一元二次不等式及其解法(学案)
一元二次不等式及其解法导学案
§3.2一元二次不等式及其解法【学习目标】1、 掌握一元二次不等式的定义.2、理解一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象解一元二次不等式.3、能利用一元二次不等式解决有关问题：解简单的分式不等式及高次不等式，对一般二次方程的根进行讨论，解决实际问题.4、对给定的一元二次不等式，能设计求解的程序框图.【学习重点】：解一元二次不等式【学习难点】：三个“二次”之间的关系.【学习过程】：自主学习：自学课本74p ，完成下列问题：考察下面含未知数的不等式130152-+x x ＞0，342+-x x ≥0，62--x x ＜0和1632-+x x ≤0说出这四个不等式的共同特点：1、 一元二次不等式（1） 定义：（2） 一般表达形式：（3） 一元二次不等式)(x f ＞0或)(x f ＜0（)0()(2≠++=a c bx ax x f ）的解集是：2、 作出函数)(x f =62--x x 的图象，回答下列问题：（1） 当自变量x 在什么范围内取值时，函数值等于0？（2） 当自变量x 在什么范围内取值时，函数值大于0？（3） 当自变量x 在什么范围内取值时，函数值小于0？小结1：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是： .小结2：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是： . 合作探究：考察下面含未知数的不等式（1）32-+x x ≥0 （2）32-+x x ≤0 （3）324+-x x ＜0 这些不等式都是分式不等式，那这些不等式怎么解呢？3.分式不等式0)()(〉x g x f ⇔ ,分式不等式⇔≥0)()(x g x f . 高次不等式的解法一般用穿根法.例1：解下列不等式：（1）062>--x x ；（2）01442>+-x x ；（3）解不等式0322>++-x x解：（1）因为025)6(14)1(2>=-⨯⨯--=∆,方程062=--x x 的两根是2,321-==x x ， 所以，原不等式的解集是{}23-<>x x x 或。
数学人教A版高中必修1一元二次不等式及其解法优秀学案
一元二次不等式及其解法导学案【使用说明及学法指导】1.结合导学案，完成问题导学部分，并标记自己的疑难点；2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不完的正课时再做；3.找出自己的疑惑和需要谈论的问题准备上课谈质论疑.【学习目标】 1.复习二次函数图象； 2.根据二次函数图象解一元二次不等式；3.归纳一元二次不等式的解法； 4.一元二次不等式的解法的综合运用.【重难点】一元二次不等式的解法和综合运用【问题导学】画二次函数图象应画清楚：1.开口方向，2.对称轴，3.顶点，4.与x 轴的交点（如果有的话）问题 1. 二次函数的图像和性质，如223y x x =--的开口方向、顶点坐标、与x 轴的交点坐标及对称轴分别是什么？并作出它的草图.（1）开口方向： ； （2）顶点坐标： ； （3）与x 轴的交点坐标： ； （4）对称轴为： . 问题2. 根据草图填空：1. 当x = 或 时，0y =，即2230x x --=；2. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的下方，则y 0，即223x x -- 0；（填≥、>、≤或<）. 所以不等式2230x x --<的解集是 ； 3. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的上方，则y 0，即223x x -- 0；（填≥、>、≤或<）. 所以不等式2230x x -->的解集是 ；总结归纳：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a > 的解集；问题3：完成下表格，并回答思考问题：ac b 42-=∆ 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程02=++c bx ax()0>a 的根有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax的解集)0(02><++a c bx ax小结1：解一元二次不等式的基本步骤：小结2：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是什么？例1：解下列不等式：（1）2340x x --≥ （2）2230x x -++>（3）2450x x -+> （4）2690x x -+>例2：解下列不等式：（1）(1)()0x x a +-< (1)a >- （2）22560x ax a -+>(0)a ≠课后练习：一、 解下列不等式（1）22320x x --> （2）2352x x -+≥-（3）24310x x -+> （4）2230x x ++<二、选择题1．下面所给关于x 的几个不等式：①3x ＋4＜0；②x 2＋mx －1＞0；③ax 2＋4x －7＞0；④x 2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．不等式x (2－x )＞3的解集是( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－3＜x ＜1} C ．{x |x ＜－3或x ＞1} D ．∅ 3．若集合A ＝{x |(2x ＋1)( 3－x )>0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 是( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{4,5} D ．{1,2,3,4,5}4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x 2－3x <0的解集是( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3}5．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a ＜0，那么ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为( ) A ．{x |x ＞3或x ＜－2} B ．{x |x ＞2或x ＜－3} C ．{x |－2＜x ＜3} D ．{x |－3＜ x ＜2} 三、解答题1、已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，解不等式ax 2＋bx －1＞0.2、若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的取值范围。
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例教学目标
1.了解一元二次不等式的基本定义。
2.学习求解一元二次不等式的方法和技巧。
3.能够自己独立解决一元二次不等式问题。
教学重点
1.一元二次不等式的定义和性质。
2.求解一元二次不等式的方法和技巧。
教学难点
1.复杂的一元二次不等式的求解问题。
2.解决实际问题时如何将问题转化为一元二次不等式的形式。
教学步骤
第一步：引入概念
讲师可以通过图示和实例引入一元二次不等式的定义和性质。
第二步：解法介绍
1.教育者介绍一元二次不等式的最基本解法。
2.教练员通过实例演示一元二次不等式的解决过程。
3.教练员介绍一元二次不等式的常规解法。
第三步：例题讲解
1.针对一元二次不等式的基本解法讲解几道例题。
2.针对一元二次不等式的常规解法讲解几道例题。
3.参与者自己解决例题。
第四步：综合练习
1.针对一元二次不等式的基本解法分组进行练习。
2.针对一元二次不等式的常规解法分组进行练习。
3.教育者鼓励每个参与者独自解决综合练习的问题。
总结
1.通过这一次教学，学生们已经掌握了基本的一元二次不等式求解方法和技巧。
2.同时，学生们也理解了如何将实际问题转换为一元二次不等式的形式。
3.这种一元二次不等式教学法适用于各个年龄段的学生，并且可扩展到更高难度的问题.。
一元二次不等式及其解法(优秀教案1)
