截直线所得线段的长为，可知直线与两平行线夹角为．由平行线的斜率为得其倾斜角为，可得直线的倾斜角为或．由（Ⅰ）知直线过定点，根据点斜式可求得直线方程．试题解析：（Ⅰ）直线方程可化为：，由解得即直线l过定点．3分（Ⅱ）方法1：由题可得有解，得，因为，所以，所以，即．（注：也可以得到，由，解得）8分方法2：①符合条件；②时，斜率，由图可知或，代入解得：或．综上所述．8分（Ⅲ）由平行线的斜率为得其倾斜角为，又水平线段，所以两平行线间距离为，而直线被截线段长为，所以被截线段与平行线所成夹角为，即直线与两平行线所成夹角为，所以直线倾斜角为或．由（Ⅰ），直线l过定点，则所求直线为或．13分【考点】1直线方程；2直线过定点问题．6.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）若，关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）若，解关于的不等式；（Ⅲ）若，且，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为；④当时，不等式解集为Æ；⑤当时，不等式解集为；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）在区间上恒成立，即在区间上恒成立．求在区间上的最小值即可．（Ⅱ）当时即，讨论当此不等式为一此不等式，当时此不等式为一元二次不等式，方程的两根为和1，需比较两根的大小再解不等式．（Ⅲ）属于线性规划问题，根据和可得的可行域，，表示动点与定点距离的平方，根据线性规划先求得即可．试题解析：（Ⅰ）不等式化为，即，即在区间上恒成立，2分由二次函数图象可知，当时，有最小值，所以的取值范围为．4分（Ⅱ）当时，不等式化为，5分①当时，不等式解集为；6分②当时，不等式解集为；7分③当时，不等式化为，若，不等式解集为Æ；若，不等式解集为；若，不等式解集为．综上所述：①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为；④当时，不等式解集为Æ；⑤当时，不等式解集为．10分（Ⅲ）由题有作出如图所示的平面区域：又，因为表示动点与定点距离的平方，所以，由图可知的范围为，13分所以，的取值范围为．14分【考点】1一元二次不等式；2线性规划．。
四川省成都市高一上学期期末数学试题(解析版)
高一上期期末质量检测数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）1. 集合，，则（）{}0A x x =>{}2,1,0,2B =--()RA B = ðA. B.C.D.{}0,2{}2,1--{}2,1,0--{}2【答案】C 【解析】【分析】先求出，再求交集即可.R A ð【详解】据题意，所以 (],0R A =-∞ð()R A B = ð{}2,1,0--故选：C 2. 已知，，则（ ） 1cos 2α=3π2π2α<<()sin 2πα+=A. B.C. D.1212-【答案】A 【解析】【分析】先求出，再根据诱导公式求. sin α()sin 2πα+【详解】，， 1cos 2α=3π2π2α<<， sin α∴==， ()sin 2πsin αα∴+==故选：A.3. 在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，为始边，终边经过点，则xOy θOx ()5,12-（ ）sin cos θθ+=A.B. 713713-C. D.712-712【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义可求出，即可得出结果. sin ,cos θθ【详解】因为终边经过点，所以，，()5,12-12sin 13θ==5cos 13θ-==所以. 7sin cos 13θθ+=故选：A ．4. 函数的零点所在区间为（ ） ()()1ln 23f x x x =---A. B.C.D.()4,3--()3,e --()e,2--()2,1--【答案】B 【解析】【分析】根据公共定义域内判断函数的单调性及复合函数的单调性， 得出函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理即可求解. ()f x 【详解】由题意可知，的定义域为， ()f x (),0-∞令，则，由在上单调递减，u x =-ln y u =u x =-(),0-∞在定义域内单调递增，ln y u =所以在单调递减.()ln y x =-(),0-∞所以函数在上单调递减. ()()1ln 23f x x x =---(),0-∞所以 ()()()12214ln 442ln 4ln e 03333f -=---⨯--=->-=>⎡⎤⎣⎦()()()13ln 332ln 31ln e 103f -=---⨯--=->-=⎡⎤⎣⎦ ()()()1ee ln e e 21033f -=---⨯--=-<⎡⎤⎣⎦ ()()()1442ln 222ln 2ln e 0333f -=---⨯--=-<-<⎡⎤⎣⎦ ()()()151ln 112033f -=---⨯--=-<⎡⎤⎣⎦故，根据零点的存在性定理，可得()3(e)0f f -⋅-<函数的零点所在区间为. ()()1ln 23f x x x =---()3,e --故选：B.5. 已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为，则该扇形的周长为（ ）22cm A. B. C. D.6cm 3cm 12cm 8cm 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用扇形的面积公式可得，解得的值，即可得解扇形的周长的值．2122R =R 【详解】解：设扇形的半径为，则弧长， Rcm l Rcm =又因为扇形的面积为， 22cm 所以，2122R =解得， 2R cm =故扇形的周长为． 6cm 故选：．A 6. 设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( ) A. 3 B. 1C. －1D. －3【答案】D 【解析】【详解】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数， 当x≥0时，f （x ）=2x +2x+b （b 为常数）， ∴f （0）=1+b=0， 解得b=-1∴f （1）=2+2-1=3． ∴f （-1）=-f （1）=-3． 故选D ．7. 函数的图象大致是（ ） ()222x xx f x -=+A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性先排除，再利用特殊值排除选项，进而求解.B,D C 【详解】函数的定义域为，且， ()222x x x f x -=+R 22()()()2222x x x xx x f x f x ----===++则函数为偶函数，故排除选项； ()f x B,D 又因为当时，，故排除选项， 0x >()0f x >C 故选：.A 8. 已知函数，，若方程的所有实根之和为()2,0ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩()2g x x x =-()()()0f g x g x m +-=4，则实数m 的取值范围为（ ） A. B.C.D.1m >m 1≥1m <1m £【答案】C 【解析】【分析】令，则.根据选项分，和进行讨论即可求解. ()g x t =0t ≥1m =0m =1m >【详解】令，则.()g x t =0t ≥当时，方程即，则有，由函数图象可得1m =()()()0f g x g x m +-=()10f t t +-=()1(0)f t t t =-≥方程有一个根为，另一个根为，1t =0=t即或，结合函数的图象可得所有根的和为5，不合题意，故排除选20x x -=21x x -=2y x x =-项；B,D当时，方程即，则有， 0m =()()()0f g x g x m +-=()0f t t +=()(0)f t t t =-≥由函数图象可得方程有一个根，(0,1)t ∈即，结合函数的图象可得所有根的和为4，满足题意，故选项错2(01)x x t t -=<<2y x x =-A 误，同理，当时，方程的所有根的和为2. 1m >故选：.C 二、多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）9. 已知函数，则（ ） ()cos 2xf x =A.B.()()f x f x -=()()f x f x -=-C. ，D. ，()()2f k x f x π+=k ∈Z ()()()21kf k x f x π-=-k ∈Z【答案】AD 【解析】【分析】根据函数的解析式逐项检验函数是否满足相应的性质，必要时可利用反例. 【详解】对于A ，，故A 正确. ()()R cos cos 22x x x f x f x ⎛⎫∈-=-== ⎪⎝⎭，对于B ，，故， ()()0cos 01,0cos 01f f ==-==()()00f f -≠-故B 错误.对于C ，，故， ()()2cos 1,0cos 01f f ππ==-==()()200f f π+≠故C 错误.对于D ，当k 为奇数时，； ()22coscos cos 222k x x x f k x k πππ-⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭当k 为偶数时，， ()2cos cos 22x x f k x k ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以. ()()()21,kf k x f x k π-=-∈Z 故D 正确. 故选：AD.10. 命题“∀1≤x ≤3，－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） 2x A. a ≥9 B. a ≥11 C. a ≥10 D. a ≤10【答案】BC 【解析】【分析】由命题为真求出a 的范围，然后由集合的包含关系可得.【详解】由得，因为命题为真，所以，记为，因为要求命题为真13x ≤≤219x ≤≤9a ≥{|9}A a a =≥的充分不必要条件，所以所选答案中a 的范围应为集合A 的真子集. 故选：BC11. 若满足对定义域内任意的，都有，则称为“好函数”，则()f x 12,x x ()()()1212f x f x f x x +=⋅()f x 下列函数是“好函数”的是（ ） A.B. C.D.()2xf x =()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()12log f x x =()3log f x x =【答案】CD【解析】【分析】利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.【详解】对于A ，函数定义域为，取，则，， ()f x R 121,2x x ==()()126f x f x +=()124f x x ⋅=则存在，使得，A 不是；12,x x ()()()1212f x f x f x x +≠⋅对于B ，函数定义域为，取，则，， ()f x R 121,2x x ==()()1234f x f x +=()1214f x x ⋅=则存在，使得，B 不是； 12,x x ()()()1212f x f x f x x +≠⋅对于C ，函数定义域内任意的，()f x {}|0x x >12,x x ，C 是；()()()()12111211212222log log log f x f x x x x x f x x +=+==⋅对于D ，函数定义域内任意的，()f x {}|0x x >12,x x ，D 是．()()()()33121212123log log log f x f x x x x x f x x +=+==⋅故选：CD12. 已知函数，下列结论正确的是（ ）()()2log 1,11(,12x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩A. 若，则B.()1f a =3a =202120202020f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 若，则或D. 若方程有两个不同的实数根，则 ()2f a ≥1a ≤-5a ≥()f x k =12k ≥【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定的分段函数逐项分析计算即可判断作答.【详解】对于A ：当时，，解得，当时，，解得，则1a >2log (1)1a -=3a =1a ≤1()12a=0a =或，A 不正确；0a =3a =对于B ：， 222202120211(log (1)log (log 20200202020202020f =-==-<，B 正确；22log 2020log 2020220211(())(log 2020)()2202020202f f f -=-===对于C ：当时，，即，解得，当时，，解得1a >22log (1)2log 4a -≥=14a -≥5a ≥1a ≤1()22a≥，则或，C 正确；1a ≤-1a ≤-5a ≥对于D ：函数在上单调递增，值域为R ，则时，，()2log 1y x =-(1,)+∞()2log 1x k -=R k ∈函数在上单调递减，值域为，则时，， 1()2x y =(,1]-∞1(,]2-∞1()2xk =12k ≥因此，方程有两个不同的实数根，则，D 正确. ()f x k =12k ≥故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 计算：___________. 