高等代数(北大版)第5章习题参考答案.doc
北大版高等数学第五章 向量代数与空间解析几何答案 习题5.1
习题5.11.,,,,,().11,,().22ABCDAB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=-=-+ 设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b()2.,1().211221().2M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证3.,,1().3221()3321(),31(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+⨯+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1().313,().3CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++4.,1,().41(),211(),(),221().24ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++ 设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1,().4OM OA OB OC OD =+++2222225.?(1)()();(2)();(3)()().(1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==⨯=⨯======0 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,112211().22DE DA AE BA ACBA AC BC =+=+=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证2227.:(1),;(2).(1)()()()()||||0.()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB ADAB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2,||()cos cos .|||||||||||,.a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB ADAB AC AB AC a AC βααβαβ+++===== 与都是锐角故 22222(2)||()()||||2||||.ACAC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+2222222222222222228.()()||||.()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα⨯+=⨯+=+=+=∆=⨯证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11的面积=的面积22证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b222222222210.,,,()()2().()()()()()()222().=++-=+++-=+++--=-+ 给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b2222222222211.,,:().:()||(||sin )||sin ||.,αα⨯≤⨯=⨯==≤=对于任意向量证明问等号成立的充分必要条件是什么?等号成立的充分必要条件是正交证22a b a b a b a b a b a ||b a ||b a ||b a b a b .。
高等代数-第5章习题及解答
习题 5.1解答A ⊆B A B =A A B =B 1. 设，证明：，.ααααααα∀∈A ⊆B ∈B ∴∈A B⊆A BAB ⊆AB =A∀∈A B ∈∈B A ⊆B ∈BA B ⊆B B ⊆A BAB =B证 A ，由，得 即得证A 又A 故 ，则A 或 但，因此无论那一种情形都有 此即，但 所以(B C C 2. :1)A =A B A 证明 ）（）（）；(((((((x x x x x x x x x x x x x x ∀∈∈∈∈∈∈∈⊆∈∈∈∈∈∈∈证 A （B C ），则A 且（B C ）在后一情形,B 或C, 于是AB 或AC 所以AB)AC ）由此得A （B C ）A B)AC ）反之,若A B)A C ）,则AB 或AC在前一情形,A,B,因此B C 故A B C ）在后一情(((((((x x x x ∈∈∈∈⊆形,A,C, 因此BC也得A BC ） 故A B)AC ）AB C ） 于是AB C ）=AB)AC ）C C 2A B =A B A .）（）（）（）x x x x x x x x x x x ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∴⊆⊆ 证 若A （B C ），则A 或者BC在前一情形AB 且A C因而（A B ）（AC ）在后一情形B ，C ，因而AB 且AC即（A B ）（A C ） A （B C ）（A B ）（A C ）同理可证（A B ）（AC ）A （BC ）故A （BC ）=（AB ）（AC ）3:|,:|a b a b b f a bc d c d a ⨯⎛⎫⎛⎫→→+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22 、问：法则g 是否为Q 到Q 的映射？单射还是双射？22(((a f f Q g g g ⨯⎛⎫⎛⎫∀∈∈⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴解 当取0时在中没有象,所以不是映射；a 0a 0 a Q,有)=a,但000012121212)=3=)，而00420042g 是满射不是单射.2()(),:()|()[]f x f x f x f x Q x φϕ'→→4. 问：满足：|是否为的变换？单射还是双射？φφφ'∈∴∀∈Φ解 (f(x))=f (x)Q[x] 是变换;又f(x)Q[x],有((x))=f(x),而22(())()(())(())()()f x f x f x f x f x f x φφφϕϕϕϕϕΦ∈'≠∴∀∈=∈∴∀∈=-=-≠∴⎰x(x)=f(x)dx Q[x],又 (f(x))=(f(x)+1)=f (x),而f(x)f(x)+1是满射不是单射.