福建省漳州市2018届高三上学期期末调研测试数学(理) 扫描版含解析

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福建省漳州市桃源中学2018-2019学年高三数学理上学期期末试卷含解析

福建省漳州市桃源中学2018-2019学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数.若关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：B略2. 已知非零向量，，若，，则向量和夹角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】直接利用平面向量的数量积的运算律即可求解。

【详解】设向量与向量的夹角为，，由可得：，化简即可得到：，故答案选B。

【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，向量夹角余弦值的求法，属于基础题。

3. 复数z满足(1－i)z=i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A. B. C. i D. i参考答案：B4. 若双曲线的一条渐近线为，则实数m=（）A.2B.4C.6D.8参考答案：B由题意知，即，故有，所以.试题立意：本小题主要考查双曲线的几何性质；意在考查运算求解能力.4.解析：选择C，5. 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=[﹣1，2）．故选：C．6. 若，则（）A．4036 B．2018 C．-2018 D．-4036参考答案：D7. 三内角的对边分别为,则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件参考答案：C根据二倍角公式、正弦定理可得.故选C.8. 已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g （x）=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式，正弦函数、余弦函数的奇偶性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，故y=sin（x++φ）是偶函数，故φ+=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，结合φ∈（0，π），可得φ=，故f（x）=2sinxsin（x++）=sin2x=cos（2x﹣）．故函数g（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象，∵﹣=﹣+，可以由f（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象向左平移个单位得到的，故选：C．9. 若数列满足，则称为等方比数列。

福建省2018届高三上学期期末考试数学(理)有答案-推荐

泉港一中2017-2018学年上学期期末考试高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 为虚数单位，若复数2i z i =-，则（） A ． B ．C ．D ．2. 设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －2)≥0}，B ＝{x|x ≥a}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)3. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）. 104人 B. 108人 C. 112人 D. 120人 4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若，则ABC ∆为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形 C.等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形5. 已知数列{}n a 满足：时，2p p q a a +=，则{}n a 的前12项和（）A ． 94B ．-94 C. -126 D ．126 6.设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则m β⊥的一个充分条件是 A 、,,l m l αβαβ⊥=⊥ B 、,,m αγαγβγ=⊥⊥C 、,,n n m αβα⊥⊥⊥D 、,,m αγβγα⊥⊥⊥7.按下图所示的程序框图运算：若输出2k =，则输入x 的取值范围是（）A. (]20,25 B ．(]30,57 C.(]30,32 D ．(]28,578.已知变量,x y 满足条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+仅在点()3,0处取得最大值，则a 的取值范围是（）A ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭9. 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为()1,2-，点C 位于第一象限，AOC α∠=，若BC =，则2sin cos222ααα+=（） A． B．10. 已知,,A B P 是双曲线22221x y a b-=上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积23PA PB k k =，则该双曲线的离心率e =（）A11.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（）ABC D12.已知函数()2x f x e =，()1ln 2g x x =+，对a R ∀∈，()0,b ∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（） A ．ln 212+B ．ln 212-C.1 D1 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13. 设()()()25501251111x a a x a x a x +=+-+-++-…，则125a a a +++=… ．14.如图，平面内有三个向量15. 设{a n }是等比数列，公比q =S n 为{a n }的前n 项和。

福建省漳州市2018届高三5月质量检查测试(理)数学试题及答案解析

福建省漳州市2018届高三5月质量检查测试数学试题（理）一．选择题1．设集合{}2|430P x x x =-+≤，{|Q y y ==，则P Q =( )A ．[1,3]B ．[2,3]C ．[0,)+∞D ．∅2．复数ππcosisin 33z =+，则在复平面内，复数2z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．运行如图所示程序，其中算术运算符MOD 是用来求余数，若输入m 和n 的值分别为153 和119，则输出m 的值是( )A ．0B ．2C ．17D ．344．已知x ，y 满足不等式组2350321000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则2x y -的最大值为 ( )A ．6B ．2C ．1-D ．2-5．已知命题p :∃m ∈R ，使得()f x =()21m -221m m x -+是幂函数，且在()0,+∞上单调递增．命题q ：“∃x ∈R ，21x x -<”的否定是“∀x ∈R ，21x x ->”，则下列命题为真命题的是( )A ．()p q ⌝∨B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ．q p ∧ 6．函数x x x y sin 11ln +⎪⎭⎫⎝⎛+-=的图象大致为( )7．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则这个几何体的体积可能是( )A ．383π2+ B ．38π2+ C ．8π2+ D ．8π8+8．在ABC ∆中，60C ∠=，2BC AC ==点D 在边BC 上，且sin BAD ∠= 则CD =( )A ．3B ．4C ．3D ．39．在正方形ABCD 中，4AB =，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，将AEF ∆沿EF 折起到A EF '∆的位置，使得A C '=A BC '内，过点B 作//BG 平面A EF '交边A C '上于点G ，则A G '=( )A B C D 10．已知函数()2sin()1f x x ωϕ=++（0ω>，π2ϕ<），满足2π()2()3f x f x -=-，且对任意∈x R ，都有π()()4f x f ≥．当ω取最小值时，函数)(x f 的单调递减区间为 ( ) A ．ππππ[,]12343k k ++，k ∈Z B ．ππ[2π,2π]124k k ++，k ∈Z C ．ππππ[,]123123k k -++，k ∈Z D ．ππ[2π,2π]1212k k -++，k ∈Z 11．做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数，然后请他们各自检查一下，所写的两数与1是否构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，作为主角的你，只需将每个人的结论记录下来就行了．假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么由此可以算得圆周率π的近似值为( ) A ．n m n + B ．m m n + C ．4n m n + D ．4mm n+ 12．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则1F AB ∆的内切圆半径为( )A B C D 二．填空题13．已知()1,3=-a ，b ()1,=t ，若()2a b a -⊥，则a 与b 的夹角为．14．531()(2)x x x x+-展开式中的常数项为．15．已知F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的、右焦点，A 是双曲线上位于第一象限内的一点，O 为坐标原点，OF OA =⋅，直线OA 的方程x y 332=，则双曲线的离心率为．16．若直线y kx b =+是曲线e xy =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k = ．三．解答题（一）必考题17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足22S =， 416S =，{1}n a +是等比数列，（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0n a >，设2log (33)n n b a =+，求数列11{}n n b b +的前n 项和．18．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记表示1台机器三年内共需维修的次数，表示购买1台机器的同时购买的维修次数．（1）求的分布列；（2）若要求()0.8≤≥P X n ，确定的最小值；（3）以在维修上所需费用的期望值为决策依据，在10n =与11n =之中选其一，应选用哪个？19．如图，在三棱台ABC DEF -中，二面角B AD C --是直二面角，AB AC ⊥，3AB =，112AD DF FC AC ====． X n X n（1）求证：AB ⊥平面ACFD ；（2）求二面角F BE D --的平面角的余弦值．20．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在曲线222:430C x y y +-+=外，且对1C 上任意一点P ，P 到直线1y =-的距离等于该点与曲线2C 上点的距离的最小值．（1）求动点P 的轨迹1C 的方程；（2）过点(0,2)A -的直线与曲线1C 交于不同的两点M 、N ，过点M 的直线与曲线1C 交于另一点Q ，且直线MQ 过点)2,2(B ，求证：直线NQ 过定点．21．已知函数()3(21)e xf x x ax =++．（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x <的负整数解有且只有两个，求实数a 的取值范围．（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分。

