2018版大一轮全国人教数学-历年高考真题与模拟题分类汇编 B单元函数与导数理科2016年含答案精品

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精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 B单元函数与导数(文科2013)和答案

B 单元函数与导数B1 函数及其表示图1－13．BP 如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( ) A.34B.16C.1112D.25243．C 依次运算的结果是s ＝12，n ＝4；s ＝12＋14，n ＝6；s ＝12＋14＋16，n ＝8，此时输出s ，故输出结果是12＋14＋16＝1112. 14．B1，B14 定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋1)＝2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．14．－x （x ＋1）2当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由f(x ＋1)＝2f(x)可得f(x)＝12f(x ＋1)＝－12x(x ＋1)． 11．B1，E3 函数y ＝ln1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 11．(0，1] 实数x 满足1＋1x >0且1－x 2≥0.不等式1＋1x >0，即x ＋1x>0，解得x>0或x<－1；不等式1－x 2≥0的解为－1≤x≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．13．B1 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x 3，x<0，－tanx ，0≤x<π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________． 13．－2 f π4＝－tan π4＝－1，f(－1)＝－2. 21．B1，B12 设函数 f(x)＝⎩⎨⎧1ax ，0≤x≤a，1（1－x ），a<x≤1.a 为常数且a∈(0，1)． (1)当a ＝12时，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13； (2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1，x 2；(3)对于(2)中的x 1，x 2，设A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(a 2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上的最大值和最小值． 21．解：(1)当a ＝12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝23. (2)f(f(x))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1a 2x ，0≤x≤a 2，1a （1－a ）（a －x ），a 2<x ≤a ，1（1－a ）2（x －a ），a<x<a 2－a ＋1，1a （1－a ）（1－x ），a 2－a ＋1≤x≤1. 当0≤x≤a 2时，由1a 2x ＝x 解得x ＝0，因为f(0)＝0，故x ＝0不是f(x)的二阶周期点；当a 2<x ≤a 时，由1a （1－a ）(a －x)＝x 解得x ＝a －a 2＋a ＋1∈(a 2，a)，因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2＋a ＋1＝1a ·a －a 2＋a ＋1＝1－a 2＋a ＋1≠a －a 2＋a ＋1，故x ＝a －a 2＋a ＋1为f(x)的二阶周期点；当a<x<a 2－a ＋1时，由1（1－a ）2(x －a)＝x 解得x ＝12－a∈(a ，a 2－a ＋1)，因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＝11－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－a ＝12－a ，故x ＝12－a不是f(x)的二阶周期点；当a 2－a ＋1≤x≤1时，由1a （1－a ）(1－x)＝x解得x ＝1－a 2＋a ＋1∈(a 2－a ＋1，1)，因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋a ＋1＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－a 2＋a ＋1 ＝a －a 2＋a ＋1≠1－a 2＋a ＋1. 故x ＝1－a 2＋a ＋1为f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x 1＝a －a 2＋a ＋1，x 2＝1－a 2＋a ＋1. (3)由(2)得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2＋a ＋1，a －a 2＋a ＋1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋a ＋1，1－a 2＋a ＋1，则S(a)＝12·a 2（1－a ）－a 2＋a ＋1， S ′(a)＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2，因为a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，有a 2＋a<1. 所以S′(a)＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2＝12·a[（a ＋1）（a －1）2＋（1－a 2－a ）]（－a 2＋a ＋1）2>0. (或令g(a)＝a 3－2a 2－2a ＋2，g ′(a)＝3a 2－4a －2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2－103⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2＋103，因a∈(0，1)，g′(a)<0，则g(a)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝58>0，故对于任意a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，g(a)＝a 3－2a 2－2a ＋2>0， S ′(a)＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2>0) 则S(a)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上单调递增，故S(a)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上的最小值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝133，最大值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝120.12．B1 已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设 H 1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H 2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p ，q}表示p ，q 中的较大值，min{p ，q}表示p ，q 中的较小值)，记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．1612．C 由题意知当f(x)＝g(x)时，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，整理得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，所以x ＝a ＋2或x ＝a －2，H 1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≤a－2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8，（a －2<x<a ＋2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≥a＋2），H 2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≤a－2）x 2－2（a ＋2）x ＋a 2，（a －2<x<a ＋2）－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≥a＋2）.由图形可知(图略)，A ＝H 1(x)min ＝－4a －4，B ＝H 2(x)max ＝12－4a ，则A －B ＝－16，故选C.7．B1 已知函数f(x)＝ln(1＋9x 2－3x)＋1，则f(lg 2)＋flg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．27．D 由已知条件可知，f(x)＋f(－x)＝ln(1＋9x 2－3x)＋1＋ln(1＋9（－x ）2＋3x)＋1＝2，而lg 2＋lg 12＝lg 2－lg 2＝0，故而f(lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2.图1－919．B1，I2 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－9所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该产品．以X(单位：t ，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率．19．解：(1)当X∈时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X＜130，65 000，130≤X≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.5．B1 函数f(x)＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3，0]B ．(－3，1]C ．(－∞，－3)∪(－3，0]D ．(－∞，－3)∪(－3，1] 5．A 要使函数有意义，须有⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，解之得－3<x≤0. 20．H4，E8，B1 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q(m ，n)是线段MN 上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2.请将n 表示为m 的函数．20．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k 2)×12>0，得k 2>3.所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3＋∞)．(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM|2＝(1＋k 2)x 21，|ON|2＝(1＋k 2)x 22.又|OQ|2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2，由2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2，得2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22，即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3. 因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2＝36.由m 2＝365k 2－3及k 2>3，可知0<m 2<3，即m∈(－3，0)∪(0，3)．根据题意，点Q 在圆C 内，则n>0，所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805. 于是，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m∈(－3，0)∪(0，3))． 11．B1 已知函数f(x)＝ x －1.若f(a)＝3，则实数a ＝ ________．11．10 f(a)＝a －1＝3.则a －1＝9，a ＝10.3．B1 函数y ＝1log 2（x －2）的定义域是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(2，3)∪(3，＋∞)D ．(2，4)∪(4，＋∞)3．C 由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －2≠1，所以x ＞2且x≠3，故选C.B2 反函数6．B2 函数f(x)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x (x>0)的反函数f －1(x)＝( ) A.12x －1(x>0) B.12x －1(x≠0) C ．2x －1(x∈R ) D ．2x －1(x>0)6．A 令y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ，则y>0，且1＋1x ＝2y ，解得x ＝12y －1，交换x ，y 得f －1(x)＝12x －1(x>0)．B3 函数的单调性与最值13．B3 函数f(x)＝⎩⎨⎧log 12x ，x≥1，2x，x<1的值域为________．13．(－∞，2) 函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，当x≥1时，函数y ＝log 12x 的值域为(－∞，0]；函数y ＝2x 在R 上是增函数，当x<1时，函数y ＝2x 的值域为(0，2)，所以原函数的值域为(－∞，2)．3．B4，B3 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x|3．C 对于A ，y ＝1x是奇函数，排除．对于B ，y ＝e －x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除．对于D ，y ＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y ＝lgx ，此时单调递增，排除．只有C 符合题意．12．B3，B6 若存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)12．D 由题意存在正数x 使得a>x －12x 成立，即a>⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x min .由于x －12x 是(0，＋∞)上的增函数，故x －12x >0－120＝－1，所以a>－1.答案为D. 11．B3，B5，B8，B12 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．x 0∈R ，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)＝011．C x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x 0∈R ，f(x 0)＝0，A 正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x 3＋c ，从而函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形，B 正确．若x 0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x 1，若x 1<x 0，则f(x)在区间(x 1，x 0)单调递减，C 错误．D 正确．故答案为C.21．B3，B9，B12 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，ln x ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，证明：x 2－x 1≥1；(3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．21．解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1 )，单调递增区间为≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1.当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立所以，函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直时，有x 2－x 1≥1. (3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f′(x 1)≠f′(x 2)，故x 1<0<x 2. 当x 1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1，f(x 1))处的切线方程为 y －(x 21＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即 y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a.当x 2>0时，函数f(x)的图像在点(x 2，f(x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎨⎧1x2＝2x 1＋2，①ln x 2－1＝－x 21＋a.②由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2.由①②得，a ＝ln x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－22－1.令t ＝1x 2，则0<t<2，且a ＝14t 2－t －ln t.设h(t)＝14t 2－t －ln t(0<t<2)．则h′(t)＝12t －1－1t ＝（t －1）2－32t <0.所以h(t)(0<t<2)为减函数．则h(t)>h(2)＝－ln 2－1，所以a>－ln2－1，而当t∈(0，2)且t 趋近于0时，h(t)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．10．B3，B12 设函数f(x)＝e x ＋x －a (a∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b∈使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．10．A 易得f(x)在上是增函数，对于b∈，如果f(b)＝c ＞b ，则f(f(b))＝f(c)＞f(b)＝c ＞b ，不可能有f(f(b))＝b ；同理，当f(b)＝d ＜b 时，则f(f(b))＝f(d)＜f(b)＝d ＜b ，也不可能有f(f(b))＝b ；因此必有f(b)＝b ，即方程f(x)＝x 在上有解，即e x ＋x －a ＝x.因为x≥0，两边平方得e x ＋x －a ＝x 2，所以a ＝e x －x 2＋x.记g(x)＝e x－x 2＋x ，则g′(x)＝e x －2x ＋1.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，e x ＞0，－2x ＋1≥0，故g′(x)＞0.当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，e x ＞e ＞1，－2x ＋1≥－1，故g′(x)＞0，综上，g′(x)在x∈上恒大于0，所以g(x)在上为增函数，值域为，即，从而a 的取值范围是．B4 函数的奇偶性与周期性3．B4，B3 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x|3．C 对于A ，y ＝1x 是奇函数，排除．对于B ，y ＝e －x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除．对于D ，y ＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y ＝lgx ，此时单调递增，排除．只有C 符合题意．13．B4 设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈ f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.2．B4 函数y ＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．由题知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0得x∈(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C.8．B4 x 为实数，表示不超过x 的最大整数，则函数f(x)＝x －在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．周期函数 8．D 作出函数f(x)＝x －的大致图像如下：观察图像，易知函数f(x)＝x －是周期函数．4．B4 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．14．B 由函数的奇偶性质可得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)．根据f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4，可得2g(1)＝6，即g(1)＝3，选B.11．B4 已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．11．(－5，0)∪(5，＋∞) 设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x 2＋4x)．又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x 等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x 2－4x>x 或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，－（x 2＋4x ）>x. 解得x>5或－5<x<0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．3．B4 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x，则f(－1)＝( )C ．0D ．－23．D ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－⎝⎛⎭⎪⎫12＋11＝－2.7．B4，B7 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间 B ．0，12C.12，2 D ．(0，2] 7．C ∵f(x)为偶函数，∴f(log 2a)＝f(log 12a)，又∵f(log 2a)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 12a ≤2f(1)，∴f(log 2a)≤f(1)，即|log 2a|≤1，解之得12≤a ≤2.9．B4和B7 已知函数f(x)＝ax 3＋bsin x ＋4(a ，b∈R )，f(lg(log 210))＝5，则f(lg(lg 2))＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．49．C 因为f(lg(log 210))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg 2＝f(－lg(lg 2))＝5，又因为f(x)＋f(－x)＝8，所以f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝5＋f(lg(lg2))＝8，所以f(lg(lg 2))＝3，故选C.B5 二次函数6．B5，B9 函数f(x)＝ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( )C ．2D ．36．A 方法一：作出函数f(x)＝ln x ，g(x)＝x 2－4x ＋4的图像如图所示可知，其交点个数为2，选C. 方法二(数值法)可知它们有2个交点，选C.2．B5 若集合A ＝{x∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4 2．A 当a ＝0时，A ＝；当a≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，则a ＝4，故选A.11．B3，B5，B8，B12 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．x 0∈R ，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)＝011．C x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x 0∈R ，f(x 0)＝0，A 正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x 3＋c ，从而函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形，B 正确．若x 0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x 1，若x 1<x 0，则f(x)在区间(x 1，x 0)单调递减，C 错误．D 正确．故答案为C.12．B5、B12、B14 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f(x)|≥ax，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．D ．12．D 函数y ＝|f(x)|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.在同一坐标系中画出y ＝|f(x)|，y ＝ax 的图像如图所示，问题等价于直线y ＝ax 不在函数y ＝|f(x)|图像的上方，显然a>0时，y ＝ln (x ＋1)的图像不可能恒在直线y ＝ax 的上方，故a≤0；由于直线y ＝ax 与曲线y ＝x 2－2x 均过坐标原点，所以满足条件的直线y ＝ax 的极端位置是曲线y ＝x 2－2x 在点(0，0)处的切线，y′＝2x －2，当x ＝0时y′＝－2.所以－2≤a≤0.7．B5 已知a ，b ，c∈R ，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( ) A ．a>0，4a ＋b ＝0 B ．a<0，4a ＋b ＝0 C ．a>0，2a ＋b ＝0 D ．a<0，2a ＋b ＝07．A 若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的图像关于直线x ＝2对称，则－b2a ＝2，则4a ＋b ＝0，而f(0)＝f(4)>f(1)，故开口向上，所以a>0，4a ＋b ＝0.所以选择A.B6 指数与指数函数12．B3，B6 若存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)12．D 由题意存在正数x 使得a>x －12x 成立，即a>⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x min .由于x －12x 是(0，＋∞)上的增函数，故x －12x >0－120＝－1，所以a>－1.答案为D.B7 对数与指数函数8．B7，E1 设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a>c>b B ．b>c>a C ．c>b>a D ．c>a>b8．D a －b ＝log 32－log 52＝1log 23－1log 25＝log 25－log 23log 23log 25>0a>b ，c ＝log 23>1，a<1，b<1，所以c>a>b ，答案为D.16．B7，M1 定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ； ②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln a ＋ln ＋b ； ③若a>0，b>0，则ln ＋ab≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)16．①③④ ①中，当a b ≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln ＋a b ＝ln a b ＝bln a ＝bln ＋a ；当0<ab <1时，∵b>0，∴0<a<1，ln ＋a b ＝bln ＋a ＝0，∴①正确．②中，当0<ab<1，且a>1时，左边＝ln ＋(ab)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln a ＋0＝ln a>0，∴②不成立．③中，当ab ≤1，即a≤b 时，左边＝0，右边＝ln ＋a －ln ＋b ≤0，左边≥右边，成立；当a b >1时，左边＝ln ab ＝ln a －ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a －ln b ，左边≥右边成立；若0<b<a<1时，右边＝0, 左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln ab＝ln a －ln b>ln a ，右边＝ln a ，左边≥右边成立，∴③正确．④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋(a ＋b)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b≥1，ln ＋(a ＋b)－ln 2＝ln(a ＋b)－ln 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2.又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b ，a ，b 至少有1个大于1，∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤ln a 或ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤ln b ，即有ln ＋(a ＋b)－ln 2＝ln (a ＋b)－ln 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确． 7．B4，B7 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间 B ．0，12C.12，2 D ．(0，2] 7．C ∵f(x)为偶函数，∴f(log 2a)＝f(log 12a)，又∵f(log 2a)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 12a ≤2f(1)，∴f(log 2a )≤f(1)，即|log 2a|≤1，解之得12≤a ≤2.3．B7 设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc)＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c3．B 利用对数的运算性质可知C ，D 是错误的．再利用对数运算性质log a b ·log c b ≠log c a.又因为log a b ·log c a ＝lg b lg a ×lg a lg c ＝lg blg c＝log c b ，故选B.11．B7 lg 5＋lg 20的值是________． 11．1 lg5＋lg20＝lg (5·20)＝lg100＝lg 10＝1.9．B4和B7 已知函数f(x)＝ax 3＋bsin x ＋4(a ，b∈R )，f(lg(log 210))＝5，则f(lg(lg 2))＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．49．C 因为f(lg(log 210))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg 2＝f(－lg(lg 2))＝5，又因为f(x)＋f(－x)＝8，所以f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝5＋f(lg(lg2))＝8，所以f(lg(lg 2))＝3，故选C.B8 幂函数与函数的图像5．B8 函数f(x)＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )1－15．A f(x)是定义域为R 的偶函数，图像关于y 轴对称，又过点(0，0)，故选A.11．B3，B5，B8，B12 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．x 0∈R ，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)＝011．C x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x 0∈R ，f(x 0)＝0，A 正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x 3＋c ，从而函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形，B 正确．若x 0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x 1，若x 1<x 0，则f(x)在区间(x 1，x 0)单调递减，C 错误．D 正确．故答案为C.B9 函数与方程10．B9，B12 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f(x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．610．A f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，根据已知，得3x 2＋2ax ＋b ＝0有两个不同的实根x 1，x 2，且x 1<x 2，根据三次函数的性质可得x 1是函数f(x)的极大值点，方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0必然有f(x)＝x 1或f(x)＝x 2.由于f(x 1)＝x 1且x 1<x 2，如图，可知方程f(x)＝x 1有两个实根，f(x)＝x 2有一个实根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0共有3个不同实根．图1－28．B9 函数y ＝f(x)的图像如图1－2所示，在区间上可找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值范围为( ) A ．{2，3} B ．{2，3，4} C ．{3，4} D ．{3，4，5}8．B 问题等价于求直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2，3，4，故n 的取值范围是{2，3，4}．18．B11，B12，B9，B14 已知函数f(x)＝x 2＋xsin x ＋cos x. (1)若曲线y ＝f(x)在点(a ，f(a))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． 18．解：由f(x)＝x 2＋xsin x ＋cos x ，得 f ′(x)＝x(2＋cos x)．(1)因为曲线y ＝f(x)在点(a ，f(a))处与直线y ＝b 相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b ＝f(a)．解得a ＝0，b ＝f(0)＝1. (2)令f ′(x)＝0，得x ＝0. f(x)与f′(x)的情况如下：所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ，f(0)＝11时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．6．B5，B9 函数f(x)＝ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．A 方法一：作出函数f(x)＝ln x ，g(x)＝x 2－4x ＋4的图像如图所示可知，其交点个数为2，选C. 方法二(数值法)可知它们有2个交点，选C.8．B9 设函数f(x)＝e x ＋x －2，g(x)＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )A ．g(a)<0<f(b)B ．f(b)<0<g(a)C ．0<g(a)<f(b)D ．f(b)<g(a)<08．A 由数形结合及f(a)＝0，g(b)＝0得a∈(0，1)，b∈(1，2)，∴a<b，且f(x)，g(x)都是递增的，所以g(a)<0<f(b)．21．B3，B9，B12 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，ln x ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，证明：x 2－x 1≥1；(3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．21．解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1 )，单调递增区间为≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1.当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立所以，函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直时，有x 2－x 1≥1. (3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f′(x 1)≠f′(x 2)，故x 1<0<x 2. 当x 1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1，f(x 1))处的切线方程为 y －(x 21＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即 y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a.当x 2>0时，函数f(x)的图像在点(x 2，f(x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎨⎧1x2＝2x 1＋2，①ln x 2－1＝－x 21＋a.②由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2.由①②得，a ＝ln x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22－1.令t ＝1x 2，则0<t<2，且a ＝14t 2－t －ln t.设h(t)＝14t 2－t －ln t(0<t<2)．则h′(t)＝12t －1－1t ＝（t －1）2－32t <0.所以h(t)(0<t<2)为减函数．则h(t)>h(2)＝－ln 2－1，所以a>－ln2－1，而当t∈(0，2)且t 趋近于0时，h(t)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．B10 函数模型及其应用5．B10 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )图1－15．C 由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x 轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C 项符合，故选C.10．B10 设表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( ) A ．＝－ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝C ．＝2D ．＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝10．D 可取特值x ＝3.5，则＝＝－4，－＝－＝－3，故A 错．x ＋12＝＝4，而＝＝3，故B 错. ＝＝7，2＝2＝6，故C 错．＋ x ＋12＝7，而＝＝7，故只有D正确．B11导数及其运算18．B11，B12，B9，B14已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．18．解：由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f ′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的情况如下：所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ，f(0)＝11时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．10．B11 已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )A ．9B ．6C ．－9D ．－610．D y′＝4x 3＋2ax ，当x ＝－1时y′＝8，故8＝－4－2a ，解得a ＝－6. 12．B11 若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则a ＝________ 12.12 易知点(1，a)在曲线y ＝ax 2－ln x 上，y ′＝2ax －1x ，∴ |y′x ＝1＝2a－1＝0，∴a＝12.11．B11 若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．11．2 y′＝αx α－1，y′|x ＝1＝α，所以切线方程为y －2＝α(x－1)，该切线过原点，得α＝2.21．B11，B12 已知函数f(x)＝e x ，x∈R .(1)求f(x)的反函数的图像上点(1，0)处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f(x)与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点；(3)设a<b ，比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2与f （b ）－f （a ）的大小，并说明理由．21．解： (1) f(x)的反函数为g(x)＝ln x ，设所求切线的斜率为k ， ∵g ′(x)＝1x ，∴k＝g′(1)＝1.于是在点(1，0)处切线方程为y ＝x －1.(2)方法一：曲线y ＝e x与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝e x－12x2－x －1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零点x ＝0.又φ′(x)＝e x －x －1，令h(x)＝φ′(x)＝e x －x －1，则h′(x)＝e x －1.当x<0时，h′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∴φ′(x)在x ＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0，即φ′(x)在R 上的最小值为φ′(0)＝0， ∴φ′(x)≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x)在R 上是单调递增的， ∴φ(x)在R 上有唯一的零点．故曲线y ＝f(x)与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点．方法二：∵e x>0，12x 2＋x ＋1>0，∴曲线y ＝e x与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线y ＝12x 2＋x ＋1e x与直线y ＝1公共点的个数．设φ(x)＝12x 2＋x ＋1e x，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点．又φ′(x)＝（x ＋1）e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1e xe 2x ＝－12x 2ex ≤0(仅当x ＝0时等号成立)，∴φ(x)在R 上单调递减， ∴φ(x)与y ＝1有唯一的公共点，故曲线y ＝f(x)与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．(3)f （b ）－f （a ）b －a －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝e b －e ab －a －e a ＋b 2 ＝e b－e a－be a ＋b 2＋aea ＋b2b －a＝ea ＋b2b －a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤eb －a 2－e a －b 2－（b －a ）. 设函数u(x)＝e x －1e x －2x(x≥0)，则u′(x)＝e x＋1ex －2≥2e x·1ex －2＝0.∴u ′(x)≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u(x)单调递增．当x>0时，u(x)>u(0)＝0.令x ＝b －a 2，则得e b －a 2－e a －b 2－(b －a)>0.∴f （b ）－f （a ）b －a >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2.20．B11、B12 已知函数f(x)＝e x (ax ＋b)－x 2－4x ，曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 20．解：(1)f′(x)＝e x (ax ＋a ＋b)－2x －4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4e x (x ＋1)－x 2－4x. f ′(x)＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x －12.令f′(x)＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e －2)．20．B11和B12 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．20．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元，又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V(r)＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r>0，又由h>0可得r<5 3，故函数V(r)的定义域为(0，5 3)．(2)因为V(r)＝π5(300r －4r 3)，故V′(r)＝π5(300－12r 2)．令V′(r)＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，5 3)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，53)上为减函数．由此可知，V(r)在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．B12 导数的应用20．E3，B12 设函数f(x)＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a>0，区间I ＝{x|f(x)>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k 时，求I 长度的最小值． 20．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a>0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a1＋a 2，故f(x)>0的解集为{x|x 1<x<x 2}，因此区间I ＝0，a 1＋a 2，区间长度为a1＋a 2.(2)设d(a)＝a 1＋a 2，则d′(a)＝1－a 2（1＋a 2）2，令d′(a)＝0，得a ＝1，由于0<k<1，故当1－k≤a<1时，d′(a)>0，d(a)单调递增；当1<a≤1＋k 时，d′(a)<0，d(a)单调递减；因此当1－k≤a≤1＋k 时，d(a)的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而d （1－k ）d （1＋k ）＝ 1－k1＋（1－k ）21＋k 1＋（1＋k ）2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3<1，故d(1－k)<d(1＋k)．因此当a ＝1－k 时，d(a)在区间上取得最小值1－k2－2k ＋k 2.10．B9，B12 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f(x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．610．A f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，根据已知，得3x 2＋2ax ＋b ＝0有两个不同的实根x 1，x 2，且x 1<x 2，根据三次函数的性质可得x 1是函数f(x)的极大值点，方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0必然有f(x)＝x 1或f(x)＝x 2.由于f(x 1)＝x 1且x 1<x 2，如图，可知方程f(x)＝x 1有两个实根，f(x)＝x 2有一个实根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0共有3个不同实根．18．B11，B12，B9，B14 已知函数f(x)＝x 2＋xsin x ＋cos x. (1)若曲线y ＝f(x)在点(a ，f(a))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． 18．解：由f(x)＝x 2＋xsin x ＋cos x ，得 f ′(x)＝x(2＋cos x)．(1)因为曲线y ＝f(x)在点(a ，f(a))处与直线y ＝b 相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b ＝f(a)．解得a ＝0，b ＝f(0)＝1. (2)令f ′(x)＝0，得x ＝0. f(x)与f′(x)的情况如下：所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ，f(0)＝11时，曲线y ＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．21．B12、B14已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈ 已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值；(3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．22．解：(1)由f(x)＝x－1＋ae x，得f′(x)＝1－ae x.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－ae＝0，解得a＝e.(2)f′(x)＝1－a e x ，①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，得e x＝a，x＝ln a.当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． (3)方法一：当a ＝1时，f(x)＝x －1＋1e x .令g(x)＝f(x)－(kx －1)＝(1－k)x ＋1ex ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f(x)没有公共点，等价于方程g(x)＝0在R 上没有实数解．假设k>1，此时g(0)＝1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝－1＋1e 1k －1<0，又函数g(x)的图像连续不断，由零点存在定理，可知g(x)＝0在R 上至少有一解，与“方程g(x)＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k≤1.又k ＝1时，g(x)＝1e x >0，知方程g(x)＝0在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1.方法二：当a ＝1时，f(x)＝x －1＋1ex .直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f(x)没有公共点，等价于关于x 的方程kx －1＝x －1＋1e x 在R 上没有实数解，即关于x 的方程：(k －1)x ＝1ex (*)在R 上没有实数解．①当k ＝1时，方程(*)可化为1e x ＝0，在R 上没有实数解．②当k≠1时，方程(*)化为1k －1＝xe x .令g(x)＝xe x，则有g′(x)＝(1＋x)e x.令g′(x)＝0，得x＝－1，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：当x＝－1时，g(x)min ＝－1e，同时当x趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞，从而g(x)的取值范围为－1e，＋∞.所以当1k－1∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e时，方程(*)无实数解．解得k的取值范围是(1－e，1)．综上①②，得k的最大值为1.21．B12，N4设a>0，b>0，已知函数f(x)＝ax＋b x＋1.(1)当a≠b时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x>0时，称f(x)为a，b关于x的加权平均数．(i)判断f(1)，f ba，fba是否成等比数列，并证明fba≤fba；(ii)a，b的几何平均数记为G，称2aba＋b为a，b的调和平均数，记为H.若H≤f(x)≤G，求x的取值范围．21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x)＝a （x ＋1）－（ax ＋b ）（x ＋1）2＝a －b（x ＋1）2.当a ＞b 时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜b 时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减． (2)(i)计算得f(1)＝a ＋b 2＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝2aba ＋b ＞0，f ⎝⎛⎭⎪⎫b a ＝ab ＞0. 故f(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝a ＋b 2·2aba ＋b ＝ab ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫b a 2，即 f(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫b a 2.① 所以f(1)，f ⎝⎛⎭⎪⎫b a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 成等比数列．因a ＋b2≥ab ，即f(1)≥f ⎝⎛⎭⎪⎫b a ，结合①得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤f ⎝⎛⎭⎪⎫b a . (ii)由(i)知f ba ＝H ，fba ＝G ，故由H≤f (x)≤G ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤f (x)≤f ⎝⎛⎭⎪⎫b a .② 当a ＝b 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝f(x)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫b a ＝a. 这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a ＞b 时，0＜b a ＜1，从而ba ＜ba，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与②式，得ba≤x ≤ba ，即x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤b a，b a ；当a ＜b 时，b a ＞1，从而ba ＞ba，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与②式，得b a ≤x ≤ba ，即x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤b a ，b a . 10．B12 已知函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0，1)D ．(0，＋∞)10．B f′(x)＝ln x －ax ＋x 1x －a ＝ln x －2ax ＋1，函数f(x)有两个极值点等价于方程ln x －2ax ＋1＝0有两个大于零的不相等的实数根．令y 1＝ln x ，y 2＝2ax －1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y′1＝1x ，故曲线y ＝ln x 上的点(x 0，lnx 0)处的切线方程是y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x 0＝－1，解得x 0＝1，故过点(0，－1)的曲线y ＝ln x 的切线斜率是1，故2a ＝1，即a ＝12，所以a 的取值范围是0，12.21．B1，B12 设函数f(x)＝⎩⎨⎧1ax ，0≤x≤a，11－a （1－x ），a<x≤1.a 为常数且a∈(0，1)．(1)当a ＝12时，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1，x 2；(3)对于(2)中的x 1，x 2，设A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(a 2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上的最大值和最小值． 21．解：(1)当a ＝12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝23， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝23. (2)f(f(x))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1a 2x ，0≤x≤a 2，1a （1－a ）（a －x ），a 2<x ≤a ，1（1－a ）2（x －a ），a<x<a 2－a ＋1，1a （1－a ）（1－x ），a 2－a ＋1≤x≤1. 当0≤x≤a 2时，由1a 2x ＝x 解得x ＝0，因为f(0)＝0，故x ＝0不是f(x)的二阶周期点；当a 2<x ≤a 时，由1a （1－a ）(a －x)＝x 解得x ＝a －a 2＋a ＋1∈(a 2，a)，因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2＋a ＋1＝1a ·a －a 2＋a ＋1＝1－a 2＋a ＋1≠a －a 2＋a ＋1，故x ＝a －a 2＋a ＋1为f(x)的二阶周期点；当a<x<a 2－a ＋1时，由1（1－a ）2(x －a)＝x 解得x ＝12－a∈(a ，a 2－a ＋1)，因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＝11－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－a ＝12－a ，故x ＝12－a不是f(x)的二阶周期点；当a 2－a ＋1≤x≤1时，由1a （1－a ）(1－x)＝x 解得x ＝1－a 2＋a ＋1∈(a 2－a ＋1，1)，因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋a ＋1＝1（1－a ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－a 2＋a ＋1 ＝a －a 2＋a ＋1≠1－a 2＋a ＋1. 故x ＝1－a 2＋a ＋1为f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x 1＝a －a 2＋a ＋1，x 2＝1－a 2＋a ＋1. (3)由(2)得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2＋a ＋1，a －a 2＋a ＋1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋a ＋1，1－a 2＋a ＋1，则S(a)＝12·a 2（1－a ）－a 2＋a ＋1， S ′(a)＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2，因为a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，有a 2＋a<1. 所以S′(a)＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2＝12·a[（a ＋1）（a －1）2＋（1－a 2－a ）]（－a 2＋a ＋1）2>0. (或令g(a)＝a 3－2a 2－2a ＋2，g′(a)＝3a 2－4a －2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2－103⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2＋103，因a∈(0，1)，g′(a)<0，则g(a)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝5>0，故对于任意a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，g(a)＝a 3－2a 2－2a ＋2>0， S ′(a)＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2>0) 则S(a)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上单调递增，故S(a)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上的最小值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝133，最大值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝120. 21．B12 (1)证明：当x∈时，22x ≤sin x ≤x ； (2)若不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x∈恒成立，求实数a 的取值范围． 21．解：(1)记F(x)＝sin x －22x ，则F′(x)＝cos x －22. 当x∈0，π4时，F′(x)>0，F(x)在0，π4上是增函数；当x∈π4，1时，F′(x)<0，F(x)在π4，1上是减函数．又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈时，F(x)≥0，即sin x ≥22x. 记H(x)＝sin x －x ，则当x∈(0，1)时，H′(x)＝cos x －1<0，所以，H(x)在上。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 B单元函数与导数(理科2015)和答案