又f(x)Q[x],Q[x]是变换,又f(x)Q[x],但f(x)并且-f(x)没有原象,既不是单射又不是满射.{}|01y y y A B ≤<5. 设是一切非负实数构成的集合,又=是实数且:|1x f x x→A B + 证明： 是到的一个双射.()(),1,,1,111a ba b f a f b a ba b f yy y yyy fy y y f f ∀∈=+∴=∴∀∈≤≤∴≥-⎛⎫∴∈= ⎪--⎝⎭∴ 证 A,==1+ 是A 到B 的一个单射. B 00,A,且使得 是A 到B 的满射.综上所述得，是A 到B 的一个双射.{},:11,21,32,42;1223,4,1f g A →→→→→→→→6. 设=1,2,3,4规定 :,34.,f g fg gf fg gf A 1) 说明都是的变换;2) 求和,问和是否相等?(),():11,22,32,41:12,22,33,43.f x Ag x Af g fg gf g gf ∀∈∈∈∴→→→→→→→→≠证明 (1)x A,与都是由A 到A 的映射, 从而都是A 的变换. (2)所以f,,:::A B C f A B g B C gf A C g →→→7.证明是三个非空集合,是满射，，但是单射，证明是单射.1212121212,(),()()()()()f a a f a f a f a f a f a a f a f a ∈∴∃∈==⇒=⇒==∴12121212证明：设b ,b B,且g(b )=g(b )因是满射,A,使得b b 即有g()=g()g 是单射 即b b g 是单射习题 5.2解答1. 检验以下集合对所规定的代数运算是否作成数域上F 的线性空间.{}{}{}{}()|,()|,()|0,()|0n n n ij n ij i j a i j a 1) S=A M F A =A T=A M F A =-A U=A M F 时 L=A M F 时'∈'∈∈>=∈<=∴解S ，T ，U ，L 分别对称矩阵、反对称矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵，所以S 、T 、U 、L 都非空，又根据其相应性质知，S 、T 、U 、L 中的元素关于矩阵的加法与F 中的数与矩阵的乘法都封闭，S 、T 、U 、L 都作成数域F 上的线性空间。
高等代数(北大第三版)习题答案完整
f ( x) = x 4 − 2 x 2 + 3 = ( x + 2) 4 − 8( x + 2)3 + 22( x + 2) 2 − 24( x + 2) + 11
3)
f ( x) = x 4 + 2ix 3 − (1 + i ) x 2 + 3 x + 7 + i
= ( x + i − i )4 + 2i ( x + i − i )3 − (1 + i )( x + i − i ) 2 − 3( x + i − i ) + 7 + i = ( x + i ) 4 − 2i( x + i)3 + (1 + i)( x + i ) 2 − 5( x + i ) + 7 + 5i
2
ε1 =
− 1 + 3i − 1 − 3i ,ε 2 = 2 2
证：设 ( f ( x ) h( x ), g ( x ) h( x )) = m( x ) 由
( f ( x ), g ( x)) h( x ) | f ( x) h( x) ∴ ( f ( x ), g ( x)) h( x ) | m( x )
设 d ( x ) = ( f ( x ), g ( x )) = u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
由 12 题 ( fg , f + g ) = 1 令 g = g1 g 2 … g n
∴ 每个i, ( fi , g ) = 1 ⇒ ( f1 f1 , g ) = 1, ⇒ ( f1 f 2 f3 , g ) = 1 , ⇒ ( f1 f 2
高等代数习题答案
高等代数(北大版第三版)习题答案I I(总95页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个n 级实对称矩阵，且0<A ，证明：必存在实n 维向量0≠X ，使0<'A X X 。
证 因为0<A ，于是0≠A ，所以()n A rank =，且A 不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换Y C X 1-=使()BY Y ACY C Y AX X '=''='-12222122221n p p p y y y y y y ----+++=++ ，且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在Y C Z 1-=中，令p y y y === 21,1,021=====++n p p y y y 则可得一线性方程组 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=++++++1102211,122,111,122111212111n nn n n n n p p p n pn p p n n x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c ，由于0≠C ，故可得唯一组非零解()ns s s s x x x X ,,,21 =使()0111000<--=----+++='p n AX X s s， 即证存在0≠X ，使0<'A X X 。
13．如果B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +也是正定矩阵。
证 因为B A ,为正定矩阵，所以BX X AX X '',为正定二次型，且 0>'A X X ， 0>'B X X ，因此()0>'+'=+'BX X AX X X B A X ，于是()X B A X +'必为正定二次型，从而B A +为正定矩阵。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4
从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2
高等代数教案 北大版 第五章
讲授法 启发式
教
学
过
程
经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后，二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.
