2018届高三理科数学复习跟踪强化：19含解析
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测19含答案
课时跟踪检测(十九）1．sin(－600°）的值为（)A。
错误!B．错误!C．1 D．错误!答案:A解析：sin（－600°）＝sin(－720°＋120°）＝sin 120°＝错误!。
2．若α∈错误!，sin α＝－错误!,则cos（－α）＝（)A．－错误!B．错误!C．错误!D．－错误!答案：B解析：因为α∈错误!，sin α＝－错误!，所以cos α＝错误!，即cos(－α)＝错误!。
3．已知α∈错误!，且cos α＝－错误!,则错误!＝（)A。
错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!答案:C解析：∵α∈错误!，且cos α＝－错误!，∴sin α＝错误!.错误!＝错误!＝错误!＝错误!.4．已知tan（α－π）＝错误!，且α∈错误!，则sin错误!＝（）A。
错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!答案：B解析:tan（α－π）＝错误!⇒tan α＝错误!。
又因为α∈错误!，所以α为第三象限的角，所以sin错误!＝cos α＝－错误!。
5．已知2tan α·sin α＝3，－错误!<α〈0，则sin α＝( ) A。
错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!答案:B解析：因为2tan α·sin α＝3，所以错误!＝3,所以2sin2α＝3cos α,即2－2cos2α＝3cos α，所以cos α＝错误!或cos α＝－2（舍去)，又－错误!<α〈0，所以sin α＝－错误!.6．已知f（α）＝错误!，则f错误!的值为（）A。
错误!B．－错误!C．－错误!D．错误!答案:C解析:∵f(α）＝错误!＝－cos α,∴f错误!＝－cos错误!＝－cos错误!＝－cos 错误!＝－错误!。
7．已知sin错误!＝错误!，则cos错误!＝（）A。
错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!答案:D解析：∵cos错误!＝sin错误!＝sin错误!＝－sin错误!＝－错误!。
2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练19 含解析 精
跟踪强化训练(十九)1．(2017·沈阳质检)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，首项a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足b n ＝a n ＋，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得，a 22＝a 1a 4，即(1＋d )2＝1＋3d ，解得d ＝0或d ＝1. 又d ≠0，∴d ＝1，可得a n ＝n . (2)由(1)得b n ＝n ＋2n ，∴T n ＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n (n ＋1)2＋2n ＋1－2.[解](1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝a 2－2，a 1＋a 2＝2a 3－6，a 1＋a 2＋a 3＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)a n －(n －1)n ， 所以a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)－(n －1)a n ＋(n －1)n ， 即a n ＋1－a n ＝2.又a 2－a 1＝2，因而数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，从而a n ＝2n －1.T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ， 2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1. 两式相减得－T n ＝1×21＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1 ＝－2＋2×(21＋22＋23＋…＋2n )－(2n －1)×2n ＋1 ＝－2＋2×2×(1－2n )1－2－(2n －1)×2n ＋1＝－2＋2n ＋2－4－(2n －1)×2n ＋1＝－6－(2n －3)×2n ＋1. 所以T n ＝6＋(2n －3)×2n ＋1.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *)．(1)求证：{S n －3n }是等比数列；(2)若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围． [解] (1)证明：∵a n ＋1＝S n ＋3n ，(n ∈N *) ∴S n ＋1＝2S n ＋3n ，∴S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，∵a 1≠3. ∴S n ＋1－3n ＋1S n －3n＝2，∴数列{S n －3n }是公比为2，首项为a 1－3的等比数列． (2)由(1)得S n －3n ＝(a 1－3)×2n －1，∴S n ＝(a 1－3)×2n －1＋3n ， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，∵{a n }为递增数列，∴n ≥2时，(a 1－3)×2n －1＋2×3n >(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，∴n ≥2时，2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a 1－3>0， 可得n ≥2时，a 1>3－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，又当n ＝2时，3－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2有最大值为－9，∴a 1>－9，又a 2＝a 1＋3满足a 2>a 1， ∴a 1的取值范围是(－9，＋∞)．4．(2017·昆明模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n S n －2S 2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正数k ，使(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )≥k 2n ＋1对一切正整数n 都成立？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，a n ＝2a n S n －2S 2n ，∴S n －S n －1＝2(S n －S n －1)S n －2S 2n .∴S n －1－S n ＝2S n S n －1. ∴1S n－1S n －1＝2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列， 即1S n＝1＋(n －1)×2＝2n －1.∴S n ＝12n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12(n －1)－1＝－2(2n －1)(2n －3).∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2(2n －1)(2n －3)，n ≥2.(2)设b n ＝(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )2n ＋1，则b n ＋1＝(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )(1＋S n ＋1)2n ＋3.由(1)知S n ＝12n －1，S n ＋1＝12n ＋1，∴b n ＋1b n ＝(1＋S n ＋1)2n ＋12n ＋3＝2n ＋2(2n ＋1)(2n ＋3)＝4n 2＋8n ＋44n 2＋8n ＋3>1.又b n >0，∴数列{b n }是单调递增数列． 由(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )≥k 2n ＋1，得b n ≥k . ∴k ≤b 1＝23＝233.∴存在正数k ，使(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )≥k 2n ＋1对一切正整数n 都成立，且k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233.。
2018届高三理科数学复习跟踪强化训练：33含解析
(1) 若不等式 f(x) ≤2－|x －1| 有解，求实数 a 的取值范围；
(2) 当 a<2 时，函数 f(x) 的最小值为 3，求实数 a 的值．
a [ 解] (1) 由题意 f(x) ≤2－|x － 1| ，即为 x－2 ＋|x － 1| ≤1. 而由绝对值
a
a
的几何意义知 x－2 ＋|x －1| ≥ 2－1 ，
跟踪强化训练 ( 三十三 ) 1．(2017 ·四川乐山一模 ) 已知函数 f(x) ＝ |2x －1| － |x ＋2|. (1) 求不等式 f(x)>0 的解集； (2) 若存在 x0∈R，使得 f(x 0) ＋ 2a2<4a，求实数 a 的取值范围． [ 解] (1) 函数 f(x) ＝ |2x －1| － |x ＋2| ＝
－x＋3，x<－2， 1
－3x－1，－ 2≤x≤2， 1
x－3，x>2
1 令 f(x) ＝ 0，求得 x＝－ 3或 x＝3，
故不等式 f(x)>0 的解集为 1
x|x< －3或x>3 . (2) 若存在 x0∈R，使得 f(x 0) ＋ 2a2<4a， 即 f(x 0)<4a －2a2 有解，
1
1
由(1) 可得 f(x) 的最小值为 f 2 ＝－ 3× 2－1
由不等式 f(x) ≤2－|x －1| 有解，
a ∴ 2－1 ≤1，即 0≤a≤4.
∴实数 a 的取值范围是 [0,4] ．
a
a
(2) 函数 f(x) ＝ |2x －a| ＋ |x －1| 的零点为 2和 1，当 a<2 时知 2<1，
a － 3x＋a＋1，x<2
∴f(x) ＝
2018届高三理科数学复习跟踪强化训练：10含解析
跟踪强化训练(十)一、选择题1．(2017·东北三校联考)已知a>b，则下列不等式中恒成立的是( )A．lna>lnb B.1a<1bC．a2>ab D．a2＋b2>2ab[解析] 只有在a>b>0时，A才有意义，A错；B选项需要a，b同正或同负，B错；C只有a>0时正确；因为a≠b，所以D正确．[答案] D2．(2017·大连一模)设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)[解析] 由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)＝3，即f(x)>3，如果x<0，则x＋6>3，可得－3<x<0；如果x≥0，则x2－4x＋6>3，可得x>3或0≤x<1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A.[答案] A3．(2017·长春第二次质检)若关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式ax 2＋bx x －1>0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)[解析] 关于x 的不等式ax －b>0的解集是(－∞，－2)，∴a<0，b a ＝－2，∴b ＝－2a ，∴ax 2＋bx x －1＝ax 2－2ax x －1.∵a<0，∴x 2－2xx －1<0，解得x<0或1<x<2.故选B.[答案] B4．(2017·江西师大附中摸底)若关于x ，y 的不等式组x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )A.12或14B.12或18C ．1或12D ．1或14[解析] 由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得k ＝0或1，当k ＝0时，表示区域的面积为12；当k ＝1时，表示区域的面积为14，故选A.[答案] A5．(2017·甘肃会宁一中月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是()A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)C．[－2,2] D．[0，＋∞)[解析] 当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，a∈R；当x≠0时，则有a≥－1－|x|2|x|＝－|x|＋1|x|，故a大于或等于－|x|＋1|x|的最大值．由基本不等式可得|x|＋1|x|≥2，∴－|x|＋1|x|≤－2，即－|x|＋1|x|的最大值为－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.[答案] B6．(2017·浙江卷)若x，y满足约束条件x≥0，x＋y－3≥0，x－2y≤0，则z＝x＋2y的取值范围是( )A．[0,6] B．[0,4]C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)[解析] 不等式组形成的可行域如图所示．。
2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练15 含解析 精
跟踪强化训练(十五)一、选择题1．(2017·昆明模拟)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝( )A.13a ＋512b B .13a －1312b C ．－13a －512b D ．－13a ＋1312b[解析]DE →＝DC →＋CE → ＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC →＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C. [答案] C2．(2017·吉林白城模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝( )A.12 B ．2 C ．－12 D ．－2[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n－1，所以m n ＝－12，故选C.[答案] C3．(2017·广东深圳第二次调研)如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( )A.43 B .53 C.158 D ．