数学B 单元函数与导数 B1 函数及其表示6．B1 已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn ＝sgn xB ．sgn ＝－sgn xC ．sgn ＝sgnD ．sgn ＝－sgn6．B 不妨令f (x )＝x ＋1，a ＝2，则g (x )＝f (x )－f (2x )＝－x ，故sgn ＝sgn(－x )，排除A ；sgn ＝sgn(x ＋1)≠sgn ，又sgn ≠－sgn ，所以排除C ，D.故选B.10．B1 设x ∈R ，表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得＝1，＝2，…，＝n 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．B ＝1，则1≤t <2，① ＝2，则2≤t 2<3，②显然存在t ∈[2，3)使得＝1与＝2同时成立．＝3，则3≤t 3<4，即313≤t <413，③因为212<313<413<312，所以存在313≤t <413使得①②③同时成立．＝4，则4≤t 4<5，则414≤t <514，④同理，可以求得313≤t <514使得①②③④同时成立．＝5，则5≤t 5<6，即 515≤t <615，⑤因为615<313，所以515≤t <615与313≤t <514的交集为空集．所以n 的最大值是4.故选B.10．B1、B6 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ． C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．当a <1时，f (a )＝3a －1，若f (f (a ))＝2f (a )，则f (a )≥1，即3a －1≥1，∴23≤a <1；当a ≥1时，f (a )＝2a ≥2，此时f (f (a ))＝2f (a )．综上所述，a ≥23.7．B1 存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|7．D 对选项A 中的函数，当x ＝0时，得f (0)＝0，当x ＝π2时，得f (0)＝1，矛盾；选项B 中的函数，当x ＝0时，得f (0)＝0，当x ＝π2时，得f (0)＝π24＋π2，矛盾；选项C 中的函数，当x ＝－1时，得f (2)＝0，当x ＝1时，得f (2)＝2，矛盾；选项D 中的函数变形为f ((x ＋1)2－1)＝（x ＋1）2－1＋1，令t ＝(x ＋1)2－1可知，f (t )＝t ＋1满足要求．10．B1、B3 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f ＝________，f (x )的最小值是________．10．0 22－3 f (－3)＝lg 10＝1，f ＝f (1)＝0.当x ≥1时，x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，等号成立；当x <1时，lg(x 2＋1)≥lg 1＝0.故最小值为22－3.B2 反函数B3 函数的单调性与最值21．B3、B14 设函数f (x )＝x 2－ax ＋b .(1)讨论函数f (sin x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记f 0(x )＝x 2－a 0x ＋b 0，求函数|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值D ；(3)在(2)中，取a 0＝b 0＝0，求z ＝b －a 24满足条件D ≤1时的最大值．21．解：(1)f (sin x )＝sin 2x －a sin x ＋b ＝sin x (sin x －a )＋b ，－π2<x <π2，′＝(2sin x －a )cos x ，－π2<x <π2.因为－π2<x <π2，所以cos x >0，－2<2sin x <2.①当a ≤－2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递增，无极值． ②当a ≥2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递减，无极值． ③对于－2<a <2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内存在唯一的x 0，使得2sin x 0＝a .当－π2<x ≤x 0时，函数f (sin x )单调递减；当x 0≤x <π2时，函数f (sin x )单调递增．因此，当－2<a <2，b ∈R 时，函数f (sin x )在x 0处有极小值f (sin x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝b－a 24. (2)当－π2≤x ≤π2时，|f (sin x )－f 0(sin x )|＝|(a 0－a )sin x ＋b －b 0|≤|a －a 0|＋|b－b 0|，当(a 0－a )(b －b 0)≥0时，取x ＝π2，等号成立，当(a 0－a )(b －b 0)<0时，取x ＝－π2，等号成立．由此可知，|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值D ＝|a －a 0|＋|b －b 0|.(3)D ≤1即为|a |＋|b |≤1，此时0≤a 2≤1，－1≤b ≤1，从而得z ＝b －a 24≤1.取a ＝0，b ＝1，则|a |＋|b |≤1，并且z ＝b －a 24＝1，由此可知，z ＝b －a 24满足条件D ≤1的最大值为1.22．B3、M3、E7 已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n na n (n ∈N ＋)，e为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝1＋x －e x的单调区间，并比较⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n与e 的大小；(2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b na 1a 2…a n的公式，并给出证明；(3)令c n ＝(a 1a 2…a n )1n，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n <e S n .22．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x . 当f ′(x )>0，即x <0时，f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >0时，f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即1＋x <e x . 令x ＝1n ，得1＋1n <e 1n ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n<e .①(2)b 1a 1＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋111＝1＋1＝2； b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝(2＋1)2＝32； b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋133＝(3＋1)3＝43. 由此推测：b 1b 2…b n a 1a 2…a n ＝(n ＋1)n .②下面用数学归纳法证明②.(i)当n ＝1时，左边＝右边＝2，②成立．(ii)假设当n ＝k 时，②成立，即b 1b 2…b ka 1a 2…a k＝(k ＋1)k .当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1.所以当n ＝k ＋1时，②也成立．根据(i)(ii)，可知②对一切正整数n 都成立．(3)证明：由c n 的定义，②，算术几何平均不等式，b n 的定义及①得T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝(a 1)11＋(a 1a 2)12＋(a 1a 2a 3)13＋…＋(a 1a 2…a n )1n＝（b 1）112＋（b 1b 2）123＋（b 1b 2b 3）134＋…＋（b 1b 2…b n ）1nn ＋1≤b 11×2＋b 1＋b 22×3＋b 1＋b 2＋b 33×4＋…＋b 1＋b 2＋…＋b nn （n ＋1）＝b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＋b 2⎣⎢⎡12×3＋⎦⎥⎤13×4＋…＋1n （n ＋1）＋…＋b n ·1n （n ＋1）＝b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＋…＋b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1<b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋111a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n na n <e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝e S n ，即T n <e S n .14．B3，B5 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．14．(1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪ (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4x 2－12x ＋8，x ≥1.当x <1时，－1<2x－1<1；当x ≥1时，f (x )＝4x 2－12x ＋8在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，所以当x ＝32时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－12×32＋8＝－1.(2)当a ≤0或a ≥2时，f (x )＝2x －a ，x <1与x 轴无交点，故此时f (x )＝4(x 2－3ax ＋2a 2)，x ≥1与x 轴应有2个交点，所以⎩⎨⎧32a >1，f （1）≥0，解得a ≥1，故此时a ≥2.当0<a <2时，f (x )＝2x －a ，x <1与x 轴有1个交点，故此时f (x )＝4(x 2－3ax ＋2a 2)，x ≥1与x 轴应有1个交点，所以⎩⎨⎧f （1）＝0，32a <1或f (1)<0，解得a ＝12或12<a <1，即12≤a <1.综上可知，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪ 设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数5．A 由已知可得，f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln 21－x －1，y ＝21－x －1在(0，1)上为增函数，故y ＝f (x )在(0，1)上为增函数．又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故y ＝f (x )为奇函数．14．B3、B6 已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________ .14．－32若0<a <1，则f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)在区间上为减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2；若a >1，则f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)在区间上为增函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．∴a ＋b ＝12－2＝－32.15．B3，B12 已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，n ＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有______(写出所有真命题的序号)．15．①④ 对于①，因为f ′(x )＝2x ln 2＞0恒成立，故①正确．对于②，取a ＝－8，则g ′(x )＝2x －8，当x 1，x 2＜4时，n ＜0，②错误．对于③，令f ′(x )＝g ′(x )，即2x ln 2＝2x ＋a ，记h (x )＝2x ln 2－2x ，则h ′(x )＝2x (ln 2)2－2，存在x 0∈(2，3)，使得h ′(x 0)＝0，可知函数h (x )先减后增，有最小值．因此，对任意的a ，m ＝n 不成立，③错误．对于④，由f ′(x )＝－g ′(x )，得2x ln 2＝－2x －a .令h (x )＝2x ln 2＋2x ，则h ′(x )＝2x (ln 2)2＋2＞0恒成立，即h (x )是单调递增函数，当x →＋∞时，h (x )→＋∞，当x →－∞时，h (x )→－∞，因此对任意的a ，存在直线y ＝－a 与函数h (x )的图像有交点，④正确．10．B1、B3 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f ＝________，f (x )的最小值是________．10．0 22－3 f (－3)＝lg 10＝1，f ＝f (1)＝0.当x ≥1时，x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，等号成立；当x <1时，lg(x 2＋1)≥lg 1＝0.故最小值为22－3.18．B3、B5、E7 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间上的最大值．(1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值．18．解：(1)证明：由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24，得f (x )的图像的对称轴为直线x＝－a2.由|a |≥2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2≥1，故f (x )在上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}．当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4，得max{f (1)，－f (－1)}≥2，即M (a ，b )≥2.当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4，得max{f (－1)，－f (1)}≥2，即M (a ，b )≥2. 综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2. (2)由M (a ，b )≤2得，|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2，|1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2，故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3，由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab <0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3，且|x 2＋2x －1|在上的最大值为2，即M (2，－1)＝2.所以|a |＋|b |的最大值为3.16．B3、B9 若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________． 16．－6或4 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不成立；当a <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤a ，x －1－2a ，a <x ≤－1，3x ＋1－2a ，x >－1，故f (x )min＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤－1，－x ＋1＋2a ，－1<x ≤a ，3x ＋1－2a ，x >a ，故f (x )min＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a＝4.B4 函数的奇偶性与周期性2．B4、B9 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋12．A y ＝cos x 是偶函数，且cos x ＝0有实数解，A 正确；y ＝sin x 是奇函数，B 不正确；y ＝ln x 是非奇非偶函数，C 不正确；y ＝x 2＋1是偶函数，但x 2＋1＝0无实数解，D 不正确．3．B4 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12x D ．y ＝x ＋e x3．D 若f (x )＝1＋x 2，则f (－x )＝1＋（－x ）2＝1＋x 2＝f (x )(x ∈R )，即A 是偶函数；若f (x )＝x ＋1x ，则f (－x )＝－x －1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )(x ≠0)，即B是奇函数；若f (x )＝2x ＋12x ，则f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )(x ∈R )，即C 是偶函数．选D.13．B4 若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．13．1 由f (－x )＝f (x )得－x ln(－x ＋a ＋x 2)＝x ln(x ＋a ＋x 2)，即x ＝x ln a ＝0对定义域内的任意x 恒成立，因为x 不恒为0，所以ln a ＝0，所以a ＝1.2．B4 下列函数为奇函数的是( )A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－x2．D 对于A，函数y＝x的定义域为[)0，＋∞，不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数；B，C选项为偶函数；对于D，设f(x)＝e x－e－x，则其定义域为R，且f(－x)＝e－x－e－(－x)＝e－x－e x＝－f(x)，所以f(x)＝e x－e－x为奇函数．故选D.5．B3、B4、B7设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B．奇函数，且在(0，1)上是减函数C．偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数5．A 由已知可得，f(x)＝ln 1＋x1－x＝ln21－x－1，y＝21－x－1在(0，1)上为增函数，故y＝f(x)在(0，1)上为增函数．又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故y ＝f(x)为奇函数．7．B4、B6、B7已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a7．C 因为函数f(x)＝2|x－m|－1是偶函数，所以m＝0.a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝20－1＝0，所以c<a<b.B5 二次函数14．B3，B5 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．14．(1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪ (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4x 2－12x ＋8，x ≥1.当x <1时，－1<2x－1<1；当x ≥1时，f (x )＝4x 2－12x ＋8在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，所以当x ＝32时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－12×32＋8＝－1.(2)当a ≤0或a ≥2时，f (x )＝2x －a ，x <1与x 轴无交点，故此时f (x )＝4(x 2－3ax ＋2a 2)，x ≥1与x 轴应有2个交点，所以⎩⎨⎧32a >1，f （1）≥0，解得a ≥1，故此时a ≥2.当0<a <2时，f (x )＝2x －a ，x <1与x 轴有1个交点，故此时f (x )＝4(x 2－3ax ＋2a 2)，x ≥1与x 轴应有1个交点，所以⎩⎨⎧f （1）＝0，32a <1或f (1)<0，解得a ＝12或12<a <1，即12≤a <1.综上可知，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪ 对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上12．A 若前三个选项中的结论正确，则a －b ＋c ＝0，－b2a ＝1，a ＋b ＋c＝3，解得a ＝－34，与a 为非零整数矛盾，故错误的结论一定在前三个选项，选项D 中的结论一定正确；若选项A ，B 正确，则有a －b ＋c ＝0，－b2a ＝1，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝－83，与a 为非零整数矛盾，故错误结论一定在选项A ，B 中，即选项C ，D 的结论正确；若选项A 正确，则a －b ＋c ＝0，4ac －b 24a ＝3，4a ＋2b＋c ＝8，整理得a 无实数解，与a 为非零整数矛盾，故错误的只能是选项A 中的结论．8．B5、B9 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫7，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，7C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 8．D f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|2－x |，x ≥0，x 2，x <0，即f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x ，0≤x ≤2，4－x ，x >2. 而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ，x <0，2－x ，0≤x ≤2，（x －2）2，x >2，所以f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x >2.在同一坐标系中分别画出函数y ＝f (x )＋f (2－x )，y ＝b 的图像，如图．要使y ＝f (x )－g (x )有4个不同的零点，只要上述两个函数的图像有4个不同的交点即可，由于函数y ＝f (x )＋f (2－x )的最小值为74，因此74<b <2.18．B3、B5、E7 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间上的最大值．(1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值．18．解：(1)证明：由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 2，得f (x )的图像的对称轴为直线x＝－a2.由|a |≥2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2≥1，故f (x )在上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}．当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4，得max{f (1)，－f (－1)}≥2，即M (a ，b )≥2.当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4，得max{f (－1)，－f (1)}≥2，即M (a ，b )≥2. 综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2. (2)由M (a ，b )≤2得，|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2，|1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2，故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3，由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab <0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3，且|x 2＋2x －1|在上的最大值为2，即M (2，－1)＝2.所以|a |＋|b |的最大值为3.B6 指数与指数函数10．B1、B6 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ． C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．当a <1时，f (a )＝3a －1，若f (f (a ))＝2f (a )，则f (a )≥1，即3a －1≥1，∴23≤a <1；当a ≥1时，f (a )＝2a ≥2，此时f (f (a ))＝2f (a )．综上所述，a ≥23.14．B3、B6 已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________ .14．－32 若0<a <1，则f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)在区间上为减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2；若a >1，则f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)在区间上为增函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．∴a ＋b ＝12－2＝－32.8．A2，B6，B7 设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8．B 当3a >3b >3时，有a ＞b ＞1，从而有log a 3<log b 3，充分性成立；取a ＝13，b ＝3，此时log a 3<log b 3，但不满足a ＞b ＞1，从而3a >3b >3不成立，即必要性不成立．故选B.7．B4、B6、B7 已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a7．C 因为函数f (x )＝2|x －m |－1是偶函数，所以m ＝0.a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝20－1＝0，所以c <a <b .12．B6、B7 若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________． 12.43 3 2a＝2log 43＝2log 23＝3，则2a ＋2－a＝3＋13＝4 33.B7 对数与对数函数5．B7 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．125．C 因为f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2(log 212－1)＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9，故选C.7．B7 如图13，函数f (x )的图像为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0} B.{}x |－1≤x ≤1 C.{}x |－1<x ≤1 D.{}x |－1<x ≤27．C C 由图知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x ≤0，－x ＋2，0<x ≤2.设g (x )＝log 2(x ＋1)．在同一坐标系中画出f (x )，g (x )的图像(如图)，令－x ＋2＝log 2(x ＋1)，解得x ＝1，故不等式的解集为{x |－1<x ≤1}．5．B3、B4、B7 设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数5．A 由已知可得，f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln 21－x －1，y ＝21－x －1在(0，1)上为增函数，故y ＝f (x )在(0，1)上为增函数．又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故y ＝f (x )为奇函数．9．B7、E6 设f (x )＝ln x ，0<a pD ．p ＝r >q9．B r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln(ab )＝ln ab ＝p .因为b >a >0，所以a ＋b 2>ab ，又函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以q >p ＝r ，故选B.8．A2，B6，B7 设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8．B 当3a >3b >3时，有a ＞b ＞1，从而有log a 3<log b 3，充分性成立；取a ＝13，b ＝3，此时log a 3<log b 3，但不满足a ＞b ＞1，从而3a >3b >3不成立，即必要性不成立．故选B.7．B4、B6、B7 已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a7．C 因为函数f (x )＝2|x －m |－1是偶函数，所以m ＝0.a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝20－1＝0，所以c <a 0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <09．C 由x ≠－c 知，P 点的横坐标为－c ，且－c >0，即c <0；由M 点的纵坐标y M ＝f (0)＝bc 2>0，得b >0；设N 点的横坐标为x N ，则ax N ＋b ＝0，解得x N ＝－ba>0，因此a <0.故选C. 13．B8、B9 已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤1，|x 2－4|－2，x >1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．13．4 当0<x ≤1时，由||f （x ）＋g （x ）＝1得||ln x ＝1，解得x ＝1e或x ＝e(舍去)．当x >1时，由||f （x ）＋g （x ）＝1得||ln x ＝3－||x 2－4或||ln x ＝1－||x 2－4.分别在同一个坐标系中作出函数y ＝||ln x 与y ＝3－||x 2－4的图像(如图1)和函数y ＝||ln x 与y ＝1－||x 2－4的图像(如图2)．图1图2当x >1时，它们分别有1个、2个交点，故x >1时，方程有3个实根．综上，方程||f （x ）＋g （x ）＝1共有4个不同的实根．B9 函数与方程2．B4、B9 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋12．A y ＝cos x 是偶函数，且cos x ＝0有实数解，A 正确；y ＝sin x 是奇函数，B 不正确；y ＝ln x 是非奇非偶函数，C 不正确；y ＝x 2＋1是偶函数，但x 2＋1＝0无实数解，D 不正确．12．B9、C2、C6 函数f (x )＝4cos 2x2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．12．2 f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|.令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图像，如图所示．观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 13．B8、B9 已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤1，|x 2－4|－2，x >1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．13．4 当0<x ≤1时，由||f （x ）＋g （x ）＝1得||ln x ＝1，解得x ＝1e或x ＝e(舍去)．当x >1时，由||f （x ）＋g （x ）＝1得||ln x ＝3－||x 2－4或||ln x ＝1－||x 2－4.分别在同一个坐标系中作出函数y ＝||ln x 与y ＝3－||x 2－4的图像(如图1)和函数y ＝||ln x 与y ＝1－||x 2－4的图像(如图2)．图1图2当x >1时，它们分别有1个、2个交点，故x >1时，方程有3个实根．综上，方程||f （x ）＋g （x ）＝1共有4个不同的实根． 19．B9、B12 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求c 的值． 19．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a3.当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)，则f ′(x )>0，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减；当a <0时，若x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞，则f ′(x )>0，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减．(2)由(1)知，函数f (x )的两个极值分别为f (0)＝b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫427a 3＋b <0，从而⎩⎨⎧a >0，－427a 30时，427a 3－a ＋c >0或当a <0时，427a 3－a ＋c <0.设g (a )＝427a 3－a ＋c .因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以在(－∞，－3)上g (a )<0，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上g (a )>0均恒成立，从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)．因为函数f (x )有三个零点，所以x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.综上，c ＝1.8．B9、D5 若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．98．D 不妨设a >b ，由韦达定理得a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，则a >b >0, 所以－2，b ，a 成等差数列，a ，－2，b 成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a －2，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2(舍去)，所以p ＝5，q ＝4，所以p ＋q ＝9. 15．B9 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．15．(－∞，0)∪(1，＋∞) 令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝b 有两个交点．结合图像，当a <0时，存在实数b 使h (x )＝x 2(x >a )的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a ≥0时，必须满足φ(a )>h (a )，即a 3>a 2，解得a >1.综上得a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．21．B9、B12、D2、D3 设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x >0，n ∈N ，n ≥2.(1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在12，1内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12＋12x n ＋1n ； (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和g n (x )的大小，并加以证明．21．解：(1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －2，则F n (1)＝n －1>0，F n 12＝1＋12＋122＋…＋12n －2＝1－12n ＋11－12－2＝－12n <0，所以F n (x )在12，1内至少存在一个零点．又F n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nxn －1>0，故F n (x )在12，1内单调递增，所以F n (x )在12，1内有且仅有一个零点x n .因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0，即1－x n ＋1n 1－x n －2＝0，故x n ＝12＋12x n ＋1n . (2)方法一：由题设，g n (x )＝（n ＋1）（1＋x n ）2.设h (x )＝f n (x )－g n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －（n ＋1）（1＋x n）2，x >0.当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )．当x ≠1时，h ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1－n （n ＋1）x n －12.若0<x <1，h ′(x )>xn －1＋2xn －1＋…＋nxn －1－n （n ＋1）2xn －1＝n （n ＋1）2x n －1－n （n ＋1）2x n －1＝0.若x >1，h ′(x )<xn －1＋2xn －1＋…＋nxn －1－n （n ＋1）2xn －1＝n （n ＋1）2x n －1－n （n ＋1）2x n －1＝0.所以h (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以h (x )<h (1)＝0，即f n (x )<g n (x )．综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )<g n (x )．方法二：由题设，f n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n ， g n (x )＝（n ＋1）（x n ＋1）2，x >0.当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )．当x ≠1时，用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x )．①当n ＝2时，f 2(x )－g 2(x )＝－12(1－x )2<0，所以f 2(x )<g 2(x )成立．②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即f k (x )<g k (x )．那么，当n ＝k ＋1时，f k＋1(x )＝f k (x )＋x k＋1<g k (x )＋x k＋1＝（k ＋1）（1＋x k ）2＋x k＋1＝2x k ＋1＋（k ＋1）x k ＋k ＋12.又g k ＋1(x )－2x k ＋1＋（k ＋1）x k ＋k ＋12＝kx k ＋1－（k ＋1）x k ＋12，令h k (x )＝kx k ＋1－(k ＋1)x k ＋1(x >0)，则h k ′(x )＝k (k ＋1)x k －k (k ＋1)x k －1＝k (k ＋1)x k －1(x －1)．所以当0<x <1时，h k ′(x )<0，h k (x )在(0，1)上递减；当x >1时，h k ′(x )>0，h k (x )在(1，＋∞)上递增．所以h k (x )>h k (1)＝0，从而g k ＋1(x )>2x k ＋1＋（k ＋1）x k ＋k ＋12.故f k ＋1(x )<g k ＋1(x )，即n ＝k ＋1时不等式也成立．由①和②知，当x ≠1时，对一切n ≥2，n ∈N ，都有f n (x )<g n (x )．综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )<g n (x )．方法三：由已知，记等差数列为{a k }，等比数列为{b k }，k ＝1，2，…，n ＋1.则a 1＝b 1＝1，a n ＋1＝b n ＋1＝x n ，所以a k ＝1＋(k －1)·x n －1n (2≤k ≤n )，b k ＝x k －1(2≤k ≤n )，令m k (x )＝a k －b k ＝1＋（k －1）（x n －1）n－x k －1，x >0(2≤k ≤n )，当x ＝1时，a k ＝b k ，所以f n (x )＝g n (x )．当x ≠1时，m k ′(x )＝k －1n ·nx n －1－(k －1)x k －2＝(k －1)x k －2(x n －k ＋1－1)．而2≤k ≤n ，所以k －1>0，n －k ＋1≥1.若0<x <1，则x n －k ＋1<1，m k ′(x )<0；若x >1，x n －k ＋1>1，则m k ′(x )>0，从而m k (x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以m k (x )>m k (1)＝0，所以当x >0且x ≠1时，a k >b k (2≤k ≤n )，又a 1＝b 1，a n ＋1＝b n ＋1，故f n (x )<g n (x )．综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )<g n (x )．21．B9、B12、B14 已知函数f (x )＝－2(x ＋a )ln x ＋x 2－2ax －2a 2＋a ，其中a >0. (1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．21．解：(1)由已知得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， g (x )＝f ′(x )＝2(x －a )－2ln x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x ，所以g ′(x )＝2－2x ＋2a x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x2. 当0<a <14时，g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减；当a ≥14时，g (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：由f ′(x )＝2(x －a )－2ln x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x ＝0，解得a ＝x －1－ln x 1＋x －1.令φ(x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x －1－ln x 1＋x －1ln x ＋x 2－2·x －1－ln x 1＋x －1·x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－ln x 1＋x －12＋x －1－ln x1＋x －1，则φ(1)＝1>0，φ(e)＝－e （e －2）1＋e －1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫e －21＋e －12<0，故存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.令a 0＝x 0－1－ln x 01＋x －1，u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)．由u ′(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以0＝u （1）1＋1f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而f (x )>f (x 0)＝0. 所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥0.综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．8．B5、B9 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 8．D f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|2－x |，x ≥0，x 2，x <0，即f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x ，0≤x ≤2，4－x ，x >2. 而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ，x <0，2－x ，0≤x ≤2，（x －2）2，x >2，所以f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x >2.在同一坐标系中分别画出函数y ＝f (x )＋f (2－x )，y ＝b 的图像，如图．要使y ＝f (x )－g (x )有4个不同的零点，只要上述两个函数的图像有4个不同的交点即可，由于函数y ＝f (x )＋f (2－x )的最小值为74，因此74<b <2.20．B9、B11、B12 已知函数f (x )＝nx －x n ，x ∈R ，其中n ∈N *，且n ≥2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的正实数x ，都有f (x )≤g (x )；(3)若关于x 的方程f (x )＝a (a 为实数)有两个正实数根x 1，x 2，求证：|x 2－x 1|<a1－n＋2. 20．解：(1)由f (x )＝nx －x n ，可得f ′(x )＝n －nx n －1＝n (1－x n －1)，其中n ∈N *，且n ≥2.下面分两种情况讨论：①当n 为奇数时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增． ②当n 为偶数时，当f ′(x )>0，即x <1时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >1时，函数f (x )单调递减．所以，f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)证明：设点P 的坐标为(x 0，0)，则x 0＝n1n －1，f ′(x 0)＝n －n 2.曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)，即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)．令F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)，则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．由于f ′(x )＝n －nx n －1在(0，＋∞)上单调递减，故F ′(x )在(0，＋∞)上单调递减．又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，F ′(x )>0，当x ∈(x 0，＋∞)，F ′(x )<0，所以F (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以对于任意的正实数x ，都有F (x )≤F (x 0)＝0，即对于任意的正实数x ，都有f (x )≤g (x )．(3)证明：不妨设x 1≤x 2.由(2)知g (x )＝(n －n 2)(x －x 0)．设方程g (x )＝a 的根为x 2′，所以x 2′＝an －n 2＋x 0，当n ≥2时，g (x )在(－∞，＋∞)上单调递减．又由(2)知g (x 2)≥f (x 2)＝a ＝g (x 2′)，可得x 2≤x 2′.类似地，设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )，可得h (x )＝nx ，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )－h (x )＝－x n <0，即对于任意的x ∈(0，＋∞)，f (x )<h (x )．设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝an .因为h (x )＝nx 在(－∞，＋∞)上单调递增，且h (x 1′)＝a ＝f (x 1)<h (x 1)，因此x 1′<x 1.由此可得x 2－x 1<x 2′－x 1′＝a 1－n＋x 0.因为n ≥2，所以2n －1＝(1＋1)n －1≥1＋C 1n －1＝1＋n －1＝n ，故2≥n 1n －1＝x 0.所以|x 2－x 1|<a 1－n＋2.16．B3、B9 若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________． 16．－6或4 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不成立；当a <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤a ，x －1－2a ，a <x ≤－1，3x ＋1－2a ，x >－1，故f (x )min＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤－1，－x ＋1＋2a ，－1<x ≤a ，3x ＋1－2a ，x >a ，故f (x )min＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a＝4.B10 函数模型及其应用17．B10、B11 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图13所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值．(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域． ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．图1317．解：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b ，得⎩⎨⎧a25＋b ＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1000x 2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1000t 2.设点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2000x 3，则l 的方程为y －1000t 2＝－2000t 3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3000t 22＝32t 2＋4×106t 4，t ∈．②设g (t )＝t 2＋4×106t4，则g ′(t )＝2t －16×106t5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2. 当t ∈时，g ′(t )>0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．8．B10 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，图14描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )图14A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油8．D 选项A 中，由图可知消耗一升汽油，乙车行驶的最大路程超过5千米；选项B 中，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车的燃油效率最大，故消耗汽油最少；选项C 中，甲车以80千米/小时的速度行驶时，1升汽油可行驶10千米，所以行驶1小时，即行驶80千米应消耗汽油8升；选项D 中，此时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故在相同条件下，用丙车比用乙车更省油．故选D.16．B10、B13 如图15，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．图1516．1.2 以梯形的底边为x 轴，底边的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，根据已知点(5，2)在该抛物线上，代入抛物线方程得a ＝225，即抛物线方程为y ＝225x 2，故抛物线与直线y ＝2所围成的图形的面积为2⎠⎜⎛052－225x 2d x ＝⎪⎪⎪22x －275x 350＝403，梯形的面积为10＋62×2＝16.最大流量之比等于其截面面积之比，故比值为16403＝4840＝1.2.13．B10 某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．。