这个定理通常称为惯性定理.
定义3在实二次型 的规范形中，正平方项的个数 称为 的正惯性指数；负平方项的个数 称为 的负惯性指数；它们的差 称为 的符号差.
应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.
至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关.
下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.
设 是一个复系数的二次型，由本章定理1，经过一适当的非退化线性替换后， 变成标准形，不妨假定化的标准形是
.(1)
易知 就是 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，再作一非退化线性替换
是非退化时，由上面的关系即得
.
这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第二讲标准形
教学时数
2
授课类型
讲授
[专题]北大版高等数学第五章向量代数与空间解析几何答案习题53.docx
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习题5・31•指出下列平面位置的特点：(1)5x - 3z +1 = 0(2)x + 2y - 7z = 0(3)y + 5 = 0(4)2)，- 9z = 0(5)x-y-5 = 0(6)x = 0. 解⑴平行于屛由.⑵过原点.⑶平行于平面.⑷ 过兀轴.(5)平行于z轴•⑹0〃平面.2.求下列各平面的方程：⑴平行于y轴且通过点(1,-5,1)和(3,2,-2);(2)平行于O私平面且通过点(5,2,-8);(3)垂直于平面兀-4y + 5z = 1且通过点(-2,7,3)及(0,0,0);⑷垂直于Oyz平面且通过点(5,-4,3)及(-2,1,8).1j k解⑴—(0 ,l,0),* = (2,7,-3),n= 0 1 0 =(-3,0,-2).27-3_3O_1)_2(Z_1)=0,3JC +2Z_5=0.⑵y = 2.i j k(3)a = (1,-4,5), 6 = (-2,7,3),n = 1 -4 5 = (-47,-13,-1).-2 7 347x+13y+ 1 = 0.i j k(4)“ = (1,0,0),〃 = (-7,5,5),〃= 1 0 0 =(0,-5,5) = 5(0, -1,1).-7 5 5_(y + 4) + (z_3) = 0,y_z + 7 = 0.3.求通过点A(2,4,8), B(-3,1,5)及C(6,—2,7)的平面方程.解 a = (一5, —3,—3),〃 = (4,-6,-1).i j kn= -5 -3 -3 =(-15,-17,42),4 -6 -1一15(兀一2) —17(y — 4) + 42(z — 8) = 0,15x + 17y —42z + 238 = 0.4.设一平而在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5, -7, 4),求此平而的方程.解—+ —+ — = 1, —H—+ — = l,a = 2, x + y + z — 2 = 0.a, a a a a a5已知两点4(2,-1,-2)及〃(8,7,5),求过B且与线段AB垂直的平面.解〃 =(6, & 7).6(x-8) + 8(y-7) + 7(z-5) = 0,6x + 8y + 7z-139 = 0.6.求过点(2,0, -3)且与2兀-2y + 4z + 7 = 0,3x+y-2z + 5二0垂直的平面方程.i j k解 n= 2 -24 =(0,16,8) = 8(0,2,l).2y + (z + 3) = 0,y + z + 3 = 0. 3 1 -27.求通过兀轴且与平面9兀-4y-2z + 3 = 0垂直的平面方程. 解 By + Cz=0,—4B —2C = 0,取B = 1,C = —2,y —2z = 0.8•求通过直纟划:｛；；工：二5地:仁鳥平行的平面方程. i j ki j k 解a = 1 0 2 = (-6,1,3), 6 = 1 -1 0= (1,1,1), 0 3-10 1 -1 i j kn - -6 13 =(-2,9,-7).用z ()= 0代入厶的方程，得x° =4,>\} =-8/3.1 1 1 -2(x-4) + 9(^ + 8/3)-7(z) = 0,-2x + 9y-7z + 32 = 0.x = 3r + 89.求直线厶：* +彳=•' +1 = __与直线/ ：< y = f + l 的交点坐标,3 24 _ 小， z = + 6并求通过此两直线的平面方程.