估算平方根和计算器开方
北师大版八年级上册数学第2章实数 第5节用计算器开方
知2－练
课堂小结
用计算器开方
开方运算
开平方 工具 开立方
计算器
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后作业 作业2 补充: 请完成对应习题
知1－练
解： (1)依次按键 ■ 9 8 0 1 = S ⇔D， 显示 99. 所以 9 801=99.
(2)依次按键 ■ 1 1 = S ⇔D ， 显示 3.316 624 79. 所以 11≈3.32.
感悟新知
知识点 2 用计算器开立方
知2－讲
求一个数的立方根
(1)有 3 ■ 键的计算器，按键顺序为先按3 ■ 键，再按
感悟新知
知1－讲
特别提醒 用计算器求算术平方根或立方根时，计算器显
示的数值，许多都是近似值，要根据题目要求的精 确度确定结果.
感悟新知
例1 用计算器求下列各式的值： (1) 9 801； (2) 11 (结果精确到 0.0Байду номын сангаас ) .
知1－练
解题秘方：紧扣用计算器开平方的按键顺序进行 操作 .
感悟新知
数字键，最后按 = 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 SHIFT键，
再按 ■ 键，然后按数字键，最后按 = 键，显示结果 .
感悟新知
知2－讲
特别提醒 不同型号的计算器按键的顺序可能不同，使用
计算器时，一定要按说明书操作 .
感悟新知
例2 用计算器求下列各数的立方根： (1) 64； (2) 100 (结果精确到 0.01 ) ； (3) － 13.27 (结果精确到 0.001 ) .
第二章
实数
2.5 用计算器开方
学习目标
1 课时讲解 用计算器开平方
完全掌握平方根与立方根的计算方法
完全掌握平方根与立方根的计算方法数学作为一门基础学科，对于中学生来说是必不可少的。
在数学学习中，平方根与立方根是常见的概念和计算方法。
掌握平方根与立方根的计算方法，不仅有助于提高数学成绩，还能在实际生活中运用。
本文将详细介绍如何完全掌握平方根与立方根的计算方法。
一、平方根的计算方法平方根是一个数的平方等于该数的算术根。
计算平方根的方法主要有两种：近似法和开方法。
1. 近似法近似法是一种简单快捷的计算平方根的方法。
例如，要求√10的近似值，我们可以先找出最接近10的完全平方数，即4和9。
4的平方根是2，9的平方根是3，显然10介于2和3之间，所以√10的近似值可以取为2.5。
这种方法适用于计算不太复杂的平方根，但对于较大的数或者需要更精确的结果时，就不太适用了。
2. 开方法开方法是一种精确计算平方根的方法。
它主要有两种形式：手算开方和使用计算器开方。
手算开方是一种基于数学原理的计算方法。
以求√16为例，我们可以将16分解为4×4，即(√4)×(√4)，结果是4。
同样地，我们可以通过分解数的因数，将其转化为完全平方数的乘积，然后再进行开方运算。
使用计算器开方则更加方便快捷。
现在的计算器都配有开方功能，只需输入要开方的数，按下开方键即可得到结果。
这种方法适用于计算复杂的平方根或需要高精度结果的情况。
二、立方根的计算方法立方根是一个数的立方等于该数的算术根。
计算立方根的方法主要有两种：近似法和开立方法。
1. 近似法近似法和计算平方根的近似法类似。
例如，要求³√27的近似值，我们可以先找出最接近27的完全立方数，即8和27。
8的立方根是2，27的立方根是3，显然27介于2和3之间，所以³√27的近似值可以取为2.5。
这种方法适用于计算不太复杂的立方根，但对于较大的数或者需要更精确的结果时，就不太适用了。
2. 开立方法开立方法是一种精确计算立方根的方法。
它可以通过数学原理进行手算开立方，也可以使用计算器进行开立方运算。
用计算器求一个数的算术平方根
用计算器求一个数的算术平方根算术平方根是一个数学概念，用来描述一个数的平方等于另一个数的情况。
计算器是一种电子设备，用于进行数学计算。
在计算器上求一个数的算术平方根可以通过以下步骤进行。
1.打开计算器。
通常计算器都有一个开关按钮或者是滑盖来进行开机。
2.定义要求算术平方根的数。
可以在计算器的屏幕上输入数字，或者是按下相应数字键来输入。
3.选择算术平方根功能。
大多数计算器上都有一个"√"符号来表示算术平方根。
可以通过按下该符号键或者是选择相应的功能键来选择算术平方根功能。