福建省漳州市高三上学期期末调研测试数学(理)Word版含解析

漳州市高中毕业班调研测试数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A B ＝{x |2x ＞4}，则A ∩B ＝( )A.(2，＋∞)B.(4，＋∞)C.[4，＋∞)D.[－3，2) 2.若复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则|z |＝( )A. 5B.10C.2 2D.2 3.函数f(x )＝x －2cosx 在[－π，π]上的图象大致为( )A B C D 4.已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.1 B. 2 C.12 D.225.等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项均为1，公差与公比均为3，则ab 1＋ab 2＋ab 3＝( )A.64B.32C.38D.33 6.执行如图所示的程序框图，若输入的p 为16，则输出的n ，S 的值分别为( )A.4，18B.4，30C.5，30D.5，45 7.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A.193B.203C.163 D.68.图所示，则( )A.－22 B.22C. 2D.－ 2 9.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f(x)为减函数，则不等式(log 38)的解集为( )D.10.在区间[0，1]上随机取三个数a ，b ，c ，则事件“a 2＋b 2＋c 2≤1”发生的概率为( ) A.π8 B.π6 C.π4 D.π211.已知直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，l 与C 交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线，交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A.x ＝－1B.x ＝－2C.y 2＝4(x ＋1)D.y 2＝4(x ＋2) 12.已知不等式(ax ＋3)e x －x ＞0有且只有一个正整数解，则实数a 的取值范围是( )D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 1 120，则正数a ＝________.14.已知实数x ，y z ＝x ＋y 的最大值为4，则z 的最小值为________.15.设F 为双曲线C 1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B ，则双曲线C 的离心率为________.16.数列{a n }t 的取值范围是________.三、解答题：共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分. 17.(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(b －c )2＝a 2－32bc .(Ⅰ)求sin A ；(Ⅱ)若a ＝2，且sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，求△ABC 的面积.18.(12分)随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视.为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如下表所示：(Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？(Ⅱ)在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在这15人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有9人.从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人，求这3人中使用非国产手机的人数X的分布列和数学期望.0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.02519.(12分)如图，在多面体ABCDNPM中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，PM∥AB，PN∥AD，PM＝PN＝1.(Ⅰ)求证：MN⊥PC；(Ⅱ)求平面MNC与平面APMB所成锐二面角的余弦值.20.(12分)已知椭圆C y2＝43x的焦点重合，且过点过点P(1，0)的直线l交椭圆C于M，N两点，A为椭圆的左顶点.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)求△AMN面积的最大值，并求此时直线l的方程.21.(12分)已知函数f(x)＝2e x＋3x2－2x＋1＋b，x∈R的图象在x＝0处的切线方程为y＝ax＋2. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间与极值；(Ⅱ)若存在实数x，使得f(x)－2x2－3x－2－2k≤0成立，求整数k的最小值.(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2.(Ⅰ)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，求|P A|·|PB|.23.[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝|2x－1|＋2|x＋2|.(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)解不等式f(x)<8.答案解析－3]∪(4，＋∞)，B ＝(2，＋∞)，所以A ∩B ＝(4，＋∞)，故选B.2.B 【解析】本题考查复数的除法运算及复数的模．因为z ＝1＋7i 2－i ＝（1＋7i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－1＋3i ，所以|z |＝10，故选B.3.D 【解析】本题考查函数的图象和基本性质．由题易得函数f (x )是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除B ，C ，当x ∈(0，π]时，f (x )>0，排除A ，故选D.4.D 【解析】本题考查向量的基本概念和运算．设a 与b 的夹角为θ，则a ⊥(a －b ·(a－b )＝2－a ·b ＝2－|a |·|b |cos θ＝0，所以cos θ＝22，所以向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝22，故选D. 5.D 【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式．依题意，a n ＝1＋3(n －1)＝3n－2，b n ＝3n －1，则b 1＝1，b 2＝3，b 3＝9，所以a b 1＋a b 2＋a b 3＝a 1＋a 3＋a 9＝1＋7＋25＝33，故选D.6.A 【解析】本题考查含有当型循环结构的程序框图．执行程序框图，依次可得n ＝1，S ＝0，S<16，进入循环；S ＝0＋3＝3，n ＝2，S ＝3<16，进入循环；S ＝3＋6＝9，n ＝3，S ＝9<16，进入循环；S ＝9＋9＝18，n ＝4，S ＝18>16，跳出循环，输出n ＝4，S ＝18，故选A.7.B 【解析】本题考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积．这个几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个三棱锥而成的，其直观图如图所示，则这个几何体的体积V ＝23－13×12×2×2×2＝203，故选B.8.C 【解析】本题考查三角函数的图象与性质．由题图可知，A ＝2，T ＝2πω＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8－π8＝π，所以ω＝22，解得2×π8＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋2k π，k∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，所以C.9.C 【解析】10.B 【解析】本题考查几何概型.满足条件的概率是以1为半径的球的体积的18除以以1为棱长的正方体的体积，即43π×18÷1＝π6，故选B.11.A 【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系与轨迹方程的求法．不妨将抛物线翻转为x 2＝4y ，设翻转后的直线l 的方程为y ＝k x ＋1，翻转后的A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1得x 2－4k x －4＝0 ①，易得抛物线C 在点A 处的切线方程为y －14x 21＝12x 1·(x －x 1)，同理可得抛物线C 在点B 处的切线方程为y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．联立⎩⎨⎧y －14x 21＝12x 1（x －x 1），y －14x 22＝12x 2（x －x 2）得y ＝14x 1x 2，再由①可得x 1x 2＝－4，所以y ＝－1.故原抛物线C 相应的点P 的轨迹方程为x ＝－1，故选A.12.A 【解析】本题考查导数的应用.当a ≥0时，1，2都是不等式(a x ＋3)e x －x >0的解，不符合题意；当a<0时，(a x ＋3)e x－x >0化为a x ＋3>x e x ，设f (x )＝xe x ，则f ′(x )＝1－x ex ，所以函数f (x )在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最大值，因为不等式(a x ＋3)e x－x >0有且只有一个正整数解，则⎩⎨⎧a ×1＋3>1e 1，a ×2＋3≤2e2，解得1e －3<a ≤1e 2－32，故选A. 13.1 【解析】本题考查二项式定理的通项.⎝⎛⎭⎫2x －ax 8展开式的通项为 T k ＋1＝C k8(2x )8－k⎝⎛⎭⎫－a x k＝C k 828－k (－a)k x 8－2k .令8－2k ＝0，得k ＝4.由a ＝1.14.－2 【解析】本题考查含有参数的线性规划问题.作出可行域，如图所示，经计算，A(－2k ，k)，B(k ，k).由图可知，当直线y ＝－x ＋z 过点B 时，z 取最大值，即k ＋k ＝4，解得k ＝2，当直线y ＝－x ＋z 过点A(－4，2)时，z 取最小值，即z m i n ＝－4＋2＝－2.15.2或233【解析】本题考查双曲线的几何性质．若AF →＝－2BF →，则由图1可知，渐近线OB 的斜率为－b a ，l ⊥OB ，在Rt △OBA 中，由角平分线定理可得|OA||OB|＝|FA||FB|＝2，所以∠AOB ＝60°，∠x OA ＝30°，所以b a ＝33，e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝233.若AF →＝2BF →，则由图2可知，渐近线OB 为△AO F 边A F 的垂直平分线，故△AO F 为等腰三角形，故∠AOB ＝∠BO F＝60°，b a ＝3，e ＝ca＝2.16.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 【解析】本题考查数列与分段函数的性质．要使数列{a n }为单调递增数列，则a 1<a 2<a 3<a 4<a 5<….当n <4时，a n ＝(2t －3)n －8t ＋14必须单调递增，∴2t －3>0，即t>32①.当n ≥4时，a n ＝log t n 也必须单调递增，∴t>1 ②.另外，由于这里类似于分段函数的增减性，因而a 3<a 4，即3(2t －3)－8t ＋14<log t 4，化简得log t 4＋2t>5 ③.方法一：当32<t ≤2时，log t 4＋2t>5；当2<t ≤52时，log t 4＋2t>5；当t>52时，log t 4＋2t>5，故③式对任意t>32恒成立，综上，解得t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，＋∞.方法二：由①②得t>32，在此前提下，构造f (t)＝log t 4＋2t －5⎝⎛⎭⎫t>32，则f ′(t)＝2－ln4tln 2t，令g(t)＝tl n 2t ⎝⎛⎭⎫t>32，则g′(t)＝l n 2t ＋2l n t ＝l n t(l n t ＋2)>0，∴g(t)＝tl n 2t 在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上单调递增，且g(t)>0，从而f ′(t)是⎝⎛⎭⎫32，＋∞上的增函数，可验证f ′⎝⎛⎭⎫32＝2－ln432ln 232＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 34ln 232<0⎝⎛证明如下：要证f′⎝⎛⎭⎫32<0，即证l n 34>l n 232，即证l n 4>3l n 32×l n 32，即证l n 4>l n 278×l n 32，∵l n 4>l n 278，0<l n 32<1，∴l n 4>l n 278×⎭⎫ln 32，得证，f ′(2)＝2－ln42ln 22＝2－2ln4>0.