高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 四种命题及其相互关系教案 北师大版选修2-1
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题教案北师大版选修2-1(2021学年)
河南省确山县高中数学第一章常用逻辑用语１．1 命题教案北师大版选修2-１编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河南省确山县高中数学第一章常用逻辑用语 1.１命题教案北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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§１.１命题【教学目标】1。
命题的概念 2.能指出命题的条件和结论３.四种命题之间的转化【知识梳理】一、命题用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句,叫做 _＿_＿＿___＿__.判断为真的命题是＿____＿＿____,判断为假的命题是__________＿___．二、四种命题的形式原命题:若ｐ，则ｑ(p为命题的条件,q为命题的结论）.逆命题：＿___＿________＿____＿（交换原命题的条件和结论)．否命题:________＿＿____________（同时否定原命题的条件和结论)．逆否命题:_____＿＿__＿＿______＿___（交换原命题的条件、结论之后同时否定它们).三、四种命题的真假的关系若两个命题互为逆否命题,则它们有___＿____的真假性.若两个命题为互逆命题或互否命题,则它们的真假性＿＿_＿____.在四种形式的命题中真命题的个数只能为0或２或4．四、四种命题的关系【典型例题】例1 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?（1)空集是任何集合的子集;（２）若整数a是素数,则a是奇数;(３)指数函数是增函数吗?(4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行;（5)ｘ〉15.(6)祝大家新年快乐！例2 将下列命题改写成“若ｐ，则q”的形式，并判断真假;（1)垂直于同一条直线的两条直线平行；（２)负数的立方是负数;(3)对顶角相等;(４）等腰三角形两腰的中线相等；(5)偶函数的图像关于y轴对称;(6)垂直于同一个平面的两个平面平行。
高中数学第一章常用逻辑用语1命题学案北师大版选修1-1(2021年整理)
2017-2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1 命题学案北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1 命题学案北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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§1命__题[对应学生用书P2]命题的定义及形式观察下列语句的特点：①两个全等三角形的面积相等；②y＝2x是一个增函数；③请把门关上！④y＝tan x的定义域为全体实数吗？⑤若x〉2 013,则x〉2 014.问题1：上述哪几个语句能判断为真？提示:①②.问题2：上述哪几个语句能判断为假？提示：⑤.问题3:上述哪几个语句不是命题？你知道是什么原因吗？提示:③④.因为它们都不能判断真假．问题4：语句⑤的条件和结论分别是什么?提示：条件为“x〉2 013”，结论为“x〉2 014”．1．命题(1）可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．（2）判断为真的语句叫作真命题；判断为假的语句叫作假命题．2．命题的形式数学中,通常把命题表示成“若p，则q”的形式,其中,p是条件，q是结论.四种命题及其关系观察下列四个命题：①若f(x)是正弦函数，则f(x）是周期函数；②若f（x）是周期函数，则f(x)是正弦函数；③若f（x)不是正弦函数，则f（x）不是周期函数；④若f(x)不是周期函数，则f(x）不是正弦函数．问题1：命题①与命题②③④的条件和结论之间分别有什么关系?提示：命题①的条件是命题②的结论,且命题①的结论是命题②的条件;对于命题①③,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定;对于命题①④,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定．问题2：命题①④的真假性相同吗？命题②③的真假性相同吗？提示：命题①④同为真，命题②③同为假．1．四种命题（1)互逆命题：一般地，对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫作互逆命题．其中一个命题叫作原命题,另一个命题叫作原命题的逆命题．(2)互否命题：对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题．(3)互为逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题．(4）四种命题的条件、结论之间的关系如表所示:命题条件结论原命题p q逆命题q p否命题p的否定q的否定逆否命题q的否定p的否定2．四种命题间的关系原命题和其逆否命题为互为逆否命题，否命题与逆命题为互为逆否命题,互为逆否的两个命题真假性相同．1．判断一个语句是否为命题关键看它是否符合两个条件：一是可以判断真假，二是用文字或符号表述的语句．祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．2．写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和结论，根据条件和结论的变化分别得到逆命题、否命题、逆否命题．3．互为逆否命题的两个命题真假性相同．错误!命题的概念及真假判断［例1] p，则q"的形式．(1）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？（2）一个正整数不是合数就是质数;（3）三角形中，大角所对的边大于小角所对的边;（4）当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；（5)1＋2＋3＋…＋2 014；(6)这盆花长得太好了!［思路点拨] 根据命题的概念进行判断．［精解详析] (1)（5）(6)未涉及真假，都不是命题．（2)是命题．因为1既不是合数也不是质数，故它是假命题．此命题可写成“若一个数为正整数，则它不是合数就是质数”．（3)是真命题．此命题可写成“在三角形中,若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边”．(4）是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x,y都是有理数”．［一点通］1．判断语句是否为命题的关键是看该语句是否能判断真假．2．在说明一个命题是真命题时，应进行严格的推理证明，而要说明命题是假命题,只需举一个反例即可．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的诗《相思》，在这四句诗中,可以作为命题的是（）A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国"是陈述句,所述事件在唐代是事实，所以本句是命题,且是真命题;“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不能判断真假，不是命题，故选A.答案：A2．给定下列命题:①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0,c＞d＞0，则ac＞bd;③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析：①中Δ＝4－4（－k）＝4＋4k＞0，所以①是真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②是真命题;③如等腰梯形对角线相等,不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2-1.1.3 四种命题、四种命题间的相互关系教案 新人教
内蒙古开鲁县高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2-1.1.3 四种命题、四种命题间的相互关系教案新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（内蒙古开鲁县高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2-1.1.3 四种命题、四种命题间的相互关系教案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2四种命题 1.1.3四种命题间的相互关系教学目标知识目标了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假。
能力目标多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力。
情感目标通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。
