Fisher判别分析在城镇居民消费等级评估中的应用(定稿)

目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1、引言 (2)2、Fisher判别的前提假设 (2)3、Fisher判别的一般理论分析 (3)3.1 建立线性判别函数 (3)3.2 fisher判别的规则及统计检验 (6)4、SPSS计算步骤及结果 (8)4.1 计算过程 (8)4.2 输出结果与判别分析 (10)5、总结及建议 (16)参考文献 (21)致谢 (22)附录A (23)附录B (24)Fisher判别分析在城镇居民消费等级评估中的应用内容摘要:Fisher判别法是多元统计判别法的典型代表。

本文根据已知数据中各地区消费的等级，用Fisher判别法的一般原理对城镇居民消费等级评估进行判别分析，建立各因素的线性判别函数,再通过对SPSS 统计软件的相关操作，得出判别函数系数，再将待判观测值代入函数，得到F值，最后比较F值即可得到判别结果。

对各地区城镇居民消费等级的评估进行的实例分析，分析结果表明该模型总的判别准确率为100%,与国内已有的研究成果相比是一致的。

对政府关于城镇居民消费调节方面具有重要的应用价值。

并根据论文的判别结果的分析，给政府关于城镇居民消费提供一些具体可行的建议。

关键词：Fisher判别；判别分析；马氏距离；城镇居民消费Abstract：The Fisher discrimination method is a typical representative of multi-variable discrimination method of statistic. Using the general principles of Fisher discrimination, the paper analyzes assessment of consumption level of urban residents in the basis of the level of consumption in all regions among the known data. Linear discriminate function of factors is established by it. Through the relevant operations of SPSS statistical software, it makes observations to be sentenced into the function and obtains F value. Finally the paper compares F value to get the discrimination results. The results indicate that this modes’ accurate rate is 100% in the analysis of the level. It is identical with other models ’results in China. And it is a useful and important tool for government regulation on the consumer side of urban residents and provides some specific recommendations to the government about consumption of urban residents after the analysis of results.Key words：Fisher discrimination; discrimination and analysis; Mahalanobis range; Consumption of urban residents.1、引言随着社会经济不断发展，科学技术的不断进步，人们已经进入了信息时代，要在大量的信息中获得有科学价值的结果，从而统计方法越来越成为人们必不可少的工具和手段。

多元统计分析是近年来发展迅速的统计分析方法之一，应用于自然科学和社会各个领域，成为探索多元世界强有力的工具。

判别分析是统计分析中的典型代表，判别分析的主要目的是识别一个个体所属类别的情况下有着广泛的应用。

潜在的应用包括预测一个公司是否成功；决定一个学生是否录取；在医疗诊断中，根据病人的多种检查指标判断此病人是否有某种疾病等等。

它是在已知观测对象的分类结果和若干表明观测对象特征的变量值的情况下，建立一定的判别准则，使得利用判别准则对新的观测对象的类别进行判断时，出错的概率很小。

而Fisher判别方法是多元统计分析中判别分析方法的常用方法之一，能在各领域得到应用。

通常用来判别某观测量是属于哪种类型。

在方法的具体实现上，采用国内广泛使用的统计软件SPSS（Statistical Product and Service Solutions）,它也是美国SPSS公司在20世纪80年代初开发的国际上最流行的视窗统计软件包之一。

2、Fisher判别的前提假设◆假设1:各个判别变量服从正态分布，由各个判别变量的联合分布是多元正态分布。

只有在这个条件下，我们才可以进行有关的显著性检验；◆假设2：各个判别变量不能存在多重共线性，即每个判别变量不能是其他判别变量的线性组合。

◆ 假设3：每个变量在各类中的取值应存在显著差异。

只有在这个假设下才能通过变量建立有效地判别函数将各类区分开来。

◆ 假设4：预测变量应是连续不间断变量 ,判断类别或组别应是间断变量。

3、 Fisher 判别的一般理论分析3.1 建立线性判别函数费希尔判别法是判别分析中的一种，其思想是投影，将k 组（类）p 维数据投影到某一个方向，使得组与组之间投影尽可能的分开。

