第24章《圆》单元测试题

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人教版九年级数学上册第24章《圆》单元测试卷(含答案解析)

第24章《圆》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10，CD=8，则BE为（）A．2B．3C．4D．3.53．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°4．⊙O的半径r=5cm，直线l到圆心O的距离d=4，则直线l与圆的位置关系（）A．相离B．相切C．相交D．重合5．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE=OB=2，∠D=20°，则的长度为（）A．πB．πC．πD．π6．如图，⊙O是△ABC 的外接圆，BC 是直径，D在圆上，连接AD、CD，若∠ADC=35°，则∠ACB=（）A．70°B．55°C．40°D．45°7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．2π+2D．4π+18．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O 上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（）A．5B．C．5D．59．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6m，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A．B．C．D．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点P．若∠BCD=32°，则∠CPD的度数是（）A．64°B．62°C．58°D．52°二．填空题（共8小题）11．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC=4，点E是△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，则DE= ．13．如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若OC=12，则线段CE、BD的长度差是．14．如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为．15．如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在上，DE切⊙O于C，交PA、PB于D、E，已知PO=13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是．16．△ABC中，AB=CB，AC=10，S=60，E为AB上一动点，连结CE，过A作AF△ABC⊥CE于F，连结BF，则BF的最小值是．17．如图，等边三角形△ABC内接于半径为1的⊙O，则图中阴影部分的面积是．18．如图，已知线段AB=6，C为线段AB上的一个动点（不与A、B重合），将线段AC绕点A逆时针旋转120°得到AD，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到BE，⊙O外接于△CDE，则⊙O的半径最小值为．三．解答题（共7小题）19．十一期间，小明一家一起去旅游，如图是小明设计的某旅游景点的图纸（网格是由相同的小正方形组成的，且小正方形的边长代表实际长度100m，在该图纸上可看到两个标志性景点A，B．若建立适当的平面直角坐标系，则点A （﹣3，1），B（﹣3，﹣3），第三个景点C（1，3）的位置已破损．（1）请在图中画出平面直角坐标系，并标出景点C的位置；（2）平面直角坐标系的坐标原点为点O，△ACO是直角三角形吗？请判断并说明理由．20．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；（2）若AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．21．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．22．如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．（1）求证：∠ACB+∠BAD=90°；（2）过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC=2∠ACB，AC=4，求DE的长．23．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点E．（1）求证：DI=DB；（2）若AE=6cm，ED=4cm，求线段DI的长．24．如图，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形AOB．点C、E、D分别在OA、OB、弧AB上，过点A作AF⊥DE交ED的延长线于F，如果正方形的边长为1，求阴影部分M、N的面积和．25．如图：△A BC是圆的内接三角形，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交圆于点D，连接BD、DC，且∠BCA=60°．（1）求证：△BED为等边三角形；（2）若∠ADC=30°，⊙O的半径为，求BD长．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：∵d=3＜半径=4∴直线与圆相交∴直线m与⊙O公共点的个数为2个故选：C．2．【解答】解：连接OC．∵AB是⊙O的直径，AB=10，∴OC=OB=AB=5；又∵AB⊥CD于E，CD=8，∴CE=CD=4（垂径定理）；在Rt△COE中，OE=3（勾股定理），∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2，即BE=2；故选：A．3．【解答】解：圆内接正六边形的边所对的圆心角=360°÷6=60°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，边所对的圆周角的度数是60×=30°或180°﹣30°=150°．故选：D．4．【解答】解：∴⊙O的半径为5cm，如果圆心O到直线l的距离为4cm，∴5＞4，即d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选：C．5．【解答】解：连接OE、OC，如图，∵DE=OB=OE，∴∠D=∠EOD=20°，∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°，∵OE=OC，∴∠C=∠CEO=40°，∴∠BOC=∠C+∠D=60°，∴的长度==π，故选：A．6．【解答】解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵∠B=∠D=35°，∴∠ACB=55°，故选：B．7．【解答】解：连接OD、AD，∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∴∠BAC=90°，∴△ABC是Rt△BAC，∵BC=4，∴AC=AB=4，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，BO=DO=2，∵OD=OB，∠B=45°，∴∠B=∠BDO=45°，∴∠DOA=∠BOD=90°，∴阴影部分的面积S=S△BOD +S扇形DOA=+=π+2．故选：B．8．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB=×5=，∴AP=2PD=5，故选：D．9．【解答】解：连接OD，∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=OA=×6=3米，∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA，在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴CD===3米，∵sin∠DOC===，∴∠DOC=60°，∴S阴影=S扇形AOD﹣S△DOC=﹣×3×3 =（6π﹣）平方米．故选：A．10．【解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，∠BCD=32°，∴∠OBC=58°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=58°，∴∠COP=64°，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP=90°，∴∠CPO=26°，∵AB⊥CD，∴AB垂直平分CD，∴PC=PD，∴∠CPD=2∠CPO=52°故选：D．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOD=2∠ACD=50°，∴∠BOD=180°﹣50°=130°，故答案为：130°．12．【解答】解：如图，连接BD，CD，EC．∵点E是△ABC的内心，∴∠DAB=∠DAC，∠ECA=∠ECD，∵∠DCB=∠DAB，∠DEC=∠EAC+∠ECA，∠ECD=∠ECB+∠DCB，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=DC，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∵∠DAB=∠DAC，∴=，∴BD=DC，∵BC=4，∴DC=DB=2，∴DE=2，故答案为2．13．【解答】解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OM⊥DE．∵在Rt△AOB中，OA=20，AB=OC=12，∴OB===16，∴OM===，在Rt△OCM中，CM===，∵BM=BC﹣CM=20﹣=，∴CE﹣BD=（EM﹣CM）﹣（DM﹣BM）=BM﹣CM=﹣=．故答案为：．14．【解答】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点，∵平移前圆O与AC相切于A点，∴OA⊥A′C，即∠OAA′=90°，∵平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与A′B′相切于D点，即A′D与A′A为圆O的两条切线，∴A′D=A′A，又∠B′A′C′=60°，∴△A′AD为等边三角形，∴∠DAA′=60°，AD=AA′=A′D，∴∠OAE=∠OAA′﹣∠DAA′=30°，在Rt△AOE中，∠OAE=30°，AO=2，∴AE=AO•cos30°=，∴AD=2AE=2，∴AA′=2，则该直角三角板平移的距离为2．故答案为：2．15．【解答】解：连接OA、OB，如下图所示：∵PA、PB为圆的两条切线，∴由切线长定理可得：PA=PB，同理可知：DA=DC，EC=EB；∵OA⊥PA，OA=5，PO=13，∴由勾股定理得：PA=12，∴PA=PB=12；∵△PDE的周长=PD+DC+CE+PE，DA=DC，EC=EB；∴△PDE的周长=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24，故此题应该填24cm．16．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，∵AB=BC，∴AD=CD=AC=5，∵S=60，△ABC∴，即，BD=12，∵AF⊥CE，∴∠AFC=90°，∴F在以AC为直径的圆上，∵BF+DF＞BD，且DF=DF'，∴当F在BD上时，BF的值最小，此时BF'=12﹣5=7，则BF的最小值是7，故答案为：7．17．【解答】解：连接OB、OC，连接A O并延长交BC于H，则AH⊥BC，BH=CH．∵△ABC是等边三角形，OB=OA=1，∴BH=OB，∴BH=CH=，∴BC=，=•（）2=，∴S△ABC∴S=π•12﹣=π﹣，阴故答案为π﹣．18．【解答】解：如图，连接OD、OA、OC、OB、OE．∵OA=OA，OD=OC，AD=AC，∴△OAD≌△OAC，∴∠OAC=∠OAD=∠CAD=60°，同法可证：∠OBC=∠OBE=∠ABE=60°，∴△AOB是等边三角形，∴当OC⊥AB时，OC的长最短，此时OC=OA•sin60°=3，故答案为3．三．解答题（共7小题）19．【解答】解：（1）如图；（2）△ACO是直角三角．理由如下：∵A（﹣3，1），C（1，3），∴OA==，OC==，AC==2，∵OA2+OC2=AC2，∴△AOC是直角三角形，∠AOC=90°．20．【解答】解：（1）AB=AC．理由是：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，又∵DC=BD，∴AB=AC；（2）连接OD、过D作DH⊥AB．∵AB=8，∠BAC=45°，∴∠BOD=45°，OB=OD=4，∴DH=2∴△OBD 的面积=扇形OBD的面积=，阴影部分面积=．21．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°．（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．22．【解答】（1）证明：延长AD交⊙O于点F，连接BF．∵AF为⊙O的直径，∴∠ABF=90°，∴∠AFB+∠BAD=90°，∵∠AFB=∠ACB，∴∠ACB+∠BAD=90°．（2）证明：如图2中，过点O作OH⊥AC于H，连接BO．∵∠AOB=2∠ACB，∠ADC=2∠ACB，∴∠AOB=∠ADC，∴∠BOD=∠BDO，∴BD=BO，∴BD=OA，∵∠BED=∠AHO，∠ABD=∠AOH，∴△BDE≌△AOH，（AAS），∴DE=AH，∵OH⊥AC，∴AH=CH=AC，∴AC=2DE=4，∴DE=2．23．【解答】（1）证明：连接BI．∵点I是△ABC的内心，∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI．又∵∠DBI=∠CBI+∠DBC，∠DIB=∠ABI+∠BAI，∠DBC=∠DAC=∠BAI，∴∠DBI=∠DIB，∴DI=DB．（2）∵∠DBC=∠DAC=∠BAI，∠ADB=∠BDA，∴△BDE∽△ABD，∴，即BD2=D E•AD=DE•（AE+DE）=4×（6+4）=40，DI=BD=（cm）．24．【解答】解：连接OD，∵正方形的边长为1，即OC=CD=1，∴OD=，∴AC=OA﹣OC=﹣1，∵DE=DC，BE=AC，弧BD=弧AD=长方形ACDF的面积=AC•CD=﹣1．∴S阴25．【解答】（1）证明：∵∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，∴∠EAB=∠CAB，∠EBA=∠CBA，∴∠AEB=180°﹣（∠EAB+∠EBA）=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣（180°﹣∠BCA）=120°，∴∠DEB=60°，由圆周角定理得，∠BDA=∠BCA=60°，∴△BED为等边三角形；（2）∵∠ADC=30°，∠BDA=60°，∴∠BDC=90°，∴BC是⊙O的直径，即BC=4，∵AE平分∠BAC，∴=，∴BD=DC=4．。

九年级数学题第二十四章《园》单元测试

DCBA九年级第24章圆单元测试题班别姓名座号成绩一、选择题（每题3分，共21分）1．如图，⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM :OC=3:5，则AB 的长为（）A ．8cmB ．91cmC ． 6cm2．如图，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A=︒40，∠APD=︒75，则∠B=（）A ．︒15B ．︒40C ．︒75D ．︒353．如图,PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∠P=︒70，则∠C=（）A ．︒70B ．︒55C ．︒110D ．︒1404．在直角坐标系中，⊙O 的半径为5，点A 的坐标是（3，4），则点A 与⊙O 的位置关系是（）A ．点A 在⊙O 内B ．点A 在⊙O 上C ．点A 在⊙O 外D ．不确定 5．能在同一圆上的是（）A ．平行四边形的四个顶点B ．菱形的四个顶点C ．矩形的四个顶点D ．等腰梯形的四个顶点6．在Rt ∆ABC 中，∠C=︒90，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心，半径为2.4cm 的圆与AB 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定7．以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（）A ．不能构成三角形B ．这个三角形是等腰三角形C ．这个三角形是直角三角形D ．这个三角形是钝角三角形二、填空题（每题3分）︵︵8．如图，⊙O 中， AB = AC ，∠C=︒75，∠A= 度。

︵︵︵9．如图，AB 是⊙O 的直径， BC= CD= DE ，∠COD=︒35，则∠AOE= 度10．如图，∆ABC 中，∠ABC=︒50，∠ACB=︒75,点O 是内心，则∠BOC= 度。

11．已知⊙O 的半径为3，则⊙O 的外切正六边形的边长是12．⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm ，8cm ，若两圆外切，则圆心距d= ；若两圆相交，则圆心距d 的取值范围是。

人教版九年级数学上册第24章圆单元测试题(含答案)