高考知识点扫描四种命题形式及命题的真假判断教学重点会写四种命题并会判断命题的真假；四种命题之间的相互关系．教学难点1.分清命题的条件、结论和判断命题的真假2.命题的否定与否命题的区别;写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题;3.分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教学方法启发式教学,问题引领，自主学习教具多媒体课件第课时教学设计教学内容教学过程一．四种命题原命题逆命题否命题逆否命题〈一>复习引入1．回顾初中已学过命题与逆命题的知识,什么叫做命题的逆命题？2．思考、分析问题:下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3)、(4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若)(xf是正弦函数，则)(xf是周期函数；（2）若)(xf是周期函数,则)(xf是正弦函数；（3）若)(xf不是正弦函数，则)(xf不是周期函数；（4)若)(xf不是周期函数,则)(xf不是正弦函数．3．归纳总结学生分析、讨论,给出四个命题的概念，(1）和（2)这样的两个命题叫做互逆命题，（1)和（3）这样的两个命题叫做互否命题，（1）和（4)这样的两个命题叫做互为逆否命题.<二〉讲授新知1.基本定义:定义1：互逆命题．定义2：互否命题．定义3：互为逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
高中数学 第一章 常用逻辑用语教案 北师大版选修2-1
第一章常用逻辑用语§1命题(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解命题的概念．(2)通过简单的例子，让学生体会四种命题的构成形式．(3)通过实际例子，让学生体会四种命题的关系．2．过程与方法经历从具体数学实例中抽象出命题概念的过程，感受命题在数学学习中的重要性和广泛性．3．情感、态度与价值观通过命题的学习过程，使学生了解命题的基本知识，认识命题的相互关系，提高思维的严谨性．●重点难点重点：1.命题的概念．2．四种命题的关系．难点：1.写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题．2．利用四种命题之间的关系判断命题的真假．对于命题概念的教学，要从具体实例中去认知，从命题与开语句的比较中去把握．对于命题的四种形式及其关系的教学，要遵循认知规律，通过例子，引导学生探究四种形式及其关系，即让学生经历概念的形成和抽象过程，再通过例题分析得出四种命题之间的关系．(教师用书独具)●教学建议1．教学中应多举出一些学生熟悉的数学中的例子或生活中的实例．2．教师可以通过总结引例、例1、例2中的判断结果，引导学生归纳总结出四种命题的相互关系，以及互为逆否命题的两命题之间的等价关系图．3．在高中常用逻辑用语部分，一般只要求学生讨论“若p，则q”形式的命题，或者可以改写成“若p，则q”的形式的命题，而超出这一形式的命题，在这里不做讨论．●教学流程创设问题情境，引出问题――――→抽象概括命题的概念⇑命题的结构⇓命题的分类――――→提出问题学生探究四种命题――→例题四种命题之间的关系⇒反馈矫正⇒归纳总结课标解读 1.了解命题的概念，会判断命题的真假．(重点)2．掌握四种命题的结构形式，会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题．(重点)3．能用四种命题之间的相互关系判断四种命题的真假．(难点)命题及其形式【问题导思】下列能判断真假的语句序号是？ ①π是无理数吗？ ②x ＞1. ③2∈N .④若a ⊥b ，则a ·b ≤0. 【提示】 ③④能判断真假． 命题及其形式(1)定义：可以判断真假、用文字或符号表述的语句．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.(3)形式：通常表示为“若p ，则q ”的形式，其中p 是条件，q 是结论．四种命题及其相互关系1．下面有四个命题． ①若x ＞1，则x ＞0. ②若x ＞0，则x ＞1. ③若x ≤1，则x ≤0. ④若x ≤0，则x ≤1.它们的条件和结论分别是什么？【提示】 命题①的条件是x ＞1，结论是x ＞0. 命题②的条件是x ＞0，结论是x ＞1. 命题③的条件是x ≤1，结论是x ≤0.命题④的条件是x≤0，结论是x≤1.2．命题②、③、④的条件与结论与命题①的条件与结论有什么关系？【提示】命题②的条件与结论分别是命题①的结论与条件．命题③的条件与结论分别是命题①的条件的否定与结论的否定．命题④的条件与结论分别是命题①的结论的否定与条件的否定．1．四种命题互逆一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件命题互否一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定命题互为逆一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定否命题2.四种命题之间的关系互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系．命题及其真假判断判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．①若a＞b，则2a＞2B．②y＝sin x是奇函数吗？③x2－1＜0(x∈Z)．④空集是任何集合的子集．【思路探究】判断一个语句是否为命题，关键是看能否判断其真假．【自主解答】①由指数函数y＝2x的性质知，①是真命题．②不是命题，不涉及真假．③不是命题，未给x赋值之前，无法判断真假．④由空集的性质知，④是真命题．1．判断一个语句是否为命题，关键看这个语句能否判断真假．2．判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证；判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．(1)斜率相同的两直线平行．(2)若x＋y是有理数，则x，y均为有理数．(3)这是一棵大树．(4)当x＝1时，x2＋2x－3＝0.【解析】 (1)是假命题．(2)是假命题．当x ＝2时，y ＝－2时，x ＋y 是有理数． (3)无法判断真假，不是命题． (4)是真命题．命题的结构把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)矩形的对角线相等．(2)当m ＞14时，方程mx 2－x ＋1＝0无实根．(3)已知x ，y ∈N ＋，当x ＋y ＝2时，x ＝y ＝1.【思路探究】 分清命题的条件和结论，是解决这类问题的关键． 【自主解答】 (1)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；是真命题． (2)若m ＞14，则方程mx 2－x ＋1＝0无实根；是真命题．(3)已知x ，y ∈N ＋，若x ＋y ＝2，则x ＝y ＝1；是真命题． 改写命题时，需要注意的事项：①分清命题中的条件和结论；②要注意叙述的完整性，比如第(1)题；③当命题有大前提时，不能把大前提写在条件中，应写在前面，仍然作为命题的大前提，比如第(3)题．指出下列命题的条件和结论．(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2B ． (2)当x ＝1时，x 2＝1. (3)两个奇数的和是偶数．【解】 (1)条件：a ，b ，c 成等差数列，结论：a ＋c ＝2B ． (2)条件：x ＝1，结论：x 2＝1.(3)条件：两个数都是奇数，结论：它们的和是偶数．四种命题及其真假判断写出命题“若不等式x 2＋px ＋q ＞0的解集为R ，则p 2－4q ≤0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．【思路探究】 根据逆命题、否命题、逆否命题的定义去写，要注意： (1)分清命题的条件和结论； (2)“＞”的否定是“≤”．【自主解答】 逆命题：若p 2－4q ≤0，则不等式x 2＋px ＋q ＞0的解集为R ；假命题． 否命题：若不等式x 2＋px ＋q ＞0的解集不是R ，则p 2－4q ＞0；假命题．逆否命题：若p2－4q＞0，则不等式x2＋px＋q＞0的解集不是R；真命题．互为逆否命题的两个命题同真假，因此，在直接判断一个命题的真假困难时，通常转化为判断它的逆否命题的真假．写出命题“末位数字是0的整数能被5整除”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．【解】逆命题：能被5整除的整数的末位数字是0，假命题．否命题：末位数字不是0的整数不能被5整除，假命题．逆否命题：不能被5整除的整数的末位数字不是0，真命题.对四种命题的结构认识不清致误已知a，b∈R，命题“若a＋b＝2，则a2＋b2≥2”的否命题是( ) A．若a＋b≠2，则a2＋b2＜2B．若a＋b＝2，则a2＋b2＜2C．若a＋b≠2，则a2＋b2≥2D．若a2＋b2≥2，则a＋b＝2【错解】只否定结论，错选B；只否定条件，错选C；误将互否理解成互逆，错选D．【答案】 D【错因分析】对四种命题的结构形式认识不清致误．【防范措施】掌握四种命题的结构形式．原命题：若p，则q.逆命题：若q，则p.否命题：若p的否定，则q的否定．逆否命题：若q的否定，则p的否定．【正解】“a＋b＝2”的否定是“a＋b≠2”，“a2＋b2≥2”的否定是“a2＋b2＜2”，由否命题的定义知，选项A正确．【答案】 A1．判断一个语句是否为命题，关键看它能否判断真假．2．对于四种命题要掌握其结构形式．3．由于互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真假，所以当一个命题不易判断真假时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思【解析】只有A选项能判断真假．【答案】 A2．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是( )A．