一元二次不等式及其解法（第一课时）一、 课标要求1、使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式地关系；2、使学生熟练掌握一元二次不等式地解法，掌握数形结合地思想；3、提高学生地运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析、解决问题地能力. 教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式地解法展开，突出体现数形结合地思想.教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集地关系. 三、教学方法：自主探究法 四、 教学过程（一）导入新课：教材P76页地问题（二）预学案导学1、解一元二次方程250x x -=，并作出25y x x =-地图象2、填表：二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>地关系 （完成“四、合作展示”中表格地第一、二行）3、一元一次不等式是如何定义地？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是1地不等式称为一元二次不等式.其数学表达形式为4、画出函数27y x =-地图象，并由图象观察，填空：当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x>3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0可知，2x-7> 0地解集为_______________2x-7< 0地解集为_______________思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？小结：函数图象与X 轴交点地横坐标为方程地根，不等式地解集为函数图象落在X 轴上方（或下方）部分对应地横坐标.（三） 合作展示0(000)(0)ax b a +>≥<≤≠或或1、自主探究：（1） 类比一元一次不等式地定义，你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2地不等式，称为一元二次不等式.其数学表达形式为（2） ①利用预学案第1题，观察图象填空：当x___________________，y=0，即25x x -_____0当x__________________，y>0，即25x x -_____0当x___________________，y<0，即25x x -_____0②不等式25x x ->0地解集是_________________不等式25x x -<0地解集是_________________2、合作探究：（1）类比三个“一次”地关系，探究一元二次不等式地解法，并完成下表：小结：一元二次不等式解集地端点就是对应函数地零点，对应方程地根.（2） 当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或结论：利用不等式地性质，在不等式地两边同时乘以-1，使二次项系数变为正数.（3）如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？（四）应用探究：例：解不等式22320x x -->变式：若不等式改为22320x x --<，则解集为_______________小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？变式练习：1、解不等式24410x x -+>2、解不等式2230x x -+->五、 知识整理：本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？六、 训练评估1、解下列不等式222(1)40(2)4321x x x x -<+->+2、求函数y =课后作业：教材P80 A 组 第1、2、3、4题版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。
一元二次不等式的解法(一)学案+作业
第一课时一元二次不等式及其解法一．学习目标1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)二、一元二次不等式的概念及形式1．概念：一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，称为一元二次不等式．2．形式：(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．三、一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”的关系1．一元二次不等式的解集的概念：若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)＞0或f(x)＜0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．2．三个“二次”的关系：课前练习题1．不等式x2≤1的解集是()A．{x|x≤1}B．{x|x≤±1}，C．{x|－1≤x≤1}D．{x|x≤－1}2．不等式2x≤x2＋1的解集为()A．∅B．R，C．{x|x≠1}D．{x|x>1或x<－1}3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234 y60－4－6－6－406则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．四．题型探究（一）．解一元二次不等式例1：解不等式:(1)2x2－3x－2＞0；(2)－3x2＋6x－2＞0；(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋2＞0.总结1．在解一元二次不等式中，需求所对应的一元二次方程的根，可借用求根公式法，或“十字相乘法”求解，根据数形结合写出解集．2．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．根据图象写出不等式的解集.（二）．解含参一元二次不等式例2：解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)分析：解答本题可通过因式分解，结合二次函数图象分类讨论求解．总结：1．解含有参数的一元二次不等式时，可根据一元二次不等式解集的结构确定其相应的分类标准进行分类讨论并求解不等式．2．对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．一般地，对于一元一次不等式，划分的标准是一次项系数大于0、等于0、小于0.对于形如ax 2＋bx ＋c ＞0的不等式划分标准有几种类型：①a ＞0，a ＝0，a ＜0；②Δ＝0，Δ＜0；③若x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2.练习解关于x 的不等式“ax 2－x ＞0”（三）．三个“二次”的关系的应用例3：若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0|－13≤x ≤，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．分析：一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．总结：已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解．练习：（1）已知不等式ax 2＋5x ＋c ＞0|13＜x ，求a ，c 的值．（2）已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }．(1)求a ，b 的值．(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0.课堂小结：1．对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的求解，要善于联想两个方面的问题：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点及图象．(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．2．含有参数的不等式的求解，要注意按某一恰当的分类标准进行讨论．3．“三个二次”之间的关系不但是解一元二次不等式的理论依据，还可以确定参数的值或范围.五．作业1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，则∁U A 等于()A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |x ＜0或x ＞2}D ．{x |x ≤0或x ≥2}2．已知二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则a ，b 的值为()A ．a ＝－1，b ＝－2B ．a ＝－2，b ＝－1C ．a ＝b ＝－12D ．a ＝1，b ＝23．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是()A ．(－1,1)，B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)，D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．已知0<a <1，关于x 的不等式(x －a 的解集为()|x <a 或x >1a B ．{x |x >a }，|x <1a或x >a|x <1a5．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集为(1，m )，则实数m 的值为________．6．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是________．7．已知函数f (x )x 2＋1，x ≤0，2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．8．解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.9．已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0|－12＜x ＜13qx 2＋px ＋1＞0的解集．10.解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.。