4. 输入被求平方根的数。
在选择了算术平方根功能后，计算器通常会提示你输入被求平方根的数。
输入数字后，通常可以按下 "Enter" 键或者是 "=" 键来确认输入。
5.计算结果。
计算器会自动计算输入数的算术平方根，并将结果显示在屏幕上。
如果求平方根的数是一个完全平方数，结果会是一个整数。
否则，结果会是一个很长的十进制小数或者是分数。
在实际使用计算器进行算术平方根的计算时，可能还会遇到以下一些注意事项：1.确保选择了正确的算术平方根功能。
有些计算器上可能有多个开根号的符号，表示不同的开方操作。
要确保选择的是算术平方根的功能。
2.注意负数的情况。
算术平方根定义在非负实数范围内，所以如果你输入一个负数，计算器会显示错误或者是不可计算的结果。
3.精度问题。
计算器的算术平方根计算结果通常是有限精度的，可能只显示一定位数的小数或者是分数。
对于一些无理数或者是无限循环小数的平方根，可能无法完全准确地显示。
需要注意的是，虽然计算器对于大多数数的算术平方根进行了预设的计算功能，但是它只是一种工具，而不是解决问题的唯一方法。
在一些情况下，特别是涉及更复杂的数学问题时，可能需要使用更高级的数学工具和技术来求解算术平方根。
4 估算 & 5 用计算器开方
1 . 2
2
【解析】 3 1 与 1 的分母相同，只要比较它们的分子就可 以了.因为 3 ＜2，所以
3 -1 ＜1，所以
1 3 1 ＜ . 2 2
借助计算器取近似值： （1） +
2 3（结果精确到百分位）.
（2）3
1 2 - 3（结果精确到0.01）.
（１）６.６１.
（２）０.９３.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
110 m2
小华的方法：因为110＜ 112 ，所以水 池的边长不到11 m，大约为10 m. 结合两种方法——两边夹.
【例题】
【例1】 估计 3 340 （结果精确到1）. 【解析】 因为 63 216 ＜340＜ 343 73 ， 从而 3 340 非常接近于7， 所以
3
340 的值大约为7.
所以 15 ＞3.85.
【例题】
【例2】通过估算，你能比较
2 1 5 1 与 2 的大小吗？ 2
1 【解析】 5 1 与 的分母相同，只要比较它们的分子
2
就可以了.因为 5 ＞2，所以
5 -1 ＞1，所以
5 1 1 ＞ . 2 2
【跟踪训练】
通过估算，比较下面两个数的大小：
3 1 与 2
【跟踪训练】
1.判断：下列结果正确吗？说说你的理由： （1） 8 955 ≈ 9.5.
3 （2 ） 12 345 ≈ 231.
【答案】（1）错误.（2）错误.
2.通过估算，比较下面两个数的大小：
15 与3.85 .
【解析】因为 ( 15 ) 2 15 ，3.85 15＞14.822 5,
2
14.822 5,
1.估算无理数的方法
初中数学知识点精讲精析 用计算器开方
2.5 用计算器开方学习目标1.会用计算器求平方根和立方根。
2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。
知识详解1．用计算器开方开方运算要用到键和键3.对于开平方运算，按键顺序为：，被开方数，＝.对于开立方运算，按键顺序为：3，被开方数＝.（用不同型号的计算器进行开方运算，按键顺序可能有所不同，可以参看说明书）正确使用计算器：使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，可以按照算式的书写顺序从左至右按键输入算式，计算器将按照运算法则的优先顺序自动进行运算，其运算的优先顺序为：括号中的运算、乘幂与方根运算、乘除运算、加减运算．不同型号的计算器，按键的顺序可能会有所不同，要仔细阅读计算器的说明书．3．利用计算器探索规律目前初中阶段计算器的应用主要是计算(估算)、比较数的大小或探寻规律、验证结论等．用计算器探索数字运算的有关规律，通常的做法是先将这个数字运算缩到最小，然后再逐步放大，从而利用由特殊到一般的思想方法以小见大，逐步探索出数字运算中所蕴含的一般规律．注意“由一般到特殊”这种探究问题的方法的应用．4．利用计算器解决实际问题计算器正越来越受人们的欢迎，在生活和学习中计算器正发挥着越来越大的作用，现在的数学考试也可以使用计算器了，借助计算器来探索规律就是近年中考的题型之一．