2009“数学解题能力展示”读者评选活动四

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2009年数学解题能力展示(迎春杯)中年级组复赛试题及详细解析

2009“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组复试题（活动时间：2009年2月4日11：00—12：00；满分120分）（请将答案填入答题卡中）一、填空题（每题8分）1. 200917123+⨯＝_____________．2. 右图是体操运动员小燕倒立时看到镜子中另一正常站立的运动员小杰的号码，则小杰的号码是_____________．3. 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．4. 如图，有一张长为12厘米，宽为10厘米的长方形纸片，按照虚线将这个纸片剪为两部分，这两部分的周长之和是_____________厘米．二、填空题（每题10分）5. A,B,C,D,E,F 六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场．胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分．比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第3名的队得了8分，那么这次比赛中共有_____________场平局．6. 将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数排成一行，使得第一个数是第二个数的整数倍，前两个数的和是第三个数的整数倍，前三个数的和是第四个数的整数倍，……，前八个数的和是第九个数的整数倍．如果第一个数是6，第四个数是2，第五个数是1，最后一个数是_____________.7.过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件。

其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么妈妈送出这5件礼物共有____________种方法．8.早上8点，小明和小强从甲、乙两地同时出发，以不变的速度相向而行．9点20时两人相距10千米，10点时，两人相距还是10千米．11点时小明到达乙地，这时小强距甲地_____________千米．三、填空题（每题12分）9.一个数列，从第3项起，每一项都等于其前面两项的和．这个数列的第2项为39，第10项为2009，那么前8项的和是_____________．10.幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖．她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖．发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________个小朋友．11.在下图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是234，那么标有★的圆圈中所填的数是_____________．12.客、武士、弓箭手、法师、猎人、牧师．为公平起见，分组比赛的规则是：两人或三人分为一组，若两人一组，则这两人级别必须相同；若三人一组，则这三名高手级别相同，或者是连续的三个级别各一名．现有13个人，其中有三名游侠、三名牧师，其它七类高手各一名．若此时再有一人加入，所有这些人共分为五组比赛，那么新加入这个人的级别可以有____________种选择．2009年迎春杯中年级组复试试卷解析一、填空题（每题8分） 1.123172009⨯+＝_____________．【分析】 123172009⨯+4131741494151494100=⨯⨯+⨯=⨯+=（）2.右图是体操运动员小燕倒立时看到镜子中另一正常站立的运动员小杰的号码，则小杰的号码是_____________．a) （方法一）这个题目涉及到“倒立看”和从“镜中看”两种情况，我们可以分步进行分析，采用倒推的方法找到小杰的号码．倒立看到的镜中号码镜中小杰的号码小杰的号码（方法二）也可以从纸张的背面，倒着看．3.由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．【分析】这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．4.如图，有一张长为12厘米，宽为10厘米的长方形纸片，按照虚线将这个纸片剪为两部分，这两部分的周长之和是_____________厘米． a) 所求的周长之和＝原长方形的周长2+⨯虚线的总长度．原长方形的周长＝(1210)244+⨯=（厘米），虚线的总长度＝10(1234)325+--⨯=（厘米），则所求周长之和＝4422594+⨯=（厘米）．二、填空题（每题10分）5. A,B,C,D,E,F 六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场．胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分．比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第3名的队得了8分，那么这次比赛中共有【分析】六个足球队进行单循环比赛，总共有5432115++++=（场）比赛．平局的两队总分为112+=（分），非平局总分为033+=（分），因此，如果全是非平局总分有1534⨯=（分），否则多一场平局少1分．如果得分的等差数列公差为1，则这六个队的总分为87345+⨯=（）（分），有0场平局，与第3名得8分不符．如果得分的等差数列公差为2，则这六个队的总分为86342+⨯=（）（分），有45423-=（场）平局．6.将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数排成一行，使得第一个数是第二个数的整数倍，前两个数的和是第三个数的整数倍，前三个数的和是第四个数的整数倍，……，前八个数的和是第九个数的整数倍．如果第一个数是6，第四个数是2，第五个数是1，最后一个数是_____________.a) 根据题意有：621⑨⑧⑦⑥⑤④③②①由6=②号的整数倍知：②号只能填3．由639+==③号的整数倍知：③号只能填9．