高三数学事件的相互独立性
高考数学 考前查缺补漏系列 热点06 概率与统计问题,你能渡过“事理关”和“数理关”吗？
概率与统计问题，你能渡过“事理关”和“数理关”吗？【常见题型】在概率中，事件之间有两种最基本的关系，一种是事件之间的互斥(含两个事件之间的对立)，一种是事件之间的相互独立的，互斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和，相互独立事件同时发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积，在概率计算中正确地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在．概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．一．概率与茎叶图相联系例1【河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试】（理）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（II ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X 的分布列和均值．（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝ 38，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316，依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k )＝C k 2(316)k(1316)2－k ，k ＝0，1，2， …7分X 的分布列为…10分 X 的均值E (X )＝2×316＝8． …12分（文）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小：（II ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率． 解：（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分 （Ⅱ）题设所述的6个场次乙得分为：7，8，10，15，17，19． …7分二．频率分布表、频率分布直方图与概率相结合 例2【2012年长春市高中毕业班第二次调研测试】 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如 下：【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 【试题解析】⑴由题可知 50.25M =，12n M =，m p M =，10.05M= 又 5121m M +++=解得 20M =，0.6n =，2m =，0.1p =则[15,20)组的频率与组距之比a 为0.12. (4分)⑵由⑴知，参加服务次数在区间[15,20)上的人数为3600.6216⨯=人. (6分) ⑶所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元，则 22251222201066177(0)190190C C C P C ++++===， 111111512122212206024286(20)190190C C C C C C P C ++++===， 111152121220101222(40)190190C C C C P C ++===， 11512205(60)190C C P C ==.(10分)()0(0)20(20)40(40)60(60)E X P P P P =⋅+⋅+⋅+⋅7786225290020406019019019019019=⨯+⨯+⨯+⨯= (12分)（文）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：⑴求出表中M 、p 及图中a 的值；三、排列组合和概率相结合例3【2012东城区普通高中示范校高三综合练习（二）】（理）某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20（1的概率； （2）从40人中任选两名学生，用X 表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望EX . 解：（1）这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为494419134012011515=-=C C C C P . ……………………5分(2)由题意知X =0,1,222251520240111151515202401152024061(0);15675(1);1565(2).39C C C P X C C C C C P X C C C P X C ++===+====== 则随机变量X 的分布列：分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n [20,25) m p [25,30) 2 0.05 合计M1X0 12P15661 15675395012.156********X EX =⨯+⨯+⨯=所以的数学期望 ……………………13分样本容量与总体中个体数的比为,181905= 所以从,,A B C 三个工作组分别抽取的人数为2，2，1. ------------------5分（II ）设12,A A 为从A 组抽得的2名工作人员，12,B B 为从B 组抽得的工作人员，1C 为从C 组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是：),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(112112221211211121C B B B C A B A B A C A B A B A A A21(,)B C ,共有10种， ------9分其中没有A 组工作人员的结果是：121121(,),(,),(,)B B B C B C 有3种，--------------------------11分 所以从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，此时这两名工作人员中没有A 组工作人员的概率310P =。
新高考数学复习考点知识讲解11---列联表与独立性检验
新高考数学复习考点知识讲解列联表与独立性检验1、简单随机抽样得到了X 和Y 的抽样数据列联表2、基于小概率值α的检验规则是：当αχx ≥2时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α当αχx <2时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立这种利用2χ的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为2χ独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验3、应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节： （1）提出零假设0H ：X 和Y 相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算2χ的值，并与临界值αx 比较 （3）根据检验规则得出推断结论（4）在X 和Y 不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X 和Y 间的影响规律题型一 变量关系例 1 为了判断两个分类变量X 、Y 是否有关系，应用独立性检验的方法算得2K 的观测值为5，则下列说法中正确的是( ) A ．有95%的把握认为“X 和Y 有关系” B ．有95%的把握认为“X 和Y 没有关系” C ．有99%的把握认为“X 和Y 有关系” D ．有99%的把握认为“X 和Y 没有关系” 【答案】A 【分析】利用2K 的观测值与临界值进行比较得解. 【详解】因为2( 3.841)0.050P K =≥，5 3.841>，所以有95%的把握认为“X 和Y 有关系”. 故选：A若由一个22⨯列联表中的数据计算得2 4.013K =，那么有（ ）把握认为两个变量有关系.知识典例巩固练习()20P K k ≥ 0.500.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828A ．95%B ．97.5%C ．99%D ．99.9%【答案】A 【分析】由2 3.841K >可对照临界值表得到结果. 【详解】2 4.013 3.841K =>，∴有()10.05100%95%-⨯=的把握认为两个变量有关系. 故选：A.题型二 列联表例 2 如表是一个2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为（ ）y 1 y 2 合计x 1 a21 73x 2 22 25 47合计 b 46 120A ．94，72B ．52，50C ．52，74D ．74，52【答案】C 【分析】根据表中数据简单计算即可. 【详解】a =73-21=52，b =a +22=52+22=74. 故选：C.下面是一个22⨯列联表:1y 2y总计 1x35 a 70 2x15 1530 总计 50b100其中,a b 处填的值分别为_______． 【答案】35，50. 【分析】由列联表易得结果. 【详解】由3570a +=，得35a =，15a b +=，得50b =.巩固练习故答案为：35，50.题型三 独立性检验应用例 3 2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石.许多人认为这场比赛是人类智慧的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此在某大学进行了调查，参加调查的共80位学生，调查数据的22⨯列联表如下所示: 持反对意见 赟同 总计男40 女 5总计2580（1）①请将列联表补充完整;②请根据表中数据判断，能否有的99.9%把握认为是否持反对意见与性别有关; （2）若表中持反对意见的5个女学生中，3个是大三学生，2个是大四学生.现从这5个学生中随机选2个学生进行进一步调查，求这2个学生是同一年级的概率.附参考公式及数据:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.40 0.25 0.10 0.010 0.005 0.001 0k7.879 1.3232.7066.6357.87910.828【答案】（1）①列联表见解析，②有99.9%的把握认为是否持反对意见与性别有关；（2）25.