学案4一元二次不等式及其解法(1)
学案4—一元二次不等式及其解法[课程标准]1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.[知识梳理]1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)当a>0时，解集为．(2)当a<0时，解集为．2．三个“二次”间的关系(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔思考辨析判断正误(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．() [典例精讲]考点一一元二次不等式的解法(基础型)命题点1不含参的不等式【例1】求下列不等式的解集(1)08822>+-xx (2)03722<+-xx (3)04432>-+-yy(4)2x＋1x－5≥－1 (5) | x2－x－2|≤4命题点2含参不等式【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)【跟踪训练】(1)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．（2）已知不等式ax2－bx－1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪－12<x<－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．考点二一元二次不等式恒成立问题(综合型)命题点1在R上的恒成立问题【例3】已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f (x)<0恒成立，求实数m的取值范围．命题点2在给定区间上的恒成立问题【例4】已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f (x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．【若将“f (x)<5－m恒成立”改为“存在x，使 f (x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？命题点3给定参数范围的恒成立问题【例5】若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．课时作业41．关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是() A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)2．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是() A．(－3,5) B．(－2,4)C．[－1,3] D．[－2,4]3．“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件是( ) A ．m >14 B ．m <14C ．m <1D ．m >14．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3]5．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13) 6．(多选)下列四个解不等式，正确的有( ) A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是{x |x >2或x <1}B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥12C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为－17．(多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( ) A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－66D ．若不等式的解集为∅，则k ≥668．(多选)关于x 的不等式(ax －1)(x ＋2a －1)>0的解集中恰有3个整数，则a 的值可以为( ) A ．－12 B ．1 C ．－1 D ．29.．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0. (1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值； (2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．学案4-------一元二次不等式及其解法【例2】.解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解得1<x <1a .综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 【跟踪训练】(1)答案 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. （2）答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【例4】.解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 解 由题意知f (x )<5－m 有解，即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)．【例5】.解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.课时作业41.答案 C 解析 关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，∴a >0，且－ba ＝1，∴关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋b a (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0， ∴不等式的解集为{x |1<x <2}．故选C.2.解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1， 所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]，故选C. 3.解析 ∵不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，又∵m >14，∴Δ＝1－4m <0，∴“m >14”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件．故选A.4.解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.5.解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B. 6.解析 对于A ，∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <－12.故A 错误；对于B ，∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝21a ，∴a ＝3.故C 正确；对于D ，依题意q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．7.解析 对于A ，∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，∴k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.故A 正确；对于B ，∵不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.故B 错误； 对于C ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66.故C 正确；对于D ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.故D 正确．8答案 AC 解析 由题意知a <0，则排除B ，D ；对于A 项，当a ＝－12时，⎝⎛⎭⎫－12x －1(x －2)>0，即(x ＋2)(x －2)<0，解得－2<x <2，恰有3个整数，符合题意；对于C 项，当a ＝－1时，(－x －1)(x －3)>0，即(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.9.解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0， 即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅； 当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)； 当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时， 不等式的解集为(－1，a ＋1)。
