八年级上册数学平方根与立方根
平方根与立方根
平方根与立方根在数学中，平方根和立方根是两个常见的运算符号。
它们分别表示一个数的平方和立方的根。
平方根表示一个数的二次方根，而立方根则表示一个数的三次方根。
平方根和立方根的概念在解决数学问题和实际应用中都有着广泛的应用。
一、平方根平方根是指一个数的二次方根，通常用符号√来表示。
对于一个非负数x，其平方根为正的实数y，满足y^2 = x。
平方根可以通过计算或者近似的方法来求解。
1.计算方法计算平方根的方法有很多种，其中最常见的方法有以下几种。
（1）二分法：该方法通过猜测一个数的平方根，然后逐步逼近最终结果。
首先确定一个上下界，然后根据猜测的平方根和实际值的大小关系进行二分查找，最终得到较为准确的结果。
（2）牛顿法：牛顿法是一种迭代的方法，利用函数的斜率来逐步逼近平方根的值。
首先选择一个初始值，然后通过迭代计算来逼近平方根。
（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解平方根。
例如对于完全平方数，它的平方根就是这个数的整数解。
2.近似值除了精确计算平方根，我们还可以使用近似值来表示平方根。
例如在科学计算中，经常使用的近似值是保留2位小数的平方根。
例如，√2的近似值为1.41，√3的近似值为1.73。
二、立方根立方根是指一个数的三次方根，通常用符号∛来表示。
对于一个实数x，其立方根为实数y，满足y^3 = x。
立方根和平方根类似，可以通过计算或者近似的方法来求解。
1.计算方法计算立方根的方法与计算平方根类似，有多种常见的方法可以使用。
（1）二分法：通过猜测一个数的立方根，然后利用二分查找来逼近最终结果。
（2）牛顿法：利用函数的导数和斜率来迭代逼近立方根的值。
（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解立方根。
2.近似值立方根的近似值也可以使用在实际计算中。
例如在物理学中，常用的近似值是保留3位小数的立方根。
例如，∛2的近似值为1.26，∛3的近似值为1.44。
总结：平方根和立方根是数学中常见的运算符号，它们表示一个数的二次方根和三次方根。
八年级上册数学《实数》平方根和立方根_知识点整理
平方根和立方根一、知识要点1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
③ 当0<a 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
2、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例1 求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-；（3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是 3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误. 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9.（2）因为1642=，所以－416-=. （3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-. 3、立方根（1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。
八年级上数学实数平方根与立方根
6.1平方根立方根一、知识要点：1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。
注意：这样的数常常有两个。
2、平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。
(2)0的平方根是0本身；(3)负数没有平方根。
3.平方根的表示方法:正数a的平方根表示为“± ”4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。
记作。
0的平方根0,也叫做0的算术平方根。
5. ≥0（当 a<0时, 无意义）。
到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。
6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。
二.易犯错误：1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．2. 表示的正数a的平方根。
蕴含条件a≥0。
三.例题分析:例1.求下列各数的平方根,算术平方根:(1)121 (2)0.0049 (3) (4)4 (5)|a|2解:(1)∵(±11)2=121∴121的平方根是±11,算术平方根是11；即± =±11, =11。
(2)∵(±0.07)2=0.0049 ∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,即,±=±0.07, =0.07。
(3)∵(± )2= ∴ 的平方根是± ,算术平方根是, 即±=± , = 。
(4)要先把带分数化成假分数,即4∵(± )2= ∴4 的平方根为± ，算术平方根为。
即,± 。
(5) ∵(±|a|)2=|a|2,而±|a|=±a。
∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。
说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。
