空间几何量的计算.板块五.证明与计算(距离).学生版
知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算
知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算距离是立体几何中一个重要的概念，用来描述两个点、线或平面之间的远近关系。
在立体几何中，可以使用空间向量的知识来计算距离。
本篇文章将介绍三种常见的空间向量在立体几何中计算距离的方法。
第一种方法是点到点距离的计算。
设立体空间中有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则点A到点B的距离可以通过空间向量表示为：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)例如，如果点A的坐标是(1,2,3)，点B的坐标是(4,5,6)，则点A到点B的距离为：AB=√((4-1)²+(5-2)²+(6-3)²)=√(3²+3²+3²)=√(27)≈5.196第二种方法是点到直线距离的计算。
设立体空间中有一条直线L和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到直线L的距离，可以通过先计算点P到直线上的一点Q的距离，再计算点Q到直线上的两个点A和B的距离，其计算公式为：d(P,L)=AB=，PP_A×PP_B，/，A-B其中，×表示两个向量的叉乘运算，，表示向量的模，P_A和P_B分别是点P到直线上的两个垂足点。
第三种方法是点到平面距离的计算。
设立体空间中有一个平面平面α和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到平面α的距离，可以通过计算点P到平面上的一点Q的距离，其计算公式为：d(P,α)=PQ·n/，n其中，·表示两个向量的点乘运算，n表示平面的法向量。
需要注意的是，当计算点到直线或点到平面的距离时，我们需要先确定直线或平面上的一个点，然后再计算该点到目标点的距离。
综上所述，空间向量在立体几何中的应用可以帮助我们计算点到点、点到直线和点到平面的距离。
这些计算方法在实际问题中非常有用，例如计算物体的尺寸、相机的视距等等。
空间几何的基本概念与运算
空间几何的基本概念与运算空间几何是研究物体的形状、相对位置以及空间的性质和变化的数学分支。
在空间几何中，有一些基本概念和运算方法是必须了解的，它们有助于我们更好地理解和描述物体在空间中的特征和运动。
本文将介绍空间几何的基本概念和运算方法，帮助读者建立对空间几何的初步认识。
一、点、线段和线的概念在空间几何中，点是最基本的概念。
点没有大小和形状，仅有位置。
线段是由两个点所确定的部分，线是由无数个点连成的一串点的集合。
线段有起点和终点，线没有端点。
线段和线可以延伸到无穷远。
点、线段和线的概念是几何研究的基础，后面的概念和运算都是基于它们展开的。
二、向量的概念和运算向量是空间中的有向线段，具有大小和方向。
向量可以用带箭头的线段来表示，箭头指向向量的方向。
向量有起点和终点，可以平移但不能旋转。
向量的大小叫做模，用两点之间的距离表示。
向量的方向可以用角度或者方位角表示。
向量可以进行相加、相减和数乘等运算。
向量的相加等于将两个向量连接起来形成新的向量，向量的相减等于将一个向量平移后连接上另一个向量的相反向量，向量的数乘等于将向量的模乘以一个标量。
三、平面和平面图形的概念平面是由无数个点组成的一个没有厚度的二维空间。
平面可以由三个不共线的点唯一确定，三条互不平行的非共面直线唯一确定一个点。
平面图形是平面上的一个有界部分，有面积和形状。
常见的平面图形包括三角形、四边形、多边形、圆等。
平面图形具有一些特殊的性质，比如三角形的内角和为180度，圆的周长和面积的计算等。
四、立体和立体图形的概念立体是具有长度、宽度和高度的三维物体，即具有体积的物体。
立体由无数个面组成，每个面由无数个线段构成，每个线段由无数个点组成。
常见的立体图形包括长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体等。
立体图形有一些特殊的性质，比如长方体的体积等于底面积乘以高，球体的体积等于四分之三乘以半径的立方。
五、空间几何的运算方法空间几何的运算方法包括平移、旋转、镜像等。
空间几何量的计算.参考教案.学生版 普通高中数学复习讲义Word版
【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为（ ） A ．1 B ．2C ．1或2D ．0或1【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．HACBDP【例4】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是 ．【例5】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PD a =，E 是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．典例分析空间几何量的计算.教师版A【例6】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．HOABCDA 1B 1C 1D 1①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．【例7】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．AA 1【例8】 （2009浙江）在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°E A 1C 1B 1DCBA【例9】 （06四川卷理13）在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 （ 用反三角函数表示）【例10】 （2008全国Ⅰ）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13BCD ．23【难度】6【例11】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45角，求此三棱柱的体积．【例12】 （08四川卷15，且对角线与底面所成角的余，则该正四棱柱的体积等于________________．【例13】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角； ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值．