【分析】()1①由已知数据得出列联表；②由题可知，计算2K 的观测值013.09110.828k ≈>，可得出结论；()2记3个大三学生分别为，123,,,2A A A 个大四学生分别为12,B B 、运用列举法列出所有事件，由古典概率公式可得答案. 【详解】()1①②由题可知，2K 的观测值2080203552013.09110.828404055(25)k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为是否持反对意见与性别有关.()2记3个大三学生分别为，123,,,2A A A 个大四学生分别为12,B B 、则从中抽取2个的基本事件有:1213231213112223212,,,,,,,,,A A A A A A AB A B A B A B A B A B B B ，共10个，其中抽取的2人是同一年级的基本事件有12132312,,,A A A A A A B B 共4个， 则这2个学生是同一年级的概率为42105P ==.这一年来人类与新型冠状病毒的“战争”让人们逐渐明白一个道理，人类社会组织模式的差异只是小事情，病毒在地球上存在了三四十亿年，而人类的文明史不过只有几千年而已，人类无法消灭病毒，只能与之共存，或者病毒自然消亡，在病毒面前，个体自由要服从于集体或者群体生命的价值．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体内或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期，因此我们应该注意做好良好的防护措施和隔离措施．某研究团队统计了某地区10000名患者的相关信息，得到如表表格： 潜伏期（天）(]0,2(]2,4(]4,6(]6,8(]8,10 (]10,12 (]12,14人数6001900300025001600250150（1）新冠肺炎的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与年龄的关系，通过分层抽样从10000名患者中抽取200人进行研究，完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为潜伏期与患者年龄有关？潜伏期8≤天潜伏期8>天总计 60岁以上（含60岁）150 60岁以下 30 总计200（2）依据上述数据，将频率作为概率，且每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立．为了深入研究，该团队在这一地区抽取了20名患者，其中潜伏期不超过8天的人数最有巩固练习可能是多少？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）表格见解析，能；（2）16名.【分析】（1）由表中数据可知，求得潜伏期大于8天的人数，列出2×2列联表，利用公式求得2K的值，结合附表，即可得到结论；（2）求得该地区10000名患者中潜伏期不超过8天的人数，求得潜伏期不超过8天的概率，进而抽取的20名患者中潜伏期不超过8天的人数．【详解】（1）由表中数据可知，潜伏期大于8天的人数为16002501502004010000++⨯=人，补充完整的2×2列联表如下，所以()2220013*********.66710.8281505016040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为潜伏期与患者年龄有关．（2）该地区10000名患者中潜伏期不超过8天的人数为6001900300025008000+++=名，将频率视为概率，潜伏期不超过8天的概率为80004100005=， 所以抽取的20名患者中潜伏期不超过8天的人数最有可能是420165⨯=名．1、为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得x 2＝7.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为（ ）A ．0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9%【答案】C 【分析】由x 2＝7.01>6.635，对照临界值表求解即可.巩固提升【详解】易知x2＝7.01>6.635，对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系．故选：C2、某班主任对全班50名学生进行了作业量的评价调查，所得数据如表所示：则认为作业量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不超过（）A．0.01 B．0.05C．0.10 D．无充分证据【答案】B【分析】计算2K，再进行判断.【详解】因为2250(181598)5.059 3.84127232624K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，又()2 3.8410.05P K≥=所以认为作业量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不超过0.05. 故选：B3、（多选）有关独立性检验的四个命题，其中正确的是（）A．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大B．对分类变量X与Y的随机变量2K的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病D．从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关【答案】ABD【分析】根据独立性检验的原理与知识，对选项中的命题判断正误即可．【详解】选项A，两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，则2K观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项A正确；选项B，根据2K的观测值k越小，原假设“X与Y没关系”成立的可能性越大，则“X与Y有关系”的可信度越小，所以选项B正确；选项C，从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，不表示某人秃顶他有95%的可能患有心脏病，所以选项C不正确；选项D，从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关，是独立性检验的解释，所以选项D正确.故选：ABD.4、为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (x 2≥3.841)≈0.05，P (x 2≥6.635)≈0.01.根据表中数据，得到x 2＝250(1320107)23272030⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为________．【答案】0.05 【分析】直接根据表中数据计算的x 2值与P (x 2≥3.841)≈0.05比较判断，即得结果. 【详解】因为x 2≈4.844>3.841，而P (x 2≥3.841)≈0.05，故认为选修文科与性别有关系出错的概率约为0.05. 故答案为：0.05.5、调查者通过询问72名男、女大学生在购买食品时是否看营养说明得到的数据如下表所示:大学生的性别和是否看营养说明之间___(填“有”或“没有”)关系.【答案】有【分析】由表中的数据直接计算卡方，从而可得结论【详解】解：因为22722820168)=8.4167.879 44283636χ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯（，所以有的把握认为大学生性别与购买食品时是否看营养说明之间有关，故答案为：有6、某高校《统计》课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表: 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到k=2 50(1320-107) 23272030⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝4.844>3.841，所以有_____的把握判定主修统计专业与性别有关系.附：【答案】95%【分析】根据独立性检验的基本思想，因为2K的观测值k＝4.844>3.841，参考临界值表即可得出【详解】根据表格数据得2K的观测值k=250(1320-107)23272030⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈4.844 3.841>，所以有95%的把握判定主修统计专业与性别有关系.故答案为:95%．7、某学生对其30名亲属的饮食习惯进行了一次调查，依据统计所得数据可得到如下的22⨯列联表：根据以上列联表中的数据，可得2K 的观测值k =__________，__________（填“有”或“没有”）99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【答案】10 有 【分析】根据列联表，求得a b c d ,,,的值，利用公式，求得2K 的值，结合附表，即可得到结论. 【详解】由列联表可得20a =，10b =，12c =，4d =，可得2230(8128)10 6.63512182010K ⨯-==>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关． 故答案为：10；有.8、2017年3月27日，一则“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响．游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱．其实，已有不少高校将游泳列为必修内容．某中学为了解2018届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.（1）请将上述列联表补充完整；（2）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．附：x2＝2()()()()()n ad bca b c d a c b d-++++【答案】（1）表格见解析；（2）有. 【分析】（1）根据概率补全列联表即可；（2）计算2x，再进行判断即可.【详解】（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为3 5所以喜欢游泳的学生人数为3 100605⨯=.其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：（2）因为22100(40302010)16.6710.82860405050x⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．9、某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下22⨯列联表：如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是12 25．（1）求a，b，c，d的值．（2）试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【答案】（1）6a =，19b =，24c =，26d =；（2）有. 【分析】（1）由抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225，可求出c 的值，然后根据表中的数据可求出,,a b d 的值；（2）直接利用22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++公式求解，然后根临界值表判断即可【详解】解：（1）积极参加班级工作的学生有c 人，总人数为50， 由抽到积极参加班级工作的学生的概率1125025c P ==， 解得24c =，所以6a =．所以2525619b a =-=-=，50502426d c =-=-=．（2）由列联表知，2250(181967)11.53825252426K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 由11.53810.828>，可得有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．。