又由6392121++++==⑥号的整数倍知：⑥号只能填7．同理可得其它序号上的数，填法如下：987654321⑨⑧⑦⑥⑤④③②①7.过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么妈妈送出这5件礼物共有____________种方法．【分析】假如给小强的是智力拼图，则有2543120⨯⨯⨯=（种）方法．假如给小强的是遥控汽车，则有154360⨯⨯⨯=（种）方法．总共有12060180+=（种）方法．8.早上8点，小明和小强从甲、乙两地同时出发，以不变的速度相向而行．9点20时两人相距10千米，10点时，两人相距还是10千米．11点时小明到达乙地，这时小强距甲地_____________千米．a) 由题意知：9:208:0080-=（分钟），则全程=速度和8010⨯+，又由“10点时，两人相距还是10千米”知：过20分钟，两人相遇且合走了：速度和2010⨯=（千米），那么全程=（速度和20⨯）41050⨯+=（千米），从早上8点到11点，两人合走了：速度和180⨯=（速度和20⨯）910990⨯=⨯=（千米），这时小强距甲地是：5029010⨯-=三、填空题（每题12分）9. 一个数列，从第3项起，每一项都等于其前面两项的和．这个数列的第2项为39，第10项为2009，那么前8项的和是_____________．【分析】把这个数列从第一项开始依次记为：1a ，2a ，3a ，则有：312a a a =+ 423a a a =+ 534a a a =+1098a a a =+ 将上面7个式子相加，有34510239128a a a a a a a a a a ++++=+++++++（）（）将左右两边相同的项消去，则有102128a a a a a =++++（）得1281022009391970a a a a a +++-=-==．10. 幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖．她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖．发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________个小朋友． a) 画线段图分析，由题意知：从奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如图：那么2小段和5份都看成10份量，那么总量就相当于19份量，水果糖中原有的8份就是现在的16份，则剩下的15块水果糖就占有3份，则1份就是5块，给小朋友们分出去的水果糖数量是：16580⨯=（块），小朋友的人数是：80810÷=（人）．那么标有★的圆圈中所填的数是_____________．【分析】为表述方便，将圆圈中数用字母替代（如右图）．根据题意，有 234a f ++=★ ⑴ 234bc ++=★ ⑵ 234e d ++=★⑶ 234a b e ++=⑷ 234c d f ++=⑸⑴+⑵+⑶-⑷-⑸，有3234⨯=★，即234378=÷=★．12. 某次武林大会有九个级别的高手参加，按级别从高到低分别是游侠、火枪手、骑士、剑客、武士、弓箭手、法师、猎人、牧师．为公平起见，分组比赛的规则是：两人或三人分为一组，若两人一组，则这两人级别必须相同；若三人一组，则这三名高手级别相同，或者是连续的三个级别各一名．现有13个人，其中有三名游侠、三名牧师，其它七类高手各一名．若此时再有一人加入，所有这些人共分为五组比赛，那么新加入这个人的级别可以有____________种选择． a) 现在总共是有14个人，且分为五组，则必然是下面的这种情况：第组第组第组第组组第⑤④③②①。

数学解题能力展示五年级真题汇编0712

5.如图，7×7 的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了 1，2，3，4，5 各两个，那么，表格中所有数的和是________。
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指南针小升初
6.甲、乙两人从 A 地步行去 B 地。乙早上 6:00 出发，匀速步行前往；甲早上 8:00 才出发，也是匀速步行。甲的速度是乙的速度的 2.5 倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时。甲出发后经过________分钟才能追上乙。
三、填空题Ⅲ（每题12 分，共48 分）
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指南针小升初
9.甲、乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行。第一次迎面相遇在距离B地100米处，相遇后甲的速度提高到原来的 2倍；甲到 B 后立即调头，追上乙时，乙还有 50米才到A。那么，AB间的路程长________米。 10.在右图中，线段AE、FG将长方形ABCD分成了四块；已知其中两块的面积分别是 2 cm2、 11cm2，且E 是 BC 的中点， O是AE的中点；那么长方形ABCD的面积是________cm2。
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指南针小升初
2011 年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级组初试试题
一、填空题（每题8分，共40分） 1.算式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的计算结果是________。
2.十二月份共有 31天，如果某年 12月 1 日是星期一，那么该年 12月 19日是星期 ________。(星期一至星期日用数字1至7表示) 3.如图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4，那么这个等腰梯形的周长等于________。 4.某乐团女生人数是男生人数的2倍，若调走24名女生，则男生人数是女生人数的2 倍，那么该乐团原有男女学生一共有________人。 5.规定 1※2=0.1+0.2=0.3 , 2※3=0.2+0.3+0.4=0.9 , 5※4=0.5+0.6+0.7+0.8=2.6 。如果 a ※15=16.5，那么 a 等于________。