若b∉M，则a∈M B．若a∉M，则b∈M C．若b∈M，则a∉M D．若a∈M，则b∈M 【解析】由原命题与其逆否命题等价知：选项C正确．【答案】 C3．命题：“菱形的对角线互相垂直”的条件是__________，结论是____________．【解析】该命题可写成：若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．所以，命题的条件是一个四边形是菱形，命题的结论是它的对角线互相垂直．【答案】一个四边形是菱形它的对角线互相垂直4．命题：若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．【解】逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题.一、选择题1．下列语句不是命题的是( )A．3是15的约数B．3小于2C．0不是自然数 D．正数大于负数吗？【解析】选项D是疑问句，没有对正数与负数的大小关系作出判断，故选D．【答案】 D2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是( )A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题【解析】一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B．【答案】 B3．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B ．若－1＜x ＜1，则x 2＜1 C ．若x ＞1或x ＜－1，则x 2＞1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1【解析】 此命题的逆否命题为：若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1. 【答案】 D4．假设坐标平面上一非空集合S 内的点(x ，y )，具有以下性质：“若x ＞0，则y ＞0”，试问下列哪个叙述对S 内的点(x ，y )必定成立( )A ．若x ≤0，则y ≤0 B．若y ≤0，则x ≤0 C ．若y ＞0，则x ＞0 D ．若y ＞0，则x ≤0【解析】 若x ＞0，则y ＞0⇔若y ≤0，则x ≤0，故选B ． 【答案】 B5．有下列四个命题，其中真命题是( ) ①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的否命题； ③“面积相等的三角形全等”的否命题；④“若x ≠π4＋2k π(k ∈Z )，则tan x ≠1”的逆否命题．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解析】 ①逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题； ②否命题为“若a ＋b ＜2，则a ，b 都小于1”，假命题； ③否命题为“面积不相等的三角形不全等”，真命题；④逆否命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4＋2k π(k ∈Z )”，假命题．【答案】 C 二、填空题6．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的________命题． 【解析】 根据四种命题的关系，易知s 是t 的否命题． 【答案】 否7．在命题“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为________．【解析】 当a ＝1，b ＝－2时，a 2＜b 2，故原命题为假，所以它的逆否命题为假；当a ＝－2，b ＝1时，a ＜b ，故原命题的逆命题为假，所以原命题的否命题为假，故假命题的个数为3.【答案】 38．命题“负数的平方是正数”的否命题是________．【解析】负数的否定是非负数，是正数的否定是不是正数，故命题的否定是：非负数的平方不是正数．【答案】非负数的平方不是正数三、解答题9．将下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称；【解】(1)若一个数是偶数，则它能被2整除；(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．【解】(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它是成立的，可用反证法证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)与条件矛盾，逆命题真．(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真，可用证明原命题为真来证明：由a＋b≥0，得a≥－b，b≥－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴逆否命题为真．11．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．【解】显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它的逆否命题来看．由命题A为真可知，b不是最大时，则a是最小，∴c最大，即c＞b＞a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，即b＞a＞c.同理由命题B为真可得：a＞c＞b或b＞a＞c.故由A 与B 均为真可知b ＞a ＞c .∴a ，b ，c 三人的年龄的大小顺序是：b 最大，a 次之，c 最小.(教师用书独具)判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．【思路探究】 解答本题可先根据已知的命题利用判别式求出a 的范围，再去判断命题的真假．【自主解答】 法一 写出原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断真假如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7，因为a ＜1，所以4a －7＜0，即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点．所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．法二 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74.因为a ≥74，所以a ≥1，所以原命题为真．也说明逆否命题为真．此类问题的求解，可先写出原命题的逆否命题，再判断其真假．也可以通过判断原命题的真假，来间接判断其真假．至于用哪种方法，要看原命题与它的逆否命题哪一个更好判断．若a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．【解】 法一 (逆否证法)依题意，就是证明命题“若a 2＋b 2＝c 2，则a ，b ，c 不可能都是奇数”为真命题．为此，只需证明其逆否命题“若a ，b ，c 都是奇数，则a 2＋b 2≠c 2”为真命题即可．若a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数．于是a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a 2＋b 2≠c 2.∴原命题的逆否命题为真命题，所以原命题成立．法二 (反证法)假设a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数． 得a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a 2＋b 2≠c 2，与a 2＋b 2＝c 2矛盾．所以假设不成立，从而原命题成立．§2充分条件与必要条件2．1 充分条件2．2 必要条件2．3 充要条件(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过具体实例中条件之间关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的含义．2．过程与方法(1)通过判定定理、性质定理，帮助学生抓住充分条件、必要条件等概念的本质，更好地理解概念．(2)通过充分条件、必要条件的学习，培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力．3．情感、态度与价值观(1)在日常生活和学习中，养成说话准确、做事有条理的良好习惯．(2)在探求未知、认识客观世界的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑，提高思维的逻辑性．●重点难点重点：1.理解充分条件、必要条件的含义．2．充分条件、必要条件、充要条件的判断．难点：对必要条件的理解．在教学过程中，注重把教材内容与生活实际结合起来，加强数学教学的实践性，在教学方法上采用“合作—探索”的开放式教学模式，在合作中去领会充分条件、必要条件的含义；在探索中，体会充分条件、必要条件的判断方法．(教师用书独具)●教学建议教学必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，引导学生分析实例，让学生从实例中抽象出数学概念．在巩固练习时，选题内容尽量涉及几何、代数较广领域，但不可拔高要求，追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善．●教学流程创设情境，激发兴趣引导归纳，给出定义深入探究，获得新知反馈练习，形成方法总结反馈，拓展引申课标解读1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．