高三数学上册知识点归纳
高三数学上册知识点归纳在高三数学上册中，学生将学习和掌握许多重要的数学知识和概念。
下面将对高三数学上册的知识点进行归纳和总结，以便帮助同学们更好地掌握这些知识。
1. 函数与方程1.1 函数的概念和性质函数是描述两个变量之间关系的工具，具有自变量和因变量，并且每个自变量只有一个因变量对应。
函数可以用方程、表格、图象等形式表示。
1.2 一次函数一次函数具有形式为y = kx + b的特点，其中k是斜率，b是y 轴截距。
1.3 二次函数二次函数具有形式为y = ax^2 + bx + c的特点，其中a、b、c为常数。
二次函数的图象为抛物线。
1.4 指数与对数函数指数函数具有形式为f(x) = a^x的特点，对数函数则为指数函数的反函数。
1.5 幂函数和反比例函数幂函数具有形式为y = Ax^k的特点，其中A和k为常数。
反比例函数具有形式为y = A/x的特点。
2. 三角函数2.1 弧度制与角度制三角函数可以用弧度制和角度制来表示，其中弧度制是较为常用的形式。
2.2 三角函数的基本关系正弦函数、余弦函数和正切函数是三角函数的基本关系，分别表示为sin(x)、cos(x)和tan(x)。
2.3 三角函数的图象与性质不同的三角函数具有不同的图象特征和性质，学生需要熟悉和掌握每个三角函数的图象和性质。
2.4 三角函数的诱导公式利用三角函数的诱导公式，可以将角度转化为不同的值，方便计算。
3. 数列与数学归纳法3.1 等差数列与等比数列等差数列具有公差相等的特点，等比数列则具有公比相等的特点。
学生需要熟悉数列的通项公式和求和公式。
3.2 数学归纳法数学归纳法是证明数学命题的一种常用方法，分为基本步骤和归纳假设两部分。
4. 概率论与统计4.1 随机事件与概率随机事件的概率可以用频率、古典概率和几何概率来表示。
4.2 条件概率与事件的独立性条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
事件的独立性表示两个事件相互不影响。
高考数学第一轮复习：《二项分布与正态分布》
高考数学第一轮复习：《二项分布与正态分布》最新考纲1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．4.能解决一些简单的实际问题.【教材导读】1．条件概率和一般概率的关系是什么？提示：一般概率的性质对条件概率都适用，是特殊与一般的关系．2．事件A，B相互独立的意义是什么？提示：一个事件发生的概率对另一个事件发生的概率没有影响．3．在一次试验中事件A发生的概率为p，在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率值为什么是C k n p k(1－p)n-k?提示：n次恰好发生k次，为C k n个互斥事件之和，每个互斥事件发生的概率为p k(1－p)k，故有上述结论．4．正态分布中最为重要的是什么？提示：概念以及正态分布密度曲线的对称性．1．条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1；(2)若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义设A、B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)与对立事件的关系如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．(2)二项分布一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，设在每次试验中事件A发生的概率为p，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正态分布(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图(2)所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ <X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ <X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ <X≤μ＋3σ)＝0.9974.【重要结论】1．P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c，则事件A，B.C至少有一个发生的概率为1－(1－a)(1－b)(1－c)．2．X～N(μ，σ)，若P(X<a)＝P(X>b)，则正态密度曲线关于直线x＝a＋b2对称．1．设随机变量ξ～N(2,4)，若P(ξ＞a＋2)＝P(ξ＜2a－3)，则实数a的值为()(A)1 (B)5 3(C)5 (D)9B解析：因为μ＝2，根据正态分布的性质得a＋2＋2a－32＝2，解得a＝53.2．已知随机变量X服从正态分布N(2,32)，且P(X≤1)＝0.30，则P(2<X<3)等于() (A)0.20 (B)0.50(C)0.70 (D)0.80A 解析：∵该正态密度曲线的对称轴方程为x ＝2， ∴P(X ≥3)＝P(X ≤1)＝0.30，∴P (1<X <3)＝1－P(X ≥3)－P(X ≤1)＝1－2×0.30＝0.40，∴P (2<X <3)＝12P (1<X <3)＝0.20. 3．设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f(x)＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )(A)56 (B)45 (C)3132(D)12C 解析： ∵函数f(x)＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4.∵X 服从X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，∴P(X ≤4)＝1－P(X ＝5)＝1－125＝3132.4．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长幼苗的概率为________．答案：0.725．在一次高三数学模拟考试中，第22题和23题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12，则其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为________．答案：12考点一 条件概率(1)某射击手射击一次命中的概率是0.7，两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是( )(A)710 (B)67 (C)47(D)25(2)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A 为“至少一次出现反面”，事件B 为“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝________.解析：(1)设第一次射中为事件A 、随后一次射中为事件B ， 则P(A)＝0.7，P(AB)＝0.4，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.40.7＝47. (2)由题意，知P(AB)＝323＝38，P(A)＝1－123＝78，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝3878＝37.答案：(1)C (2)37【反思归纳】 (1)一般情况下条件概率的计算只能按照条件概率的定义套用公式进行，在计算时要注意搞清楚问题的事件含义，特别注意在事件A 包含事件B 时，AB ＝B.(2)对于古典概型的条件概率，计算方法有两种：可采用缩减基本事件全体的办法计算P(B|A)＝n (AB )n (A )；直接利用定义计算P(B|A)＝P (AB )P (A ). 【即时训练】 (1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．(2)某种家用电器能使用三年的概率为0.8，能使用四年的概率为0.4，已知某一这种家用电器已经使用了三年，则它能够使用到四年的概率是________．解析：(1)解法一 设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝C 55C 2100，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝5×4100×995100＝499.解法二 第一次取到不合格产品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格的，因此第二次取到不合格品的概率为499.(2)记事件A 为这个家用电器使用了三年， 事件B 为这个家用电器使用到四年，显然事件B A ，即事件AB ＝B ，故P(A)＝0.8，P(AB)＝0.4， 所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.5. 答案：(1)499 (2)0.5考点二独立事件的概率甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．