江苏省南通中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析
江苏省南通中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
江苏省南通中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.直线y =的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∴tanθ= ∴θ＝60°， 故选：B ．【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝2b sin A ，则sin B 的值为（ ）B. 2C.12D.2【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，把边化为角的正弦，再计算sin B 的值．【详解】△ABC a ＝2b sin A ，sin A ＝2sin B sin A ， 又A ∈（0，π），所以sin A ≠0，=2sin B ，解得sin B 2=．故选：B【点睛】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．3.若直线过点)3-和点()0,4-，则该直线的方程为( )A. 4y x =- B. 4y x =+C. 6y =-D. 23y x =+ 【答案】A 【解析】 【分析】（法一）利用直线的两点式方程直接求解；（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程．【详解】解：（法一）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的方程为()()344y ---=--，整理得4y x =-；（法二）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的斜率为k =，所以直线的方程为4y x +=，整理得4y x =-； 故选：A ．【点睛】本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题． 4.已知角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2），则sin sin cos θθθ+的值为（ ）A. 13- B.13C. 23-D. 23【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【详解】∵角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2）， ∴tan θ＝2， 则sin tan 22sin cos tan 1213θθθθθ===+++.故选：D【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式，属于基础题． 5.已知圆()()22:684,C x y -+-=O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程( ) A. ()()2234100x y -++= B. ()()2234100x y ++-= C .()()223425x y -+-= D. ()()22+3425x y +-=【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，即得圆的方程. 【详解】由题得OC 中点坐标为（3,4）， ，所以圆的方程为()()223425x y -+-=. 故选C【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.函数22sin 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，即可得解．【详解】函数22sin 1cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数的最小正周期22T ππ==，且该函数为奇函数. 故选：A.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，考查了正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．7.一艘轮船按照北偏东40︒方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为63海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ） A. 6海里 B. 12海里C. 6海里或12海里D. 63海里 【答案】A 【解析】 【分析】根据方位角可知120CAB ∠=，利用余弦定理构造方程可解得结果.【详解】记轮船最初位置为A ，灯塔位置为B ，20分钟后轮船位置为C ，如下图所示：由题意得：11863AC =⨯=，1804020120CAB ∠=--=，63BC =则222cos 2AC AB BC CAB AC AB +-∠=⋅，即：2361081122AB AB +-=-，解得：6AB =即灯塔与轮船原来的距离为6海里本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，关键是能够利用余弦定理构造方程，解方程求得结果.8.已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ，圆心在直线2y x =上，若点A 在直线40x y --=，则圆C 的标准方程为（ ） A. 22(2)(4)4x y -++= B. 22(2)(4)16x y +++= C. 22(2)4)(4x y -+-= D. 22(2)(4)16x y -+-=【答案】D 【解析】 【分析】设圆心(),2C a a ，利用点到直线距离可构造方程求得a ，根据点A 的位置可确定圆心、半径，从而得到圆的标准方程. 【详解】圆C 的圆心在直线2y x =上，∴可设(),2C a a ，圆C 与x 轴正半轴相切与点A ，0a ∴>且圆C 的半径2r a =，(),0A a .A 到直线40x y --=的距离d =d ∴==6a =或2a =，()2,0A ∴或()6,0A ，A 在直线40x y --=的左上方，()2,0A ∴，()2,4C ∴，4r =， ∴圆C 的标准方程为：()()222416x y -+-=.故选：D【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，涉及到点到直线距离公式的应用；关键是能够采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得变量. 二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分）9.点P 是直线x +y ﹣3＝0上的动点，由点P 向圆O ：x 2+y 2＝4作切线，则切线长可能为（ ）A.2B.12C. 1D.2【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，设T 为切点，分析圆的圆心与半径，可得|PT |222||||4PO r PO =-=-，进而可得|PT |的最小值，分析选项即可得解．【详解】根据题意，由点P 向圆O ：x 2+y 2＝4做切线，设T 为切点，连接OP 、OT ，如图：圆O ：x 2+y 2＝4，其圆心为（0,0），半径r ＝2； 则切线长222||||4PT PO r PO =-=- 当PO 最小时，PT 最小，当PO 与直线垂直时，PO 取最小值，则min 33211PO -==+， 所以min1222PT==， 分析选项：A 、C 、D 都满足22PT ≥. 故选：ACD ．【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质，涉及切线长的计算，属于基础题．10.在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（ ） A. a ＝50，b ＝30，A ＝60°B. a ＝30，b ＝65，A ＝30°C. a ＝30，b ＝50，A ＝30°D. a ＝30，b ＝60，A ＝30°【答案】AD 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理求解sin B ，再由正弦函数的值域及三角形中大边对大角分析得答案． 