1417sin cos tan 336πππ+-=【答案】0 【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】 141725sincos tan 3sin 4cos 2tan 03636πππππππ⎛⎫⎛⎫+-=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭25sincos 0036ππ⎛=+-== ⎝故答案为：014. 已知幂函数的图象关于原点对称，则________.()211m y m m x +=+-m =【答案】 2-【解析】 【分析】根据幂函数的定义列出方程求出的值，再判断函数图象是否关于原点对称. m 【详解】解：是幂函数，()211m y m m x+=+- ，211m m ∴+-=解得：或， 1m =2m =-又 函数的图象关于原点对称，()211m y m m x+=+-.2m ∴=-故答案为：.2-15. 函数的单调递增区间是________．()2ln 2y x x =-+【答案】 ()0,1【解析】【分析】先求出函数定义域，再结合二次函数和对数函数的单调性即可求解.【详解】由，解得，所以函数的定义域为，令，220x x -+>02x <<()0,2()2202t x x x =-+<<则函数在上单调递增，在上单调递减，又函数在其定义域上单调递增，22t x x =-+()0,1()1,2ln y t =所以函数的单调递增区间是．()2ln 2y x x =-+()0,1故答案为：.()0,116. 已知定义在的函数，对满足的任意实数，，都有[)1,+∞()f x tx x=+121x x -≤1x 2x ，则实数的取值范围为__________.()()121f x f x -≤t 【答案】 04t ≤≤【解析】 【分析】 不妨设，则 ，则不等式转化为12x x >1201x x <-≤()()121f x f x -≤恒成立，进而转化为最值问题求解即可.121212122112x x x xx x t x x x x x x +≤≤+--【详解】解：当时，，明显成立； 12x x =()()1201f x f x =-≤当时，不妨设，则 ，12x x ≠12x x >1201x x <-≤恒成立，()()()()21121212121211t x x tf x f x x x x x x x x x -∴-=-+=-⋅-≤恒成立， 121211t x x x x ∴-≤-即，211212111t x x x x x x ≤-≤--整理得恒成立，121212122112x x x xx x t x x x x x x +≤≤+--，，121x x -≤ 211x x ∴≥-，()()()()121221121111121122224x x x x x x x x x x x x ≥-+-=-=+⨯--=∴当且仅当，即时等号成立，故，2111x x =-=211,2x x ==4t ≤又，，121x x -≤ 2101x x ∴>-≥-，当且仅当时，等号成立，故，12121212210x x x x x x x x x x ≤-∴++=-211x x -=-0t ≥综上所述. 04t ≤≤故答案为：.04t ≤≤【点睛】本题考查不等式恒成立问题，先进行参变分离，然后转化为最值问题，考查学生综合分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.四、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分）17. 已知，且是第三象限角， 1tan 2α=α（1）求的值； sin α（2）求的值. 2sin sin cos()2πααπα⎛⎫++⋅-⎪⎝⎭【答案】(1);(2).25【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的关系可得，结合，是第三象限角可得2sin cos αα=22sin cos 1αα+=αsin α，的值；cos α（2）利用诱导公式将原式化简，代入，的值可得答案. sin αcos α【详解】解：(1)由，可得，即， 1tan 2α=sin 1tan cos 2ααα==2sin cos αα=可得，由是第三象限角，可得222sin cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩αsin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故的值为sin α(2) , 22sin sin cos()cos sin cos 2πααπαααα⎛⎫++⋅-=-⋅⎪⎝⎭代入， sin α=cos α=可得原式. 422555=-=【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式的应用及诱导公式，注意运算的准确性，属于基础题型. 18. 已知是整数，幂函数在上是单调递增函数.m ()22mm f x x -++=[)0,∞+(1)求幂函数的解析式；()f x (2)作出函数的大致图象；()()1g x f x =-(3)写出的单调区间，并用定义法证明在区间上的单调性.()g x ()g x [)1,+∞【答案】(1)；(2)图象见解析；(3)减区间为；增区间为，证明()2f x x =(][],1,0,1-∞-[][)1,0,1,-+∞见解析. 【解析】【分析】(1)根据幂函数在上是单调递增函数，可知，解不等式()22m m f x x -++=[)0,∞+220m m -++>即可.(2)由(1)可知，则，先画出的图象，再将该图象轴下方的部分翻折()2f x x =()21g x x =-21y x =-x 到轴上方，即可.x (3)根据(2)的图象写出单调区间，再根据定义法证明函数单调性，即可. 【详解】(1)由题意可知，，即 220m m -++>12m -<<因为是整数，所以或 m 0m =1m =当时，0m =()2f x x =当时，1m =()2f x x =综上所述，幂函数的解析式为.()f x ()2f x x =(2) 由(1)可知，则()2f x x =()21g x x =-函数的图象，如图所示：()g x(3)由(2)可知，减区间为；增区间为 (][],1,0,1-∞-[][)1,0,1,-+∞当时，[)1,x ∞∈+()2211g x x x =-=-设任意的，且1x [)21x ∈+∞,120x x ->则()()()()()()2222121212121211g x g x x x x x x x x x -=---=-=-+又，且1x [)21x ∈+∞,120x x ->∴()()120g x g x ->即在区间上单调递增.()g x [)1,+∞【点睛】本题考查求幂函数的解析式以及画函数图象，单调性的定义法证明.属于中档题. 19. 已知.()2f x x mx n m =++-（1）若，对一切，恒成立，求实数的取值范围； 3n =x R ∈()0f x ≥m （2）若，，，求的最小值. 0m >0n >()25f =1111m n+--【答案】（1）；（2）最小值为. []6,2-4【解析】【分析】（1）根据判别式小于等于零求解即可；（2）由题知，进而，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 1m n +=111111m n n m+=+--【详解】解：（1）当时，对一切，恒成立， 3n =()230f x x mx m =++-≥x R ∈所以，解得，()2430m m --≤62m -≤≤所以实数的取值范围是.m []6,2-（2），，(2)5f = 2()f x x mx n m =++-. 1m n ∴+=，，0m > 0n >所以，， ()11111122411m n m n m n n m n m n m ⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪--⎝⎭当且仅当时等号成立. 12m n ==所以最小值为. 1111m n+--420. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的两种芯片都已经获得,A B 成功．该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产2芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片A 10.25B 的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．y x ()0ay kxx =>（1）试分别求出生产两种芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式； ,A B y x （2）现在公司准备投入亿元资金同时生产两种芯片，求分别对两种芯片投入多少资金时，4,A B ,A B 该公司可以获得最大净利润，并求出最大净利润．（净利润芯片的毛收入芯片的毛收入研发耗A =B +-费资金）【答案】（1）， ()1:04A y x x =>):0B y x =>（2）当对芯片投入亿元，对芯片投入亿元时，该公司可以获得最大的净利润，最大净利润A 3.6B 0.4为千万元 9【解析】【分析】（1）对于芯片，采用待定系数法，设即可代入已知数据求得结果；对于A ()0,0y mx m x =>>芯片，根据图象中的点坐标可构造方程组求得参数，由此可得函数关系式；B （2）设对芯片投入的资金为千万元，净利润为千万元，可得到关于的函数关系式，采用换元B x W W x 法可将其转化为二次函数最大值的求解问题，结合二次函数性质可得结果. 【小问1详解】生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，可设， A ∴()0,0y mx m x =>>每投入千万元，公司获得毛收入千万元，， 10.2510.254m ∴==生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：； ∴A y x ()104y x x =>由图象可知：，解得：， 142ak k =⎧⎨⋅=⎩112k a =⎧⎪⎨=⎪⎩生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：.∴B yx )0y x =>【小问2详解】设对芯片投入的资金为千万元，则对芯片投入的资金为千万元， B x A ()40x -设净利润为千万元，则，W ()()14020404W x x =+--<<令，则，(0,t =2184W t t =-++则当，即时，，2t =4x =max 1289W =-++=当对芯片投入亿元，对芯片投入亿元时，该公司可以获得最大的净利润，最大净利润为∴A 3.6B 0.49千万元.21. 已知函数（且）是奇函数，且. ()13xbf x a a=--0a >1a ≠()12f =（1）求a ，b 的值及的定义域；()f x （2）设函数有零点，求常数k 的取值范围；()()2g x kf x =-【答案】（1），，3a =6b =-()(),00,∞-+∞U （2） ()()2,00,2-⋃【解析】【分析】(1)根据函数的奇偶性和即可求出a ，b 的值，然后根据函数有意义的条件即可求出函()12f =数的定义域；(2)结合（1）的结论得到关于x 的方程有实数解，分离变量可得，312031x x k +-=-()()231031x xk x -=≠+然后根据函数的值域进行求解. 【小问1详解】 由，可得① ()12f =12ba=-又是奇函数，∴， ()f x ()()112f f -=-=- 即② 233aba=-联立①、②并注意到，解得， ， 0a >3a =6b =-所以，要使函数有意义，则有，解得： ()2131xf x =+-310x -≠0x ≠∴的定义域为. ()f x ()(),00,∞-+∞U 【小问2详解】∵，，∴， 3a =6b =-()()312231x xg x kf x k +=-=--∴有零点，即关于x 的方程有实数解，()g x 312031x x k +-=-∴有实数解，()()231031x xk x -=≠+∵，且， ()231423131x x x-=-++311x +>312x+≠∴且，()2312231x x--<<+()231031x x-≠+∴k 的取值范围是.()()2,00,2-⋃22. 已知，函数和函数.,a m ∈R ()4331x x a f x ⋅+=+()()2214h x mx m x =-++（1）若函数图象的对称中心为点，求满足不等式的的最小整数值； ()f x ()0,3()3log 3f t >t （2）当时，对任意的实数，若总存在实数使得成立，求正实数4a =-x ∈R []0,4t ∈()()f x h t =m 的取值范围.【答案】（1）；（2）．