2009“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组复试题

2009“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组复试题（活动时间：2009年2月4日11：00—12：00；满分120分）（请将答案填入答题卡中）一、填空题（每题8分）1. 200917123+⨯＝_____________．2. 右图是体操运动员小燕倒立时看到镜子中另一正常站立的运动员小杰的号码，则小杰的号码是_____________．3. 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________． 4. 如图，有一张长为12厘米，宽为10厘米的长方形纸片，按照虚线将这个纸片剪为两部分，这两部分的周长之和是_____________厘米．二、填空题（每题10分）5. A,B,C,D,E,F 六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场．胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分．比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第3名的队得了8分，那么这次比赛中共有 _____________场平局．6. 将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数排成一行，使得第一个数是第二个数的整数倍，前两个数的和是第三个数的整数倍，前三个数的和是第四个数的整数倍，……，前八个数的和是第九个数的整数倍．如果第一个数是6，第四个数是2，第五个数是1，最后一个数是_____________.7. 过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件。

2008年“数学解题能力展示”读者评选活动三年级组初赛试卷及详解答案

2008“数学解题能力展示”读者评选活动（三年级）三年级组初赛试题（测评时间：2007年12月2日11：00—12：00；满分150）一、填空题Ⅰ（每题10分，共60分）1. 计算：24＋63＋52＋17＋49＋81＋74＋38＋95＝________。

2.计算：53×57-47×43=_____________。

3. 星期天小明、小强和小佳一起去采摘。

小强说：“我摘的苹果最多了，比你们俩摘的苹果总和还多1个。

”小明回答说：“是啊。

你比我多摘了10个，但我比小佳多摘了10个。

”那么他们三人共摘了_____________个苹果。

4. 用火柴棍拼成的数字和符号如下图所示，那么用火柴棍拼成一个减法等式最少要用_____________根火柴。

5. 将1～9这9个数字分别填入下图的方框中，每个数字恰好用一次，使等式成立；现已将8填入，则最左边的两个方框中所填的两位数是________。

6. 一个文具店中橡皮的售价为每块5角，圆珠笔的售价为每支1元，签字笔的售价为每支2元5角。

小明要在该店花5元5角购买其中两种文具，他有___________种不同的选择。

二、填空题Ⅱ（每题15分，共90分）1. 一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共27本，且每种书的数量互不相同。

其中数学书和英语书共有12本，语文书和英语书共有13本。

有一种书恰好有7本，是_____________书。

2. 下面两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么A＋B＋C＋D ＋E＋F＋G=_____________。

3. 小名、小亮两人玩扑克牌，他们手里各有点数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的纸牌各一张，两人每轮各出一张牌，点数大的为胜，并将两张牌的点数差（大减小），做为获胜一方的分数，另一方不得分，10轮牌出完之后，两人总分之和最大是_____________。

4. 有125个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为1平方厘米，其中63个表面涂上白色，还有62个表面涂上蓝色。