【详解】对于A ，由a ＝50，b ＝30，A ＝60°， 利用正弦定理可得：503060sin sinB=︒则sin B 10=， ∵a ＞b ，且A 为锐角，∴B 有一解，故三角形只有一解； 对于B ，由a ＝30，b ＝65，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306530sin sinB=︒则sin B 13112=>，此三角形无解； 对于C ，由a ＝30，b ＝50，A ＝30°， 利用正弦定理可得：305030sin sinB=︒则sin B 56=， ∵b ＞a ，且A 为锐角，则角B 有两解，故三角形有两解； 对于D ，由a ＝30，b ＝60，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306030sin sinB=︒，则sin B ＝1，B ＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解． 故选：AD【点睛】本题考查三角形解的个数的判定，考查正弦定理的应用，注意三角形中大边对大角是关键，是中档题．11.在ABC ∆中,若cos cos a A b B =,则ABC ∆的形状可能为( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形【答案】ABCD 【解析】【分析】 根据正弦定理sin sin a b A B=,将cos cos a A b B =化简为:sin cos sin cos A A B B =,故sin 2sin 2A B =,即可求得答案.【详解】根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =∴ sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,∴ 22A B =或22A B π+=.即A B =或2A B π+=,∴ABC ∆可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选:ABCD.【点睛】本题考查了判断三角形的形状,解题关键是掌握正弦定理和正弦的二倍角公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.12.已知圆M ：22(1cos )(2sin )1x y θθ--+--=，直线l ：20kx y k --+=，下列四个选项，其中正确的是（ ）A .对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点 B. 存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相离C. 对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切D. 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切 【答案】AC 【解析】 【分析】先确定圆的圆心坐标、直线所过的定点，根据直线与圆的位置关系，结合两点的距离公式、点到直线的距离公式、辅助角公式进行判断即可.【详解】根据题意知圆M 的圆心坐标为M （1+cos θ，2+sin θ），半径为1，202(1)kx y k y k x--+=⇒-=-，直线l恒过定点N（1，2），||1MN=，所以定点N（1，2）在圆M上，无论θ取何值，都由（1﹣1﹣cosθ）2+（2﹣2﹣sinθ）2＝1，因此直线l和圆M有公共点，所以选项A正确，选项B错误；圆心M到直线l的距离d===sin()βθ=-，（其中sinβ=，cosβ=，tanβ＝k）当()2n n Zπβθπ-=+∈时，1d=，所以对任意实数k，tanβ＝k，所以必存在实数θ，使得直线l与圆M相切，所以C正确．当θ＝0°时，()2n n Zπβπ=+∈，tanβ不存在，所以D不正确．故选：AC【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力，属于中档题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分）13.化简：()2cossinπαπα-=⎛⎫+⎪⎝⎭_____．【答案】-1【解析】【分析】由诱导公式即可求解．【详解】()12cos coscossinπααπαα--==-⎛⎫+⎪⎝⎭．故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.已知点（1，a ）（a ＞0）到直线l ：x +y ﹣2＝0的距离为1，则a 的值为_____． 【答案】21+ 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式，代入计算即可得到a 的值．【详解】由题可知，点 （1，a ）（a ＞0）到直线l ：x +y ﹣2＝0的距离为:221211211a a d +--===+，解得：21a =+．故答案：21+．【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题． 15.若tan(2)2αβ+=，tan 3β=-，则tan()αβ+=__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据()2αβαββ+=+-,利用两角差的正切公式计算即可得结果. 【详解】()()tan tan 2αβαββ⎡⎤+=+-⎣⎦ ()()231123--==-+⨯-.【点睛】该题考查的是有关角的正切值的求解，涉及到的知识点有两角差的正切公式，属于简单题目.16.在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 y 2＝8与圆C 2 : x 2y 22xy a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.【答案】{}8,825,825-+ 【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d ,因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即d =所以2d =,2d ==,解得8a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,故答案为：{8,8-+【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想四、解答题（本小题共6小题，共70分）17.已知函数f （x ）＝cos 2xx cos x ﹣sin 2x ．（1）求函数f （x ）的最小正周期（2）求函数f （x ）单调增区间．【答案】（1）T =π；（2）[k π3π-，k π6π+]，k ∈Z ． 【解析】【分析】（1）利用辅助角二倍角公式化简，即可求函数f （x ）的最小正周期（2）根据三角函数的性质即可求出函数f （x ）单调增区间．【详解】函数f （x ）＝cos 2xx cos x ﹣sin 2x ．化简可得：f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2xsin x cos x ＝cos2xx 12cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭＝2sin （2x 6π+）， （1）∵ω＝2，∴f （x ）的最小正周期为T 2πω==π； （2）令2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+（k ∈Z ）， 解得：k π3π-≤x ≤π6π+，k ∈Z ， 则f （x ）的单调增区间为[k π3π-，k π6π+]，k ∈Z ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．18.已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //．（1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．【答案】（12）22x (y 1)5++=．【解析】【分析】 ()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．【详解】解：()121l //l ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，故直线1l 与2l的距离d ===． ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-．由()1知C的半径为5，所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．19.