ABCDB 1C 1D 1A 1【例14】 （2008年全国Ⅱ10）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A ．13BCD ．23FE DCBAS【例15】 （2006天津）如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于 ．ABCP【例16】 . 正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的底面边长为1，则这个棱柱的侧面对角线1E D 与1BC 所成的角是（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【例17】 （2008崇文一模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1C C 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是11A B 上的任意点，则直线BM 与OP 所成的角为_______．M D 1C 1B 1A 1POD C BA【例18】 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90°ABC ∠=，点,D F 分别是11A C ，11B C 的中点，若1AB BC CC ==．求AD 与CF 所成角的余弦值．NFDA 1BCC 1B 1A【例19】 （05-浙江-12）设M N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E（如图）．现将ADE ∆沿DE 折起，使二面角A DE B --为45，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，求M 、N 的连线与AE 所成角的正切值．NEAC BDN M【例20】 Rt ABC ∆的90C ∠=，60A ∠=，2AC =，以A ∠的平分线AD 为轴对折，AC 边落在AB 边上，点C 落在AB 边上的点E ，然后使ACD ∆所在的平面垂直于ABD ∆所在的平面．⑴求异面直线AD ，CE 的夹角；⑵求CE 的长．FED CBAABCD EF【例21】 （06四川卷理10）已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B两点和A 、C 两点的球面距离都是π4，B 、C 两点的球面距离是π3，则二面角B OAC --的大小是（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π3【例22】 （2009浙江17）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．【例23】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中．求平面1A BD 和平面1C BD 相交所组成的二面角11A BD C --的余弦值．OA 1D 1C 1B 1DCBA【例24】 如图，已知边长为a 的正ABC ∆，以它的高AD 为折痕，把它折成一个二面角B ADC '--．⑴求AB '和面B CD '所成的角；⑵若二面角B AD C '--的平面角为120，求出二面角A B C D '--的余弦值．MABC DB '【例25】 如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．FEDCBAP【例26】 已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1CB =，1CA AA ==M 是侧棱1CC 的中点．⑴求证：1AM BA ⊥；⑵求点C 到平面ABM 的距离．MC 1B 1A 1CBA【例27】 （2010年一模·东城·文·题17）三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为AB 边中点，且12CC AB =．⑴求证：平面1C CD ⊥平面ABC ；【例28】如图，ACD ∆和ABC ∆都是直角三角形，AB BC =，30CAD ∠=，把三角形ABC沿AC 边折起，使ABC ∆所在的平面与ACD ∆所在的平面垂直，若AB ⑴求证：面ABD ⊥面BCD ；⑵求C 点到平面ABD 的距离．H ABDCDCBA【例29】 （06 重庆-理-19）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB ∥CD ，2AD CD AB ==，E 、F 分别为PC 、CD 中点．⑴试证：CD ⊥平面BEF ；⑵高PA k AB =⋅，且二面角E BD C --的平面角大于30，求k 的取值范围．FEACBDP【例30】 （东城一模）如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，2PC AC ==，AB BC =，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． ⑴ 求证：AB ⊥平面PCB ；⑵ 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； ⑶ 求二面角C PA B --的大小．【例31【例32】 （2008山东）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E F ，分别是BC PC ，的中点． ⑴证明：AE PD ⊥；⑵若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD ，求二面角E AF C --的余弦值．PFDCBA【例33】 （2010重庆高考）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线【例34】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）A ．线段1BC B ．线段1BCC ．1BB 中点与1CC 中点连成的线段D ．BC 中点与11B C 中点连成的线段1A【例35】 （2010江西高考）过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条D 1C 1B 1A 1DCBA【例36】 （2009安徽文15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点； ③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高的垂足重合； ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．