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数学M单元推理与证明M1 合情推理与演绎推理16．A1，M1已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．16．201 (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c ＝1，故③正确．则100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.14．M1甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．A由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城市．14．M1已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，f n＋1(x)＝f(f n(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为________．14.x1＋2014x 由题意，得f1(x)＝f(x)＝x1＋x，f2(x)＝x 1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，f3(x)＝x1＋3x，…，由此归纳推理可得f2014(x)＝x1＋2014x.M2 直接证明与间接证明21．B12、M2已知函数f(x)＝x cos x－sin x＋1(x＞0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)记x i为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有1x21＋1x22＋…＋1x 2n＜23. 21．解： (1)f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k π(k ∈N *)．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x >0，此时f ′(x )<0; 当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x <0，此时f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x 1＝π2.当n ∈N *时，因为f (n π)f []（n ＋1）π＝＜0，且函数f (x )的图像是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故n π＜x n ＋1＜(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，1x 21＝4π2＜23；当n ＝2时，1x 21＋1x 22＜1π2(4＋1)＜23；当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋122＋…＋1（n －1）2＜1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋11×2＋…＋1（n －2）（n －1）＜1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1 ＝1π2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－1n －1＜6π2＜23. 综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n ＜23.M3 数学归纳法23．B11、M3 已知函数f 0(x )＝sin x x(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1)求2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22都成立．23．解： (1)由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝cos x x －sin x x 2，于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin xx3，所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16π3.故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1.(2)证明：由已知得，xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf 0′(x )＝cosx ，即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2.类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)，3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2， 4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． (i)当n ＝1时，由上可知等式成立．(ii)假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2.因为′＝kf k －1′(x )＋f k (x )＋xf k ′(x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（k ＋1）π2，所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（k ＋1）π2，因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(i)(ii)可知，等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立．令x ＝π4，可得nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋n π2(n ∈N *)，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(n ∈N *)．M4 单元综合5．记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k，当k ＝1，2，3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ，S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ，S 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4＋An 2，…由此可以推测A ＝____________．5．－112 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以16＋12＋512＋A ＝1，解得A ＝－112.6．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .已知四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.6．2πr 4因为W ′＝8πr 3，所以W ＝2πr 4.7．观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3； (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5. 照此规律，第n 个等式为________________________________________________________________________．7．(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n×1×3×5×…×(2n －1)观察等式规律可知第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n×1×3×5×…×(2n －1)．8．已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第57个数对是________．8．(2，10) 由题意，发现所给序数列有如下规律： (1，1)的和为2，共1个； (1，2)，(2，1)的和为3，共2个； (1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个； (1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n 时，有n －1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10)．9．已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x(a >1)的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立．运用类比的思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同的两点，则类似地有________________成立．9.sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22依据函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像可知，线段AB总是位于A ，B 两点之间函数图像的下方，所以有sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22.。