(重点) 2．充分条件、必要条件与充要条件的判断．(难点) 3．利用条件关系求字母的取值范围．(难点)充分条件与必要条件已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.(1)由k1＝k2能推出l1∥l2吗？【提示】当k1＝k2，b1＝b2时，l1与l2重合，故由k1＝k2不能推出l1∥l2.(2)由l1∥l2能推出k1＝k2吗？【提示】由l1∥l2能推出k1＝k2.1．推断符号“⇒”的含义“若p，则q”为真，是指由条件p经过推理可以得到结论q，记作p⇒q，读作“p推出q”．2．充分条件与必要条件推式“若p，则q”真，即p⇒q“若p，则q”的逆命题真，即q⇒pp是q的充分条件必要条件q 是p 的 必要条件 充分条件充要条件【问题导思】一天，你与你的妈妈到她的同事家做客，你的妈妈向她的同事介绍：“这是我的女儿”，请问：你还需要介绍：“这是我的妈妈”吗？为什么？【提示】 不需要，因为由A 是B 的女儿，可推出B 是A 的妈妈，反之亦然． 如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，记作p ⇒q .充分条件、必要条件、充要条件的判断(1)“b 2－4ac ＜0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【思路探究】着眼点分清条件p 与结论q 分别判断“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的真假 【自主解答】 (1)当a ＝c ＝－1，b ＝0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为∅. 反过来，由一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝b 2－4ac ＜0，因此，b 2－4ac ＜0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的必要不充分条件． (2)由a n ＋1>|a n |≥a n ，得a n ＋1＞a n ， ∴{a n }是递增数列．反过来，由{a n }是递增数列，知a n ＋1＞a n ，但不一定有a n ＋1＞|a n |，如递增数列{－(12)n }中，a 1＝－12，a 2＝－14，a 2＞|a 1|不成立．因此，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件． 【答案】 (1)B (2)A除了用定义判断充分条件与必要条件外，还可以利用集合间的关系判断：已知集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．提醒：在判断充分条件与必要条件时，要注意分清条件和结论． (1)“|x |＜1且|y |＜1”是“点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1内”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 (1)当x ＝y ＝32时，x 2＋y 2＝32＞1，所以点P (x ，y )不在圆内；反过来，当点P (x ，y )在圆内时，x 2＋y 2＜1，所以x 2＜1，y 2＜1，所以|x |＜1，|y |＜1.因此，“|x |＜1且|y |＜1”是“点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1内”的必要不充分条件． (2){a n }是递增数列，可得a 1＜a 2＜a 3；反过来，由a 1＜a 2＜a 3， 得a 1＜a 1q ＜a 1q 2，当a 1＞0时，q ＞1；当a 1＜0时，0＜q ＜1. ∴a n ＋1－a n ＝a 1q n －1(q －1)＞0，∴a n ＋1＞a n ， ∴{a n }是递增数列．因此，“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充要条件． 【答案】 (1)B (2)C充分条件、必要条件的应用已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＞0，且p 是q 的充分条件，求k 的取值范围．【思路探究】 求出p 、q 对应的集合A 、B ――→充分条件A ⊆B →k 满足的条件――→解不等式k 的取值范围【自主解答】 由4x ＋k ≤0，得x ≤－k4.由x 2－x －2＞0，得x ＜－1或x ＞2.设A ＝{x |x ≤－k4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞2}．由p 是q 的充分条件，得A ⊆B ． ∴－k4＜－1，∴k ＞4.即k 的取值范围为(4，＋∞)．1．涉及与充分、必要条件有关的求参数取值范围问题，常借助集合的观点来处理． 2．解决本题的关键是把p 、q 之间的关系转化为p 、q 所表示集合之间包含关系，然后，建立关于参数的不等式(组)求解．已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＜0，且p 是q 的必要条件，求k 的取值范围． 【解】 由4x ＋k ≤0，得x ≤－k4；由x 2－x －2＜0，得－1＜x ＜2.设A ＝{x |x ≤－k4}，B ＝{x |－1＜x ＜2}，由p 是q 的必要条件，得A ⊇B ． ∴－k4≥2，∴k ≤－8.即k 的取值范围为(－∞，－8].充要条件的证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：“对任意n ∈N ＋，S n ＝a 1＋a n n2”是“数列{a n }是等差数列”的充要条件．【思路探究】 分清条件和结论，证明充分性即证“条件⇒结论”，证明必要性即证“结论⇒条件”．【自主解答】 必要性：由等差数列的前n 项和计算公式，得S n ＝a 1＋a n n2.充分性：由S n ＝a 1＋a n n2，得S n ＋1＝a 1＋a n ＋1n ＋12.两式相减得，a n ＋1＝a 12＋n ＋1a n ＋12－na n 2整理得(n －1)a n ＋1＝na n －a 1，na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1－a 1，两式相减得，na n＋2－(n－1)a n＋1＝(n＋1)a n＋1－na n整理得2na n＋1＝na n＋2＋na n∴2a n＋1＝a n＋2＋a n，∴数列{a n}是等差数列．1．首先分清条件和结论．本例中条件是“对任意n∈N＋，S n＝a1＋a n n2”，结论是“数列{a n}是等差数列”．2．分两步证明，既要证明充分性，又要证明必要性(证明先后顺序不作要求)．3．证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性．已知数列{a n}满足a n＋a n＋1＝2n＋1(n∈N＋)，求证：数列{a n}为等差数列的充要条件是a1＝1.【证明】必要性：由a n＋a n＋1＝2n＋1，得a2＝3－a1，a3＝5－a2＝2＋a1，由数列{a n}是等差数列，得2a2＝a3＋a1，∴2(3－a1)＝(2＋a1)＋a1，解得a1＝1.充分性：由a n＋a n＋1＝2n＋1，得a n＋1＋a n＋2＝2(n＋1)＋1＝2n＋3，两式相减得a n＋2－a n＝2，∴数列{a2n－1}是首项为a1＝1，公差为2的等差数列．∴a2n－1＝1＋2(n－1)＝2n－1，即当n为奇数时，a n＝n.当n为偶数时，n＋1是奇数，∴a n＋1＝n＋1，∴a n＝(2n＋1)－a n＋1＝(2n＋1)－(n＋1)＝n.综上得a n＝n，∴a n＋1－a n＝(n＋1)－n＝1.因此，数列{a n}是等差数列.充分、必要条件颠倒致误已知p：x2－x－2＜0，q：x∈(－1，m)，且p是q的充分不必要条件，则( )A．m＞2 B．m≥2C ．－1＜m ＜2D ．－1＜m ≤2【错解】 由x 2－x －2＜0，得x ∈(－1,2)． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴(－1，m )(－1,2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1m ＜2即－1＜m ＜2，故选C.【答案】 C【错因分析】 颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件致误． 【防范措施】 在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件p 和结论q .只有分清条件和结论才能正确判断p 与q 的关系，才能利用p 与q 的关系解题．在由条件p 与结论q 之间的关系求字母的取值范围时，将p 与q 之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法．【正解】 由x 2－x －2＜0，得x ∈(－1,2)． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴(－1,2)(－1，m )，∴m ＞2.故选A. 【答案】 A1．判断p 是q 的什么条件，其实质是判断p ⇒q 与q ⇒p 两个命题的真假．2．当不易判断p ⇒q 与q ⇒p 的真假时，可从集合的角度入手．首先建立与p 、q 相应的集合，即p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}.若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件若A ⃘B ，且B ⃘A ，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件3.