如图，在一条海防警戒线上的点A B C 、、处各有一个水声监测点，B C 、两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1．5千米/秒．（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值；（2）求P 到海防警戒线AC 的距离．【答案】（1）31x =；（2）21【解析】试题分析：（1）依题意，有PA PC ==x ， 1.5812PB x x =-⨯=-，根据余弦定理，列出方程，即可求解x 的值；（2）作PD AC ⊥于D ，在ADP ∆中，由cos PAD ∠，得sin PAD ∠，即可求解点P 到海防警戒线AC 的距离．试题解析：（1）依题意，有PA PC ==x ， 1.5812PB x x =-⨯=-．在PAB △中，20AB =，22222220(12)332cos 22205PA AB PB x x x PAB PA AB x x+-+--+∠===⋅⋅， 同理在PAC ∆中，50AC =，2222225025cos 2250PA AC PC x x PAC PA AC x x+-+-∠===⋅⋅． ∵cos cos PAB PAC ∠=∠，∴332255x x x+=，解得：31x =． （2）作PD AC ⊥于D ，在ADP ∆中，由25cos 31PAD ∠=， 得221sin 1cos 31PAD PAD ∠=-∠=，∴421sin 3142131PD PA PAD =∠=⨯=千米．故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为21考点：解三角形的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理于余弦定理的应用以及三角形的高线的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于基础题，此类问题的解答中关键在于灵活运用正弦定理和余弦定理找到解决问题的途径．20.已知圆E 经过M （﹣1，0），N （0，1），P （12，2-）三点． （1）求圆E 的方程；（2）若过点C （2，2）作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，求直线AB 的方程．【答案】（1）x 2+y 2＝1；（2）2x +2y ﹣1＝0．【解析】【分析】（1）根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为（a ，b ），半径为r ，结合题意可得222222222(1)(1)1()(22a b r a b ra b r ⎧⎪++=⎪⎪+-=⎨⎪⎪-++=⎪⎩，解可得a 、b 、r 的值，由圆的标准方程的形式分析可得答案. （2）设以C 为圆心，CA 为半径的圆C ，其半径为R ，由切线长公式计算可得R 的值，分析可得圆C 的方程，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，变形分析可得答案．【详解】（1）根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为（a ，b ），半径为r ， 则有222222222(1)(1)1()()22a b r a b r a b r ⎧⎪++=⎪⎪+-=⎨⎪⎪-++=⎪⎩，解可得001a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为x 2+y 2＝1；（2）根据题意，过点C （2，2）作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，设以C 为圆心，CA 为半径的圆C ，其半径为R ，则有R ＝|CA|==则圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝7，即x 2+y 2﹣4x ﹣4y +1＝0，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线， 则有222214410x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩， 解可得2x +2y ﹣1＝0，则AB 的方程为：2x +2y ﹣1＝0．【点睛】本题考查直线与圆的方程，关键是求出圆E 的方程，属于基础题．21.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足下列3个条件中的2个条件： ①函数()f x 的周期为π； ②6x π=是函数()f x 的对称轴； ③04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调. （Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.【答案】（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅱ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域. 【详解】（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=；由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈； 由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤； 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意， 若②③成立，则264k m ππωπωππ+-=-12()66m k ω⇒=--≥，,m k Z ∈，与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.22.如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于M ，N 两点.（1）若12,2AM AN k k ==-，求△AMN 的面积； （2）过点P （33-5，）作圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，求PE PF ⋅；（3）若2AM AN k k ⋅=-，求证：直线MN 过定点.【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）直线AM 的方程为，直线AN 的方程为，由中位线定理知，，由此能求出的面积．（2）由已知条件推导出，，由此能求出PF PE ⋅．（3）设直线的方程，则直线的方程为，联立方程，得同理，由此能证明直线过定点．试题解析：（1）由题知，得直线的方程为，直线的方程为 所以，圆心到直线的距离，所以，，由中位线定理知， AN=，由题知，所以⊥，=.（2）22(33)(5)443PE +--=｜｜＝，22(33)(5)213PO =+-=，所以4323cos 21313OPE ∠==. 所以222311cos 2cos 12()11313FPE OPE ∠=∠-=-=， 所以211528||cos (43)1313PE PF PE PF EPF ⋅=∠=⨯= （3）由题知直线和直线AN 的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线的的方程(2)y k x =+，则直线AN 的方程为，所以，联立方程22(2){4y k x x y =++=，所以，22(2)[(1)22]0x k x k +++-=，得2x =-或22221k x k -=+， 所以222224(,)11k k M k k-++， 同理，， 因为轴上存在一点D 2(,0)3-，所以，=，同理，所以，=，所以，直线过定点2(,0)3.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.。
江苏省2019-2020学年高一(下)期中考试数学试卷