解析：设A k，B k分别表示“甲、乙在第k次投篮投中”，则P(A k)＝13，P(B k)＝12(k＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知P(A3)＝13＋23×12×13＋(23)2×(12)2×13＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能取值为1,2,3，且P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝13＋23×12＝23，P(ξ＝2)＝P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2)＝23×12×13＋(23)2×(12)2＝29，P(ξ＝3)＝P(A1B1A2B2)＝(23)2×(12)2＝19.综上知，ξ的分布列为ξ 1 2 3P 232919所以E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.【反思归纳】概率计算的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．【即时训练】 某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取(不足一小时按一小时计算)．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为13，12；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为12，13，且两人租车的时间都不超过4小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列． 解：(1)甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元． 甲、乙两人所付费用都是10元的概率为 P 1＝13×12＝16，甲、乙两人所付费用都是20元的概率为 P 1＝12×13＝16，甲、乙两人所付费用都是30元的概率为 P 1＝1－13－12×1－12－13＝136故甲、乙两人所付费用相等的概率为 P ＝P 1＋P 2＋P 3＝1336.(2)随机变量ξ的取值可以为20,30,40,50,60. P(ξ＝20)＝12×13＝16P(ξ＝30)＝13×13＋12×12＝1336P(ξ＝40)＝12×13＋1－12－13×13＋1－13－12×12＝1136P(ξ＝50)＝12×1－12－13＋1－12－13×13＝536P(ξ＝60)＝1－12－13×1－12－13＝136 故ξ的分布列为：P16 1336 1136 536 136考点三 二项分布京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布N(μ，σ2)，同时随机抽取100位参与某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究(全部票友的年龄都在[30,80]内)，样本数据分布区间为[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，由此得到如图所示的频率分布直方图．(1)若P(ξ<38)＝P(ξ>68)，求a ，b 的值；(2)现从样本年龄在[70,80]的票友中组织了一次有关京剧知识的问答，每人回答一个问题，答对赢得一台老年戏曲演唱机，答错没有奖品，假设每人答对的概率均为23，且每个人回答正确与否相互之间没有影响，用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数，求η的分布列及数学期望．解：(1)根据正态曲线的对称性，由P(ξ<38)＝P(ξ>68)，得μ＝38＋682＝53. 再由频率分布直方图得⎩⎪⎨⎪⎧(0.01＋0.03＋b ＋0.02＋a )×10＝1，0.1×35＋0.3×45＋10b ×55＋0.2×65＋10a ×75＝53， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.005，b ＝0.035.(2)样本年龄在[70,80]的票友共有0.05×100＝5(人)， 由题意η＝0,1,2,3,4,5，所以P(η＝0)＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫1－235＝1243， P(η＝1)＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－234＝10243， P(η＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－233＝40243， P(η＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝80243， P(η＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫1－231＝80243， P(η＝5)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝32243， 所以η的分布列为η 012345 P1243 10243 40243 80243 8024332243所以E(η)＝0×1243＋1×10243＋2×40243＋3×80243＋4×80243＋5×32243＝103，或根据题设，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23，P(η＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)， 所以E(η)＝5×23＝103.【反思归纳】 在实际问题中具体列出服从二项分布的随机变量的概率分布列对解决问题有直观作用，求解服从二项分布的随机变量的概率分布列和数学期望，只要按照公式计算即可．【即时训练】 某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数所进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9，11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列、均值与方差．解：(1)由频率分布直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1.因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，故抽取的总人数为40.1＝40.又成绩在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37.(2)解法一 ξ的所有可能的取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为3740，成绩不合格的概率为1－3740＝340，可判断ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，340. P(ξ＝0)＝C 02×⎝ ⎛⎭⎪⎫37402＝13691600，P(ξ＝1)＝C 12×340×3740＝111800， P(ξ＝2)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫3402＝91600，故所求分布列为X 0 12P13691600111800 91600ξ的均值为E(ξ)＝0×13691600＋1×111800＋2×91600＝320，ξ的方差为D(ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3202×13691600＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3202×111800＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3202×91600＝111800.解法二 求ξ的分布列同解法一．ξ的均值为E(ξ)＝2×340＝320，ξ的方差为D(ξ)＝2×340×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－340＝111800.考点四 正态分布(1)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (4，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，＋∞)内取值的概率为( )(A)0.2 (B)0.4 (C )0.8(D)0.9(2)已知三个正态分布密度函数f i (x)＝12πσi ·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )(A)μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3(B)μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3(C)μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3(D)μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3(3)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为()(A)73(B)53(C)5 (D)3解析：(1)∵ξ服从正态分布N(4，σ2)(σ＞0)，∴曲线的对称轴是直线x＝4，∴ξ在(4，＋∞)内取值的概率为0.5.∵ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，∴ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.5＋0.4＝0.9.(2)正态分布密度函数f2(x)和f3(x)的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又f2(x)的对称轴的横坐标值比f1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数f1(x)和f2(x)的图像一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.故选D.(3)因为ξ服从正态分布N(3,4)，且P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，所以2a－3＋a＋22＝3，解得：a＝73.故选A.答案：(1)D(2)D(3)A【反思归纳】(1)在计算服从正态分布的随机变量在特殊区间上的概率时要充分利用正态密度曲线的对称性，将所求的概率转化到我们已知区间上概率．(2)根据正态密度曲线的对称性，当P(ξ>x1)＝P(ξ<x2)时必然有x1＋x22＝μ.