贵州省遵义市第四中学2015届高三上学期第三次月考数学(理)试题

1516P >715816P <≤贵州省遵义市第四中学2015届高三上学期第三次月考数学（理）试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知复数521i iz +=，则它的共轭复数z 等于 ( ) （A ）2i - （B ）2i -+ （C ） 2i + （D ）2i --2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )3．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P 的取值范围是 （ ）（A ） （B ）（C ）161587<≤p （D ）8743≤<p4．若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,0][1,)-∞+∞ （B ）(1,0)- （C ）[1,0]- （D ）(,1)(0,)-∞-+∞5.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( )（A ） 3y x = （B ） ln()y x =- （C ） xy xe -= （D ）2y x x=+6.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社会活动，如果要求至少有1名女生．那么不同的选派方法共有21cnjy.co m( ) （A ）14种 （B ）28种 （C ）32种 （D ）48种 7．若把函数sin y x ω=（0ω>）的图象向左平移3π个单位后与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能是 ( )（A ）13（B ）12 （C ）32（D ）238.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ( )（A （B （C （D 9.设1AB =，若2CA CB =，则CA CB ⋅的最大值为 ( )（A ）13（B ）2 （C （D ） 3 10.已知()(,())2f x x R x k k Z ππ∈≠+∈且是周期为π的函数，当x ∈（,22ππ-）时，()2cos .f x x x =+设(1),(2),(3)a f b f c f =-=-=-则 ( )（A ）c<b<a（B ）b<c<a（C ）a<c<b （D ）c<a<b11．已知点),(y x p 在直线32=+y x 上移动，当yx 42+取得最小值时，过点),(y x p 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线长为 ( )（A （B ）32 （C ）12（D 12. 已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数1)()(+-=x x f x g 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝ ( ) （A ）1210- （B ）129- （C ）55 （D ）45第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b =14．52)1)(32(x x x a +++的展开式中一次项的系数为3-,则5x 的系数为 15．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22，将此结论类比到空间有________________________ 16．给出以下四个命题：①若函数32()2f x x ax =++的图象关于点(1,0)对称，则a 的值为3-；②若1(2)0()f x f x ++=，则函数()y f x =是以4为周期的周期函数； ③在数列{}n a 中，11a =，n S 是其前n 项和，且满足1122n n S S +=+，则数列{}n a 是等比数列；④函数33(0)x x y x -=+<的最小值为2． 则正确命题的序号是 。

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17（本小题满分12分）已知数列{}{}).0(1,.12,2,,11≠-=+==+n n n n n n n n b a b a a a a b a 满足（I ）求证数列1{}nb 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）令1+=n n n b bc ，求数列{}n c 的前n 项和n S .19．（本小题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。

（I）请求出①②位置相应的数字，填在答题卡相应位置上，并补全频率分布直方图；（II）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；假定考生“XXX”笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？（III）在（II）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20. （本小题满分12分）已知的线段线段2121,4),0,1(),0,1(PF PF F F =-垂直平分线与1PF 交于Q 点. （I ）求Q 点的轨迹方程；（II ）已知点 A （-2,0）， 过点2F 且斜率为k （0k ≠）的直线l 与Q 点的轨迹相交于,E F 两点，直线AE ，AF 分别交直线3x =于点M ,N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '.求证:k k '⋅为定值.21. （本小题满分12分） 已知函数axx f ln)(=. （I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线为10x y --=，求a 的值；（II ）设=)(x g axa x -，0>a ，证明：当a x >时，)(x f 的图象始终在)(x g 的图象的下方；（III ）当1=a 时，设)](1[)()(x g x e x f x h ⋅+-=，（e 为自然对数的底数），)('x h 表示)(x h 导函数，求证：对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于)('0x h ．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲切线AB 与圆切于点B ，圆内有一点C 满足AB AC =，CAB ∠的平分线AE 交圆于D ，E ，延长EC 交圆于F ，延长DC 交圆于G ，连接FG ． （Ⅰ）证明：AC //FG ； （Ⅱ）求证：EC EG =．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为（1，－5），点M 的极坐标为（4，π2），若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心，4为半径.（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （II ）试判定直线l 与圆C 的位置关系.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()|2|f x x =-． （Ⅰ）解不等式()30xf x +>；（Ⅱ）对于任意的(3,3)x ∈-，不等式()f x m x <-恒成立，求m 的取值范围．数学（理科）答案一、选择题：13．9/4； 14．39； 15．在三棱锥A —BCD 中，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则此三棱锥的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 2216①,② 三、解答题： 17.18.解析：（1） //EF 平面ABCD ，且⊂EF 平面EFAB ， 又 平面ABCD 平面EFAB AB =,∴//EF AB (线面平行的性质定理).又N M ,是平行四形ABCD 两边BC AD ,的中点，AB MN //∴,MN EF //∴,N M F E ,,,∴四点共面. ……………………… 2分FC FB = ,FN BC ⊥∴,又MN BC ⊥∴，且FN EFNM MN EFNM FN MN N ⊂⎧⎪⊂⎨⎪=⎩平面平面,⊥∴BC 平面EFNM . ……. 4分(2)在平面EFNM 内F 做MN 的垂线，垂足为H ,则由第 (1)问可知：⊥∴BC 平面EFNM , 则平面ABCD ⊥平面EFNM ,所以⊥FH 平面ABCD ,又因为,FN BC HN BC ⊥⊥，则二面角F BC A --的的平面角为FNH ∠…………..6分 在Rt FNB ∆和Rt FNH ∆中，FN =cos 2HN FN FNH =∠== 8FH = ………………………………………………6分过H 做边CD AB ,的垂线，垂足为Q S ,,连接,FQ FS FN ,,,解法一 由作图可知， FSQ AB FH AB SQ AB 平面⊥⇒⊥⊥,, 由第（1）问，//EF AB ，FSQ EF 平面⊥∴,SFQ ∠∴是要求二面角C EF B --的平面角. …….9分在SFQ ∆中，428tan tan ==∠=∠FQS FSQ , )tan(tan FQS FSQ SFQ ∠-∠-=∠∴π158tan tan 1tan tan =∠⋅∠-∠+∠-=FQS FSQ FQS FSQ ，1715cos =∠∴SFQ ，即二面角C EF B --的余弦值是1715. ………….12分解法二 以H 为坐标原点，以HF HN HS ,,方向为z y x ,,轴正方向建立空间直角坐标系，则由解法一知：)8,0,0(F ，)0,0,2(S ,)0,2,0(N ,)0,2,2(B 则)8,0,2(-=→SF ,)0,2,0(=→SB ,设平面ABEF 的一个法向量为)1,,(1y x n =→， 则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→011n SB n SF ⇒⎩⎨⎧==+-02082y x ⇒)1,0,4(1=→n ， ………………….9分 同理可求得设平面CDEF 的一个法向量为:)1,0,4(2-=→n (也可根据对称性求得)，……………… 10分于是有：17151161161016||||,cos 212121-=+⋅+++-=⋅⋅>=<→→→→→→n n n n n n ， 根据法向量的方向，设二面角C EF B --的平面角为θ， 则1715,cos cos 21>=<-=→→n n θ……………….12分 19．（1）由题意知，5组频率总和为1，故第3组频率为0.3，即①处的数字为0.3；…1分 总的频数为100，因此第4组的频数为20，即②处数字为20 ……2分 频率分布直方图如下：（2）第345、、组共60名学生，现抽取12人，因此第3组抽取的人数为：3012=660⨯人，第4组抽取的人数为：2012=460⨯人，第5组抽取的人数为：1012=260⨯人. ……7分 公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取100人，每个人被抽到的概率是相同的. ………………8分（只写“公平”二字，不写理由，不给分）（3）ξ的可能取值为0123.、、、 3831214(0)55C P C ξ===218431228(1)55C C P C ξ===128431212(2)55C C P C ξ=== 343121(3)55C P C ξ===ξ的分布列为：14281210123155555555E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= ……12分 19. 