高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 B单元函数与导数 Word版含答案

B 函数与导数 B1 函数及其表示14．B1 已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．14．(0,1)∪(1,2) y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，－1≤x <1，x ＋1，x <－1或x >1，在同一坐标系内画出y ＝kx 与y ＝|x 2－1|x －1的图象如图，结合图象当直线y ＝kx 斜率从0增到1时，与y ＝|x 2－1|x －1在x 轴下方的图象有两公共点；当斜率从1增到2时，与y ＝|x 2－1|x －1的图象在x 轴上、下方各有一个公共点．11．B1 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，则f (f (－4))＝________.11．4 由题目所给的是一分段函数，而f (－4)＝16，所以f (16)＝4，故答案为4. 3．B1 函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ． B ．(－1,0)∪(0,2] C ． D ．(－1,2]3．B 本题考查函数的定义域，考查运算能力，容易题．要使函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2有意义，须有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，解之得－1<x ≤2且x ≠0.3．B1 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.1393．D f (x )＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，故选D.5．B1 函数f (x )＝1－2 log 6x 的定义域为________．5．(0，6] 本题考查函数定义域的求解．解题突破口为寻找使函数解析式有意义的限制条件．由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－2log 6x ≥0，解得0<x ≤ 6.11．B1 函数y ＝x ＋1x的定义域为________．11．{x |x ≥－1且x ≠0} 本题考查函数的定义域，函数有意义，满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0.解得{x |x ≥－1且x ≠0}．9．B1 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π9．B 解题的关键是求分段函数的值时，一定要认真分析自变量所在的区间，因为各段上的解析式是不相同的．∵π是无理数，∴g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0，所以选择B.13．B1 函数f (x )＝11－2x的定义域是________．(用区间表示)13.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 由⎩⎨⎧1－2x ≠0，1－2x ≥0，解得x ＜12，即函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.B2 反函数2．B2 函数y ＝x ＋1(x ≥－1)的反函数为( ) A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1)2．A 本小题主要考查求反函数的方法．解题的突破口为原函数与反函数定义域与值域的关系和反解x 的表达式．由y ＝x ＋1得y 2＝x ＋1，即x ＝y 2－1，交换x 和y 得y ＝x 2－1，又原函数的值域为y ≥0，所以反函数的定义域为x ≥0，故选A.B3 函数的单调性与最值16．B3 设函数f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.16． 2因为f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则f (x )＝g (x )＋1.由g (－x )＝－2x －sin xx 2＋1＝－g (x )及函数g (x )的定义域为R ，得函数g (x )是奇函数，故g (x )max与g (x )min 互为相反数．故g (x )max ＋g (x )min ＝0.易知M ＝g (x )max ＋1，m ＝g (x )min ＋1，所以M ＋m ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝0＋2＝2.13．B3 若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是容易作出函数f (x )的图像(图略)，可知函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是设函数f (x )＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．0B ．7C ．14D ．21 12．D 记公差为d ，则f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝(a 1－3)3＋(a 2－3)3＋…＋(a 7－3)3＋(a 1＋a 2＋…＋a 7)－7＝(a 4－3d －3)3＋(a 4－2d －3)3＋…＋(a 4＋2d －3)3＋(a 4＋3d －3)3＋7a 4－7 ＝7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7a 4－7.由已知，7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7a 4－7＝14，即7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7(a 4－3)＝0， ∴(a 4－3)3＋4(a 4－3)＝0.因为f (x )＝x 3＋4x 在R 上为增函数，且f (0)＝0，故a 4－3＝0，即a 4＝3，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝7×3＝21.2．B3、B4 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．D 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D ，我们也可利用x >0、x ＝0、x <0讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求，故选D.8．B3、B10 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )图1－6A ．5B ．7C ．9D ．118．C 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．法一：因为随着n 的增大，S n 在增大，要使S n n取得最大值，只要让随着n 的增大S n ＋1－S n 的值超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的加入即可，S n ＋1－S n 的值不超过S n ＋1－S 1n(平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设S m m 是S n n 取的最大值，所以只要S m m >S m ＋1m ＋1即可，也就是S m －0m －0>S m ＋1－0m ＋1－0，即可以看作点Q m (m ，S m )与O (0,0)连线的斜率大于点Q m ＋1(m ＋1，S m ＋1)与O (0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q 9(9，S 9)与O (0,0)连线的斜率开始大于点Q 10(10，S 10)与O (0,0)连线的斜率．答案为C.14．A2、A3、B3、E3 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．14．(－4,0) 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力．由已知g (x )＝2x－2<0，可得x <1，要使∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立，当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f (x )必须开口向下，也就是m <0，要满足条件，必须使方程f (x )＝0的两根2m ，－m －3都小于1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m <1，－m －3<1，可得m ∈(－4,0)．20．B3、D4、M4 设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f ＋e ＋f ＝0.记r i (A )为A 的第i 行各数之和(i ＝1,2)，c j (A )为A 的第j 列各数之和(j ＝1,2,3)；记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，|c 3(A )|中的最小值． (1)对如下数表A ，求k (A )的值；(2)设数表A 形如其中－1≤d ≤0，求k (A )(3)对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求k (A )的最大值．20．解：(1)因为r 1(A )＝1.2，r 2(A )＝－1.2，c 1(A )＝1.1，c 2(A )＝0.7，c 3(A )＝－1.8，所以k (A )＝0.7.(2)r 1(A )＝1－2d ，r 2(A )＝－1＋2d ，c 1(A )＝c 2(A )＝1＋d ，c 3(A )＝－2－2d .因为－1≤d ≤0，所以|r 1(A )|＝|r 2(A )|≥1＋d ≥0， |c 3(A )|≥1＋d ≥0.所以k (A )＝1＋d ≤1.当d ＝0时，k (A )取得最大值1. (3)任给满足性质P 的数表A (如下所示)．任意改变A 所得数表A *仍满足性质P ，并且k (A )＝k (A *)．因此，不妨设r 1(A )≥0，c 1(A )≥0，c 2(A )≥0. 由k (A )的定义知，k (A )≤r 1(A )，k (A )≤c 1(A )，k (A )≤c 2(A )．从而3k (A )≤r 1(A )＋c 1(A )＋c 2(A ) ＝(a ＋b ＋c )＋(a ＋d )＋(b ＋e ) ＝(a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f )＋(a ＋b －f ) ＝a ＋b －f ≤3. 所以k (A )≤1.由(2)知，存在满足性质P 的数表A 使k (A )＝1. 故k (A )的最大值为1.6．B3、B4 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈R B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0 C ．y ＝e x －e －x2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R6．B 法一：由偶函数的定义可排除C 、D ，又∵y ＝cos2x 为偶函数，但在(1,2)内不单调递增，故选B.法二：由偶函数定义知y ＝log 2|x |为偶函数，以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增．22．B3、B9、B12 已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明． 22．解：(1)由已知f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，有sin x ＋x cos x ＞0.当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即π2a －32＝π－32，解得a ＝1.综上所述，得f (x )＝x sin x －32.(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而有f (0)＝－32＜0.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的．所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内至少存在一个零点．又由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有且仅有一个零点．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x .由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＞0，g (π)＝－π＜0，且g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使得g (m )＝0.由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，有g ′(x )＜0，从而g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内单调递减．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，m 时，g (x )＞g (m )＝0，即f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 内单调递增，故当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 上无零点；当x ∈(m ，π)时，有g (x )＜g (m )＝0，即f ′(x )＜0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减．又f (m )＞0，f (π)＜0，且f (x )在上的图象是连续不断的，从而f (x )在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．8．B3、B10 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )图1－6A ．5B ．7C ．9D ．118．C 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．法一：因为随着n 的增大，S n 在增大，要使S nn取得最大值，只要让随着n 的增大S n ＋1－S n 的值超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的加入即可，S n ＋1－S n 的值不超过S n ＋1－S 1n(平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设S m m 是S n n 取的最大值，所以只要S m m >S m ＋1m ＋1即可，也就是S m －0m －0>S m ＋1－0m ＋1－0，即可以看作点Q m (m ，S m )与O (0,0)连线的斜率大于点Q m ＋1(m ＋1，S m ＋1)与O (0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q 9(9，S 9)与O (0,0)连线的斜率开始大于点Q 10(10，S 10)与O (0,0)连线的斜率．答案为C.16．B3、B4 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.16． 32本题考查了函数的性质等基本知识，考查了学生的观察、变通能力，属于较易题．函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.B4 函数的奇偶性与周期性12．B4 若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.12．4 因为f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，所以根据f (x )为偶函数得f (x )＝f (－x )，即x 2＋(a －4)x －4a ＝x 2＋(4－a )x －4a ，所以a －4＝4－a ，解得a ＝4.9．B4 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________.9．3 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y ＝f (x )为奇函数．已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1，∴f (1)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3. 4．B4 下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋14．D 根据奇偶性的定义知A 、B 都为奇函数，C 非奇非偶函数，D 是偶函数，所以选择D.6．B3、B4 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R6．B 法一：由偶函数的定义可排除C 、D ，又∵y ＝cos2x 为偶函数，但在(1,2)内不单调递增，故选B.法二：由偶函数定义知y ＝log 2|x |为偶函数，以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增． 2．B3、B4 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．D 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D ，我们也可利用x >0、x ＝0、x <0讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求，故选D.16．B3、B4 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 16． 32本题考查了函数的性质等基本知识，考查了学生的观察、变通能力，属于较易题．函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.B5 二次函数12．B5 设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx .若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<012．B 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，偏难．当y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )图象有且仅有两个不同的公共点时，其图象为作出点A 关于原点的对称点C ，则C (－x 1，－y 1)，由图象知－x 1<x 2，－y 1>y 2，故x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0，故选B.6．B5、B6 方程4x－2x ＋1－3＝0的解是________．6．log 23 考查指数方程和二次方程的求解，以及函数与方程的思想和转化思想，关键是把指数方程转化为二次方程求解．把原方程转化为(2x )2－2·2x－3＝0，化为(2x－3)(2x＋1)＝0，所以2x＝3，或2x ＝－1(舍去)，两边取对数解得x ＝log 23.B6 指数与指数函数4．B6 函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )图1－14．C 由f (1)＝0可知选C.15．B6、B8 若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在本题考查指数函数与幂函数的单调性，考查分类讨论思想及推理论证能力，中档题．∵g (x )＝(1－4m )x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴m <14.当a >1时，f (x )的最大值为a 2＝4，即a ＝2，m ＝2－1＝12>14，与m <14相矛盾，舍去；当0<a <1时，f (x )的最大值为a －1＝4，即a ＝14，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142<14成立．4．B6、B7 已知a ＝21.2，b ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2 log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．A ∵a ＝21.2>2,1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，c ＝2log 52＝log 54<1，∴c <b <a .6．B5、B6 方程4x－2x ＋1－3＝0的解是________．6．log 23 考查指数方程和二次方程的求解，以及函数与方程的思想和转化思想，关键是把指数方程转化为二次方程求解．把原方程转化为(2x )2－2·2x－3＝0，化为(2x－3)(2x＋1)＝0，所以2x＝3，或2x ＝－1(舍去)，两边取对数解得x ＝log 23. 11．B6、B7 当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)11．B 当a >1时，因为0<x ≤12，所以log a x <0.不满足4x<log a x ，故舍去；当0<a <1时，因为0<x ≤12，数形结合易得，需满足412<log a 12，得2<log a 12，则a 2>12，解得a >22或a <－22.结合前提条件得22<a <1.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.故选B. 5．B6、B8、B9 函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．B 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，可得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令h (x )＝x 12，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，所以函数f (x )的零点个数就是函数h (x )与g (x )的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f (x )的零点个数为1，答案为B.7．E1、B6、B7 设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞c b；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③7．D 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c(c <0)在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )＞log b (b －c )，又由对数的换底公式可知log b (b －c ) ＞log a (b －c )，所以log b (a －c )＞log a (b －c )，故选项D 正确．本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．10．A1、E3、B6 设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x－2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0|，则N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为( )A ．(1，＋∞) B．(0,1) C ．(－1,1) D ．(－∞，1)10．D 因为f (g (x ))＝2－4g (x )＋3，所以解关于g (x )不等式2－4g (x )＋3＞0，得g (x )＜1或g (x )＞3，即3x－2＜1或3x －2＞3，解得x ＜1或x ＞log 35，所以M ＝(－∞，1)∪(log 35，＋∞)，又由g (x )＜2，即3x－2＜2,3x＜4，解得x ＜log 34，所以N ＝(－∞，log 34)，故M ∩N ＝(－∞，1)，选D.B7 对数与对数函数7．B7 已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a b >c7．B 因为a ＝log 233＞1，b ＝log 293＝log 233＞1，又∵0＝log 31＜log 32＜log 33＝1，∴a ＝b ＞c ，选B.11．B7 已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x11．D 本小题主要考查对数与指数的大小比较，解题的突破口为寻找中间量作比较．x ＝lnπ>lne＝1,0<log 52<log 42＝log 4412＝12，1＝e 0>e －12＝1e>14＝12，∴y <z <x ，故选D.12．B7 已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.12．2 本题考查函数解析式与对数运算性质．因为f (ab )＝lg(ab )＝1，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(ab )2＝2lg(ab )＝2.3．B7 (log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．43．D (解法一)由换底公式，得()log 29·()log 34＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3lg2·2lg2lg3＝4. (解法二)()log 29·()log 34＝()log 232·()log 322＝2()log 23·2()log 32＝4.4．B6、B7 已知a ＝21.2，b ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2 log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．A ∵a ＝21.2>2,1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，c ＝2log 52＝log 54<1，∴c <b <a .7．E1、B6、B7 设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论： ①c a ＞cb；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③7．D 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c(c <0)在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )＞log b (b －c )，又由对数的换底公式可知log b (b －c ) ＞log a (b －c )，所以log b (a －c )＞log a (b －c )，故选项D 正确．本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．2．A1、B7 设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．C ．2．D 根据已知条件，可求得A ＝[]－1，2，B ＝()1，＋∞，所以A ∩B ＝[]－1，2∩()1，＋∞＝(]1，2.11．B6、B7 当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)11．B 当a >1时，因为0<x ≤12，所以log a x <0.不满足4x<log a x ，故舍去；当0<a <1时，因为0<x ≤12，数形结合易得，需满足412<log a 12，得2<log a 12，则a 2>12，解得a >22或a <－22.结合前提条件得22<a <1.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.故选B. B8 幂函数与函数的图像象15．B6、B8 若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在本题考查指数函数与幂函数的单调性，考查分类讨论思想及推理论证能力，中档题．∵g (x )＝(1－4m )x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴m <14.当a >1时，f (x )的最大值为a 2＝4，即a ＝2，m ＝2－1＝12>14，与m <14相矛盾，舍去；当0<a <1时，f (x )的最大值为a －1＝4，即a ＝14，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142<14成立．5．B6、B8、B9 函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．B 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，可得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令h (x )＝x 12，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，所以函数f (x )的零点个数就是函数h (x )与g (x )的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f (x )的零点个数为1，答案为B.6．B8 已知定义在区间上的函数y ＝f (x )的图象如图1－1所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )图1－1图1－26．By ＝f (x )→y ＝f (－x )→y ＝f →y ＝－f (2－x )，即将y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，再向右平移2个单位长度，然后关于x 轴对称，即为B 图象．B9 函数与方程21．B9、B12、E5 设函数f (x )＝x n＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点；(2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最小值和最大值； (3)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值范围． 21．解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n＋x －1.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12×1＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在零点．又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＝nx n －1＋1＞0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是单调递增的， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点．(2)解法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤f－1≤1，－1≤f 1≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.由图像知，b ＋3c 在点(0，－2)取到最小值－6，在点(0,0)取到最大值0，∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.解法二：由题意知－1≤f (1)＝1＋b ＋c ≤1，即－2≤b ＋c ≤0，① －1≤f (－1)＝1－b ＋c ≤1，即－2≤－b ＋c ≤0，② ①×2＋②得－6≤2(b ＋c )＋(－b ＋c )＝b ＋3c ≤0，当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0，所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.解法三：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝1－b ＋c ，f 1＝1＋b ＋c ，解得b ＝f 1－f －12，c ＝f 1＋f －1－22，∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3. 又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1， ∴－6≤b ＋3c ≤0，所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0. (3)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .对任意x 1，x 2∈都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2＞1，即|b |＞2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾．②当－1≤－b2＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋12≤4恒成立．③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时， M ＝f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－12≤4恒成立．综上可知，－2≤b ≤2. 注：②，③也可合并证明如下：用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者．当－1≤－b2≤1，即－2≤b ≤2时， M ＝max{f (1)，f (－1)}－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝f －1＋f 12＋|f －1－f 1|2－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝1＋c ＋|b |－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 24＋c＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋|b |22≤4恒成立．3．B9、C1 函数f (x )＝x cos2x 在区间上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．D要使f (x )＝x cos2x ＝0，则x ＝0或cos2x ＝0，而cos2x ＝0(x ∈)的解有x ＝π4，3π4，5π4，7π4，所以零点的个数为5.故选D. 22．B3、B9、B12 已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明． 22．解：(1)由已知f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，有sin x ＋x cos x ＞0.当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即π2a －32＝π－32，解得a ＝1.综上所述，得f (x )＝x sin x －32.(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而有f (0)＝－32＜0.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的．所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内至少存在一个零点．又由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有且仅有一个零点．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x .由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＞0，g (π)＝－π＜0，且g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使得g (m )＝0.由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，有g ′(x )＜0，从而g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内单调递减．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，m 时，g (x )＞g (m )＝0，即f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 内单调递增，故当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 上无零点；当x ∈(m ，π)时，有g (x )＜g (m )＝0，即f ′(x )＜0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减．又f (m )＞0，f (π)＜0，且f (x )在上的图象是连续不断的，从而f (x )在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．5．B6、B8、B9 函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．B 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，可得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令h (x )＝x 12，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，所以函数f (x )的零点个数就是函数h (x )与g (x )的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f (x )的零点个数为1，答案为B.B10 函数模型及其应用21．B10、B11、B12 已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1) 求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0. 21．解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a ＞0 时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －a 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 6，此时函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－a 6和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a6，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a6，a 6.(2)由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33，于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0. 故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0.18．B10、B11、B12 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间上的最大值为28，求k 的取值范围． 18．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)．即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b . 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时，h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1.h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的情况如下：当k ≤－3时，函数h (x )在区间上的最大值为h (－3)＝28；当－3＜k ＜2时，函数h (x )在区间上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．18．K2、B10、I2 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：)的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．18．解：(1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85. 当日需求量n <17时，利润y ＝10n －85. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )．(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4. ②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝．故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.18．B10、I4 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)18．解：(1)由于x －＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y －＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －－b x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．B11 导数及其运算9．B11 设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点9．D 所给的原函数f (x )＝2x ＋ln x 的导函数为f ′(x )＝－2x 2＋1x，令f ′(x )＝0可得x ＝2，当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为极小值点，故选D.13．B11 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． 13． y ＝4x －3y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4.故所求切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.21．B10、B11、B12 已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1) 求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0. 21．解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a ＞0 时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －a 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 6，此时函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－a 6和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a6，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a6，a 6.(2)由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33，于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0. 故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0.18．B10、B11、B12 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间上的最大值为28，求k 的取值范围． 18．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)．即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b .解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时，h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1.h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的情况如下：当k ≤－3时，函数h (x )在区间上的最大值为h (－3)＝28；当－3＜k ＜2时，函数h (x )在区间上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．12．B11 已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－812．C 本小题主要考查导数的几何意义的应用．解题的突破口为求切点坐标和切线的斜率．由x 2＝2y 可知y ＝12x 2，这时y ′＝x ，由P ，Q 的横坐标为4，－2，这时P (4,8)，Q (－2,2), 以点P 为切点的切线方程PA 为y －8＝4(x －4)，即4x －y －8＝0①；以点Q 为切点的切线方程QA 为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0②；由①②联立得A 点坐标为(1，－4)，这时纵坐标为－4.7．D3、B11 有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则lim n →∞(V 1＋V 2＋…＋V n )＝________.7.87 考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限，此题只要掌握极限公式即可解决，是简单题型．由已知可知V 1，V 2，V 3，…构成新的等比数列，首项V 1＝1，公比q ＝18，由极限公式得lim n →∞ (V 1＋V 2＋…＋V n )＝V 11－q＝11－18＝87. 10．B11、B12、E1 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( ) A ．若e a＋2a ＝e b＋3b ，则a >b B ．若e a＋2a ＝e b＋3b ，则a b D ．若e a－2a ＝e b－3b ，则a <b10．A 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．由e a＋2a ＝e b＋3b ，有e a＋3a >e b＋3b ，令函数f (x )＝e x＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；由e a－2a ＝e b－3b ，有e a－2a <e b－2b ，令函数f (x )＝e x－2x ，则f ′(x )＝e x－2，函数f (x )＝e x －2x 在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a <b ，故C 、D 错误．B12 导数的应用8．B12 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是()图1－18．C 在A 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0，所以函数在x ＝－2处没有极值；在B 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0，所以函数在x ＝－2处没有极值；在C 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0，所以函数在x ＝－2处取得极小值；在D 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0，所以函数在x ＝－2处取得极大值．综上所知，选C.20．B12 已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间上的最小值．20．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1，a ) a(a ，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值(2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f －2＜0，f －1＞0，f 0＜0，解得0＜a ＜13.所以，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由(1)知f (x )在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．①当t ∈时，t ＋3∈，－1∈，f (x )在上单调递增，在上单调递减．因此，f (x )在上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53，所以g (t )在上的最小值为g (－2)＝－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43. ②当t ∈时，t ＋3∈，且－1,1∈．下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小．由f (x )在，上单调递增，有f (－2)≤f (t )≤f (－1)． f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f (2)＝－13，从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f (1)＝－53，所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43.综上，函数g (t )在区间上的最小值为43.21．B10、B11、B12 已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1) 求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0. 21．解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a ＞0 时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －a 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 6，此时函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－a 6和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a6，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a6，a 6.(2)由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33，于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0. 故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0.10．B11、B12、E1 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( ) A ．若e a＋2a ＝e b＋3b ，则a >b B ．若e a＋2a ＝e b＋3b ，则a b D ．若e a－2a ＝e b－3b ，则a <b10．A 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．由e a＋2a ＝e b＋3b ，有e a＋3a >e b＋3b ，令函数f (x )＝e x＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；由e a－2a ＝e b－3b ，有e a－2a <e b－2b ，令函数f (x )＝e x－2x ，则f ′(x )＝e x－2，函数f (x )＝e x －2x 在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a 0，g (x )<1＋e－2.22．解：(1)由f (x )＝ln x ＋kex，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝1x e x(1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x>0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)证明：因为g (x )＝xf ′(x )，所以g (x )＝1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，由(2)h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，求导得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －lne －2)，x ∈(0，＋∞)，所以当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减．所以当x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤h (e －2)＝1＋e －2. 又当x ∈(0，＋∞)时，0<1ex <1，所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h (x )<1＋e －2，即g (x )<1＋e －2. 综上所述结论成立．21．B12 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，若过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的直线l 与x 轴的交点在曲线y ＝f (x )上，求a 的值．21．解：(1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1.①当a ≥1时， f ′(x )≥0，且仅当a ＝1，x ＝－1时，f ′(x )＝0，所以f (x )是R 上的增函数；②当a <1时，f ′(x )＝0有两个根x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a .当x ∈(－∞，－1－1－a )时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x ∈(－1－1－a ，－1＋1－a )时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x ∈(－1＋1－a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数． (2)由题设知，x 1，x 2为方程f ′(x )＝0的两个根，故有a <1，x 21＝－2x 1－a ，x 22＝－2x 2－a .。