272++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）先根据题意可得，令可求出的值，再根据指对数恒等式即可得到关于()()6f x f x +-=0x =a t 的不等式，解出不等式即可求解；（2）根据题意可知，的值域是在上的值域的子集，先求出的值域，再根据()f x ()h t []0,4t ∈()f x 且，只需在上的最小值小于等于， 解出即可．0m >()04h =()h t []0,4t ∈4-【详解】（1）因为函数图象的对称中心为点，所以，令得，()f x ()0,3()()6f x f x +-=0x =，解得，所以，即，于是等价于()4032a f +==2a =()43231x x f x ⋅+=+()342log 1t f t t +=+()3log 3f t >，即，又，解得，故满足不等式的的最小整数为． 4231t t +>+()()110t t +->0t >1t >()3log 3f t >t 2（2）当时，， 4a =-()434843131x x x f x ⋅-==-++因为，所以的值域是． 83(0,)31(1,)(0,8)31xxx∈+∞⇒+∈+∞⇒∈+()f x ()4,4-依题意知，对任意的实数，若总存在实数使得成立，则的值域是x ∈R []0,4t ∈()()f x h t =()f x 在上的值域的子集，而且，所以在上不能单调递增， 且只()h t []0,4t ∈0m >()04h =()h t []0,4t ∈需在上的最小值小于等于，故()h t []0,4t ∈4-21()422142m h mm m +⎧≤-⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩216441474261m m m m m m ⎧---≤-⎪⇒⇒≥+⎨⎪≥⎩或（舍去）． (4)48412112426h m m m m m ≤-≤-⎧⎧⎪⎪⇒⇒≤-+⎨⎨><⎪⎪⎩⎩即正实数的取值范围为．m 72++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查函数的性质，对数恒等式，分式不等式的解法的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．结论点睛：一般地，已知函数，()[],,y f x x a b =∈()[],,y g x x c d =∈（1）若，，总有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()2max min f x g x <（2）若，，有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()2max max f x g x <（3）若，，有成立，故； []1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()2min max f x g x <（4）若，，有成立，故； []1,x a b ∃∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()2min min f x g x <（5）若，，有，则的值域是值域的子集 ．[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x =()f x ()g x。
四川省成都市七中2023-2024学年高一数学第一学期期末调研试题含解析
【详解】 函数的最大值为 5 ，最小值为 1 ，
2
2
A
1 2
5
2
1 2
3 2
，
k
1 2
5 2
1 2
1，
又
函数的周期 T
2
7 12
12
，
2 ，得 w 2 . w
可得函数的表达式为 y 3 sin(2x ) 1， 2
当 x 时，函数有最大值 5 ，
12
2
5 2
3 2
sin
2x
3
1
D.
y
sin
2x
3
1
8．函数
f
x
3cos
2x
6
的一条对称轴是（）
A. x 6
B. x 12
C. x 4
D. x 3
9．若幂函数的图象过点
，则它的单调递增区间是( )
A.(0，＋∞)
B.[0，＋∞)
C.(－∞，＋∞)
D.(－∞，0)
10．直线 kx y k 0k R 与圆 x2 y2 2 交点的个数为
故选：B
9、D
【解析】设幂函数为 y=xa，把点(2, 1 )代入，求出 a 的值，从而得到幂函数的方程，再判断幂函数的单调递增区间. 4
【详解】设 y＝xa，则 1 ＝2a，解得 a＝－2， 4
∴y＝x－2 其单调递增区间为(－∞，0)
故选 D.
【点睛】本题考查了通过待定系数法求幂函数的解析式,以及幂函数的主要性质. 10、A
四川省成都市七中 2023-2024 学年高一数学第一学期期末调研试题
注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑 色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
四川高一高中数学期末考试带答案解析
四川高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合，，则下列关系正确的是A．B．C．D．2.已知，则A．B．C．D．3.下列函数中与函数相等的是A．B．C．D．4.在中，已知，则A．B．C．D．5.函数的定义域是A．B．C．D．6.函数过定点A．B．C．D．7.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则A．B．C．D．8.若将函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式为A．B．C．D．9.已知则的值为A．1B．2C．3D．410.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图所示，那么点P所走的图形可能是11.函数的零点个数为A．0个B．1个C．2个D．3个12.设函数则满足的实数a的取值范围是A．B．C．D．二、填空题1.函数的最大值为__________．2.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系为自然对数的底数，为常数)．若该食品在0 ℃时的保鲜时间是100小时，在15 ℃时的保鲜时间是10小时，则该食品在30 ℃时的保鲜时间是__________小时.3.函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为__________．三、解答题1.已知．(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 求的值．2.已知集合，集合．(Ⅰ) 求；(Ⅱ) 若全集，求．3.已知函数．(Ⅰ) 求函数的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ) 若，求的最大值和最小值．4.已知函数（）.（Ⅰ）若为偶函数，用定义法证明函数在区间上是增函数；（Ⅱ）若在区间上有最小值－2，求的值．5.已知函数满足：①的最小正周期为；②当时，函数取得最大值；③的图象过点．(Ⅰ) 求函数的解析式；(Ⅱ) 若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于y轴对称，求m的值．6.已知函数（），．(Ⅰ) 若是幂函数，求a的值；(Ⅱ) 关于x的方程在区间上有两不同实根，求的取值范围．四川高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.集合，，则下列关系正确的是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题，.则根据子集的定义可得：.【考点】集合间的关系.2.已知，则A．B．C．D．【答案】B【解析】由三角诱导公式得：【考点】三角函数的诱导公式.3.下列函数中与函数相等的是A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数的定义得：函数相等则：定义域和解析式都相同。
成都市2024届数学高一下期末达标测试试题含解析
成都市2024届数学高一下期末达标测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落在正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b A =，则B 等于（ ）A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．303．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π） 4．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin （α+β2，则cosβ＝（） A ．3210B ．210C ．7210 D ．210或7210 5．已知函数f ：R +→R +满足：对任意三个正数x ，y ，z ，均有f （3xyzxy yz zx ++）3f x f y f z ++=（）（）（）.设a ，b ，c 是互不相等的三个正数，则下列结论正确的是（ ）A ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等差数列B ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c ）一定是等差数列 C ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等比数列 D ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c）一定是等比数列 6．已知数列满足，，则的值为（ ） A ．2B ．-3C ．D ．7．中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座，每位同学只能选择一门课程，则甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是（ ） A ．56B ．2536C ．13D ．11368．以n S ,T n 分别表示等差数列{}{}n b n a ，的前n 项和，若S 73n n nT n =+，则55a b 的值为A ．7B ．214C ．378 D ．239．某大学数学系共有本科生1 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．80B ．40C ．60D ．2010．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A ．38B ．34C ．35D ．45二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年四川省成都市成都高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市成都高一上册期末数学试题第I 卷（选择题，共60分）一.单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1.已知{M xx A =∈∣且}x B ∉，若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则M =（）A.{}2,4 B.{}6,8 C.{}1,3,5 D.{}1,3,6,8【正确答案】C【分析】根据集合M 的定义求解即可【详解】因为集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，{M xx A =∈∣且}x B ∉，所以{}1,3,5M =，故选：C2.已知α为第三象限角，且25sin 5α=-，则cos α=（）A.5B.55-C.5D.【正确答案】B【分析】利用同角三角函数的平方关系22sin cos 1αα+=，计算可得结果【详解】αQ为第三象限角，cos 0α∴<，22sin cos 1αα+= ，cos 5α∴===，故选：B.本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知a 为实数，使“[]3,4,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.4a ≥B.5a ≥ C.3a ≥ D.5a ≤【正确答案】B【分析】根据全称量词命题的真假性求得a 的取值范围，然后确定其充分不必要条件.【详解】依题意，全称量词命题：[]3,4,0x x a ∀∈-≤为真命题，a x ≥在区间[]3,4上恒成立，所以4a ≥，所以使“[]3,4,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是“5a ≥”.故选：B4.当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图像为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的图像，即可容易判断.【详解】∵a >1，∴0<1a<1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选：C.本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.5.