人教版九年级数学上册第24章圆单元测试题（含答案）一、选择题(每小题3分，共24分)1．已知⊙O 的半径为5 cm ，点P 在直线l 上，且点P 到圆心O 的距离为5 cm ，则直线l 与⊙O ( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切2．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是( ) A ．6 B ．3 C. 3 D ．123．如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠C ＝36°，则∠A 的度数为( ) A ．36° B ．56° C ．72° D ．144°图1 图24．如图2所示，⊙O 的半径为4 cm ，C 是AB ︵的中点，半径OC 交弦AB 于点D ，OD ＝2 3 cm ，则弦AB 的长为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2 3 cmD ．4 cm5．如图3所示，D 是弦AB 的中点，点C 在⊙O 上，CD 经过圆心O ，则下列结论不一定正确的是( )A ．CD ⊥AB B ．∠OAD ＝2∠CBDC ．∠AOD ＝2∠BCD D.AC ︵＝BC ︵图3 图46．如图4，直线AB 是⊙O 的切线，C 为切点，OD ∥AB 交于⊙O 点D ，点E 在⊙O 上，连接OC ，EC ，ED ，则∠CED 的度数为( )A ．30°B ．35°C ．40°D ．45° 7．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其轴截面如图5所示，已知EF ＝CD ＝4 cm ，则球的半径是( )A ．2 cmB ．2.5 cmC ．3 cmD ．4 cm图5 图68．如图6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2 3，以直角边AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是( )A.15 34－32πB.15 32－32πC.734－π6D.732－π6π二、填空题(每小题4分，共32分)9．如图7，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是________．图7 图810．如图8，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，∠ACD ＝54°，则∠BAD ＝________°. 11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝4，BC ＝3，则△ABC 的内切圆半径r ＝________． 12．一个扇形的圆心角是120°，它的半径是3 cm ，则扇形的弧长为________ cm.13．如图9，⊙M 与x 轴相切于原点，平行于y 轴的直线交⊙M 于P ，Q 两点，点P 在点Q 的下方．若点P 的坐标是(2，1)，则圆心M 的坐标是________．图914．若用圆心角为120°，半径为9的扇形围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面圆的直径是________．15．如图10所示，AB 是半圆O 的直径，E 是BC ︵的中点，OE 交弦BC 于点D .若BC ＝8 cm ，DE ＝2 cm ，则OD ＝________ cm.图10 图1116．如图11，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 的斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E .B ，E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为2π3，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题(共44分)17．(10分)如图12，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，G 是AC ︵上的一点，AG 与DC 的延长线交于点F .(1)若CD ＝8，BE ＝2，求⊙O 的半径； (2)求证：∠FGC ＝∠AGD .图1218．(10分)如图13，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以斜边AB 上的中线CD 为直径作⊙O ，分别与AC ，BC 交于点M ，N .(1)过点N 作⊙O 的切线NE 与AB 相交于点E ，求证：NE ⊥AB ；(2)连接MD，求证：MD＝NB.图1319．(12分)如图14，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA长为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM＝2∠A.(1)判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA＝4，∠BCM＝60°，求图中阴影部分的面积．图1420．(12分)如图15①所示，OA是⊙O的半径，D为OA上的一个动点，过点D作线段CD⊥OA交⊙O于点F，过点C作⊙O的切线BC，B为切点，连接AB，交CD于点E. (1)求证：CB＝CE；(2)如图②，当点D 运动到OA 的中点时，CD 刚好平分AB ︵，求证：△BCE 是等边三角形；(3)如图③，当点D 运动到与点O 重合时，若⊙O 的半径为2，且∠DCB ＝45°，求线段EF 的长．图11．D2．[解析] B 设圆锥的母线长为R ，π×R 2÷2＝18π，解得R ＝6，∴圆锥侧面展开图的弧长为6π，∴圆锥的底面圆半径是6π÷2π＝3.故选B. 3．D4．[解析] D 由圆的对称性，将圆沿OC 折叠，A ，B 两点重合，所以OC ⊥AB .连接OA ，由勾股定理求得AD ＝2 cm ，所以AB ＝4 cm.5．[解析] B ∵D 是弦AB 的中点，CD 经过圆心O ， ∴CD ⊥AB ，AC ︵＝BC ︵，故A ，D 正确；连接OB ， ∴∠AOD ＝∠BOD . ∵∠BOD ＝2∠C ，∴∠AOD ＝2∠BCD ，故C 正确；B 不一定正确．故选B. 6．D7．[解析] B 过点O 作OM ⊥EF 于点M ，延长MO 交BC 于点N ，连接OF ，如图． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝∠D ＝90°，∴四边形CDMN 是矩形， ∴MN ＝CD ＝4. 设OF ＝x ，则ON ＝OF ＝x ，∴OM ＝MN －ON ＝4－x ，MF ＝2，在Rt △OMF 中，OM 2＋MF 2＝OF 2，即(4－x )2＋22＝x 2，解得x ＝2.5. 故选B.8．A9．[答案] 2 7[解析] 连接OC，如图，由题意，得OE＝OA－AE＝4－1＝3，∴CE＝ED＝OC2－OE2＝7，∴CD＝2CE＝2 7.10．[答案] 36[解析] 连接BD，如图所示．∵∠ACD＝54°，∴∠ABD＝54°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝36°.11．[答案] 1[解析] 如图，设△ABC的内切圆与各边分别相切于点D，E，F，连接OD，OE，OF，则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC.设⊙O的半径为r，∴CD＝CE＝r.∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴BE＝BF＝3－r，AF＝AD＝4－r，∴4－r＋3－r＝5，∴r＝1，∴△ABC的内切圆的半径为1.12．[答案] 2π[解析] 根据题意，扇形的弧长为120π×3180＝2π.13．[答案] (0，2.5)[解析] 如图，连接MP ，过点P 作P A ⊥y 轴于点A ，设点M 的坐标是(0，b )，且b ＞0. ∵P A ⊥y 轴，∴∠P AM ＝90°， ∴AP 2＋AM 2＝MP 2， ∴22＋(b －1)2＝b 2，解得b ＝2.5.故答案是(0，2.5)． 14．[答案] 6[解析] 扇形的弧长l ＝120π×9180＝6π，所以圆锥底面圆的周长为6π，则圆锥底面圆的直径为6ππ＝6.15．[答案] 3[解析] 因为E 为BC ︵的中点，所以OE ⊥BC ，所以△OBD 为直角三角形．设OD ＝x cm ，则OB ＝OE ＝OD ＋DE ＝(x ＋2)cm. 在Rt △OBD 中，根据勾股定理，得 (x ＋2)2＝42＋x 2，解得x ＝3.故OD ＝3 cm. 16．[答案]3 32－23π[解析] 如图，连接BD ，BE ，BO ，EO . ∵B ，E 是半圆弧的三等分点， ∴∠EOA ＝∠EOB ＝∠BOD ＝60°，∴∠BAC ＝∠EBA ＝∠BAD ＝30°，∴BE ∥AD . ∵BE ︵的长为23π，∴60π×R 180＝23π，解得R ＝2，易得AB ＝2 3，∴BC ＝12AB ＝3，∴AC ＝AB 2－BC 2＝（2 3）2－（3）2＝3， ∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝12×3×3＝3 32.∵△BOE 和△ABE 同底等高， ∴△BOE 和△ABE 面积相等，∴图中阴影部分的面积为S △ABC －S 扇形BOE ＝3 32－60π×22360＝3 32－23π.故答案为3 32－23π.17．解：(1)如图，连接OC .设⊙O 的半径为R . ∵CD ⊥AB ， ∴DE ＝EC ＝4.在Rt △OEC 中， ∵OC 2＝OE 2＋EC 2， ∴R 2＝(R －2)2＋42，解得R ＝5.(2)证明：连接AD ， ∵CD ⊥AB ， ∴AD ︵＝AC ︵， ∴∠ADC ＝∠AGD .∵四边形ADCG 是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD.18．证明：(1)连接ON，如图．∵CD为斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝DB，∴∠1＝∠B.∵OC＝ON，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠B，∴ON∥DB.∵NE为⊙O的切线，∴ON⊥NE，∴NE⊥AB.(2)连接DN，如图．∵CD为⊙O的直径，∴∠CMD＝∠CND＝90°.而∠MCB＝90°，∴四边形CMDN为矩形，∴MD＝CN.∵DN⊥BC，∠1＝∠B，∴CN＝NB，∴MD＝NB.19．解：(1)MN是⊙O的切线．理由：如图，连接OC.∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠BOC＝∠A＋∠OCA＝2∠A.又∵∠BCM ＝2∠A ，∴∠BCM ＝∠BOC . ∵∠B ＝90°，∴∠BOC ＋∠BCO ＝90°， ∴∠BCM ＋∠BCO ＝90°，即∠OCM ＝90°， ∴OC ⊥MN ，∴MN 是⊙O 的切线． (2)由(1)可知∠BOC ＝∠BCM ＝60°， ∴∠AOC ＝120°.在Rt △BCO 中，OC ＝OA ＝4，∠BCO ＝90°－60°＝30°，∴BO ＝12OC ＝2，BC ＝23，∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △OAC ＝120π×42360－12×4×2 3＝16π3－4 3.∴图中阴影部分的面积为163π－4 3.20．解：(1)证明：在图①中，连接OB . ∵CB 为⊙O 的切线，切点为B ，∴OB ⊥BC ，∴∠OBC ＝90°. ∵OA ＝OB ， ∴∠DAE ＝∠OBA .∵∠DAE ＋∠DEA ＝90°，∠OBA ＋∠CBE ＝90°， ∴∠DEA ＝∠CBE . ∵∠CEB ＝∠DEA ，∴∠CEB ＝∠CBE ，∴CB ＝CE . (2)证明：在图②中，连接OF ，OB . 在Rt △ODF 中，OF ＝OA ＝2OD ，∴∠OFD ＝30°，∴∠DOF ＝60°. ∵CD 平分AB ︵，∴∠AOB ＝2∠AOF ＝120°，∴∠C ＝360°－∠ODC －∠OBC －∠AOB ＝60°. ∵CB ＝CE ，∴△BCE 是等边三角形． (3)在图③中，连接OB ，∴∠OBC ＝90°. 又∵∠DCB ＝45°，∴△OBC 为等腰直角三角形， ∴BC ＝OB ＝2，OC ＝2 2. 又∵CB ＝CE ，∴OE ＝OC －CE ＝OC －BC ＝2 2－2， ∴EF ＝DF －OE ＝2－(2 2－2)＝4－2 2.人教新版九年级上学期第24章《圆》单元测试卷（含详解）一．选择题1．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补其中错误的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．70°3．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（）A．5cm或11cm B．2.5cmC．5.5cm D．2.5cm或5.5cm4．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO ＝（）A．90°B．110°C． 120°D．165°5．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）A．πB． +C．D． +6．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值为（）A．1 B．C．D．7．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）A． cm B．3cm C． cm D．2cm8．如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB ＝4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．9．如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°10．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°11．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB＝3，则的弧长为（）A．B．πC．D．312．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（）A．4 B．2C．4D．值不确定二．填空题13．把一个半径为12，圆心角为150°的扇形围成一个圆锥（按缝处不重叠），那么这个圆锥的高是．14．（1）已知一个直角三角形的面积为12cm2，周长为12cm，那么这个直角三角形外接圆的半径是cm，内切圆半径是cm．（2）等边△ABC的边长为10cm，则它的外接圆的半径是cm，内切圆半径是cm．15．在圆内接四边形ABCD中，弦AB＝AD，AC＝2016，∠ACD＝60°，则四边形ABCD的面积为．16．已知⊙O的半径为1cm，弦AB＝cm，AC＝cm，则∠BAC＝．17．如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD 上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为．三．解答题18．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝30°．（1）求∠B的度数；（2）若PC＝2，求BC的长．19．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D 作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为2，CF＝1，求的长（结果保留π）．20．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．21．某隧道施工单位准备在双向道路中间全程增加一个宽为1米的隔离带，已知隧道截面是一个半径为4米的半圆形，点O是其圆心，AE是隔离带截面，问一辆高3米，宽1.9米的卡车ABCD能通过这个隧道吗？请说明理由．22．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2．（1）求直径AB的长；（2）求阴影部分图形的周长和面积．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．（1）求证：BE∥AF；（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．25．如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是直径，D在⊙O上，且AC平分∠BCD，AE∥BC，交CD于E，F在CD的延长线上，且AE＝EF．连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）连接BF交AE于G，若AB＝12，AE＝13，求AG的长．参考答案一．选择题1．解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；④圆内接四边形对角互补；正确；故选：C．2．解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝40°，∵∠BOC与∠BDC都对，∴∠D＝∠BOC＝20°，故选：A．3．解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是5.5cm；当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．故选：D．4．解：∵OA＝OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO，∠OBC＝∠OCB，∵∠ABC＝65°＝∠ABO+∠OBC，∴∠BAO+∠BCO＝65°，∵∠ADC＝65°，∴∠DAO+∠DCO＝360°﹣（∠ADC+∠BAO+∠BCO+∠ABC）＝360°﹣（65°+65°+65°）＝165°，故选：D．5．解：∵AB为直径，∴∠ACB ＝90°，∵AC ＝BC ＝，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴OC ⊥AB ，∴△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形，∴S △AOC ＝S △BOC ，OA ＝，∴S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝＝π．故选：A ． 6．解：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1＝30°（如图），∴a ＝2cos ∠1＝，∴a ＝2．故选：D ．7．解：∵PA 为⊙O 的切线，A 为切点，∴∠PAO ＝90°，在直角△APO 中，OA ＝＝2，∵AB ⊥OP ，∴AD ＝BD ，∠ADO ＝90°，∴∠ADO ＝∠PAO ＝90°，∵∠AOP ＝∠DOA ，∴△APO ∽△DAO ，∴＝，即＝，解得：AD ＝3（cm ），∴BD ＝3cm ．故选：B ．8．解：如图，取AB 的中点O ，连接AF ，OF ．∵AB 是直径，∴∠AFB ＝90°，∴AF ⊥BF ，∵CF ＝BF ，∴AC ＝AB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，易证△CEF ≌△BOF ，∴S 阴＝S 扇形OBF ＝＝，故选：D ．