数学解题能力展示四年级真题汇编0730

三、填空题（每小题 15 分，共 60 分）
7.如图，有两个小正方形和一个大正方形，大正方形的边长是小正方形边长的 2 倍，阴影部分三角形面积为 240，请问三个正方形的面积和是________。
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指南针小升初
8.小张早晨 8 点整从甲地出发去乙地，速度是每小时 60 千米。早晨 9 点整小王从乙地出发去甲地。小张到达乙地后立即沿原路返回，恰好在 12 点整与小王同时到达甲地。那么两人相遇时距离甲地________千米。 9.下图是由 9 个 2×2 的小网格组成的一个正方形大网格并要求相邻两个小网格内的相邻数字完全相同（这些小网格可以旋转，但不能翻转）。现在大网格中已放好一个小网格，请你将剩余 8 个网格按要求放好。右下角格内的数是 ________。
三、填空题（每小题 15 分，共 30 分）
9.如图，一个周长为 24 厘米的小正方形和 4 个周长为 32 厘米的相同长方形拼成一个大正方形，那么一个长方形的面积是_____对爸爸说：“我特别期待 2013 年的到来。”爸爸问：“为什么呢？”小杰说：“你看，2013 的 4 个数字互不相同，我长这么大，头一次过这样的年份呢。”爸爸笑道：“是呀，我们可以把这种各个数字都不相同的年份叫做‘幸运年’，这样算来，明年爸爸就过第 13 个‘幸运年’ 了。”小杰想了想说：“当我像您这么大的时候，我刚好也过第 13 个‘幸运年’。”那么，小杰明年________岁。
11.若三位数 abc （其中a,b,c都是非零数字）满足 ab bc ca ，则称该三位数为 “龙腾数”，那么共________个“龙腾数”。 12.在边缘的每个空白格内都填入一个箭头，方格中的数字表示指向该数字的箭头个数，箭头的方向可以是上、下、左、右、左上、左下、右上、右下，但每个箭头至少指向一个数字，例如，图2的填法是图1的答案.请按照此规则在图3中填入箭头，那么指向右下方向的箭头共有________个。