2[解析] 因为M 是BC 的中点，所以BM →＝12BC →，所以AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(AD →－AB →) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12BC →＋μ(BC →－AB →)＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎪⎫12λ＋μBC →＝AB →＋BC →，即⎩⎨⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.[答案] B4．(2017·陕西省宝鸡市高三一检)已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [解析] 依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a ·b ＝－2λ－1<0，解得λ>－12.而当a 与b 共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，a 与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)，选A.[答案] A5．(2017·云南省高三调研考试)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A ．13＋6 2B ．2 5 C.30 D.34[解析] 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos45°＝2，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，选D. [答案] D6．(2017·西安模拟)在△ABC 中，A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( )A. 2 B ．2 C. 6 D ．6[解析] 因为AB →·AC →＝－1，所以bc cos120°＝－1，即bc ＝2，在△ABC 中，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos120°＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ＝6，所以a ≥6，即|BC →|的最小值是 6.[答案] C7．(2017·西安质量检测)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →[解析] 由题意，BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，则|b |＝2，故A 错误；|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1，又AB →·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2a ·b ＝2×2cos60°＝2，所以a ·b ＝－1，故B ，C 错误．故应选D.[答案] D8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－13，0 [解析] 依题意，设BO →＝λBC →，其中1<λ<43，则有 AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，且AB →，AC →不共线，于是有x ＝1－λ，由λ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，43，知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. [答案] D 9.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若OC →＝mOA →＋nOB →(m >0，n >0)，m ＋n ＝2，则∠AOB 的最小值为( )A.π6 B .π3 C.π2 D .2π3[解析] 解法一：由题意mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1，将OC →＝mOA →＋nOB →平方得1＝m 2＋n 2＋2mn cos ∠AOB ，cos ∠AOB＝1－m 2－n 22mn ＝1－(m ＋n )2＋2mn 2mn ＝－32mn ＋1≤－12(当且仅当m ＝n ＝1时等号成立)，∵0<∠AOB <π，∴∠AOB 的最小值为2π3.解法二：已知AB 与OC 的交点为M ，设λOM →＝OC →＝mOA →＋nOB →，A ，B ，M 三点共线，则λ＝m ＋n ＝2，说明M 是OC 的中点，在同一圆中相等弦所对的圆心角相等，且较短弦所对的圆心角也较小，可知AB ⊥OC 且互相平分，由平行四边形法则，四边形OACB 是菱形，且∠AOB ＝2π3，故选D.[答案] D10．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2 D.22[解析] 解法一：设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则(a －c )·(b －c )＝0，即(1－x ，－y )·(－x,1－y )＝0，整理得⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝12，这是一个圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，12，半径为22的圆，所求的值等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离．根据图形可知，这个最大距离是2，即所求的最大值为 2.解法二：直接把(a －c )·(b －c )＝0按照数量积的运算法则展开，利用|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0化简后解决．∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，∴由(a －c )·(b －c )＝0可得|c |2＝c ·(a ＋b )，由于a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故|a ＋b |＝ 2.设a ＋b 与c 的夹角为θ，则|c |2＝c ·(a ＋b )＝|c |·|a ＋b |cos θ，即|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ≤2，所以|c |的最大值是 2. [答案] C11．(2017·郑州适应性测试)已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1[解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋(y ＋2)2＝1，∴动点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，其几何意义为动点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|CN →|＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1，故选A. [答案] A12．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21[解析] 依题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图．因为AP →＝AB →|AB →|＋4AC→|AC →|，所以点P (1,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )．所以PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝⎝⎛⎭⎪⎫1t －1×(－1)－4×(t －4)＝17－1t －4t .因为1t ＋4t ≥21t ·4t ＝4⎝⎛当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12 )时取等号，所以17－1t －4t ≤17－4＝13，所以PB →·PC →的最大值为13，故选A.[答案] A 二、填空题13．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.[解析] 由题意知a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，则|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4＝12.所以|a ＋2b |＝2 3. [答案] 2 314．(2017·南昌一模)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．[解析] ∵|AB →|＝5，|AC →|＝3，AB →·AC →＝2＋6， ∴cos ∠BAC ＝AB →·AC→|AB →|·|AC →|＝2＋615.∴sin ∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2＋6152＝ 7－4315＝2－315.∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin ∠BAC ＝12×5×3×2－315＝2－32.[答案] 2－3215．(2017·西宁模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．[解析] ∵AP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AD →－34AB →，∴AP →·BP →＝AD →2－12AB →·AD →－316AB →2＝2，又AB ＝8，AD ＝5，解得AB →·AD →＝22.[答案] 2216．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．[解析]如图，由BD →＝2DC →得AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2－23AB →·AC →，又AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AB →2＝9，AC →2＝4，所以AD →·AE→＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.解法二：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝60°，所以B (3,0)，C (1，3)，又BD →＝2DC →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，而AE →＝λAC →－AB →＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此AD →·AE →＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. [答案]311。
2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：14Word版含解析
则 cosA＝( )
3 10
10
10
3 10
A. 10 B. 10 C．－ 10 D．－ 10
[ 解析 ] 设△ ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，由题意
可得
1 3a＝
csinπ4＝
2 2 c，则
32 a＝ 2 c.在△ ABC 中，由余弦定理可得
b2
＝ a2＋ c2－
2ac＝92c2＋ c2－ 3c2＝ 52c2，则
7sinα－ 2＝0，
解得 sinα＝－ 2(舍去 )或 sinα＝14，
15 又由 α为锐角，可得 cosα＝ 4 ，
∴ sin α＋π3 ＝21sinα＋ 23cosα＝1＋83 5，故选 A.
[ 答案 ] A
2．(2017 ·湖北武汉模拟 )在△ ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝π3，则
A 等于 ( )
由正弦定理得
AC sin60
＝°siAn4M5
，°因此
AM＝
200 3
2 m.
在Rt△MBiblioteka A中，AM＝
200 3
2 m，∠ MAN＝45°，得
200 MN＝ 3 m.
200 [ 答案 ] 3
三、解答题
10．(2017 ·天津卷 )在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为
a2－b2＝ 3bc，得 a＝ 7b，再由余弦定理可得 cosA＝ 23，所以 A＝π6.
故选 A.
[ 答案 ] A
6．(2017 ·福建漳州二模 )在△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别
为
a，b， c，且
2ccosB＝2a＋b，若△ ABC
的面积为
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题-高三理科数学精品复习讲义与跟踪训练含解析
利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题I ．题源探究·黄金母题【例1】已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？ 【解析】设两条直角边为a ，b ，根据基本不等式2a b+≥a b +≥a b =时，等号成立，即最小值是．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修5 P 100T 2．【母题评析】本题考查应用基本不等式求最值．作为基础题，是历年来高考的常考点．【思路方法】和定积有最大值，积定和有最小值．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考天津理12】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________．【答案】4 【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= （前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==时取等号）． 【例3】【2017高考山东卷】若直线()10,0x y a b a b +=>>过点()1,2，则2a b +的最小值为 ．【答案】8【解析】由直线()10,0x ya b a b +=>>过点()1,2可【命题意图】本题主要考查基本不等式的应用．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、转化与化归能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】1．解答此类问题，关键在于灵活运用基本不等式实现和与积互化．如果在解题过程中，两次使用基本不等式，要注意两次使用的条件是不是能同时成立．)222,a b ab a b R +≥∈，),a b a b R ++≥∈，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可以求最值，再求最值时，注意“一正，二定，最值，若是使用2次，更要注意两次使用的条3．