数学模型实验指导书

《数学模型》实验指导书实验项目与学时分配表实验项目一：预测模型一、实验目的和要求：熟悉科学计算软件MATLAB的图形功能，会用软件画图，并进行数据模拟。

掌握数据预测方法。

二、实验内容：某乡镇企业2010-2016年的生产利润如下表；试预测2017年和2018年的利润。

三、过程：１．利用MATLAB软件或其它绘图软件，对所给数据画出散点图；２．根据散点图，分析合适的函数，并试探（画图作对比）；３．确定函数类型，作数据拟合，确定函数中的参数；４．作误差分析；5. 考虑用cftool进行数据拟合，并作出结果分析.实验项目二：初等模型一、实验目的和要求：掌握线性方程组建模，并会用它解决一些实际问题；熟悉科学计算软件MATLAB求线性方程组的命令。

二、实验内容：问题一：某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开的车数相等,图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组；(2)使用MATLAB求线性方程组；(3)分析哪些流量数据是多余的；(4)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计；问题二：某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求过程：（1）建立确定的线性方程组；（2）使用MATLAB求线性方程组；实验项目三：简单优化模型一、实验目的和要求：学习函数极值的相关知识，熟悉科学计算软件MATLAB求极值的方法。

二、实验内容：问题一：一栋楼房的后面是一个很大的花园。

在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2m ，高3m ，温室正上方是楼房的窗台。

清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。

因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。

现清洁工只有一架7m 长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？过程：1、 设温室宽为a ，高为b ，梯子倾斜的角度为x ，当梯子与温室顶端 A 处恰 好接触时，梯子的长度L 只与x 有关。

试写出函数L （x ） 及其定义域。

3、 在 Matlab 环境，先用命令 clear x 清除x 的值，再定义函数L(x) ，并求导。

4、 将a 、b 赋值，画出L(x) 的图形。

注意自变量x 的范围选取。

5、 求驻点，即求方程()0L x '=的根，有什么命令求根？并计算函数在驻点的值。

驻点唯一吗？6、 观测图形，选取初始点，用fminbnd 直接求L(x)的极小值。

并与（5）的结果比较。

7、 取a=2,b=2.8,重新运行程序，结果如何？问题二：在某医院走廊拐角处，垂直相交的两通道宽度分别是1m 与1.5m, 病床宽为0.80m ，问病床至多为多长才能被推过此拐角？ 过程：1 建立数学模型；2 求解数学模型；3 改动模型中一些数据，再求解，观测结果。

实验项目四：数学规划问题一、实验目的和要求：熟悉数学规划软件LINGO 的运用，理解数学规划模型及其应用，建模过程和求解方法。

重点是模型的约束条件的建立和结果的分析。

二、实验内容：1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及信用等级、到期年限、收益如表2所示。

按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。

此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要够进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）； （3）所购证券的平均年限不超过5年；表2证券以及信用等级、到期年限、收益2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？3)在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？实验项目五：微分方程模型一、实验目的和要求：理解一阶、二阶微分法在建模过程中的应用，熟悉利用MATLAB软件求解微分方程的方法。

注意模型的普遍性和模型的广泛性。

二、实验内容：问题一：一个半球体状的雪堆，其体积V的融化速率与半球面面积S成正比，比例系数K>0. 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知初始半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其原体积的7/8，问该雪堆全部融化需要多少时间？过程：１．分析雪堆的融化过程；２．建立雪堆融化的微分方程模型；３．利用所给数据，确定参数；４．确定初始条件，求解方程（模型）．５．扩展讨论：雪堆形状不同时的建模和求解方法（供参考，不作要求）问题二：现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。

已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。

问兔子能否安全回到巢穴？过程：（1）建立狼的运动轨迹微分模型。

（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。

（3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？（4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？实验项目六：差分方程模型一、实验目的和要求：理解差分法在建模过程中的应用，熟悉利用MATLAB软件求解差分方程的方法。

注意模型的普遍性和模型的广泛性。

二、实验内容：1、作为房产公司的代理人，你要迅速准确地回答客房各方面的问题。

现有人看中了贵公司一套建筑面积为S（m2），单价为P（元/ m2）的房子。

他计划首付30%，其余70%用20年按揭贷款（贷款年利率r）。

请你提供下列信息：房屋总价格、首付款额、月付还款额。

当S=120m2，P=5200元/ m2，r=5.58% 时上述三个值。

要求：先求出房屋总价格、首付款额、月付还款额三者的符号解；再求出当S=120m2，P=5200元/ m2，r=5.58% 时三者的数值解。

过程：（1）给出模型假设及建立相应的差分方程；（2）利用递推公式法求解差分方程的符号解；（3）利用Matlab求解差分方程的符号解；（4）求出当S=120m2，P=5200元/ m2，r=5.58% 时三者的数值解；（5）分析按月还款与按年还款哪种对贷款者更有利？2、一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。

过程：（1）记一棵植物秋季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。

建立相应的差分方程研究这种植物数量变化的规律；（2）利用递推公式法求解差分方程的符号解；（3）利用Matlab求解差分方程的符号解；（4）考察当X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20这种植物能一直繁殖的条件实验项目七：层次分析法模型一、实验目的和要求：理解层次分析法，熟悉层次分析法在实际问题中的应用。

注意层次分析法建模的几个基本步骤，重点是成对比较矩阵的建立和一致性检验。

二、实验内容：假设你是一位应届毕业生，现有P1、P2、P3等三个就业单位可供你选择。

结合你的实际情况，建立一个优选模型，作出你的最优选择。

P1：广东某计算机软件公司，从事软件编程工作；P2：上海某国际贸易公司，从事报关工作；P3：武汉某机械制造公司，从事生产管理工作。

过程：１．分析自己选择就业岗位所要考虑的因素；２．构建目标层、准则层、方案层的层次结构模型；３．利用１－９尺度，依据个人的认同，构造各成对比较矩阵；４．对各成对比较矩阵进行一致性检验，不通过，应作修改，直到全部通过；５．求权向量和组合权向量，并作组合权向量的一致性检验，不通过，应作修改（主要是对一致性比率较大的成对比较矩阵作调整），直到全部通过．６．根据组合权向量，选取权向量最大的方案，作为决策方案．实验项目八：概率统计模型一、实验目的和要求：理解概率统计模型的应用，了解蒙特卡洛算法来进行模拟随机数。

二、实验内容：某报童以每份0.03元的价格买进报纸,以0.05元的价格出售. 根据长期统计,报纸每天的销售量及百分率为已知当天销售不出去的报纸，将以每份0.02元的价格退还报社.试用模拟方法确定报童每天买进报纸数量,使报童的平均总收入为最大?过程：（1）给出模型假设；（2）让时间从1开始变化到365产生销售量的随机数；（3）计算当天的收入，计算累计利润；（4）通过比较得出最优订货量。