《新课程标准》指出：“应充分考虑计算器，计算器对数学学习内容与方式的影响，把它们作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具．”使用计算器，可以缩短计算时间，提高计算效率，降低劳动强度．不同的计算器使用方法是不同的，但是大同小异，注意看说明书．【典型例题】例1. 请计算：3 333 333 334×3 333 333 333的乘积中共有__________个数字是偶数．【答案】10【解析】用计算器依次探索可得：4×3＝12，34×33＝1 122，334×333＝111 222，3 334×3 333＝11 112 222，…得到规律：乘积中偶数的个数与前面所乘因数的位数相等．例2. 如图，正方形的面积和圆的面积均为100 2cm ，问哪一个周长小一些？【答案】正方形的周长为10×4＝40(cm)，圆的周长为2π×5.64≈35(cm) ，圆的周长小一些【解析】先计算出正方形的边长和圆的半径，再求出它们的周长进行比较例3. 用计算器求32值时，需相继按“2”，“∧”，“3”，“=”键，若小红相继按“，“2”，“∧”，“4”，“=”键，则输出结果是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．16【答案】A【解析】由题意知，按“2”，“∧”，“3”，表示求32值，∴按，“2”，“∧”，“4”，“=”4次幂，结果为4．【误区警示】易错点1：了解计算器各个符号表示的意义1. 用计算器求2008的算术平方根时，下列四个键中，必须按的键是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】首先了解各个符号表示的意义，然后结合计算器不同按键功能即可解决问题． 易错点2：理解面积的割补法2. 如图，面积为30 2m 的正方形的四个角是面积为2 2m 的小正方形，用计算器求得a 的长为（ ）（保留3个有效数字）A．2.70mB．2.66mC．2.65mD．2.60m【答案】C法和平方根的定义即可求出a值．【综合提升】针对训练1. 用计算器求2012的平方根时，下列四个键中，必须按的键是（）A．B．C．D．2. 使用课本所示型号的计算机，按键顺序是，最后显示的结果是（）A．220B．292C．122D．103. 任意给定一个负数，利用计算器不断进行开立方运算，随着开立方次数增加，结果越来越趋向（）A．0B．1C．-1D．无法确定1.【答案】C【解析】由于表示加号；表示乘号；表示根号；表示除号；根据计算器的知识可知求2012的平方根时，必须按的键是．2.【答案】D．3.【答案】C【解析】∵负数的立方根仍是负数，且两个负数绝对值大的反而小，∴结果越来越趋向-1．课外拓展初等数学时期初等数学时期是指从原始人时代到17世纪中叶，这期间数学研究的主要对象是常数、常量和不变的图形。
估算平方根和计算器开方学习课件PPT
4.当a 9a 的算术平方根为 3a。 ≥0 时，
5. 5 a b的最大值为 -5 ， 互为相反数 此时a与b的关系为 。
6、
2
200a
2 。
7.已知（ｘ１） y 2 z 3 0, 则 x y z ______ 2
如果是一个整数，那么最小的正整数a是 2
5．例题讲解
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm，则 3x∙2x=300
6 x 2 =300 x 2 =50
x 50
因此长方形的长是 3 50 cm ， 因为 50＞49，得 50 ＞7 ，所以 3 50 ＞3×7＝21， 比原正方形的边长更长，这是不可能的． 所以，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
1、非负数a的算术平方根记为_____
a
a≥0
( a ) 2 =a
2、
a
a的算术平方根
被开方数
a ≥0
3、
a
2
|a| =
a 0
(a＞0) (a=0) (a＜0)
-a
（）求 1 2， （ 3 ） ， （ 6） ，0 的值
2 2 2 2
2 2 2 2 （2）求（ 4），（ 25），（ 49），（ 0）的值
学以致用
1.若 12.5 3.535 ，1.25 1.118
0.3535 那 么 125 11.18 ； 0.125 。
2.若 已 知 7.45 2.729 ， y 272.9；
74500 那 么y 。