活用“1”，“以常驭变”运用均值不等得121a b+=，()12422448b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭．【例4】【2017高考江苏10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是 ． 【答案】30 【解析】总费用600900464()4240x x x x+⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立． 式求解有关的最值问题．III ．理论基础·解题原理)0,0a b ≥>>称为基本不等式，常见的与这个不等式有关的其它不等式有：．()()120,20a bx x ab x b a+≥>+≥>等． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏难． 【技能方法】（1）基本不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能，创造运用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是解题的关键，满足取等条件是前提．“和定积最大，积定和最小”“一正二定三相等”是常用的口诀．（2）必须掌握的三个不等式：①a ，b R ∈，则222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号）；②a ，b R ∈，则222()2a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号）；③a ，b R +∈，则2a b+≥（当且仅当a b =时取等号）． 【易错指导】（1）注意不等式成立的条件是0,0a b >>，若0,0a b <<，应先转化为0,0a b ->->，再运用基本不等式求解．（2）“当且仅当a b =时等号成立”的含义是“a b =”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．（3）有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，要切记等号成立的条件．V ．举一反三·触类旁通考向1 利用基本不等式求最值【例1】【2018贵州凯里一中高三下学期《黄金卷》第二套模拟】函数()24x f x x+=的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 【答案】B【解析】()2444x f x x x x+==+≥=，故选B ．【例2】【2018新疆维吾尔自治区高三二模】设a ，b R ∈，2226a b +=，则a 的最小值为A ．-B ．C ．-D ．（ ） 【答案】A【例3】【2018辽宁辽南协作校高三下学期一模】若lg lg 0a b +=且a b ≠，则21a b+的取值范围为（ ）A ．)⎡+∞⎣B ．()+∞ C ．)()3,⎡⋃+∞⎣D ．)()3,⎡⋃+∞⎣【答案】A【解析】∵lg lg 0a b +=且a b ≠，∴lg 0ab =，即1ab =．∴212ab b a a b ⎛⎫+⋅=+≥= ⎪⎝⎭当且仅当2a b ==∴21a b +的取值范围为)⎡+∞⎣，故选A ．【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立；（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等；（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号． 【例4】【江西上饶市高三下学期二模】已知函数()f x 满足()()()122x e f x f x f ⎛⎫+==⎪⎭'⎝,a b 都有222111322648x x ab f a e b ⎛⎫--<++ ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是 （ ） A ．(),1-∞ B ．(),0-∞ C ．()0,1 D ．()1,+∞ 【答案】D所以当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '≥，()h x 单调递增，当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减． 所以()111222max111220222h x h g ef ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()0f x '≤，所以()f x 在[)0,+∞上单调递减．因为22211648ab a e b ++22,a b ==时取等号，所以1111323232102222x x x x x x f f ⎛⎫⎛⎫--∴--∴--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令()321x x u x =--，u(x)是一个增函数，()()3211xxu x u =-->，所以x>1．故选D ．【名师点睛】本题的难点在于要反复地构造函数研究函数的单调性，属于难题．构造函数，一般是在直接研究不太方便时使用，构造函数书写更简洁，表述更方便，推理更清晰． 【跟踪练习】1．【2018吉林四平市高三质量检测】设0,y 0x >>，若lg2x y 成等差数列，则19x y+的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16【答案】D2．【2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1 B ．12 C ．34 D ．32【答案】C【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =，∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=，∴6m n +=，∴()1211211532262622624m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++=⨯+++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当24m n ==时取等号，故选C ．【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号． 3．【2018贵州凯里一中高三下学期《黄金卷》第三套模拟】设m 、n R ∈，已知log 2a m =，log 2b n =，且a b +=1a >，1b >），则m nmn+的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．12【答案】A【解析】1,1,log 2,log 2,0,0a b a b m n m n >>==∴>> ，11m n mn m n+=+=11log 2log 2a b + ()2222222log log log log log 12a b a b ab +⎛⎫=+=≤== ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b ==A ．考向2 均值不等式应用题【例5】【2018广东江门市高二上学期调研测试（一）】一种设备的单价为a 元，设备维修和消耗费用第一年为b 元，以后每年增加b 元（a b 、是常数）．用t 表示设备使用的年数，记设备年平均费用为y ，即y = (设备单价+设备维修和消耗费用）÷设备使用的年数． （Ⅰ）求y 关于t 的函数关系式；（Ⅱ）当112500a =，1000b =时，求这种设备的最佳更新年限． 