命题“若p ，则q ”为真、p ⇒q 、p 是q 的充分条件、q 是p 的必要条件，这四种形式表达的是同一逻辑关系，只是说法不同而已.1．“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当x ＝π4时，y ＝sin 2x 取最大值1；但当y ＝sin 2x 取最大值1时，x 不一定等于π4，比如x ＝54π.因此“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的充分不必要条件．【答案】 A2．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且 a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．【答案】 A3．用符号“⇒”、“⇐”、“⇔”填空： (1)x ＝0________x ＜1；(2)整数a 能被2整除________整数a 是偶数； (3)M ＞N ________log 2M ＞log 2N .【解析】 利用这三种符号的意义求解． 【答案】 (1)⇒ (2)⇔ (3)⇐4．直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是什么？ 【解】 由直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切，得|1＋1＋m |12＋12＝ 2. 解得m ＝0或－4.又当m ＝0或－4时，直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切．因此，直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝0或－4.一、选择题1．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 当a ＝1时，N ＝{1}⊆M ；但当N ⊆M 时，推不出a ＝1，比如a ＝ 2.故选A. 【答案】 A2．“sin A ＞cos B ”是△ABC 为锐角三角形的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 当A ＝120°，B ＝45°时，△ABC 为钝角三角形；当△ABC 是锐角三角形时，A ＋B ＞90°，A ＞90°－B ，又0°<A,90°－B <90°，则sin A ＞sin(90°－B )＝cos B ．【答案】 B3．已知p ：lg x ＜0，那么命题p 的一个必要不充分条件是( ) A ．0＜x ＜1 B ．－1＜x ＜1 C.12＜x ＜23 D ．12＜x ＜2 【解析】 由x 2lg x ＜0，得0＜x ＜1.设p 的一个必要不充分条件为q ，则p ⇒q ，但q ⇒/p .故选B ．【答案】 B4．(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 不等式2x 2＋x －1＞0的解集为x ＞12或x ＜－1，所以“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”成立的充分不必要条件，选A.【答案】 A5．(2013·江浙高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f (x )＝A cos(ωx ＋π2)＝－A sin(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．【答案】 B 二、填空题6．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的充要条件是________________． 【解析】 对a 分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0b 2－4ac ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c ＞07．在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种填空：(1)“a ＝0”是“函数f (x )＝x 2＋ax (x ∈R )为偶函数”的________； (2)“sin α＞sin β”是“α＞β”的________； (3)“x ∈M ∩N ”是“x ∈M ∪N ”的________；(4)对于实数a ，b ，c ，“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的________． 【解析】 利用定义求解．【答案】 (1)充要条件(2)既不充分也不必要(3)充分不必要(4)必要不充分 8．若命题“若p ，则q ”为真，则下列说法正确的是________． ①p 是q 的充分条件； ②p 是q 的必要条件； ③q 是p 的充分条件； ④q 是p 的必要条件．【解析】 由充分条件与必要条件的定义知，①④正确． 【答案】 ①④三、解答题9．已知：p ：x ＞1，q ：1x＜1，试判断p 是q 的什么条件？【解】 由1x ＜1，得1－xx＜0，∴x (x －1)＞0， ∴x ＞1或x ＜0. ∴{x |x ＞1}{x |1x＜1}，∴p 是q 的充分不必要条件．10．已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，试问：(1)s 是q 的什么条件；(2)r 是q 的什么条件；(3)p 是q 的什么条件．【解】 p 、q 、r 、s 的关系可以用右图表示： (1)∵s ⇒r ，r ⇒q ， ∴s ⇒q ，又q ⇒s ， ∴s 是q 的充要条件． (2)∵q ⇒s ，s ⇒r ， ∴q ⇒r ，又r ⇒q ， ∴r 是q 的充要条件． (3)∵q ⇒s ，s ⇒r ，r ⇒p ∴q ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．11．已知p ：x －2x －3a ＋1＜0，q ：x －a 2－2x －a＜0，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 由q 是p 的必要条件，可知{x |x －2x －3a ＋1＜0}⊆{x |x －a 2－2x －a ＜0}．由a 2＋2＞a ，得{x |x －a 2－2x －a＜0}＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}，当3a ＋1＞2，即a ＞13时，{x |x －2x －3a ＋1＜0}＝{x |2＜x ＜3a ＋1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋c ≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，{x |x －2x －3a ＋1＜0}＝∅，符合题意；当3a ＋1＜2，即a ＜13时，{x |x －2x －3a ＋1＜0}＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，解得－12≤a ＜13.综上得，a ∈[－12，3－52].(教师用书独具)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 【思路探究】 先由必要性求出n 值，再验证所求得的n 值满足充分性． 【自主解答】 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0， ∴n ＝3或n ＝4.当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3； 当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 【答案】 3或4在一些充要条件的命题中往往是“A 的充要条件是B ”，这种情况下的条件实际是B ，结论是A ，因此其充分性是B ⇒A ，必要性是A ⇒B ．在寻求A 成立的充要条件时，可先由A ⇒B ，再验证B ⇒A .函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π的充要条件是a ＝________. 【解析】 f (x )＝cos 2ax ，由f (x )的最小正周期是π，得2π|2a |＝π，∴a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝cos 2x ；当a ＝－1时，f (x )＝cos(－2x )＝cos 2x . ∴当a ＝±1时，f (x )的最小正周期都是2π2＝π.∴a＝±1.【答案】±1§3全称量词与存在量词3．1 全称量词与全称命题 3．2 存在量词与特称命题3．3 全称命题与特称命题的否定(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)通过生活和数学中的丰富实例，让学生理解全称量词与存在量词的意义． (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 2．过程与方法在使用量词的过程中，加深对以往所学知识的理解，并通过对所学数学知识的梳理，构建新的理解．3．情感、态度与价值观通过量词的学习，体会运用量词表述数学内容的准确性、简洁性，并能运用数学语言进行讨论和交流．●重点难点重点：理解全称量词和存在量词． 难点：1.含有一个量词的命题的否定． 2．含有一个量词的命题的真假判断．教学时，要从学生的认知水平入手，通过几组例子，引导学生观察、比较、分析，来理解量词的含义；并通过讨论、探索、发现归纳出含有一个量的命题的否定方法及真假判断方法，从而突出重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节课宜采用探究式教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以含有一个量词的命题的否定方法及真假判断方法为探究内容，让学生通过个人探究、小组讨论等多种解难释疑的尝试活动去发现方法、总结规律，通过例题与练习让学生在应用规律方法解决问题的过程中加深对规律方法的认识．●教学流程 通过实例引入课题――→探究全称量词与存。