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A.x y e -= B.3y x = C.ln y x= D.y x=【正确答案】B【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.【详解】对于A ，1xxy e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是R 上的减函数，不合题意；对于B ，3y x =是定义域是R 且为增函数，符合题意；对于C ，ln y x =，定义域是()0,∞+，不合题意；对于D ，y x =，定义域是R ，但在R 上不是单调函数，不合题，故选B.本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.6.已知函数()21log f x x x=-在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.()01，B.()12，C.()23， D.()34，【正确答案】B【分析】确定函数单调递增，计算()10f <，()20f >，得到答案.【详解】()21log f x x x =-在()0,∞+上单调递增，()110f =-<，()1121022f =-=>，故函数的零点在区间()12，上.故选：B 7.设0.343log 5,lg 0.1,a b c -===，则（）A.c<a<bB.b<c<aC.a b c<< D.c b a<<【正确答案】A【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可判断.【详解】因为3x y =在R 上单调递增，且30x y =>恒成立，所以0.300331-<<=，即01a <<，因为4log y x =在()0,∞+上单调递增，所以44log 541log b =>=，因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以lg 0.1lg10c =<=，综上.c<a<b 故选：A8.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A.若a ＜b ，则11a b> B.若a ＞b ＞0，则11b ba a+<+C.若a ＞b ，则22ac bc > D.若22ac bc >，则a ＞b【正确答案】D【分析】举反例说明选项AC 错误；作差法说明选项B 错误；不等式性质说明选项D 正确.【详解】当0a b <<时，11a b<，选项A 错误；()1011b b a ba a a a +--=>++，所以11b b a a +>+，所以选项B 错误；0c =时，22ac bc =，所以选项C 错误；22ac bc >时，a b >，所以选项D 正确.故选：D二.多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）9.已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A.函数()f x 为增函数B.函数()f x 为偶函数C.当4x ≥时，()2f x ≥D.当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【正确答案】AC【分析】设幂函数()f x 的解析式，代入点(9,3)，求得函数()f x 的解析式，根据幂函数的单调性可判断A 、C 项，根据函数()f x 的定义域可判断B 项，结合函数()f x 的解析式，利用单调递增可判断D 项.【详解】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.10.已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是（）A.5tan tan 66ππαα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.sin cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.2222tan sin tan sin αααα=- D.442sin cos 2sin 1ααα-=-【正确答案】BCD【分析】利用诱导公式分析运算即可判断AB ，根据平方关系和商数关系分析计算即可判断CD.【详解】解：对于A ，55tan tan tan 666πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；对于B ，sin sin cos 3266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；对于C ，22222222sin 1cos tan sin sin sin cos cos αααααααα-==⋅22222221sin 1sin sin tan sin cos cos ααααααα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，()()44222222sincos sin cos sin cos sin cos αααααααα-=+-=-()222sin 1sin 2sin 1ααα=--=-，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()22f x x x a =-+有两个零点1x ，2x ，以下结论正确的是（）A .1a < B.若120x x ≠，则12112x x a+=C.()()13f f -= D.函数有()y fx =四个零点【正确答案】ABC【分析】根据零点和二次函数的相关知识对选项逐一判断即可．【详解】二次函数对应二次方程根的判别式2(2)4440,1a a a ∆=--=-><，故A 正确；韦达定理122x x +=，12x x a =，121212112x x x x x x a++==，故B 正确；对于C 选项，()1123f a a -=++=+，()3963f a a =-+=+，所以()()13f f -=，故C 选项正确；对于D 选项，当0a =时，由()0y f x ==得220x x -=，所以1230,2,2xx x ==-=故有三个零点，则D 选项错误．故选:：ABC12.设,a b 为正实数，4ab =，则下列不等式中对一切满足条件的,a b 恒成立的是（）A.4a b +≥ B.228a b +≤ C.111a b+≥D.+≤【正确答案】AC【分析】根据特殊值以及基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，由基本不等式得4a b +≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，1,4a b ==时，4ab =，但22178a b +=>，B 选项错误.C 选项，由基本不等式得111a b +≥=，，当且仅当11,2a b a b ===时等号成立，C 选项正确.D 选项，1,4a b ==时，4ab =，但3=>D 选项错误.故选：AC第II 卷（选择题，共60分）三.填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数log (3)1a y x =-+（0,1a a >≠）的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为____.【正确答案】()4,1【分析】由log 10a =，令真数为1，即4x =代入求值，可得定点坐标．【详解】∵log 10a =，∴当4x =时，log 111a y =+=，∴函数的图像恒过定点()4,1故()4,114.已知角θ的终边经过点(),1(0)P x x >，且tan x θ=．则sin θ的值为_________【正确答案】2【分析】根据三角函数定义即可求解．【详解】由于角θ的终边经过点(),1(0)P x x >，所以1tan x xθ==，得1x =所以sin 2θ==故215.函数y =的定义域为_________.【正确答案】3{|1}4x x <≤【分析】根据根式、对数的性质有0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩求解集，即为函数的定义域.【详解】由函数解析式知：0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩，解得314x <≤，故答案为.3{|1}4x x <≤16.对于函数()xf x e =（e 是自然对数的底数），a ，b ∈R ，有同学经过一些思考后提出如下命题：①()()()f a f b f a b =⋅+；②()()()()af a bf b af b bf a +≥+；③3()12f a a ≥+；④()()22a b f a f b f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭.则上述命题中，正确的有______.【正确答案】①②④【分析】根据指数函数的单调性，结合基本不等式，特殊值代入，即可得到答案；【详解】对①，()()()a b a b f a f b e e e f a b +⋅=⋅==+，故①正确；对②，()()()()af a bf b af b bf a +≥+()()()()f a a b f b a b ⇔--，当a b =时，显然成立；当a b >时，()()f a f b >；当a b <时，()()f a f b <，综上可得：()()()()f a a b f b a b --成立，故②正确；对③，取12a =，1724f ⎛⎫= ⎪⎝⎭不成立，故③错误；对④，2()()222a b a be e a bf a f b ef ++++⎛⎫=⇒≤⎪⎝⎭，故④正确；故答案为：①②④本题考查指数函数的性质及基本不等式的应用，求解时还要注意特殊值法的运用.四.解答题：（本题共6小题，共70分17题10分，18-22题每小题12分.）17.（1）求值：()()()5242lg50.250.5lg5lg2lg20-+⨯+⨯+；（2）若tan 2α=，求22sin sin cos 1cos αααα++的值.【正确答案】（1）2.5；(2)1【分析】(1)应用指对数运算律计算即可;(2)根据正切值,弦化切计算可得.【详解】（1）()()()()()()524245lg50.250.5lg5lg2lg200.50.5lg5lg5lg2lg210.5lg5lg210.5112.5--+⨯+⨯+=⨯⨯+++=+++=++=+(2)因为tan 2α=,所以2222222sin sin cos sin sin cos tan tan 611cos sin 2cos tan 26αααααααααααα+++====+++18.已知集合{}2230A x x x =-->，{}40B x x a =-≤.（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）若A B = R ，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）()(]134∞--⋃，，（2）34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）代入1a =，求解集合A ，B ，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合B ，由并集为全集得出集合B 的范围，从而求出a 的范围.【小问1详解】解：由2230x x -->得1x <-或3x >.所以()()13A ∞∞=--⋃+，，.当1a =时，(]4B ∞=-，.所以()(]134A B ∞⋂=--⋃，，.【小问2详解】由题意知(4B a ∞=-，].又()()13A ∞∞=--⋃+，，，因为A B = R ，所以43a ≥.所以34a ≥.所以实数a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，.19.已知函数()332x xf x --=．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用单调性定义证明；（3）若()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立，求x 的取值范围．【正确答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）单调递增，证明见解析；（3）(]1,0-.【分析】（1）根据证明函数的奇偶性步骤解决即可；（2）根据单调性定义法证明即可；（3）根据奇偶性，单调性转化解不等式即可.【小问1详解】()332x xf x --=为奇函数，理由如下易知函数的定义域为(),-∞+∞，关于原点对称，因为33()()2---==-x xf x f x ，所以()f x 为奇函数.【小问2详解】()f x 在()0,∞+上的单调递增，证明如下因为()332x xf x --=，()0,x ∈+∞，设任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以()()()()121211221233333333222----------==-x x x x x x x x f x f x ()()121212121233133331333322⎛⎫-⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==x x x x x x x x x x 因为12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，所以1212330,330-<>x x x x ，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上的单调递增.