∴f ′(t)＝2－ln4tln 2t 在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上有唯一零点，设为m ，m ∈⎝⎛⎭⎫32，2，易知m 为f (t)的极小值点，也是最小值点．∴f (t)m i n ＝f (m )＝log m 4＋2m －5.当m ∈⎝⎛⎭⎫32，2时，log m 4>log 24＝2，2m >2×32＝3.∴f (t)m i n ＝f (m )>log 24＋3－5＝0，即当t ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (t)>0恒成立．综上，t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 17.【名师指导】本题考查正弦定理、余弦定理、等差数列以及三角形面积的计算．解：(Ⅰ)由(b －c )2＝a 2－32bc ，得b 2＋c 2－a 2＝12bc ，(2分)即b 2＋c 2－a 22bc ＝14，由余弦定理得cosA ＝14，(4分)因为0<A<π，所以si n A ＝154.(6分) (Ⅱ)由si n B ，si n A ，si n C 成等差数列，得si n B ＋si n C ＝2si n A ，(7分) 由正弦定理得b ＋c ＝2a ＝4，所以16＝(b ＋c )2，所以16＝b 2＋c 2＋2bc .(8分) 由(Ⅰ)得16＝a 2＋52bc ，所以16＝4＋52bc ，解得bc ＝245，(10分)所以S △ABC ＝12bc si n A ＝12×245×154＝3155.(12分)18.【名师指导】本题考查独立性检验．解：(Ⅰ)K 2＝50×（25×11－5×9）230×20×16×34≈8.104>6.635.(2分)所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．(4分)(Ⅱ)X 可取0，1，2，3.(5分) P(X ＝0)＝C 36C 39＝521，(6分)P(X ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，(7分)P(X ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，(8分)P(X ＝3)＝C 33C 39＝184，(9分)所以X 的分布列为(10分)E (X)＝0×521＋1×1528＋2×314＋3×184＝1.(12分)19.【名师指导】本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的求法．(Ⅰ)证明MN ⊥平面PAC ，从而证得MN ⊥PC ；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求出平面MNC 与平面APMB 的法向量，利用空间向量夹角公式求解．解：(Ⅰ)证明：作M E ∥PA 交AB 于E ，N F ∥PA 交AD 于F ，连接EF ，BD ，AC. 由PM ∥AB ，PN ∥AD ，易得M E 綊N F ，所以四边形M EF N 是平行四边形，所以MN ∥EF ，(2分) 因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又易得EF ∥BD ，所以AC ⊥EF ，所以AC ⊥MN ，(3分)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD ，所以PA ⊥EF ，所以PA ⊥MN ，因为AC ∩PA ＝A ，(4分) 所以MN ⊥平面PAC ，故MN ⊥PC.(5分)(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示，则C(0，1，0)，M ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，N ⎝⎛⎭⎫－32，－12，2，A(0，－1，0)，P(0，－1，2)，B(3，0，0)，所以CM →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，2，CN →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，2，AP →＝(0，0，2)，AB →＝(3，1，0)，(7分)设平面MNC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧32x －32y ＋2z ＝0，－32x －32y ＋2z ＝0，令z ＝1，得x ＝0，y ＝43，所以m ＝⎝⎛⎭⎫0，43，1；(9分) 设平面APMB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2z 1＝0，3x 1＋y 1＝0，令x 1＝1，得y 1＝－3，z 1＝0，所以n ＝(1，－3，0)，(10分)设平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角为α，则cos α＝|m ·n ||m |·|n |＝43302＋⎝⎛⎭⎫432＋12×12＋（－3）2＋02＝235，(11分)所以平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角的余弦值为235.(12分)20.【名师指导】本题考查椭圆的方程、性质、直线与椭圆位置关系的综合问题．解：(Ⅰ)因为抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)，所以椭圆C 的半焦距c ＝3，即a 2－b 2＝3. ①把点Q ⎝⎛⎭⎫－3，12代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得3a 2＋14b2＝1. ② 由①②解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(Ⅱ)设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，代入x 24＋y 2＝1，得(t 2＋4)y 2＋2ty －3＝0.(5分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－2t t 2＋4，y 1y 2＝－3t 2＋4.(7分)则|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t t 2＋42－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－3t 2＋4＝4t 2＋3t 2＋4＝4t 2＋3t 2＋3＋1＝4t 2＋3＋1t 2＋3.(9分)令t 2＋3＝m (m ≥3)．易知函数y ＝m ＋1m 在[3，＋∞)上单调递增，则t 2＋3＋1t 2＋3≥3＋13＝433，当且仅当m ＝3，即t ＝0时，取等号．(10分) 所以|y 1－y 2|≤ 3.所以△AMN 的面积S ＝12|AP||y 1－y 2|≤12×3×3＝332，(11分)所以S m a x ＝332，此时直线l 的方程为x ＝1.(12分)21.【名师指导】本题考查导数的综合应用．解：(Ⅰ)f ′(x )＝2e x ＋6x －2，因为f ′(0)＝a ，所以a ＝0，易得切点(0，2)，所以b ＝－1.(1分) 易知函数f ′(x )在R 上单调递增，且f ′(0)＝0. 则当x <0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)；单调递增区间为(0，＋∞)．(2分) 所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝2.(3分)(Ⅱ)f (x )－2x 2－3x －2－2k ≤x ＋12x 2－52x －1－k ≤≥e x ＋12x 2－52x －1， (*)(4分)令h(x )＝e x ＋12x 2－52x －1，若存在实数x ，使得不等式(*)成立，则k ≥h(x )m i n ， h ′(x )＝e x ＋x －52，易知h′(x )在R 上单调递增，(6分)又h′(0)＝－32<0，h ′(1)＝e －32>0，h ′⎝⎛⎭⎫12＝e 12－2<0，h ′⎝⎛⎭⎫34＝e 34－74>2.5634－74＝1.632－74＝512125－74>2－74＝14>0， ⎝⎛或由e x ≥x ＋1当x ＝0时取等号，得e 34－74＝e 34－⎭⎫⎝⎛⎭⎫34＋1>0所以存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，使得h′(x 0)＝0，(8分)且当x ∈(－∞，x 0)时，h ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h(x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，(9分) h(x )m i n ＝h(x 0)＝e x 0＋12x 20－52x 0－1，又h′(x 0)＝0，即e x 0＋x 0－52＝0，所以e x 0＝52－x 0.因为x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，所以h(x 0)∈⎝⎛⎭⎫－2732，－18，则k ≥h(x 0)，又k ∈Z . 所以k 的最小值为0.(12分)22.【名师指导】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系．(Ⅰ)运用同角三角函数的平方关系即可得到C 的普通方程，运用x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ以及两角和的余弦公式，化简可得直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)写出直线l 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，利用参数的几何意义即可得出|PA|·|PB|的值．解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数⎩x －1＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，两式平方相加，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4；(3分) 由直线l 的极坐标方程可得ρcos θcos π4－ρsi n θsi n π4＝cos θ－ρsi n θ＝2，(4分)即直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.(5分)(Ⅱ)由题意可得P(2，0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．(6分)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PA|·|PB|＝|t 1|·|t 2|，将⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2＋2t －3＝0，(8分)则Δ>0，由韦达定理可得t 1·t 2＝－3，(9分) 所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.(10分)23.【名师指导】本题考查函数的最值与绝对值不等式的解法．(Ⅰ)利用绝对值三角不等式即可求解；(Ⅱ)分段解不等式或画出函数的图象，找出函数的图象与直线y ＝8的交点的横坐标即可求解．解：(Ⅰ)因为f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋2|≥|(2x －1)－2(x ＋2)|＝5，(4分) 所以函数f (x )的最小值是5.(5分)(Ⅱ)解法一：f (x )＝⎩⎨⎧－4x －3，x<－2，5，－2≤x ≤12，4x ＋3，x>12，(6分)当x <－2时，由－4x －3<8，解得x >－114，即－114<x <－2；当－2≤x ≤12时，5<8恒成立，即－2≤x ≤12；当x >12时，由4x ＋3<8，解得x <54，即12<x <54，(9分)所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－114，54.(10分) 解法二(图象法)：f (x )＝⎩⎨⎧－4x －3，x<－2，5，－2≤x ≤12，4x ＋3，x>12，(6分)函数f (x )的图象如图所示，分)令f (x )＝8，解得x ＝－114或x ＝54，(9分)所以不等式f (x )<8的解集为⎝⎛⎭⎫－114，54.(10分)。