9．解：连接AC ，如图，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∵∠ACB ＝∠ADB ＝70°，∴∠ABC ＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．故选：A ．10．解：连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝20°，∴∠DBC＝70°，∵∠AOC＝90°，∴∠ODA＝∠BDC＝70°，∴∠OCB＝40°，故选：C．11．解：∵四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD，∵AB＝BE＝CD＝3，∴AB＝BE＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠B＝60°，∴的弧长为＝π，故选：B．12．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：∵DG与⊙O相切，∴∠GDA＝∠ABD．∵∠ADG＝30°，∴∠ABD＝30°．∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD＝OA＝4．同理可得：BC＝4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴＝，＝．∴+＝+＝1．∴+＝1．∴PE+PF＝4．∴当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF＝4．故选：A．二．填空题（共5小题）13．解：设这个圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝5，所以圆锥的高＝＝．故答案为．14．解：（1）如果设这个直角三角形的直角边是a，b，斜边是c，那么由题意得：S＝ab＝12，a+b+c＝12，△∴ab＝24，a+b＝12﹣c，根据勾股定理得a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2，（12﹣c）2﹣48＝c2，解得c＝，所以直角三角形外接圆的半径是cm；设内切圆的半径是r，则×12r＝12，解得：r＝cm．故答案是：，；（2）连接OC和OD，如图：由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点所以OD⊥BC，∠OCD＝30°，OD即为圆的半径．又由BC＝10cm，则CD＝5cm在直角三角形OCD中：＝tan30°代入解得：OD＝CD＝，则CO＝×10＝；故答案为：，．15．解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．∵∠ADF+∠ABC＝180（圆的内接四边形对角之和为180），∠ABE+∠ABC＝180，∴∠ADF＝∠ABE．∵∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠AEB＝∠AFD，∴△AEB≌△AFD，∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF．又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）．∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，∴∠CAF ＝30°，∴CF ＝1008，AF ＝，∴四边形ABCD 的面积＝2S △ACF ＝2×CF ×AF ＝88144．故答案为：88144．16．解：当圆心O 在弦AC 与AB 之间时，如图（1）所示，过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，连接OA ，由垂径定理得到：D 为AB 中点，E 为AC 中点，∴AE ＝AC ＝cm ，AD ＝AB ＝cm ，∴cos ∠CAO ＝，cos ∠BAO ＝＝， ∴∠CAO ＝45°，∠BAO ＝30°，此时∠BAC ＝∠CAO +∠BAO ＝45°+30°＝75°；当圆心在弦AC 与AB 一侧时，如图（2）所示，同理得：∠BAC ＝∠CAO ﹣∠BAO ＝45°﹣30°＝15°，综上，∠BAC ＝15°或75°．故答案为：15°或75°．17．解：作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B ，交CD 于点P ，则PA +PB 最小，连接OA ′，AA ′．∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，PA＝PA′，∵点B是弧AD的中点，∴∠BOD＝30°，∴∠A′OB＝∠A′OD+∠BOD＝90°，又∵OA＝OA′＝3，∴A′B＝．∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝3．故答案为：3．三．解答题（共8小题）18．解：（1）∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴∠P＝30°，∴∠POA＝60°，∴∠B＝∠POA＝×60°＝30°，（2）如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°且∠B＝30°，∴BC＝AC，设OA＝OB＝OC＝x，在Rt△AOP中，∠P＝30°，∴PO＝2OA，∴2+x＝2x，x＝2．即OA＝OB＝2．又在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AC＝AB＝×4＝2，∴BC＝tan60°•AC＝AC＝2．19．（1）证明：连接OD，如图所示．∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°．∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC．（2）解：连接BE，∵AB是直径，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴＝＝，∵FC＝1，∴EC＝2，∵OD＝AC＝2，∴AC＝4，∴AE＝EC＝2，∴AB＝BC，∵AB＝AC＝4，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠BAC＝60°，∴的长：＝．20．（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∠ADF，∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，∴DI＝6，∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．21．解：如图所示：连接OC，∵OA＝AE＝0.5m，∴OB＝1.9+0.5＝2.4m，∴BC＝＝＝3.2＞3m ∴一辆高3米，宽1.9米的卡车能通过隧道．22．（1）证明：连接OE，∵AC＝EC，OA＝OE，∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，∵AC⊥AB，∴∠CAD＝90°，∴∠CAE+∠EAO＝90°，∴∠CEA+∠AEO＝90°，即∠CEO＝90°，∴OE⊥CD，∴CE为⊙O的切线；（2）解：∵∠OAF＝30°，OF＝1∴AO＝2；∴AF＝即AE＝；∴；∵∠AOE＝120°，AO＝2；∴；＝．∴S阴影23．解：（1）设CD交AB于E．∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵CD⊥AB，CD＝2，∴CE＝ED＝，∴OC＝EC÷os30°＝2，∴AB＝2OC＝4．（2）连接BC，OD，∵∠CBO＝∠BOD＝60°，∴BC∥OD，∴S△BCD ＝S△BCO，∴S阴＝S扇形OBC＝＝π，阴影部分的周长＝2+2+＝2+2+π．24．（1）证明：∵AH＝AC，AF平分线∠CAH∴∠HAF＝∠CAF，AF⊥EC，∴∠HAF+∠ACH＝90°∵∠ACB＝90°，即∠BCE+∠ACH＝90°，∴∠HAF＝∠BCE，∵E为的中点，∴，∴∠EBD＝∠BCE，∴∠HAF＝∠E BD，∴BE∥AF；（2）解：连接OH、CD．∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵AH＝AC＝6∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，∵∠EBH＝∠ECB，∠BEH＝∠CEB∴△EBH∽△ECB，∴，EB＝2EH，由勾股定理得BE2+EH2＝BH2，即（2EH）2+EH2＝42，∴EH＝．25．证明：（1）∵AC平分∠BCD∴∠ACB＝∠ACD，∵AE∥BC∴∠ACB＝∠CAE＝∠ACD∴AE＝CE，且AE＝EF∴AE＝CE＝EF∴△CAF是直角三角形∴∠CAF＝90°∴AF是⊙O的切线（2）连接AD，∵AC是直径∴∠ABC＝90°＝∠ADC∵∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∠ABC＝∠ADC＝90°∴△ABC≌△ADC（AAS）∴AB＝AD＝12，BC＝CD在Rt△AED中，DE＝＝5∵AE＝CE＝EF＝13∴CF＝2EF，CD＝BC＝CE+DE＝18，∵AE∥BC∴＝∴EG＝9∴AG＝AE﹣EG＝13﹣9＝4人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(8)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1. 下列说法错误的是( C )A. 半圆是弧B. 半径相等的圆是等圆C. 过圆心的线段是直径D. 直径是弦2. 如图24－1，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( B )A. 25°B. 50°C. 60°D. 80°图24－1 图24－2 图24－33. 如图24－2，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B＝50°，则∠A的度数为( C )A. 80°B. 60°C. 40°D. 50°4. 如图24－3，四边形ABCD为圆内接四边形，∠A＝85°，∠B ＝105°，则∠C的度数为( C )A. 115°B. 75°C. 95°D. 无法确定5. 一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为( A )A. 6 cmB. 12 cmC. 2 cmD. 6 cm6. 已知⊙O的直径为12 cm，圆心到直线l的距离5 cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为( A )A . 2个B . 1个C . 0个D . 不确定7. 如图24－4，AC 是⊙O 的直径，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，若∠BAC ＝44°，则∠AOD 等于( D )A. 22°B. 44°C. 66°D. 88°图24－4 图24－5 图24－6图24－78. 如图24－5，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点H ，∠AOC ＝60°，OH ＝1，则⊙O 的半径为( B )A . 3B . 2C . 3D . 49. 如图24－6，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别交⊙O 于C ，D 两点，已知⌒AB ，错误!的度数别为88°，32°，则∠P 的度数为( B )A . 26°B . 28°C . 30°D . 32°10. 如图24－7，在 ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝60°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是( A )A. 3 3－2π3B. 3 3－π3C. 4 3－2π3D. 4 3－π3二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)11. 已知点P与⊙O在同一平面内，⊙O的半径为4 cm，OP＝5 cm，则点P与⊙O的位置关系为点P在⊙O外.12. 一个正n边形的中心角等于18°，那么n＝20 .13. 如图24－8，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝35°，则∠COD ＝35° .图24－8 图24－9 图24－1014. 如图24－9，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交.15. 已知如图24－10，PA，PB切⊙O于A，B两点，MN切⊙O 于点C，交PB于点N.若PA＝7.5 cm，则△PMN的周长是15 cm.16. 圆锥的底面半径是4 cm，母线长是5 cm，则圆锥的侧面积等于20πcm2.三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)17. 如图24－11，点A，B，C，D，E，F分别在⊙O上，AC＝BD，CE＝DF，连接AE，BF.△ACE与△BDF全等吗？为什么？图24－11解：△ACE 与△BDF 全等.理由如下.∵AC ＝BD ，CE ＝DF ，∴错误!=错误!, 错误!=错误!, 错误!=错误!.∴AE ＝BF.在△ACE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===,,,BF AE DF CE BD AC ∴△ACE ≌△BDF(SSS).18. 如图24－12，在⊙O 中，弦AB 与弦AC 相等，AD 是⊙O 的直径. 求证：BD ＝CD .图24－12证明：∵AB ＝AC ，∴⌒AB ＝错误!. ∴∠ADB ＝∠ADC.∵AD 是⊙O 的直径，∴∠B ＝∠C ＝90°.∴∠BAD ＝∠DAC. ∴错误!＝错误!. ∴BD ＝CD.19. 如图24－13，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为点D，AB＝12，CD＝2. 求⊙O的半径长.图24－13解：如答图24－1，连接AO.∵半径OC⊥弦AB，∴AD＝BD.∵AB＝12，答图24－1∴AD＝BD＝6.设⊙O的半径为R，∵CD＝2，∴OD＝R－2.在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，即R2＝(R－2)2＋62.∴R＝10.∴⊙O 的半径长为10.四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分) 20.图24－14如图24－14，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，若AB ＝10，求BD 的长.解：如答图24－2，连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°.答图24－2∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠DCA ＝∠BCD.∴错误!＝错误!. ∴AD ＝BD.∴在Rt △ABD 中，AD ＝BD ＝22AB ＝22×10＝5 2.21.图24－15如图24－15，已知⊙O 的周长等于6π cm ，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的边心距OP 的长.解：如答图24－3，连接OB ，OC. 设正六边形的边长为R ，则⊙O 的半径为R.由题意，得2πR ＝6π.∴R ＝3(cm ).则∠POC ＝360°6×12＝30°，PC ＝12OC ＝32(cm).答图24－3在Rt △OPC 中，边心距OP ＝OC 2－PC 2＝3 32(cm).22. 如图24－16，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 和AC 相切于点P . 求证：BP 平分∠ABC .图24－16证明：如答图24－4，连接OP.∵AC是⊙O的切线，∴OP⊥AC.又∵BC⊥AC，∴OP∥BC.∴∠OPB＝∠PBC.∵OP＝OB，答图24－4∴∠OPB＝∠OBP.∴∠PBC＝∠OBP.∴BP平分∠ABC.五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23. 如图24－17，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8 cm，P是直径AB上的任意一点.(1)求错误!的长；(2)求阴影部分的面积.图24－17解：(1)如答图24－5，连接OC ，OD.依题意，得∠COD ＝180°3＝60°.又∵OC ＝OD ，∴△COD 是等边三角形.∴OC ＝OD ＝8 cm .∴错误!的长为错误!＝错误!π(cm).答图24－5(2)∵∠OCD ＝∠POC ＝60°，∴CD ∥AB.∴S △PCD ＝S △OCD .∴S 阴影＝S 扇形COD ＝60π×82360＝323π(cm 2).24. 如图24－18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O 在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若CD＝1，求图中阴影部分的面积.(结果保留π)图24－18(1)证明：连接DE，OD，如答图24－6.∵BC与⊙O相切于点D，∴∠ODB＝90°.∵AC⊥BC，∴∠ACD＝90°.∴OD∥AC.∴∠ODA＝∠CAD.又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∴∠OAD＝∠CAD.∴AD平分∠BAC.答图24－6(2)解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵BC 与⊙O 相切于点D ，∴∠ODB ＝90°. ∴∠BOD ＝45°.∴OD ＝BD.设BD ＝x ，则OD ＝OA ＝x ，OB ＝2x ，∴BC ＝AC ＝x ＋1.∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴2(x ＋1)2＝(2x ＋x)2.解得x ＝ 2. ∴BD ＝OD ＝ 2.∴图中阴影部分的面积＝S △BOD －S 扇形DOE ＝12×2×2－45·π(2)2360＝1－π4.25. 如图24－19，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心作圆，⊙O 经过A ，C 两点且与BC 边交于点E ，点D 为错误!的中点，连接AD 交线段EO 于点F ，若AB ＝BF .(1)求证：AB 是⊙O 的切线；图24－19 (2)若CF ＝4，DF ＝10，求⊙O 的半径r.(1)证明：如答图24－7，连接OA ，OD.∵点D 为错误!的中点，∴OD ⊥BC.∴∠EOD ＝90°.∵AB ＝BF ，OA ＝OD ，∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠D.而∠BFA＝∠OFD，∠OFD＋∠D＝90°，答图24－7∴∠OAD＋∠BAF＝∠D＋∠BFA＝90°，即∠OAB＝90°.∴OA⊥AB. ∴AB是⊙O的切线.(2)解：∵OF＝CF－OC＝4－r，OD＝r，DF＝10，在Rt△DOF中，OD2＋OF2＝DF2，即r2＋(4－r)2＝(10)2. 解得r1＝3，r2＝1(不符题意，舍去). ∴半径r＝3。