2018版大一轮全国人教数学-历年高考真题与模拟题分类

课标文数13.B1函数y＝16－x－x2的定义域是________．课标文数13.B1【答案】 (－3，2)【解析】由函数解析式可知6－x－x2>0，即x2＋x－6<0，故－3<x<2.课标理数15.B1，M1设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．则称映射f具有性质P.现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号) 课标理数15.B1，M1【答案】①③【解析】设a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，则λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)，①f1(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2－＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λf1(a)＋(1－λ)f1(b)，∴映射f1具有性质P；②f2(λa＋(1－λ)b)＝2＋，λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x21 ＋y1 ) ＋ (1－λ)(x22 ＋y2 )，∴f2(λa＋(1－λ)b)≠λf2(a)＋(1－λ)f2(b)，∴映射f2不具有性质P；③f3(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2＋(λy1＋(1－λ)y2)＋1＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λf3(a)＋(1－λ)f3(b)，∴映射f3具有性质P.故具有性质P的映射的序号为①③.课标文数8.B1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3课标文数8.B1 A 【解析】由已知，得f (1)＝2；又当x >0时，f (x )＝2x>1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a <0，∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A.课标文数4.B1 函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)课标文数4.B1 C 【解析】要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，所以所求定义域为{x |x >－1且x ≠1}，故选C.课标文数16.B1 给定k ∈N *，设函数f ：N *→N *满足：对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k .(1)设k ＝1，则其中一个函数f 在n ＝1处的函数值为________________； (2)设k ＝4，且当n ≤4时，2≤f (n )≤3，则不同的函数f 的个数为________．课标文数16.B1 (1)a (a 为正整数) (2)16 【解析】 (1)由法则f 是正整数到正整数的映射，因为k ＝1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f 在n ＝1处的函数值为任意的a (a 为正整数)；(2)因为2≤f (n )≤3，所以根据映射的概念可得到：1，2，3，4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2，3，4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f 的个数等于16.课标文数11.B1 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________．课标文数11.B1 －2 【解析】因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，－2<0，f (－2)＝10－2，10－2>0，f (10－2)＝lg10－2＝－2.大纲文数16.B1 函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)大纲文数16.B1 ②③④ 【解析】本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解．对于①，如－2，2∈A ，f (－2)＝f (2)，则①错误；对于②，当2x 1＝2x 2时，总有x 1＝x 2，故为单函数；对于③根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即③正确；对于④，函数f (x )在定义域上具有单调性，则函数为一一映射确定的函数关系，所以④正确．课标理数1.B1 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2课标理数1.B1 B 【解析】当α≤0时，f (α)＝－α＝4，α＝－4；当α＞0，f (α)＝α2＝4，α＝2.课标文数11.B1 设函数f (x )＝41－x ，若f (α)＝2，则实数α＝________.课标文数11.B1 －1 【解析】 ∵f (α)＝41－α＝2，∴α＝－1.大纲理数2.B2 函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为( ) A ．y ＝x 24(x ∈R ) B ．y ＝x 24(x ≥0)C ．y ＝4x 2(x ∈R ) D ．y ＝4x 2(x ≥0)大纲理数2.B 2 B 【解析】由y ＝2x 得x ＝y 24，∵x ≥0，∴y ≥0，则函数的反函数为y ＝x 24(x ≥0)．故选B.大纲文数2.B2 函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为( ) A ．y ＝x 24(x ∈R ) B ．y ＝x 24(x ≥0)C ．y ＝4x 2(x ∈R ) D ．y ＝4x 2(x ≥0)大纲文数2.B2 B 【解析】由y ＝2x 得x ＝y 24，∵x ≥0，∴y ≥0，则函数的反函数为y ＝x 24(x ≥0)．故选B.大纲理数7.B2 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，则f (x )的反函数的图象大致是( )图1－2大纲理数7.B2 A 【解析】当x >0时，由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1可得其反函数为y ＝log 12(x －1)(1<x <2)，根据图象可判断选择答案A ，另外对于本题可采用特殊点排除法．课标理数8.B3 设A (0，0)，B (4，0)，C (t ＋4，4)，D (t ，4)(t ∈R )．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N (t )的值域为( )A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}课标理数8.B3 C 【解析】显然四边形ABCD 内部(不包括边界)的整点都在直线y ＝k (k ＝1，2，3)落在四边形ABCD 内部的线段上，由于这样的线段长等于4，所以每条线段上的整点有3个或4个，所以9＝3×3≤N (t )≤3×4＝12.图1－4如图1－4(1)，图(2)，当四边形ABCD 的边AD 上有5个整点时，N (t )＝9；如图(3)，当四边形ABCD 的边AD 上有2个整点时，N (t )＝11；如图(4)，当四边形ABCD 的边AD 上有1个整点时，N (t )＝12. 故应选C.课标理数2.B3，B4 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |课标理数2.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数3.B3，B4 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |课标文数3.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标数学2.B3 函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．课标数学2.B3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 【解析】因为y ＝log 5x 为增函数，故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课标文数12.B3，B7 已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________．课标文数12.B3，B7 18 【解析】 ∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≥1， ∴ab ≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥23a ·32b ＝23a ＋2b≥2322ab＝18.大纲理数5.B3 下列区间中，函数f (x )＝||ln （2－x ）在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 D ． D 【解析】化f (x )为分段函数，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （2－x ），x <1，－ln （2－x ），1≤x <2，作出函数的图象，如图1－1所示，根据图象可知f (x )在设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________．课标文数11.B4，B5 【答案】－3【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1) ＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3.课标理数3.B4，B5 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3课标理数3.B4，B5 A 【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.大纲理数9.B4 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12大纲理数9.B 4 A 【解析】因为函数的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，又函数是奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－12，故选A.大纲文数10.B4 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12大纲文数10.B4 A 【解析】因为函数的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，又函数是奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－12，故选A.课标理数9.B4 对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．( ) A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和2课标理数9.B4 D 【解析】由已知，有f (1)＝a sin1＋b ＋c ，f (－1)＝－a sin1－b ＋c ， ∴ f (1)＋f (－1)＝2c ，∵ c ∈Z ，∴ f (1)＋f (－1)为偶数，而D 选项给出的两个数，一个是奇数，一个是偶数，两个数的和为奇数，故选D.课标理数4.B4 设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数课标理数4.B4 A 【解析】因为g (x )在R 上为奇函数，所以|g (x )|为偶函数，则f (x )＋|g (x )|一定为偶函数．课标文数12.B4 设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________．课标文数12.B4 －9 【解析】由f (a )＝a 3cos a ＋1＝11得a 3cos a ＝10，所以f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.课标理数6.B4 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174D ．a 2课标理数6.B4 B 【解析】因为函数f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以由f (x )＋g (x )＝a x－a －x＋2①，得－f (x )＋g (x )＝a －x－a x＋2②， ①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，所以a ＝2，所以f (x )＝2x －2－x，所以f (2)＝154.课标文数3.B4 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 课标文数3.B4 D 【解析】因为函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f ()－x ＋g ()－x ＝f (x )－g ()x ＝e －x.又因为f (x )＋g ()x ＝e x，所以g ()x ＝e x －e －x2.课标文数12.B4 已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________．课标文数12.B4 6 【解析】由g (x )＝f (x )＋9，得当x ＝－2时，有g (－2)＝f (－2)＋9⇒f (－2)＝－6.因为f (x )为奇函数，所以有f (2)＝f (－2)＝6.课标理数2.B3，B4 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |课标理数2.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数6.B4 若函数f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 课标文数6.B4 A 【解析】法一：由已知得f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）定义域关于原点对称，由于该函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12且x ≠a ，知a ＝12，故选A.法二：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，又f (x )＝x2x 2＋（1－2a ）x －a，则－x 2x 2－（1－2a ）x －a ＝－x 2x 2＋（1－2a ）x －a 在函数的定义域内恒成立，可得a ＝12.课标文数3.B3，B4 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |课标文数3.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数12.B4，B7，B8 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个课标文数12.B4，B7，B8 A 【解析】由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数10.B4 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9课标理数10.B4 B 【解析】当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以当0≤x <2时，f (x )与x 轴交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，则f (x －2)＝(x －2)3－(x －2)，又周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x <4时，f (x )与x 轴交点的横坐标为x 3＝2，x 4＝3；同理当4≤x ≤6时，f (x )与x 轴交点的横坐标分别为x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，所以共有7个交点．课标理数3.B4 设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )图1－1课标理数3.B4 B 【解析】由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ，再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.课标理数11.B4 若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________．课标理数11.B4 0 【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即x 2－|x ＋a |＝(－x )2－|－x ＋a |⇒||x ＋a ＝||x －a ，∴a ＝0.课标文数11.B4，B5 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________．课标文数11.B4，B5 【答案】－3【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1) ＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3.课标理数3.B4，B5 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3课标理数3.B4，B5 A 【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.课标文数8.B5，H2 已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1课标文数8.B5，H2 A 【解析】由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点．因此满足条件的C 点有4个，故应选A.课标理数12.B5 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________．课标理数12.B5 3或4 【解析】由x 2－4x ＋n 得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n ，∵n ∈N ＋，方程要有整数根，满足n ＝3，4，故当n ＝3，4时方程有整数根．课标文数14.B5 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________．课标文数14.B5 3或4 【解析】由x 2－4x ＋n ＝0得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n ，∵n ∈N ＋，方程要有整数根，满足n ＝3，4，当n ＝3，4时方程有整数根．课标理数8.B5 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 课标理数8.B5 B 【解析】 f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f ()x 的图象如图1－4.图1－4∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.课标文数8.B5 对实数a 和b ，定义运算“⊗”；a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1，1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1，2]C ．(－∞，－2)∪(1，2]D ．课标文数8.B5 B 【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－（x －1）≤1x －1，x 2－2－（x －1）>1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1，或x >2 则f (x )的图象如图，∵函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，∴函数y ＝f (x )与y ＝c 的图象有两个交点，由图象可得－2<c ≤－1，或1<c ≤2.图1－3课标理数3.B6 若点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 课标理数3.B6D 【解析】因为点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，所以9＝3a，所以a ＝2，即tan a π6＝tan 2π6＝tan π3＝3，故选D.课标文数3.B6 若点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 课标文数3.B6D 【解析】因为点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，所以9＝3a，所以a ＝2，即tan a π6＝tan 2π6＝tan π3＝3，故选D.课标数学12.B6 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x(x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．课标数学12.B6 12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e【解析】设P (x 0，y 0)，则直线l ：y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．令x ＝0，则y ＝－x 0e x 0＋e x 0，与l 垂直的直线l ′的方程为y －e x 0＝－1e x 0(x －x 0)，令x ＝0得，y ＝x 0e x 0＋e x 0，所以t ＝－x 0e x 0＋2e x 0＋x 0e x 02.令y ＝－x e x ＋2e x ＋x e x 2，则y ′＝－e x （x －1）＋（x －1）ex2，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，y ′>0，当x ∈(1，＋∞)时，y ′<0，故当x ＝1时该函数的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e .课标理数7.B6，B7 已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b课标理数7.B6，B7 C 【解析】令m ＝log 23.4，n ＝log 43.6，l ＝log 3103，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得m >l >n ，图1－3又∵y ＝5x为单调递增函数， ∴a >c >b .课标文数5.B7 若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，b B ．(10a ，1－b ) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2，2b )课标文数5.B7 D 【解析】由点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，得b ＝lg a .当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2，2b )在函数y ＝lg x 图像上．课标文数3.B7 如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x课标文数3.B7 D 【解析】因为log 12x <log 12y <0＝log 121，所以x >y >1，故选D.课标文数15.B7 里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．课标文数15.B7 6 10000 【解析】由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A 1，5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝()lg A 1－lg A 0－()lg A 2－lg A 0＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．课标理数3.B7 若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 课标理数3.B7 A 【解析】根据题意得log 12(2x ＋1)>0，即0<2x ＋1<1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.故选A.课标文数3.B7 若f ()x ＝1log 12()2x ＋1，则f ()x 的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪()0，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 课标文数3.B7 C 【解析】方法一：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)．故选C.方法二：取特值法，取x ＝0，则可排除B 、D ；取x ＝1，则排除A.故选C.课标文数12.B4，B7，B8 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个课标文数12.B4，B7，B8 A 【解析】由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数7.B6，B7 已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b课标理数7.B6，B7 C 【解析】令m ＝log 23.4，n ＝log 43.6，l ＝log 3103，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得m >l >n ，图1－3又∵y ＝5x为单调递增函数， ∴a >c >b .课标文数5.B7 已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b课标文数5.B7 B 【解析】 ∵a ＝log 23.6>log 22＝1.又∵y ＝log 4x ，x ∈(0，＋∞)为单调递增函数，∴log 43.2<log 43.6<log 44＝1， ∴b <c <a .课标文数12.B3，B7 已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________．课标文数12.B3，B7 18 【解析】 ∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≥1， ∴ab ≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥23a ·32b ＝23a ＋2b≥2322ab＝18.大纲文数6.B7 设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a大纲文数6.B7 B 【解析】 a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，则由log 343＜log 332＜log 32，得c ＜b ＜a .故选B.课标文数10.B8 函数f (x )＝ax n (1－x )2在区间上的图像如图1－2所示，则n 可能是( )图1－2A ．1B ．2C ．3D ．4课标文数10.B8 A 【解析】由函数图像可知a >0.当n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )，f ′(x )＝a (3x －1)(x －1)，所以函数的极大值点为x ＝13<0.5，故A 可能；当n ＝2时，函数f (x )＝ax 2(1－x )2＝a (x 2－2x 3＋x 4)，f ′(x )＝a (2x －6x 2＋4x 3)＝ 2ax (2x －1)(x －1)，函数的极大值点为x ＝12，故B 错误；当n ＝3时，f (x )＝ax 3(1－x )2＝a (x 5－2x 4＋x 3)，f ′(x )＝ax 2(5x 2－8x ＋3)＝ax 2(5x －3)(x －1)，函数的极大值点为x ＝35>0.5，故C 错误；当n ＝4时，f (x )＝ax 4(1－x )2＝a (x 6－2x 5＋x 4)，f ′(x )＝a (6x 5－10x 4＋4x 3)＝2ax 3(3x －2)(x －1)，函数的极大值点为x ＝23>0.5，故D 错误．课标理数10.B8 函数f (x )＝ax m(1－x )n在区间上的图像如图1－2所示，则m ，n 的值可能是( )图1－2A ．m ＝1，n ＝1B ．m ＝1，n ＝2C ．m ＝2，n ＝1D ．m ＝3，n ＝1课标理数10.B8 B 【解析】由图可知a ＞0.当m ＝1，n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )的图像关于直线x ＝12对称，所以A 不可能；当m ＝1，n ＝2时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )，f ′(x )＝a (3x 2－4x ＋1)＝a (3x －1)(x －1)，所以f (x )的极大值点应为x ＝13＜0.5，由图可知B 可能．当m ＝2，n ＝1时，f (x )＝ax 2(1－x )＝a (x 2－x 3)，f ′(x )＝a (2x －3x 2)＝－ax (3x －2)，所以f (x )的极大值点为x ＝23＞0.5，所以C 不可能；当m ＝3，n ＝1时，f (x )＝ax 3(1－x )＝a (x 3－x 4)，f ′(x )＝a (3x 2－4x 3)＝－ax 2(4x －3)，所以f (x )的极大值点为x ＝34＞0.5，所以D 不可能，故选B.课标理数13.B8 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．课标理数13.B8 (0，1) 【解析】函数f (x )的图象如图1－5所示：图1－5由上图可知0<k <1.课标文数13.B8 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．课标文数13.B8 (0，1) 【解析】函数f (x )的图象如图1－3所示：图1－3由上图可知0<k <1.课标文数12.B4，B7，B8 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个课标文数12.B4，B7，B8 A 【解析】由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数9.B8 函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )图1－1课标理数9.B8 C 【解析】由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )为奇函数，所以排除A ；又f ′(x )＝12－2cos x ，当x 在x 轴右侧，趋向0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x 轴右边接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos2π＝－32<0，所以x ＝2π应在函数的减区间上，所以选C.课标文数10.B8 函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )图1－2课标文数10.B8 C 【解析】由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )为奇函数，所以排除A ；又f ′(x )＝12－2cos x ，当x 在x 轴右侧，趋向0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在x 轴右边接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos2π＝－32＜0，所以x ＝2π应在函数的减区间上，所以选C.课标文数4.B8 函数y ＝x 13的图象是( )图1－1课标文数4.B8 B 【解析】因为y ＝x 13，由幂函数的性质，过点(0，0)，(1，1)，则只剩B ，C.因为y ＝x α中α＝13，图象靠近x 轴，故答案为B.课标数学8.B8 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．课标数学8.B8 4 【解析】设直线为y ＝kx (k >0)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x⇒x 2＝2k ，y 2＝k 2x 2＝2k ，所以PQ ＝2OP ＝x 2＋y 2＝22k＋2k ≥224＝4.大纲文数4.B8 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )图1－1大纲文数4.B8 A 【解析】由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1可得其反函数为y ＝log 12(x －1)(x >1)，根据图象可判断选择答案A.另外对于本题可采用特殊点排除法．课标理数21.B9，H8 在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝14x 2，实数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．(1)过点A ⎝⎛⎭⎪⎫p 0，14p 20(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，有φ(p ，q )＝|p 0|2； (2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，切点分别为E ⎝⎛⎭⎪⎫p 1，14p 21，E ′⎝⎛⎭⎪⎫p 2，14p 22，l 1，l 2与y 轴分别交于F 、F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2；(3)设D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y ≤x －1，y ≥14（x ＋1）2－54.当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记为φmin)和最大值(记为φmax)．课标理数21.B9，H8 【解答】 (1)证明：切线l 的方程为y ＝12p 0x －14p 20.∀Q (p ，q )∈AB 有φ(p ，q )＝|p |＋p 2－4q 2＝|p |＋（p －p 0）22.当p 0>0时，0≤p ≤p 0，于是φ(p ，q )＝p ＋p 0－p 2＝p 02＝||p 02；当p 0<0时，p 0≤p ≤0，于是φ(p ，q )＝－p ＋p －p 02＝－p 02＝|p 0|2.(2)l 1，l 2的方程分别为y ＝12p 1x －14p 21，y ＝12p 2x －14p 22.求得l 1，l 2交点M (a ，b )的坐标⎝⎛⎭⎪⎫p 1＋p 22，p 1p 24.由于a 2－4b >0，a ≠0，故有|p 1|≠|p 2| . ①先证：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|. (⇒)设M (a ，b )∈X . 当p 1>0时，0|p 2|；当p 1<0时，p 1|p 2|.(⇐)设|p 1|>|p 2|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2p 1<1⇒－10时，0|p 2|.若不然，|p 1|<|p 2|.令Y 是l 2上线段E ′F ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①M (a ，b )∈Y .再由(1)得φ(a ，b )＝|p 2|2≠|p 1|2，矛盾．故必有|p 1|>|p 2|.再由等价式①，M (a ，b )∈X .综上，M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(3)求得y ＝x －1和y ＝14(x ＋1)2－54的交点Q 1(0，－1)，Q 2(2，1)．而y ＝x －1是L 的切点为Q 2(2，1)的切线，且与y 轴交于Q 1(0，－1)，由(1)∀Q (p ，q )∈线段Q 1Q 2，有φ(p ，q )＝1.当Q (p ，q )∈L 1：y ＝14(x ＋1)2－54(0≤x ≤2)时，q ＝14(p ＋1)2－54，∴h (p )＝φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2＝p ＋4－2p2(0≤p ≤2)，在(0，2)上，令h ′(p )＝4－2p －124－2p＝0得p ＝32，由于h (0)＝h (2)＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝54，∴h (p )＝φ(p ，q )在上取得最大值h max ＝54.∀(p ，q )∈D ，有0≤p ≤2，14(p ＋1)2－54≤q ≤p －1，故φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q2≤p ＋p 2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤14（p ＋1）2－542＝p ＋4－2p2≤h max ＝54，φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2≥p ＋p 2－4（p －1）2＝p ＋（p －2）22＝p ＋2－p2＝1，故φmin＝1，φmax＝54.课标理数21.B9，H8 在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝14x 2，实数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．(1)过点A ⎝⎛⎭⎪⎫p 0，14p 20(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，有φ(p ，q )＝|p 0|2； (2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，切点分别为E ⎝⎛⎭⎪⎫p 1，14p 21，E ′⎝⎛⎭⎪⎫p 2，14p 22，l 1，l 2与y 轴分别交于F 、F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2；(3)设D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y ≤x －1，y ≥14（x ＋1）2－54.当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记为φmin)和最大值(记为φmax)．课标理数21.B9，H8 【解答】 (1)证明：切线l 的方程为y ＝12p 0x －14p 20.∀Q (p ，q )∈AB 有φ(p ，q )＝|p |＋p 2－4q 2＝|p |＋（p －p 0）22.当p 0>0时，0≤p ≤p 0，于是φ(p ，q )＝p ＋p 0－p 2＝p 02＝||p 02；当p 0<0时，p 0≤p ≤0，于是φ(p ，q )＝－p ＋p －p 02＝－p 02＝|p 0|2.(2)l 1，l 2的方程分别为y ＝12p 1x －14p 21，y ＝12p 2x －14p 22.求得l 1，l 2交点M (a ，b )的坐标⎝⎛⎭⎪⎫p 1＋p 22，p 1p 24.由于a 2－4b >0，a ≠0，故有|p 1|≠|p 2| . ①先证：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|. (⇒)设M (a ，b )∈X . 当p 1>0时，0|p 2|；当p 1<0时，p 1|p 2|.(⇐)设|p 1|>|p 2|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2p 1<1⇒－10时，0|p 2|.若不然，|p 1|<|p 2|.令Y 是l 2上线段E ′F ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①M (a ，b )∈Y .再由(1)得φ(a ，b )＝|p 2|2≠|p 1|2，矛盾．故必有|p 1|>|p 2|.再由等价式①，M (a ，b )∈X .综上，M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(3)求得y ＝x －1和y ＝14(x ＋1)2－54的交点Q 1(0，－1)，Q 2(2，1)．而y ＝x －1是L 的切点为Q 2(2，1)的切线，且与y 轴交于Q 1(0，－1)，由(1)∀Q (p ，q )∈线段Q 1Q 2，有φ(p ，q )＝1.当Q (p ，q )∈L 1：y ＝14(x ＋1)2－54(0≤x ≤2)时，q ＝14(p ＋1)2－54，∴h (p )＝φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2＝p ＋4－2p2(0≤p ≤2)，在(0，2)上，令h ′(p )＝4－2p －124－2p＝0得p ＝32，由于h (0)＝h (2)＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝54，∴h (p )＝φ(p ，q )在上取得最大值h max ＝54.∀(p ，q )∈D ，有0≤p ≤2，14(p ＋1)2－54≤q ≤p －1，故φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q2≤p ＋p 2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤14（p ＋1）2－542＝p ＋4－2p2≤h max ＝54，φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2≥p ＋p 2－4（p －1）2＝p ＋（p －2）22＝p ＋2－p2＝1，故φmin＝1，φmax＝54.课标文数21.H10，B9在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－2交x 轴于点A .设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO ＝∠AOP .(1)当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知T (1，－1)．设H 是E 上动点，求|HO |＋|HT |的最小值，并给出此时点H 的坐标； (3)过点T (1，－1)且不平行于y 轴的直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点．求直线l 1的斜率k 的取值范围．课标文数21.H10，B9 【解答】 (1)如图1－2(1)．设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q .∵∠MPQ ＝∠AOP ，∴MP ⊥l ，且|MO |＝|MP |. 因此，x 2＋y 2＝|x ＋2|，即y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)． ①另一种情况，见图1－2(2)(即点M 和A 位于直线OP 的同侧)．图1－2∵MQ 为线段OP 的垂直平分线， ∴∠MPQ ＝∠MOQ .又∵∠MPQ ＝∠AOP ，∴∠MOQ ＝∠AOP .因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(x ，0)．为分析M (x ，0)中x 的变化范围，设P (－2，a )为l 上任意点(a ∈R )．由|MO |＝|MP |，即|x |＝（x ＋2）2＋a 2得，x ＝－1－14a 2≤－1.故M (x ，0)的轨迹方程为y ＝0，x ≤－1. ②综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为y2＝⎩⎪⎨⎪⎧4（x ＋1），x ≥－1，0， x <－1. (2)由(1)知，轨迹E 的方程由下面E 1和E 2两部分组成(如图1－3)：图1－3E 1：y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)； E 2：y ＝0，x <－1.当H ∈E 1时，过T 作垂直于l 的直线，垂足为T ′，交E 1于D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－1.再过H 作垂直于l 的直线，交l 于H ′.因此，|HO |＝|HH ′|(抛物线的性质)．∴|HO |＋|HT |＝|HH ′|＋|HT |≥|TT ′|＝3(该等号仅当H ′与T ′重合(或H 与D 重合)时取得)．当H ∈E 2时，则|HO |＋|HT |>|BO |＋|BT |＝1＋5>3.综合可得，|HO |＋|HT |的最小值为3，且此时点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－1. (3)由图1－3知，直线l 1的斜率k 不可能为零．设l 1：y ＋1＝k (x －1)(k ≠0)．故x ＝1k (y ＋1)＋1，代入E 1的方程得：y 2－4ky －⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋8＝0.因判别式Δ＝16k2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22＋28>0，所以l 1与E 中的E 1有且仅有两个不同的交点．又由E 2和l 1的方程可知，若l 1与E 2有交点，则此交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k ，0，且k ＋1k <－1.即当－12<k <0时，l 1与E 2有唯一交点⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ，0，从而l 1与E 有三个不同的交点．因此，直线l 1斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(0，＋∞)．课标理数22.B9，M3 已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x . (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (a n ＋1)＝g (a n )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标理数22.B9，M3 【解答】 (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法二：由h (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点． (2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0. (i)当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0.由此猜测：a n <x 0.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，a 1<x 0显然成立． ②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k <x 0＋x 0＝x 30知，a k ＋1<x 0.因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1<x 0成立．故对任意的n ∈N *，a n <x 0成立．(ii)当a ≥x 0时，由(1)知，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增，则h (a )≥h (x 0)＝0，即a 3≥a ＋a .从而a 32＝a 1＋a 1＝a ＋a ≤a 3，即a 2≤a .由此猜测：a n ≤a .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1≤a 显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ≤a 成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k ≤a ＋a ≤a 3知，a k ＋1≤a .因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≤a 成立．故对任意的n ∈N *，a n ≤a 成立．综上所述，存在常数M ＝max{x 0，a }，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标理数12.B9 函数y ＝11－x 的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8课标理数12.B9 D 【解析】当x ＝12时，y ＝11－12＝2；当x ＝32时，y ＝11－32＝－2.所以函数图象如图所示，所以有8个根，且关于点(1，0)对称，所以所有根的总和为8.图1－5课标文数10.B9 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 课标文数10.B9 C 【解析】因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－1>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，又因为函数y ＝e x是单调增函数，y ＝4x －3也是单调增函数，所以函数f (x )＝e x ＋4x －3是单调增函数，所以函数f (x )＝e x＋4x －3的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12内．课标理数16.B9已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．课标理数16.B92 【解析】本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2<a<3，所以log a2<1＝log a a<log a3，因为3<b<4，所以b－2>1>log a2，b－3<1<log a3，所以f(2)·f(3)＝(log a2＋2－b)(log a3＋3－b)<0，所以函数的零点在(2，3)上，所以n＝2.课标文数16.B9已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．课标文数16.B92 【解析】本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2＜a＜3，所以log a2＜1＝log a a＜log a3，因为3＜b＜4，所以b－2>1>log a2，b－3＜1＜log a3，所以f(2)·f(3)＝ (log a2＋2－b)·(log a3＋3－b)＜0，所以函数的零点在(2，3)上，所以n＝2.课标理数6.B9函数f(x)＝x－cos x在 B 【解析】在同一个坐标系中作出y＝x与y＝cos x的图象如图，图1－2由图象可得函数f(x)＝x－cos x在方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根课标文数6.B9C 【解析】如图1－3所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根，故答案为C.图1－3。

【最新】高中数学-2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 B单元

数学B 单元函数与导数 B1 函数及其表示5．B1 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．5．令3－2x －x 2≥0可得x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为． 11．B1、B4 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间因为f (x )的周期为2，所以f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f(12)＝110，即－12＋a ＝110，所以a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25.B2 反函数5．B2 已知点(3，9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________． 5．log 2(x －1)，x ∈(1，＋∞) 将点(3，9)的坐标代入函数f (x )的解析式得a ＝2，所以f (x )＝1＋2x ，所以f －1(x )＝log 2(x －1)，x ∈(1，＋∞)．B3 函数的单调性与最值14．B3，B12 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．14．①2 ②(－∞，－1) 由(x 3－3x )′＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，作出函数y ＝x 3－3x 和y ＝－2x 的图像，如图所示．①当a ＝0时，由图像可得f (x )的最大值为f (－1)＝2.②由图像可知当a ≥－1时，函数f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >a 3－3a ，所以a <－1.13．B3、B4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．13.（12，32）由f (x )是偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，∴2|a －1|<2，即|a －1|<12，∴12<a <32.18．B3，B4 设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数．下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题18．D f (x )＝[f （x ）＋g （x ）]＋[f （x ）＋h （x ）]－[g （x ）＋h （x ）]2.对于①，因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f (x )不一定为增函数，同理g (x )，h (x )不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f (x )是以T 为周期的函数，同理可得g (x )，h (x )也是以T 为周期的函数，所以②为真命题．B4 函数的奇偶性与周期性11．B1、B4 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间因为f (x )的周期为2，所以f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f(12)＝110，即－12＋a ＝110，所以a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25.15．B4、B12 已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．15．y ＝－2x －1 设x >0，则－x <0.∵x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，∴f (－x )＝ln x －3x ，又∵f (－x )＝f (x )，∴当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，∴f ′(x )＝1x－3，即f ′(1)＝－2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1.14．B4 已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f －52＋f (1)＝________．14．－2 因为f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)．因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f 12＝412＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 9．B4 已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，fx ＋12＝fx －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．29．D ∵当x >12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，∴f (x )的周期为1，则f (6)＝f (1)．又∵当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (1)＝－f (－1)．又∵当x <0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝(－1)3－1＝－2，∴f (6)＝－f (－1)＝2. 13．B3、B4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．13.（12，32）由f (x )是偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，∴2|a －1|<2，即|a －1|<12，∴12<a <32.18．B3，B4 设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数．下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题18．D f (x )＝[f （x ）＋g （x ）]＋[f （x ）＋h （x ）]－[g （x ）＋h （x ）]2.对于①，因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f (x )不一定为增函数，同理g (x )，h (x )不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f (x )是以T 为周期的函数，同理可得g (x )，h (x )也是以T 为周期的函数，所以②为真命题．B5 二次函数 B6 指数与指数函数5．E1，C3，B6，B7 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.12x －12y<0 D ．ln x ＋ln y >05．C 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1y<0，故结论不成立；选项B 中，当x＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝12x是定义在R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e －2时，结论不成立．19．B6、B9、B12 已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，于是2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a xln a ＋b xln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln aln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a xln a ＋b xln b )′＝a x(ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数．下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b ＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.6．B6 已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a 423＝243＝a ，故b <a <c .12．B6、B7 已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．12．4 2 设t ＝log a b ，则log b a ＝1t .∵a >b >1，∴0<t <1.由t ＋1t ＝52，化简得t 2－52t＋1＝0，解得t ＝12，故b ＝a ，所以a b＝aa，b a ＝(a )a ＝a 12a ，则a ＝12a ，即a 2－4a ＝0，得a ＝4，b ＝2.B7 对数与对数函数5．E1，C3，B6，B7 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.12x －12y<0 D ．ln x ＋ln y >05．C 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1y<0，故结论不成立；选项B 中，当x＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝12x是定义在R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e －2时，结论不成立．8．B7，B8，E1 若a >b >1，0<c <1，则( ) A ．a c log a clog b c＝log c b log c a ＝log a b ，此时a b >1，0<log a b <1，故此不等式成立；选项D 中的不等式可以化为lg c lg a <lg c lg b ，进而1lg a >1lg b，进而lg a <lg b ，即a <b ，故在已知条件下选项D 中的不等式不成立．21．B12、B14、B7 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)，因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A .9．B7，E6 设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图像上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)9．A 不妨设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中0<x 1<1<x 2.由l 1，l 2分别是点P 1，P 2处的切线，且f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x，0<x <1，1x ，x >1，得l 1的斜率k 1＝－1x 1，l 2的斜率k 2＝1x 2.又l 1与l 2垂直，且0<x 1<x 2，所以k 1·k 2＝－1x 1·1x 2＝－1⇒x 1·x 2＝1，l 1：y ＝－1x 1(x －x 1)－ln x 1①，l 2：y ＝1x 2(x －x 2)＋ln x 2②，则点A 的坐标为(0，1－ln x 1)，点B 的坐标为(0，－1＋ln x 2)，由此可得|AB |＝2－ln x 1－ln x 2＝2－ln(x 1·x 2)＝2.联立①②两式可解得交点P 的横坐标x P ＝2－ln （x 1x 2）x 1＋x 2＝2x 1＋x 2，所以S △PAB ＝12|AB |·|x P |＝12×2×2x 1＋x 2＝2x 1＋1x 1≤1，当且仅当x 1＝1x 1，即x 1＝1时，等号成立．而0<x 1<1，所以0<S △PAB <1，故选A.12．B6、B7 已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．12．4 2 设t ＝log a b ，则log b a ＝1t .∵a >b >1，∴0<t <1.由t ＋1t ＝52，化简得t 2－52t＋1＝0，解得t ＝12，故b ＝a ，所以a b＝aa，b a ＝(a )a ＝a 12a ，则a ＝12a ，即a 2－4a ＝0，得a ＝4，b ＝2.B8 幂函数与函数的图像7．B8，B12 函数y ＝2x 2－e |x |在的图像大致为( )图127．D 易知该函数为偶函数，只要考虑当x ≥0时的情况即可，此时y ＝2x 2－e x.令f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x，则f ′(0)<0，f ′(1)>0，则f ′(x )在(0，1)上存在零点，即f (x )在(0，1)上存在极值，据此可知，只能为选项B ，D 中的图像．当x ＝2时，y ＝8－e 2<1，故选D.8．B7，B8，E1 若a >b >1，0<c <1，则( ) A ．a c log a clog b c＝log c b log c a ＝log a b ，此时a b >1，0<log a b <1，故此不等式成立；选项D 中的不等式可以化为lg c lg a <lg c lg b ，进而1lg a >1lg b，进而lg a <lg b ，即a <b ，故在已知条件下选项D 中的不等式不成立．12．B8 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则（x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m12．B 由f(－x)＝2－f(x)得f(x)的图像关于点(0，1)对称，∵y＝x ＋1x ＝1＋1x 的图像也关于点(0，1)对称，∴两函数图像的交点必关于点(0，1)对称，且对于每一组对称点(x i ，y i )和(x′i ，y′i )均满足x i ＋x′i ＝0，y i ＋y′i ＝2，∴＝0＋2·m2＝m.B9 函数与方程19．B6、B9、B12 已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，于是2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a xln a ＋b xln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln a ln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a xln a ＋b xln b )′＝a x(ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数．下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.15．B9 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．15．(3，＋∞) 画出函数f (x )的图像如图所示，根据已知得m >4m －m 2，又m >0，解得m >3，故实数 m 的取值范围是(3，＋∞)．B10 函数模型及其应用 B11 导数及其运算21．B11，B12，E8 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x－e 1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a，此时，当x ∈（0，12a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（12a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又s (1)＝0，所以当x >1时，s (x )>0，从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1.由(1)有f （12a ）<f (1)＝0，而g （12a ）>0，所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈[12，＋∞).B12 导数的应用14．B3，B12 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．14．①2 ②(－∞，－1) 由(x 3－3x )′＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，作出函数y ＝x 3－3x 和y ＝－2x 的图像，如图所示．①当a ＝0时，由图像可得f (x )的最大值为f (－1)＝2.②由图像可知当a ≥－1时，函数f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >a 3－3a ，所以a <－1.17．G1、G7、B12 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1(如图15所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？图1517．解：(1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)，正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2)设A 1B 1＝a (m)，PO 1＝h (m)，则0<h <6，O 1O ＝4h .连接O 1B 1. 因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)．当0<h <23时，V ′>0，V 是单调增函数；当23<h <6时，V ′<0，V 是单调减函数．故h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值．因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．19．B6、B9、B12 已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，于是2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a xln a ＋b xln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln a ln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a xln a ＋b xln b )′＝a x(ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数．下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b ＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.7．B8，B12 函数y ＝2x 2－e |x |在的图像大致为( )图127．D 易知该函数为偶函数，只要考虑当x ≥0时的情况即可，此时y ＝2x 2－e x.令f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x，则f ′(0)<0，f ′(1)>0，则f ′(x )在(0，1)上存在零点，即f (x )在(0，1)上存在极值，据此可知，只能为选项B ，D 中的图像．当x ＝2时，y ＝8－e 2<1，故选D.21．B12 已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.21．解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a )． (i)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点．(ii)设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a 2，则f (b )>a2(b －2)＋a (b －1)2＝a （b2－32b ）>0，故f (x )存在两个零点．(iii)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln(－2a )>1.故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞) 时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x－e x)．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0，从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.15．B4、B12 已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．15．y ＝－2x －1 设x >0，则－x <0.∵x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，∴f (－x )＝ln x －3x ，又∵f (－x )＝f (x )，∴当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，∴f ′(x )＝1x－3，即f ′(1)＝－2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1.21．B12、B14、B7 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)，因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A . 21．B11，B12，E8 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x－e 1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a，此时，当x ∈（0，12a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（12a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又s (1)＝0，所以当x >1时，s (x )>0，从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1.由(1)有f （12a ）<f (1)＝0，而g （12a ）>0，所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈[12，＋∞).16．B12 若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．16．1－ln 2 曲线y ＝ln x ＋2的切线为y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(其中x 1为切点横坐标)，曲线y ＝ln(x ＋1)的切线为y ＝1x 2＋1·x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(其中x 2为切点横坐标)．由题可知⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x2x 2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 21．B12 (1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0. (2)证明：当a ∈．由(1)知，f (x )＋a 单调递增，对任意a ∈，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0. 当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e x a －a （x a ＋1）x 2a ＝e x a ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a＝e x ax a ＋2，于是h (a )＝e x a x a ＋2.由e xx ＋2′＝（x ＋1）e x（x ＋2）2>0(x >0)，可知y ＝exx ＋2(x >0)单调递增，所以，由x a ∈(0，2]，得12＝e 00＋2<h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e24.因为y ＝e x x ＋2单调递增，对任意λ∈（12，e24]，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈.综上，当a ∈.10．B12 若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 310．A 由函数图像上两点处的切线互相垂直，可知函数在这两点处的导数之积为－1，经检验，选项A 符合题意．20．B12，B14 已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈成立．20．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )>0，f (x )单调递增，若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )<0，f (x )单调递减．当a >0时，f ′(x )＝a （x －1）x 3（x －2a）（x ＋2a）.(i)当0<a <2时，2a>1. 当x ∈(0，1)或x ∈（2a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x ∈（1，2a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(ii)当a ＝2时，2a＝1，在区间(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． (iii)当a >2时，0<2a<1.当x ∈（0，2a）或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈2a，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)上单调递增，在（1，2a）上单调递减，在（2a，＋∞）上单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，f (x )在（0，2a ）上单调递增，在（2a，1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知，当a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x 2－（1－1x －2x 2＋2x 3）＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈．设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈，则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x )．由g ′(x )＝x －1x≥0，可得g (x )≥g (1)＝1，当且仅当x ＝1时取得等号．又h ′(x )＝－3x 2－2x ＋6x4. 设φ(x )＝－3x 2－2x ＋6，则φ(x )在上单调递减．因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x 0∈(1，2)，使得当x ∈(1，x 0)时，φ(x )＞0，x ∈(x 0，2)时，φ(x )＜0. 所以h (x )在(1，x 0)上单调递增，在(x 0，2)上单调递减．由h (1)＝1，h (2)＝12，可得h (x )≥h (2)＝12，当且仅当x ＝2时取得等号．所以f (x )－f ′(x )＞g (1)＋h (2)＝32，即f (x )＞f ′(x )＋32对于任意的x ∈成立．20．B12 设函数f (x )＝(x －1)3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1＋2x 0＝3； (3)设a >0，函数g (x )＝|f (x )|，求证：g (x )在区间上的最大值不小于14.20．解：(1)由f (x )＝(x －1)3－ax －b ，可得f ′(x )＝3(x －1)2－a . 下面分两种情况讨论：(i)当a ≤0时，有f ′(x )＝3(x －1)2－a ≥0恒成立，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(ii)当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1＋3a 3或x ＝1－3a3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：（1＋3a3，＋∞）.(2)证明：因为f (x )存在极值点，所以由(1)知a >0，且x 0≠1.由题意，得f ′(x 0)＝3(x 0－1)2－a ＝0，即(x 0－1)2＝a 3，进而f (x 0)＝(x 0－1)3－ax 0－b ＝－2a 3x 0－a 3－b .又f (3－2x 0)＝(2－2x 0)3－a (3－2x 0)－b ＝8a 3(1－x 0)＋2ax 0－3a －b ＝－2a 3x 0－a3－b ＝f (x 0)，且3－2x 0≠x 0，由题意及(1)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)＝f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1＝3－2x 0，所以x 1＋2x 0＝3.(3)证明：设g (x )在区间上的最大值为M ，max{x ，y }表示x ，y 两数的最大值．下面分三种情况讨论：(i)当a ≥3时，1－3a 3≤0<2≤1＋3a3，由(1)知，f (x )在区间上单调递减，所以f (x )在区间上的取值范围为，因此M ＝max{|f (2)|，|f (0)|}＝max{|1－2a －b |，|－1－b |}＝max{|a －1＋(a ＋b )|，|a －1－(a ＋b )|}＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋（a ＋b ），a ＋b ≥0，a －1－（a ＋b ），a ＋b <0，所以M ＝a －1＋|a ＋b |≥2.(ii)当34≤a <3时，1－23a 3≤0<1－3a 3<1＋3a 3<2≤1＋23a 3.由(1)和(2)知f (0)≥f （1－23a 3）＝f （1＋3a 3），f (2)≤f （1＋23a 3）＝f （1－3a3），所以f (x )在区间上的取值范围为，因此M ＝max{|f(1＋3a 3)|，|f (1－3a3)|＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2a 93a －a －b ，2a 93a －a －b ＝ max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 93a ＋（a ＋b ），2a 93a －（a ＋b ）＝2a 93a ＋|a ＋b |≥29×34×3×34＝14. (iii)当0<a <34时，0<1－23a 3<1＋23a 3<2，由(1)和(2)知f (0)<f (1－23a3)＝f (1＋3a 3)，f (2)>f (1＋23a 3)＝f (1－3a3). 所以f (x )在区间上的取值范围为，因此M ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝max{|－1－b |，|1－2a －b |}＝max{|1－a ＋(a ＋b )|，|1－a －(a ＋b )|}＝1－a ＋|a ＋b |>14.综上所述，当a >0时，g (x )在区间上的最大值不小于14.03“复数与导数”模块(1)已知i 为虚数单位．若复数z 满足(z ＋i)2＝2i ，求复数z .(2)求曲线y ＝2x 2－ln x 在点(1，2)处的切线方程．解：(1)设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，由题意得a 2－(b ＋1)2＋2a (b ＋1)i ＝2i ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故z ＝1或z ＝－1－2i. (2)由于(2x 2－ln x )′＝4x －1x，则曲线在点(1，2)处的切线的斜率为3.因此，曲线在点(1，2)处的切线方程为y ＝3x －1. B13 定积分与微积分基本定理 B14 单元综合18．B14 设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e－1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 18．解：(1)因为f (x )＝x ea －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋ex －1)及e2－x>0知，f ′(x )与1－x ＋ex －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．21．B12、B14、B7 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )；(2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)，因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A .15．B14 在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)． 15．②③ ①设点A 的坐标为(x ，y )，则其“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，故A ′的“伴随点”的横坐标为－x x 2＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x x 2＋y 22＝－x ，同理可得纵坐标为－y ，故点A ′的“伴随点”是(－x ，－y )，故①错误．②设单位圆上的点P 的坐标为(cos θ，sin θ)，则点P 的伴随点P ′的坐标为(sin θ，－cos θ)，即P ′cos θ－π2，sin θ－π2，所以点P ′也在单位圆上，故②正确． ③设曲线C 上点A 的坐标为(x ，y )，则其关于x 轴对称的点A 1(x ，－y )也在曲线C 上，点A 的“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，点A 1的“伴随点”为A ′1⎝ ⎛⎭⎪⎫－yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，点A ′与A ′1关于y 轴对称，故③正确．④取y ＝1这条直线，则A (0，1)，B (1，1)，C (2，1)都在直线上，这三个点的“伴随点”分别是A ′(1，0)，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25，而A ′，B ′，C ′三个点不在同一直线上，故④错误．下面给出严格证明：设点P (x ，y )在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上，P 点的“伴随点”为P ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y x 2＋y 2，y 0＝－x x 2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－yx 2＋y 20，y ＝ x 0x 20＋y 20.将其代入直线l 的方程可得A－y 0x 20＋y 20＋B x 0x 20＋y 20＋C ＝0，化简得－Ay 0＋Bx 0＋C (x 20＋y 20)＝0.当C ＝0时，C (x 20＋y 20)＝0，P ′的轨迹是一条直线；当C ≠0时，C (x 20＋y 20)不是一个常数，P ′的轨迹不是一条直线．所以，直线的“伴随曲线”不一定是一条直线．20．B12，B14 已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈成立．20．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )>0，f (x )单调递增，若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )<0，f (x )单调递减．当a >0时，f ′(x )＝a （x －1）x 3（x －2a）（x ＋2a）.(i)当0<a <2时，2a>1. 当x ∈(0，1)或x ∈（2a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x ∈（1，2a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(ii)当a ＝2时，2a＝1，在区间(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． (iii)当a >2时，0<2a<1.当x ∈（0，2a）或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈2a，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)上单调递增，在（1，2a）上单调递减，在（2a，＋∞）上单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，f (x )在（0，2a ）上单调递增，在（2a，1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知，当a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x 2－（1－1x －2x 2＋2x 3）＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈．设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈，则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x )．。