32一元二次不等式及其解法导学案参考修改模板范本
3、2 一元二次不等式及其解法（导学案）（集美中学 杨正国）一、学习目标1、理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；二、本节重点熟练掌握一元二次不等式的解法三、本节难点理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系四、知识储备1、提问：你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗？2、比较,,a b c 的大小：22,5a b c ==-五、通过预习掌握的知识点① 若判别式240b ac ∆=->，设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <，则：0a >时，其解集为{}12|,x x x x <>或；0a <时，其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0∆=，则有：0a >时，其解集为|,2b x x x R a ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；0a <时，其解集为∅. ③ 若0∆<，则有：0a >时，其解集为R ；0a <时，其解集为∅.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解”六、知识运用1、求不等式2610x x --≤的解集. 2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ⎧-<<⎨⎩，则a b +的值是_________ 3、变式训练：已知不等式20ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集.4、若01a <<，则不等式1()()0a x x a-->的解是___________5、解关于x 的不等式：2(1)10ax a x -++<七、重点概念总结解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若 ③ 写出解集.一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅∅。
一元二次不等式及其解法教案
一元二次不等式及其解法教案教学目标1.知识与技能:二次不等式与会解一元二次不等式及含参数的一元二次不等式。
2.过程与方法:通过学案让学生有目的复习，自主预习。
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，进而探究一元二次不等式和含参数不等式的解法;以函数为载体，突破一元二次不等式恒成立问题。
3.情感态度与价值观:培养探究合作的能力和推证能力及解决问题的能力。
2学情分析本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性.一元二次不等式的解法是一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。
因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。
我班中等程度的学生占大多数，程度较高与程度较差的学生占少数。
学生数学基础差异不大，但进一步钻研的精神相差较大。
学生已经学习了一元一次不等式(组)的解法和二次函数的零点，会画一元二次函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识可以使学生写出一元二次不等式的解集，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍一元二次不等式的解法，从认知规律上讲，应该是容易理解的。
在教学中加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生让学生观察、讨论，在实践中体验三者的联系，从而直观地归纳、总结、分析出三者的联系成为可能。
3重点难点1.重点:会解一元二次不等式及含参数不等式。
2.难点:一元二次不等式恒成立应用问题。
4教学过程4.1复习课教学活动活动1【活动】一元二次不等式及其解法引入：以高考考点及类型复习引入学生复习学案上的高考考点明确高考考点教学过程：一快速起跑——学案总结明确学习目标，总结学生学案的完成情况题。
二完善学案——自主学习总结1、一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
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一元二次不等式及其解法（第一课时学案）
一、课标要求
1、使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系；
2、使学生熟练掌握一元二次不等式的解法，掌握数形结合的思想；
3、提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析、解决问题的能力。
二、导入新课
某同学要把自已的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择。
公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；公司B的收费原则是：用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）。
一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨假设一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于或等于选择公司B所需的费用？
三、预学案导学
1、解一元二次方程250
-=，并作出25
x x
=-的图象
y x x
2、填表：二次函数2(0)
++=>的关系
ax bx c a
=++>与二次方程20(0)
y ax bx c a
（完成“四、合作展示”中表格的第一、二行）
3、一元一次不等式是如何定义的？其数学表达形式是什么？
4、画出函数27
y x
=-的图象，并由图象观察，填空：
当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0
当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0
当x>3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0
可知，2x-7> 0的解集为_______________
2x-7< 0的解集为_______________
思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样的联系？
四、合作展示
1、自主探究：
（1）类比一元一次不等式的定义，你能给出一元二次不等式的定义吗？其数学表达形式是什么？
（2）①利用预学案第1题，观察图象填空：
当x___________________，y=0，即25
-_____0
x x
当x__________________，y>0，即25
-_____0
x x
当x___________________，y<0，即25
-_____0
x x
②不等式25
->0的解集是_________________
x x
不等式25
-<0的解集是_________________
x x
2、合作探究：
（1）类比三个“一次”的关系，探究一元二次不等式的解法，并完成下表：
小结：
（2） 当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或
（3）如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？
五、 应用探究：
例：解不等式22320x x -->
变式：若不等式改为22320x x --<，则解集为_______________ 小结：利用二次函数解一元二次不等式的方法步骤？
变式练习：
1、解不等式24410x x -+>
2、解不等式2230x x -+->
六、 知识整理：
本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？
七、 训练评估
1、解下列不等式
222(1)40
(2)4321
x x x x -<+->+
2、求函数y =
课后作业：教材P80 A 组 第1、2、3、4题。