解求两条直线交点坐标：3r + 8 + 3 / + 1 + 1 2/ + 6 —2 \\ t t A 163 24 3 2 23 i j kn= 3 2 4 = (0,6, -3) = 3(0,2, -l).2(y +1) - (z - 2) = 0,2y - z + 4 = 0.3 1 2 10•求通过两直线厶=^ = 凹和厶：土 = □=三的平面方程. 1 2 -1 1 -4 2 -2i j k解 两直线平行•平面过点(1,-1,-1)和(-2,2,0).川=2 — 1 1 = (—4,—5,3).-33 1一4(兀一 l)-5(y + l) + 3(z + l) = 0,-4x — 5y + 3z + 2 = 0.11证明两直线厶：口和是异面直线*-121 - 0 1 -2证首先，两直线的方向向量(-1,2,1)和(0,1,-2)不平行.x 二 _2l 2< y 二1+t —―二匕〜 力+ 3J = 5』= 0,矛盾.故两直线无公共点.-1 2 1 X Q = 一& 儿=一一牛交点(一8占弓)两-直线不平行，又无交点，故是异面直线. 12.将下列直线方程化为标准方程及参数方程：[2x+y-z + l = 0 [x-3z + 5 = 0(1* ⑵彳[3x - y + 2z - 8 = 0; [y - 2z + 8 = 0.i j k解(1)〃= 2 1 -1 =(1,-7,-5).3-12V — 7 + 1 = 0⑴中令兀0=0,{ 解Z得儿=6,Zo=7・-y+ 2z-8 = 0;标准方程—q・1 -7 -5x = t参数方程：< y = 6-lt,-oo <t < +oo.z = l-5ti j k(2)(1加=1 0 -3 =(3,2,1).0 1 -2⑵中令z° = 0,直接得x° = -5, y Q = -8.标准方程出二凹二工3 2 1x ——5 + 3t参数方程：* >' = -8 + 2r,-co<t < +oo.z = t13•求通过点(32-5)及乂轴的平面与平面3x-y-7z + 9 = 0的交线方程・ ■I j k解地第一个平面的法向量〃二1 0 0 =(0,5,2), 3 2 -5平面方程5y + 2z = 0.直线方程严+ 2*°[3 兀-y-7z + 9 = 0.i j k直线的方向向量a =0 5 2 =(一336-15) = 3(-112-5)・3 -1 -7直线方程:r 匕14 •当D 为何值时,直线产？ £弓与0z 轴相交?[x + 4y-z + D = 0解直线F ：y + 2z-6弓与Oz 轴相交O 存在(0,0,勺)在此直线上，[x + 4y-z + £> = 0f2z o -6 = O <=> < u> £> =知=3. Ho+o=o15.试求通过直线人：£一2"：弓并与直线Z. = 2平行的平面方程.[3y — z + 8 = 0 *•匕 _y + 6 = 0i J k解厶的方向向&a = 1 0 -2 =(6丄3).0 3-1i J 平面的法向量/i =6 1 1 1 Q 在的方程中令z ()二0得X 。
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第五章二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1）4 x 1 x 22 x 1 x3 2x 2 x 3 ；2） x 12 2 x 1 x 2 2x 22 4x 2 x 3 4x 32 ；3） x 12 3x 22 2x 1 x 22x 1 x 3 6x 2 x 3 ；4） 8x 1 x 4 2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4 ；5） x 1 x 2x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4x 3 x 4 ；6） x 12 2 x 22 x 42 4x 1 x 2 4x 1 x 3 2x 1 x 4 2x 2 x 3 2x 2 x 4 2 x 3 x 4 ；7） x 2x 2x 2 x 22x 1x2 2x 2 x3 2x x4 。
12343解1）已知f x 1 , x 2 , x 3 4x 1 x 2 2x 1x 3 2x 2 x 3 ，先作非退化线性替换x 1 y 1 y 2x 2 y 1 y 2（ 1）x 3y 3则f x 1 , x 2 , x 34 y 12 4y 22 4 y 1 y 34y 2 4y yy 2 y 2 4y211 33322 y 1 3y 32 4 y 22 ，y 3再作非退化线性替换y 11z 1 1z 32 2y 2z 2（ 2）y 3 z 3则原二次型的标准形为f x 1 , x 2 , x 3z 12 4z 22 z 32 ，最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为x 11z 1 z 2 1z 32 2x 21 z2 1 （ 3）z 1 z 32 2 x 3z 3于是相应的替换矩阵为1 01 1 0 11 1 02 222T1 1 0 1 1 1 10 0 2 ，1 0 0 121且有1 0 0 T AT0 4 0 。