第二十四章圆单元测试题

第二十四章圆单元测试题一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥的底面圆的直径是80cm ，则这块扇形铁皮的半径是（）A ．24cmB ．48cmC ．96cmD ．192cm2．一元钱硬币的直径约为24mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A ．12mmB ．123mmC ．6mmD ．63mm3．如图，直线AB ，AD 与⊙O 分别相切于点B ，D ，C 为⊙O 上一点，且∠BCD ＝140°，则∠A 的度数是（）A ．70°B ．105°C ．100°D ．110°第3题图第4题图第5题图4．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD .若∠A ＝30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A.4π3－ 3B.4π3－2 3 C ．π－ 3 D.2π3－ 3 5．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，连接AC ，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是（）A.52B. 5C.52D ．2 2 6．已知⊙O 的半径是4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是（）A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．不能确定7．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是（）A ．AC ＝AB B ．∠C ＝12∠BOD C ．∠C ＝∠B D ．∠A ＝∠BOD第7题图第8题图第10题图8．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．59．下列说法正确的是（）A ．平分弦的直径垂直于弦B ．半圆(或直径)所对的圆周角是直角C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．若两个圆有公共点，则这两个圆相交10．如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E .若∠AOB ＝3∠ADB ，则（）A ．DE ＝EB B.2DE ＝EBC.3DE ＝DO D ．DE ＝OB二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，OA ，OB 是⊙O 的半径，点C 在⊙O 上，连接AC ，BC ，若∠AOB ＝120°，则∠ACB ＝________°.第11题图第12题图第13题图12．如图，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线，交⊙O 的直径AB 的延长线于点D .若∠D ＝40°，则∠A 的度数为_______.13．如图，两同心圆的大圆半径长为5cm ，小圆半径长为3cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，切点为C ，则弦AB 的长是_________.14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，直径AD ＝4，∠ABC ＝∠DAC ，则AC 的长为_______.第14题图第15题图第16题图15．一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为__________.16．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)．则所得扇形AFB (阴影部分)的面积为__________.17．如图，圆O 的直径AB 为13cm ，弦AC 为5cm ，∠ACB 的平分线交圆O 于点D ，则CD 的长是____________cm.第17题图第18题图 18．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝8，E 是边AB 上一点，且AE ＝14AB .⊙O 经过点E ，与边CD 所在直线相切于点G (∠GEB 为锐角)，与边AB 所在直线交于另一点F ，且EG ∶EF ＝5∶2.当边AD 或BC 所在的直线与⊙O 相切时，AB 的长是______.三、解答题(共66分)19．(8分)如图，已知⊙O 中直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，OD ＝30cm.求直径AB 的长．20.(8分)如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的两点，且OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E .(1)若∠B ＝70°，求∠CAD 的度数；(2)若AB ＝4，AC ＝3，求DE 的长．21．(8分)如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连接BD ，∠BAD ＝105°，∠DBC ＝75°.(1)求证：BD ＝CD ；(2)若圆O 的半径为3，求BC ︵的长．22．(10分)如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠ACD ＝120°.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．23．(10分)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在圆上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，分别交OA 的延长线与OC 的延长线于点E ，F ，连接BF .(1)求证：BF 是⊙O 的切线；(2)已知⊙O 的半径为1，求EF 的长．24．(10分)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8.(1)利用尺规，作∠CAB 的平分线，交⊙O 于点D (保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下，连接CD ，OD .若AC ＝CD ，求∠B 的度数；(3)在(2)的条件下，OD 交BC 于点E ，求由线段ED ，BE ，BD ︵所围成区域的面积(其中BD ︵表示劣弧，结果保留π和根号)．25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，O (0，0)，A (0，－6)，B (8，0)三点在⊙P 上．(1)求⊙P 的半径及圆心P 的坐标；(2)M 为劣弧OB ︵的中点，求证：AM 是∠OAB 的平分线；(3)连接BM 并延长交y 轴于点N ，求N ，M 点的坐标．。

人教版九年级数学上册第二十四章圆单元同步测试题

人教版九年级数学上册第二十四章圆单元同步测试题一、选择题1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1B．+C．2+1D．2﹣3．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：24．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到Rt △AB′C′，点B'在直线AC上，若BC＝1，则点C和△AB'C′外心之间的距离是（）A．1B．﹣1C．2﹣D．5．如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形CFGHMN，若AB＝，则EG的长为（）A．2B．2C．3D．26．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠QOB的度数是（）A．30°B．20°C．18°D．15°7．如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为（）A．2B．2C．2D．38．如图，A、B、C是⊙O上顺次3点，若AC、AB、BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n＝（）A．9B．10C．12D．159．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（）A．18°B．30°C．36°D．40°10．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（）A．65°B．60°C．58°D．50°二、填空题11．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是_______12．如图，AB为⊙O的切线，AC为弦，连接CB交⊙O于点D，若CB经过圆心O，∠ACB ＝28°，则∠B的度数为_______13．如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，则EF的最大值是____14．如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为____15．如图，PQ、PB、QC是⊙O的切线，切点分别为A、B、C，点D在上，若∠D＝100°，则∠P与∠Q的度数之和是____16．如图，⊙O的直径AB＝2，弦BC＝，点D在优弧上，则∠CDB的度数是____三．解答题17．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．（1）求AP的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．19．如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM＝，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．（1）当AB＝4时，求四边形ADBC的面积；（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．20．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．21．如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交AD于E，且与CD相切．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝4，BE＝6，求⊙O的半径长．22．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是弧BD的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知CD＝4，CA＝6，求AF的长．23．如图，以▱ABCD的边BC为直径的⊙O交对角线AC于点E，交CD于点F．连结BF．过点E作EG⊥CD于点G，EG是⊙O的切线．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的长．24．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．25．如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M．（1）求证：PM是⊙O的切线；（2）若，求的值．参考答案一、选择题1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：连接OA、OB、OD，OC，∵∠BDC＝60°，∴∠BOC＝2∠BDC＝120°，∵AB＝DC，∴∠AOB＝∠DOC，∵A为的中点，∴＝，∴∠AOB＝∠AOD，∴∠AOB＝∠AOD＝∠DOC＝×（360°﹣∠BOC）＝80°，∴∠ADB＝AOB＝40°，故选：A．2．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1B．+C．2+1D．2﹣【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；故选：B．3．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：2【解答】解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：则AH＝BH＝AB，∵等边三角形ABC和正方形ADEF，都内接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，∵OA＝OD＝OB，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，∴AD＝OA，AH＝OA•sin60°＝OA，∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，∴＝＝，故选：B．4．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到Rt △AB′C′，点B'在直线AC上，若BC＝1，则点C和△AB'C′外心之间的距离是（）【解答】解：∵将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到Rt△AB′C′，点B'在直线AC上，∴∠C′AB′＝∠B′AB＝30°，∵BC＝1，∴AB＝AB′＝2，∴AC＝＝，设△AB'C′外心为点O，∠C′＝90°，∴外心O在斜边AB′的中点，∴AO＝AB′＝1，∴OC＝﹣1，故选：B．5．如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形CFGHMN，若AB＝，则EG的长为（）【解答】解：延长DE交AG于T．由题意FG＝2EF，∠EFC＝∠EFT＝60°，∵∠DEF＝120°，∴∠EFT＝60°，∴∠EFT＝∠FET＝∠ETF＝60°，∴EF＝FT＝ET，∴TG＝TF＝ET，∴∠FEG＝90°，∵AB＝AF＝EF＝，∴EG＝EF•tan60°＝3，故选：C．6．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠QOB的度数是（）A．30°B．20°C．18°D．15°【解答】解：连接OA．∵△PQR是等边三角形，∴＝，∴OP⊥QR，∵AD∥CB∥QR，∴OP⊥AD，∴＝，∴∠AOP＝45°，∵△PQR是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠POQ＝120°，∠AOB＝90°，∴∠AOQ＝120°﹣45°＝75°，∴∠BOQ＝∠AOB﹣∠AOQ＝90°﹣75°＝15°，故选：D．7．如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为（）A．2B．2C．2D．3【解答】解：如图，连接AD，P A，PD，OD．∵OC⊥AB，OA＝OB，∴P A＝PB，∠COB＝90°，∵＝2，∴∠DOB＝×90°＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABD＝60°∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB•sin∠ABD＝2，∵PB+PD＝P A+PD≥AD，∴PD+PB≥2，∴PD+PB的最小值为2，故选：A．8．如图，A、B、C是⊙O上顺次3点，若AC、AB、BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n＝（）A．9B．10C．12D．15【解答】解：如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，∴∠BCO＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，由题意30°＝，∴n＝12，故选：C．9．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（）A．18°B．30°C．36°D．40°【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∴∠EAC＝72°，∴∠AED+∠EAC＝180°，∴DE∥AF，∵AE＝AF＝DE，∴四边形AEDF是菱形，∴∠EDF＝∠EAF＝72°，∵∠EDC＝108°，∴∠FDC＝36°，故选：C．10．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（）A．65°B．60°C．58°D．50°【解答】解：如图，连接OE，OF．∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB＝∠OFB＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠EPF＝∠EOF＝60°，故选：B．二、填空题11．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是_______【解答】解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴，，∠BAE＝108°，∴，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，12．如图，AB为⊙O的切线，AC为弦，连接CB交⊙O于点D，若CB经过圆心O，∠ACB ＝28°，则∠B的度数为_______【解答】解：如图，连结OA，∵∠ACB＝28°，∴∠AOB＝2∠ACB＝56°．又∵AB为⊙O的切线，OA是半径，∴OA⊥AB，即∠OAB＝90°．∴∠B＝90°﹣∠AOB＝34°．13．如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，则EF的最大值是（）【解答】解：如图，延长CF交⊙O于T，连接DT．∵AB是直径，AB⊥CT，∴CF＝FT，∵DE＝EC，∴EF＝DT，当DT是直径时，EF的值最大，最大值＝×8＝4，14．如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为（）【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵四边形OABC为平行四边形，∴OA＝BC，∵OA＝OB，∴OB＝BC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BOC＝45°，∴∠BDC＝BOC＝22.5°，15．如图，PQ、PB、QC是⊙O的切线，切点分别为A、B、C，点D在上，若∠D＝100°，则∠P与∠Q的度数之和是（）【解答】解：连接OA，OB，OC，AB，AC，∵∠D＝100°，∴∠BAC＝180°﹣∠D＝80°，∴∠BOC＝2∠BAC＝160°，∴∠AOB+∠AOC＝360°﹣160°＝200°，∵PQ、PB、QC是⊙O的切线，∴∠PBO＝∠P AO＝∠QAO＝∠QCO＝90°，∴∠P+∠Q＝2×360°﹣∠PBO﹣∠P AO﹣∠QAO﹣∠QCO﹣∠AOB﹣∠AOC＝720°﹣4×90°﹣200°＝160°，16．如图，⊙O的直径AB＝2，弦BC＝，点D在优弧上，则∠CDB的度数是（）【解答】解：如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∵AB＝2，弦BC＝，∴sin∠A＝＝．∴∠A＝60°．∴∠CDB＝∠A＝60°．三．解答题17．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．（1）求AP的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【解答】解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，∴△O′PB是等腰直角三角形，∴PB＝BO，∴AP＝AB﹣BP＝20﹣10；（2）阴影部分面积为：S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB＝×π×100+10×10×＝25π+50．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．【解答】解：（1）相切，理由如下：连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠CED＝90°．∴OD⊥DE．∴DE与⊙O相切．（2）由（1）知∠ADC＝90°，∴在Rt△ADC中，由勾股定理得AD＝＝4．∵S ACD＝AD•CD＝AC•DE，∴×4×3＝×5DE．∴DE＝．19．如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM＝，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．（1）当AB＝4时，求四边形ADBC的面积；（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．【解答】解：（1）作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，那么AB＝2＝4，∴OF＝，又∵OE2+OF2＝OM2＝5，∴OE＝0，∴CD＝6，∴S四边形ADBC＝AB×CD＝12；（2）设OE＝x，OF＝y，则x2+y2＝5，∵AB＝2，CD＝2，∴S四边形ADBC＝AB×CD＝2×＝2＝2，∴当x2＝时，四边形ADBC的最大面积是13．20．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．【解答】解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴∠DBC＝∠CAB，∴∠EDB＝∠EBD，而∠BDC＝90°，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O的面积：12π＝（AB）2π，则AB＝4，∠CAB＝30°，∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．21．如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交AD于E，且与CD相切．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝4，BE＝6，求⊙O的半径长．【解答】（1）证明：连接CO，延长CO交AB于H．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CH⊥AB，∴AH＝BH，∵CH⊥AB，∴CA＝CB．（2）解：连接EC、OB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴＝，∴＝，∴BC＝AC＝BE＝6，在Rt△BCH中，∵∠CHB＝90°，BH＝2，BC＝6，∴CH＝＝4，设OB＝r．在Rt△OBH中，r2＝22+（4﹣r）2，解得r＝．22．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是弧BD的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知CD＝4，CA＝6，求AF的长．【解答】（1）证明：连结AD，如图，∵E是的中点，∴∠DAB＝2∠EAB，∵∠ACB＝2∠EAB，∴∠ACB＝∠DAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∴∠DAC+∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）∵∠EAC+∠EAB＝90°，∠DAE+∠AFD＝90°，∠EAD＝∠EAB，∴∠EAC＝∠AFD，∴CF＝AC＝6，∴DF＝2，∵AD2＝AC2﹣CD2＝62﹣42＝20，∴23．如图，以▱ABCD的边BC为直径的⊙O交对角线AC于点E，交CD于点F．连结BF．过点E作EG⊥CD于点G，EG是⊙O的切线．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的长．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥EG，∵EG⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OE∥CD∥AB，∴∠CEO＝∠CAB，∵OC＝OE，∴∠CEO＝∠ECO，∴∠ACB＝∠CAB，∴AB＝BC，∴▱ABCD是菱形；（2）如图，连接BD，由（1）得，OE∥CD，OC＝OB，∴AE＝CE，∴CE：AC＝1：2，∴点E是AC的中点，∵四边形ABCD是菱形，∴BD经过点E，∵BC是⊙O的直径，∴BF⊥CD，∵EG⊥CD，∴EG∥BF，∴△DGE∽△DFB，∴DG：DF＝GE：BF＝DE：BD＝1：2，∴DF＝2，BF＝4，在Rt△BFC中，设CF＝x，则BC＝x+2，由勾股定理得，x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3，∴CF＝3．24．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．【解答】（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，∴S△AEM＝S△DMO，∴S阴影＝S扇形EOD＝＝π．25．如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M．（1）求证：PM是⊙O的切线；（2）若，求的值．【解答】（1）证明：连接OC，∵OC＝OB，BC⊥OP，∴∠COP＝∠BOP，∵OP＝OP，∴△PBO≌△PCO（SAS），∴∠OCP＝∠OBP，∵PB⊥AB，∴∠ABP＝90°，∴∠OCP＝90°，∴PM是⊙O的切线；（2）解：连接OC，∵∠OCP＝∠CDO＝90°，∴∠OCD＝∠CPO，∴△OCD∽△OPC，∴＝，∴OC2＝OD•OP，∵，∴设OD＝x，PD＝9x，∴OP＝10x，∴OC＝x，∴BC＝6x，∴AC＝＝2x，∵∠ACM+∠ACO＝∠OCD+∠ACO＝90°，∴∠ACM＝∠OCD，∴∠ACM＝∠CPO，∴AC∥OP，∴△ACM∽△OPM，∴＝＝，∴＝．。