也就是说它是根据方差分析的思想,使母体间的组间差最大,而母体内的组内差最小,从而建立起一种能较好地区分各个母体的线性判别函数 。

设从k 个总体判别取得k 组p 维观测值:()()(){}()()(){}111111212:,,,;;:,,,.kkkkn kn G X X X G X X X12.k n n n n =+++ 令a 为任一p 维列向量，()T y X a X =为X 以a 为法线方向的投影，这时，上述数据的投影为：()()(){}()()(){}111111212:,,,;;:,,,.kk k k TTTTTTn kn G a X a X a X G aX a X a X则()()()()()12,,,,;Ti i i i pXX X X= ()12,,,,.Tm X X X X =（2.1.1） ()();i i TYa X= ;TY a X = ()1,2,,i k = （2.1.2）若a 取得好，则应使：（1）不同组之间的区分能力越大越好，组间平方和为()()()()22111()()()kkkTi i i i TTTTi i i i i i SSE n YY n a Xa X n a X X a XX ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑()()1[()()]ki iTT T i i a n X X X X a a B a ==--=∑ （2.1.3）B 为组间离差阵，它反映了组间的差异。

（2）每个组中y 值离散程度越小越好，组内平方和为()()()()221111()iin n kk i i i i T Tjji j i j SSQ Y Ya Xa X====⎡⎤=-=-⎣⎦∑∑∑∑()()()()11in kTi i i i TT jjxx i j a X XX Xa a L a ==⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦∑∑（2.1.4） 其反映了组内的差异。

若k 组均值有显著差异，则()()()()()()/1/11T TxxSSE k n k n k SSE a BaF SSQ n k k SSQk a L a ---===---; 所以F 值应充分地大，或者 ()TT xx a Ba a a L aλ=； （2.1.5）达到极大值，经推导a 应满足 ()0xx B L a λ-= （2.1.6） 若1xx L -存在，则有 1()0xx L B I a λ--= （2.1.7） 求出1xx L B -的最大特征根1λ及它所对应的特征向量1a ∧；则第一判别函数为111Tpjj j y a X aX ∧===∑若（2.1.7）的非零正特征值为 ()12.r r m λλλ≥≥≥≤ 相应的特征向量依次为12,,,r a a a ∧∧∧，则就可得到多个判别函数 ()1,2,,t y t r = ，为方便计算，后面均记判别系数为a 。

假如令 ()TTa Ba a a Saλ=; （2.1.8）它和（2.1.5）式只相差一个常数，且S ∧=∑,其中的∑表示协方差阵。

即S 是∑的无偏估计，要使a 取得最恰当的值，让（2.1.8）达到极大和使（2.1.5）达到极大值是等效的。

（2.1.8）式分母是组内协方差阵。

由于a 是向量，令1Taa ∧=∑，并不影响a 的各分量比例，这样求a 归结为如下条件极值问题：1m axT Ta a Q a Ba ∧⎧⎪=⎨⎪==⎩∑（2.1.9）也可推导到，若1S -存在，则 1()0S B I a β--= （2.1.10） 不难证明，此式求出的最大特征值()11n k βλ=-，1β对应的特征向量和1λ对应的特征向量各分量间的比例是一样的。

特别的当k=2时，两个总体的共同协方差阵等于各总体协方差之和，即12=+∑∑∑；12+∑∑的估计可用两种方法估计:(1)()()1212121111xxxxL L n n ∧∧∧=+=+--∑∑∑（2.1.11）(2)121212xx L n n ∧∧∧=+=+-∑∑∑（2.1.12）其中，()()12xx xx xx L L L =+，一般常用第二种方法，特别是当1n 和2n 相差不大时，这时判别函数为()()12112(2)()Txx y a X n n XXL X -==+--（2.1.13） 3.2 fisher 判别的规则及统计检验先考虑两个总体的情况，假设有总体A 和B ；由上面可知，综合考虑满足费希尔准则的条件，各判别函数必须使得()()()()()()122211()()()n n iii i y A y B I y A y A y B y B ==-=-+-∑∑取得最大值，由数学分析的极值定理，可以推导出如下方程组：11112211211222221122p p p p p p pp p ps c s c s c d s c s c s c d s c s c s c d +++=+++=+++=解此方程组可求出12,,,p c c c 而得到线性判别函数1122p p y c x c x c x =+++ ；再由该线性判别函数计算出A 和B 两类的重心：()()1pkk k y A cx A ==∑；()()1pkk k y B cx B ==∑；对它们进行以所含样本数的权数的加权平均，得()()()AB A B A B n y A n y B y n n +⎡⎤⎣⎦=+；加权平均数AB y 称为两组判别的综合指标，得判别样本的判别分组方法如下：（1）如果()AB y A y >，且对待判别样本()12,,p x x x 使1122p p AB y c x c x c x y =+++> 成立，则该样本可判属于A 组，若()AB y A y ≤，则该样本判属于B 组。