高二数学 第一章(常用逻辑用语)教材分析 教案
第一章《常用逻辑用语》教材分析与教学建议（一）本章的重点和难点（1）本章内容的重点是命题及其关系，充分条件、必要条件、充要条件的意义，逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，全称量词与存在量词。
（2）本章的主要难点是理解必要条件的意义，能正确的对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定。
（二）内容安排及说明1．本章有四节内容，共8课时，具体分配如下（供参考）：1．1命题及其关系约2课时1．2充分条件与必要条件约2课时1．3简单的逻辑联接词约2课时1．4全称量词与存在量词约2课时2．本章知识框图（三）通过大量数学实例的介绍，加强对基本概念意义的理解在大量的数学实例的基础上，思考、探究、分析、发现，最后总结概括出相关概念和知识，是本章内容的突出特色。
本章内容，重在让学生通过对常用逻辑用语的学习，体会运用逻辑用语在表述和论证中的作用，能用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。
1．给学生提供充分的思考、探究的空间这样的编写意图贯穿本章内容始终，本章突出了对数学实例进行“思考、探究、发现、总结规律、得出结论、实际运用”的特点。
2．强调数学知识间的前后联系本章知识内容的学习注重了几个方面的联系：（1）新内容的学习建立在大量的学生已经学过或熟悉的数学实例的基础上，也即联系已学过的数学实例学习新内容；（2）联系物理中的串联、并联电路及其开通情况，更加形象地理解和学习逻辑联结词“且”“或”的含义及判断由它们联结的命题的真假，体会新知识内容的含义；（3）联系并类比集合“交”“并”“补”运算，进一步体会逻辑联结词“且”“或”“非”的含义，以及由它们联结得到一个新命题的过程。
通过前后知识内容的关联，使学生更好的理解新知识，体会新知与旧知间的联系及新知识的运用。
3．注重数学符号语言的运用大量的借助符号语言表述数学内容，也是本章的特色之一。
符号语言作为数学的基本语言，具有表述的简洁、准确的特点。
本章借助大量的符号语言，使我们进一步体会了运用常用逻辑用语表达和交流的简洁与准确。
最新西安市高中数学第一章常用逻辑用语教案北师大版选修
第
课
讲授新课
型
主备 课人
白美利
理解充要条件的概念， 会用充要条件的概念判断命题的条件和结论之间的关系
综合应用各种方法对“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”的判断
自主学习 阅读Ｐ９页 “问题提出”的三个问题 （ 1）回答以上问题中Ｐ与Ｑ的关系．体会充要条件的含义。
（ 2）“当且仅当”“等价命题”的含义是否相同？ （ 3）各举三个“充分但不必要”“必要但不充分”“充要条件”条件的例子。
“常用逻辑用语” 的课程目标是帮助学生正确使用常用逻辑用语，
更好的理解数学内容中
的逻辑关系，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学
内容，更好地进行交流，避免在使用过程中产生错误
. 高中数学课程中，学“常用逻辑用
语”不是为逻辑学和数理逻辑奠定基础，这与“简易逻辑”的目标不同，这一点需要老
p 是 q 的充分条件？
②若 a b ，则 ac2 bc2
③若 an 为等差数列，则 an an 2 2an 1
④若 x 3 ，则 x 5
⑵下列“若 p ，则 q ”形式的命题中，哪些命题中的 ① 若 x y ，则 x2 y 2
q 是 p 的必要条件？
② 若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；
师们特别注意 .
（ 2）“常用逻辑用语”应通过实例理解，避免形式化的倾向
常用逻辑用语的教学不应当从抽象的定义出发，而应该通过数学和生活中的丰富实例理解常
用逻辑用语的意义，体会常用逻辑用语的作用
. 事实上，在高中阶段，没有必要形式的理
解常用逻辑用语在“逻辑学”和“数理逻辑”中的确切含义
. 重点是理解常用逻辑用语在
认识和表达数学中的作用 .
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题导学案北师大版选修1_1
1.1 命题学习目标 1.理解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.知识点一命题的概念思考1 给出下列语句：①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；②3＋6＝7；③偶函数的图像关于y轴对称；④5能被4整除.请你找出上述语句的特点.答案上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假.梳理(1)定义可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.(2)分类①真命题：判断为真的语句叫作真命题；②假命题：判断为假的语句叫作假命题.知识点二命题的形式思考1 你能把“内错角相等”写成“若…，则…”的形式吗？答案若两个角为内错角，则这两个角相等.思考2 “内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？答案是命题，是假命题.梳理命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.由p能推出q，则为真命题.能举一反例即可确定为假命题.知识点三四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.梳理一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题.把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.知识点四四种命题的关系及其真假判断思考1 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？答案互逆、互否、互为逆否.思考2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？答案原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题. 梳理(1)四种命题的相互关系(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题.(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.类型一命题的概念例1 下列语句：(1)2是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图像太美了！(8)4是集合{1，2，3}中的元素.其中是命题的是________.(填序号)答案(1)(3)(5)(8)解析本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假.(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题.故答案为(1)(3)(5)(8). 反思与感悟一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假.其流程图如图：跟踪训练1 下列语句中，是命题的为________.①红豆生南国；②作射线AB；③中国领土不可侵犯！④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.答案①④解析②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题.类型二四种命题及其相互关系命题角度1 四种命题的概念例2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.解(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题.逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题.(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题.否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题.逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题.(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题.否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题.逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题.(4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题.否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题.逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题.跟踪训练2 命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( )A.