合肥市名校2019-2020学年数学高二下期末预测试题含解析

合肥市名校2019-2020学年数学高二下期末预测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的函数()y f x =在[1,)+∞上单调递减，且(1)y f x =+是偶函数，不等式(2)(1)f m f x +≥-对任意的[1,0]x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3,1]-B ．(,3][1,)-∞-+∞C ．[4,2]-D ．[3,1]--【答案】A 【解析】 【分析】根据(1)y f x =+是偶函数可以得出函数的对称轴，再根据函数()y f x =在[1,)+∞上单调递减可以得出函数()y f x =在R 上的单调区间，从而解出不等式(2)(1)f m f x +≥-对任意的[1,0]x ∈-恒成立时m 的取值范围． 【详解】(1)y f x =+是偶函数，所以()()11f x f x -+=+得出函数的对称轴为1x =，又因为函数()y f x =在[1,)+∞上单调递减，所以()y f x =在(],1-∞上单调递增．因为[1,0]x ∈-，所以211x -≤-≤-．因为不等式(2)(1)f m f x +≥-对任意的[1,0]x ∈-恒成立，所以12331m m -≤+≤⇒-≤≤．选择A 【点睛】本题主要考查了函数的对称轴和奇偶性的综合问题，在解决此类题目时要搞清楚每一个条件能得出什么结论，把这些结论综合起来即得出结果．属于较难的题目． 2．定义在上的函数满足,,且时,,则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由于，因此函数为奇函数，，故函数的周期为4，，即，，，故答案为C考点：1、函数的奇偶性和周期性；2、对数的运算3．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．π C ．23πD ．2π【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO⊥DN 交DN 于点O ，可得BO⊥平面ACD ． 因为在△BDN 中，3BN DN ==，所以，BD 1＝BN 1+DN 1﹣1BN•DN•cos∠BND 1332343=+-⨯⨯=， 则BD ＝1．故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的14，又正四面体的高为棱长的63，故662R ==． 因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244()3R πππ=⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．4．小红和小明利用体育课时间进行投篮游戏，规定双方各投两次，进球次数多者获胜．已知小红投篮命中的概率为35，小明投篮命中的概率为12，且两人投篮相互独立，则小明获胜的概率为（ ） A ．1225 B ．25C ．825D ．625【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，用(,)x y 表示小明、小红的进球数 ，所以当小明获胜时，进球情况应该是(2,0),(2,1),(1,0)，由相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求得。

【详解】由题意可知，用(,)x y 表示小明、小红的进球数 ，所以当小明获胜时，进球情况应该是(2,0),(2,1),(1,0)，小明获胜的概率是22222112213133131326111252552525252525P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯-=++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选D 。

【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式的应用，意在考查学生分类讨论思想意识以及运算能力。

5．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14）内的频数为（ ）A ．780B ．680C ．648D ．460【答案】B 【解析】试题分析：频率分布直方图中每个小方块的面积就是相应的频率，因此所求结论为1000(0.0240.0342)1000680-⨯+⨯⨯⨯=.考点：频率分布直方图.6．已知定义在R 上的函数(1)y f x =+的图象关于1x =-对称，且当0x >时，()f x 单调递增，若1.350.5(log 3),(0.5),(0.6)a f b f c f -===，则,,a b c 的大小关系是A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】D 【解析】分析：由题意可得函数()f x 为偶函数，再根据函数的单调性，以及指数函数和对数函数的性质比较即可得到结果 详解：定义在R 上的函数()1y f x =+的图象关于1x =-对称，∴函数()f x 的图象关于y 轴对称即函数()f x 为偶函数0.523log 3log =-()()0.523log 3f log f ∴=21log 32<<， 1.3 1.30.522-=>，500.61<<当0x >时，()f x 单调递增b ac ∴>>故选D点睛：本题利用函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小，根据单调性的概念，只要判定输入值的大小即可判断函数值的大小。