福建省漳州市高三上学期期末调研测试数学(理) 扫描版含解析

答案解析－3]∪(4，＋∞)，B ＝(2，＋∞)，所以A ∩B ＝(4，＋∞)，故选B.2.B 【解析】本题考查复数的除法运算及复数的模．因为z ＝1＋7i 2－i ＝（1＋7i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－1＋3i ，所以|z |＝10，故选B.3.D 【解析】本题考查函数的图象和基本性质．由题易得函数f (x )是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除B ，C ，当x ∈(0，π]时，f (x )>0，排除A ，故选D.4.D 【解析】本题考查向量的基本概念和运算．设a 与b 的夹角为θ，则a ⊥(a －b )a ·(a－b )＝0a 2－a ·b ＝0a 2－|a |·|b |cos θ＝0，所以cos θ＝22，所以向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝22，故选D.5.D 【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式．依题意，a n ＝1＋3(n －1)＝3n－2，b n ＝3n －1，则b 1＝1，b 2＝3，b 3＝9，所以a b 1＋a b 2＋a b 3＝a 1＋a 3＋a 9＝1＋7＋25＝33，故选D.6.A 【解析】本题考查含有当型循环结构的程序框图．执行程序框图，依次可得n ＝1，S ＝0，S<16，进入循环；S ＝0＋3＝3，n ＝2，S ＝3<16，进入循环；S ＝3＋6＝9，n ＝3，S ＝9<16，进入循环；S ＝9＋9＝18，n ＝4，S ＝18>16，跳出循环，输出n ＝4，S ＝18，故选A.7.B 【解析】本题考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积．这个几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个三棱锥而成的，其直观图如图所示，则这个几何体的体积V ＝23－13×12×2×2×2＝203，故选B.8.C 【解析】本题考查三角函数的图象与性质．由题图可知，A ＝2，T ＝2πω＝2×⎝⎛⎭⎫5π8－π8＝π，所以ω＝2，＝2，解得2×π8＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋2k π，k∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，所以，故选C.9.C 【解析】本题考查函数的基本性质．由题知10.B 【解析】本题考查几何概型.满足条件的概率是以1为半径的球的体积的18除以以1为棱长的正方体的体积，即43π×18÷1＝π6，故选B.11.A 【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系与轨迹方程的求法．不妨将抛物线翻转为x 2＝4y ，设翻转后的直线l 的方程为y ＝k x ＋1，翻转后的A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1得x 2－4k x －4＝0 ①，易得抛物线C 在点A 处的切线方程为y －14x 21＝12x 1·(x －x 1)，同理可得抛物线C 在点B 处的切线方程为y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．联立⎩⎨⎧y －14x 21＝12x 1（x －x 1），y －14x 22＝12x 2（x －x 2）得y ＝14x 1x 2，再由①可得x 1x 2＝－4，所以y ＝－1.故原抛物线C 相应的点P 的轨迹方程为x ＝－1，故选A.12.A 【解析】本题考查导数的应用.当a ≥0时，1，2都是不等式(a x ＋3)e x －x >0的解，不符合题意；当a<0时，(a x ＋3)e x －x >0化为a x ＋3>x e x ，设f (x )＝xe x ，则f ′(x )＝1－x ex ，所以函数f (x )在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最大值，因为不等式(a x ＋3)e x －x >0有且只有一个正整数解，则⎩⎨⎧a ×1＋3>1e 1，a ×2＋3≤2e2，解得1e －3<a ≤1e 2－32，故选A.13.1 【解析】本题考查二项式定理的通项.⎝⎛⎭⎫2x －a x 8展开式的通项为T k ＋1＝C k 8(2x )8－k ⎝⎛⎭⎫－a x k ＝C k 828－k (－a)k x 8－2k .令8－2k ＝0，得k ＝4.由，得正数a ＝1.14.－2 【解析】本题考查含有参数的线性规划问题.作出可行域，如图所示，经计算，A(－2k ，k)，B(k ，k).由图可知，当直线y ＝－x ＋z 过点B 时，z 取最大值，即k ＋k ＝4，解得k ＝2，当直线y ＝－x ＋z 过点A(＝－4＋2＝－2.15.2或233【解析】本题考查双曲线的几何性质．若AF →＝－2BF →，则由图1可知，渐近线OB 的斜率为－b a ，l ⊥OB ，在Rt △OBA 中，由角平分线定理可得|OA||OB|＝|FA||FB|＝2，所以∠AOB＝60°，∠x OA ＝30°，所以b a ＝33，e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝233.若AF →＝2BF →，则由图2可知，渐近线OB 为△AO F 边A F 的垂直平分线，故△AO F 为等腰三角形，故∠AOB ＝∠BO F ＝60°，b a ＝3，e ＝c a＝2.16.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 【解析】本题考查数列与分段函数的性质．要使数列{a n }为单调递增数列，则a 1<a 2<a 3<a 4<a 5<….当n <4时，a n ＝(2t －3)n －8t ＋14必须单调递增，∴2t －3>0，即t>32①.当n ≥4时，a n ＝log t n 也必须单调递增，∴t>1 ②.另外，由于这里类似于分段函数的增减性，因而a 3<a 4，即3(2t －3)－8t ＋14<log t 4，化简得log t 4＋2t>5 ③.方法一：当32<t ≤2时，log t 4＋2t>5；当2<t ≤52时，log t 4＋2t>5；当t>52时，log t 4＋2t>5，故③式对任意t>32恒成立，综上，解得t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，＋∞.方法二：由①②得t>32，在此前提下，构造f (t)＝log t 4＋2t －5⎝⎛⎭⎫t>32，则f ′(t)＝2－ln4tln 2t ，令g(t)＝tl n 2t ⎝⎛⎭⎫t>32，则g′(t)＝l n 2t ＋2l n t ＝l n t(l n t ＋2)>0，∴g(t)＝tl n 2t 在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上单调递增，且g(t)>0，从而f ′(t)是⎝⎛⎭⎫32，＋∞上的增函数，可验证f ′⎝⎛⎭⎫32＝2－ln432ln 232＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 34ln 232<0⎝⎛证明如下：要证f′⎝⎛⎭⎫32<0，即证l n 34>l n 232，即证l n 4>3l n 32×l n 32，即证l n 4>l n 278×l n 32，∵l n 4>l n 278，0<l n 32<1，∴l n 4>l n 278×⎭⎫ln 32，得证，f ′(2)＝2－ln42ln 22＝2－2ln4>0.∴f ′(t)＝2－ln4tln 2t 在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上有唯一零点，设为m ，m ∈⎝⎛⎭⎫32，2，易知m 为f (t)的极小值点，也是最小值点．∴f (t)m i n ＝f (m )＝log m 4＋2m －5.当m ∈⎝⎛⎭⎫32，2时，log m 4>log 24＝2，2m >2×32＝3.∴f (t)m i n ＝f (m )>log 24＋3－5＝0，即当t ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (t)>0恒成立．综上，t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 17.【名师指导】本题考查正弦定理、余弦定理、等差数列以及三角形面积的计算．解：(Ⅰ)由(b －c )2＝a 2－32bc ，得b 2＋c 2－a 2＝12bc ，(2分)即b 2＋c 2－a 22bc ＝14，由余弦定理得cosA ＝14，(4分)因为0<A<π，所以si n A ＝154.(6分)(Ⅱ)由si n B ，si n A ，si n C 成等差数列，得si n B ＋si n C ＝2si n A ，(7分) 由正弦定理得b ＋c ＝2a ＝4，所以16＝(b ＋c )2，所以16＝b 2＋c 2＋2bc .(8分)由(Ⅰ)得16＝a 2＋52bc ，所以16＝4＋52bc ，解得bc ＝245，(10分)所以S △ABC ＝12bc si n A ＝12×245×154＝3155.(12分)18.【名师指导】本题考查独立性检验．解：(Ⅰ)K 2＝50×（25×11－5×9）230×20×16×34≈8.104>6.635.(2分)所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．(4分)(Ⅱ)X 可取0，1，2，3.(5分)P(X ＝0)＝C 36C 39＝521，(6分)P(X ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，(7分)P(X ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，(8分)P(X ＝3)＝C 33C 39＝184，(9分)所以X 的分布列为(10分)E (X)＝0×521＋1×1528＋2×314＋3×184＝1.(12分)19.