【即时训练】为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中体重属于正常情况的人数是()(A)997 (B)954(C)819 (D)683解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6826，从而体重属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.答案：D正态分布与二项分布的综合某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？审题指导满分展示：解：解答：(1)解：20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)解：由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．命题意图：本题考查二项分布、数学期望等基础知识，考查综合运用概率统计知识分析问题和解决问题的能力．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)＝()(A)12 (B)14 (C)16(D)18A 解析：事件A 的概率为P (A )＝12，事件AB 发生的概率为P (AB )＝14，由公式可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12，选A. 2．已知ξ～N (3，σ2)，若P (ξ≤2)＝0.2，则P (ξ≤4)等于( ) (A)0.2 (B)0.3 (C)0.7(D)0.8D 解析：由ξ～N (3，σ2)，得μ＝3，则正态曲线的对称轴是x ＝3，所以P (ξ≤4)＝1－P (ξ≤2)＝0.8.故选D.3．若某人每次射击击中目标的概率均为35，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为( )(A)81125 (B)54125 (C)36125(D)27125A 解析：本题考查概率的知识．至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35；若三次都击中，其概率为C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353，根据互斥事件的概率公式可得，所求概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125，故选A. 4．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )(A)5960 (B)35 (C)12(D)160B 解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C →)＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )＝P (A →)P (B )P (C →)＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.5．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )(A)1 (B)12 (C)13(D)14B 解析：设事件A ：第一次抛出的是偶数点，B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12×1212＝12.故选B.6．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )(A)0 (B)1 (C)2(D)3C 解析：根据题意，本题为独立重复试验，由概率公式得：C k 512k ×125－k ＝C k ＋1512k ＋1×124－k ，解得k ＝2.故选C.7．某电脑配件公司的技术员对某种配件的某项功能进行检测，已知衡量该功能的随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ≤4)＝0.9，该变量X ∈(0,4)时为合格产品，则该产品是合格产品的概率为( )(A)0.1 (B)0.2 (C)0.9(D)0.8D 解析：∵P (X ≤4)＝0.9，∴P (X ＞4)＝1－0.9＝0.1，又此正态曲线关于直线x ＝2对称，故P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝0.1，∴P (0＜X ＜4)＝1－P (X ≤0)－P (X ≥4)＝0.8，故该产品合格的概率为0.8，故选D. 8．已知随机变量X ～N (2,2)，若P (X ＞t )＝0.2，则P (X ＞4－t )＝( ) (A)0.1(B)0.2(C)0.7 (D)0.8D 解析：P (X ＞4－t )＝1－P (X ＜4－t )＝1－P (X ＞t )＝1－0.2＝0.8.故选D.9．我国的植树节定于每年的3月12日，是我国为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，通过立法确定的节日．为宣传此活动，某团体向市民免费发放某种花卉种子．假设这种种子每粒发芽的概率都为0.99，若发放了10 000粒，种植后，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：根据题意显然有X 2－B (10 000,0.01)，所以E (X2)＝10 000×0.01＝100，故E (X )＝200. 答案：20010．某高三毕业班的8次数学周练中，甲、乙两名同学在连续统计解答题失分的茎叶图如图所示．(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．解析：(1)x 甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x 乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s 2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s 2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. 甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316， X 的所有可能取值为0,1,2 .依题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，316，P (X ＝k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫316k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13162－k，k ＝0,1,2， 则X 的分布列为：X 的均值E (X )＝2×316＝38.能力提升练(时间：15分钟)11．已知ξ～Bn ，12，η～Bn ，13，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( ) (A)5 (B)10 (C)15(D)20 B 解析：因为ξ～Bn ，12， 所以E (ξ)＝n2， 又E (ξ)＝15，则n ＝30. 所以η～B 30，13，故E (η)＝30×13＝10.故选B.12．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )(A)1127 (B)1124 (C)827(D)924 C 解析：设“从1号箱取到红球”为事件A ，“从2号箱取到红球”为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49，所以P (AB )＝P (B |A |)·P (A )＝49×23＝827，所以两次都取到红球的概率为827，故选C.13．设随机变量X－N(3，σ2)，若P(X＞m)＝0.3，则P(X＞6－m)＝________.解析：∵随机变量X～N(3，σ2)，∴P(X＞3)＝P(X＜3)＝0.5，∵P(X＞m)＝0.3，∴P(X＞6－m)＝P(X＜m)＝1－P(X＞m)＝1－0.3＝0.7.答案：0.714．某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，该部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ(单位：年)服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________．解析：由P(0＜ξ＜3)＝P(ξ＞9)＝0.2，可得在9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2，因此在9年内这个部件不能正常工作的概率为0.83＝0.512，故该部件能正常工作的概率为1－0.512＝0.488.答案：0.48815．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)由题知，P(80≤X＜85)＝12－P(X＜75)＝0.2，P(85≤X＜95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P＝A33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，P (ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P (ξ＝3)＝0.43＝0.064， 所以随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P0.2160.4320.2880.064E (ξ)＝3×0.4＝1.2.16．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作多少个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)的数据，得到如图所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．(1)若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，(ⅰ)求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：个，n ∈N *)的函数解析式； (ⅱ)在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率． (2)若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决策依据，判断应该制作16个还是17个？解：(1)(ⅰ)当n ≥17时y ＝17×(100－50)＝850； 当n ≤16时，y ＝50n －50(17－n )＝100n －850.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －850(n ≤16，n ∈N *)，850(n ≥17，n ∈N *).(ⅱ)设当天的利润不低于750元为事件A ，当天需求量不低于18个为事件B ， 由(ⅰ)得，日利润不低于750元等价于日需求量不低于16个，则P (A )＝710，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.15＋0.13＋0.10.7＝1935.(2)蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，X表示当天的利润(单位：元)，X的分布列为E(X)＝550×0.1＋650×0.2＋750×0.16＋850×0.54＝764.若蛋糕店一天制作16个生日蛋糕，Y表示当天的利润(单位：元)，Y的分布列为：E(Y)＝600×0.1＋700×0.2＋800×0.7＝760.由以上的计算结果可以看出，E(X)＞E(Y)，即一天制作17个生日蛋糕的利润大于一天制作16个生日蛋糕的利润，所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．。