【答案】（Ⅰ）22b b ay t t=++；（Ⅱ）15年．试题解析：（Ⅰ）由题意，设备维修和消耗费用构成以b 为首项，b 为公差的等差数列， 因此t 年维修消耗费用为232b tbb b b tb t +++++=，于是222b tbt ab b a y t t t++==++．（Ⅱ）∵0,0,0t a b >>>，所以2b a t t +≥，112500a =，1000b =，500155000y ≥+=，当且仅当2b a t t =，即10001125002t t =，15t =时，年平均消耗费用取得最小值，所以设备的最佳更新年限是15年．【名师点睛】（I ）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解． （II ）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解． 【例6】【2018河南中原名校（即豫南九校）高二上学期第二次联考】要制作一个体积为39m ，高为1m 的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？ 【答案】长为3，容器的总造价最低为250元．则9991021510019010y x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为963x +≥=（当且仅当9x x=即3x =时取“=”），所以 min 250y =． 答：该容器长为3米时，容器的总造价最低为250元．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【例7】【2018福建漳州高一下学期期末考】漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体．该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0．5立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为4000元．（Ⅰ）求该博物馆支付总费用y 与保护罩容积x 之间的函数关系式； （Ⅱ）求该博物馆支付总费用的最小值．【答案】（Ⅰ）8000500250y x x=+- （Ⅱ）博物馆支付总费用的最小值为3750元 【解析】【试题分析】（1）先依据题设分别求出支付的保险费用18000y x=和保护液体的费用()5000.5x -，再求出运总费用y 与保护罩容积x 之间的函数关系式8000500250y x x =+-，（ 0.5x >）；（2）依据题设条件运用基本不等式求出8000500x x+的最小值，从而确定函数8000500250y x x =+-的最小值： 解：（Ⅰ）由题意设支付的保险费用1ky x =，把2x =，14000y =代入，得8000k =，则有支付的保险费用18000y x=（0.5x >），故总费用()800080005000.5500250y x x x x=-+=+-（ 0.5x >）．（Ⅱ）因为8000500250y x x ≥=+- 2503750=，当且仅当8000500x x=且0.5x >，即4x =立方米时不等式取等号，所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元．【名师点睛】求解本题的第一问时，先依据题设条件运用待定系数法求出支付的保险费用18000y x=，再求出保护液体的费用()5000.5x -，进而求出运总费用y 与保护罩容积x 之间的函数关系式8000500250y x x=+-，（ 0.5x >）；求解第二问时，重点是依据题设条件运用基本不等式先求出8000500x x +的最小值，从而确定函数8000500250y x x =+-的最小值及取得最小值时x 的值，从而使得问题获解． 【跟踪练习】1．【2018山东德州市高三年级上学期期中考试】如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB =2米，AD =1米．（1）要使矩形AMPN 的面积大于9平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 【答案】（1）（0，12）∪（2，+∞）；（2）矩形花坛的面积最小为8平方米．∵DN DCAN AM =，∴|AM |=()21x x+，∴S 矩形AMPN =|AN |•|AM |=22(1)x x +．由S 矩形AMPN ＞9得22(1)x x+＞9，又x ＞0得2x 2-5x +2＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，即DN 的长的取值范围是（0，12）∪（2，+∞）． （2）因为x ＞0，所以矩形花坛的面积为：y =22(1)x x+=2x +4x +4≥4+4=8，当且仅当2x =4x ，即x =1时，等号成立．答：矩形花坛的面积最小为8平方米．【名师点睛】本题通过对相似的理解，列出面积公式，再结合实际背景得到变量的取值范围；在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用．2．某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且OB =米，边界线AC始终过点B ，边界线OCOA 、满足0075,30,45A O C A OB B OC ∠=∠=∠=．设OA x =(36x ≤≤)百米，OC y =百米．（I ）试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；（II ）当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，并求出其面积的最小值． 【答案】（1（2）：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ∆最 【解析】ABCO分母是一次，而分子是二次的，故可这样变形24(2)422x x x x =-++--，正好这个表达式可以用基本不等式来求得最小值．试题解析：（I ）结合图形可知，BOC AOB AOC S S S ∆∆∆+=．于是，（II ）由（I当且仅，即4x =时，等号成立)． 答：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，最小面积是米．12分考点：求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式．3．由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y 与时间x 的关系，可近似地表示为只有当河流中碱的浓度不低于．．．1时，才能对污染产生有效的抑制作用．（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．【答案】（13≤≤x ；（2）当x =y 有最大值14-3≤≤x -------------5分 即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为51322-=分 （2）当02≤≤x 时，1682=--++y x x 单调递增-------------8分 当24<≤x 时，y=4-x 单调递减-------------9分所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱， 即24<≤x 时，16164[(2)814(2)2=-+---+=-++y x x x x x-------------12分故当且仅当162,==x x xy 有最大值14--------------------14分 考向3 与均值不等式有关的交汇题【例8】【2018四川成都龙泉驿区二中高三3月市“二诊”】已知函数()()f 41a x log x =+-（a ＞0且a ≠1）的图像恒过定点A ，若直线2x ym n+=-（m,n 0>）也经过点A ，则3m +n 的最小值为（ ）[A ．