【小问3详解】由（1）知()f x 为奇函数，由（2）知()f x 在()0,∞+上的单调递增，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，因为()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立，所以(1)(2)(2)->--=-f ax f x f x ，所以12ax x ->-对任意(],2a ∈-∞恒成立，令()()10g a xa x =+->，(],2a ∈-∞则只需0(2)2(1)0x g x x ≤⎧⎨=+->⎩，解得10-<≤x ，所以x 的取值范围为(]1,0-.20.有一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10%衰减（1）求两年后，这种放射性元素的质量；（2）求t 年后，这种放射性元素的质量w （单位为：g ）与时间t 的函数表达式；（3）由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期）．（精确到0.1年，已知：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【正确答案】（1）405g（2）5000.9tw =⨯（3）6.6年.【分析】(1)根据衰减率直接求解即可；(2)根据衰减规律归纳出函数表达式；(3)半衰期即为质量衰减为原来的一半，建立等式，利用换底公式求解.【小问1详解】经过一年后，这种放射性元素的质量为500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，即两年后，这种放射性元素的质量为405g【小问2详解】由于经过一年后，这种放射性元素的质量为1500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，……所以经过t 年后，这种放射性元素的质量5000.9t w =⨯.【小问3详解】由题可知5000.9250t ⨯=，即0.9lg 0.5lg 2log 0.5 6.6lg 0.92lg 31t -===≈-年.21.已知函数()()3312log ,log x x f x g x =-=．（1）求函数()()263y f x g x ⎡⎤=-+⎣⎦的零点；（2）讨论函数()()()2h x g x f x k ⎡⎤=---⎣⎦在[]1,27上的零点个数．【正确答案】（1）9（2）答案见解析．【分析】（1）由题知()2332log 5log 20x x -+=，进而解方程即可得答案；（2）根据题意，将问题转化为函数()2 21F t t t =-+-在[]0,3上的图像与直线y k =的交点个数，进而数形结合求解即可.【小问1详解】解：由()()2 630f x g x ⎡⎤-+=⎣⎦，得()233 12log 6log 30x x --+=，化简为()2332log 5log 20x x -+=，解得3 log 2x =或31 log 2x =，所以，9x =或x =所以，()()2 63y f x g x ⎡⎤=-+⎣⎦的零点为9．【小问2详解】解：由题意得()()233 log 2log 1h x x x k =-+--，令()0h x =，得()233 log 2log 1x x k -+-=，令3log t x =，[]1,27x ∈，则[]2 0,3,21t t t k ∈-+-=，所以()h x 在[]1,27上的零点个数等于函数()221F t t t =-+-在[]0,3上的图像与直线y k =的交点个数．()2 21F t t t =-+-在[]0,3上的图像如图所示．所以，当0k >或4k <-时，()F t 在[]0,3上的图像与直线y k =无交点，所以，()h x 在[]1,27上的零点个数为0；当0k =或41k -≤<-时()F t 在[]0,3上的图像与直线y k =有1个交点，所以，()h x 在[]1,27上的零点个数为1；当10k -≤<时，()F t 在[]0,3上的图像与直线y k =有2个交点，所以，()h x 在[]1,27上的零点个数为2．综上，当0k >或4k <-时，()h x 在[]1,27上的零点个数为0；当0k =或41k -≤<-时，()h x 在[]1,27上的零点个数为1；当10k -≤<时，()h x 在[]1,27上的零点个数为2．22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【正确答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m >，所以1m >且101m<<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，所以m 的取值范围是()1,2.已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
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最新成都高一期末考试难题汇编（含解析）高一培优第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共16小题）1．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a的值是（）A．B．3 C．D．22．已知函数y=sinx+1与y=在[﹣a，a]（a∈Z，且a＞2017）上有m个交点（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=（）A．0 B．m C．2m D．20173．数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），且，记S n为数列{b n}的前n项和，则S30=（）A．294 B．174 C．470 D．3044．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++2n﹣6，﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（）且（a n+1A．（﹣，）B．（﹣∞，）C．（﹣，6）D．（﹣2，）5．已知函数，若，则=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣26．已知平面向量，，满足，，且，则的取值范围是（）A．[0，2]B．[1，3]C．[2，4]D．[3，5]7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，]9．在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c ﹣b）=，则cosA+sinC的取值范围为（）A．B．C．D．10．定义符号函数为sgn（x）=，则下列命题：①|x|=x•sgn（x）；②关于x的方程lnx•sgn（lnx）=sinx•sgn（sinx）有5个实数根；③若lna•sgn（lna）=lnb•sgn（lnb）（a＞b），则a+b的取值范围是（2，+∞）；④设f（x）=（x2﹣1）•sgn（x2﹣1），若函数g（x）=f2（x）+af（x）+1有6个零点，则a＜﹣2．正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11．已知函数，那么下列命题正确的是（）A．若a=0，则y=f（x）与y=3是同一函数B．若0＜a≤1，则C．若a=2，则对任意使得f（m）=0的实数m，都有f（﹣m）=1D．若a＞3，则f（cos2）＜f（cos3）12．若实数a，b，c满足log a3＜log b3＜log c3，则下列关系中不可能成立的（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b13．已知f（x）=2sinx+cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）=（）A．B．C．D．14．已知数列{a n}、{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，都有，则=（）A．81 B．9 C．729 D．73015．三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面是边长为1的正三角形，高AA′=1，在AB上取一点P，设△PA′C′与底面所成的二面角为α，△PB′C′与底面所成的二面角为β，则tan（α+β）的最小值是（）A．B． C．D．16．给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点、、共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数y=b x+r（b≠0，b≠1，b、r均为常数）的图象上，则r的值为﹣1．（4）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共10小题）17．设a为自然对数的底数，若函数f（x）=a x（2﹣a x）+（a+2）|a x﹣1|﹣|a2|存在三个零点，则实数a的取值范围是．18．已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且，若，则k= ．19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB﹣bcosA=c，当tan（A﹣B）取最大值时，角B的值为．20．设e为自然对数的底数，若函数f（x）=e x（2﹣e x）+（a+2）•|e x﹣1|﹣a2存在三个零点，则实数a的取值范围是．21．已知数列{a n}满足则{a n}的通项公式．22．已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为．23．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数且满足f（x）+g（x）=e x，其中e是自然对数的底数，则比较f（e），f（3），g（﹣3）的大小．24．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m2﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是．25．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的序号是．①DC1⊥D1P②平面D1A1P⊥平面A1AP③∠APD1的最大值为90°④AP+PD1的最小值为．26．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对应边，且a，b，c成等比数列，则sinA（+）的取值范围是．三．解答题（共14小题）27．对于在区间[m，n]上有意义的函数f（x），满足对任意的x1，x2∈[m，n]，有|f（x1）﹣f（x2）≤1|恒成立，则称f（x）在[m．n]上是“友好”的，否则就称f（x）在[m，n]上是“不友好”的，现有函数f（x）=log3．（1）若函数f（x）在区间[m，m+1]（1≤m≤2）上是“友好”的，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程=1的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围．28．已知数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1=（）n（n∈N*），记T2n为{a n}的前2n项的和．（I）设b n=a2n，证明：数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求T2n；（III）不等式对于一切n∈N*恒成立，求实数k的最大值．29．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角．（I）证明：；（II）求sinA+sinC的取值范围．30．定义函数，其中x为自变量，a为常数．（I）若当x∈[0，2]时，函数f a（x）的最小值为一1，求a之值；（II）设全集U=R，集A={x|f3（x）≥f a（0）}，B={x|f a（x）+f a（2﹣x）=f2（2）}，且（∁U A）∩B≠∅中，求a的取值范围．31．已知数列{a n}满足．（1）设，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）记，求数列{c n}的前n项和T n．32．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（1）求tanA：tanB的值；的最大值．（2）若b=4，求S△ABC33．