人教版九年级上册数学第二十四章圆单元测试题(含多套试题)

第二十四章圆含多套试题一、选择题1.已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定2.下列说法正确的是( )A. 同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等B. 0°的圆心角所对的弦是直径C. 平分弦的直径垂直于这条弦D. 三点确定一个圆3.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙O上B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O 外D. 无法确定4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC的度数是( )A. 70°B. 60°C. 50°D. 30°5.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（）A. 16B. 10C. 8D. 66.过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为( )A. 3 cmB. 6cmC. 8cmD. 9 cm7.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°8.如图，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于（）A. 20°B. 30°C. 35°D. 70°9.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 6010.如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O与半圆P的半径的比为（）A. 5﹕3B. 4﹕1C. 3﹕1D. 2﹕111.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF 等于（）A. 80°B. 50°C. 40°D. 20°12.如图，已知扇形OBC，OAD的半径之间的关系是OB=OA，则弧BC的长是弧AD长的多少倍（）A. 倍B. 倍C. 2倍D. 4倍二、填空题13.在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为________cm．14.半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为________ cm2．15.若直线a与⊙O交于A，B两点，O到直线a的距离为6，AB=16，则⊙O的半径为________．16.如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以A为圆心，3cm•长为半径的圆与直线BC的位置关系是________．17.⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A的度数为________．18.已知正四边形的外接圆的半径为2，则正四边形的周长是 ________19.如图，AB是圆O的弦，若∠A=35°，则∠AOB的大小为________度．20.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，⊙O的半径为3，则BC的长为________．21.要在三角形广场ABC的三个角处各修一个半径为2m的扇形草坪，则三个扇形弧长的和为________22.如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，若图中阴影部分的面积是16π，则AB的长为________．三、解答题23.如图，在⊙O中，= ，OD= AO，OE= OB，求证：CD=CE．24.已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长．25.已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB=120°，AB=6，求BC的值．26.如图所示，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求圆中阴影部分的面积.27.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE ＝105°．（1）求∠CAD的度数；（2）若⊙O的半径为3，求弧BC的长.28.如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD；（1）求证：∠CDE=∠DOC=2∠B；（2）若BD：AB=：2，求⊙O的半径及DF的长．参考答案一、选择题1. A2.A3. C4. B5.A6. A7. C8. C9. A 10. D 11. D 12. B二、填空题13.4π14. π 15.10 16.相切17. 50°18.819.110 20.3 21.2π 22.8三、解答题23.证明：= ，∴∠AOC=∠BOC．∵AD=BE，OA=OB，∴OD=OB．在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD=CE24.解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，∴PA=PB=12，∵过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，∴EB=EQ，FQ=FA，∴△PEF的周长是：PE+EF+PF=PE+EQ+FQ+PF，=PE+EB+PF+FA=PB+PA=12+12=24，答：△PEF的周长是24．25.解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OP=OB，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C，∴OP∥AC，∵PD⊥AC，∴OP⊥PD，∴PD是⊙O的切线；（2）解：连结AP，如图，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴BP=CP，∵∠CAB=120°，∴∠BAP=60°，在RtBAP中，AB=6，∠B=30°，∴AP=AB=3，∴BP=AP=3，∴BC=2BP=6．26.（1）证明：连接OC，∵CA=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°，∴∠COD=2∠A=2×30°=60°，∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．∴S扇形OBC=．在Rt△OCD中，∵，∴．∴．∴图中阴影部分的面积为．27.（1）解：∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，∵D是弧的中点，∴，∴，∴∠ACB=2∠ACD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=∠EAD=105°∴∠ACB+∠ACD=105°，即3∠ACD=105°，∴∠CAD=∠ACD=35°（2）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠BAC=40°，连结OB，OC，则∠BOC=2∠BAC =80°，∴的长.28.（1）证明：∵直线CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∠CDO=90°，∴∠CDE+∠ODE=90°．又∵DF⊥AB，∴∠DEO=∠DEC=90°．∴∠COD+∠ODE=90°，∴∠CDE=∠COD．又∵∠EOD=2∠B，∴∠CDE=∠DOC=2∠B．（2）解：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵BD：AB=：2，∴在Rt△ADB中cosB==，∴∠B=30°．∴∠AOD=2∠B=60°．又∵∠CDO=90°，∴∠C=30°．在Rt△CDO中，CD=10，∴OD=10tan30°=，即⊙O的半径为．在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，∴DE=CDsin30°=5．∵DF⊥AB于点E，∴DE=EF=DF．∴DF=2DE=10．圆(A)卷一、填空题（每题3分,共33分）1、已知△ABC 中，∠C=90°,AC=4㎝，AB=5㎝，CD ⊥AB 于D ，以C 为圆心，3㎝为半径作⊙C ，则点A 在⊙C_______，点B 在⊙C_______，点D 在⊙C_________（填“上”或“内”或“外”）。

第24章圆单元测试卷(解析卷)