16B ．8C ．12D ．14 【答案】B【名师点睛】本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长．在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．【例9】【2018辽宁沈阳市东北育才学校高三三模】设A B 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右顶点，P 是双曲线上不同于A B 、的一点，设直线AP BP 、的斜率分别为m n 、，则412ln 2ln 2b a m n a b mn++++取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）A B C D ． 【答案】C设函数()12ln (0)2f x x x x =+>，()22214-122x f x x x x ='=-，所以f(x)在区间10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．()min 14f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2214b mn a ==，又均值不等式等号成立条件当且仅当224a b =，所以e ==．选C ．【名师点睛】（1）双曲线上任意关于原点对称的两点()()1111,,,A x y B x y --，另一动点()00,P x y ，则22P A P Bb k k a=；（2）椭圆上任意关于原点对称的两点()()1111,,,A x y B x y --，另一动点()00,P x y ，则22PA PBb k k a=-．【例10】【2018河北衡水金卷调研卷（五）】已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为()1,0F c ，过点1,F F 的直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M处的切线与直线y =垂直，则ab 的最大值为（ ）A．2B ．32 CD ．2【答案】B【解析】由题可知抛物线24x y =的焦点为()11010,1,0FF F k c c-∴==--，过1,F F 的直线方程为()11101y x y x c c -=--⇒=-+，联立方程组22114{ 44y x x x ccx y=-+⇒=-+= 2440cx x c ⇒+-=，x ∴=1x =，22x c--=（舍去），又由214'2xy y x =⇒=，因此(212k c-+=⨯1c -=，又由题可知(11c c-=-⇒=223a b +=，又2232322a b ab ab ab +≥⇒≥⇒≤，当且仅当a b ==时，取等号，即()max 32ab =，故选B ．【易错点晴】本题主要考查抛物线、双曲线的方程与性质、导数的几何意义以及利用基本不等式求最值，属于难题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）．【例11】【2018湖南省三湘名校教育联盟高三三联考】随机变量X 服从正态分布()()210,,12X N P X m σ~>=，()810P X n ≤≤=，则21m n+的最小值为（ ） A．3+ B．6+ C．8+ D．6+ 【答案】D【名师点睛】本题考查正态分布图象的对称性以及基本不等式的应用．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【例12】【2018上海杨浦区高三下学期质量调研（二模）】若{}n a 为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为 ． 【答案】4【解析】{}n a 为等比数列，0n a >，∴公比0q >，20182017a a q =，201720181qa a ==， 20192018a qa =，2019201811a qa q ==20172019124a a q∴+=+≥=，当且仅q=，即q =2017201912a a ∴+的最小值为4． 【跟踪练习】1．【2018云南保山市高三第二次市级统测】在ABC ∆中，若()232||CA AB CB AB AB ⋅+⋅= ，则1tan tan A B+的最小值为（ ）AB． CD【答案】B【名师点睛】当方程左右两边关于边或角为齐次式时，可以利用正弦定理统一化为边或化为角来处理；在三角形中要注重利用条件A B C π++=进行化简运算； 用均值不等式求最值时要注意“一正二定三相等”．2．【2018衡水金卷（二）】已知22:0,121x axp x x +∀><+恒成立，若p ⌝为真命题，则实数a 的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．5 （ ） 【答案】A【解析】22:x 0,1,21x ax p x +⌝∃>≥+化为2ax 1x ≥+，即x 0,∃>有211a x x x x +≥=+，又0x >时，1y x x=+的最小值为2，故由存在性的意义知2a ≥．故实数a 的最小值为2．故选：A ．3．【2018安徽淮南市高三一模】已知G 是ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC交于点,M N ，且AM xAB = ，AN yAC =，(),0x y >，则3x y +的最小值是( )A ．83 B ．72 C ．52 D ．43+【答案】D令1131312222x m y n m n -=-=≤≤≤≤，，（，）； 故11133m nmn x y ++===，，；故14443133333n n x y m m ++=++=++≥+=，当且仅当m n == 故选D ．4．已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()1AP OA λ=- （R λ∈）（O 是坐标原点），且•72OA OP =，则线段OP 在x 轴上的设影长度的最大值为__________．【答案】15【解析】∵()1AP OA λ=-，∴OP OA λ= ，故O ，A ，P 三点共线．∵·72OAOP= ，∴·72OAOP OA OP == ．设点A 坐标为(x ，y )，则221259x y +=． 令OA 与x 轴正方向的夹角为θ，则线段OP 在x 轴上的投影长度为27272cos ||x x x OP OP OA OA OA OA θ=⋅=⋅=2272721516925x x y x x==≤=++，当且仅当16925x x =，即154x =时等号成立．∴线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15．。
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跟踪强化训练(十九)
1．(2017·沈阳质检)已知数列{a
n }是公差不为0的等差数列，首项a
1
＝1，且
a 1，a
2
，a
4
成等比数列．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)设数列{b
n
}满足b
n
＝a
n
＋，求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
[解] (1)设数列{a
n
}的公差为d，由已知得，a2
2
＝a
1
a
4
，即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1.
