直角坐标系 学案1 2016-2017学年高中数学 苏教版 选修4-4

4.1.1 直角坐标系
1．平面直角坐标系
在平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，如图所示．
在平面直角坐标系中，有序实数对与坐标平面内的点具有一一对应关系，如图，有序实数对(x ，y )与点P 相对应，这时(x ，
y )
称作点P 的坐标，并记为
P (x ，y )，其中，x 称为点P 的横坐标，y 称为点P 的纵坐标．
2．坐标法
(1)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．
(2)用坐标法解决几何问题的步骤：第一步，建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．
一、平面直角坐标系下的轨迹问题
已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．
思路分析：利用平面直角坐标系，设出A
，B ，M 三点的坐标，再利用定比分点公式表示出点M 的坐标关系，即点M 的轨迹方程．
解：如图，设A (x A ,0)，B (0，y B )，M (x ，y )， ∵|AB |＝66=，
即2236A B x y += .① 又∵AM ∶MB ＝1∶2，
∴x ＝x A 1＋12，y ＝12y B 1＋1
2
，即⎩⎪⎨⎪⎧
x A ＝32x ，y B ＝3y ，
代入①得94x 2＋9y 2
＝36，即x 216＋y 24
＝1.
得动点M 的轨迹方程为x 2
16＋y 2
4
＝
1.
如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．
解：以O 为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，D (0,2)，P
，依题意得
||MA |－|MB ||＝|P A |－|PB |＝
=|AB |＝4.
∴曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则
c ＝2,2a =a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2.
∴曲线C 的方程为
22
12
2
x y -=
. 利用点在平面直角坐标系中的关系，找到其关系式，并用代入法解出相
关点的轨迹方程是常见题型．
二、利用坐标系解决实际问题
我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O 80海里的正东方向的B 处，沿东西方向向O 岛驶来，指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40海里的A 处的我军舰沿直线前往拦截．以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点．若敌我两舰行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置，并求出该点的坐标．
思路分析：
先画出坐标系，标出A ，B 的位置及坐标，根据相应的图形结构求出拦住敌舰的位置并求出坐标．
解：A ，B 两点如图所示，A (0,40)，B (80,0)， ∴OA ＝40(海里)，OB ＝80(海里)．
我军舰直行到点C 与敌舰相遇，设C (x ,0)， ∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x .
∵敌我两舰速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .
在Rt △AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2， 即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．
已知B 村位于A 村的正西方向1千米处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m ，但A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (－1 000,0)，由W 位于A 的西北方向及|AW |＝400，得W (－2002，2002)．由直线m 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m 的方程是x －3y ＋1 000＝0.
于是，点W 到直线m 的距离为 |－2002－3×2002＋1 000|
2
＝100×(5－2－6)≈113.6＞100.
所以，埋设地下管线m 的计划可以不修改．
利用坐标解决实际问题的关键是分析好题意，根据题意建立适当的平面
直角坐标系或利用已有的坐标系建立相关点的关系式，从而解决实际问题．
1．已知点A (－1,3)，B (3,1)，点C 在坐标轴上，∠ACB ＝90°，则满足条件的点C 的个数是__________．
答案：3
解析：若点C 在x 轴上，可设点C (x,0)， 由∠ACB ＝90°，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，
∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(x ＋1)2＋32＋(x －3)2＋1，解得x 1＝0，x 2＝2. 故点C 的坐标为(0,0)或(2,0)．
若点C 在y 轴上，可设点C 为(0，y )， 由∠ACB ＝90°，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，
∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(0＋1)2＋(y －3)2＋(0－3)2＋(y －1)2，解之，得y 1＝0，y 2＝4. 故点C 的坐标为(0,0)或(0,4)．
∴这样的点C 有(0,0)，(2,0)，(0,4)共3个点．
2．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则D 的坐标是__________．
答案：(1,3)
解析：设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋5＝3＋x ，2＋1＝0＋y ，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝1，y ＝3.
故D (1,3)．
3．已知点P (－1＋2m ，－3－m )在第三象限，则m 的取值范围是__________．
答案：－3＜m ＜1
2
解析：∵第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－1＋2m <0，
－3－m <0，即
⎩⎪⎨⎪⎧
m <12，
m >－3.
∴－3＜m ＜1
2
.
4．在平面直角坐标系中，A 为平面内的一个动点，B 点坐标为(2,0)．若=OA BA OB ⋅
|(O
为坐标原点)，则动点A 的轨迹为__________． 答案：圆
解析：设A (x ，y )，则OA ＝(x ，y )，BA ＝(x －2，y )，2OB == .
代入已知条件得x (x －2)＋y 2＝2. 即(x －1)2＋y 2＝3，表示一个圆．
5．选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点． 解：方法一：建立如图(1)所示的平面直角坐标系，
则正六边形的顶点分别为A (1,0)，B ⎝⎛⎫12，32，C ⎝⎛⎭⎫－12，32，D (－1,0)，E ⎝⎛⎭⎫－12
，－3
2，
F ⎝⎛⎭⎫12
，－32.
(1) 方法二：建立如图(2)所示的平面直角坐标系，
(2) 则正六边形的顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2，32，B ⎝⎛⎭⎫32，3，C ⎝⎛⎭⎫12，3，D ⎝⎛⎭⎫0，3
2，E ⎝⎛⎭⎫12，0，F ⎝⎛⎭⎫
32，0.。