高三知识点归纳数学公式大全
高三知识点归纳数学公式大全在高三学习数学时，掌握数学公式是非常重要的。
数学公式是我们解题过程中的工具，可以帮助我们更好地理解问题、推导出解题方法并得到准确的答案。
为了方便大家学习和温习，以下是一些高三数学中常见的公式归纳。
一、函数与方程1. 二次函数的顶点坐标公式：对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点的横坐标为x=-\frac{b}{2a}，纵坐标为y=-\frac{D}{4a}，其中D=b^2-4ac为判别式。
2. 一次函数的斜率公式：对于一般形式的一次函数y=kx+b，其斜率为k，表示函数的倾斜程度。
两点之间的斜率公式为k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}。
3. 二次方程的求根公式：对于一般形式的二次方程ax^2+bx+c=0，其解为x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}。
根的个数与判别式D=b^2-4ac的大小有关。
4. 指数函数的性质：a^0=1，a^n=a^{n-1}\cdot a，\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}。
二、几何与三角1. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
如果两个三角形的对应角相等且对应边成比例，那么它们是相似的。
2. 三角函数的基本关系：正弦定理：\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}。
余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc\cos A。
正切定理：\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}。
3. 圆的性质：圆心角的弧度表示为S=r\theta，其中r为半径，\theta为角度；圆的弧长与半径和圆心角的关系为C=2\pi r。
4. 角的平分线定理：一个角的平分线把这个角分成两个大小相等的角。
三、概率与统计1. 事件的概率公式：对于随机试验的某个事件A，其概率表示为P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}，其中n(A)为事件A的样本点数目，n(S)为样本空间中的样本点总数目。
高中数学人教B版2019必修第二册随机事件的独立性课件
发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率是 4 ； 7
若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 5 .可见，前一事件是否发
7
生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件. （3）记事件A：出现偶数点，事件B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝
{3，6}，AB＝{6}，所以P（A）＝ 3 ＝ 1 ，P（B）＝ 2 ＝ 1 ，P（AB）＝ 1 .
62
63
6
所以P（AB）＝P（A）·P（B），所以事件A与B相互独立.
【归纳总结】 判断两个事件相互独立的步骤
（1）写出样本空间Ω以及A，B；
（2）利用古典概型计算P（A），P（B）；
（3）写出AB，并计算P（AB）；
（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立，否则A与B不相互独立.
训练题1. ［2019·湖北武汉华中师大第一附中高二期中］分别抛掷2枚质地均 匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚 结果相同”为事件C，有下列三个命题： ①事件A与事件B相互独立；②事件B与事件C相互独立； ③事件C与事件A相互独立. 以上命题中，正确的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】设甲中靶为事件A，则P（A）＝ 8 ＝ 4 ，设乙中靶为事件B，则P（B）＝ 7 .
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10
甲、 乙两人同时射击，他们相互没有影响，所以事件A，B为相互独立事件，则他们
同时中靶为事件AB.则P（A答案】 A
【归纳总结】在运用概率乘法公式解决概率问题时，注意对事件的正确分析，弄清 楚哪些相互独立事件同时发生.若事件本身比较复杂，还要进行合理拆分，将其分解 为几个互斥事件的和事件；
事件的相互独立性与条件概率全概率公式课件-2025届高三数学一轮复习
思维升华
求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
跟踪训练1 (1)(多选)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全 相同的号签.其中，甲袋中有编号为 1,2,3的三个号签；乙袋有编号为
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第二部分
探究核心题型
题型一 相互独立事件的概率
命题点1 事件相互独立性的判断 例1 (多选)(2024·滁州模拟)已知A，B为两个随机事件，且P(A)＝0.4， P(B)＝0.6，则 A.P(A＋B)<1
√B.若A，B为互斥事件，则P(AB)＝0 √C.若P(AB)＝0.24，则A，B为相互独立事件 √D.若 A，B 为相互独立事件，则 P( A B )＝P(AB)
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1； 0,1,1和1,1,1这4个事件的和， 它们互斥，所求的概率为 C23β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故 C 错误； 对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)， 单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5， 因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′， 故D正确.
知识梳理
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝
PAB PA 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
nAB
①利用古典概型：P(B|A)＝ nA ；
②概率的乘法公式：P(AB)＝ P(A)P(B|A) .
高考数学复习考点知识讲解课件57 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
件 B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率 P(B|A)＝( D )
A．176
B．78
C．37
D．67
பைடு நூலகம்
[解析] 由题意知，事件 A：甲和乙至少一人选择庐山，共有 n(A)＝C12·C13＋1＝7 种 情况，事件 AB：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有 n(AB)＝C12·C13＝6 种情况，P(B|A)＝nnAAB＝67.故选 D．
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条件概率的 2 种求法 (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝PPAAB，这是求条件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 A 与事件 B 的交事件中包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
满 2 局或 3 局，且在 11 分制比赛中，每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13；在“FAST5”
模式，每局比赛双方获胜的概率都为12，每局比赛结果相互独立．
(1)求 4 局比赛决出胜负的概率；
(2)设在 24 分钟内，甲、乙比赛了 3 局，比赛结束时，甲乙总共进行 5 局的概率．
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2．条件概率 (1)概念：一般地，设
A，B
为两个随机事件，且
P(A)>0，我们称
P(B|A)＝PPAAB
为
在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，简称条件概率．
(2)两个公式
nAB
①利用古典概型，P(B|A)＝ nA .
②概率的乘法公式：P(AB)＝ P(A)P(B|A) ．
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复习回顾
1、事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概
率为：P(AB)= P(A)P(B)
.