若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B.若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C.若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D.若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数答案 B解析直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数.命题角度2 四种命题的相互关系例3 若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是( )A.互为逆命题B.互为否命题C.互为逆否命题D.同一命题答案 B解析已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数.命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，∴r是p的逆否命题，∴r是p的逆命题的否命题，故选B.反思与感悟(1)判断四种命题之间四种关系的两种方法①利用四种命题的定义判断；②巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系. (2)要判断四种命题的真假：首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练3 有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②一个实数不是正数就是负数；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是________.答案 1解析 ①“若x ＋y ≠0，则x ，y 不是相反数”，是真命题.②实数0既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题.③“若x >－3，则x 2－x －6≤0”，解不等式x 2－x －6≤0可得－2≤x ≤3，而x ＝4>－3不是不等式的解，故是假命题.④“相等的角是同位角”，是假命题.类型三 等价命题的应用例4 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假.解 方法一 原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅，判断如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，令x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＝0，则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.因为a <1，所以4a －7<0，即关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题.方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.因为关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，所以(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74≥1， 所以原命题为真，故其逆否命题为真.引申探究判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，则a <74”的逆否命题的真假.解 先判断原命题的真假如下：因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，且抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0，所以a <74.所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题.反思与感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练4 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a ＋1＝0”.∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.1.下列语句是命题的是( )A.2 014是一个大数B.若两条直线平行，则这两条直线没有公共点C.对数函数是增函数吗D.a≤15答案 B解析A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题.2.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线答案 D解析只要分清命题中的条件和结论即可.3.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案 B解析否命题是既否定条件又否定结论.因此否命题应为“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”.4.命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A.0B.2C.3D.4答案 B解析命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命题，则其逆否命题是假命题.该命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”是真命题，则其否命题是真命题.故选B.5.给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是________.答案①③解析①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，真命题.②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题.③∵Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真.1.可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变.3.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定和结论q的否定；(3)按照四种命题的结构写出所有命题.4.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.40分钟课时作业一、选择题1.下列语句中，不能成为命题的是( )A.5>12B.x>0C.已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a·b＝0D.三角形的三条中线交于一点答案 B解析A是假命题，C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题.2.下列说法正确的是( )A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题答案 D解析对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.3.已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )A.真命题，否命题：“若ab>0，则a>0或b>0”B.真命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0”C.假命题，否命题：“若ab>0，则a>0或b>0”D.假命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0”答案 B解析“若a>0且b>0，则ab>0”是真命题，又“若a>0且b>0，则ab>0”是“若ab≤0，则a≤0或b≤0”的逆否命题，故原命题为真命题.已知命题的否命题是“若ab>0，则a>0且b>0”.4.下列命题中为真命题的是( )A.命题“若x>2 016，则x>0”的逆命题B.命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题C.命题“若x2＋x－2＝0，则x＝1”D.命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题答案 B解析 A 选项，“若x >2 016，则x >0”的逆命题为“若x >0，则x >2 016”是假命题；B 选项，“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0”是真命题；C 选项，由x 2＋x －2＝0，得x ＝1或x ＝－2，故C 是假命题；D 选项，“若x 2≥1，则x ≥1”是假命题，故其逆否命题是假命题.5.若命题p 的否命题为q ，命题p 的逆否命题为r ，则q 与r 的关系是( )A.互逆命题B.互否命题C.互为逆否命题D.以上都不正确 答案 A6.已知命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 B解析 命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”是真命题，故其逆否命题是真命题.该命题的逆命题为“若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.7.