2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题27 函数与方程思想

专题二十七│ 要点热点探究
【解答】 (1)因为 Sn＝n2，所以当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 又当 n＝1 时，a1＝S1＝1，适合上式，所以 an＝2n－1(n∈N*)， 2 n－ 1 1 3 15 所以 bn＝ ，则 b1＝ ，b2＝ ， b8 ＝ ， 2 n－ 1 ＋ m 1＋ m 3＋ m 15＋m 3 2 1 15 2 由 b2＝b1b8，得3＋m ＝ · ， 1 ＋ m 15 ＋ m 解得 m＝0(舍)或 m＝9，所以 m＝9. (2)假设存在 m，使得 b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列， 即 2b4＝b1＋bt，则 2 t－ 1 7 1 36 2× ＝ ＋ ，化简得 t＝7＋ ， 7 ＋ m 1 ＋ m 2 t－ 1 ＋ m m－5 所以当 m－5＝1,2,3,4,6,9,12,18,36 时， 分别存在 t＝43,25,19,16,13,11,10,9,8 适合题意， 即存在这样的 m，且符合题意的 m 共有 9 个．
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(3)分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再 积零为整”的数学策略．利用好分类与整合思想可以优化解 题思路，降低问题难度．复习中要养成分类与整合的习惯， 常见的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化型， 图形变动型． (4)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、 最重要的 思想方法，它无处不在．比如：解不等式时，将分式不等式 转化为整式不等式；处理立体几何问题时，将空间的问题转 化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几 何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等．
专题二十七
函数与方程思想
专题二十七 函数与方程思想
专题二十七 │ 主干知识整 合
主干知识整合
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关 初等函数的性质，解有关求值、解 (证)不等式、解方程以及讨论参 数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式 或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达 到化难为易，化繁为简的目的．函数与方程的思想是中学数学的基 本思想，纵观近 4 年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应 用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点 内容之一．在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在 20% 左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的 主观性试题．函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所 占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多．
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【解答】 (1)①证明：由 Tn＝1－an 得： Tn Tn＝1－ (n≥2)， Tn－1 Tn－1－Tn 1 1 Tn· Tn－1＝Tn－1－Tn,1＝ ＝ － ， Tn· Tn－1 Tn Tn－1 即 cn－cn－1＝1. 1 1 又 T1＝1－a1＝a1，a1＝ ，c1＝ ＝2， 2 T1 所以数列{cn}是以 2 为首项，1 为公差的等差数列． ②cn＝c1＋n－1＝2＋n－1＝n＋1， 1 Tn n Tn＝ ，an＝ ＝ (n≥2)， n＋ 1 Tn－1 n＋1 n 当 n＝1 时也符合，故 an＝ . n＋ 1
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要点热点探究 ► 探究点一 函数思想的运用
在方程、不等式、数列、向量、解析几何等数学问 题中，经常会蕴涵着函数关系或比较大小、参数取值范 围、最值等问题，此时可以构建函数，运用函数的知识 或函数的方法解决问题．
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例 1 设数列{an}的前 n 项积为 Tn， Tn＝1－an； 数列{bn} 的前 n 项和为 Sn，Sn＝1－bn. 1 (1)设 cn＝T . n ①证明数列{cn}为等差数列； ②求数列{an}的通项公式； (2)若 Tn(nbn＋n－2)≤kn 对 n∈N*恒成立，求实数 k 的取值范围．
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备考策略
二轮复习时，要有效地掌握以下几个方面： 数学思想与方法是通过数学知识体现的，在复习中，要养成利 用数学思想分析问题、思考问题、解答问题的习惯意识． (1)对于函数与方程思想， 在解题中要善于挖掘题目中的隐含条 件， 构造出函数解析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用 函数与方程思想解题的关键． (2)数形结合的实质是把抽象的数学语言和直观的图象语言结 合起来，即将代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合 思想分析问题时，要注意三点：①理解一些概念与运算法则的几何 意义以及曲线的代数特征， 对题目中的条件和结论既分析其几何意 义，又分析其代数意义；②恰当设参、合理用参，建立关系，由形 思数，以数想形，做好数形转化；③确定参数的取值范围，参数的 范围决定图形的范围．
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1n 1n＋1 1 1 因为 ＞ ＞0，2 ＞2 ＞0，所以 f(n)＞f(n＋1)， n＋ 1 n＋ 2 所以当 n∈N*时，f(n)单调递减． n－ 2 n－ 1 设 g (n )＝ ，则 g(n＋1)＝ ， nn＋1 n＋1n＋2 4－ n g(n＋1)－g(n)＝ . nn＋1n＋2 所以当 1≤n＜4 时，g(n)单调递增；g(4)＝g(5)； 当 n≥5 时，g(n)单调递减． 设 L (n )＝ f(n )＋ g (n )， 则 L(1)＜L(2)＜L(3)，L(3)＞L(4)＞L(5)＞L(6)＞„. 11 所以 L(3)最大，且 L(3)＝ . 96 11 所以实数 k 的取值范围为 96，＋∞.