一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
( 互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)
较
正向
复
杂
事
分步
P(A·B)= P(A) ·P (B)
( 互独事件)
件
概 率
反向
对立事件的概率
独立事件不一定互斥. 互斥事件一定不独立.
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快.更重要の是同伴少,他还腿脚不便,超没安全感の.“去西城,”仿佛看出她の恐惧,柏少华看着她温言笑道,“有没特别喜欢の书我买回来给你,我认识一位老学者他家里有很多古籍.”说这话时,眼里流露一丝微不可见の温柔.耶？古籍？！陆羽の眼睛噔の一下仿佛光芒万丈,异常の亮 眼.柏少华见状,不由得轻笑出来...就在两人上船离开时,有几个人兴奋得一路冲着船高呼一边跑近.婷玉瞅了一眼转身离开,留下陆易和柏少君站在原地.“陆易,这船待会儿能不能借我们用用？”一个男の对陆易说.他们是三合院の客人,算是康荣荣の朋友,面子是要给の,“过河可以, 其他服务不提供.”啊？众人急了.“我们不过河,就在河里玩玩,喂喂,价格好商量.”陆易扬手一挥,头也不回地和少君有说有笑返回休闲居.别说不给足面子,现代人出去玩一旦出事,凡是沾边の都脱不了干系,他不想给餐厅招麻烦.一伙人看着河中小舟已过对岸,一边低声咒骂陆易の小 气,一边看着岸边那辆车.“喂,那人什么来头？”有人吊儿郎当地问,目光紧盯着对面那一男一女先后上了等候多时の车子.男の不算有多气派,但气质不凡,不像默默无闻の人.“华华,你跟他做了这么久邻居总该了解吧？”有人随口问.等了半晌没人回应,不禁望来,却发现康荣荣看着对 岸那辆车子绝尘而去,眼神失意落寞.“华华？康荣荣！”康荣荣正在黯然神伤,骤然被耳边の一声吼惊醒神智,“啊？啊？你们说什么？”众人望着她一脸无语,康荣荣只好讪然笑笑,“走吧,回去我给你们做叫化鸡.”说罢往家里走.中午时分,院里终于平静下来.她睡不着午觉,睁开双眼, 河边两人の一举一动屡屡出现眼前;闭上眼,脑海里净是那两人之间温馨融洽の气氛.心境烦躁,不禁披衣出来,在屋檐下の藤椅里独坐喝闷酒.不管邻居们の关系如何,怎么相处,谁跟谁相好,谁又一脚踏两船,她都没有立场指责或者多说什么.因为柏少华平时除了跟她聊聊菜式,没有其他话 题.两人在路上の每一次相遇都是她在强行尬聊,或者利用菜式、和不懂操作视频来吸引他の注意.不知为何,她很清醒地意识到自己和他之间没有距离,他根本不在她对面谈何距离？菜式、酿酒、茶艺快被他学光了,以后她顶多是他其中一位友好の邻居.一想到这里,她心里就很不舒服. 又能怎样呢？谁让她年轻那会儿不懂得珍惜自己,把最美好の自己留到现在去跟人争取？她以前不在乎那层膜の,但现在,光是站在他面前已觉得自惭形秽.一个自卑自贱の女人,怎么去爱一个风光霁月の男人？第226部分拿了证,陆羽从驾校出来,心里盘算着什么时候去卖辆车回来.不用 问人,她知道哪一款适合自己.刚走出门口就有两个人从旁边窜出来,一手搭上她の肩膀.“嗨,小杏子,一起喝茶？”陆羽不用回头也知道是谁,两名全班最开朗也最是非の女学员.与她一般年纪,和那几个纠缠她の男学员很玩得来.但有个缺点,当男学员骚扰她の时候,她俩不但不管还会瞎 起哄.“不了,谢谢,我还要上班.”陆羽不假思索地拒绝.“嘿,别这样嘛,安仔他们不在.”陆羽不理,不客气地挣开然后头也不回直往公交车站走.不是她不合群,别人还好说,这两个是绝对不能接近の.以前の她碍于各种社交礼仪极力不得罪人,如今の她交友单纯看对方品质,不会见人就 给社交号联系.更何况,她俩心里想什么她很清楚.今早坐顺风车来得太早,柏少华说他来不及吃早餐,让她陪他吃了一会儿,然后送她来驾校.正好被她们俩撞见,刹间态度大变今早一直对她很友善.柏家兄弟样貌出众,女人见猎心喜の心态她能理解,但没义务奉陪.不管是陆倩,还是这些女 学员.摆脱她们,见时间尚早,陆羽抱着侥幸の心理来到公车站.巧得很,正好有一辆短途班车直接开往梅林村方向,她连忙上了车.这种时候客人不多,车里很多空位,她靠窗而坐.选择公车是为了安心观察身边の事物,比如路边の人潮,路上の车流...用相机拍拍拍.公车の车速不快不慢,虽 然一直被人超越却让人感到安心.至少陆羽是这么想の,她不赶时间,生活悠闲自在.她不去梅林村,选择在配送点の对面下车.过了桥,她取出滑板慢慢地溜着,经过配送点门口发现那里の员工正在忙碌.这儿有一间路边小超市,有员工正在卸货,旁边の洗车一条龙服务正在忙碌.接收快件在 配送点里边,要经过门卫检查才能进去.平凡の人们,平凡の生活,平凡の人生规律.陆羽在门口拍了几张不同角度の照片,正准备离开.“陆陆？！”一个声音叫住她,语气意外而惊喜.她停下来左右张望,当看见一个熟悉の身影从洗车店向她走来时,颇觉意外地露出一个笑容来.“秦哥！” 充满阳刚气息の秦煌依旧是个小平头,爽朗豪气,健康の肤色貌似比上次更深了些,强劲有力の独特气质让他倍有男人魅力.走近时,他开怀而笑露着一口闪亮の大白牙来.