【例37】 （2008辽宁）在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条1A【例38】（05-天津-19）如图，在斜三棱柱111ABC A B C-中，11A AB A AC∠=∠，AB AC=，11A A AB a==，侧面11B BCC与底面ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱1CB、1AA的中点．⑴求1AA与底面ABC所成的角；⑵证明：1EA∥平面1B FC；⑶求经过1A、A、B、C四点的球的体积．EFC1B1CBAA1【例39】如图所示，正三棱柱111ABC A B C-的底边长为2，高为4，过AB作一截面交侧棱1CC于P，截面与底面成60角，⑴求截面PAB∆的面积；⑵求点C到平面ABP的距离；⑶求PB与平面11A B BA所成的角的正弦值．PBC1B1A1CA【例40】 （08北京卷16）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AP BP AB ==，PC AC ⊥．⑴ 求证：PC AB ⊥；⑵ 求二面角B AP C --的大小；⑶ 求点C 到平面APB 的距离．PC ABD【例41】 （2009西城区一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BCD ∠=︒，AB CD ∥，又1AB BC PC ===，PB =2CD =，AB PC ⊥． ⑴求证：PC ⊥平面ABCD ；⑵求二面角B PD C --的大小；⑶求点B 到平面PAD 的距离．D CBA P【例42】 （海淀二模） 如图，直三棱柱111A B C ABC -中，12C C CB CA ===，AC CB ⊥．D 、E 分别为棱1C C 、11B C 的中点．⑴ 求点B 到平面11AC CA 的距离；⑵ 求二面角1B A D A --的大小；⑶ 在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面1A BD ？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．。
空间几何面到面的距离计算公式
空间几何面到面的距离计算公式在咱们学习空间几何的过程中，面到面的距离计算公式可是个重要的家伙。
这玩意儿就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多几何难题的大门。
先来说说啥是面到面的距离。
想象一下，你面前有两张平行的纸，它们就像是两个平行的面。
那这两个面之间的最短距离，就是咱们说的面到面的距离。
要说这计算公式，咱们得先搞清楚一些基础概念。
比如说向量，这东西就像是个有方向的箭头，能帮咱们指明方向。
我记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个知识点。
有个小家伙一脸懵，怎么都搞不明白。
我就拿教室的地板和天花板来打比方。
我说：“你看，地板和天花板是不是平行的两个面？那它们之间的距离是不是固定的？”那孩子还是摇摇头。
我又接着说：“那咱们想象一下，从地板上的一个点，垂直向上走到天花板，这走的这段路的长度，就是这两个面的距离啦！”然后咱们来说说具体的计算公式。
一般来说，如果有两个平行平面，一个平面的方程是 Ax + By + Cz + D1 = 0，另一个平面的方程是 Ax +By + Cz + D2 = 0 ，那这两个平面之间的距离 d 就可以用公式 |D1 - D2| / √(A² + B² + C²) 来计算。
这公式看起来有点复杂，是吧？但咱们拆开来看，其实也没那么难。
分子 |D1 - D2| 就是两个常数项的差的绝对值，分母√(A² + B² + C²) 呢，就是平面方程前面系数的平方和再开方。
咱们来举个例子。
比如说有两个平面，一个是 2x + 3y - 4z + 5 = 0 ，另一个是 2x + 3y - 4z + 10 = 0 。
那这两个平面之间的距离 d 就等于 |5 - 10| / √(2² + 3² + (-4)²) 。
算一下，就是5 / √29 。
学习这个公式啊，不能光死记硬背，得自己多动手算算，多画画图，才能真正掌握。
高考数学总复习空间几何量的计算板块五证明与计算(距离)精练提升试题
【例1】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC，的中点，DE AP ⊥于E ． ⑴求证：AP ⊥平面BDE ； ⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．FEBDCAP【例2】 如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC的中点，11AB ==，⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．D CBA A 1B 1C 1正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是AC 与BD 的交点，E 为1BB 的中知识精练点．⑴求证：直线1B D ∥平面AEC ； ⑵求证：1B D ⊥平面1D AC ； ⑶求三棱锥1D D OC -的体积．【例3】 如图，ACD ∆和ABC ∆都是直角三角形，ABBC =，30CAD ∠=，把三角形ABC 沿AC 边折起，使ABC ∆所在的平面与ACD ∆所在的平面垂直，若AB =⑴求证：面ABD ⊥面BCD ；⑵求C 点到平面ABD 的距离．H ABDCDCBA如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4PD DC ==，2AD =，E 为PC 的中点．⑴求证：AD PC ⊥； ⑵求三棱锥A PDE -的体积；⑶AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【例4】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．H OACDA 1B 1C 1D 1①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，90ABC ∠=，12AB BC BB ===，,M N 分别是AB ，1A C 的中点．⑴求证：MN ∥平面11BCC B ； ⑵求证：MN ⊥平面11A B C ； ⑶求三棱锥M -11A B C 的体积．【例5】 已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1CB =，1CA AA =M 是侧棱1CC 的中点．⑴求证：1AM BA ⊥；⑵求点C 到平面ABM 的距离．