3.将一个正方形的面积扩大为原来的 x 6 倍，那 么这个正方形的边长扩大为原来的 6 x 倍． 被开方数的小数点每向右(或左)移动两位,
估算和用计算器开方
估算和用计算器开方开方是数学中的一种运算，指的是求一个数的平方根。
平方根是一个数乘以自己等于被开方数的结果。
开方的结果可以是一个实数或一个复数。
估算开方是在没有计算器的情况下，通过一些近似的方法求出一个数的平方根的大概值。
这些方法可以包括几何构造、数值逼近等。
用计算器开方相对来说更准确，因为计算器可以进行精确的数值计算。
现代计算器基本上都配备了开方功能，可以通过输入被开方数，按下相应的按键，就能得到准确的平方根值。
下面，我们通过一个例子来演示如何进行开方运算。
假设我们要求开方的数是1200。
1.估算开方：首先，我们可以观察这个数是否是一个完全平方数，即它的平方根是否可以是一个整数。
在这个例子中，我们可以知道37的平方是1369，而38的平方是1444，因此1200的平方根应该介于37和38之间。
接下来，我们可以使用牛顿迭代法进行估算。
该方法是不断改进的方法，直到达到所需的精度为止。
首先，我们假设一个初始值x，然后计算x的平方减去被开方数得到的差，即f(x)=x^2-1200。
接下来，我们计算f(x)的导数，即f'(x)=2x。
然后，我们使用初始值x和差/f'(x)的比率来更新x的值，即x_new = x - (x^2 - 1200)/(2x)。
我们可以通过不断更新x的值来逐渐接近1200的平方根的估算值。
这种方法需要进行多次迭代，直到所需的精度为止。
在这个例子中，我们可以选择x的初始值为40，然后进行迭代，计算x的新值。
因此，我们可以估算1200的平方根的值约为34.6412.用计算器开方：现代计算器通常都包含开方功能。
对于1200这个例子，我们只需要输入1200并按下开方键，计算器就会给出1200的确切平方根值。
因此，使用计算器进行开方运算可以得到更准确的结果。
总结：开方是数学中的一种运算，用于求一个数的平方根。
可以通过估算和使用计算器来进行开方运算。
估算开方可以使用近似的方法来找到一个数的大概平方根值。
八年级上数学.4估算 2.5用计算器开方
2.4 估算2.5用计算器开方学习目标：1、会估算一个无理数的大致范围.2、会比拟两个无理数的大小.3、会利用估算解决一些简单的实际问题.4、能在具体情境中体验估算和运用计算器检验计算结果的合理性．预习案一、课前导学：阅读课本P33-34，完成以下内容。
1、求以下各式的值：.0 =101.0 =493001.0=31=31000=31000000=38000=3125-=.0从中你发现了什么规律? 这些数的开方都是的〔填：开得尽或开不尽〕。
2、〔a〕2=＿＿＿＿〔a≥0〕，〔3a〕3=＿＿＿＿〔a为任意实数〕。
3、如果你碰到一个开方开不尽的数，题目要求有精确度，怎样估算这个数的大小呢？某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园。
这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2。
〔1〕公园的宽大约是多少？它有1000米吗？解：设公园的宽为x米，那么它的长为2x米，由题意得：x·2x =400000， 2x2=400000，x2=200000，x≈_________________。
所以公园的宽是____________。
〔2〕如果要求结果精确到10米，它的宽大约是多少？解：设公园的宽为x米，那么有x2=2000002= 160000 < 200000 < 50024402=, 4502=∴< x <结果精确到10米注意：结果精确到10米是指估算到十位。
∴ x应为。
〔3〕该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗？〔结果精确到1m〕解：设圆形花圃的半径为R米，由题意得：152=，162 =∴< R <结果精确到1m所以圆形花圃的半径为____________。
4、估算以下数的大小。
〔1〕3800 〔结果精确到1〕解： 93=，103∴<3800< ∴3800≈。
〔2〕6.13 〔结果精确到0.1〕解： 3.62=，3.72=∴<6.13< ∴6.13≈。
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则它的算术平方根的小数点向右(或左)移动一位.