【名师指导】本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的求法．(Ⅰ)证明MN ⊥平面PAC ，从而证得MN ⊥PC ；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求出平面MNC 与平面APMB 的法向量，利用空间向量夹角公式求解．解：(Ⅰ)证明：作M E ∥PA 交AB 于E ，N F ∥PA 交AD 于F ，连接EF ，BD ，AC. 由PM ∥AB ，PN ∥AD ，易得M E 綊N F ，所以四边形M EF N 是平行四边形，所以MN ∥EF ，(2分) 因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又易得EF ∥BD ，所以AC ⊥EF ，所以AC ⊥MN ，(3分) 因为PA ⊥平面ABCD ，EF 平面ABCD ，所以PA ⊥EF ，所以PA ⊥MN ，因为AC ∩PA ＝A ，(4分) 所以MN ⊥平面PAC ，故MN ⊥PC.(5分)(Ⅱ)则C(0，1，0)，M ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，－1，0)，P(0，－1，2)，B(3，0，0)，所以CM →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，2，CN →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，2，AP →＝(0，0，2)，AB →＝(3，1，0)，(7分)设平面MNC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧32x －32y ＋2z ＝0，－32x －32y ＋2z ＝0，令z ＝1，得x ＝0，y ＝43，所以m ＝⎝⎛⎭⎫0，43，1；(9分) 设平面APMB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧2z 1＝0，3x 1＋y 1＝0，令x 1＝1，得y 1＝－3，z 1＝0，所以n ＝(1，－3，0)，(10分)设平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角为α，则cos α＝|m ·n ||m |·|n |＝43302＋⎝⎛⎭⎫432＋12×12＋（－3）2＋02＝235，(11分)所以平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角的余弦值为235.(12分)20.【名师指导】本题考查椭圆的方程、性质、直线与椭圆位置关系的综合问题．解：(Ⅰ)因为抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)，所以椭圆C 的半焦距c ＝3，即a 2－b 2＝3. ①把点Q ⎝⎛⎭⎫－3，12代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得3a 2＋14b2＝1. ②由①②解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(Ⅱ)设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，代入x24＋y 2＝1，得(t 2＋4)y 2＋2ty －3＝0.(5分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－2t t 2＋4，y 1y 2＝－3t 2＋4.(7分)则|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－2t t 2＋42－4⎝⎛⎭⎫－3t 2＋4＝4t 2＋3t 2＋4＝4t 2＋3t 2＋3＋1＝4t 2＋3＋1t 2＋3.(9分) 令t 2＋3＝m (m ≥3)．易知函数y ＝m ＋1m 在[3，＋∞)上单调递增，则t 2＋3＋1t 2＋3≥3＋13＝433，当且仅当m ＝3，即t ＝0时，取等号．(10分)所以|y 1－y 2|≤ 3.所以△AMN 的面积S ＝12|AP||y 1－y 2|≤12×3×3＝332，(11分)所以S m a x ＝332，此时直线l 的方程为x ＝1.(12分)21.【名师指导】本题考查导数的综合应用．解：(Ⅰ)f ′(x )＝2e x ＋6x －2，因为f ′(0)＝a ，所以a ＝0，易得切点(0，2)，所以b ＝－1.(1分)易知函数f ′(x )在R 上单调递增，且f ′(0)＝0. 则当x <0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)；单调递增区间为(0，＋∞)．(2分) 所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝2.(3分)(Ⅱ)f (x )－2x 2－3x －2－2k ≤0e x ＋12x 2－52x －1－k ≤0k ≥e x ＋12x 2－52x －1， (*)(4分)令h(x )＝e x ＋12x 2－52x －1，若存在实数x ，使得不等式(*)成立，则k ≥h(x )m i n ，h ′(x )＝e x ＋x －52，易知h′(x )在R 上单调递增，(6分)又h′(0)＝－32<0，h ′(1)＝e －32>0，h ′⎝⎛⎭⎫12＝e 12－2<0，h ′⎝⎛⎭⎫34＝e 34－74>2.5634－74＝1.632－74＝512125－74>2－74＝14>0， ⎝⎛或由e x ≥x ＋1当x ＝0时取等号，得e 34－74＝e 34－⎭⎫⎝⎛⎭⎫34＋1>0 所以存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，使得h′(x 0)＝0，(8分)且当x ∈(－∞，x 0)时，h ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h(x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，(9分)h(x )m i n ＝h(x 0)＝e x 0＋12x 20－52x 0－1，又h′(x 0)＝0，即e x 0＋x 0－52＝0，所以e x 0＝52－x 0.因为x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，所以h(x 0)∈⎝⎛⎭⎫－2732，－18，则k ≥h(x 0)，又k ∈Z .所以k 的最小值为0.(12分)22.【名师指导】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系．(Ⅰ)运用同角三角函数的平方关系即可得到C 的普通方程，运用x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ以及两角和的余弦公式，化简可得直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)写出直线l 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，利用参数的几何意义即可得出|PA|·|PB|的值．解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，两式平方相加，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4；(3分)由直线l 的极坐标方程可得ρcos θcos π4－ρsi n θsi n π4＝2ρcos θ－ρsi n θ＝2，(4分)即直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.(5分)(Ⅱ)由题意可得P(2，0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．(6分)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PA|·|PB|＝|t 1|·|t 2|，将⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2＋2t －3＝0，(8分)则Δ>0，由韦达定理可得t 1·t 2＝－3，(9分)所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.(10分)23.【名师指导】本题考查函数的最值与绝对值不等式的解法．(Ⅰ)利用绝对值三角不等式即可求解；(Ⅱ)分段解不等式或画出函数的图象，找出函数的图象与直线y ＝8的交点的横坐标即可求解．解：(Ⅰ)因为f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋2|≥|(2x －1)－2(x ＋2)|＝5，(4分) 所以函数f (x )的最小值是5.(5分)(Ⅱ)解法一：f (x )＝⎩⎨⎧－4x －3，x<－2，5，－2≤x ≤12，4x ＋3， x>12，(6分) 当x <－2时，由－4x －3<8，解得x >－114，即－114<x <－2；当－2≤x ≤12时，5<8恒成立，即－2≤x ≤12；当x >12时，由4x ＋3<8，解得x <54，即12<x <54，(9分)所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－114，54.(10分) 解法二(图象法)：f (x )＝⎩⎨⎧－4x －3，x<－2，5，－2≤x ≤12，4x ＋3， x>12，(6分)分) 令f (x )＝8，解得x ＝－114或x ＝54，(9分)所以不等式f (x )<8的解集为⎝⎛⎭⎫－114，54.(10分)。

2018年5月份福建省漳州市高三毕业班5月质检质量检查试卷理科数学试题参考答案

2018年漳州市高三毕业班5月质量检查测试理科数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．A 2．B 3．C 4．C 5．C 6．D 7．B 8．D 9．B 10．A 11．D 12．C 二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共20分。