又d≠0，∴d＝1，可得a
n
＝n.
(2)由(1)得b
n
＝n＋2n，
∴T
n
＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)
＝
n(n＋1)
2
＋2n＋1－2.
[解] (1)由题意得，
⎩
⎨
⎧S1＝a2－2，
a
1
＋a
2
＝2a
3
－6，
a
1
＋a
2
＋a
3
＝9，
解得
⎩
⎨
⎧a1＝1，
a
2
＝3，
a
3
＝5，
当n≥2时，S
n－1
＝(n－1)a
n
－(n－1)n，
所以a
n
＝na
n＋1
－n(n＋1)－(n－1)a
n
＋(n－1)n，
即a
n＋1
－a
n
＝2.
又a
2
－a
1
＝2，因而数列{a
n
}是首项为1，公差为2的等差数列，
从而a
n
＝2n－1.
T
n
＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，
2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1. 两式相减得
－T n ＝1×21＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1 ＝－2＋2×(21＋22＋23＋…＋2n )－(2n －1)×2n ＋1 ＝－2＋2×2×(1－2n )
1－2
－(2n －1)×2n ＋1
＝－2＋2n ＋2－4－(2n －1)×2n ＋1＝－6－(2n －3)×2n ＋1. 所以T n ＝6＋(2n －3)×2n ＋1.
3．数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *)． (1)求证：{S n －3n }是等比数列；
(2)若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围． [解] (1)证明：∵a n ＋1＝S n ＋3n ，(n ∈N *) ∴S n ＋1＝2S n ＋3n ，
∴S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，∵a 1≠3. ∴S n ＋1－3n ＋1S n －3n
＝2，
∴数列{S n －3n }是公比为2，首项为a 1－3的等比数列． (2)由(1)得S n －3n ＝(a 1－3)×2n －1，∴S n ＝(a 1－3)×2n －1＋3n ，
∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，∵{a n }为递增数列， ∴n ≥2时，(a 1－3)×2n －1＋2×3n >(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，∴n ≥2时， 2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a 1－3>0，
可得n ≥2时，a 1>3－12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32n －2，
又当n ＝2时，3－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2
有最大值为－9，
∴a 1>－9，又a 2＝a 1＋3满足a 2>a 1， ∴a 1的取值范围是(－9，＋∞)．
4．(2017·昆明模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n S n
－2S 2n .
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在正数k ，使(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )≥k 2n ＋1对一切正整数n 都成立？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解] (1)∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，a n ＝2a n S n －2S 2n ， ∴S n －S n －1＝2(S n －S n －1)S n －2S 2n . ∴S n －1－S n ＝2S n S n －1. ∴1S n －1S n －1
＝2. ∴数列⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是首项为1S 1＝1
a 1＝1，公差为
2的等差数列，
即1
S n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. ∴S n ＝
12n －1
. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12(n －1)－1
＝
－2
(2n －1)(2n －3)
.
∴数列{a n
}的通项公式为a n
＝⎩⎨⎧
1，n ＝1，
－2
(2n －1)(2n －3)，n ≥2.
(2)设b n ＝(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )
2n ＋1
，
则b n ＋1＝
(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )(1＋S n ＋1)
2n ＋3
.
由(1)知S n ＝12n －1，S n ＋1＝12n ＋1
， ∴
b n ＋1b n ＝(1＋S n ＋1)2n ＋12n ＋3＝2n ＋2(2n ＋1)(2n ＋3)
＝
4n 2＋8n ＋4
4n 2＋8n ＋3
>1.
又b n >0，∴数列{b n }是单调递增数列．
由(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )≥k 2n ＋1，得b n ≥k.。