下列命题：(1)若“a 2<b 2，则a <b ”的逆命题；(2)“全等三角形面积相等”的否命题；(3)“若a ≥0，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题；(4)“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”.其中正确的命题是( )A.(3)(4)B.(1)(3)C.(1)(2)D.(2)(4) 答案 A解析 对于(1)，逆命题是“若a <b ，则a 2<b 2”，易知是假命题；对于(2)，否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等”，易知是假命题； 对于(3)，结论成立的条件是a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－2a 2－4a a ＋，故a ≥0，原命题与其逆否命题真假性相同，所以(3)正确；对于(4)，若x 为有理数，则3x 必为无理数，因为3x 为有理数，故x 为无理数，则(4)正确，故选A.二、填空题8.已知命题：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.若把上述命题改为“若p ，则q ”的形式，则p 是________________________________________________，q是________________________________________________________________________.答案一个点在线段的垂直平分线上这个点到线段的两个端点的距离相等9.已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________.答案若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2解析由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.10.在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________.答案 1解析原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也是假命题，故答案为1.11.给定下列命题：①若k>0，则方程x2－2x－k＝0有实数根；②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是________.答案①②④解析①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，∴①是真命题.②其逆否命题为真，故②是真命题.③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题.三、解答题12.判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假. 解方法一因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.13.已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.证明假设a＋b<0，则a<－b.∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)，又∵f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b).即f(a)＋f(b)<0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.11。
北师大版数学高二教案第一章常用逻辑用语复习
第一章常用逻辑用语整章复习一、学习目标：A1、了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.B2、理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.C3、理解全称量词与存在两次的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.A4、通过教学实例，了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.二、请列出本章的知识网络三、基础训练：一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零, 另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
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1.1.2四种命题及其相互关系
一、教学目标：1、知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假． 2、过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3、情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
二、教学重点与难点
重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．
难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习引入：初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？（二）、探析新课
1、思考、分析：问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
2、归纳总结：问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
3、抽象概括：定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。
定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．让学生举一些互否命题的例子。
定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互
为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．让学生举一些互为逆否命题的例子。
小结：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题；（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
4、四种命题的形式：让学生结合所举例子，思考：若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？
学生通过思考、分析、比较，总结如下：原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．
5、练习巩固：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：
（１）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
（２）若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；
（３）若x2=1,则x=1；
（４）若整数a是素数，则是a奇数。
6、思考、分析：结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？通过此问，学生将发现：①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②原命题为真，它的否命题不一定为真。
③原命题为真，它的逆否命题一定为真。
原命题为假时类似。
结合以上练习完成下列表格：
由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．
由此会引起我们的思考：一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关
系．
学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：
7、总结归纳
若P ，则q ．
若q ，则P ．
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
（三）、例题分析：例4： 证明：若p 2 ＋ q 2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
将“若p 2 ＋ q 2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p 2 + q 2 ≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．
证明：若p ＋ q ＞2，则
p 2 ＋ q
2 ＝21［（p －q ）2＋（p ＋q ）2］≥21（p ＋q ）2＞2
1×２２＝２ 所以p 2 ＋ q 2
≠2．这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。
练习巩固：证明：若a 2－b 2＋２a －４b －３≠０，则a －b ≠１．
（四）、课堂总结：（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；
（４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．（五）、作业P9：习题1．１Ａ组第２、３、４题
五、教后反思：。