2009年数学解题能力展示(迎春杯)高年级组复赛试题及详细解析

2009年迎春杯高年级组复赛试题1. 计算：216471370216128625302829÷⨯= ． 2.在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为．90023. 用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是．4.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖．411 175.在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是只．6.太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗子．一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”．第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议．大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”．参加第一天圆桌会议的人之中共有位老实人．7.A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．8.一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．9.从1～999中选出连续6个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有4个0，一共有种选法．10.请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积A B C⨯⨯=．CAB11.三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．12.如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如果△ASM、△MTB与△DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为．MNTSDC BA13.一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米．F E D C BA14.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍．⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸15.老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31．如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．2009年迎春杯高年级组复试解析1.计算：216471370216128625302829÷⨯= ．【分析】分析：对于这种分数计算题，应当先将其化成假分数再进行约分．原式1253028291370 211286253066472829+=⨯⨯⨯⨯+2872530419921286158272829=⨯⨯⨯到了这一步，由于15827，4199，2829都较大，不容易直接进行判断，但是对于287，2530，286，可以看出它们有因子7，41，11，23，13等，可以进行约分，再看看15827，4199，2829等较大的数中是否有因子7，41，23，13，如果有，相应地进行约分，最后可得结果为5．具体的式子如下：原式74125112313323215211137732323341⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯(其中323还可以分解成1719⨯，但是由于分子、分母中的323可以直接约掉，所以计算过程中不需要对它进行分解)2.在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为．9002e f22d 22dedcba990109002【分析】首先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个三位数的前两位为1、0，这个两位数的十位数字为9，个位不能为0．除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是9，那么可得商的百位和个位相同．先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示．由于商为奇数，所以e 是奇数，可能为1、3、7、9(不可能为5)．若为1，则92abc d =，而92abc f d f ⨯=⨯为三位数，于是1f =，又这个乘积的十位数字为0，而d 不能为0，矛盾．所以e 不为1；若为3，则923abc d =÷，d 可能为1、4、7， abc 相应的为304、314、324．当abc 为314和324时abc f ⨯所的结果的十位数字不可能为0，不合题意；若abc 为304，则f 可能为1或2，经检验f 为1和2时都与竖式不符，所以e 也不能为3；若为7，则927abc d =÷，只有5d =时满足，此时136abc =，那么3f =．经检验满足题意；若为9，则929abc d =÷，d 只能为7，此时108abc =，f 则只能为1．经检验也不合题意．所以只有除数为136时竖式成立，所以所求的除数即为136．3.用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是．【分析】由于一个数除以9的余数等于这个数的各位数字之和除以9的余数，那么这五个四位数的和除以9的余数，就等于这五个四位数的各位数字之和除以9的余数，而这五个四位数的各位数字之和为()0129290++++⨯=L ，除以9的余数为0，所以这五个四位数的和除以9的余数也是0，也就是说这五个四位数的和是9的倍数．由于每个四位数都小于10000，所以这五个四位数的和小于50000，那么这个和的首位不超过4，由于各位数字都是奇数，所以首位最大为3，千位和百位最大为9．当前三位分别为3、9、9时，要使这个和是9的倍数，后两位数字的和除以9应余6，可能为6和15；然而这两个数都是奇数，它们的和为偶数，所以只能是6，那么这两个数应分别为5和1才能使和最大，此时最大和为39951．而当这五个四位数分别为9348，9247，8236，7115，6005时，它们的和恰好为39951，因此所求的最大值为39951．4.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖．411 17【分析】假设投中17分、11分、4分的次数分别为x 次、y 次和z 次，那么投中飞镖的总次数为()x y z ++次，而总得分为17114x y z ++分，要想获奖，必须17114120x y z ++=．由于17120x <，得到6x ≤．当x 的值一定后，要使()x y z ++最小，必须使y 尽可能大．若6x =，得到11418y z +=，此时无整数解；若5x =，得到11435y z +=，此时1y =，6z =，51612x y z ++=++=；若4x =，得到11452y z +=，此时y 最大为4，当4y =时2z =，这种情况下10x y z ++=；若3x =，得到11469y z +=，此时3y =，9z =，33915x y z ++=++=；若2x =，得到11486y z +=，此时y 最大为6，当6y =时5z =，这种情况下13x y z ++=；若1x =，得到114103y z +=，此时y 最大为9，当9y =时1z =，这种情况下11x y z ++=；若0x =，得到114120y z +=，此时y 最大为8，当8y =时8z =，这种情况下16x y z ++=．