高一（下）期中考试数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共有10小题，每题5分，共50分）1、已知点A （1，0），B （-1，1），则直线AB 的斜率为（ ）A 、21- B 、21C 、2-D 、22、在△ABC 中，︒=∠==60,3,3A b a ，那么∠B 等于（ ）A 、30°B 、60°C 、30°或150°D 、60°或120°3、直线0632=--y x 在y 轴上的截距为（ ）A 、3B 、-3C 、2D 、-24、已知正方体棱长为2，则它的内切球的表面积为（ ）A 、π2B 、π4C 、π8D 、π165、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,，如果7,5,3===c b a ，那么C cos 的值是（ ）A 、21B 、21-C 、1411D 、14136、在△ABC 中，已知2,30,3=︒==c A b ，则=a Asin （ ）A 、41B 、21C 、1D 、27、在△ABC 中，若C B A 222sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定8、设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题:①若γββα⊥⊥,，则γα∥ ②若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥③若αα⊂n m ,∥，则n m ∥ ④若n m ==βγαγβα ,,∥，则n m ∥其中正确命题的序号是（ ）A 、①④B 、①②C 、④D 、②③④9、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则异面直线AC 1与BB 1所成角的正弦值为（）A 、322 B 、42C 、31D 、2210、在锐角△ABC 中，c b a ,,分别为角A ，B ，C 所对的边，若A =2B ，则b a 的取值范围为（ ） A 、[)2,1 B 、()2,1 C 、()3,2 D 、]3,2[ 二、填空题（本大题共有6小题，每题5分，共30分）11、若空间两条直线b a ,没有公共点，则b a ,的位置关系是 .12、直线01=+-y x 的倾斜角是 .13、在△ABC 中，若︒=︒==45,60,2B A b ，则=a .14、过点（3，1），且垂直于x 轴的直线方程是 .15、在△ABC 中，1,3,30==︒=AC AB A ，则△ABC 的面积为 .16、如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论:①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D-ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面ABC.其中正确的是 .三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17、（10分）在△ABC 中，（1）已知33,60,1=︒==c A a ，求C ； （2）已知︒===150,2,33B c a ，求b .18、（12分）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求直线l的方程:（1）l的斜率为-1；（2）l与两条坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16.19、（12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AC为底面ABCD的对角线，E为D1D 的中点.（1）求证: D1B∥平面AEC；（2）求证: 平面DD1B⊥平面AEC.20、（12分）在△ABC 中，bc a c b +=+222.（1）求角A 的大小；（2）求C B cos sin 3-的最大值.21、（12分）扬州市广陵区拟建一主题游乐园，该游乐园为四边形区域ABCD ，其中三角形区域ABC 为主题活动区，其中m AB ABC ACB 612,45,60=︒=∠︒=∠，AD 、CD 为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC =120°，通道AD 、CD 围成三角形区域ADC 为游客休闲中心，供游客休憩.（1）求AC 的长度；（2）记游客通道AD 与CD 的长度和为L ，求L 的最大值.22、（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2.（1）证明: BC⊥平面AMN；（2）求三棱锥N-AMC的体积；（3）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE，若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由.。
2020年江苏省南通市高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.直线x+y+1=0的倾斜角是（）A. B. C. D.2.棱长均为1的正四面体的表面积是（）A. B. C. D.3.设函数，则函数f（x）的最小正周期为（）A. 2πB. 4πC. 2D. 44.在△ABC中，若2sin A sin B=1+cos C，则下列结论一定成立的是（）A. A=BB. A=CC. B=CD. A=B=C5.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n③若m∥α，n⊂α，则m∥n④若α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，则m∥n其中正确命题的序号是（）A. ①④B. ①②C. ②③④D. ④6.已知直线l1：（k-3）x+ky+1=0与直线l2：x+（k-3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A. 3B. 1C. 3或-1D. -3或17.已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程长为（）A. 8cmB. cmC. 10cmD. 5πcm8.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A=sin2B，则该三角形的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形9.已知△ABC中，满足a=3，b=2，∠B=30°，则这样的三角形有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个10.在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x-my-2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.过点A（1，1）且与直线2x+3y-1=0平行的直线l的方程为______．12.在△ABC中，B=120°，BC=1，且△ABC的面积为，则AC=______．13.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD，已知四棱锥的表面积是12，则它的体积为______．14.在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，△ABC的面积S满足，若a=4，则△ABC外接圆的面积为______．15.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=2，AC=4，BD=6，则CD的长为______．16.已知m∈R，动直线l1：x+my-1=0过定点A，动直线l2：mx-y-2m+3=0过定点B，若l1与l2交于点P（异于点A，B），则|PA|+|PB|的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2b-c）cos A=a cos C．（1）求角A的大小；（2）若a=4且，求b+c的值，18.已知直线l1的方程为x+2y-4=0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2．（1）求直线l1和l2的交点坐标；（2）已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程．19.如图，已知四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AP=AD，AB∥CD，CD=2AB，M是PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：平面PBC⊥平面PCD．20.如图，正三角形ABC的边长为4，D，E，F分别在三边AB，BC，CA上，且D为AB的中点，∠EDF=90°，∠BDE=θ（0°＜θ＜90°）（1）若θ=60°，求△DEF的面积；（2）求△DEF的面积S的最小值，及使得S取得最小值时θ的值．21.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，侧棱与底面所成的角为60°，AA1⊥A1C，AC⊥BC，AC=4，BC=2．（1）求证：平面ABB1A1⊥平面A1BC；（2）若D为A1B1的中点，求三棱锥A1-BCD的体积．22.