0 12 ）已知 f x 1 , x 2 , x3 x 12 2x 1 x 2 2x 224 x 2 x 3 4x 32 ，由配方法可得f x , x , xx 2 2x x2x 2x 24x x34x 2123112223x 1 x 22x 2 2x 32 ，于是可令y 1 x 1 x 2 y 2 x 2 2x 3 ，y 3x 3则原二次型的标准形为f x , x 2 , x3 y 2 y 2 ，112且非退化线性替换为x1 y1 y2 2 y3x2 y2 2y3 ，x3 y3相应的替换矩阵为1 1 2T 0 1 2 ，0 0 1且有1 0 0 1 1 0 1 12 1 0 0T AT 1 1 0 1 2 2 0 1 2 0 1 0 。
2 2 1 0 2 4 0 0 1 0 0 0（ 3）已知f x , x , x3 x 2 3x 2 2x1x22x x36x x ，1 2 1 2 1 2 3由配方法可得f x1 , x2 , x3 x12 2x1 x2 2x1 x3 2x2 x3 x22 x32 4x22 4x2 x3 x32x1 x2 x3 2 2x2 x3 2 ，于是可令y1 x1 x2 x3y2 2x2 x3 ，y3 x3则原二次型的标准形为f x1 , x2 , x3 y12 y22，且非退化线性替换为x1 y1 1y23y3 2 2x2 1 y2 1 y3 ，2 2x3 y3相应的替换矩阵为1 3 12 211T 0，2 20 0 1且有1 131 0 0 1 1 1 22 1 0 0111 33 011 0 1 0 。
T AT2 22 2130 00 03 1 1 0122（ 4）已知 f x 1 , x 2 , x 3 , x 48x 1 x 2 2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4 ，先作非退化线性替换x 1 y 1 y 4x 2 y 2 x 3y 3x 4 y 4则，f x , x 2, x , x48y y48 y22 y 3y4 2y 2y3 8 y 2y413 1 428 y 422 y 41y 11y 2 1y 3 1y 1 1 y 2 1y 32282 2 88 1 y 11y 21y 322 y 2 y 322 88 1 y 11y 21y 321y 32y 42 y 1 y 22 y 2 y3 ，228 4再作非退化线性替换y 1 z 1y 2z 2 z3 ，y 3 z 2 z 3y 4z 4则8 1 z 15z 225z 22f x 1 , x 2 , x 3 , x 4 3z 3 z 42 z 13z 32 88 442z 222z 32 ，再令w 1z 1 5x 2 3x 34 4w 2 z 2，w 3 z 3w 41 5 3 z 1z 2z 3 z 4288则原二次型的标准形为f x 1 , x 2 , x 3 , x 42w 12 2w 22 2w 32 8w 42 ，且非退化线性替换为153x 1 2w14w24w 3w4x 2 w 2 w 3，x 3 w 2 w 3 x 41 w 1 w 42相应的替换矩阵为1 5 3 12 4 4 0 0 1 1 T1 1 ，0 0 1 012且有2 0 0 0 0 2 0 0T AT0 2 。
0 0 00 8（ 5）已知 f x 1 , x 2 , x 3 , x 4x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 ，先作非退化线性替换x 1 2 y 1 y 2 x 2 y 2，x 3 y 3 x 4y 4则f x 1 , x 2 , x 3 , x 42 y 1 y 2 y 222 y 1 y3 2 y 2 y 32 y 1 y 4 2y 2 y 4 y3 y 423y 42y 1y 2y 3y 42 y 31y 4y 12 ，24再作非退化线性替换z 1 y 1 z 2 y 1 y 2 y 3 y 4z 3y 3 1 y ，42z 4y 4即y 1 z 1y 2z 1 z 2 z 3 1 z 42，1z 4y 3z 32y 4z 4则原二次型的标准形为f x 1 , x 2 , x 3 , x 4z 12z 22z 323z 42 ，4且非退化线性替换为x 1 z 1 z 2z 31z 42x 2z 1 z 2 z 31z 4，12x 3 z 3 z 4 2 x 4z 4相应的替换矩阵为1 1 1 1 2T1 1 112 ，0 0 1120 0 0 1且有1 0 0 0T AT 0 1 0 00 0 1 0 。