13．π414．200 1516．1或1e三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（1）设等比数列{1}n a +的公比为q ，其前n 项和为n T ，因为22S =， 416S =，则24T =，420T =， ················································ 2分易知1q ≠，所以21(1)(1)41a q q +-=- ① ，41(1)(1)201a q q +-=- ②，由②÷①得215q +=，解得2q =±， ······························································ 5分当2q =时，113a =；当2q =-时，15a =-；所以11421233n n n a +-+=⋅=，或111(4)(2)(2)n n n a -++=-⋅-=--，即1213n n a +=-，或1(2)1n n a +=---． ···························································· 8分（2）因为0n a >，所以1213n n a +=-，所以2log (33)1n n b a n =+=+， 111(1)(2)n n b b n n +==++1112n n -++， ·························································· 10分所以数列11{}n n b b +的前n 项和为11111111233412222(2)n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ······················· 12分 18．解：（1）由统计表并以频率代替概率可得，X 错误！未找到引用源。

福建省漳州市2018届高三上学期期末调研测试数学(理)试题word版有答案AlUHlA

漳州市2018届高中毕业班调研测试数学(理科) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合304x A xx ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}24x B x =>，则A B =I （）A ．(2,)+∞B ．(4,)+∞C ．[4,)+∞D ．[3,2)- 2.若复数z 满足(2)17z i i -=+，则z =（） A ．5 B ．10 C ．22 D ．2 3.函数cos ()2xf x x =⋅在[,]ππ-上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4.已知1a =r ，2b =r ，且()a a b ⊥-r r r ，则向量a r 在b r方向上的投影为（）A ．1B ．2 C.12 D ．2 5.等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1，公差与公比均为3，则123b b b a a a ++=（） A ．64 B ．32 C.38 D ．336.执行如图所示的程序框图，若输入的p 为16，则输出的n ，S 的值分别为（）A ．4，18B ．4，30 C.5，30 D ．5，45 7.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A ．193 B ．203 C.163D ．6 8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．22-B ．222 D ．2- 9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 为减函数，则不等式133(log (25))(log 8)f x f ->的解集为（）A ．541216Ax ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B ．132x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ C.541132162xx x ⎧⎫<<>⎨⎬⎩⎭或 D ．541132162x x x ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或10.在区间[0,1]上随机取三个数a ，b ，c ，则事件“2221a b c ++≤”发生的概率为（） A ．8π B ．6π C.4π D ．2π 11.已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点，l 与C 交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线，交于点P ，则点P 的轨迹方程为（）A ．1x =-B ．2x =- C.24(1)y x =+ D ．24(2)y x =+ 12.已知不等式(3)0xax e x +->有且只有一个正整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．21133,2e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．21133,2e 2e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C. 21133,2e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．21133.22e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为1120，则正数a = ．14.已知实数x ，y 满足20,0,0,x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩若z x y =+的最大值为4，则z 的最小值为．15.设F 为双曲线C ： 22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过F 且斜率为a b 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且2AF BF =u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为．16.数列{}n a 为单调递增数列，且(23)814,4,log ,4n t t n t n a n n --+<⎧=⎨≥⎩*t N ∈，则t 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知223()2b c a bc -=-. （1）求sin A ；（2）若2a =，且sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，求ABC ∆的面积.18.随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视.为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示:（2）在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在这15人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有9人.从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人，求这3人中使用非国产手机的人数X 的分布列和数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a c b d a b c d -=++++()n a b c d =+++19.如图，在多面体ABCDNPM ，底面ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=，PA ⊥平面ABCD ，2AB AP ==，//PM AB ，//PN AD ，1PM PN ==.（1）求证：MN PC ⊥；（2）求平面MNC 与平面APMB 所成锐角二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点与抛物线243y x =的焦点重合，且过点13,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.过点(1,0)P 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求AMN ∆面积的最大值，并求此时直线l 的方程.21.已知函数2()2321xf x e x x b =+-++，x R ∈的图象在0x =处的切线方程为2y ax =+. （1）求函数()f x 的单调区间与极值；（2）若存在实数x ，使得2()23220f x x x k =----≤成立，求整数k 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2122f x x x =-++. （1）求函数()f x 的最小值；（2）解不等式()8f x <.试卷答案一、选择题1-5:BBDDD 6-10:ABCCB 11、12：AA 二、填空题13.1 14.2- 15.2 16.3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、解答题17.解：(Ⅰ)由(b －c )2＝a 2－32bc ，得b 2＋c 2－a 2＝12bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝14，由余弦定理得cosA ＝14，因为0<A<π，所以si n A ＝154. (Ⅱ)由si n B ，si n A ，si n C 成等差数列，得si n B ＋si n C ＝2si n A ，由正弦定理得b ＋c ＝2a ＝4，所以16＝(b ＋c )2，所以16＝b 2＋c 2＋2bc . 由(Ⅰ)得16＝a 2＋52bc ，所以16＝4＋52bc ，解得bc ＝245，所以S △ABC ＝12bc si n A ＝12×245×154＝3155.18.解：(Ⅰ)K 2＝50×（25×11－5×9）230×20×16×34≈8.104>6.635.所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关． (Ⅱ)X 可取0，1，2，3. P(X ＝0)＝C 36C 39＝521，P(X ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P(X ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P(X ＝3)＝C 33C 39＝184，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P5211528 314 184 E (X)＝0×21＋1×28＋2×14＋3×84＝1.19.解：(Ⅰ)证明：作M E ∥PA 交AB 于E ，N F ∥PA 交AD 于F ，连接EF ，BD ，AC. 由PM∥AB，PN ∥AD ，易得M E 綊N F ，所以四边形M EF N 是平行四边形，所以MN∥EF ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC⊥BD，又易得EF ∥BD，所以AC⊥EF ，所以AC⊥MN，因为PA⊥平面ABCD ，EF 平面ABCD ，所以PA⊥EF ，所以PA⊥MN，因为AC∩PA＝A ，所以MN⊥平面PAC ，故MN⊥PC.(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示，则C(0，1，0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，2，A(0，－1，0)，P(0，－1，2)，B(3，0，0)，所以CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，2，CN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－32，2，AP →＝(0，0，2)，AB →＝(3，1，0)，设平面MNC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧32x －32y ＋2z ＝0，－32x －32y ＋2z ＝0，令z ＝1，得x ＝0，y ＝43，所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，1；设平面APMB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧2z 1＝0，3x 1＋y 1＝0，令x 1＝1，得y 1＝－3，z 1＝0，所以n ＝(1，－3，0)，设平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角为α，则cos α＝|m ·n ||m |·|n |＝43302＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋12×12＋（－3）2＋02＝235，所以平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角的余弦值为235.20.解：(Ⅰ)因为抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)，所以椭圆C 的半焦距c ＝3，即a 2－b 2＝3. ① 把点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得3a 2＋14b 2＝1. ② 由①②解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(Ⅱ)设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，代入x 24＋y 2＝1，得(t 2＋4)y 2＋2ty －3＝0.