第24章圆单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，计30分）1．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为（）cm．A．2B．4C．8D．16解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm．故选：B．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（）A．10B．8C．5D．3解：连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，∴OC2＝PC2+OP2，即x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴⊙O的直径为10．故选：A．3．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（）A．B．C．D．解：连接OC．∵∠DOB＝120°，∴∠AOD＝60°，∵＝，∴∠DOC＝∠BOC＝60°，∴＝，∴OD⊥AC，设OA＝r，则OE＝r＝DE＝1，∴OA＝2，∴AE＝＝，故选：A．4．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．4解：扇形的弧长＝＝2π，故选：B．5．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD∥AC，如果∠BOD＝130°，那么∠B的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°解：∵∠BOD＝130°，∴∠AOD＝50°，又∵AC∥OD，∴∠A＝∠AOD＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°．故选：B．6．有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）弧的度数指弧所对圆周角的度数；（3）三角形的内心是三边中垂线交点，它到三角形各边的距离相等；（4）同圆或等圆中，弦相等则弦所对的弧相等．其中正确的个数有（）A．0B．1C．3D．2解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意；（2）弧的度数指弧所对圆心角的度数；故不符合题意；（3）三角形的内心是三角平分线交点，它到三角形各边的距离相等；故不符合题意；（4）同圆或等圆中，弦相等则弦所对的优弧或劣弧相等，故不符合题意；故选：A．7．圆柱底面半径为3cm，高为2cm，则它的体积为（）A．97πcm3B．18πcm3C．3πcm3D．18π2cm3解：圆柱的体积＝9π×2＝18π（cm3）．故选：B．8．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故选：D．9．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（）A．都大于B．都小于C．没有一个小于D．没有一个大于解：已知五个正数的和等于1，用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数都小于，故选：B．10．如图，正方形ABCD的边长为8．M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为（）A．3B．4C．3或4D．不确定解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，PB＝＝4．综上所述，BP的长为3或4．故选：C．二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，如果∠BAC＝60°，OD⊥弦BC于点D，那么OD 的长是1．解：∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠BDO＝90°，∠BOD＝∠COD＝BOC，∵由圆周角定理得：∠BAC＝BOC，∴∠BOD＝∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOD＝60°，∵∠BDO＝90°，∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB，∵OB＝2，∴OD＝1，故答案为：1．12．如图的齿轮有30个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于12度．解：相邻两齿间的圆心角α＝＝12°，故答案为：12．13．如图，AB是半圆O的直径，AB＝12，AC为弦，OD⊥AC于D，OE∥AC交半圆O于点E，EF ⊥AB于F，若BF＝3，则AC的长为6．解：AB是半圆O的直径，AB＝12，∴OB＝OA＝6，∵BF＝3，∴OF＝OB﹣BF＝3，∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO＝∠OFE＝90°，∵OE∥AC，∴∠DAO＝∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴AD＝OF＝3，∴AC＝2AD＝6；故答案为：6．14．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交丁点F、G，点M在FG上，则圆周角∠FMG的大小为度120°．解：在优弧FG上取一点T，连接TF，TG．∵ABCDEF是正六边形，∴∠AOE＝120°∵∠T＝∠FOG，∴∠T＝60°，∵∠FMG+∠T＝180°，∴∠FMG＝120°，故答案为120°．15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE交于点G，则劣弧的长为π．解：连接OG，DF，∵BC＝2，E为BC的中点，∴BE＝EC＝1，∵AB＝3，AF＝1，∴BF＝2，由勾股定理得，DF＝＝，EF＝＝，∴DF＝EF，在Rt△DAF和Rt△FBE中，，∴Rt△DAF≌Rt△FBE（HL）∴∠ADF＝∠BFE，∵∠ADF+∠AFD＝90°，∴∠BFE+∠AFD＝90°，即∠DFE＝90°，∵FD＝FE，∴∠FED＝45°，∵OG＝OE，∴∠GOE＝90°，∴劣弧的长＝＝π，故答案为：π．16．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的半径为2cm，则此时M、N两点间的距离是2 cm．解：根据题意得：EF＝BC，MN＝EF，把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段BC形成一半径为2cm的圆，线段BC 是圆的周长，BC＝EF＝2π×2＝4π，∴的长＝EF＝＝，∴n＝120°，即∠MON＝120°，∵OM＝ON，∴∠M＝30°，过O作OG⊥MN于G，∵OM＝2，∴OG＝1，MG＝，∴MN＝2MG＝2，故答案为：2．三．解答题（共10小题，计102分）17．（10分）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．证明：连接ME、MD，∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．18．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．解：连接OC，∵AB＝5cm，∴OC＝OA＝AB＝cm，Rt△CDO中，由勾股定理得：DO＝＝cm，∴AD＝﹣＝1cm，由勾股定理得：AC＝＝，则AD的长为1cm，AC的长为cm．19．（10分）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm。

【单元练】郑州外国语学校九年级数学上册第二十四章《圆》经典测试题(专题培优)