7．如图12,F F 分别是椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>> 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 3B ．12C 2D 31【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，求得A 点坐标，代入椭圆方程，结合椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率． 【详解】由题意知A 2c ⎛- ⎝⎭，把A 代入椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，得22223144c c a b+=， ∴()()2222222234a cca c a a c -+=-，整理，得42840e e -+=，∴24e =±∵0＜e ＜1，∴1e =，故选D. 【点睛】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．22y x =- B ．1()2xy =C ．2y log x =D ．()2112y x =- 【答案】D 【解析】 【分析】根据,x y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系. 【详解】根据实验数据可以得出，x 近似增加一个单位时，y 的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较接近()2112y x =-，故选D. 【点睛】本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养. 9．已知函数()xf x e =，()1ln22x g x =+的图象分别与直线()0y m m =>交于,A B 两点，则AB 的最小值为( )A ．2B ．2ln2+C ．21+2e D ．32ln2e - 【答案】B 【解析】由题意，()12,,2,m A lnm m B e m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中，122m e lnm ->，且0m >，所以122m AB e lnm -=-.令12y 2,0x elnx x -=->，则121y 2x ex--'=，y '为增函数. 令y 0'=，得12x =. 所以102x <<.时y 0'<，12x >时y 0'>, 所以12y 2,0x e lnx x -=->在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.所以12x =时, 22min AB ln =+. 故选B.点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本题中有以下几个难点：（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式； （2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理. 10．命题“0x ∃>，使23x x >”的否定是（ ） A ． 0x ∀>，使23x x B ． 0x ∃>，使23x x ≤ C ． 0x ∀，使23x x D ． 0x ∃，使23x x ≤【答案】A 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果. 【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“0x ∃>，使23x x >”的否定是“0x ∀>，使23x x ”. 故选A 【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改量词与结论即可，属于基础题型. 11．知2()f x ax bx =+是定义在[1,3]a a -上的偶函数，那么a b +=（ ）A ．14B ．14-C ．12D ．12-【答案】A 【解析】分析：偶函数的定义域满足关于原点对称，且()()f x f x =-由此列方程解a b ， 详解：()2f x ax bx =+是定义在[]1,3a a -上的偶函数，所以11304a a a -+=⇒=()()f x f x =-，解得0b =，故选A点睛：偶函数的定义域满足关于原点对称，且()()f x f x =-，二次函数为偶函数对称轴为y 轴。

12．设袋中有大小相同的80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．46801010100C C C B ．64801010100C C C C ．46802010100C C CD ．64802010100C C C 【答案】D 【解析】本题是一个古典概型，∵袋中有80个红球20个白球，若从袋中任取10个球共有10100C 种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有648020C C 种取法，由古典概型公式得到P= 64802010100C C C ⋅， 本题选择B 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数． (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 二、填空题：本题共4小题13．已知函数3()2ln f x x x =+，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________． 【答案】4- 【解析】 【分析】利用导数求出切线斜率，根据点斜式求得切线方程，将圆心坐标代入切线方程，进而可得结果.【详解】因为(1)12ln11f =+=，22()3f x x x'=+， 切线的斜率(1)325k f '==+=，所以切线方程为15(1)y x -=-，即540x y --=. 因为圆22:()2C x y a +-=的圆心为()0,a ，所以40a --=，所以实数a 的值为-4,故答案为-4. 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.14．已知直线1x ya b+=（a ，b 是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有______条（用数字作答）. 【答案】60 【解析】 【分析】直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考察圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合组合知识分类解答. 【详解】依题意直线,x y 截距均不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点， 圆22100x y +=上的横坐标和纵坐标均为整数的点有12个， 分别为(6,8),(6,8),(8,6),(8,6),(10,0),(0,10)±-±±-±±±， 前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点过任意两点，构成21266C =条直线，有4条垂直x 轴， 有4条直线垂直y 轴，还有6条直线过原点（圆上点的对称性）， 满足条件的直线有52条.综上可知满足条件的直线共有52860+=条. 故答案为：60. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用组合知识是解题的关键，注意直线截距式方程的限制条件，属于中档题.15．在ABC 中，已知1tan 2tan tan A B A-=，则cos(2)A B -的值为________. 【答案】0 【解析】 【分析】通过展开cos(2)A B -，然后利用已知可得2tan 12tan tan A B A -=，于是整理化简即可得到答案. 【详解】 由于1tan 2tan tan A B A-=，因此2tan 12tan tan A B A -=，所以22tan 1tan 2=1tan tan A A A B =--，即tan 2tan 1A B ⋅=-，所以sin 2sin cos2cos A B A B ⋅=-⋅,则cos(2)cos 2cos sin 2sin =0A B A B A B -=+，故答案为0.【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等. 16．函数 ()23=---f x x x 的最大值为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】先将函数解析式写出分段函数的形式，根据函数单调性，即可得出结果. 【详解】因为1,3()2325,231,2x f x x x x x x ≥⎧⎪=---=-≤<⎨⎪-<⎩；易得：当且仅当3x ≥时，取最大值1. 故答案为1 【点睛】本题主要考查函数的最值问题，根据函数单调性求解即可，属于常考题型. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。