MC 1B 1A 1CBA三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为AB 边中点，且12CC AB =．⑴求证：平面1C CD ⊥平面ABC ； ⑵求证：1AC ∥平面1CDB ； ⑶求三棱锥1D CBB -的体积．【例6】 如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为4．E F ，分别为棱AB BC ，的中点，EF BD G =．⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ； ⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ； ⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．D 1C 1B 1A 1GFEDCB A如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC == ⑴设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； ⑵求四棱锥P ABCD -的体积．M DCBAP【例7】 如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．FE DCBAP【例8】如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，点M 、N 分别为BC 、PA 的中点，且2PA AB ==．⑴证明：BC ⊥平面AMN ； ⑵求三棱锥N AMC -的体积；⑶在线段PD 上是否存在一点E ，使得NM ∥平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由．【例9】 已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1CB =，1CA AA =M 是侧棱1CC 的中点．⑴求证：1AM BA ⊥；⑵求点C 到平面ABM 的距离．M C1B1A1CB A。
空间几何量的计算板块一点到平面的距离问题学生版
空间几何量的计算板块一点到平面的距离问题学生版一、问题简要说明本篇文章主要讨论空间几何量的计算板块中的一点到平面的距离问题。
一点到平面的距离是几何中的常见问题，它可以用来计算平面上特定点到该平面的垂直距离，也可以用来计算线段或者线到平面的距离。
二、一点到平面的距离定义在空间中，设有平面P，过平面P上一点A引直线L，垂直于平面P的直线与线L的交点为B。
则点A到平面P的距离定义为线段AB的长度。
三、一点到平面的距离计算方法1.平面P的一般方程：Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面的法向量的坐标，D为平面的常数项。
设点A的坐标为（x0,y0,z0）。
2.点A到平面P的距离计算公式：d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)这个公式的推导过程可以利用向量的性质来进行。
点A到平面P的距离可以看作是向量AB在平面法向量上的投影，再求向量AB的模长得到。
所以计算点A到平面P的距离可以通过以下步骤进行：a.计算平面法向量N=(A,B,C)的模长。
b.计算向量AB=(x0-x,y0-y,z0-z)。
c.根据内积的定义得到向量AB在平面法向量上的投影LENGTH=，N·AB。
d.最后通过LENGTH/N的模长得到点A到平面P的距离。
四、例题与解析例题一：已知平面2x-y+3z+6=0，点(1,-2,3)到该平面的距离是多少？解析：根据上述公式，先计算平面的法向量N的模长：N，=√(2^2+(-1)^2+3^2)=√(4+1+9)=√1然后计算点A到平面P的距离d：d=，(2)(1)+(-1)(-2)+(3)(3)+(6)，/√14=，2+2+9+6，/√14=，19，/√14=19/√14所以点(1,-2,3)到平面2x-y+3z+6=0的距离是19/√14例题二：已知点A(1,-2,3)和点B(2,1,-1)，求点A到线段AB所在直线的距离。
解析：点A到线段AB所在直线的距离可以利用点A到平面的距离计算公式来求解。
空间几何量的计算.板块一.点到平面的距离问题.学生版
【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为（ ） A ．1 B ．2C ．1或2D ．0或1【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．OEA 1D C 1B 1DCBA【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．HACBDP典例分析板块一.点到平面的距离问题【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60，求点C 到面1ABC 的距离.EDC 1B 1A 1CBA【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体12PD AB =中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCDAA 1【例7】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1DEF 的距离为（ ） ABCD ABCDE【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是 ．【例9】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PD a =，E 是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．A【例10】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心； ⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．OCBAP【例11】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．AA 1【例12】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．HOABCDA 1B 1C 1D 1①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．。
空间几何的计算方法
空间几何的计算方法空间几何是数学中的一个重要分支，研究的对象包括点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在实际应用中，空间几何的计算方法被广泛用于建筑设计、机械工程、地理测量等领域，有助于解决各种实际问题。