一、选择题1．如图，,AB AC 分别是O 的直径和弦，OD AC ⊥于点,D 连接,BD BC ．若10,8AB AC ==，则BD 的长是（）A ．25B ．4C ．213D ．245C 解析：C【分析】先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到CD=AD=12AC=4，然后利用勾股定理计算BD 的长．【详解】解：∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵OD ⊥AC ， ∴CD=AD=12AC=4，在Rt △CBD 中，222246213BD BC CD =+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．2．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，弦DE ⊥AB 于点C ，若OC ：OB ＝3：5，连接DO ，则DE 的长为（）A ．3B ．4C ．6D ．8D解析：D【分析】根据题意可求出OC 长度，再根据勾股定理求出CD 长度，最后根据垂径定理即可得到DE 长度．【详解】∵AB ＝10，∴OB =5OC ：OB ＝3：5，∴OC ＝3，在Rt OCD △ 中，2222534CD OD OC =-=-= ∵DE ⊥AB ，∴DE ＝2CD ＝8，故选：D ．【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理．掌握垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”是解题的关键．3．2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节LOGO ，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图ABC 内接于一个半径为5的半圆，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC ，AC 为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则ABC 的面积为（）A ．5πB ．7.5πC ．253πD ．10πB解析：B【分析】设AC=a ，BC=b ，由勾股定理可求得a 2+b 2=102，由三角形的面积公式和圆的面积公式分别求出空白部分图形面积和阴影部分图形面积，利用阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍可求得ab ，进而可求得△ABC 的面积．【详解】解：设AC=a ，BC=b ，由题意，AB=10，∴a 2+b 2=102，由图可知，空白部分面积为（25122ab π-），阴影部分面积= 22111251()()2222222a b ab ab πππ⨯+⨯⨯+-+= 22()2582a b ab ππ+-+ =1002582ab ππ-+ = ab ， ∵阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，∴ab =3（25122ab π-），解得：15ab π=，∴△ABC=12ab =7.5π，故选：B ．【点睛】本题考查了圆的面积公式、三角形的面积公式、勾股定理、解方程等知识，熟记面积公式，利用割补法和整体思想解决问题是解答的关键．4．如图，ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC 绕点B 顺时针旋转到A B C '''的位置，且点A '、C '仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是（）平方单位（结果保留）A ．254πB ．134πC ．132πD ．136πB 解析：B【分析】在Rt △ABC 中，由勾股定理求AB ，观察图形可知，线段AB 扫过的图形为扇形，旋转角为90°，根据扇形面积公式求解．【详解】解：在Rt △ABC 中，由勾股定理，得22223213AC BC +=+=由图形可知，线段AB 扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，∴线段AB 扫过的图形面积=229013n 13=3603604AB ⨯=πππ．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式的运用，关键是理解题意，明确线段AB 扫过的图形是90°的扇形，难度一般．5．如图，A ，B ，C 三点在O 上，若120ACB ∠=︒，则AOB ∠的度数是（）A ．60︒B ．90︒C ．100︒D ．120︒D解析：D【分析】在优弧AB 上取一点D ，连接AD 、BD ，根据圆内接四边形的性质计算可得∠D ，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：在优弧AB 上取一点D ，连接AD 、BD ，∵四边形ADBC 是⊙O 的内接四边形，∴∠D+∠ACB=180°，∵120ACB ∠=︒∴∠D=60°∴∠AOB=120°，故选：D ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．如图，在等边ABC 中，点O 在边AB 上，O 过点B 且分别与边AB BC 、相交于点D 、E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（）A ．若EF AC ⊥，则EF 是O 的切线B ．若EF 是O 的切线，则EF AC ⊥C．若32BE EC=，则AC是O的切线D．若BE EC=，则AC是O的切线D解析：D【分析】A、如图1，连接OE，根据同圆的半径相等得到OB=OE，根据等边三角形的性质得到∠BOE=∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A选项正确；B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH=32AO≠OB，于是得到C选项正确；由于C正确，D自然就错误了．【详解】解：A、如图，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、如图，∵3，∴CE=33BE，∵AB=BC ，BO=BE ，∴AO=CE=23OB ， ∴OH=3AO=OB ， ∴AC 是⊙O 的切线，∴C 选项正确．D 、∵∠B=60°，OB=OE ，∴BE=OB ，∵BE=CE ，∴BC=AB=2BO ，∴AO=OB ，如图，过O 作OH ⊥AC 于H ，∵∠BAC=60°，∴OH=32AO≠OB ， ∴D 选项错误；故选：D ．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 7．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，28CDB ∠=︒，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则E ∠等于（）A ．28︒B ．34︒C ．44︒D ．56︒B解析：B【分析】连接OC ，由CE 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OC 垂直于CE ，由OA=OC ，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE 的度数，即可求出∠E 的度数．【详解】解：连接OC ，∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，∴∠COE=90°，∵∠CDB与∠BAC都对BC，且∠CDB=28°，∴∠BAC=∠CDB=28°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=28°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=56°，则∠E=34°．故选：B．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．若∠=︒，则B的度数是（）50AA．50︒B．55︒C．60︒D．65︒D解析：D【分析】连接AC，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：连接AC，∵点C为BD的中点，∠BAD=25°，∴∠BAC=12∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=65°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．9．如图，半径为1cm的P在边长为9πcm，12πcm，15πcm的三角形外沿三遍滚动（没有滑动）一周，则圆P所扫过的面积为（）cm2A．73πB．75πC．76πD．77πA解析：A【分析】圆在三角形的三个角的顶点处旋转的路线是弧，通过观察可以发现圆转动时在三个角上共转动了圆心角360°，所以在三个顶点处转了一个圆的面积，在三个边上滚过的图形是以三角形边长为长，圆的直径为宽的矩形，然就分别计算，最后求和．【详解】解：根据运动特点可知三个顶点处转了一个圆的面积，在三个边上滚过的图形矩形∴圆P所扫过的面积=π+（9π+12π+15π）×2=73π故选：A【点睛】解答本题的关键是，找出圆滚动一周的图形，并将图形进行分割，拼组，化难为易，列式解答即可．10．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（）A．20°B．40°C．50°D．60°B解析：B【分析】由线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，根据垂径定理的即可求得=BC BD ，然后由圆周角定理，即可求得答案．【详解】解：∵线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∴=BC BD ，∵∠CAB =20°，∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．故选：B ．【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题11．如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是____________．【分析】连接DO 交AC 于点F 由垂径定理得F 是AC 中点再由中位线定理得接着证明得到DF=CB 就可以求出OF 的长就得到BC 的长最后用勾股定理求出AC 的长【详解】解：如图连接DO 交AC 于点F ∵D 是的中点∴ 解析：42【分析】连接DO ，交AC 于点F ，由垂径定理得F 是AC 中点，再由中位线定理得12OF BC =，接着证明()EFD ECB AAS ≅，得到DF=CB ，就可以求出OF 的长，就得到BC 的长，最后用勾股定理求出AC 的长．【详解】解：如图，连接DO ，交AC 于点F ，∵D 是AC 的中点，∴OD AC ⊥，AF CF =，∴90DFE ∠=︒，∵OA OB =，AF CF =， ∴12OF BC =， ∵AB 是直径， ∴90ACB ∠=︒，在EFD △和ECB 中，90DFE BCE DEF BECDE BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()EFD ECB AAS ≅，∴DF BC =，∴12OF DF =， ∵3OD =， ∴1OF =，∴2BC =，在Rt ABC 中，2242AC AB BC =-=．故答案是：42．【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理． 12．如图，已知O 是以数轴上原点O 为圆心，半径为2的圆，45AOB ∠=︒，点P 在x正半轴上运动，若过点P 与OA 平行的直线与O 有公共点，设P 点对应的数为x ，则x 的取值范围是______．【分析】根据题意知直线和圆有公共点则相切或相交相切时设切点为C 连接OC 根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径2求得斜边是2所以x 的取值范围是0＜x≤2【详解】解：设切点为C 连接OC 则圆的半径OC=2O解析：022x <≤【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C ，连接OC ．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径2，求得斜边是2x 的取值范围是0＜x≤22．【详解】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC=2，OC⊥PC，∵∠AOB=45°，OA//PC，∴∠OPC=45°，∴PC=OC=2，∴OP=2222+=22，所以x的取值范围是0＜x≤22，故答案为0＜x≤22．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．13．如图，点C，D是半圈O的三等分点，直径43AB=．连结AC交半径OD于E，则阴影部分的面积是_______．【分析】连接OC由点CD是半圆O的三等分点得到根据垂径定理得到OD⊥AC∠DOC=60°求得OE=CE=3根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：连接OC∵点CD是半圆O的三等分点∴∴OD解析：33 22π-【分析】连接OC，由点C，D是半圆O的三等分点，得到AD CD CB==，根据垂径定理得到OD⊥AC，∠DOC=60°，求得OE=3，CE=3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OC，∵点C，D是半圆O的三等分点，∴AD CD CB ==，∴OD ⊥AC ，∠DOC=60°，∴∠OCE=30°， ∵43AB =， ∴OC=23∴OE=3，CE=3，∴S 阴影=S 扇形COD -S △OCE =260(23)133********ππ⋅⋅-⨯=-．故答案为：3322π-．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．14．如图，A ，B ，P 是半径为2的O 上的三点，45APB ∠=︒，则弦AB 的长为______．【分析】首先连接OAOB 由圆周角定理即可求得∠AOB=90°又由OA=OB=2利用勾股定理即可求得弦AB 的长【详解】解：连接OAOB ∵∠APB=45°∴∠AOB=2∠APB=90°∵OA=OB=2∴解析：22【分析】首先连接OA ，OB ，由圆周角定理即可求得∠AOB=90°，又由OA=OB=2，利用勾股定理即可求得弦AB 的长．【详解】解：连接OA ，OB ，∵∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°，∵OA=OB=2，∴2222AB OA OB =+=．故答案为：22．【点睛】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．15．如图，⊙O 的半径为1，作两条互相垂直的直径AB 、CD ，弦AC 是⊙O 的内接正四边形的一条边．若以A 为圆心，以1为半径画弧，交⊙O 于点E ，F ，连接AE 、CE ，弦EC 是该圆内接正n 边形的一边，则该正n 边形的面积为____．3【分析】利用正多边形和圆的关系可知弦EC 是该圆内接正十二边形的一边所以∠EOC=30°然后计算出△EOC 的面积最后乘以12即为该多边形的面积【详解】解：如图所示连接EO 作EF ⊥CO 交CO 于点F 由题解析：3【分析】利用正多边形和圆的关系可知弦EC 是该圆内接正十二边形的一边，所以∠EOC=30°，然后计算出△EOC 的面积，最后乘以12即为该多边形的面积．【详解】解：如图所示，连接EO ，作EF ⊥CO 交CO 于点F由题意可得n =12∴∠EOC=30°∴EF=12EO=12∴S △EOC =1·2EF CO =11××122=14 ∴该正12边形的面积=12 S △EOC =3故答案为：3【点睛】本题主要考查圆的内接正多边形的性质及其应用，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．16．已知⊙O 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离为m ，若m 满足方程290x ，则⊙O 与直线l 的位置关系是________相切【分析】先解一元二次方程求出m 的值再根据圆与直线的位置关系即可得【详解】由得：是圆心O 到直线的距离又满足方程的半径为3与直线的位置关系是相切故答案为：相切【点睛】本题考查了解一元二次方程圆与直线解析：相切【分析】先解一元二次方程求出m 的值，再根据圆与直线的位置关系即可得．【详解】由290x 得：123,3x x ==-， m 是圆心O 到直线l 的距离，0m ∴≥，又m 满足方程290x ，3m ∴=， O 的半径为3，O ∴与直线l 的位置关系是相切，故答案为：相切．【点睛】本题考查了解一元二次方程、圆与直线的位置关系、点到直线的距离，熟练掌握圆与直线的位置关系是解题关键．17．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，已知2AB DE =，若COD ∆为直角三角形，则E ∠的度数为______︒．【分析】由于AB 是⊙O 的直径则AB ＝2DO 而AB ＝2DE 可得DO ＝DE 根据等腰三角形的性质得到∠DOE ＝∠E 又由于△COD 为直角三角形而OC ＝OD 所以△COD 为等腰直角三角形于是可得∠CDO ＝45° 解析：22.5︒【分析】由于AB 是⊙O 的直径，则AB ＝2DO ，而AB ＝2DE ，可得DO ＝DE ，根据等腰三角形的性质得到∠DOE ＝∠E ，又由于△COD 为直角三角形，而OC ＝OD ，所以△COD 为等腰直角三角形，于是可得∠CDO ＝45°，利用三角形外角性质有∠CDO ＝∠DOE ＋∠E ，则∠E ＝12∠CDO ＝22.5°．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∵AB ＝2DO ，而AB ＝2DE ，∴DO ＝DE ，∴∠DOE ＝∠E ，∵△COD 为直角三角形，而OC ＝OD ，∴△COD 为等腰直角三角形，∴∠CDO ＝45°，∵∠CDO ＝∠DOE ＋∠E ，∴∠E ＝12∠CDO ＝22.5°．故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了圆的认识：圆上任意两点的连线段叫圆的弦；过圆心的弦叫圆的直径；直径的长等于半径的2倍．也考查了等腰直角三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质． 18．小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是10cm ，弧长是12πcm 2，那么这个圆锥的高是________cm ．参考答案8【分析】设圆锥的底面半径为利用圆锥的侧面展开图为一个扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长圆的周长公式计算出然后利用勾股定理计算出圆锥的高【详解】解：设圆锥底面圆的半径为则有∴圆锥的高为故答案是：【解析：8【分析】设圆锥的底面半径为r ，利用圆锥的侧面展开图为一个扇形、这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长、圆的周长公式计算出r ，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ，则有，212r ππ=6r =∴8cm =．故答案是：8【点睛】本题考查了平面图形与立体图形之间的互相转化、求圆锥的底面半径、圆的周长公式以及勾股定理等相关知识，能够利用“扇形的弧长等于圆锥底面的周长”求得圆锥的底面半径是解题的关键．19．已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为_____．【分析】利用三角形三边分别为345可得三角形是直角三角形根据内切圆的性质可判定四边形OECE是正方形所以用r分别表示：CE＝CD＝rAE＝AN＝3−rBD＝BN ＝4−r；再利用AB作为相等关系求出r解析：5【分析】利用三角形三边分别为3、4、5，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形OECE是正方形，所以用r分别表示：CE＝CD＝r，AE＝AN＝3−r，BD＝BN＝4−r；再利用AB作为相等关系求出r＝1，则可得AN＝2，N为圆与AB的切点，M为AB的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心；在Rt△OMN中，先求得MN＝AM−AN＝12，由勾股定理可求得OM的长．【详解】解：∵三角形三边分别为3、4、5，∴32+42＝52，∴三角形是直角三角形，如图，设Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，∵∠C＝90°，∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝3﹣r，BD＝BN＝4﹣r，∴4﹣r+3﹣r＝5，解得r＝1，∴AN＝2，在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝12，∴OM55故答案为：5．【点睛】此题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．解决本题的关键是掌握直角三角形的外心与内心概念．20．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值________．a-b【分析】根据圆外一点到圆的最大距离是过圆心的直线与圆相交的最远的点到圆的最小距离是点与圆心的连线与圆相交的最近点求解即可【详解】解：空间站A与星球B飞船C在同一直线上时S取到最小值a-b故答案解析：a-b【分析】根据圆外一点到圆的最大距离是过圆心的直线与圆相交的最远的点，到圆的最小距离是点与圆心的连线与圆相交的最近点求解即可．【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值a-b．故答案为：a-b．【点睛】本题考查了圆外一点到圆的最大距离和最短距离，最大距离和最短距离都在过圆心的直线上．属于基础知识．三、解答题21．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD CE．（1）求证：BE＝CE；（2）若∠B＝50°，求∠AOC的度数．解析：（1）见解析；（2）20°【分析】（1）根据∠AOD=∠BOE 可知AD BE ，再由AD CE =即可得出结论；（2）先根据等腰三角形的性质求出∠BOE 的度数，再由BE=CE 可得出∠BOE=∠COE ，根据补角的定义即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵∠AOD=∠BOE ，∴AD BE ．∵AD CE =，∴BE CE =，∴BE=CE ；（2）∵∠B=50°，OB=OE ，∴∠BOE=180°-50°-50°=80°．∵由（1）知，BE=CE ，∴∠COE=∠BOE=80°，∴∠AOC=180°-80°-80°=20°．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解答此题的关键． 22．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交⊙O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若10AB =，6AD =，求DE 的长．解析：（1）见解析；（2）245【分析】（1）连接OD ，由BD 为角平分线得到OBD CBD ∠=∠，再由OB=OD ，利用等边对等角得到ODB OBD ∠=∠，从而得出ODB CBD ∠=∠，利用内错角相等两直线平行得到OD 与BE 平行，由DE 垂直于BE 得到OD 垂直于DE ，即可得证；（2）过D 作DH AB ⊥于H ，根据HL 得出△≌△Rt ADH Rt CDE ，得出AH CE =，再根据勾股定理得出22221068BD AB AD -=-=，再利用等积法即可得出DE 的长．【详解】（1）证明：连接OD ．∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠．∵BD 平分ABC ∠，∴OBD CBD ∠=∠．∴ODB CBD ∠=∠，∴//OD BE ．∴180BED ODE ∠+∠=︒．∵BE DE ⊥，∴90BED ∠=︒．∴90ODE ∠=︒．∴OD DE ⊥．∴DE 与O 相切；（2）过D 作DH AB ⊥于H ．∵BD 平分ABC ∠，DE BE ⊥，∴DH DE =．∵AD CD =，∴AD CD =．∴()Rt ADH Rt CDE HL △≌△，∴AH CE =．∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒． ∵10AB =，6AD =， ∴22221068BD AB AD -=-=． ∵1122AB DH AD BD ⋅=⋅，∴245DH =． ∴245DE =．【点睛】此题考查了切线的判定，角平分线的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键，属于中考常考题型．23．如图，AB 为O 的弦，,C D 是直线AB 上两点，且AC BD =，求证：C D ∠=∠．解析：见解析【分析】过O作OH⊥AB于H，则AH=BH；再根据线段的和差关系可得：CH=DH，即OH是CD的线段垂直平分线，所以OC=OD，继而即可求证结论．【详解】证明：如图过点O作OH⊥AB，于点H．∵AB为O的弦，∴AH＝BH又∵AC＝BD∴AC＋AH＝BD＋BH，即CH DH又OH⊥AB，∴OC＝OD，∴∠C＝∠D．【点睛】本题考查了垂径定理，解答本题的关键是作辅助线，利用垂径定理和线段垂直平分线的性质证明OC=OD．24．如图，AB是⊙O的弦，点C在AB上，点D是AB的中点．将AC沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为25，AB＝8．则AC的长是_______．解析：2【分析】延长BO交⊙O 于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．首先证明∠CAE=∠CAH=45°，推出∠BOC=90°，推出BC=210，设AH=CH=x ，则BH=8-x ，在Rt △BCH 中，根据222CH BH BC +=，构建方程求出x 即可解决问题【详解】解：如图，延长BO 交⊙O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⊥AB 于H ． ∵AD ＝DB ，∴OD ⊥AB ，∴∠ADO ＝90°，∵OA ＝25，AD ＝DB ＝4，∴OD ＝22OA AD -＝2，∵BE 是直径，∴∠BAE ＝90°，∵AD ＝DB ，EO ＝OB ，∴OD//AE ，AE ＝2OD ＝4，∴AE ＝AD ，∴AD AE =，∴EC CD =，∴∠CAE ＝∠CAH ＝45°，∴∠BOC ＝2∠CAB ＝90°，∴BC ＝2OC ＝210，∵CH ⊥AB ，∴∠CAH ＝∠ACH ＝45°，∴AH ＝CH ，设AH ＝CH ＝x ，则BH ＝8﹣x ，在Rt △BCH 中，∵222CH BH BC +=，∴()()2228210x x +-=， ∴x ＝6或2（舍弃），在Rt △ACH 中，∵AC ＝22AH CH +，∴AC ＝62．故答案为：62．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性比较强，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．25．如图，若O 是ABC 的外接圆，AD 为直径，60ABC ∠=︒．（1）求DAC ∠的度数；（2）若4=AD ，求阴影部分的面积．解析：（1）30°；（2）233π+ 【分析】连接DC,则有ABC ADC ∠=∠ 利用AD 是直径，得到90ACD ∠= ，便可求出DAC ∠．根据（1）的结论和已知，先求出AOC s、OCD S 扇形便可求出阴影部分面积．【详解】解：（1）连接DC 如图所示∵60ABC ∠=︒∴ABC ADC ∠=∠60=︒∵AD 是直径∴90ACD ∠=∴DAC ∠=30°（2）连接OC,作OE ⊥ AC,垂足为E∵4=AD∴AO=OD=OC=230OCA DAC ∴∠=∠=60DOC ∴∠=在Rt AOE 中OE=1、AE=3 ∴AC=23∴AOC s =12OE AC •=3 ∴OCD S 扇形=2360n R π 2602360π⨯ =23π ∴阴影部分面积为：233π+．【点睛】本题考查了圆周角性质，圆直径所对的圆周角是直角，扇形面积计算，属于基础题． 26．如图，O 的半径为2，四边形ABCD 内接于O ，圆心O 到AC 的距离等于3. （1）求AC 的长；（2）求ADC ∠的度数.解析：（1）2；（2）150︒【分析】（1）过点O 作OE AC ⊥于点E ，根据勾股定理求出CE ，即可得出答案；（2）连接OA ，先求出60AOC ∠=︒，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠B=30°，即可得出答案．【详解】（1）过点O 作OE AC ⊥于点E ，如图，则在Rt OCE 中，3OE =2OC =，∴()2222231CE OC OE =-=-=∴22AC CE ==；（2）连接OA ，如图：∵由（1）知，在AOC △中，AC OA OC ==，∴60AOC ∠=︒，∵弧AC =弧AC ，∴1302B AOC ∠=∠=︒， ∴180********ADC B ︒︒∠=-∠=-=︒︒．【点睛】本题考查了垂径定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握这些知识点是解题关键． 27．对于平面上两点,A B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心，AB 长为半径的圆称为点,A B 的“共径圆”．点,A B 的“共径圆”的示意图如图所示．（1）已知点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(3,4)，则点,A B 的“共径圆”的面积为_______________；（2）已知点A 在以坐标原点为圆心，以1为半径的圆上，点B 在直线4y x =-+上，求点,A B 的“共径圆”的半径最小值；（3）已知点A 的坐标为(0,0)，点B 是x 轴及x 轴上方的点，如果直线y x b =+上存在两个点B ，使得点,A B 的“共径圆”的面积为4π，直接写出满足条件的b 的取值范围．解析：（1） 25π；（2）221；（3）222b ≤<【分析】（1）由点A 、B 的坐标知，22345,=+=AB 由圆的面积公式得：“共径圆”的面积πr 2=25π；（2）如下图，当O 、A 、B 三点共线，且OB ⊥直线l 时，共径圆”的半径最小，即可求解；（3）设点B 的坐标为（x ，x+b ），设AB 之间的距离为r ，则πr 2=4π，解得r=2（负值已舍去），则AB=x 2+（x+b ）2=22=4，满足条件的B 点有2个，故△=（2b ）2-2×4（b 2-4）＞0，进而求解．【详解】解：（1）A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(3,4)， ∴22345,=+=AB由圆的面积公式得：“共径圆”的面积πr 2=25π，故答案为25π；（2）作OB ⊥直线l 于B 交圆O 于点A ，此时点,A B 的“共径圆”的半径最小值；设直线4y x =-+与,x y 轴交于点,M N ．()4,00,4()M N ∴，），则ON=OM=4，∴ MON △等腰直角三角形， ∴224244=+=MN∴О点到直线MN 的距离为2A 点在O 上，B 点在直线4y x =-+上,A B ∴间的最短距离是221即,A B 的“共径圆”的最小半径是221（3）设点B 的坐标为（x ，x+b ），设AB 之间的距离为r ，则πr 2=4π，解得r=2（负值已舍去），则AB=x 2+（x+b ）2=22=4，化简得：2x 2+2bx+b 2-4=0，∵满足条件的B 点有2个，故△=（2b ）2-2×4（b 2-4）＞0，解得：2222,-<<b∵点B 是x 轴及x 轴上方的点，故b ＞0，而当b=2时，点B 在x 轴上，∴222b ≤<【点睛】本题为圆的综合题，涉及到一次函数的性质、根的判别式等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般比较容易解答．28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，1），点P （t ，0）为x 轴上一动点(不与原点重合)．以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，以AB 为直角边在AB 的右上方作等腰直角三角形ABC ，且∠BAC =90°，直线BC 于⊙P 的另一个公共点为F ，连接PF ．（1）当t = 2时，点C 的坐标为（，）；（2）当t >0时，过点C 作x 轴的垂线l ．①判断当点P 运动时，直线l 的位置是否发生变化？请说明理由；②试说明点F 到直线l 的距离始终等于OP 的长；（3）请直接写出t 为何值时，CF =2BF ．解析：（1）1，3+；（2）①不变，理由见解析；②见解析；（3）4 3±【分析】（1）过C作y轴的垂线交y轴与D点，先根据题意求得PA、OB的长，然后再证明△ACD≌△AOB，最后根据图形即可解答；（2）①过点C作CH⊥y轴，垂足为点H，先证明△HAC≌△OBA，进一步得到C点的横坐标恒为1，即可说明；②过F作FM⊥l交l与M,过点F作FN⊥x轴，垂足为点N，即∠APF=90°，再说明∠APF、=90°，再证得△AOP≌△PBF，最后根据图形运用线段的和差即可解答；（3）分t＞0和t＜0两种情况分别求解即可【详解】解：（1）如图：过C作y轴的垂线交y轴与D点∵t=2，P（2,0），A（0,1）∴=∴∵∠BAC=90°，∠CDA=90°，∴∠DAC+∠OAB=90°, ∠DAC+∠DCA=90°,∴∠OAB=∠DCA在△ACD和△AOB中∠OAB=∠DCA，∠CDA=∠AOB=90°，AC=AB∴△ACD≌△AOB（AAS）∴∴C（1，3+）；（2）①不变、理由如下：过点C作CH⊥y轴，垂足为点H，易证△HAC≌△OBA，得HC=OA=1，∴点C的横坐标是定值为1，∴直线l是过点（1，0）且垂直于x轴的直线，直线l的位置不发生变化；②如图：过F作FM⊥l交l与M,过点F作FN⊥x轴，垂足为点N，即∠APF=90°，∵△ACB为等腰直角三角形，∠CAB=90°∴∠ABC=45°∴∠APF=2∠ABC=90°同理（1）可得△AOP≌△PBF，∴PN=OA，OP=FN∴ON=OP+PN=OP+OA∵直线l为l=1∴FM=OP；（3）∵CF=2BF∴当t ＞0，如图，22311MF OP BQ OB OQ t t ===-++- ∴3t=22212t t ++-，即：()3340t t -=，解得t=43 或t=0（舍去）同理可得t ＜0时，可得t=-43．综上，当t=43±时，CF=2BF ．【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了圆的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．。