已知函数f（x）=log3（9x+1）-kx是偶函数．（1）求实数k的值；（2）当x≥0时，函数g（x）=f（x）-x-a存在零点，求实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=log3（m•3x-2m），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角、直线的斜率，考查计算能力，是基础题．设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角．【解答】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为，即tanα=所以α=故选：D．2.【答案】A【解析】解：棱长均为1的正四面体的每一个面都是等边三角形，其面积等于=，∴棱长均为1的正四面体的表面积是S=4S1=．故选：A．棱长均为1的正四面体的每一个面都是等边三角形，其面积等于=，由此能求出正四面体的表面积．本题考查正四面体的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3.【答案】D【解析】解：由函数，得T==4，所以函数f（x）的最小正周期为4．故选：D．根据函数f（x）的解析式，利用T=即可求出函数的最小正周期．本题考查了根据三角函数解析式求最小正周期的问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：2sin A sin B=1+cos C=1-cos（A+B），∴2sin A sin B=1-cos（A+B）=1-cos A cos B+sin A sin B，∴sin A sin B+cos A cos B=1即cos（A-B）=1，又∵A、B均为三角形内角，∴A=B，故选：A．由已知利用诱导公式及两角和的余弦公式即可求解判断，本题主要考查了和角的三角公式的简单应用，属于基础题.5.【答案】D【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在①中，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行，故①错误；在②中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故②错误；在③中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故③错误；在④中，若α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，则由面面平行的性质定理得m∥n，故④正确．故选：D．在①中，α与γ相交或平行；在②中，m与n相交、平行或异面；在③中，m与n平行或异面；在④中，由面面平行的性质定理得m∥n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】C【解析】解：∵直线l1：（k-3）x+ky+1=0与直线l2：x+（k-3）y+3=0垂直，∴（k-3）×1+k（k-3）=0，即（k+1）（k-3）=0，解得k=-1或k=3，故选：C．利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出．本题考查了两条直线相互垂直与斜率的关系，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：如图，由圆锥的底面半径为cm，得展开后扇形的弧长为，由弧长公式可得展开后扇形的弧度数为．过P作PB⊥AA′，即，又PA=5，求得AA′=2AB=．故选：B．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”求解．本题考查圆锥的展开图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8.【答案】D【解析】解：由sin2A=sin2B，又2A，2B∈（0，2π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即A=B，或A+B=．即该三角形的形状是等腰三角形或直角三角形．故选：D．由已知结合范围2A，2B∈（0，2π），可得2A=2B，或2A+2B=π，进而可求该三角形的形状．本题主要考查了正弦函数的性质，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．利用正弦定理和三角形的边角关系，即可判断这样的三角形有2个．【解答】解：△ABC中，a=3，b=2，∠B=30°，由正弦定理得，=，=，∴sin A=，A∈（0，π），且a＞b，∴这样的三角形有2个．故选：C．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．由题意d==，当sin（θ-α）=1时，d max=1+≤3．由此能求出d的最大值．【解答】解：由题意d==，其中tanα=，∴当sin（θ-α）=1时，d max=1+≤3．当且仅当时取等号，∴d的最大值为3．故选C．11.【答案】2x+3y-5=0【解析】解：设经过点A（1，1），且与直线2x+3y-1=0平行的直线方程为2x+3y+c=0，把点A（1，1）代入，得：2+3+c=0，解得c=-5，∴所求直线方程为：2x+3y-5=0．故答案为：2x+3y-5=0．设经过点A（1，1），且与直线2x+3y-1=0平行的直线方程为2x+3y+c=0，把点A（1，1）代入，能求出直线方程．本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意直线平行的条件的灵活运用．12.【答案】【解析】解：∵B=120°，BC=1，且△ABC的面积为=AB•BC•sin B=，∴解得：AB=2，∴由余弦定理可得：AC===．故答案为：．由已知利用三角形的面积公式可求AB的值，进而根据余弦定理可求AC的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．13.【答案】【解析】解：设正四棱锥的斜高为h′，则，解得h′=2，则正四棱锥的高PO=．∴正四棱锥的体积V=．故答案为：．由已知求得正四棱锥的斜高，进一步求得高，代入棱锥体积公式求解．本题考查多面体表面积与体积的求法，是基础的计算题．14.【答案】16π【解析】【分析】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，是中档题．由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得tan A，结合范围A∈（0，π），可求A，利用正弦定理可求△ABC外接圆的半径，即可求△ABC外接圆的面积．【解答】解：∵，∴4×bc sin A=2bc cos A，可得：tan A=，∵A∈（0，π），∴A=，∴则△ABC外接圆的半径R==．∴则△ABC外接圆的面积S=πR2=16π．故答案为：16π．15.【答案】4【解析】解：∵60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．AB=2，AC=4，BD=6，∴=，∴=+2=16+4+36+2×4×6×cos120°=32，∴CD的长为|CD|==4．故答案为：4．推导出=，由此能求出CD的长．本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．16.【答案】【解析】解：对于直线x+my-1=0，令y=0，可得x=1，故它过定点A（1，0），且它的斜率为-．对于动直线l2：mx-y-2m+3=0，即m（x-2）-y+3=0，令x-2=0，求得x=2，y=3，过定点B（2，3），且它的斜率为m，故l1与l2垂直．∵l1与l2交于点P（异于点A，B），∴PA2+PB2=AB2=10．∵≤=5，∴≤，∴PA+PB≤2，当且仅当PA=PB时，|PA|+|PB|的最大值为2，故答案为：2．求出直线l1过定点A的坐标和直线l2过定点B的坐标，l1与l2交于点P，根据两条直线的斜率不难发现有则有PA⊥PB，可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，再利用基本不等式的性质可得|PA|+|PB|的最大值．本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．17.