(5分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－2t t 2＋4，y 1y 2＝－3t 2＋4.则|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t t 2＋42－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－3t 2＋4＝4t 2＋3t 2＋4＝4t 2＋3t 2＋3＋1＝4t 2＋3＋1t 2＋3.令t 2＋3＝m (m ≥3)．易知函数y ＝m ＋1m 在[3，＋∞)上单调递增，则t 2＋3＋1t 2＋3≥3＋13＝433，当且仅当m ＝3，即t ＝0时，取等号．所以|y 1－y 2|≤ 3.所以△AMN 的面积S ＝12|AP||y 1－y 2|≤12×3×3＝332，所以S m a x ＝332，此时直线l 的方程为x ＝1.21.解：(Ⅰ)f ′(x )＝2e x＋6x －2，因为f ′(0)＝a ，所以a ＝0，易得切点(0，2)，所以b ＝－1.易知函数f ′(x )在R 上单调递增，且f ′(0)＝0. 则当x <0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)；单调递增区间为(0，＋∞)．所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝2. (Ⅱ)f (x )－2x 2－3x －2－2k≤0e x＋12x 2－52x －1－k ≤0k ≥e x＋12x 2－52x －1， (*)令h(x )＝e x＋12x 2－52x －1，若存在实数x ，使得不等式(*)成立，则k≥h(x )m i n ， h ′(x )＝e x＋x －52，易知h′(x )在R 上单调递增，又h′(0)＝－32<0，h ′(1)＝e －32>0，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－2<0，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝e 34－74>2.5634－74＝1.632－74＝512125－74>2－74＝14>0， ⎝⎛或由e x≥x ＋1当x ＝0时取等号，得e 34－74＝e 34－⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋1>0所以存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，使得h′(x 0)＝0，且当x ∈(－∞，x 0)时，h ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h(x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， h(x )m i n ＝h(x 0)＝e x 0＋12x 20－52x 0－1，又h′(x 0)＝0，即e x 0＋x 0－52＝0，所以e x 0＝52－x 0.所以20000515()1222h x x x x =-+--2001(73)2x x =-+因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，所以h(x 0)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2732，－18，则k≥h(x 0)，又k∈Z . 所以k 的最小值为0.22.解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，两式平方相加，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4；(3分)由直线l 的极坐标方程可得ρcos θcos π4－ρsi n θsi n π4＝2ρcos θ－ρsi n θ＝2，即直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.(5分)(Ⅱ)由题意可得P(2，0)，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)．)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PA|·|PB|＝|t 1|·|t 2|，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2＋2t －3＝0，则Δ>0，由韦达定理可得t 1·t 2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.(23.解：(Ⅰ)因为f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋2|≥|(2x －1)－2(x ＋2)|＝5，所以函数f (x )的最小值是5.(Ⅱ)解法一：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －3，x<－2，5，－2≤x≤12，4x ＋3， x>12，当x <－2时，由－4x －3<8，解得x >－114，即－114<x <－2；当－2≤x ≤12时，5<8恒成立，即－2≤x ≤12；当x >12时，由4x ＋3<8，解得x <54，即12<x <54，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，54.解法二(图象法)：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －3，x<－2，5，－2≤x≤12，4x ＋3， x>12，函数f (x )的图象如图所示，令f (x )＝8，解得x ＝－114或x ＝54，所以不等式f (x )<8的解集为⎝⎛⎭⎫－114，54.答案解析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BBDDDABCCBAA∞)，B ＝(2，＋∞)，所以A ∩B ＝(4，＋∞)，故选B.2.B 【解析】本题考查复数的除法运算及复数的模．因为z ＝1＋7i 2－i ＝（1＋7i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－1＋3i ，所以|z |＝10，故选B.3.D 【解析】本题考查函数的图象和基本性质．由题易得函数f (x )是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除B ，C ，当x ∈(0，π]时，f (x )>0，排除A ，故选D.4.D 【解析】本题考查向量的基本概念和运算．设a 与b 的夹角为θ，则a ⊥(a －b )a ·(a －b )＝0a 2－a ·b ＝0a 2－|a |·|b |cos θ＝0，所以cos θ＝22，所以向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝22，故选D.5.D 【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式．依题意，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，b n ＝3n －1，则b 1＝1，b 2＝3，b 3＝9，所以a b 1＋a b 2＋a b 3＝a 1＋a 3＋a 9＝1＋7＋25＝33，故选D.6.A 【解析】本题考查含有当型循环结构的程序框图．执行程序框图，依次可得n ＝1，S ＝0，S<16，进入循环；S ＝0＋3＝3，n ＝2，S ＝3<16，进入循环；S ＝3＋6＝9，n ＝3，S ＝9<16，进入循环；S ＝9＋9＝18，n ＝4，S ＝18>16，跳出循环，输出n ＝4，S ＝18，故选A.7.B 【解析】本题考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积．这个几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个三棱锥而成的，其直观图如图所示，则这个几何体的体积V ＝23－13×12×2×2×2＝203，故选B.8.C 【解析】本题考查三角函数的图象与性质．由题图可知，A ＝2，T ＝2πω＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8－π8＝π，所以ω＝2，＝2，解得2×π8＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，所以，故选C.9.C 【解析】本题考查函数的基本性质．由题知10.B 【解析】本题考查几何概型.满足条件的概率是以1为半径的球的体积的18除以以1为棱长的正方体的体积，即43π×18÷1＝π6，故选B.11.A 【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系与轨迹方程的求法．不妨将抛物线翻转为x 2＝4y ，设翻转后的直线l 的方程为y ＝k x ＋1，翻转后的A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1得x 2－4k x －4＝0 ①，易得抛物线C 在点A 处的切线方程为y －14x 21＝12x 1·(x －x 1)，同理可得抛物线C 在点B 处的切线方程为y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －14x 21＝12x 1（x －x 1），y －14x 22＝12x 2（x －x 2）得y ＝14x 1x 2，再由①可得x 1x 2＝－4，所以y ＝－1.故原抛物线C 相应的点P 的轨迹方程为x ＝－1，故选A.12.A 【解析】本题考查导数的应用.当a≥0时，1，2都是不等式(a x ＋3)e x－x >0的解，不符合题意；当a<0时，(a x ＋3)e x－x >0化为a x ＋3>x e x ，设f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝1－x e x ，所以函数f (x )在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最大值，因为不等式(a x ＋3)e x－x >0有且只有一个正整数解，则⎩⎪⎨⎪⎧a×1＋3>1e1，a ×2＋3≤2e2，解得1e －3<a≤1e 2－32，故选A.13.1 【解析】本题考查二项式定理的通项.⎝⎛⎭⎪⎫2x －a x 8展开式的通项为 T k ＋1＝C k8(2x )8－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x k＝C k 828－k (－a)k x 8－2k .令8－2k ＝0，得k ＝4.由，得正数a ＝1.14.－2 【解析】本题考查含有参数的线性规划问题.作出可行域，如图所示，经计算，A(－2k ，k)，B(k ，k).由图可知，当直线y ＝－x ＋z 过点B 时，z 取最大值，即k ＋k ＝4，解得k ＝2，当直线y ＝－x ＋z 过点A(－4，2)时，z 取最小值，即z m i n ＝－4＋2＝－2.15.2或233 【解析】本题考查双曲线的几何性质．若AF →＝－2BF →，则由图1可知，渐近线OB 的斜率为－b a ，l ⊥OB ，在Rt △OBA 中，由角平分线定理可得|OA||OB|＝|FA||FB|＝2，所以∠AOB＝60°，∠x OA ＝30°，所以b a ＝33，e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233.若AF →＝2BF →，则由图2可知，渐近线OB 为△AO F 边A F 的垂直平分线，故△AO F 为等腰三角形，故∠AOB＝∠BO F ＝60°，b a ＝3，e ＝ca＝2.16.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】本题考查数列与分段函数的性质．要使数列{a n }为单调递增数列，则a 1<a 2<a 3<a 4<a 5<….当n <4时，a n ＝(2t －3)n －8t ＋14必须单调递增，∴2t －3>0，即t>32 ①.当n ≥4时，a n ＝log t n 也必须单调递增，∴t>1 ②.另外，由于这里类似于分段函数的增减性，因而a 3<a 4，即3(2t －3)－8t ＋14<log t 4，化简得log t 4＋2t>5 ③.方法一：当32<t ≤2时，log t 4＋2t>5；当2<t≤52时，log t 4＋2t>5；当t>52时，log t 4＋2t>5，故③式对任意t>32恒成立，综上，解得t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.方法二：由①②得t>32，在此前提下，构造f (t)＝log t 4＋2t －5⎝ ⎛⎭⎪⎫t>32，则f ′(t)＝2－ln4tln 2t ，令g(t)＝tl n 2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t>32，则g′(t)＝l n 2t ＋2l n t ＝l n t(l n t ＋2)>0，∴g(t)＝tl n 2t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，且g(t)>0，从而f ′(t)是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上的增函数，可验证f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2－ln432ln 232＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 34ln 232<0⎝ ⎛证明如下：要证f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，即证l n 34>l n 232，即证l n 4>3l n 32×l n 32，即证l n 4>l n 278×l n 32，∵l n 4>l n 278，0<l n 32<1，∴l n 4>l n 278×⎭⎪⎫ln 32，得证，f ′(2)＝2－ln42ln 22＝2－2ln4>0.