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3.函数与方程思想的几种重要形式 (1)函数和方程是密切相关的，对于函数 y＝f(x)，当 y＝0 时，就 转化为方程 f(x)＝0， 也可以把函数式 y＝f(x)看作二元方程 y－f(x)＝0； (2)函数与不等式也可以相互转化， 对于函数 y＝f(x)， 当 y＞0 时， 就转化为不等式 f(x)＞0， 借助于函数图象与性质解决有关问题， 而研 究函数的性质，也离不开解不等式； (3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数， 用函数的观 点处理数列问题十分重要； (4)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问 题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有 关理论； (5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用 列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
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► 探究点二 方程思想的运用
方程思想的运用包含以下几个问题：一将题干中所给的方 程进行转化， 凸显其隐含条件， 从而利用方程的性质解决问题； 二是根据题目所给未知量，根据条件列出关于未知数的方程 (组)，求出未知数，解决问题．
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例 2 设数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2，数列{bn}满足 an bn＝ (m∈N*)． an＋m (1)若 b1，b2，b8 成等比数列，试求 m 的值； (2)是否存在 m，使得数列{bn}中存在某项 bt 满足 b1， b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意 的 m 的个数；若不存在，请说明理由．
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【点评】 数列中的通项公式和前 n 项和公式都是方 程．三项 b1，b2，b8 成等比数列，其本质还是求方程 b2 2＝b1b8 的解．第二小问中 b1，b4，bt 是否成等差数列，其本质还是论 证二元方程的整数解问题，可以利用整除性来考虑，这在数 列问题中屡见不鲜．
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第八单元 │ 近年高考纵览
《考试说明》对数学思想做了如下要求： 突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查． 对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既 注意全面，又突出重点，注重知识内在联系的考查，注重对 中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查． 在 08－11 年的江苏卷中，有着大量的对数学思想运用 的考题如 08 年的填空题的第 14 题分类讨论及等价转化的思 想的运用；09 年的第 17 题的第(2)问函数与方程思想的运 用.10 年的第 11 题数形结合思想的运用；11 年的第 14 题数 形结合的思想的运用．
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(4)与转化与化归思想有关的常见题型： ①未知转化为已知(复杂转化为简单)； ②函数与方程的相互转化； ③正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则； ④空间与平面的相互转化； ⑤常量与变量的转化； ⑥数与形的转化； ⑦相等与不等的相互转化； ⑧实际问题与数学模型的转化．
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【点评】 数列是定义在 N*或其子集上的特殊函数，数列的 通项公式和其前 n 项和都可以构造为关于 n 的函数，从而用函 数思想或函数方法研究、解决问题．本题中将所得函数分成两 个部分研究，当 n≥5 时，f(n)、g(n)均递减，则 L(n)递减，前几 项只需要一一代入即可明确大小关系．
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(2)因为 Sn＝1－bn，S1＝1－b1＝b1， 1 所以 b1＝ ，Sn－1＝1－bn－1(n≥2)， 2 Sn－Sn－1＝bn－1－bn,2bn＝bn－1(n≥2)． 1 1 所以数列{bn}是以 为首项， 为公比的等比数列． 2 2 1n－1 1n 所以 bn＝b12 ＝2 . 因为 Tn(nbn＋n－2)≤kn 对 n∈N*恒成立， n－ 2 ≤k 对 n∈N*恒成立， 所以 Tn bn＋ n n－ 2 1 1n * 即 · ＋ ≤ k 对 n ∈ N 恒成立． n＋1 2 nn＋1 1 1n 1 1n＋1 ，则 f(n＋1)＝ . 设 f ( n )＝ · · n＋1 2 n＋2 2
第八单元 │ 考情分析预测(2)与数形结合思想有关的常见题型： ①集合间关系利用韦恩图求解； ②以数学公式、数学概念的几何意义、函数图象为载体的综合 题，如截距、斜率、距离、导数的几何意义，借助图象求解． (3)与分类与整合思想有关的常见题型： ①含有参数的函数性质问题、交点问题； ②对由数学概念引起的分类讨论问题，如对指数函数、对数函 数的底数的讨论，对一元二次不等式的二次项系数的讨论； ③由公式定理引起的讨论问题，如绝对值、等比数列前 n 项和 的计算问题．