5．例题讲解
5 1 与0.5 . 例2 比较大小： 2
解：∵ 5＞4， ∴ 52 ， ∴ 5 1 2 1 1，
5 1 ∴ 0.5 ． 2
5．例题讲解
小丽想用一块面积为400 cm2为的长方形纸片， 沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2的长方形 纸片，使它的长宽之比为3:2．她不知能否裁得 出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定 能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” 你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符 合要求的纸片吗？ 你能将这个问题转化为数学问题吗？
1、估计 10 的值在（ C ） A. 1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 2、估计 11 的值（ B ） A.在2和3之间 B.在3和4之间 C.在4和5之间 D.在5和6之间
1、若
2 ≈1.414，则
14.14
0.02≈
0.1414 ，
200 ≈
2、已知 13 ≈3.606， 1.3 ≈1.140，根据以上信息， 可求得 0.13 的近似值是（结果精确到0.01） ( B ) A.36.06 B.0.36 C.11.40 D.0.11
2．用计算器求算术平方根 例1 用计算器求下列各式的值： (1) 3136 ； (2) 2 （精确到 0.001 ）．
，
解：(1) 依次按键 3136 显示：56． ∴ 3136 56 ．
， (2) 依次按键 2 显示：1.414213562． ∴ 2 1.414 ．
4．探究规律
利用计算器计算，并将计算结果填在表中， 你发现了什么规律？ … …
x 2
所以大正方形的边长为
2 dm
2 有多大呢
因为 12
1
所以
2 =2 （ 2）
22 4
1 2 2
2 的更精确的范围？ 因为 1.42 1.96 1.52 2.25
你能不能得到
所以 1.4＜
2
＜1.5
因为 1.412 1.9881 1.422 2.0614 所以 1.41＜ 2 ＜1.42 因为 1.4142 1.999396 所以 1.414＜
2
2、若y= 2 x 6 6 2 x +2，则 x 的算术平方根是 ____________ 3
3、一个自然数的算术平方根为a，则下一个相邻的 自然数是 ；2
y
a +1
4、一个自然数的平方为a，那么比这个自然数大1的数是
；
a 1
5.试求出满足 5 x 19整数x
学以致用
1.若 12.5 3.535 ，1.25 1.118
0.3535 那 么 125 11.18 ； 0.125 。
2.若 已 知 7.45 2.729 ， y 272.9；
74500 那 么y 。
3.将一个正方形的面积扩大为原来的 x 6 倍，那 么这个正方形的边长扩大为原来的 6 x 倍． 被开方数的小数点每向右(或左)移动两位,
2 2 2 13 。 1. 16的算术平方根是 ；5 12 5 4 2、请估算 20 在哪两个整数之间 ＜ 20 ＜ ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
27 变式 : 15, 18, 27, 29中最接近5的数是______
2 3.若 2x 5 4，则（ 2x 5） 256 。
6 = 2.4494897
7 2.6457513
例1：估计大小 15 3 1 ） 与 （ 1 ） 10与 （ 2 ） 140与12 （3
2
2
例2：求 31的整数部分和小数部分。
解：31的整数部分是5 31的小数部分是 31 5
小数部分=原数-整数部分
思考： 7 7的整数部分与小数部分 。
0.0625
0.625
6.25
62.5
7.91
625
6250
62500
… …
0.25
0.791
2.5
25
79.1
250
被开方数每扩大100倍，其算术平方根就扩大10倍 被开方数没扩大10000倍，其算术平方根就扩大100倍 被开方数小数点向右（左）移动2位，其算术平方根小数点向右（左）移动1位， 被开方数小数点向右（左）移动4位，其算术平方根小数点向右（左）移动2位， 被开方数小数点向右（左）移动6位，其算术平方根小数点向右（左）移动4位， 以此类推……
观察下列式子：
1 1
121 11
12321 111
．．．
1234321 1111
１、 12345678987654321 111111111 _________
２、从上述式子你发现了什么？
３、若 =111111，则x=
x
. 12345654321
1、若数a满足 2004 a a 2005 a 求a 2004 的值
1.4152 2.002225
„„
2
＜1.415
2 =2.414213562373 …… 2 是一个无限不循环小数。
有许多正有理数的算术平方根，例如
3 ，
不循环小数
5 ， 7 等，都是无限
2，3，5，6，7，8，10
2 1.41421356
3 1.7320508
5 2.2360679
平方根的估算和计算器开平方
1、非负数a的算术平方根记为_____
a
a≥0
( a ) 2 =a
2、
a
a的算术平方根
被开方数
a ≥0
3、
a
2
|a| =
a 0
(a＞0) (a=0) (a＜0)
-a
（）求 1 2， （ 3 ） ， （ 6） ，0 的值
2 2 2 2
2 2 2 2 （2）求（ 4），（ 25），（ 49），（ 0）的值
4.当a 9a 的算术平方根为 3a。 ≥0 时，
5. 5 a b的最大值为 -5 ， 互为相反数 此时a与b的关系为 。
6、
2
200a
2 。
7.已知（ｘ１） y 2 z 3 0, 则 x y z ______ 2
如果是一个整数，那么最小的正整数a是 2
5．例题讲解
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm，则 3x∙2x=300
6 x 2 =300 x 2 =50
x 50
因此长方形的长是 3 50 cm ， 因为 50＞49，得 50 ＞7 ，所以 3 50 ＞3×7＝21， 比原正方形的边长更长，这是不可能的． 所以，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
练习： 1. （m 1 ） 3，则m 。 4或-2
2
2 a≤2 。 ２ .若 （a 2 ） 2 a，则a的取值范围是
探究
能否用两个面积为1 dm2的小正方形 2 m 拼成一个面积为2 d 的大正方形？
?
解: 设大正方形的边长为x dm。 则
x 2
2
由算术平方根的定义，得