经过比较可知()x y z ++的值最小为10，所以至少需要投中10次飞镖才能获奖．5.在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是只．【分析】仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有20%的狗认为自己是猫，有80%的猫认为自己是猫；而将猫和狗混合在一起，所有的猫和狗中，有32%的认为自己是猫．那么根据浓度三角，狗和猫的数量之比为：()()80%32%:32%20%4:1--=．而狗比猫多180只，所以狗的数目为()180414240÷-⨯=只． 6.太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗子．一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”．第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议．大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”．参加第一天圆桌会议的人之中共有位老实人．【分析】第一天的时候，考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有1个是老实人．可见每相邻的三个人中至少有1个老实人．由于200936692÷=L ，可以先选取两个人，其中至少有1个是老实人(即任意选取1个老实人，再选取一个与他相邻的人)，再将剩下的2007个人每相邻的三人分为一组，共分成669组，那么每组中至少有1个老实人，所以第一天至少有1669670+=个老实人．第二天的时候，还是考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有一个和他是同一种人，也就是说至少有一个是骗子，至多有一个是老实人．可见每相邻的三个人中至多有1个老实人．由于200836691÷=L ，可以先任意选取1个骗子，再将剩下的2007个人每相邻的三人分为一组，共分成669组，那么每组中至多有1个老实人，所以第二天至多有669个老实人．由于第二天有一个人没来，所以第一天比第二天至多多1个老实人，那么第一天至多有6691670+=个老实人，而根据前面的分析，第一天至少有670个老实人，所以第一天恰好有670个老实人． 7. A 、B 两地位于同一条河上，B 地在A 地下游100千米处．甲船从A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船到达A 地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．【分析】本题采用折线图来分析较为简便．如图，箭头表示水流方向，A C E →→表示甲船的路线，B D F →→表示乙船的路线，两个交点M 、N 就是两次相遇的地点．由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC 和DE 的长度相同，AD 和CF 的长度相同．那么根据对称性可以知道，M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等，也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=．而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒，那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒．8.一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．【分析】假设五个两位数的十位数上的数字之和为x ，那么个位数上的数字之和为45x -，则五个两位数上的数字之和为1045459x x x +-=+，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大．显然，五个两位数的十位数字都不超过5，只能是012345，，，，，这五个数字中的五个．如果五个数字是54321，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54320，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54310，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，则“日期”的个位无法满足情况．如果五个数字是54210，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，210，，依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件．所以最大值为()45954210153+⨯++++=．9. 从1～999中选出连续6个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有4个0，一共有种选法．【分析】连续的6个自然数中，必有3个偶数，这3个偶数是3个连续偶数，其中至少有1个是4的倍数，那么这3个偶数的积肯定是42的倍数，所以任意的连续6个自然数的积都是42的倍数．另外，连续的6个自然数中，至少有一个5的倍数，至多有两个5的倍数： ⑴如果其中只有1个5的倍数，由于末尾要有4个0，那么这个5的倍数应是45的倍数，即是625的倍数，又小于1000，只能是625，那么这6个数可以是621～626，622～627，623～628，624～629，共4种；⑵如果其中有2个5的倍数，那么只能是这连续6个自然数中的最大数和最小数都是5的倍数．由于这两个5的倍数不可能同时是25的倍数，所以其中必有一个是35125=的倍数，可能为125，250，375，500，625，750，900．对于其中除625外的6个数，每个数都可以是这连续6个自然数中的最大数和最小数，所以对这6个数，每个数都有2种取法，共有2612⨯=种取法；而对于625来说，与另一个5的倍数相乘，将会是55的倍数，要想使末尾恰有4个0，则这连续6个自然数的乘积要是42的倍数但又不是52的倍数．检验620～625和625～630这两组的连续6个自然数，后者满足题意，前者则不合题意．所以有2个5的倍数的情况下共有12113+=种选法．根据加法原理，共有41317+=种选法．小结：本题容易出错的地方在于容易忽略掉625～630这一组数，因为在平常做题中面对此类问题基本上都是2比5多的情况，所以学生可能对于2比5少的可能性根本不予考虑．10.请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积A B C ⨯⨯= ．CBA【分析】对于本题，可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一等量关系，将每一个小圆圈中的数表示出来．由于每一条直线上的数之和都为A B C ++，可得图中每一个小圆圈中的数如下图：A+C可以得到，332A B C B C A C ++=-=-，可得2A B C =+，代入得2333B C B C +=-，即6B C =，只能是1C =，6B =，28A B C =+=，则86148A B C ⨯⨯=⨯⨯=．11.三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．【分析】假设这三个数分别为a ，b ，c ，且a b c <<，则126a b c ++=，要求的是()()(),,,a b b c a c ++的最大值．