本文将介绍几种常见的空间几何计算方法，包括点与线的距离计算、面积与体积的计算以及空间坐标的转换方法。
一、点与线的距离计算1. 点到直线的距离计算对于给定的一点P(x₀, y₀, z₀)和一条直线L：Ax + By + Cz + D = 0，点P到直线L的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)其中，d表示点P到直线L的距离。
2. 点到线段的距离计算对于给定的一点P(x₀, y₀, z₀)和一条线段AB，点P到线段AB的距离可以通过以下步骤计算：首先，计算点P在直线AB所在直线上的投影点Q的坐标；然后，判断投影点Q是否在线段AB上；最后，若投影点Q在线段AB上，则点P到线段AB的距离等于点P到投影点Q的距离；若投影点Q不在线段AB上，则点P到线段AB的距离等于点P与线段两个端点A、B之间的最短距离。
二、面积与体积的计算1. 平面的面积计算对于给定的三个点A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)和C(x₃, y₃, z₃)，构成的三角形ABC所在平面的面积可以通过以下公式计算：S = 0.5 * |(x₂ - x₁) * (y₃ - y₁) - (y₂ - y₁) * (x₃ - x₁)|其中，S表示三角形ABC所在平面的面积。
2. 空间图形的体积计算对于给定的平面图形或几何体，其体积的计算方法有所不同。
- 立方体的体积计算：立方体的体积等于边长的立方，即V = a³，其中V表示立方体的体积，a表示边长。
- 圆柱体的体积计算：圆柱体的体积等于底面积乘以高，即V = πr²h，其中V表示圆柱体的体积，r表示底面半径，h表示高。
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【例1】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，
分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．
⑴求证：AP ⊥平面BDE ；
⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；
⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．
F
E
B
D
C
A
P
【例2】 如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC
的中点，11AB ==，
⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．
D C
B
A A 1
B 1
C 1
【例3】 （2010年二模·崇文·文·题16）
正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是AC 与BD 的交点，E 为1BB 的中点． ⑴求证：直线1B D ∥平面AEC ；
典例分析
板块五.证明与计算（距离）
【例4】 如图，ACD ∆和ABC ∆都是直角三角形，AB BC =，30CAD ∠=，把三角形ABC
沿AC 边折起，使ABC ∆所在的平面与ACD ∆所在的平面垂直，若AB ⑴求证：面ABD ⊥面BCD ；⑵求C 点到平面ABD 的距离．
H A
B
D
C
C
B
A
【例5】 （2010年二模·东城·文·题17）
如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4PD DC ==，2AD =，E 为PC 的中点． ⑴求证：AD PC ⊥；
⑵求三棱锥A PDE -的体积；
⑶AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．
【例6】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．
⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．
⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．
H
O
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．
90，AB
【例8】 已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1CB =
，1CA AA ==M 是
侧棱1CC 的中点．⑴求证：1AM BA ⊥；⑵求点C 到平面ABM 的距离．
M
C 1
B 1
A 1
C
B
A
【例10】 如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为侧棱长为4．E F ，
分别为棱AB BC ，
的中点，EF BD G =．
⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ；
⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ； ⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．
D 1
C 1
B 1
A 1
G
F
E
D
C
B A
【例11】 （2008新课标山东）
如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等
边三角形，已知28BD AD ==
，2AB DC ==
⑴设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； ⑵求四棱锥P ABCD -的体积．
M D
C
B A
P
【例12】 如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，
45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．
F
E D
C
B
A
P
【例13】 (2010年一模·文科·题17）
如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，
点M 、N 分别为BC 、PA 的中点，且2PA AB ==．
⑵求三棱锥N
【例14】 已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1CB =，1CA AA M 是
侧棱1CC 的中点．⑴求证：1AM BA ⊥；⑵求点C 到平面ABM 的距离．
M
C 1
B 1
A 1
C
B
A。