解：（1）已知 2121,4),0,1(),0,1(PF PF F F =-的垂直平分线与1PF 交于Q 点， 由于 211,QF PQ QF PQ PF =+=所以2421〉=+ QF QF ，即Q 点是以 21F F 为焦点的椭圆 ………………2分故所求Q 点方程为13422=+y x . ……………3分 （1） 设过点2F （1,0），且斜率为k （0k ≠）的直线l 方程为)1(-=x k y ，设点11(,)E x y ，点22(,)F x y , ……4分将直线l 方程)1(-=x k y 代入椭圆C ： 13422=+y x ， 整理得：01248)34(2222=-+-+k x k x k ， ……….5分 因为点P 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，0>∆恒成立，且34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . ……………6分 直线AE 的方程为)2(211--=x x y y ，直线AF 的方程为)2(222--=x x y y ， 令3x =，得点)2,3(11-x y M ，点)2,3(22-x yN ， 所以点P 的坐12121(3,())222y y x x +-- ……8分直线2PF 的斜率为)22(41130)22(2122112211/-+-=---+-=x y x yx y x y k =2121121212121212122()23()41142()442()4y x x y y y kx x k x x kx x x x x x x x +-+-++⋅=⋅-++-++. ………10分将34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x 代入上式得， kk k k k k k k k k k k 43348234124434833412424122222222/-=+⋅-+-++⋅-+-⋅⋅=. 所以k k '⋅为定值43-. …………12分21. 解析：(1)1'()f x x =，此时'(1)1f =，又1(1)ln f a=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为11ln 0x y a --+=，由题意得，11ln 1a-+=-，1a =. ……… 2分（2）).(,ln ln )()()(a x axax a x x g x f x >---=-=ϕ则.02)()(2<--='ax x a x x ϕ)(x ϕ∴在),0(+∞单调递减，且 .0)(=a ϕ∴当a x >时，,0)()(=<a x ϕϕ即)()(x g x f <，∴当a x >时，)(x f 的图像始终在)(x g 的图象的下方. …………… 5分（3） 由题，ex x x h -=ln )(. ∵AB k x h =)('0，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x x x x --=， 即20211ln()0x x x x x --=， ………………………7分 设)(ln)(1212x x x x x x --=ϕ,则)(x ϕ是关于x 的一次函数， 故要在区间),(21x x 证明存在唯一性，只需证明)(x ϕ在上满足0)()(21<⋅x x ϕϕ.下面证明之：=)(1x ϕ)(ln12121x x x x x --，=)(2x ϕ)(ln 12122x x x xx --， 为了判断)(),(21x x ϕϕ的符号，可以分别将21,x x 看作自变量得到两个新函数)(),(21x x ϕϕ， 讨论他们的最值：=)(1x ϕ)(ln12121x x x x x --，将1x 看作自变量求导得=)(1'x ϕ0ln 12>x x， ∴)(1x ϕ是1x 的增函数，∵12x x <，∴)()(21x x ϕϕ<0)(ln 22222=--=x x x x x ； 同理：=)(2x ϕ)(ln12122x x x x x --，将2x 看作自变量求导得=)(2'x ϕ0ln 12>x x， ∴)(2x ϕ是2x 的增函数，∵12x x <，∴)()(12x x ϕϕ>0)(ln11111=--=x x x x x ； ∴0)()(21<⋅x x ϕϕ， ∴函数)(ln)(1212x x x x x x --=ϕ在12(,)x x 内有零点0x ，……..11分 又22111,ln 0x xx x >∴>，函数)(ln )(1212x x x x x x --=ϕ在12(,)x x 是增函数， ∴函数)(ln)(1212x x x x x x --=ϕ在12(,)x x 内有唯一零点0x ，从而命题成立.…12分 请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．23、解：（Ⅰ）直线l的参数方程111cos 235sin 53x t x t y t y ππ⎧⎧=+=+⋅⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+⋅=-+⎪⎪⎩⎩（t 为参数）M 点的直角坐标为（0，4）圆C 方程 22(4)16x y +-= 得cos cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 代入得圆C 极坐标方程 8sin ρθ= ……………………………………………………（5分） （II ）直线l50y --=圆心M 到l的距离为4d ==> ∴直线l 与圆C 相离. …………………………………………………………………（10分） 24.解：（Ⅰ）原不等式等价于 230x x -+>20(2)30x x x -≤⎧⇔⎨⋅-+>⎩ 或20(2)30x x x ->⎧⎨-+>⎩解得 12x -<≤ 或 2x >∴不等式解为 （－1，+∞）.……………………………………………………………（5分） （Ⅱ）()()f x m x f x x m <-⇔+<2x x m -+< (33)x -<<设()2g x x x =-+则2230()2022223x x g x x x x --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪-<<⎩在（－3，0]上()g x 单调递减，且 2()8g x ≤< 在（2，3）上()g x 单调递增且2()4g x ≤< ∴在（－3，3）上 2()8g x ≤<故8m ≥时 不等式()f x m x <-在（－3，3）上恒成立…………………………（10分）。