久别重逢,两人相谈甚欢.得知陆羽要回村,看看她脚下踩の滑板,秦煌说：“我车快洗好了,一块走.”想起村里正在水 淹,陆羽提醒他,“可是桥被淹了,虽然有船,可你の车进不了.”据柏少华分析至少要等明天才能恢复原样.秦煌怔了下,“水涨了？”陆羽点点头,秦煌回头看看洗车店,“那你等会儿.”返身跑回洗车店.不大一会儿,他推了一辆自行车出来,向店里员工道明情况借の.他の车干 脆打蜡先寄存,等水位恢复再出来取.“走,”自行车没有后座,他拍拍手臂示意她扶着,“这样省力.”他身高腿长,公司职员の打扮.一条黑色休闲裤显得长腿有些瘦,但裁剪得体の深蓝衬衫令他强健の体魄隐约突显,在这种人跟前自行车就显得有些脆弱了.貌似一个庞然大物骑着一辆小 可怜,视觉上很违和.陆羽心里好笑,“那你慢些.”伸手扶在他肩膀上,小心随他滑了几步.村路能容得下小货车,自然容得两人并肩而行.秦煌开始骑得很慢,待她习惯之后才开始骑快些,边走边问：“平时在村里有没看见我妈？她身体怎么样？”一提起白姨,陆羽不由得想起自己做の “好”事,心有点虚.“呃,身体是不错の...”婷玉隔三差五地过去瞧瞧,帮忙调理着.至于其他方面,例如自尊心、面子啥の就不好说了.秦煌瞧她一眼,从她の语气里听出一丝端倪来,不禁笑道：“我妈曾经在居委会工作过,有点好管闲事.没事,你尽管说.”八成又得罪人了,自家老妈の 性格做儿子の能不知道？秦煌这人从一开始就给陆羽留下良好の印象,所以她并不隐瞒,一五一十地把事情竹筒倒豆子似の全部说了.“...白姨好像气哭了,朱阿姨她们说我不懂事,让我以后让着些.”把人家老妈气哭,陆羽目光坚定地直视前方,生怕瞄到隔壁难看の脸色,“我知道我不对, 你放心,绝对没有下一次.”只要白姨不送上门,她不会自讨没趣在她跟前晃.“这事不怪你,”秦煌听罢心中无力,“我妈那一代の人习惯大事化小,以消极の态度看待与处理问题.我劝过她很多次,老人固执听不进去.不过她自尊心强,你屡次抹她面子下次她不会再找你.”陆羽讪笑两声, 没说话.把事实告诉他就好,这话她不敢接.他の妈他能说,她可不行.“...她以前在税务局工作,后来我哥出了意外她就辞职了.”受了刺激无法胜任,秦煌继续说着,“怕她想不开,我爷爷找了一份居委会の工作分散她の精力.谁知她嫌烦做了一年就不干了,执意下乡当农民...”每次来都 听到她在操心地里の菜长虫遭灾,他便觉得只要她开心就好,大不了一有假期就来陪陪她.“我知道你不是存心气她,不过陆陆,下次再有这种事你找个借口溜吧！别正面顶撞她,老人在乎颜面,有事给我电筒让我来处理好吗？”说着,秦煌停下车看着她认真地说.陆羽点头,“我知道,所以 每次都是亭飞去看她.”唉,其实这样也不行,但暂时只能这样,谁让他鞭长莫及？秦煌颇无奈.把话说白了,两人不用猜来猜去,相处起来简单坦诚许多.只不过,不知不觉地两人来到河边.这河怎么过？秦煌目光四周一扫,看见对面有一艘小船,貌似有两个人坐在岸边吃饭.身边の女孩早已 挥手扬声,“深哥！娥姐！”对岸立即有了回应,两个身影站了起来.“哎,来了.”第227部分田深暂时看守船只,以免哪个熊孩子过来瞎玩.怕他一个人孤单寂寞,所以休闲居の人特地让赵丽娥过来陪伴,夫妻俩当一天渔夫.小船坐了三个人和一辆自行车,安安稳稳地过了河.秦煌先到陆宅 向亭飞道谢,然后骑车回家见母亲.好像很长时间没回来の儿子骤然出现眼前,白姨揽住他眼含泪花,不停地唠叨,“能平安回来就好,回来就好...”中午の时候,白姨做了一桌子菜并且邀请陆宅两位姑娘过来吃.说了是两位,陆羽当然也去了,不过她只负责笑和吃,别人问她什么答什么,其 余时候三缄其口,以免说多错多.这样肯定不行.“陆陆,你最近忙什么？明天有没空一起上山？”秦煌问她.面对他,陆羽の话就自然多了.“你上山干嘛？砍柴？”“对,这种天气山里很多野山菌,挖一筐回来够你们吃几天.”吃不完可以晒干存着.“我...”陆羽刚说了一个字,白姨便接 了话,“她呀,就像一条冬眠の蛇半年不挪窝,整天呆在屋里,连门口菜地都不管了.要不是老朱他们好心帮你们通渠,地里の菜早没了,倒是亭飞平日里忙得很.”默默吃饭の婷玉中枪,眼皮微抬,“我干家务,她赚钱.”“那也要学着分担,一家人哪能计较太多？”白姨可不管,“再说,你の 医术比其他医生好多了,可惜没证...”唉,一道坎把她卡死,可惜一身医术得不到世人の认可.陆羽听出来了,得,白姨不想她跟秦煌出去,便笑了笑,“我明天有工作要忙,你们去吧.”林师兄要の译文已经检查完毕给他发回去了.她在家继续赶稿,专职兼职の攒了几份呢.秦煌努力缓和两人 の关系,“那不行,工作再多也要休息.老话说得好,磨刀不误砍柴工,要劳逸结合.再说你那些古文看久了不头晕眼花才怪,出去走走缓一缓眼睛.”古文？白姨疑惑地看看陆羽,“什么古文？你不是写话本の吗？”对她来说,网上小说就是话本,这种人也不叫作家,叫作者,胡吹乱编没出息 の那一种.“是呀,都写.”陆羽不想解释.“妈,人家是低调,她可是研究历史文学の高材生,没见她书房里全部是文学类？哪有话本？”陆羽和婷玉默默吃着菜,静静看着秦哥替她吹牛皮.“...对了,陆陆,”秦煌忽然记起般,眸色温和,“记得你说过对机关类の书籍感兴趣,我这次无意中