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且（n+1）a n=2S n（n∈N*），数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．34．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，都有f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x2．（I）当﹣2≤x≤0时，求f（x）的解析式；（II）设向量，若同向，求的值；（III）定义：一个函数在某区间上的最大值减去最小值的差称为此函数在此区间上的“界高”．求f（x）在区间[t，t+1]（﹣2≤t≤0）上的“界高”h（t）的解析式；在上述区间变化的过程中，“界高”h（t）的某个值h0共出现了四次，求h0的取值范围．35．若在定义域内存在实数x0使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立则称函数f（x）有“溜点x0”（1）若函数在（0，1）上有“溜点”，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）=lg（）在（0，1）上有“溜点”，求实数a的取值范围．36．函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③．（1）求证：f（x）在R上是单调增函数；（2）若f（4x+a•2x+1﹣a2+2）≥1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．37．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．38．已知f（n）是平面区域I n：（x，y∈R，n∈N*）内的整点（横纵坐标都是整数的点）的个数，记a n=2n f（n），数列{a n}的前n项和为S n（1）求数列{a n}的前n项和为S n（2）若对于任意n∈N*，≤c恒成立，求实数c的取值范围．39．对于无穷数列{x n}和函数f（x），若x n+1=f（x n）（n∈N+），则称f（x）是数列{x n}的母函数．（Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且；又数列{a n}满足．（1）求证：f（x）=x+2是数列{2n a n}的母函数；（2）求数列{a n}的前项n和S n．（Ⅱ）已知是数列{b n}的母函数，且b1=2．若数列的前n项和为T n，求证：．40．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，求数列{c n}的前n项和T n的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a的值是（）A．B．3 C．D．2【解答】解：如图所示，画出函数f（x）的图象，不妨设x1＜x2＜x3，则x1+x2=2×（﹣）=﹣3，又x1+x2+x3=﹣，∴x3=，∴a==．故选：A．2．已知函数y=sinx+1与y=在[﹣a，a]（a∈Z，且a＞2017）上有m个交点（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=（）A．0 B．m C．2m D．2017【解答】解：分别画出函数y=sinx+1与函数y=的图象，由图象可知，两个图象共有m个交点，均关于（1，0）成中心对称，∴（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=m，故选：B．3．数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），且，记S n为数列{b n}的前n项和，则S30=（）A．294 B．174 C．470 D．304【解答】解：∵na n=（n+1）a n+n（n+1），+1∴﹣=1，∴数列{}是等差数列，公差与首项都为1．∴=1+（n﹣1），可得a n=n2．∵，∴b n=n2cos，=（3k﹣2）2cos=﹣（3k﹣2）2，∴b3k﹣2=﹣（3k﹣1）2，同理可得b3k﹣1b3k=（3k）2，k∈N*．+b3k﹣1+b3k═﹣（3k﹣2）2﹣（3k﹣1）2+（3k）2=9k﹣，∴b3k﹣2则S30=9×（1+2+…+10）﹣×10=470，故选：C．4．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++2n﹣6，﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（）且（a n+1A．（﹣，）B．（﹣∞，）C．（﹣，6）D．（﹣2，）【解答】解：∵S n=（﹣1）n a n++2n﹣6，=（﹣1）n﹣1a n﹣1++2n﹣8，∴当n≥2时，S n﹣1两式相减得：a n=（﹣1）n a n++2n﹣6﹣[（﹣1）n﹣1a n﹣1++2n﹣8]，整理得：[1﹣（﹣1）n]a n=（﹣1）n a n﹣1+2﹣（n≥2），（*）又∵S n=（﹣1）n a n++2n﹣6，∴S1=（﹣1）a1++2﹣6，即a1=﹣，下面对n的奇偶性进行讨论：=﹣2，（1）当n为偶数时，化简（*）可知：a n﹣1∴a n=﹣2（n为奇数）；（2）当n为奇数时，化简（*）可知：2a n=﹣a n﹣1+2﹣，+2﹣，即a n﹣1=6﹣，即﹣4=﹣a n﹣1∴a n=6﹣（n为偶数）；于是a n=．﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，∵对任意n∈N*（a n+1）（p﹣a n）＜0恒成立．∴对任意n∈N*（p﹣a n+1}单调递减，数列{a2k}单调递增，又∵数列{a2k﹣1∴当n为奇数时，有：a n＜p＜a n+1，则a1＜p＜a1+1，即﹣＜p＜；＜p＜a n，当n为偶数时，有：a n+1＜p＜a2，即﹣＜p＜；则a2+1综上所述，﹣＜p＜，故选：A．5．已知函数，若，则=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：由已知可得：=log2=log2，可得：﹣sinα﹣cosα=2（﹣sinα+cosα），解得：tanα=3，则=log2=log2=log2 =log2=log2=﹣1．故选：C．6．已知平面向量，，满足，，且，则的取值范围是（）A．[0，2]B．[1，3]C．[2，4]D．[3，5]【解答】解：∵，，∴==4．∵，∴=﹣=cosα﹣3，设α为与的夹角．∴cosα=∈[﹣1，1]，解得∈[1，3]．故选：B．7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO 为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F 与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；故选：D．8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，]【解答】解：∵等差数列{a n}满足=1，∴（sina3cosa6﹣sina6cosa3）（sina3cosa6+sina6cosa3）=sin（a3+a6）=（sina3cosa6+sina6cosa3），∴sina3cosa6﹣sina6cosa3=1，即sin（a3﹣a6）=1，或sin（a3+a6）=0（舍）当sin（a3﹣a6）=1时，∵a3﹣a6=﹣3d∈（0，3），a3﹣a6=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=，d=﹣．∵=+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴﹣=9，化为．∴=．故选：C．9．在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c ﹣b）=，则cosA+sinC的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】（本题满分为12分）解：由：（a+b+c）（a+c﹣b）=，可得：，根据余弦定理得：，∵B是锐角，∴．∴，即，=，又△ABC是锐角三角形，∴，即，∴，∴，∴．故选：B．10．定义符号函数为sgn（x）=，则下列命题：①|x|=x•sgn（x）；②关于x的方程lnx•sgn（lnx）=sinx•sgn（sinx）有5个实数根；③若lna•sgn（lna）=lnb•sgn（lnb）（a＞b），则a+b的取值范围是（2，+∞）；④设f（x）=（x2﹣1）•sgn（x2﹣1），若函数g（x）=f2（x）+af（x）+1有6个零点，则a＜﹣2．正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①当x＞0时，x•sgn（x）=x，当x=0时，x•sgn（x）=0，当x＜0时，x•sgn（x）=﹣x．故|x|=x•sgn（x）成立，故①正确；②设f（x）=lnx•sgn（lnx），当lnx＞0即x＞1时，f（x）=lnx，当lnx=0即x=1时，f（x）=0，当lnx＜0即0＜x＜1时，f（x）=﹣lnx，作出y=f（x）的图象（如右上）；设g（x）=sinx•sgn（sinx），当sinx＞0时，g（x）=sinx，当sinx=0时，g（x）=0，当sinx＜0时，g（x）=﹣sinx，画出y=g（x）的图象（如右上），由图象可得y=f（x）和y=g（x）有两个交点，则关于x的方程lnx•sgn（lnx）=sin x•sgn（sinx）有2个实数根，故②错误；③若lna•sgn（lna）=lnb•sgn（lnb）（a＞b），则a＞1，0＜b＜1，即有lna=﹣lnb，可得lna+lnb=0，即ab=1，则a+b＞2=2，则a+b的取值范围是（2，+∞），故③正确；④设f（x）=（x2﹣1）•sgn（x2﹣1），当x2﹣1＞0即x＞1或x＜﹣1，即有f（x）=x2﹣1，当x2﹣1=0即x=±1，f（x）=0，当x2﹣1＜0即﹣1＜x＜1，f（x）=1﹣x2，作出f（x）的图象，（如下图）令t=f（x），可得函数y=t2+at+1，若函数g（x）=f2（x）+af（x）+1有6个零点，则t2+at+1=0有6个实根，由于t=0不成立，方程t2+at+1=0的两根，一个大于1，另一个介于（0，1），则即为，解得a＜﹣2，故④正确．故正确的个数有3个．故选：D．11．已知函数，那么下列命题正确的是（）A．若a=0，则y=f（x）与y=3是同一函数B．若0＜a≤1，则C．若a=2，则对任意使得f（m）=0的实数m，都有f（﹣m）=1D．若a＞3，则f（cos2）＜f（cos3）【解答】解：对于A，若a=0，则y=f（x）的定义域为{x|x≠0}，y=3定义域为R，不是同一函数，故错；对于B，若0＜a≤1时，可得函数f（x）在[﹣，]上为增函数，∵=，故错；对于C，a=2时，f（x）=，f（x）+f（﹣x）==，∴则对任意使得f（m）=0的实数m，都有f（﹣m）=1，正确；对于D，当a＞3时，f（x）在[﹣，]上为增函数，且cos2＞cos3，则f（cos2）＞f（cos3），故错．故选：C．12．若实数a，b，c满足log a3＜log b3＜log c3，则下列关系中不可能成立的（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵实数a，b，c满足log a3＜log b3＜log c3，y=log m3（0＜m＜1）是减函数，y=log m3（m＞1）是增函数，∴当a，b，c均大于1时，a＞b＞c＞1；当a，b，c均小于1时，1＞a＞b＞c＞0；当a，b，c中有1个大于1，两个小于1时，c＞1＞a＞b＞0；当a，b，c中有1 个小于1，两个大于1时，b＞c＞1＞a＞0．故选：A．13．已知f（x）=2sinx+cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵α、β是函数g（x）=2sinx+cosx﹣m在（0，π）内的两个零点，即α、β是方程2sinx+cosx=m在（0，π）内的两个解，∴m=2sinα+cosα=2sinβ+cosβ，即2sinα﹣2sinβ=cosβ﹣cosα，∴2×2×cos sin=﹣2sin sin，∴2cos=sin，∴tan=2，∴cos（α+β）===﹣，故选：D．14．已知数列{a n}、{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，都有，则=（）A．81 B．9 C．729 D．730【解答】解：数列{a n}、{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，都有，设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，令n=1，可得=1，∴a1=b1．再令n=2，可得==，即1+2q=5+5q′，即2q﹣4=5q′①．再令n=3，可得==7，即1+q+q2=7+7q′+7q′2，即q+q2=6+7q′+7q′2②．由①②求得q=9，q′=3，则===9，故选：B．15．三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面是边长为1的正三角形，高AA′=1，在AB上取一点P，设△PA′C′与底面所成的二面角为α，△PB′C′与底面所成的二面角为β，则tan（α+β）的最小值是（）A．