【答案】解：（1）在△ABC中，∵（2b-c）cos A=a cos C，∴由正弦定理可得：2sin B cos A-sin C cos A=sin A cos C，∴化简可得2sin B cos A=sin（A+C）=sin B，∵sin B＞0，∴得：cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵a=4，A=，且S△ABC=4，∴4=bc sin A=bc，解得：bc=16，∵由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，可得：16=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-48，∴解得：b+c=8．【解析】（1）由条件利用正弦定理可得2sin B cos A-sin C cos A=sin A cos C，利用两角和的正弦公式化简求得cos A的值，结合A的范围可求A的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc=16，由余弦定理即可解得b+c的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）∵l1⊥l2，∴==2．∴直线l2的方程为：y-0=2（x-），化为：y=2x-3．联立，解得．∴直线l1和l2的交点坐标为（2，1）．（2）当直线l3经过原点时，可得方程：y=x．当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a≠0，则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：+=1，把交点坐标（2，1）代入可得：+=1，解得a=．可得方程：2x+y=5．综上可得直线l3的方程为：x-2y=0，2x+y-5=0．【解析】（1）利用l1⊥l2，可得斜率．利用点斜式可得直线l2的方程，与直线l1和l2的交点坐标为（2，1）．（2）当直线l3经过原点时，可得方程．当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a≠0，则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：+=1，把交点坐标（2，1）代入可得a．本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】证明：（1）取CP的中点N，连接MN．∵M，N分别是PD，PC的中点，∴MN∥CD，MN=CD，∵AB∥CD，AB=CD，∴AB∥MN，AB=MN．∴四边形ABNM是平行四边形，∴AM∥BN，又AM⊄平面PBC，BN⊂平面PBC，∴AM∥平面PBC．（2）∵CD⊥平面PAD，AM⊂平面PAD，∴AM⊥CD，∵AP=AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，又PD∩CD=D，∴AM⊥平面PCD，由（1）可知AM∥BN，∴BN⊥平面PCD，又BN⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．【解析】（1）取CP的中点N，连接MN，证明四边形ABNM是平行四边形得出AM∥BN，故而AM∥平面PBC；（2）证明AM⊥平面PCD，得出BN⊥平面PCD，于是平面PBC⊥平面PCD．本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．20.【答案】解：（1）在△BDE中，由正弦定理得DE==2；在△ADF中，由正弦定理得：DF==；所以S△DEF=DE•DF=×2×=．（2）S=DE•DF=×=×=×=；当θ=450时，S取最小值：=6（2-）．【解析】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力，转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．（1）在△BDE，△ADF中，由正弦定理得DE，DF，即可得面积．（2）由已知利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S=；利用正弦函数的图象和性质可求S的最小值．21.【答案】（1）证明：∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，AC⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥AA1．又∵AA1⊥A1C，BC∩⊥A1C=C，∴AA1⊥平面A1BC，又∵AA1⊆平面ABB1A1，∴平面ABB1A1⊥平面A1BC；（2）解：由（1）可知，AA1⊥平面A1BC，BC⊥平面ACC1A1，则BB1⊥平面A1BC，BC⊥A1C．∴点D到平面A1BC的距离等于1，又侧棱与底面所成的角为60°，∴∠A1AC=60°．∵AC=4，∴．则，∴=．【解析】（1）由已知条件可求出BC⊥平面ACC1A1，再利用线面垂直、面面垂直的判定即可证得结论；（2）结合（1）可得BC⊥A1C，进一步求出△A1BC的面积，然后利用等体积法即可求出三棱锥A1-BCD的体积．本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查多面体的体积的求法，是中档题．22.【答案】解：（1）由f（x）=log3（9x+1）-kx是偶函数．则f（x）=f（-x）恒成立，则2（k-1）x=0恒成立，即k=1；（2）当x≥0时，g（x）=f（x）-x-a存在零点，即a=log3（9x+1）-2x在x∈[0，+∞）有解，设φ（x）=log3（9x+1）-2x（x≥0），φ（x）=log3（+1），因为x≥0，所以+1∈（1，2]，所以φ（x）∈（0，log32]，即实数a的取值范围为：（0，log32]，（3）函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，则关于x的方程log3（m•3x-2m）=log3（9x+1）-x只有一个解，所以m•3x-2m=3x+3-x，令t=3x（t＞0），得：（m-1）t2-2mt-1=0，①当m-1=0即m=1时，此方程的解为t=-，不满足题意，②当m-1＞0即m＞1时，由韦达定理可知，此方程有一正一负根，故满足题意，③当m-1＜0即m＜1时，由方程（m-1）t2-2mt-1=0只有一正根，则需，解得m=，综合①②③得：实数m的取值范围为：∪（1，+∞）．【解析】（1）由函数的奇偶性得：f（x）=f（-x）恒成立，则2（k-1）x=0恒成立，即k=1；（2）由函数的零点与方程的根得：当x≥0时，g（x）=f（x）-x-a存在零点，即a=log3（9x+1）-2x在x∈[0，+∞）有解，构造函数求值域即可；（3）函数图象的交点与方程的根的相互转化得：函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，等价于关于x的方程log3（m•3x-2m）=log3（9x+1）-x只有一个解，讨论（m-1）t2-2mt-1=0的正根即可．本题考查了函数的奇偶性、函数的零点与方程的根、函数图象的交点与方程的根的相互转化，属难度较大的题型．。
【精准解析】江苏省南通市如东高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
对 B：三条平行直线，可以共面，也可以是其中一条直线平行于其它两条直线确定的平面，故 B 不正确；
对 C：根据立体几何公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过 该点的公共直线.显然，如果两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点，故 C 正确；
-3-
对 D：根据立体几何公理 2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.显然，任意三点， 不一定确定一个平面.故 D 不正确；
综上所述，实数 a 2 或 a 1．
故选 D．
【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中
熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解
能力，属于基础题.
8. 两圆 C1 : x2 y2 1 与 C2 : (x 3)2 y2 4 的公切线条数为（ ）
综上所述，只有 C 正确.
故答案为：C.
【点睛】本题考查立体几何中点、线、面位置关系中的三个公理，属于基础题.
7. 已知直线 ax y 2 a 0 在两坐标轴上的截距相等，则实数 a ( )
A. 1
B. 1
C. 2 或 1
D. 2 或 1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为 0 和在两坐标轴上的截距不为 0 时，求出对应 a 的
【详解】由直线垂直可得： 3a a 2 2a 0 ，解得： a 0 或 4
3 本题正确选项： C
【点睛】本题考查根据直线垂直的位置关系求解参数值的问题，属于基础题.