2018版大一轮全国人教数学-历年高考真题与模拟题分类

H 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程12．H1、H7、H8 在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．12. 3 本题考查抛物线方程、抛物线简单几何性质以及直线和抛物线的位置关系以及三角形面积公式，考查数形结合及转化化归思想．抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l 的斜率为tan600＝3，所以直线l 的方程为y ＝3x －3，将直线l 的方程和抛物线方程联立⎩⎨⎧y ＝3x －3，y 2＝4x ，可得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由点A 在x 轴上方，所以A 点在第一象限，则x 1＝3，y 1＝2 3.法一：|AF |＝x 1＋1＝4，O 点到直线AB 的距离为d ＝32，所以S ΔFOA ＝12×4×32＝ 3. 法二： A (3,23)，所以S ΔFOA ＝12×1×23＝ 3.16．H1、H 7 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.16.94 本题在新定义背景下考查直线、圆和抛物线的方程，一、二次曲线之间的位置关系与导数的几何意义等基础知识，考查综合运用知识的能力以及函数与方程和数形结合的数学思想．求出曲线C 1到直线l 的距离和曲线C 2到直线l 的距离，建立等式，求出参数a 的值. 曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差，即d －r ＝||－42－2＝2，由y ＝x 2＋a 可得y ′＝2x ，令y ′＝2x ＝1，则x ＝12，在曲线C 1上对应的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋a ，所以曲线C 1到直线l 的距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋a 直线l 的距离，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－a 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－a 2＝2，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＝2，a ＝－74或a ＝94，当a ＝－74时，曲线C 1：y ＝x 2－74与直线l ：y ＝x 相交，两者距离为0，不合题意，故a ＝94.19．H1、H5、H8 已知曲线C ：(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )． (1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；(2)设m ＝4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B (点A 位于点B 的上方)，直线y ＝kx ＋4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线y ＝1与直线BM 交于点G .求证：A ，G ，N 三点共线．19．解：(1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当 ⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m －2>0，85－m >8m －2，解得72<m <5，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，5. (2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0.因为直线与曲线C 交于不同的两点，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24>0，即k 2>32.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4， x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1x 2＝241＋2k2. 直线BM 的方程为y ＋2＝y 1＋2x 1x ，点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 1y 1＋2，1.因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝y 2－2x 2，k AG ＝－y 1＋23x 1，所以k AN －k AG ＝y 2－2x 2＋y 1＋23x 1＝kx 2＋2x 2＋kx 1＋63x 1＝43k ＋x 1＋x 2x 1x 2＝43k ＋2×－16k 1＋2k 2241＋2k2＝0，即k AN ＝k AG .故A ，G ，N 三点共线．19．H1、H5、F1 已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．19．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2，又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .4．H1、F1 若n ＝(－2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．4．arctan2 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率．由已知可得直线的斜率k ×1－2＝－1，∴k ＝2，k ＝tan α，所以直线的倾斜角α＝arctan2.8．H1、H6 如图1－2所示，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62C. 2D. 38．B 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，直线间的位置关系，直线间的交点，双曲线的方程与几何性质等．依题得直线F 1B 的方程为y ＝bcx ＋b ，那么可知线段PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－c b(x －3c )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝bc x ＋b ，y ＝－ba x联立解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac a ＋c ，bc a ＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bcx ＋b ，y ＝ba x联立解得点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，那么可得线段PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2，c 2b ，代入y ＝－c b (x －3c )并整理可得2c 2＝3a 2，可得e ＝ca ＝32＝62，故应选B. 众多的条件与复杂的计算是阻碍本题求解的关键，解答时要静下心来，分析点、直线、曲线的关系，求解对应的坐标并加以正确计算．H2 两直线的位置关系与点到直线的距离3．A2、H2 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．A 本题主要考查直线的平行关系与充要条件的判断等基础知识和基本方法．法一：直接推理：分清条件和结论，找出推出关系即可．当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行，所以条件具有充分性；若直线l 1与直线l 2平行，则有：a 1＝2a ＋1，解之得：a ＝1 或 a ＝－2，经检验，均符合，所以条件不具有必要性．故条件是结论的充分不必要条件．法二：把命题“a ＝1”看作集合M ＝{1}，把命题“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”看作集合N ＝{1，－2}，易知M ⊆N ，所以条件是结论的充分不必要条件，答案为A.H3 圆的方程21．H5、H3、H8 设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k >0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．21．解：(1)如图(1)，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为点A 在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．(2)方法1：如图(2)、(3)，对任意的k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得(m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 21－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得－x 1＋x 2＝－4k 2x 1m 2＋4k 2，即x 2＝m 2x 1m 2＋4k 2.因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2km 2x 1m ＋4k .于是PQ →＝(－2x 1，－2kx 1)， PH →＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2x 1m 2＋4k 2，2km 2x 1m 2＋4k 2.而PQ ⊥PH 等价于PQ →·PH →＝－m 2k 2x 21m 2＋4k 2＝0，即2－m 2＝0，又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .方法2：如图(2)、(3)，对任意x 1∈(0,1)，设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)．因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2x 21＋y 21＝m 2，m 2x 22＋y 22＝m 2，两式相减可得m 2(x 21－x 22)＋(y 21－y 22)＝0.③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合，故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0.于是由③式可得y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 2.④又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即2y 1x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2.于是由④式可得k PQ ·k PH ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝12·y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 22.而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即－m 22＝－1，又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .20．H3、H7、H8 设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．20．解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|FA |＝2p . 由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|FA |＝2p .因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝－2(舍去)，p ＝2. 所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知 |AD |＝|FA |＝12|AB |，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0.解得b ＝－p6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3. H4 直线与圆、圆与圆的位置关系20．H5、H4、H8 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．20．解：(1)∵e ＝23＝c a ＝a 2－b 2a， ∴a 2＝3b 2，即椭圆C 的方程可写为x 23b 2＋y 2b2＝1.设P (x ，y )为椭圆C 上任意给定的一点， |PQ |2＝x 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋6＋3b 2≤6＋3b 2，y ∈．由题设存在点P 1满足|P 1Q |＝3，则9＝|P 1Q |2≤6＋3b 2，∴b ≥1.当b ≥1时，由于y ＝－1∈，此时|PQ |2取得最大值6＋3b 2. ∴6＋3b 2＝9⇒b 2＝1，a 2＝3. 故所求椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)存在点M 满足要求，使△OAB 的面积最大．假设直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，则圆心O 到l 的距离d ＝1m 2＋n 2<1.因为点M (m ，n )∈C ，所以m 23＋n 2＝1<m 2＋n 2，于是0<m 2≤3.∵|AB |＝21－d 2＝2m 2＋n 2－1m 2＋n 2，∴S △OAB ＝12·|AB |·d ＝m 2＋n 2－1m 2＋n 2＝23|m |1＋23m 2≤23|m |21·23m 2＝12. 上式等号成立当且仅当1＝23m 2⇒m 2＝32∈(0,3]，因此当m ＝±62，n ＝±22时等号成立．所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22，此时对应的诸三角形的面积均达到最大值12.12．H4 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．12.43 本题考查用几何方法判定两圆的位置关系．解题突破口为设出圆的圆心坐标．圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，因为两个圆有公共点，故x －2＋kx －2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解之得0≤k ≤43，故最大值为43.4．H4 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能4．A 本小题主要考查直线与圆的位置关系，解题的突破口为熟练掌握判断直线与圆位置关系的方法．x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝－2＋－2＝1<2，点P (3,0)恒在圆内，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.3．H4 对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心3．C 圆x 2＋y 2＝2的圆心为(0,0)，半径为2，因为圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0·k ＋－＋1|k 2＋－2＝1k 2＋1，因为0＜1k 2＋1≤1＜2，所以直线与圆相交但不过圆心．8．H4 设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．B ．(－∞，1－3]∪D ．(－∞，2－22]∪ 本题考查直线与圆相切条件、点到直线的距离公式及不等式的运用，考查运算求解能力及转化思想，偏难．∵直线与圆相切，∴|m ＋n |m ＋2＋n ＋2＝1，整理得mn ＝(m ＋n )＋1，由基本不等式得(m ＋n )＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解之得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.10．E5、H4 设平面点集A ＝(x ，y )⎪⎪(y －x )·y －1x≥0，B ＝{}x ，yx －2＋y －2≤1，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.34πB.35π C.47π D.π210．D 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们所示的平面区域，如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形．由于圆和曲线y ＝1x关于直线y ＝x 对称，因此阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2. H5 椭圆及其几何性质4．H5 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.454．C 根据题意，一定有∠PF 1F 2＝30°，且∠PF 2x ＝60°，故直线PF 2的倾斜角是π3，设直线x ＝32a 与x 轴的交点为M ，则|PF 2|＝2|F 2M |，又|PF 2|＝|F 1F 2|，所以|F 1F 2|＝2|F 2M |.所以2c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ，即4c ＝3a ，故e ＝c a ＝34.故选C.19．H5、H8 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3. 19．解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1. ①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明：(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b 2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋4.由a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |> 3.(方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a ＋k 2x 20b ＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a ＋k 2x 20a＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入③，得(1＋k 2)4a 2＋k22＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.19．H5、F1、H1 已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．19．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2，又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k ，y 2B ＝16k 21＋4k，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .20．H5、H8 如图1－3，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．图1－3(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b＝c 2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此 y 1＋y 2＝4m m ＋5，y 1·y 2＝－16m ＋5，又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－m 2＋m 2＋5－16m2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.20．H5、H9 如图1－7，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y2＝t 21，b ＜t 1＜a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点．C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．图1－7(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等．证明：t 21＋t 22为定值．20．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )，② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得 x 2a 2－y 2b 2＝1(x ＜－a ，y ＜0). (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得 4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2，由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2. 从而y 21＋y 22＝b 2，因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．19．H1、H5、H8 已知曲线C ：(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )． (1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；(2)设m ＝4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B (点A 位于点B 的上方)，直线y ＝kx ＋4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线y ＝1与直线BM 交于点G .求证：A ，G ，N 三点共线．19．解：(1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当 ⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m －2>0，85－m >8m －2，解得72<m <5，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，5. (2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0.因为直线与曲线C 交于不同的两点，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24>0，即k 2>32.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4， x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1x 2＝241＋2k2. 直线BM 的方程为y ＋2＝y 1＋2x 1x ，点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 1y 1＋2，1.因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝y 2－2x 2，k AG ＝－y 1＋23x 1，所以k AN －k AG ＝y 2－2x 2＋y 1＋23x 1＝kx 2＋2x 2＋kx 1＋63x 1＝43k ＋x 1＋x 2x 1x 2＝43k ＋2×－16k 1＋2k 2241＋2k2＝0，即k AN ＝k AG .故A ，G ，N 三点共线．20．H5、H4、H8 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．20．解：(1)∵e ＝23＝c a ＝a 2－b2a， ∴a 2＝3b 2，即椭圆C 的方程可写为x 23b 2＋y 2b2＝1.设P (x ，y )为椭圆C 上任意给定的一点， |PQ |2＝x 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋6＋3b 2≤6＋3b 2，y ∈．由题设存在点P 1满足|P 1Q |＝3，则9＝|P 1Q |2≤6＋3b 2，∴b ≥1.当b ≥1时，由于y ＝－1∈，此时|PQ |2取得最大值6＋3b 2. ∴6＋3b 2＝9⇒b 2＝1，a 2＝3. 故所求椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)存在点M 满足要求，使△OAB 的面积最大．假设直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，则圆心O 到l 的距离d ＝1m 2＋n 2<1.因为点M (m ，n )∈C ，所以m 23＋n 2＝1<m 2＋n 2，于是0<m 2≤3.∵|AB |＝21－d 2＝2m 2＋n 2－1m 2＋n 2，∴S △OAB ＝12·|AB |·d ＝m 2＋n 2－1m 2＋n 2＝23|m |1＋23m 2≤23|m |21·23m 2＝12. 上式等号成立当且仅当1＝23m 2⇒m 2＝32∈(0,3]，因此当m ＝±62，n ＝±22时等号成立．所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22，此时对应的诸三角形的面积均达到最大值12.20．H5、H8 如图1－5，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．图1－520．解：(1)(方法一)由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，故直线PF 2的斜率为kPF 2＝b 2a －0－c －c ＝－b 22ac.因为PF 2⊥F 2Q ，所以直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2b2，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，2a .由题设知，a 2c＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(方法二)设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M ，由条件知，P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 因为△PF 1F 2∽△F 2MQ ，所以||PF 1||F 2M ＝||F 1F 2||MQ .即b 2aa 2c－c ＝2c||MQ ，解得||MQ ＝2a .所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2c＝4，2a ＝4，a ＝2，c ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：直线PQ 的方程为y －2ab 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c，即y ＝cax ＋a .将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0.解得x ＝－c ，y ＝b 2a，所以直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．19．H5、H8、F3 如图1－4，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．图1－419．解：解法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3. 故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1,0)，则MP →·MQ →＝0对满足(*)式的m 、k 恒成立．因为MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP →·MQ →＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0，整理，得(4x 1－4)km＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 解法二：(1)同解法一．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m ＝3，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取k ＝－12，m ＝2，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＝4516，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－1，3m ，MQ →＝(3,4k ＋m )，从而MP →·MQ →＝－12k m －3＋12k m＋3＝0，故恒有MP →⊥MQ →，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .21．H5、H3、H8 设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k >0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．21．解：(1)如图(1)，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为点A 在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．(2)方法1：如图(2)、(3)，对任意的k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得(m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 21－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得－x 1＋x 2＝－4k 2x 1m 2＋4k 2，即x 2＝m 2x 1m 2＋4k 2. 因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2km 2x 1m 2＋4k 2.于是PQ →＝(－2x 1，－2kx 1)， PH →＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2x 1m 2＋4k 2，2km 2x 1m 2＋4k 2.而PQ ⊥PH 等价于PQ →·PH →＝－m 2k 2x 21m 2＋4k 2＝0，即2－m 2＝0，又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .方法2：如图(2)、(3)，对任意x 1∈(0,1)，设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)．因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2x 21＋y 21＝m 2，m 2x 22＋y 22＝m 2，两式相减可得m 2(x 21－x 22)＋(y 21－y 22)＝0.③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合，故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0.于是由③式可得y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 2.④又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即2y 1x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2.于是由④式可得k PQ ·k PH ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝12·y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 22.而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即－m 22＝－1，又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .13．H5 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．13.55考查椭圆的定义和性质、等比数列的性质等；解题的突破口是建立关于a ，c 的齐次等式，然后转化为离心率e 的方程求解．由椭圆的定义知，|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，∵|AF 1|，|F 1F 2|，|BF 1|成等比数列，因此4c 2＝(a －c )(a ＋c )，整理得5c 2＝a 2，两边同除以a 2得5e 2＝1，解得e ＝55. 10．H5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝110．D 本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，中档题．由离心率为32得，a 2＝4b 2，排除选项B ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为()2，2，代入选项A 、C 、D ，知选项D 正确．22．H5、H6 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ； (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1，若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．22．解：(1)双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1，得x 2－2bx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以 OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |＞22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k24＋k2.同理|OM |2＝1＋k22k 2－1，设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2.所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．15．H5 椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．15．3 如图，设椭圆右焦点为F ′，直线x ＝m 与x 轴相交于C ，由椭圆第一定义，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a ＝4，而|AB |＝|AC |＋|BC |≤|AF ′|＋|BF ′|， ∴当且仅当AB 过F ′时，△ABF 周长最大．此时，由c ＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，即|AB |＝3， ∴S △ABF ＝12|AB ||FF ′|＝3.H6 双曲线及其几何性质8．H6 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．8．2 本题考查双曲线离心率的求解．解题突破口是明确焦点所在轴．根据双曲线方程可得：m >0，所以e ＝m ＋m 2＋4m＝5，解之得m ＝2.图1－35．H6 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 5．A 本题考查双曲线方程和渐近线方程，意在考查考生对双曲线方程和其性质的掌握；解题思路：首先由a ，b ，c 的关系，排除C ，D ，再由渐近线方程得答案A.由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝52＝25，排除C ，D ，又由渐近线方程为y ＝bax ＝12x ，得12＝ba，解得a 2＝20，b 2＝5，所以选A. 本题易错一：对双曲线的几何性质不清，错以为c ＝10，错选C ；易错二：渐近线求解错误，错解成12＝ab，从而错选B.8．H6 已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.458．C 本小题主要考查双曲线的定义及余弦定理的应用，解题的突破口为运用双曲线的定义求出PF 1和PF 2的长，再用余弦定理即可求．由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，cos ∠F 1PF 2＝22＋22－4222＝34，故选C.8．H1、H6 如图1－2所示，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62C. 2D. 38．B 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，直线间的位置关系，直线间的交点，双曲线的方程与几何性质等．依题得直线F 1B 的方程为y ＝bcx ＋b ，那么可知线段PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－c b(x －3c )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝bc x ＋b ，y ＝－ba x 联立解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac a ＋c ，bc a ＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bc x ＋b ，y ＝ba x联立解得点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，那么可得线段PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2，c 2b ，代入y ＝－c b (x －3c )并整理可得2c 2＝3a 2，可得e ＝ca ＝32＝62，故应选B. 众多的条件与复杂的计算是阻碍本题求解的关键，解答时要静下心来，分析点、直线、曲线的关系，求解对应的坐标并加以正确计算．8．H6、H7 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．88．C 由题意可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)．易知抛物线y 2＝16x 的准线方程为x ＝－4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2a2＝1，x ＝－4，得16－y 2＝a 2(*)，因为|AB |＝43，所以y ＝±2 3.代入(*)式，得16－(±23)2＝a 2，解得a ＝2(a >0)．所以C 的实轴长为2a ＝4，故选C.22．H5、H6 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ； (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1，若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．22．解：(1)双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1，得x 2－2bx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以 OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |＞22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k24＋k2.同理|OM |2＝1＋k22k 2－1，设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2.所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．14．H6、H8 如图1－5所示，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.图1－514．(1)5＋12 (2)5＋22(1)由图可知，点O 到直线F 1B 2的距离d 与圆O 的半径OA 1相等，又直线F 1B 2的方程为x －c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0.所以d ＝bc b 2＋c 2＝a ，整理得b 2(c 2－a 2)＝a 2c 2，即(c 2－a 2)2＝a 2c 2，得c 2－a 2＝ac . 所以e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(负值舍去)． (2)连结OB ，设BC 与x 轴的交点为E ，由勾股定理可求得|BF 1|＝c 2－a 2. 由等面积法可求得|BE |＝|F 1B ||OB ||F 1O |＝abc，所以|OE |＝|OB |2－|BE |2＝a 2c.所以S 2＝2|OE |·2|EB |＝4a 3bc2.而S 1＝12|F 1F 2||B 1B 2|＝2bc, 所以S 1S 2＝c 32a 3＝12e 3＝5＋22.H7 抛物线及其几何性质8．H7 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5。