B． C．D．【解答】解：记P在A′B′=1上的投影为P′，A′P′=t，则B′P′=1﹣t，由图形得tanα==，tanβ=，∴tan（α+β）===≥﹣．∴tan（α+β）的最小值是﹣．故选：C．16．给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点、、共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数y=b x+r（b≠0，b≠1，b、r均为常数）的图象上，则r的值为﹣1．（4）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：（1）若{a n}是等差数列，则S n=na1+，∴=a1﹣+n，即是关于n的一次函数，∴{}是等差数列，∴三点、、共线，故（1）正确；（2）若{a n}是公比为﹣1的等比数列，当m为偶数时，有S m=S2m=S3m=0，显然结论错误；故（2）错误；（3）S n=b n+r，当n=1时，a1=S1=b+r，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=b n+r﹣（b n﹣1+r）=b n﹣b n﹣1=（b﹣1）b n﹣1，又因为{a n}为等比数列，所以r=﹣1，故（3）正确；（4）n=1时，a1=2；当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=2+=2n；∴S n==2n+1﹣2，故（4）正确．故选：B．二．填空题（共10小题）17．设a为自然对数的底数，若函数f（x）=a x（2﹣a x）+（a+2）|a x﹣1|﹣|a2|存在三个零点，则实数a的取值范围是（1，2]．【解答】解：令t=a x﹣1，a x=t+1，f（t）=1﹣t2+（a+2）|t|﹣a2，令m=|t|=|a x﹣1|，则f（m）=﹣m2+（a+2）m+1﹣a2，∵f（x）有3个零点，∴根据m=|t|=|a x﹣1|，可得f（m）的一根在（0，1），另一根在[1，+∞），∴，∴a∈（1，2]．故答案为：（1，2]．18．已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且，若，则k= ．【解答】解：设R为三角形△ABC的外接圆的半径，∵O是三角形△ABC的外接圆的圆心，∴，，由，可得+=k=k•R2，∴k=2cosCsinB+2sinCcosB=2sinA，∵，∴．∴．故答案为：．19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB﹣bcosA=c，当tan（A﹣B）取最大值时，角B的值为．【解答】解：在△ABC中，∵acosB﹣bcosA=c，由正弦定理定理可得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B），化为：tanA=3tanB＞0，∴tan（A﹣B）===≤=，当且仅当tanB=，即B=时取等号．故答案为：．20．设e为自然对数的底数，若函数f（x）=e x（2﹣e x）+（a+2）•|e x﹣1|﹣a2存在三个零点，则实数a的取值范围是（1，2]．【解答】解：令t=e x﹣1，e x=t+1，f（t）=1﹣t2+（a+2）|t|﹣a2，令m=|t|=|e x﹣1|，则f（m）=﹣m2+（a+2）m+1﹣a2，∵f（x）有3个零点，∴根据m=|t|=|e x﹣1|，可得f（m）的一根在（0，1），另一根在[1，+∞），∴∴a∈（1，2]．故答案为（1，2]．21．已知数列{a n}满足则{a n}的通项公式．【解答】解：∵数列{a n}满足，①∴当n≥2时，仿仿写一个式子②①﹣②得，∴a n=2n+1n≥2，当n=1时，a1=6，∴{a n}的通项公式a n=故答案为：a n=22．已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为λ＜2 ．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），∴，化为，∴数列是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴，∴b n=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）•2n，+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴n≥2时，（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，化为λ＜n+1，∵数列{n+1}为单调递增数列，∴λ＜3．n=1时，b2=（1﹣λ）×2＞﹣λ=b1，解得λ＜2．综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2．故答案为：λ＜2．23．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数且满足f（x）+g（x）=e x，其中e是自然对数的底数，则比较f（e），f（3），g（﹣3）的大小f（e）＜f（3）＜g（﹣3）．【解答】解；∵函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数且满足f（x）+g（x）=e x，①∴f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，即﹣f（x）+g（x）=e﹣x，②两式联立得，f（x）=，则函数f（x）为增函数，∴f（e）＜f（3），∵g（x）偶函数，∴g（﹣3）=g（3），∵g（3）=，f（3）=，∴f（3）＜g（﹣3），综上：f（e）＜f（3）＜g（﹣3）．故答案为：f（e）＜f（3）＜g（﹣3）．24．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m2﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，令g（x）=t，y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3，由于函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，t=x2﹣2x+2m2﹣1，则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，函数t=x2﹣2x+2m2﹣1的对称轴x=1，则t的最小值为1﹣2+2m2﹣1=2m2﹣2，由图可知，2t1+1=﹣m，则，由于t1是交点横坐标中最小的，满足＞2m2﹣2①，又0＜m＜3②，联立①②得0＜m＜．∴实数m的取值范围是（0，）．故答案为：．25．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的序号是①②④．①DC1⊥D1P②平面D1A1P⊥平面A1AP③∠APD1的最大值为90°④AP+PD1的最小值为．【解答】解：对于①，∵A1D1⊥平面D1DCC1，DC1⊂平面D1DCC1，∴A1D1⊥DC1，又A1B⊥DC1，A1D1∩A1B=A1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂平面D1DCC1，∴DC1⊥D1P，故①正确对于②，∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，且D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，故②正确；对于③，在△D1AP中，由余弦定理可知，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，故③错误；对于④，将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△AA1D1中，利用余弦定理解三角形得AD1=，故④正确．故答案为：①②④．26．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对应边，且a，b，c成等比数列，则sinA（+）的取值范围是（，）．【解答】解：∵△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∵a，b，c成等比数列，sin2B=sinAsinC设a，b，c分别为a，aq，aq2．则有⇒⇒．sinA（）=sinA（）=sinA=∴sinA（+）的取值范围是：（，）三．解答题（共14小题）27．对于在区间[m，n]上有意义的函数f（x），满足对任意的x1，x2∈[m，n]，有|f（x1）﹣f（x2）≤1|恒成立，则称f（x）在[m．n]上是“友好”的，否则就称f（x）在[m，n]上是“不友好”的，现有函数f（x）=log3．（1）若函数f（x）在区间[m，m+1]（1≤m≤2）上是“友好”的，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程=1的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=log3（a+）在[m，m+1]上单调递减，∴f（x）的最大值为f（m）=log3（），f（x）的最小值为log3（）．∵函数f（x）在区间[m，m+1]（1≤m≤2）上是“友好”的，∴log3（）﹣log3（+a）≤1，即，∴a≥﹣•．令g（m）=﹣•，则g′（m）=，∴当1≤m≤时，g′（m）＜0，当＜m≤2时，g′（m）＞0，又g（1）=﹣，g（2）=﹣，∴g（m）的最大值为﹣．∴a≥﹣．又对于任意的x∈[m，m+1]，恒成立，a＞﹣恒成立，即a＞﹣≥﹣，综上，a的取值范围是[﹣，+∞）．（2）∵，即=（a﹣3）x+2a﹣4＞0，且（a﹣3）x+2a﹣4≠1，①∴（a﹣3）x2+（a﹣4）x﹣1=0，即[（a﹣3）x﹣1]（x+1）=0，②当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=2时，方程②的解为x=﹣1，代入①，不成立．当a≠2且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=．将x=﹣1代入①，则（a﹣3）x+2a﹣4=a﹣1＞0且a﹣1≠1，∴a＞1且a≠2，将x=代入①，则（a﹣3）x+2a﹣4=2a﹣3＞0，且2a﹣3≠1，所以a＞且a≠2．要使方程有且仅有一个解，则1＜a≤，综上，a的取值范围为{a|1＜a≤或a=3}．28．已知数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1=（）n（n∈N*），记T2n为{a n}的前2n项的和．（I）设b n=a2n，证明：数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求T2n；（III）不等式对于一切n∈N*恒成立，求实数k的最大值．【解答】（1）证明：====，∴数列{b n}是等比数列，公比为．（2）解：由（1）可得：b1=a2=．∴b n=．∴n=2k时，a n=a2k=b k=．n=2k﹣1时，a n=a2k﹣1===．∴T2n=（a1+a3+……+a2n﹣1）+（a2+a4+……+a2n）=+=+=3．（3）解：由不等式对于一切n∈N*恒成立，由（1）和（2）结论有：+64•≤，∴k≤﹣﹣64，由双勾函数与正弦函数易得当n=3时，﹣﹣64有最小值﹣49．∴k的最大值为﹣49．29．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角．（I）证明：；（II）求sinA+sinC的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，∴==，∴sinB=cosA，∴sinB=sin（+A），∵B为钝角，∴∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（2A+）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=﹣2sin2A+sinA+1=﹣2（sinA﹣）2+，∵0＜A＜，∴0＜sinA＜，∴＜﹣2（sinA﹣）2+≤，∴sinA+sinC的取值范围是（，]．30．定义函数，其中x为自变量，a为常数．（I）若当x∈[0，2]时，函数f a（x）的最小值为一1，求a之值；（II）设全集U=R，集A={x|f3（x）≥f a（0）}，B={x|f a（x）+f a（2﹣x）=f2（2）}，且（∁U A）∩B≠∅中，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）令t=2x，∵x∈[0，2]，∴t∈[1，4]，设φ（t）=t2﹣（a+1）t+a，t∈[1，4]…（1分）1°当，即a≤1时，f min（x）=φ（1）=0，与已知矛盾；…（2分）2°当，即，解得a=3或a=﹣1，∵1＜a＜7，∴a=3；…（3分）3°当，即a≥7，f min（x）=φ（4）=16﹣4a﹣4+a=1，解得，但与a≥7矛盾，故舍去…（4分）综上所述，a之值为3…（5分）（Ⅱ）∁U A={x|4x﹣4•2x+3＜0}={x|0＜x＜log23}…（6分）B={x|4x﹣（a+1）•2x+a+42﹣x﹣（a+1）•22﹣x+a=6}=．