由于(),a b 是a 和b 的最大公约数，根据辗转相除法求最大公约数的过程，可以知道(),a b 也是b a -和a 的最大公约数，而一个数的约数不可能比这个数大，所以(),a b a ≤，()(),,a b a b a b a =-≤-．同理可得，(),b c b ≤，(),b c c b ≤-；(),a c a ≤，(),a c c a ≤-．由(),a b a ≤，(),a b b a ≤-得到()()7,2553a b a b a b a ≤+-=-；由(),b c b ≤，(),b c c b ≤-得到()()7,344b c b c b c b ≤+-=-；由(),a c a ≤，(),a c c a ≤-得到()7,7a c a ≤；三式相加可得()()()()7,7,7,53474a b b c a c b a c b a a b c ++≤-+-+=++，故()()()()44,,,1267277a b b c a c a b c ++≤++=⨯=．也就是说()()(),,,a b b c a c ++的最大值为72．要使等号成立，必须使五个不等式(),a b a ≤，(),a b b a ≤-，(),b c b ≤，(),b c c b ≤-，(),a c a ≤中的等号都成立，即(),a b a =，(),a b b a =-，(),b c b =，(),b c c b =-，(),a c a =，得到2b a =，4c a =，即::1:2:4a b c =时等号成立．在本题中就是a ，b ，c 分别为18，36，72时它们两两最大公约数之和取得最大值72．小结：本题的结论1:2:4较容易猜到，但证明起来较困难．另外可能会有人猜到::1:2:3a b c =时取到最大值，这是错误的．12.如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果△ASM 、△MTB 与△DSN 的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为．MNTSDC B AMN TSDCBA【分析】连接MN 、AC 、BD ．由于M 是AB 的中点，所以AMN ∆与BMN ∆的面积相等，而MTB ∆比ASM ∆的面积大1，所以MSN ∆比MTN ∆的面积大1；又由于N 是CD 的中点，所以DMN ∆的面积与CMN ∆的面积相等，那么CTN ∆的面积比DSN ∆的面积大1，所以CTN ∆的面积为9．假设MTN ∆的面积为a ，则MSN ∆的面积为1a +．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知ASD∆的面积为481a +，BTC ∆的面积为63a．要使这两个三角形的面积为整数，a 可以为1，3或7．由于ADM ∆的面积为ABD ∆面积的一半，BCN ∆的面积为BCD ∆面积的一半，所以ADM ∆与BCN ∆的面积之和为四边形ABCD 面积的一半，所以ADM ∆与BCN ∆的面积之和等于四边形BMDN 的面积，即： 4863697181a a a a +++=+++++，得4863211a a a+=++．将1a =、3、7分别代入检验，只有7a =时等式成立，所以MTN ∆的面积为7，MSN ∆、ASD ∆、BTC ∆的面积分别为8、6、9．四边形ABCD 的面积为()6789260+++⨯=．小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．13.一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米．F E D C BA【分析】如图，甲、乙两人从B 地出发，丙从A 地出发，甲、丙相遇在C 处，此时乙到达D 处，C 、D 相聚20千米；三人继续前进，当丙和乙在E 处相遇时，甲到达F 处，E 、F 相聚30千米．当甲、丙相遇时，甲、丙两人合走了一个全程，且此时甲比乙多走了20千米；当丙和乙分别从C 、D 出发走到E 处相遇时，丙和乙合走了20千米，丙和甲合走了30千米，甲比乙多走了10千米．由于10:201:2=，可见丙和甲合走的30千米就是全程的一半，那么全程为60千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，所以甲、丙的速度之比为()60:60203:2-=，那么两人相遇时丙走了2602423⨯=+千米，甲走了3603623⨯=+千米，乙走了362016-=千米，丙和乙的速度比为24:163:2=，那么当丙到达东镇时，乙距西镇2601203⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭千米．14.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍． ⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸【分析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去1ABDA 、1CBDC 、111D AC D 、111B AC B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去1BACB 、1DACD )．D 1C 1B 1A 1D CBAABCDA 1B 1C 1D 1假设左图中的立方体的棱长为a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：3231114233a a a a -⨯⨯⨯=，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为3231122233b b b b -⨯⨯⨯=．由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即2b a =．那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：()33331212::21:163333a b a a =⨯=，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．15. 老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31．如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．【分析】如果a b ，()a b <两个编号的同学是“好朋友”，那么ab ka kb =+，则2k a k b k=+-．2k =时满足条件的()a b ，有()36，； 3k =时满足条件的()a b ，有()412，； 4k =时满足条件的()a b ，有()520，、()612，； 5k =时满足条件的()a b ，有()630，； 6k =时满足条件的()a b ，有()824，、()520，、()520，； 8k =时满足条件的()a b ，有()1224，； 10k =时满足条件的()a b ，有()1530，； 12k =时满足条件的()a b ，有()2030，、()2128，；则全部同学相互之间的关系网如图(其余311516-=名学生未列)：101552030634122482821189关系网图可分为不关联的3部分，其中包含11个人的部分最多可以选出6名互不是“好朋友”的同学，包含2个人的两个部分各可选出1人，以保证互不是“好朋友”，加上未列出的16人，所以31人中最多可以选出1661124+++=人互不是“好朋友”，此时只要再选出一人，即可保证选出的人当中有两位同学是“好朋友”，所以至少应该选出25人．小结：本题容易忽略掉21和28这一对“好朋友”．。