[精品]2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 B单元函数与导数(2011)和答案

课标文数13.B1函数y＝16－x－x2的定义域是________．课标文数13.B1【答案】 (－3，2)【解析】由函数解析式可知6－x－x2>0，即x2＋x－6<0，故－3<x<2.课标理数15.B1，M1设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．则称映射f具有性质P.现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号)课标理数15.B1，M1【答案】①③【解析】设a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，则λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x 2，λy 1＋(1－λ)y 2)，①f 1(λa ＋(1－λ)b )＝λx 1＋(1－λ)x 2－＝λ(x 1－y 1)＋(1－λ)(x 2－y 2)＝λf 1(a )＋(1－λ)f 1(b )， ∴映射f 1具有性质P ； ②f 2(λa ＋(1－λ)b )＝2＋，λf 2(a )＋(1－λ)f 2(b )＝λ(x 21 ＋y 1 ) ＋ (1－λ)(x 22 ＋ y 2 )，∴f 2(λa ＋(1－λ)b )≠λf 2(a )＋(1－λ)f 2(b )， ∴ 映射f 2不具有性质P ；③f 3(λa ＋(1－λ)b )＝λx 1＋(1－λ)x 2＋(λy 1＋(1－λ)y 2)＋1 ＝λ(x 1＋y 1＋1)＋(1－λ)(x 2＋y 2＋1)＝λf 3(a )＋(1－λ)f 3(b )，∴ 映射f 3具有性质P .故具有性质P 的映射的序号为①③.课标文数8.B1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3课标文数8.B1 A 【解析】由已知，得f (1)＝2；又当x >0时，f (x )＝2x >1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a <0，∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A.课标文数4.B1 函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 课标文数 4.B1 C 【解析】要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，所以所求定义域为{x |x >－1且x ≠1}，故选C.课标文数16.B1 给定k ∈N *，设函数f ：N *→N *满足：对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k .(1)设k ＝1，则其中一个函数f 在n ＝1处的函数值为________________；(2)设k ＝4，且当n ≤4时，2≤f (n )≤3，则不同的函数f 的个数为________．课标文数16.B1 (1)a (a 为正整数) (2)16 【解析】 (1)由法则f 是正整数到正整数的映射，因为k ＝1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f 在n ＝1处的函数值为任意的a (a 为正整数)；(2)因为2≤f (n )≤3，所以根据映射的概念可得到：1，2，3，4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2，3，4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f 的个数等于16.课标文数11.B1 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________．课标文数11.B1 －2 【解析】因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，－2<0，f (－2)＝10－2，10－2>0，f (10－2)＝lg10－2＝－2.大纲文数16.B1 函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)大纲文数16.B1 ②③④ 【解析】本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解．对于①，如－2，2∈A ，f (－2)＝f (2)，则①错误；对于②，当2x 1＝2x 2时，总有x 1＝x 2，故为单函数；对于③根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即③正确；对于④，函数f (x )在定义域上具有单调性，则函数为一一映射确定的函数关系，所以④正确．课标理数1.B1 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2课标理数1.B1 B 【解析】当α≤0时，f (α)＝－α＝4，α＝－4；当α＞0，f (α)＝α2＝4，α＝2.课标文数11.B1 设函数f (x )＝41－x ，若f (α)＝2，则实数α＝________.课标文数11.B1 －1 【解析】 ∵f (α)＝41－α＝2，∴α＝－1.大纲理数2.B2 函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为( ) A ．y ＝x 24(x ∈R ) B ．y ＝x 24(x ≥0)C ．y ＝4x 2(x ∈R )D ．y ＝4x 2(x ≥0)大纲理数2.B 2 B 【解析】由y ＝2x 得x ＝y 24，∵x ≥0，∴y≥0，则函数的反函数为y ＝x 24(x ≥0)．故选B.大纲文数2.B2 函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为( ) A ．y ＝x 24(x ∈R ) B ．y ＝x 24(x ≥0)C ．y ＝4x 2(x ∈R )D ．y ＝4x 2(x ≥0)大纲文数2.B2 B 【解析】由y ＝2x 得x ＝y 24，∵x ≥0，∴y≥0，则函数的反函数为y ＝x 24(x ≥0)．故选B.大纲理数7.B2 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，则f (x )的反函数的图象大致是()图1－2大纲理数7.B2 A 【解析】当x >0时，由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1可得其反函数为y ＝log 12(x －1)(1<x <2)，根据图象可判断选择答案A ，另外对于本题可采用特殊点排除法．课标理数8.B3设A(0，0)，B(4，0)，C(t＋4，4)，D(t，4)(t ∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N(t)的值域为( ) A．{9，10，11} B．{9，10，12}C．{9，11，12} D．{10，11，12}课标理数8.B3C 【解析】显然四边形ABCD内部(不包括边界)的整点都在直线y＝k(k＝1，2，3)落在四边形ABCD内部的线段上，由于这样的线段长等于4，所以每条线段上的整点有3个或4个，所以9＝3×3≤N(t)≤3×4＝12.图1－4如图1－4(1)，图(2)，当四边形ABCD的边AD上有5个整点时，N(t)＝9；如图(3)，当四边形ABCD的边AD上有2个整点时，N(t)＝11；如图(4)，当四边形ABCD的边AD上有1个整点时，N(t)＝12.故应选C.课标理数 2.B3，B4下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |课标理数2.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数 3.B3，B4 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |课标文数3.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标数学 2.B3 函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．课标数学2.B3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞【解析】因为y ＝log 5x 为增函数，故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课标文数12.B3，B7 已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．课标文数12.B3，B7 18 【解析】 ∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≥1， ∴ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a ＋2b ≥2322ab＝18.大纲理数 5.B3 下列区间中，函数f (x )＝||ln （2－x ）在其上为增函数的是( )A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 D ． D 【解析】化f (x )为分段函数，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （2－x ），x <1，－ln （2－x ），1≤x <2，作出函数的图象，如图1－1所示，根据图象可知f (x )在设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________．课标文数11.B4，B5 【答案】－3【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1) ＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3.课标理数3.B4，B5 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3课标理数3.B4，B5 A 【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.大纲理数9.B4 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( ) A ．－12 B ．－14C.14D.12大纲理数9.B 4 A 【解析】因为函数的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，又函数是奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－12，故选A.大纲文数10.B4 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( ) A ．－12 B ．－14C.14D.12大纲文数10.B4 A 【解析】因为函数的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，又函数是奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－12，故选A.课标理数9.B4 对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．( ) A ．4和6 B ．3和1C ．2和4D ．1和2课标理数9.B4 D 【解析】由已知，有f (1)＝a sin1＋b ＋c ，f (－1)＝－a sin1－b ＋c ，∴f(1)＋f(－1)＝2c，∵c∈Z，∴f(1)＋f(－1)为偶数，而D选项给出的两个数，一个是奇数，一个是偶数，两个数的和为奇数，故选D.课标理数4.B4设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数课标理数4.B4 A 【解析】因为g(x)在R上为奇函数，所以|g(x)|为偶函数，则f(x)＋|g(x)|一定为偶函数．课标文数12.B4设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________．课标文数12.B4－9 【解析】由f(a)＝a3cos a＋1＝11得a3cos a ＝10，所以f(－a)＝(－a)3cos(－a)＋1＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9.课标理数6.B4已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174D ．a 2 课标理数6.B4 B 【解析】因为函数f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2①，得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2②， ①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，所以a ＝2，所以f (x )＝2x －2－x ，所以f (2)＝154.课标文数3.B4 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 课标文数3.B4 D 【解析】因为函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f ()－x ＋g ()－x ＝f (x )－g ()x ＝e －x .又因为f (x )＋g ()x ＝e x ，所以g ()x ＝e x －e －x 2.课标文数12.B4 已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________．课标文数12.B4 6 【解析】由g (x )＝f (x )＋9，得当x ＝－2时，有g (－2)＝f (－2)＋9⇒f (－2)＝－6.因为f (x )为奇函数，所以有f (2)＝f (－2)＝6.课标理数 2.B3，B4 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |课标理数2.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数6.B4 若函数f (x )＝x （2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a＝( )A.12B.23C.34D ．1 课标文数 6.B4 A 【解析】法一：由已知得f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）定义域关于原点对称，由于该函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12且x ≠a ，知a ＝12，故选A. 法二：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，又f (x )＝x2x 2＋（1－2a ）x －a ，则－x 2x 2－（1－2a ）x －a ＝－x 2x 2＋（1－2a ）x －a在函数的定义域内恒成立，可得a ＝12.课标文数 3.B3，B4 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |课标文数3.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数12.B4，B7，B8 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个课标文数12.B4，B7，B8 A 【解析】由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数10.B4已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间上与x 轴的交点的个数为( )A．6 B．7 C．8 D．9课标理数10.B4 B 【解析】当0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以当0≤x<2时，f(x)与x轴交点的横坐标为x1＝0，x2＝1.当2≤x<4时，0≤x－2<2，则f(x－2)＝(x－2)3－(x－2)，又周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，f(x)与x轴交点的横坐标为x3＝2，x4＝3；同理当4≤x≤6时，f(x)与x轴交点的横坐标分别为x5＝4，x6＝5，x7＝6，所以共有7个交点．课标理数3.B4设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图像可能是( )图1－1课标理数3.B4 B 【解析】由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ，再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.课标理数11.B4 若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________．课标理数11.B4 0 【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即x 2－|x ＋a |＝(－x )2－|－x ＋a |⇒||x ＋a ＝||x －a ，∴a ＝0.课标文数11.B4，B5设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________．课标文数11.B4，B5【答案】－3【解析】法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x，∴f(1)＝－f(－1) ＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.课标理数3.B4，B5设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x，则f(1)＝( )A．－3 B．－1 C．1 D．3课标理数3.B4，B5 A 【解析】法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3，故选A.课标文数8.B5，H2 已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1课标文数8.B5，H2 A 【解析】由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点．因此满足条件的C 点有4个，故应选A.课标理数12.B5 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________．课标理数12.B5 3或4 【解析】由x 2－4x ＋n 得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n ，∵n ∈N ＋，方程要有整数根，满足n ＝3，4，故当n＝3，4时方程有整数根．课标文数14.B5 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________．课标文数14.B5 3或4 【解析】由x 2－4x ＋n ＝0得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n ，∵n ∈N ＋，方程要有整数根，满足n ＝3，4，当n ＝3，4时方程有整数根．课标理数8.B5 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞课标理数8.B5 B 【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f ()x 的图象如图1－4.图1－4∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.课标文数8.B5 对实数a 和b ，定义运算“⊗”；a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1，1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1，2]C ．(－∞，－2)∪(1，2]D ．课标文数8.B5 B 【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－（x －1）≤1x －1，x 2－2－（x －1）>1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1，或x >2则f (x )的图象如图，∵函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，∴函数y ＝f (x )与y ＝c 的图象有两个交点，由图象可得－2<c ≤－1，或1<c ≤2.图1－3课标理数3.B6 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3课标理数3.B6 D 【解析】因为点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，所以9＝3a ，所以a ＝2，即tan a π6＝tan 2π6＝tan π3＝3，故选D.课标文数3.B6 若点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 课标文数3.B6D 【解析】因为点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，所以9＝3a ，所以a ＝2，即tan a π6＝tan 2π6＝tan π3＝3，故选D.课标数学12.B6 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．课标数学12.B6 12⎝⎛⎭⎪⎫e ＋1e【解析】设P (x 0，y 0)，则直线l ：y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．令x ＝0，则y ＝－x 0e x 0＋e x 0，与l 垂直的直线l ′的方程为y －e x 0＝－1e x 0(x －x 0)，令x ＝0得，y ＝x 0e x 0＋e x 0，所以t ＝－x 0e x 0＋2e x 0＋x 0e x 02.令y ＝－x e x＋2e x＋xe x 2，则y ′＝－e x（x －1）＋（x －1）e x2，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，y ′>0，当x ∈(1，＋∞)时，y ′<0，故当x ＝1时该函数的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e .课标理数7.B6，B7 已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b课标理数7.B6，B7 C 【解析】令m ＝log 23.4，n ＝log 43.6，l ＝log 3103，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得m >l >n ，图1－3 又∵y＝5x为单调递增函数，∴a>c>b.课标文数5.B7 若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a ，1－b ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2，2b ) 课标文数5.B7 D 【解析】由点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，得b ＝lg a .当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2，2b )在函数y ＝lg x 图像上．课标文数3.B7 如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x课标文数3.B7 D 【解析】因为log 12x <log 12y <0＝log 121，所以x >y >1，故选D.课标文数15.B7 里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．课标文数15.B7 6 10000 【解析】由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A 1，5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝()lg A 1－lg A 0－()lg A 2－lg A 0＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．课标理数3.B7 若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 课标理数3.B7 A 【解析】根据题意得log 12(2x ＋1)>0，即0<2x＋1<1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.故选A.课标文数 3.B7 若f ()x ＝1log 12()2x ＋1，则f ()x 的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪()0，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 课标文数3.B7 C 【解析】方法一：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)．故选C.方法二：取特值法，取x ＝0，则可排除B 、D ；取x ＝1，则排除A.故选C.课标文数12.B4，B7，B8 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个课标文数12.B4，B7，B8 A 【解析】由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数7.B6，B7 已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b课标理数7.B6，B7 C 【解析】令m＝log23.4，n＝log43.6，l＝log3103，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得m>l>n，图1－3又∵y＝5x为单调递增函数，∴a>c>b.课标文数 5.B7已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b课标文数 5.B7 B 【解析】∵a＝log23.6>log22＝1.又∵y＝log4x，x∈(0，＋∞)为单调递增函数，∴log43.2<log43.6<log44＝1，∴b<c<a.课标文数12.B3，B7已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．课标文数12.B3，B7 18 【解析】 ∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≥1， ∴ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a ＋2b ≥2322ab＝18.大纲文数6.B7 设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a大纲文数6.B7 B 【解析】 a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，则由log 343＜log 332＜log 32，得c ＜b ＜a .故选B.课标文数10.B8 函数f (x )＝ax n (1－x )2在区间上的图像如图1－2所示，则n 可能是( )图1－2A ．1B ．2C ．3D ．4课标文数10.B8 A 【解析】由函数图像可知a >0.当n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )，f ′(x )＝a (3x －1)(x －1)，所以函数的极大值点为x ＝13<0.5，故A 可能；当n ＝2时，函数f (x )＝ax 2(1－x )2＝a (x 2－2x 3＋x 4)，f ′(x )＝a (2x －6x 2＋4x 3)＝ 2ax (2x －1)(x －1)，函数的极大值点为x ＝12，故B 错误；当n ＝3时，f (x )＝ax 3(1－x )2＝a (x 5－2x 4＋x 3)，f ′(x )＝ax 2(5x 2－8x ＋3)＝ax 2(5x －3)(x －1)，函数的极大值点为x ＝35>0.5，故C 错误；当n ＝4时，f (x )＝ax 4(1－x )2＝a (x 6－2x 5＋x 4)，f ′(x )＝a (6x 5－10x 4＋4x 3)＝2ax 3(3x －2)(x －1)，函数的极大值点为x ＝23>0.5，故D 错误．课标理数10.B8 函数f (x )＝ax m (1－x )n 在区间上的图像如图1－2所示，则m ，n 的值可能是( )图1－2A ．m ＝1，n ＝1B ．m ＝1，n ＝2C ．m ＝2，n ＝1D ．m ＝3，n ＝1课标理数10.B8 B 【解析】由图可知a ＞0.当m ＝1，n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )的图像关于直线x ＝12对称，所以A 不可能；当m ＝1，n ＝2时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )，f ′(x )＝a (3x 2－4x ＋1)＝a (3x －1)(x －1)，所以f (x )的极大值点应为x ＝13＜0.5，由图可知B 可能．当m ＝2，n ＝1时，f (x )＝ax 2(1－x )＝a (x 2－x 3)，f ′(x )＝a (2x －3x 2)＝－ax (3x －2)，所以f (x )的极大值点为x ＝23＞0.5，所以C 不可能；当m ＝3，n ＝1时，f (x )＝ax 3(1－x )＝a (x 3－x 4)，f ′(x )＝a (3x 2－4x 3)＝－ax 2(4x －3)，所以f (x )的极大值点为x ＝34＞0.5，所以D 不可能，故选B.课标理数13.B8 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．课标理数13.B8 (0，1) 【解析】函数f (x )的图象如图1－5所示：图1－5由上图可知0<k <1.课标文数13.B8 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．课标文数13.B8 (0，1) 【解析】函数f (x )的图象如图1－3所示：图1－3由上图可知0<k <1.课标文数12.B4，B7，B8 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个课标文数12.B4，B7，B8 A 【解析】由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数9.B8 函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )图1－1课标理数9.B8 C 【解析】由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )为奇函数，所以排除A ；又f ′(x )＝12－2cos x ，当x 在x 轴右侧，趋向0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x 轴右边接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos2π＝－32<0，所以x ＝2π应在函数的减区间上，所以选C.课标文数10.B8 函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )图1－2课标文数10.B8 C 【解析】由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )为奇函数，所以排除A ；又f ′(x )＝12－2cos x ，当x 在x 轴右侧，趋向0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在x 轴右边接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos2π＝－32＜0，所以x ＝2π应在函数的减区间上，所以选C.课标文数4.B8 函数y ＝x 13的图象是( )图1－1课标文数4.B8 B 【解析】因为y ＝x 13，由幂函数的性质，过点(0，0)，(1，1)，则只剩B ，C.因为y ＝x α中α＝13，图象靠近x轴，故答案为B.课标数学8.B8 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．课标数学8.B8 4 【解析】设直线为y ＝kx (k >0)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x⇒x2＝2k，y 2＝k 2x 2＝2k ，所以PQ ＝2OP ＝x 2＋y 2＝22k＋2k ≥224＝4.大纲文数4.B8 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )图1－1大纲文数4.B8 A 【解析】由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1可得其反函数为y ＝log 12(x －1)(x >1)，根据图象可判断选择答案A.另外对于本题可采用特殊点排除法．课标理数21.B9，H8 在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝14x 2，实数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．(1)过点A ⎝⎛⎭⎪⎫p 0，14p 20(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，有φ(p ，q )＝|p 0|2；(2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，切点分别为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 1，14p 21，E ′⎝⎛⎭⎪⎫p 2，14p 22，l 1，l 2与y 轴分别交于F 、F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2； (3)设D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y ≤x －1，y ≥14（x ＋1）2－54.当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记为φmin )和最大值(记为φmax )．课标理数21.B9，H8 【解答】 (1)证明：切线l 的方程为y ＝12p 0x－14p 20. ∀Q (p ，q )∈AB 有φ(p ，q )＝|p |＋p 2－4q2＝|p |＋（p －p 0）22.当p 0>0时，0≤p ≤p 0，于是φ(p ，q )＝p ＋p 0－p 2＝p 02＝||p 02；当p 0<0时，p 0≤p ≤0，于是φ(p ，q )＝－p ＋p －p 02＝－p 02＝|p 0|2. (2)l 1，l 2的方程分别为y ＝12p 1x －14p 21，y ＝12p 2x －14p 22.求得l 1，l 2交点M (a ，b )的坐标⎝⎛⎭⎪⎫p 1＋p 22，p 1p 24. 由于a 2－4b >0，a ≠0，故有|p 1|≠|p 2| . ①先证：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|. (⇒)设M (a ，b )∈X . 当p 1>0时，0|p 2|；当p 1<0时，p 1|p 2|.(⇐)设|p 1|>|p 2|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2p 1<1⇒－10时，0|p 2|.若不然，|p 1|<|p 2|.令Y 是l 2上线段E ′F ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①M (a ，b )∈Y .再由(1)得φ(a ，b )＝|p 2|2≠|p 1|2，矛盾．故必有|p 1|>|p 2|.再由等价式①，M (a ，b )∈X . 综上，M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(3)求得y ＝x －1和y ＝14(x ＋1)2－54的交点Q 1(0，－1)，Q 2(2，1)．而y ＝x －1是L 的切点为Q 2(2，1)的切线，且与y 轴交于Q 1(0，－1)，由(1)∀Q (p ，q )∈线段Q 1Q 2，有φ(p ，q )＝1.当Q (p ，q )∈L 1：y ＝14(x ＋1)2－54(0≤x ≤2)时，q ＝14(p ＋1)2－54，∴h (p )＝φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2＝p ＋4－2p2(0≤p ≤2)，在(0，2)上，令h ′(p )＝4－2p －124－2p＝0得p ＝32，由于h (0)＝h (2)＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝54， ∴h (p )＝φ(p ，q )在上取得最大值h max ＝54.∀(p ，q )∈D ，有0≤p ≤2，14(p ＋1)2－54≤q ≤p －1，故φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q2≤p ＋p 2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤14（p ＋1）2－542＝p ＋4－2p2≤h max ＝54，φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2≥p ＋p 2－4（p －1）2＝p ＋（p －2）22＝p ＋2－p2＝1，故φmin ＝1，φmax ＝54.课标理数21.B9，H8 在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝14x 2，实数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．(1)过点A ⎝⎛⎭⎪⎫p 0，14p 20(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，有φ(p ，q )＝|p 0|2；(2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，切点分别为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 1，14p 21，E ′⎝⎛⎭⎪⎫p 2，14p 22，l 1，l 2与y 轴分别交于F 、F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2；(3)设D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y ≤x －1，y ≥14（x ＋1）2－54.当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记为φmin )和最大值(记为φmax )．课标理数21.B9，H8 【解答】 (1)证明：切线l 的方程为y ＝12p 0x－14p 20. ∀Q (p ，q )∈AB 有φ(p ，q )＝|p |＋p 2－4q2＝|p |＋（p －p 0）22.当p 0>0时，0≤p ≤p 0，于是φ(p ，q )＝p ＋p 0－p 2＝p 02＝||p 02；当p 0<0时，p 0≤p ≤0，于是φ(p ，q )＝－p ＋p －p 02＝－p 02＝|p 0|2.(2)l 1，l 2的方程分别为y ＝12p 1x －14p 21，y ＝12p 2x －14p 22.求得l 1，l 2交点M (a ，b )的坐标⎝⎛⎭⎪⎫p 1＋p 22，p 1p 24. 由于a 2－4b >0，a ≠0，故有|p 1|≠|p 2| . ①先证：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|. (⇒)设M (a ，b )∈X . 当p 1>0时，0|p 2|；当p 1<0时，p 1|p 2|.(⇐)设|p 1|>|p 2|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2p 1<1⇒－10时，0|p 2|.若不然，|p 1|<|p 2|.令Y 是l 2上线段E ′F ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①M (a ，b )∈Y .再由(1)得φ(a ，b )＝|p 2|2≠|p 1|2，矛盾．故必有|p 1|>|p 2|.再由等价式①，M (a ，b )∈X . 综上，M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(3)求得y ＝x －1和y ＝14(x ＋1)2－54的交点Q 1(0，－1)，Q 2(2，1)．而y ＝x －1是L 的切点为Q 2(2，1)的切线，且与y 轴交于Q 1(0，－1)，由(1)∀Q (p ，q )∈线段Q 1Q 2，有φ(p ，q )＝1.当Q (p ，q )∈L 1：y ＝14(x ＋1)2－54(0≤x ≤2)时，q ＝14(p ＋1)2－54，∴h (p )＝φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2＝p ＋4－2p2(0≤p ≤2)，在(0，2)上，令h ′(p )＝4－2p －124－2p＝0得p ＝32，由于h (0)＝h (2)＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝54，∴h (p )＝φ(p ，q )在上取得最大值h max ＝54.∀(p ，q )∈D ，有0≤p ≤2，14(p ＋1)2－54≤q ≤p －1，故φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q2≤p ＋p 2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤14（p ＋1）2－542＝p ＋4－2p2≤h max ＝54，φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2≥p ＋p 2－4（p －1）2＝p ＋（p －2）22＝p ＋2－p2＝1，故φmin ＝1，φmax ＝54.课标文数21.H10，B9在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－2交x 轴于点A .设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO ＝∠AOP .(1)当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知T (1，－1)．设H 是E 上动点，求|HO |＋|HT |的最小值，并给出此时点H 的坐标；(3)过点T (1，－1)且不平行于y 轴的直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点．求直线l 1的斜率k 的取值范围．课标文数21.H10，B9 【解答】 (1)如图1－2(1)．设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q .∵∠MPQ ＝∠AOP ，∴MP ⊥l ，且|MO |＝|MP |. 因此，x 2＋y 2＝|x ＋2|，即y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)． ①另一种情况，见图1－2(2)(即点M 和A 位于直线OP 的同侧)．图1－2∵MQ 为线段OP 的垂直平分线， ∴∠MPQ ＝∠MOQ .又∵∠MPQ ＝∠AOP ，∴∠MOQ ＝∠AOP .因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(x ，0)．为分析M (x ，0)中x 的变化范围，设P (－2，a )为l 上任意点(a ∈R )．由|MO |＝|MP |，即|x |＝（x ＋2）2＋a 2得，x ＝－1－14a 2≤－1.故M (x ，0)的轨迹方程为y ＝0，x ≤－1. ②综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4（x ＋1），x ≥－1，0， x <－1.(2)由(1)知，轨迹E 的方程由下面E 1和E 2两部分组成(如图1－3)：图1－3E 1：y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)； E 2：y ＝0，x <－1.当H ∈E 1时，过T 作垂直于l 的直线，垂足为T ′，交E 1于D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－1.再过H 作垂直于l 的直线，交l 于H ′.因此，|HO |＝|HH ′|(抛物线的性质)．∴|HO |＋|HT |＝|HH ′|＋|HT |≥|TT ′|＝3(该等号仅当H ′与T ′重合(或H 与D 重合)时取得)．当H ∈E 2时，则|HO |＋|HT |>|BO |＋|BT |＝1＋5>3.综合可得，|HO |＋|HT |的最小值为3，且此时点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－1. (3)由图1－3知，直线l 1的斜率k 不可能为零．设l 1：y ＋1＝k (x －1)(k ≠0)．故x ＝1k (y ＋1)＋1，代入E 1的方程得：y 2－4ky －⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋8＝0.因判别式Δ＝16k2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋22＋28>0，所以l 1与E 中的E 1有且仅有两个不同的交点．又由E 2和l 1的方程可知，若l 1与E 2有交点，则此交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ，0，且k ＋1k <－1.即当－12<k <0时，l 1与E 2有唯一交点⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ，0，从而l 1与E 有三个不同的交点．因此，直线l 1斜率k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(0，＋∞)．课标理数22.B9，M3 已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x . (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由； (2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (a n ＋1)＝g (a n )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标理数22.B9，M3 【解答】 (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法二：由h (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，从而φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点．(2)记h(x)的正零点为x0，即x30＝x0＋x0.(i)当a<x0时，由a1＝a，即a1<x0.而a32＝a1＋a1<x0＋x0＝x30，因此a2<x0.由此猜测：a n<x0.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，a1<x0显然成立．②假设当n＝k(k≥1)时，a k<x0成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k<x0＋x0＝x30知，a k＋1<x0.因此，当n＝k＋1时，a k＋1<x0成立．故对任意的n∈N*，a n<x0成立．(ii)当a≥x0时，由(1)知，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，则h(a)≥h(x0)＝0，即a3≥a＋a.从而a32＝a1＋a1＝a＋a≤a3，即a2≤a.由此猜测：a n≤a.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，a1≤a显然成立．②假设当n＝k(k≥1)时，a k≤a成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k≤a＋a≤a3知，a k＋1≤a.因此，当n＝k＋1时，a k＋1≤a成立．故对任意的n ∈N *，a n ≤a 成立．综上所述，存在常数M ＝max{x 0，a }，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标理数12.B9 函数y ＝11－x 的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8课标理数12.B9 D 【解析】当x ＝12时，y ＝11－12＝2；当x ＝32时，y ＝11－32＝－2.所以函数图象如图所示，所以有8个根，且关于点(1，0)对称，所以所有根的总和为8.图1－5课标文数10.B9 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 课标文数10.B9 C 【解析】因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－1>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，又因为函数y ＝e x 是单调增函数，y ＝4x －3也是单调增函数，所以函数f (x )＝e x ＋4x －3是单调增函数，所以函数f (x )＝e x＋4x －3的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12内．课标理数16.B9 已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________．课标理数16.B9 2 【解析】本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2<a <3，所以log a 2<1＝log a a <log a 3，因为31>log a 2，b －3<1<log a 3，所以f (2)·f (3)＝(log a 2＋2－b )(log a 3＋3－b )<0，所以函数的零点在(2，3)上，所以n ＝2.课标文数16.B9 已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________．课标文数16.B9 2 【解析】本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2＜a＜3，所以log a2＜1＝log a a＜log a3，因为3＜b＜4，所以b－2>1>log a2，b－3＜1＜log a3，所以f(2)·f(3)＝(log a2＋2－b)·(log a3＋3－b)＜0，所以函数的零点在(2，3)上，所以n＝2.课标理数6.B9函数f(x)＝x－cos x在 B 【解析】在同一个坐标系中作出y＝x与y＝cos x的图象如图，图1－2由图象可得函数f(x)＝x－cos x在方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根课标文数6.B9C 【解析】如图1－3所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根，故答案为C.图1－3。