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第2题第4题B第6题C C B A 第12题 2015年九上数学第24章《圆》单元测试一、选择题（每题3分，共36分）.1. 如图，在⊙O 中，弦AB ⊥直径CD ，垂足为E ，AB=6cm ，CD=10cm ，则OE 的长是（）A ．3cm B.4cm C.5cm D.8cm 2. 如图，经过原点O 的⊙P 与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 是劣弧上一点，则∠ACB 度数是（）A. 80°B. 90°C. 100°D. 无法确定3．在△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=4，M 是AB 的中点，以C 为圆心，CA 为半径作⊙C ，则点M 与⊙C 的关系是（）A ．点M 在⊙C 上 B.点M 在⊙C 内C. 点M 在⊙C 外D.点M 与⊙C 的位置关系不能确定4.如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心O.若∠B=20°，则∠C 的大小等于（）A ．20°B ．25°C ． 40°D ．50°5．一个圆锥的底面半径为6㎝，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为（）A ．9㎝B ．12㎝C ．15㎝D ．18㎝6．如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A.AD ＝BD ；B.∠CAD ＝∠CBD ；C.OD ＝CD ；D.∠OCA ＝∠OCB．7．正六边形的周长为6，则它的面积为（）()A(B(C ()D 8.如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若∠C=65°，则∠P 的度数为（）A. 50°B. 130°C. 65°D. 100°9．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（）A ．5B ．7C ．8D ．10第18题第17题M 10.在△ABC 中，已知AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（）A ．310B ．512C ．2D ．311. 如图, ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上,顶点C 在⊙O 的上直径BE 上,∠D=54°，连接AE ，则∠E 的度数是（）A.27°B.36°C.46°D.63°12.如图,在△ABC 中,AB=AC=6,BC=8,分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（）A.589-πB. 1329-πC.249-πD.5169-π二．填空题（每空4分，共24分）13. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外接圆的半径为____cm.14．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A ＝50°，∠B ＝30°，则∠ADC 的度数为度。

15．在Rt △ABC 中，∠C=90゜，AC=5，BC=12，以C 为圆心，R 为半径作圆与斜边AB 相切，则R 的值为。

16.如图，在 ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是_________（结果保留π）。

17.如图，AB 是半圆O 的直径，AC 是弦，∠ACD=75°，OE ⊥CD ，OE=2，OC=2，则∠A= 。

18．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为。

三．解答题（共90分）19.如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD求证：OC=OD 。

（6分）20. 如图，AB 与⊙O 相切于点C ，∠A=∠B ， OA=5，AB=8分）第20题21.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，求该输水管的半径. 22．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的直线互相垂直，垂足为D ，且AC 平分∠DAB ．求证：DC 为⊙O 的切线； 23．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 、CD 分别切⊙O 于点B和OC 的位置关系，并说明理由。

24.如图中（1）、（2）、…（n ）分别是边长均大于2n 边形.分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧……、n 条弧. ①图⑴中3条弧的弧长的和为_________； ②中4条弧的弧长的和为___________； ③求图(n )中n 条弧的弧长的和 (用n 表示). 25.已知,如图，⊙O 是△ABC 的外接圆， AB 是圆O 的直径，点D 在AB 延长线上，∠A=∠D=30°. （1）判断DC 是否与⊙O 相切，并说明理由；（2）求证：△AOC ≌△DBCA (n)F E D CB A (2)DC B A (1)A 第24题D A26.如图，点P 是圆上一动点，弦AB=3 cm ，PC 是∠APB 的平分线，∠BAC=30°．（1）当∠PAC 等于多少度时，四边形PACB 有最大面积？最大面积是多少？（2）当PA 的长为多少时，四边形PACB 是梯形？说明你的理由．27.如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长。

P C BA 第26题第27题参考答案一、选择题1---5 BBCDA 6---10 CBADA 11--12 BA二、填空题 13.5 14. 1100 15. 1360 16.33π+ 17. 300 18 .2三、解答题：19.证明：过点O 作OE ⊥AB 于E ，∴AE=BE 。

∵AC=BD ，∴CE=ED ，∴△OCE ≌△ODE ，∴OC=OD 。

20解：连接OC 。

∴⊙O 半径为3．21、解：作ODAB 于点D,延长OD 交⊙O 于点C ，则CD=2, AD=4设⊙O 的半径为r,在Rt △ODC 中，OD 2+AD 2=OA 2 ,即（r-2）2+42=r 2解得r=522.解：∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∵AC 平分∠DAB ∴∠DAC=∠OAC∴∠DAC=∠OCA ∴OC ∥AD ∵AD ⊥CD ∴OC ⊥CD∴直线CD 与⊙O 相切于点C ；23. 解：AD ∥OC 。

理由如下：连接OD 。

∵CB 、CD 是⊙O 切线，∴CD=CB ，OD ⊥DC ，OB ⊥CB ∴∠ODC =∠OBC=90°，又OD=OB ，∴△ODC ≌△OBC ∴∠DOC =∠BOC ∵OD=OA ， ∴∠ODA =∠A ∴2∠BOC =2∠A ∴∠BOC =∠A 。

∴AD ∥OC24.解：① ② ③图(n )中n 条弧的弧长的和25.解：（1）结论：DC 是⊙O 的切线。

∵ OA=OB ，∴∠ACO=∠A=30°.∴∠BOC =60°，∵∠D=30°， ∴∠OCD =90°，∴OC ⊥CD ， ∴DC 是⊙O 的切线（2）∵ OB=OC ，∠BOC =60°，∴△COB 为等边三角形。

∴∠OBC =60°，∵∠D=30°，∴∠DCB =30°=∠ACO π=(n-2)180•π•12360=(n-2)π2π2PC BA∵∠A=∠D ，AC=DC 。

∴△AOC ≌△DBC26.解：（1）∵PC 平分∠APB ，∴∠APC=∠BPC ，∴AC=BC由 222)2()2(AB AC AC +=，求得AC=BC=1， ∵S 四边形PACB=S △ABC+S △PAB ， S △ABC 为定值，当S △PAB 最大时，四边形PACB 面积最大此时PC 应为圆的直径∠PAC=90°∵∠APC=∠BAC=30°∴PC=2AC=2，∴四边形PACB 的最大面积为；（2）若四边形PACB 为梯形，则当AC ∥PB 时由（1）知AC=BC=1，∠CAB=∠PBC=30°，∴PA=BC=1，（8分）当PA ∥BC 时，则∠PAB=∠ABC=30°，在△PBA 中，∠APB=60°，∠PAB=∠ABC=30°，∴∠ABP=180°-60°-30°=90°，此时PA 为圆的直径，由（1）知PA=2，27.证明：（1）连接FO ，易证OF∥AB∵AC 是⊙O 的直径 ∴CE⊥AE∵OF∥AB ∴OF⊥CE∴OF 所在直线垂直平分CE ∴FC＝FE ，OE ＝OC ∴∠FEC ＝∠FCE ，∠0EC ＝∠0CE∵Rt△ABC∴∠ACB ＝90°即：∠0CE ＋∠FCE ＝90°∴∠0EC ＋∠FEC ＝90°即：∠FEO ＝90° ∴FE 为⊙O 的切线（2）∵⊙O 的半径为3∴AO＝CO ＝EO ＝3∵∠EAC ＝60°，OA ＝OE∴∠EOA ＝60° ∴∠COD ＝∠EOA ＝60° ∵在Rt △OCD 中，∠COD ＝60°，OC ＝ ∴CD＝ ∵在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，CD ＝AC ＝6∴AD =73)33(62222=+=+CD AC 3。