6. 给出下列四个说法，其中正确的是（ ）
A. 线段 AB 在平面 内，则直线 AB 不在平面 内； B. 三条平行直线共面；
江苏省南通市2019-2020年度高一下学期期中数学试卷(I)卷
江苏省南通市2019-2020年度高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2018高三上·扬州期中) 设实数，满足则的最大值为________．2. （1分） (2017高一上·上海期中) 不等式≥0的解集为________（用区间表示）3. （1分） (2016高一下·肇庆期末) 函数f（x）= cos（πx﹣）的最小正周期是________．4. （1分） (2020高一下·济南月考) 的内角，，的的对边分别是、、，若，，，则 ________5. （1分） (2016高一下·吉安期末) 若正数a、b满足a+2b=1，则 + 的最小值是________．6. （1分）若，且，则tan（2π﹣α）=________．7. （1分）设Sn、Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，若，则 =________．8. （1分） (2016高一下·高淳期末) 在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C= ，△ABC的面积等于，则a+b=________．9. （1分）已知{an}是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=________10. （1分） (2016高三上·崇明期中) 已知无穷等比数列{an}的前n项和Sn= +a（n∈N*），且a是常数，则此无穷等比数列的各项和为________．（用数值作答）11. （1分）(2017·丰台模拟) 若实数x，y满足约束条件且z=x+3y的最大值为4，则实数a 的值为________．12. （1分）(2012·北京) 已知﹛an﹜是等差数列，sn为其前n项和．若a1= ，s2=a3 ，则a2=________．13. （1分）化简：sin •cos •tan =________．14. （1分） (2017高一下·仙桃期末) 在公差不为0的等差数列{an}中，a1 ， a3 ， a4成等比数列，则该等比数列的公比________．二、解答题 (共6题；共45分)15. （10分） (2016高一下·江阴期中) 设不等式x2≤5x﹣4的解集为A．（1）求集合A；（2）设关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a≤0的解集为M，若M⊆A，求实数a的取值范围．16. （10分） (2016高一下·河源期中) 数列{an}是首项a1=4的等比数列，且S3 ， S2 ， S4成等差数列，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=log2|an|，设Tn为数列的前n项和，若Tn≤λbn+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．17. （5分）设α的终边在第二象限，说明sinα﹣cosα与cosα+tanα的符号．18. （5分）(2017·蚌埠模拟) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2sin2A+sin（A﹣B）=sinC，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若c=2，，求△ABC的面积．19. （5分） (2019高一上·北京月考) 党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？20. （10分）(2016·江西模拟) 设数列{an}的前n项和是Sn ，若点An（n，）在函数f（x）=﹣x+c的图象上运动，其中c是与x无关的常数，且a1=3（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn=a ，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共45分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、。
江苏省南通市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷C卷
江苏省南通市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·双鸭山月考) 设复数满足，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）(2017·虎林模拟) 已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）=1+i，则z的共轭复数是（）A . 1B . ﹣1C . iD . ﹣i3. （2分）设O是原点，向量，对应的复数分别为2-3i,-3+2i.那么向量对应的复数是（）A . -5+5iB . -5-5iC . 5+5iD . 5-5i4. （2分）(2019·长春模拟) 已知向量，，若，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·奉化期末) 是虚数单位，若，则a+b的值是（）A .B . -2C . 2D .6. （2分）复数（）A . 4﹣2iB . ﹣4+2iC . 2+4iD . 2﹣4i7. （2分）(2018·雅安模拟) 若复数满足，则的虚部是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·大同期中) 设 =（﹣1，2）， =（1，﹣1）， =（3，﹣2），且 =p +q ，则实数p、q的值分别为（）A . p=4，q=1B . p=1，q=﹣4C . p=0，q=1D . p=1，q=49. （2分）已知△ABC三顶点坐标A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的截距式方程为（）A . + =1B . + =1C . + =1D . + =110. （2分） (2020高一下·江西期中) 设，，若，则实数m的值为（）A .B . 2C .D . -311. （2分）设向量、，满足||=||=1，•=﹣，则|+2|=（）A .B .C .D .12. （2分）已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A . （﹣1，2）B . （﹣2，1）C . （1，+∞）D . （﹣∞，﹣2）二、填空题 (共8题；共8分)13. （1分） (2020高二下·三水月考) 已知i为虚数单位，复数z满足，则 ________.14. （1分）(2020·达县模拟) 复数的实部为________.15. （1分）设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则① ＋＝＋；② ＋＝＋；③ ＋＝＋中成立的序号为________．16. （1分）(2020·安庆模拟) 已知向量，，与的夹角为，则________.17. （1分） (2019高三上·杭州期中) 己知向量，，则 ________，若，则 ________.18. （1分） (2019高三上·汉中月考) 已知向量，，，若，则 ________.19. （1分）(2018·天津模拟) 已知复数，，则在复平面内所对应的点位于第________象限．20. （1分） (2016高一下·赣榆期中) 化简： =________．三、解答题 (共4题；共20分)21. （5分） (2017高二下·株洲期中) 已知复数（1） m取什么值时，z是实数？（2） m 取什么值时，z是纯虚数？22. （5分）在中，为边上一点，，已知， .（1）若，求角的大小；（2）若的面积为，求边的长.23. （5分） (2017高一下·河口期末) 已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．24. （5分）已知f（x）=cosxsinx﹣ cos2x+ ．（1）求f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，A为锐角且f（A）= ， + =3 ，AB= ，AD=2，求sin∠BAD．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共8题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共4题；共20分) 21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、。
江苏省南通中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题(wd无答案)