…（7分）由已知（∁U A）∩B≠∅即﹣（a+1）（）+2a﹣6=0在（0，log23）内有解，令t=，则t∈[4，5），方程（t2﹣8）﹣（a+1）t+2a﹣6在[4，5）上有解，也等价于方程在t∈[4，5）上有解…（9分）∵在t∈[4，5）上单调递增，…（10分）∴h（t）∈[﹣1，2）…（11分）故所求a的取值范围是[﹣1，2）…（12分）31．已知数列{a n}满足．（1）设，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）记，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}满足，可得：，设，数列{b n}是等差数列，公差为1，首项为1，所以b n=n；（2）易得，其前n项和：S n=1•21+2•22+3•23+…+n•2n…①，2S n=1•22+2•23+…+n•2n+1…②，②﹣①可得：S n=﹣1﹣22﹣23﹣…﹣2n+n•2n+1∴；（3）=，=或写成．32．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（1）求tanA：tanB的值；的最大值．（2）若b=4，求S△ABC【解答】解：（1）由正弦定理，结合三角形中和差角公式得：，从而sinAcosB=4sinBcosA，即tanA：tanB=4；（2）由（1）知内角A、B均为锐角，如图所示过C作CD垂直于AB垂足为D．设|CD|=m，|AD|=n，由题意结合tanA：tanB=4，得：|BD|=4n，且m2+n2=b2=16，所以时，．的最大值为20．故S△ABC33．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且（n+1）a n=2S n（n∈N*），数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵（n+1）a n=2S n，∴，n∈N*当n≥2时，，∴na n=（n﹣1）a n，即（n≥2）．﹣1∴（n≥2），又a1=1，也满足上式，故数列{a n}的通项公式a n=n（n∈N*）．．由，，，可知：数列{b n}是等比数列，其首项、公比均为，∴数列{b n}的通项公式：b n=．（2）∵a n b n=n．∴T n=+3×+…+n．=+…+（n﹣1）+n，∴T n=+…+﹣n=﹣n，∴．又S n=1+2+…+n=．不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，即λn+＜2，即（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0，（n∈N*）恒成立．设f（n）=（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6，（n∈N*）．当λ=1时，f（n）=﹣n﹣6＜0恒成立，则λ=1满足条件；当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；当λ＞1时，由于对称轴x=＜0，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，∴f（n）≤f（1）=﹣3λ﹣4＜0恒成立，则λ＞1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．34．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，都有f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x2．（I）当﹣2≤x≤0时，求f（x）的解析式；（II）设向量，若同向，求的值；（III）定义：一个函数在某区间上的最大值减去最小值的差称为此函数在此区间上的“界高”．求f（x）在区间[t，t+1]（﹣2≤t≤0）上的“界高”h（t）的解析式；在上述区间变化的过程中，“界高”h（t）的某个值h0共出现了四次，求h0的取值范围．【解答】解：（I）设﹣2≤x≤﹣1，则0≤x+2≤1，∴f（x+2）=（x+2）2=﹣f（x），∴f（x）=﹣（x+2）2；设﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，∴f（﹣x）=（﹣x）2=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2．综上：当﹣2≤x≤0时，．（II）由题：，∴，所以．∵sinθcosθ＞0，∴θ可能在一、三象限，若θ在三象限，则反向，与题意矛盾；若θ在一象限，则同向．综上，θ只能在一象限．∴，∴，（※）由f（x+2）=﹣f（x）得f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），所以（※）式=（或0.16）（III）先说明对称性（以下方法均可）：法一：由（II）：f（x+4）=f（x），再由已知：f（x）是奇函数且f（x+2）=﹣f（x），得f（x﹣2）=﹣f（x）=f（﹣x），令x为﹣x，得f（﹣2﹣x）=f（x），∴f（x）的图象关x=﹣1对称．法二：由（I）：x∈[﹣1，0]时，f（﹣2﹣x）=﹣（﹣2﹣x）2=﹣（x+2）2=f（x）；x∈[﹣2，﹣1]时，f（﹣2﹣x）=﹣（﹣2﹣x+2）2=﹣x2=f（x），综上：f（x）在[﹣1，0]和[﹣2，﹣1]上的图象关于x=﹣1对称．法三：由画出图象说明f（x）在[﹣2，﹣1]和[﹣1，0]上的图象关于x=﹣1对称也可．设f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则h（t）=M（t）﹣m（t）．显然：区间[t，t+1]的中点为．所以，如图：（i）当t≥﹣2且，即时，M（t）=﹣（t+2）2，m（t）=﹣1，∴h（t）=M（t）﹣m（t）=﹣（t+2）2+1；（ii）当t+1≤0且，即时，M（t）=﹣（t+1）2，m（t）=﹣1，∴h（t）=M（t）﹣m（t）=﹣（t+1）2+1；（iii）当﹣1≤t≤0时，M（t）=（t+1）2，m（t）=﹣t2，∴h（t）=M（t）﹣m （t）=（t+1）2+t2=2t2+2t+1．综上：．根据解析式分段画出图象，并求出每段最值（如图），由图象可得：．35．若在定义域内存在实数x0使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立则称函数f（x）有“溜点x0”（1）若函数在（0，1）上有“溜点”，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）=lg（）在（0，1）上有“溜点”，求实数a的取值范围．【解答】（本题满分12分）解：（1）在（0，1）上有“溜点”，即f（x+1）=f（x）+f（1）在（0，1）上有解，即在（0，1）上有解，整理得在（0，1）上有解，从而h（x）=4mx﹣1与的图象在（0，1）上有交点，故h（1）＞g（1），即，得，（2）由题已知a＞0，且在（0，1）上有解，整理得，又．设，令t=2x+1，由x∈（0，1）则t∈（1，3）．于是则．从而．故实数a的取值范围是．36．函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③．（1）求证：f（x）在R上是单调增函数；（2）若f（4x+a•2x+1﹣a2+2）≥1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：令x=，y=3得f（1）=[f（）]3，∵．∴所以f（1）＞1．令x=1，则f（xy）=f（y）=[f（1）]y，即f（x）=[f（1）]x，为底数大于1的指数函数，所以函数f（x）在R上单调递增．（2）f（xy）=[f（x）]y中令x=0，y=2有f（0）=[f（0）]2，对任意x∈R，有f （x）＞0，故f（0）=1，f（4x+a•2x+1﹣a2+2）≥1即f（4x+a•2x+1﹣a2+2）≥f（0），由（1）有f（x）在R上是单调增函数，即：4x+a•2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立令2x=t，t＞0则t2+2at﹣a2+2≥0在（0，+∞）上恒成立．i）△≤0即4a2﹣4（2﹣a2）≤0得﹣1≤a≤1；ii）得．综上可知．37．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分13分）（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，∵E为BC的中点，∴AE⊥BC…（1分）又∵BC∥AD，∴AE⊥AD…（2分）∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE…（3分）而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD．…（5分）（2）解法一：H为PD上任意一点，连接AH，EH，由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角，…（6分）在RT△EAH中，，∴当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．…（7分）此时，∴，又∵AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2…（8分）∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD，过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，…（10分）在RT△AOE中，，又F是PC的中点，在RT△ASO中，，又，…（11分）在RT△ESO中，即所求二面角的余弦值为．…（13分）（2）解法二：由（1）可知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AP=a，则A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（，，），H（0，2﹣2λ，aλ）（其中λ∈[0，1]），…（6分）∴，面PAD的法向量为，，∵EH与平面PAD所成最大角的正切值为…（7分）∴的最大值为，即f（a）=（a2+4）λ2﹣8λ+7在λ∈[0，1]的最小值为5，∵函数f（a）对称轴，∴f（a）min=，解得a=2…（9分）∴=（，0，0），=（，，1）设平面AEF的一个法向量为=（x1，y1，z1），则∴，取z1=﹣1，则=（0，2，﹣1）…（11分）为平面AFC的一个法向量．…（12分）∴∴所求二面角的余弦值为…（13分）38．已知f（n）是平面区域I n：（x，y∈R，n∈N*）内的整点（横纵坐标都是整数的点）的个数，记a n=2n f（n），数列{a n}的前n项和为S n （1）求数列{a n}的前n项和为S n（2）若对于任意n∈N*，≤c恒成立，求实数c的取值范围．【解答】解：（1）f（1）=3，f（2）=6，f（3）=9．由x＞0，﹣nx+3n≥y＞0，得0＜x＜3，∴x=1或x=2．∴I n内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=﹣nx+3n为l，l与直线x=1，x=2的交点的纵坐标分别为y1，y2，则y1=﹣n+3n=2n，y2=﹣2n+3n=n，∴f（n）=3n；a n=2n f（n）=3n•2n，前n项和为S n=3•2+6•22+9•23+…+3n•2n，2S n=3•22+6•23+9•24+…+3n•2n+1，两式相减可得，﹣S n=6+3（22+23+24+…+2n）﹣3n•2n+1，=6+3•﹣3n•2n+1，化简可得，S n=6+3（n﹣1）•2n+1；（2）若对于任意n∈N*，≤c恒成立，即为≤c恒成立，可令b n=，由=，当n=1，2时，b1＜b2=b3，当n≥3时，b3＞b4＞b5＞…，则b2=b3为最大值．则c≥．39．对于无穷数列{x n}和函数f（x），若x n+1=f（x n）（n∈N+），则称f（x）是数列{x n}的母函数．（Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且；又数列{a n}满足．（1）求证：f（x）=x+2是数列{2n a n}的母函数；（2）求数列{a n}的前项n和S n．（Ⅱ）已知是数列{b n}的母函数，且b1=2．若数列的前n项和为T n，求证：．【解答】解：（Ⅰ）（1）由题知，且．∴f（x）=x+2是数列{2n a n}的母函数；…3分（2）由（1）知：{2n a n}是首项和公差均为2的等差数列，故．∴①∴②两式相减得：．S n=，∴…6分（Ⅱ）由题知：，b1=2．∴．从而是以为首项，为公比的等比数列，∴…8分又，故当n≥2时⇒…12分40．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，求数列{c n}的前n项和T n的取值范围．=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1），【解答】（1）证明：∵a n+1∴数列{a n+1}是等比数列．（2）解：由（1）及已知{a n+1}是等比数列，公比q=2，首项为a1+1=2，∴a n+1=2•2n﹣1=2n，∴．（3）解：=﹣，∴=＜1，设f（n）=1﹣，则f（n）是增函数，∴当n=1时，f（n）取得最小值f（1）=．∴T n的取值范围是[，1）．。