2009年数学解题能力展示(四年级)初赛试题

3. 有 60 名学生，男生、女生各 30 名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的
男生和女生放开手，可以分成 18 个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了_ _个小组．
解答：每个男生能牵 2 次手，一共牵 30 2 60 次，这 60 次牵手有重复计算．当男生与男生牵手时，会将牵手次数计算两次，因此男生与男生的牵手对数共有
5. 小明在桌上将若干个红球排成一排，然后在每相邻的 2 个球之间放 2 个黄球，最后在
每相邻的 2 个球之间再放 2 个蓝球，这时桌上共有 2008 个球，那么其中黄球有个．
6. 如图所示，某小区花园的道路为一个长 480 米，宽 200 米的长方形；一个边长为
260 米的菱形和十字交叉的两条道路组成．一天，王大爷 A 处进入花园，走遍花园的所有道路并从 A 处离开．如果他每分钟走 60 米，那么他从进入花园到走出花园最少要用分． A
【杯赛真题】·【迎春杯】·【四年级】·【初赛】
2009“数学解题能力展示”读者评选活动四年级组初赛试题
（测评时间：2008 年 12 月 6 日 11：00—12：00）
一、填空题Ⅰ（每题 10 分，共 60 分） 1. 计算： 2009 37 300 (37 3) ． 2. 老师买了同样数目的田格本、横线本和练习本．他发给每个同学 1 个田格本、3 个横
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二、填空题Ⅱ（每题 15 分，共 90 分） 7. 有一类多位数，从左数第 3 位数字开始，每位上的数都等于其左边第 2 个数减去左边
第 1 个数的差．如 74312、6422．那么这类数中最大的是．
8. 一些奇异的动物在草坪上聚会．有独脚兽（1 个头、1 只脚）

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2009“数学解题能力展示”读者评选活动
四年级组初试试卷
（测评时间：2008年12月6日11：00—12：00）
一、填空题Ⅰ（每题10分，共60分）
1. 计算：=⨯÷+÷)337(300372009 ．
2. 老师买了同样多的田格本、横线本和练习本．他发给每个同学1个田格本、3个横线本和5个练习本．这时
横线本还剩24个，那么田格本和练习本共剩了个．
3. 有60名学生，男生、女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放开手，可
以分成18个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了_ _个小组．
4. 国际象棋中“马”的走法如左
图所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中．在5×5个方格的国际象棋棋盘上（如右
图）放入四枚白马（用○表示）和四枚黑马（用●表示）．要求将
四枚白马移至四枚黑马的位置，将四枚黑马移至四枚白马的位置，而且必须按照国际象棋的规则，棋子只能移动到空格中，每
个格最多放一枚棋子．那么最少需要__________步．
5. 小明在桌上将若干个红球排成一排，然后在每相邻的2个球之间放2个黄球，最后在每相邻的2个球之间再
放2个蓝球，这时桌上共有2008个球，那么其中黄球有个．
6. 如图所示，某小区花园的道路为一个长480米，宽200米的长方形；一个边长为260米的菱形和十字交叉的
两条道路组成．一天，王大爷A 处进入花园，走遍花园的所有道路并从A 处离开．如果他每分钟走60米，那么他从进入花园到走出花园最少要用分．
二、填空题Ⅱ（每题15分，共90分）
7. 有一类多位数，从左数第3位数字开始，每位上的数都等于其左边第2个数减去左边第1个数的差．如74312、
6422．那么这类数中最大的是．
8. 一些奇异的动物在草坪上聚会．有独脚兽（1个头、1只脚）、双头龙（2个头、4只脚）、三脚猫（1个头、3
只脚）和四脚蛇（1个头、4只脚）．如果草坪上的动物共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍，那么其中独脚兽有只．
9. 如图，请将1个1，2个2，3个3，…，7个7，8个8填入6×6的表格中，使得相同
的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A,B,C,D,E,F 各不相同；那么，六位数ABCDEF 是．
10. 老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做
了7次，这时黑板上三个数的和为159．如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数．那么开始时老师在黑板上写的第一个数是．
11. 请将1～12这12个自然数分别填入到右图的方框中，每个数只出现1
次，使得每个等式都成立．
12.一个小正方体印章，每面刻着1至6中的一个数字．各面数字互不相同，
且相对两面数字之和都是7．小明用这个小正方体印章在右图的方格内滚动．每格恰好经过一次，那么所有小方格中印下的数字之和最多是．。