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数学B 单元函数与导数 B1 函数及其表示5．B1 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．5．令3－2x －x 2≥0可得x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为． 11．B1、B4 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间因为f (x )的周期为2，所以f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f(12)＝110，即－12＋a ＝110，所以a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25.B2 反函数5．B2 已知点(3，9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________． 5．log 2(x －1)，x ∈(1，＋∞) 将点(3，9)的坐标代入函数f (x )的解析式得a ＝2，所以f (x )＝1＋2x ，所以f －1(x )＝log 2(x －1)，x ∈(1，＋∞)．B3 函数的单调性与最值14．B3，B12 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．14．①2 ②(－∞，－1) 由(x 3－3x )′＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，作出函数y ＝x 3－3x 和y ＝－2x 的图像，如图所示．①当a ＝0时，由图像可得f (x )的最大值为f (－1)＝2.②由图像可知当a ≥－1时，函数f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >a 3－3a ，所以a <－1.13．B3、B4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．13.（12，32）由f (x )是偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，∴2|a －1|<2，即|a －1|<12，∴12<a <32.18．B3，B4 设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数．下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题18．D f (x )＝[f （x ）＋g （x ）]＋[f （x ）＋h （x ）]－[g （x ）＋h （x ）]2.对于①，因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f (x )不一定为增函数，同理g (x )，h (x )不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f (x )是以T 为周期的函数，同理可得g (x )，h (x )也是以T 为周期的函数，所以②为真命题．B4 函数的奇偶性与周期性11．B1、B4 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间因为f (x )的周期为2，所以f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f(12)＝110，即－12＋a ＝110，所以a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25.15．B4、B12 已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．15．y ＝－2x －1 设x >0，则－x <0.∵x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，∴f (－x )＝ln x －3x ，又∵f (－x )＝f (x )，∴当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，∴f ′(x )＝1x－3，即f ′(1)＝－2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1.14．B4 已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f －52＋f (1)＝________．14．－2 因为f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)．因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f 12＝412＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 9．B4 已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，fx ＋12＝fx －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．29．D ∵当x >12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，∴f (x )的周期为1，则f (6)＝f (1)．又∵当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (1)＝－f (－1)．又∵当x <0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝(－1)3－1＝－2，∴f (6)＝－f (－1)＝2. 13．B3、B4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．13.（12，32）由f (x )是偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，∴2|a －1|<2，即|a －1|<12，∴12<a <32.18．B3，B4 设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数．下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题18．D f (x )＝[f （x ）＋g （x ）]＋[f （x ）＋h （x ）]－[g （x ）＋h （x ）]2.对于①，因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f (x )不一定为增函数，同理g (x )，h (x )不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f (x )是以T 为周期的函数，同理可得g (x )，h (x )也是以T 为周期的函数，所以②为真命题．B5 二次函数 B6 指数与指数函数5．E1，C3，B6，B7 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.12x －12y<0 D ．ln x ＋ln y >05．C 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1y<0，故结论不成立；选项B 中，当x＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝12x是定义在R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e －2时，结论不成立．19．B6、B9、B12 已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，于是2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a xln a ＋b xln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln aln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a xln a ＋b xln b )′＝a x(ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数．下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b ＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.6．B6 已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a 423＝243＝a ，故b <a <c .12．B6、B7 已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．12．4 2 设t ＝log a b ，则log b a ＝1t .∵a >b >1，∴0<t <1.由t ＋1t ＝52，化简得t 2－52t＋1＝0，解得t ＝12，故b ＝a ，所以a b＝aa，b a ＝(a )a ＝a 12a ，则a ＝12a ，即a 2－4a ＝0，得a ＝4，b ＝2.B7 对数与对数函数5．E1，C3，B6，B7 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.12x －12y<0 D ．ln x ＋ln y >05．C 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1y<0，故结论不成立；选项B 中，当x＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝12x是定义在R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e －2时，结论不成立．8．B7，B8，E1 若a >b >1，0<c <1，则( ) A ．a c log a clog b c＝log c b log c a ＝log a b ，此时a b >1，0<log a b <1，故此不等式成立；选项D 中的不等式可以化为lg c lg a <lg c lg b ，进而1lg a >1lg b，进而lg a <lg b ，即a <b ，故在已知条件下选项D 中的不等式不成立．21．B12、B14、B7 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)，因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A .9．B7，E6 设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图像上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)9．A 不妨设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中0<x 1<1<x 2.由l 1，l 2分别是点P 1，P 2处的切线，且f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x，0<x <1，1x ，x >1，得l 1的斜率k 1＝－1x 1，l 2的斜率k 2＝1x 2.又l 1与l 2垂直，且0<x 1<x 2，所以k 1·k 2＝－1x 1·1x 2＝－1⇒x 1·x 2＝1，l 1：y ＝－1x 1(x －x 1)－ln x 1①，l 2：y ＝1x 2(x －x 2)＋ln x 2②，则点A 的坐标为(0，1－ln x 1)，点B 的坐标为(0，－1＋ln x 2)，由此可得|AB |＝2－ln x 1－ln x 2＝2－ln(x 1·x 2)＝2.联立①②两式可解得交点P 的横坐标x P ＝2－ln （x 1x 2）x 1＋x 2＝2x 1＋x 2，所以S △PAB ＝12|AB |·|x P |＝12×2×2x 1＋x 2＝2x 1＋1x 1≤1，当且仅当x 1＝1x 1，即x 1＝1时，等号成立．而0<x 1<1，所以0<S △PAB <1，故选A.12．B6、B7 已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．12．4 2 设t ＝log a b ，则log b a ＝1t .∵a >b >1，∴0<t <1.由t ＋1t ＝52，化简得t 2－52t＋1＝0，解得t ＝12，故b ＝a ，所以a b＝aa，b a ＝(a )a ＝a 12a ，则a ＝12a ，即a 2－4a ＝0，得a ＝4，b ＝2.B8 幂函数与函数的图像7．B8，B12 函数y ＝2x 2－e |x |在的图像大致为( )图127．D 易知该函数为偶函数，只要考虑当x ≥0时的情况即可，此时y ＝2x 2－e x.令f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x，则f ′(0)<0，f ′(1)>0，则f ′(x )在(0，1)上存在零点，即f (x )在(0，1)上存在极值，据此可知，只能为选项B ，D 中的图像．当x ＝2时，y ＝8－e 2<1，故选D.8．B7，B8，E1 若a >b >1，0<c <1，则( ) A ．a c log a clog b c＝log c b log c a ＝log a b ，此时a b >1，0<log a b <1，故此不等式成立；选项D 中的不等式可以化为lg c lg a <lg c lg b ，进而1lg a >1lg b，进而lg a <lg b ，即a <b ，故在已知条件下选项D 中的不等式不成立．12．B8 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则（x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m12．B 由f(－x)＝2－f(x)得f(x)的图像关于点(0，1)对称，∵y＝x ＋1x ＝1＋1x 的图像也关于点(0，1)对称，∴两函数图像的交点必关于点(0，1)对称，且对于每一组对称点(x i ，y i )和(x′i ，y′i )均满足x i ＋x′i ＝0，y i ＋y′i ＝2，∴＝0＋2·m2＝m.B9 函数与方程19．B6、B9、B12 已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，于是2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a xln a ＋b xln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln a ln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a xln a ＋b xln b )′＝a x(ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数．下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.15．B9 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．15．(3，＋∞) 画出函数f (x )的图像如图所示，根据已知得m >4m －m 2，又m >0，解得m >3，故实数 m 的取值范围是(3，＋∞)．B10 函数模型及其应用 B11 导数及其运算21．B11，B12，E8 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x－e 1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a，此时，当x ∈（0，12a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（12a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又s (1)＝0，所以当x >1时，s (x )>0，从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1.由(1)有f （12a ）<f (1)＝0，而g （12a ）>0，所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈[12，＋∞).B12 导数的应用14．B3，B12 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．14．①2 ②(－∞，－1) 由(x 3－3x )′＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，作出函数y ＝x 3－3x 和y ＝－2x 的图像，如图所示．①当a ＝0时，由图像可得f (x )的最大值为f (－1)＝2.②由图像可知当a ≥－1时，函数f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >a 3－3a ，所以a <－1.17．G1、G7、B12 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1(如图15所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？图1517．解：(1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)，正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2)设A 1B 1＝a (m)，PO 1＝h (m)，则0<h <6，O 1O ＝4h .连接O 1B 1. 因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)．当0<h <23时，V ′>0，V 是单调增函数；当23<h <6时，V ′<0，V 是单调减函数．故h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值．因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．19．B6、B9、B12 已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，于是2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a xln a ＋b xln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln a ln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a xln a ＋b xln b )′＝a x(ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数．下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b ＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.7．B8，B12 函数y ＝2x 2－e |x |在的图像大致为( )图127．D 易知该函数为偶函数，只要考虑当x ≥0时的情况即可，此时y ＝2x 2－e x.令f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x，则f ′(0)<0，f ′(1)>0，则f ′(x )在(0，1)上存在零点，即f (x )在(0，1)上存在极值，据此可知，只能为选项B ，D 中的图像．当x ＝2时，y ＝8－e 2<1，故选D.21．B12 已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.21．解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a )． (i)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点．(ii)设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a 2，则f (b )>a2(b －2)＋a (b －1)2＝a （b2－32b ）>0，故f (x )存在两个零点．(iii)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln(－2a )>1.故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞) 时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x－e x)．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0，从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.15．B4、B12 已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．15．y ＝－2x －1 设x >0，则－x <0.∵x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，∴f (－x )＝ln x －3x ，又∵f (－x )＝f (x )，∴当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，∴f ′(x )＝1x－3，即f ′(1)＝－2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1.21．B12、B14、B7 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)，因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A . 21．B11，B12，E8 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x－e 1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a，此时，当x ∈（0，12a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（12a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又s (1)＝0，所以当x >1时，s (x )>0，从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1.由(1)有f （12a ）<f (1)＝0，而g （12a ）>0，所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈[12，＋∞).16．B12 若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．16．1－ln 2 曲线y ＝ln x ＋2的切线为y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(其中x 1为切点横坐标)，曲线y ＝ln(x ＋1)的切线为y ＝1x 2＋1·x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(其中x 2为切点横坐标)．由题可知⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x2x 2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 21．B12 (1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0. (2)证明：当a ∈．由(1)知，f (x )＋a 单调递增，对任意a ∈，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0. 当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e x a －a （x a ＋1）x 2a ＝e x a ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a＝e x ax a ＋2，于是h (a )＝e x a x a ＋2.由e xx ＋2′＝（x ＋1）e x（x ＋2）>0(x >0)，可知y ＝exx ＋2(x >0)单调递增，所以，由x a ∈(0，2]，得12＝e 00＋2<h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e24.因为y ＝e x x ＋2单调递增，对任意λ∈（12，e24]，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈.综上，当a ∈.10．B12 若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 310．A 由函数图像上两点处的切线互相垂直，可知函数在这两点处的导数之积为－1，经检验，选项A 符合题意．20．B12，B14 已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈成立．20．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )>0，f (x )单调递增，若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )<0，f (x )单调递减．当a >0时，f ′(x )＝a （x －1）x 3（x －2a）（x ＋2a）.(i)当0<a <2时，2a>1. 当x ∈(0，1)或x ∈（2a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x ∈（1，2a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(ii)当a ＝2时，2a＝1，在区间(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． (iii)当a >2时，0<2a<1.当x ∈（0，2a）或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈2a，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)上单调递增，在（1，2a）上单调递减，在（2a，＋∞）上单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，f (x )在（0，2a ）上单调递增，在（2a，1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知，当a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x 2－（1－1x －2x 2＋2x 3）＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈．设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈，则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x )．由g ′(x )＝x －1x≥0，可得g (x )≥g (1)＝1，当且仅当x ＝1时取得等号．又h ′(x )＝－3x 2－2x ＋6x4. 设φ(x )＝－3x 2－2x ＋6，则φ(x )在上单调递减．因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x 0∈(1，2)，使得当x ∈(1，x 0)时，φ(x )＞0，x ∈(x 0，2)时，φ(x )＜0. 所以h (x )在(1，x 0)上单调递增，在(x 0，2)上单调递减．由h (1)＝1，h (2)＝12，可得h (x )≥h (2)＝12，当且仅当x ＝2时取得等号．所以f (x )－f ′(x )＞g (1)＋h (2)＝32，即f (x )＞f ′(x )＋32对于任意的x ∈成立．20．B12 设函数f (x )＝(x －1)3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1＋2x 0＝3； (3)设a >0，函数g (x )＝|f (x )|，求证：g (x )在区间上的最大值不小于14.20．解：(1)由f (x )＝(x －1)3－ax －b ，可得f ′(x )＝3(x －1)2－a . 下面分两种情况讨论：(i)当a ≤0时，有f ′(x )＝3(x －1)2－a ≥0恒成立，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(ii)当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1＋3a 3或x ＝1－3a3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：（1＋3a3，＋∞）.(2)证明：因为f (x )存在极值点，所以由(1)知a >0，且x 0≠1.由题意，得f ′(x 0)＝3(x 0－1)2－a ＝0，即(x 0－1)2＝a 3，进而f (x 0)＝(x 0－1)3－ax 0－b ＝－2a 3x 0－a 3－b .又f (3－2x 0)＝(2－2x 0)3－a (3－2x 0)－b ＝8a 3(1－x 0)＋2ax 0－3a －b ＝－2a 3x 0－a3－b ＝f (x 0)，且3－2x 0≠x 0，由题意及(1)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)＝f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1＝3－2x 0，所以x 1＋2x 0＝3.(3)证明：设g (x )在区间上的最大值为M ，max{x ，y }表示x ，y 两数的最大值．下面分三种情况讨论：(i)当a ≥3时，1－3a 3≤0<2≤1＋3a3，由(1)知，f (x )在区间上单调递减，所以f (x )在区间上的取值范围为，因此M ＝max{|f (2)|，|f (0)|}＝max{|1－2a －b |，|－1－b |}＝max{|a －1＋(a ＋b )|，|a －1－(a ＋b )|}＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋（a ＋b ），a ＋b ≥0，a －1－（a ＋b ），a ＋b <0，所以M ＝a －1＋|a ＋b |≥2.(ii)当34≤a <3时，1－23a 3≤0<1－3a 3<1＋3a 3<2≤1＋23a 3.由(1)和(2)知f (0)≥f （1－23a 3）＝f （1＋3a 3），f (2)≤f （1＋23a 3）＝f （1－3a3），所以f (x )在区间上的取值范围为，因此M ＝max{|f(1＋3a 3)|，|f (1－3a3)|＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2a 93a －a －b ，2a 93a －a －b ＝ max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 93a ＋（a ＋b ），2a 93a －（a ＋b ）＝2a 93a ＋|a ＋b |≥29×34×3×34＝14. (iii)当0<a <34时，0<1－23a 3<1＋23a 3<2，由(1)和(2)知f (0)<f (1－23a3)＝f (1＋3a 3)，f (2)>f (1＋23a 3)＝f (1－3a3). 所以f (x )在区间上的取值范围为，因此M ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝max{|－1－b |，|1－2a －b |}＝max{|1－a ＋(a ＋b )|，|1－a －(a ＋b )|}＝1－a ＋|a ＋b |>14.综上所述，当a >0时，g (x )在区间上的最大值不小于14.03“复数与导数”模块(1)已知i 为虚数单位．若复数z 满足(z ＋i)2＝2i ，求复数z .(2)求曲线y ＝2x 2－ln x 在点(1，2)处的切线方程．解：(1)设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，由题意得a 2－(b ＋1)2＋2a (b ＋1)i ＝2i ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故z ＝1或z ＝－1－2i. (2)由于(2x 2－ln x )′＝4x －1x，则曲线在点(1，2)处的切线的斜率为3.因此，曲线在点(1，2)处的切线方程为y ＝3x －1. B13 定积分与微积分基本定理 B14 单元综合18．B14 设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e－1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 18．解：(1)因为f (x )＝x ea －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋ex －1)及e2－x>0知，f ′(x )与1－x ＋ex －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．21．B12、B14、B7 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )；(2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)，因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A .15．B14 在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)． 15．②③ ①设点A 的坐标为(x ，y )，则其“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，故A ′的“伴随点”的横坐标为－x x 2＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x x 2＋y 22＝－x ，同理可得纵坐标为－y ，故点A ′的“伴随点”是(－x ，－y )，故①错误．②设单位圆上的点P 的坐标为(cos θ，sin θ)，则点P 的伴随点P ′的坐标为(sin θ，－cos θ)，即P ′cos θ－π2，sin θ－π2，所以点P ′也在单位圆上，故②正确． ③设曲线C 上点A 的坐标为(x ，y )，则其关于x 轴对称的点A 1(x ，－y )也在曲线C 上，点A 的“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，点A 1的“伴随点”为A ′1⎝ ⎛⎭⎪⎫－yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，点A ′与A ′1关于y 轴对称，故③正确．④取y ＝1这条直线，则A (0，1)，B (1，1)，C (2，1)都在直线上，这三个点的“伴随点”分别是A ′(1，0)，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25，而A ′，B ′，C ′三个点不在同一直线上，故④错误．下面给出严格证明：设点P (x ，y )在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上，P 点的“伴随点”为P ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y x 2＋y 2，y 0＝－x x 2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－yx 2＋y 20，y ＝ x 0x 20＋y 20.将其代入直线l 的方程可得A－y 0x 20＋y 20＋B x 0x 20＋y 20＋C ＝0，化简得－Ay 0＋Bx 0＋C (x 20＋y 20)＝0.当C ＝0时，C (x 20＋y 20)＝0，P ′的轨迹是一条直线；当C ≠0时，C (x 20＋y 20)不是一个常数，P ′的轨迹不是一条直线．所以，直线的“伴随曲线”不一定是一条直线．20．B12，B14 已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈成立．20．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )>0，f (x )单调递增，若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )<0，f (x )单调递减．当a >0时，f ′(x )＝a （x －1）x （x －2a）（x ＋2a）.(i)当0<a <2时，2a>1. 当x ∈(0，1)或x ∈（2a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x ∈（1，2a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(ii)当a ＝2时，2a＝1，在区间(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． (iii)当a >2时，0<2a<1.当x ∈（0，2a）或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈2a，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)上单调递增，在（1，2a）上单调递减，在（2a，＋∞）上单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，f (x )在（0，2a ）上单调递增，在（2a，1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知，当a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x 2－（1－1x －2x 2＋2x 3）＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈．设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈，则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x )．。

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