0 0 034（ 6）已知f x1 , x2 , x3 , x4 x12 2x22 x42 4x1x2 4x1x3 2x1 x42x2 x3 2x2 x4 2x3 x4，由配方法可得f x1 , x2 , x3 , x4 x 2 2x 2x2 2x3x 2x22x x 21 1 4 3 42x2 2x3 x4 2 2x22 x42 2 x2 x3 2x2 x4 2x3 x43 1 21x1 2x2 2x3 x4 22 x22，2x3 2x4 2x3 x4于是可令y1 x1 2x2 2x3 x4y2 x2 3x31x4，2 2y3 x3 x4y4 x4则原二次型的标准形为f y12 2 y221y32，2且非退化线性替换为x 1 y 1 2y 2 y 3 y 4x 2y 2 3y 3 y 4 ，2 x 3y 3 y 4x 4y 4故替换矩阵为1 21 10 13 1T2，0 0110 01且有10 0 0 T AT2 0 00 01 0 。
2（ 7）已知 f x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x 12 x 22 x 32 x 42 2x 1 x 22x 2 x 3 2x 3 x 4 ，由配方法可得f x 1 , x 2 , x 3 , x 4x 22 2x 2 x 1x 3x 122x 1x 3 2x 3 x 4 x 42x 3x 1 x 2 x 3 22 x 1 x 3x 32 2x 3 x 4 x 42x 32x 1 x 2 x 3 2x 3 x 4 2 2x 1 x 3x 32 x 12 x 12x 2x x2 x2x3x2x x2 ，113413于是可令y 1 x 1y 2x 1 x 2 x3 ，y 3 x 3 x 4y 4x 1 x 3则原二次型的标准形为fy 12 y 22 y 22 y 42 ，且非退化线性替换为x 1 y 1x 2 y 2 y 4，x 3 y 1 y 4x 4y 1 y 3 y 4相应的替换矩阵为1 0 0 0 0 1 0 1 T0 0 ，1 1 10 11且有1 0 0 0 0 1 0 0T AT0 1 。
0 0 0 0 01（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。
解 1 ）已求得二次型f x 1 , x 2 , x 34x 1x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3的标准形为fy 12 4 y 22 3y 32 ，且非退化线性替换为x 11y 1 y 2 1y 322x 21y 1 y 2 1y 3 ，2 2x 3y 3（ 1） 在实数域上，若作非退化线性替换y 1 z 3 y 21z 2 ，2 y 3z 1可得二次型的规范形为f z12 z22 z32。
（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换y1 iz1y2 1z2，2y3 z1可得二次型的规范形为f z12 z22 z32。
2）已求得二次型f x1 , x2 , x3 x12 2x1 x2 2 x22 4x2 x3 4x32 的标准形为f y12y22，且非退化线性替换为x1 y1 y2 2 y3x2 y2 2 y3 ，x3 y3故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形f y12y22。
3）已求得二次型f x1 , x2 , x3x123x222x1 x22x1 x36x2 x3的标准形为f y12y22，且非退化线性替换为x 1 y 11 y2 3y 322 1 y 2 1 x 2 y3 ， 2 2 x 3 y 3（ 1） 在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即fy 12y 22 。
（ 2） 在复数域上，若作非退化线性替换y 1 z 1y 2 iz 2 。
y 3z 3可得二次型的规范形为fz 12z 22 。
（ 3） 已求得二次型f x 1, x 2 , x 3 , x 4 8x 1x 22x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4的标准形为f2 y 2 2 y 2 2y 2 8 y 2 ，1234且非退化线性替换为153x 12y14y24y 3y4x 2 y 2 y 3 ，x 3 y 2 y 3x 41 y 1 y 42（ 1） 在实数域上，若作非退化线性替换1y1z41y2z22，1y3z31y4z12 2可得二次型的规范形为f z2 z 2 z2 z 2 。