∴f ′(t)＝2－ln4tln 2t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上有唯一零点，设为m ，m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，易知m 为f (t)的极小值点，也是最小值点．∴f (t)m i n ＝f (m )＝log m 4＋2m －5.当m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，log m 4>log 24＝2，2m >2×32＝3.∴f (t)m i n ＝f (m )>log 24＋3－5＝0，即当t∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (t)>0恒成立．综上，t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.17.【名师指导】本题考查正弦定理、余弦定理、等差数列以及三角形面积的计算．解：(Ⅰ)由(b －c )2＝a 2－32bc ，得b 2＋c 2－a 2＝12bc ，(2分)即b 2＋c 2－a 22bc ＝14，由余弦定理得cosA ＝14，(4分)因为0<A<π，所以si n A ＝154.(6分) (Ⅱ)由si n B ，si n A ，si n C 成等差数列，得si n B ＋si n C ＝2si n A ，(7分) 由正弦定理得b ＋c ＝2a ＝4，所以16＝(b ＋c )2，所以16＝b 2＋c 2＋2bc .(8分) 由(Ⅰ)得16＝a 2＋52bc ，所以16＝4＋52bc ，解得bc ＝245，(10分)所以S △ABC ＝12bc si n A ＝12×245×154＝3155.(12分)18.【名师指导】本题考查独立性检验．解：(Ⅰ)K 2＝50×（25×11－5×9）230×20×16×34≈8.104>6.635.(2分)所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．(4分) (Ⅱ)X 可取0，1，2，3.(5分) P(X ＝0)＝C 36C 39＝521，(6分)P(X ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，(7分)P(X ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，(8分)P(X ＝3)＝C 33C 39＝184，(9分)所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P5211528314184(10分)E (X)＝0×521＋1×1528＋2×314＋3×184＝1.(12分)19.【名师指导】本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的求法．(Ⅰ)证明MN⊥平面PAC ，从而证得MN⊥PC；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求出平面MNC 与平面APMB 的法向量，利用空间向量夹角公式求解．解：(Ⅰ)证明：作M E ∥PA 交AB 于E ，N F ∥PA 交AD 于F ，连接EF ，BD ，AC. 由PM∥AB，PN ∥AD ，易得M E 綊N F ，所以四边形M EF N 是平行四边形，所以MN∥EF ，(2分) 因为底面ABCD 是菱形，所以AC⊥BD，又易得EF ∥BD，所以AC⊥EF ，所以AC⊥MN，(3分) 因为PA⊥平面ABCD ，EF 平面ABCD ，所以PA⊥EF ，所以PA⊥MN，因为AC∩PA＝A ，(4分) 所以MN⊥平面PAC ，故MN⊥PC.(5分)(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示，则C(0，1，0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，2，A(0，－1，0)，P(0，－1，2)，B(3，0，0)，所以CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，2，CN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－32，2，AP →＝(0，0，2)，AB →＝(3，1，0)，(7分)设平面MNC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧32x －32y ＋2z ＝0，－32x －32y ＋2z ＝0，令z ＝1，得x ＝0，y ＝43，所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，1；(9分) 设平面APMB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧2z 1＝0，3x 1＋y 1＝0，令x 1＝1，得y 1＝－3，z 1＝0，所以n ＝(1，－3，0)，(10分)设平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角为α，则cos α＝|m ·n ||m |·|n |＝43302＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋12×12＋（－3）2＋02＝235，(11分)所以平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角的余弦值为235.(12分)20.【名师指导】本题考查椭圆的方程、性质、直线与椭圆位置关系的综合问题．解：(Ⅰ)因为抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)，所以椭圆C 的半焦距c ＝3，即a 2－b 2＝3. ① 把点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－3，12代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得3a 2＋14b 2＝1. ② 由①②解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(Ⅱ)设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，代入x 24＋y 2＝1，得(t 2＋4)y 2＋2ty －3＝0.(5分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－2t t 2＋4，y 1y 2＝－3t 2＋4.(7分)则|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t t 2＋42－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－3t 2＋4＝4t 2＋3t 2＋4＝4t 2＋3t 2＋3＋1＝4t 2＋3＋1t 2＋3.(9分)令t 2＋3＝m (m ≥3)．易知函数y ＝m ＋1m在[3，＋∞)上单调递增，则t 2＋3＋1t 2＋3≥3＋13＝433，当且仅当m ＝3，即t ＝0时，取等号．(10分) 所以|y 1－y 2|≤ 3.所以△AMN 的面积S ＝12|AP||y 1－y 2|≤12×3×3＝332，(11分)所以S m a x ＝332，此时直线l 的方程为x ＝1.(12分)21.【名师指导】本题考查导数的综合应用．解：(Ⅰ)f ′(x )＝2e x＋6x －2，因为f ′(0)＝a ，所以a ＝0，易得切点(0，2)，所以b ＝－1.(1分)易知函数f ′(x )在R 上单调递增，且f ′(0)＝0. 则当x <0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)；单调递增区间为(0，＋∞)．(2分) 所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝2.(3分) (Ⅱ)f (x )－2x 2－3x －2－2k≤0e x＋12x 2－52x －1－k ≤0k ≥e x＋12x 2－52x －1， (*)(4分)令h(x )＝e x＋12x 2－52x －1，若存在实数x ，使得不等式(*)成立，则k≥h(x )m i n ， h ′(x )＝e x＋x －52，易知h′(x )在R 上单调递增，(6分)又h′(0)＝－32<0，h ′(1)＝e －32>0，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－2<0，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝e 34－74>2.5634－74＝1.632－74＝512125－74>2－74＝14>0， ⎝⎛或由e x≥x ＋1当x ＝0时取等号，得e 34－74＝e 34－⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋1>0所以存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，使得h′(x 0)＝0，(8分)且当x ∈(－∞，x 0)时，h ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h(x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，(9分) h(x )m i n ＝h(x 0)＝e x 0＋12x 20－52x 0－1，又h′(x 0)＝0，即e x 0＋x 0－52＝0，所以e x 0＝52－x 0.因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，所以h(x 0)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2732，－18，则k≥h(x 0)，又k∈Z . 所以k 的最小值为0.(12分)22.【名师指导】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系．(Ⅰ)运用同角三角函数的平方关系即可得到C 的普通方程，运用x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ以及两角和的余弦公式，化简可得直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)写出直线l 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，利用参数的几何意义即可得出|PA|·|PB|的值．解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，两式平方相加，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4；(3分) 由直线l 的极坐标方程可得ρcos θcos π4－ρsi n θsi n π4＝2ρcos θ－ρsi n θ＝2，(4分)即直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.(5分)(Ⅱ)由题意可得P(2，0)，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)．(6分)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PA|·|PB|＝|t 1|·|t 2|，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2＋2t －3＝0，(8分)则Δ>0，由韦达定理可得t 1·t 2＝－3，(9分) 所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.(10分)23.【名师指导】本题考查函数的最值与绝对值不等式的解法．(Ⅰ)利用绝对值三角不等式即可求解；(Ⅱ)分段解不等式或画出函数的图象，找出函数的图象与直线y＝8的交点的横坐标即可求解．解：(Ⅰ)因为f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋2|≥|(2x －1)－2(x ＋2)|＝5，(4分) 所以函数f (x )的最小值是5.(5分)(Ⅱ)解法一：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －3，x<－2，5，－2≤x≤12，4x ＋3， x>12，(6分) 当x <－2时，由－4x －3<8，解得x >－114，即－114<x <－2；当－2≤x ≤12时，5<8恒成立，即－2≤x ≤12；当x >12时，由4x ＋3<8，解得x <54，即12<x <54，(9分)所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，54.(10分)解法二(图象法)：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －3，x<－2，5，－2≤x≤12，4x ＋3， x>12，(6分) 函数f (x )的图象如图所示，分)令f (x )＝8，解得x ＝－114或x ＝54，(9分)所以不等式f (x )<8的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，54.(10分)。

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