例2.求下列各式的值:(1)3 =3× = (2)± =± (3)=8(4)± =± (5)- (带分数要先化成假分数)(6)3× =3×7=21(7)(8) ×0.6+ ×0.9=0.3+0.3=0.6(9) (a<b)= ∵a<b，∴原式=-(a-b)=b-a。
苏科版-数学-八年级上册-剖析“平方根”与“立方根”
剖析“平方根”与“立方根”一．认识平方根、算术平方根、立方根的概念平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个数x 叫做a 的平方根．如52=25，所以5是25的平方根；又因为（－5）2=25，所以－5也是25的平方根，则25有两个平方根：±5．特别，0的平方根是0．算术平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个数x 叫做a 的算术平方根．如52=25，所以5是25的算术平方根，此外25再没有别的算术平方根．特别，0的算术平方根是0．显然，算术平方根是平方根中的一个．立方根的概念：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，则这个数x 叫做a 的立方根．如（－21）3=－81，所以－21是－81的立方根． 二．理解平方根、算术平方根、立方根的性质平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根只有一个，是0；负数没有平方根．所以，非负数才有平方根．算术平方根的性质：一个正数的两个平方根中，正的平方根是它的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．所以，一个非负数的算术平方根仍然是非负数．立方根的性质：任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．三．掌握平方根、算术平方根、立方根的表达形式平方根的的表达形式：正数a 有两个平方根，合记为“±a ”，它分别表示a 的正的平方根和负的平方根．算术平方根的表达形式：正数a 的算术平方根记作“a ”，它是a 的正的平方根“＋a ”省略了“＋”的形式．立方根的的表达形式：一个数a 的立方根记作“3a ”．四．熟练求解一个数的平方根、算术平方根、立方根1．如果一个数能够写成一个整数或分数的平方、立方的形式，那么可以利用定义直接求出这个数的平方根、算术平方根、立方根．如144=（±12）2，则144的平方根是±12，记作±144=±12；144的算术平方根是12，记作144=12．又如27125=（35）3，则27125的立方根是35，记作327125=35． 2．如果一个数不能够写成整数或分数的平方或立方形式，则它的平方根或立方根应保留根号的形式．如2的平方根是±2，10的算术平方根是10，16的立方根是316等．3．可以利用计算器求任何一个非负数的算术平方根或者求任意一个数的立方根． 用计算器求算术平方根、立方根的操作过程如下：开机→按“”键（或“3”键）→输入数据→按“=”键→得出结果注意的是，一个非负数的算术平方根求出来了，它的平方根也就可以直接写出；负数的立方根可以用“3a -=－3a ”转化为求一个正数的立方根．五．理解平方与开平方、立方与开立方的关系平方与开平方、立方与开立方分别是互逆的运算，我们可以用平方、立方分别检验开平方、开立方的结果是否正确．而对一个非负数开平方的结果是它的平方根，一个数开立方的结果是它的立方根．。
初二上册平方根和立方根的练习题
初二上册平方根和立方根的练习题在初中数学中，平方根和立方根是常见的数学概念。
学好这两个概念，不仅可以提升数学能力，还能应用到实际生活中。
下面是一些平方根和立方根的练习题，帮助大家更好地理解和掌握这两个概念。
练习题一：平方根计算1. 计算√16 + √25 = ?解答：√16 = 4，√25 = 5，所以√16 + √25 = 4 + 5 = 9。
2. 计算√121 - √49 = ?解答：√121 = 11，√49 = 7，所以√121 - √49 = 11 - 7 = 4。
3. 计算√36 × √64 = ?解答：√36 = 6，√64 = 8，所以√36 × √64 = 6 × 8 = 48。
练习题二：立方根计算1. 计算∛8 + ∛27 = ?解答：∛8 = 2，∛27 = 3，所以∛8 + ∛27 = 2 + 3 = 5。
2. 计算∛64 - ∛125 = ?解答：∛64 = 4，∛125 = 5，所以∛64 - ∛125 = 4 - 5 = -1。
3. 计算∛216 ×∛64 = ?解答：∛216 = 6，∛64 = 4，所以∛216 ×∛64 = 6 × 4 = 24。
练习题三：平方根和立方根混合计算1. 计算√36 + ∛27 = ?解答：√36 = 6，∛27 = 3，所以√36 + ∛27 = 6 + 3 = 9。
2. 计算√9 × ∛64 = ?解答：√9 = 3，∛64 = 4，所以√9 × ∛64 = 3 × 4 = 12。
3. 计算√25 ÷ ∛64 = ?解答：√25 = 5，∛64 = 4，所以√25 ÷ ∛64 = 5 ÷ 4 = 1.25。
通过对以上练习题的计算，相信大家对平方根和立方根的计算方法有了更深入的了解。
不过要注意，在实际考试或应用中，可能会出现更复杂的题目，需要进一步掌握计算的技巧和方法。
平方根与立方根的计算
平方根与立方根的计算在数学中，平方根和立方根是常见的运算，用于求解给定数的平方根或立方根。
本文将介绍如何准确计算平方根和立方根，并提供一些实际应用的例子。
一、平方根的计算求一个数的平方根是指找到一个数，使得它的平方等于给定的数。
我们可以使用牛顿迭代法来逼近平方根的值。
假设我们要求 $a$ 的平方根，可以从一个初始猜测值 $x$ 开始，通过以下迭代公式进行计算:$$x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{a}{x_n})$$其中，$x_n$ 是第 $n$ 次迭代的结果，$x_{n+1}$ 是第 $n+1$ 次迭代的结果。
通过迭代，$x_n$ 会逐渐趋近于 $a$ 的平方根。
以下是一个具体的计算平方根的例子：假设我们要计算数值 $a=25$ 的平方根，我们可以选择一个初始猜测值 $x_0=5$，然后进行迭代计算。
第一次迭代：$$x_1 = \frac{1}{2}(x_0 + \frac{a}{x_0}) = \frac{1}{2}(5 +\frac{25}{5}) = \frac{1}{2}(5+5) = 5$$经过第一次迭代，我们发现结果并未改变，即 $x_1 = x_0$。
这是因为我们的初始猜测值已经是 $a$ 的平方根了。
结果的差值小于某个阈值时，即可停止迭代，得到近似的平方根。
二、立方根的计算求一个数的立方根是指找到一个数，使得它的立方等于给定的数。
与平方根类似，我们也可以使用迭代法来逼近立方根的值。
假设我们要求 $a$ 的立方根，可以选择一个初始猜测值 $x$，通过以下迭代公式进行计算:$$x_{n+1} = \frac{1}{3}(2x_n + \frac{a}{{x_n}^2})$$其中，$x_n$ 是第 $n$ 次迭代的结果，$x_{n+1}$ 是第 $n+1$ 次迭代的结果。
通过不断迭代计算，$x_n$ 会逐渐趋近于 $a$ 的立方根。
以下是一个计算立方根的实例：假设我们要计算数值 $a=27$ 的立方根，选择一个初始猜测值$x_0=3$，然后进行迭代计算。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。
1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。
平方根的记号为√a。
1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。
- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。
2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
以³√a表示a的立方根，其中a为实数。
2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。
立方根的记号为³√a。
2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。
- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。
3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。
3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。
- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。
4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。
4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。
- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。
- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。
4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。
立方根和平方根的计算
立方根和平方根的计算在数学中，立方根和平方根是两个常见的数学运算，用来求解一个数的平方根或立方根。
本文将介绍立方根和平方根的计算方法和应用。
一、平方根的计算平方根是指一个数的二次方根，即该数的平方等于给定的数。
平方根的计算方法可以通过数学公式或计算器进行。
1.1 数学公式平方根的计算可以通过牛顿迭代法或二分法来进行。
其中，牛顿迭代法是一种常用的逼近算法。
假设要计算数x的平方根，首先选择一个初始值y，然后通过以下迭代公式逐步逼近平方根的值：y = (y + x/y) / 2重复这个迭代过程，直到y的值足够逼近x的平方根为止。
这个方法通常能够较快地得到平方根的逼近值。
1.2 计算器计算器是一种便捷的工具，可以快速计算一个数的平方根。
只需在计算器上输入待求平方根的数，然后按下“平方根”键即可得到结果。
二、立方根的计算立方根是指一个数的三次方根，即该数的立方等于给定的数。
立方根的计算方法与平方根类似，也可以通过数学公式或计算器进行。
2.1 数学公式立方根的计算可以通过牛顿迭代法进行。
假设要计算数x的立方根，选择一个初始值y。
通过以下迭代公式逼近立方根的值：y = (2*y + x/(y^2)) / 3反复迭代上述过程，直到y的值足够逼近x的立方根为止。
2.2 计算器计算器也可以用来计算立方根。
输入待求立方根的数，然后按下“立方根”键即可得到结果。
三、立方根和平方根的应用立方根和平方根的应用十分广泛，在多个领域都有重要意义。
3.1 几何学在几何学中，立方根和平方根被广泛应用于计算图形的边长、面积和体积等相关问题，例如计算正方形的边长、正方体的体积等。
3.2 物理学在物理学中，立方根和平方根经常用于计算速度、加速度、力等物理量的大小，以及分析物体在运动过程中的相关问题。
3.3 工程学在工程学领域，立方根和平方根被广泛用于计算、设计和建模等方面，例如在结构力学、电气工程和信号处理等领域中的应用。
3.4 统计学在统计学中，立方根和平方根被用于求解数据的方差、标准差和相关系数等统计量，以及进行回归分析和预测模型的构建等。