江苏省南通中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题一、单选题(★) 1. 直线 y x的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°(★) 2. 在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，已知 a＝2 bsin A，则sin B的值为（）A．B．C．D．(★) 3. 若直线过点和点，则该直线的方程为( )A．B．C．D．(★) 4. 已知角θ的始边为 x轴非负半轴，终边经过点 P（1，2），则的值为（）A．B．C．D．(★) 5. 已知圆为坐标原点，则以为直径的圆的方程( )A．B．C．D．(★★) 6. 函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数(★★) 7. 一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（）A．6海里B．12海里C．6海里或12海里D．海里(★★★) 8. 已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线上，若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆的标准方程为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 点 P是直线 x+ y﹣3＝0上的动点，由点 P向圆 O： x 2+ y 2＝4作切线，则切线长可能为（）A．B．C．1D．(★★) 10. 在△ ABC中，角 A， B的对边分别为 a， b，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（）A．a＝50，b＝30，A＝60°B．a＝30，b＝65，A＝30°C．a＝30，b＝50，A＝30°D．a＝30，b＝60，A＝30°(★★) 11. 在△ ABC中,若,则△ ABC的形状可能为( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形(★★) 12. 已知圆 M：，直线 l：，下列四个选项，其中正确的是（）A．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点B．存在实数k与θ，直线l和圆M相离C．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切D．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切三、填空题(★) 13. 化简： _____ ．(★) 14. 已知点（1， a）（ a＞0）到直线 l： x+ y﹣2＝0的距离为1，则 a的值为_____．(★★) 15. 若，，则 __________ ．(★★★) 16. 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C 1 : x 2+ y 2＝8与圆 C 2 : x 2+ y 2+2 x+ y- a＝0相交于 A， B两点.若圆 C 1上存在点 P，使得△ ABP 为等腰直角三角形，则实数 a的值组成的集合为______.四、解答题(★★) 17. 已知函数 f（ x）＝cos 2 x+2 sin xcos x﹣sin 2 x．（1）求函数 f（ x）的最小正周期（2）求函数 f（ x）单调增区间．(★★★) 18. 已知直线且．（1）求直线之间的距离；（2）已知圆C与直线相切于点A，且点A的横坐标为，若圆心C在直线上，求圆C的标准方程．(★★★) 19. 如图，在一条海防警戒线上的点处各有一个水声监测点，两点到的距离分别为20千米和50千米，某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1．5千米/秒．（1）设到的距离为千米，用表示到的距离，并求的值；（2）求到海防警戒线的距离．(★★) 20. 已知圆 E经过 M（﹣1，0）， N（0，1）， P（，）三点．（1）求圆 E的方程；（2）若过点 C（2，2）作圆 E的两条切线，切点分别是 A， B，求直线 AB的方程．(★★★) 21. 已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：①函数的周期为；② 是函数的对称轴；③ 且在区间上单调.（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；（Ⅱ）若，求函数的值域.(★★★★) 22. 如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点 A，过点 A 的直线 AM， AN分别与圆 O交于 M， N两点.（1）若，求△ AMN的面积；（2）过点 P（）作圆 O的两条切线，切点分别为 E， F，求；（3）若，求证：直线 MN过定点.。
江苏省南通市高一下学期期中数学试卷
江苏省南通市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一下·吉林期中) 的值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·宁波期中) 若，则α+β为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一下·南宁期中) 将函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象C, 如下结论中不正确的是（）A . 函数f（x）的周期为πB . 图象C关于点对称C . 图象C关于直线对称D . 函数 f（x）在区间（）内是增函数5. （2分）(2020·湛江模拟) 已知，，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·杭州月考) 已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于（）A . (－2，－4)B . (－3，－6)C . (－4，－8)D . (－5，－10)7. （2分） (2020高一下·铜川期末) 在边长为3的菱形中，，，则=（）A .B . -1C .D .8. （2分）在中，（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·深圳模拟) 已知函数的图象如图所示，若f（x1）=f（x2），且x1≠x2 ，则f（x1+x2）=（）A . 1B .C .D . 210. （2分）函数为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A.B分别为最高点与最低点，并且，则该函数图像的一条对称轴为（）A .B .C .D .11. （2分）已知非零向量满足，且，则与的夹角是（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高一下·响水期中) 已知为锐角，，则（）A . 2B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高三上·扬州期中) sin240°=________．14. （2分） (2019高一下·衢州期中) 角终边过点，则 ________， ________.15. （1分）(2017·榆林模拟) △ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2 ，且| |=||，则向量在方向上的投影为________．16. （1分） (2016高一上·普宁期中) 关于函数f（x）=lg （x≠0，x∈R）有下列命题：①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；②在区间（﹣∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；③函数f（x）的最小值为lg2；④在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．其中正确命题序号为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）已知向量，，设函数 +b．（1）若函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．18. （10分） (2016高一上·金华期末) 已知函数f（x）=2acos2x+2 bsinxcosx，且f（0）=2，f（）= +1．（1）求f（x）的最大值及单调递减区间；（2）若α≠β，α，β∈（0，π），且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．19. （5分）(2017·茂名模拟) 已知函f（x）=sin（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时x的集合；（Ⅱ）设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，b=1，，且a＞b，求角B和角C．20. （10分）(2020·苏州模拟) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB ， AA1＝ AB ， D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD;（2）若点P在线段BB1上，且BP＝ BB1 ，求证：AP⊥平面A1CD.21. （10分） (2017高一下·衡水期末) 已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|= ，求m的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．22. （5分）已知函数f（x）=2ax2+bx﹣a+1，其中a∈R，b∈R．（Ⅰ）当a=b=1时，f（x）的零点为（Ⅱ）当b=时，如果存在x0∈R，使得f（x0）＜0，试求a的取值范围,参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.直线y 3=的倾斜角为（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150° 【答案】B
【解析】
【分析】
利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．
【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．
设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）． ∴tanθ3=
∴θ＝60°，
故选：B ．
【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2a ＝2b sin A ，则sin B 的值为（ ）
2
B. 22
C. 12 3【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦定理，把边化为角的正弦，再计算sin B 的值．
【详解】△ABC 2a ＝2b sin A ，
2sin A ＝2sin B sin A ，
又A ∈（0，π），所以sin A ≠0，
2=2sin B ，
解得sin B 22
=．。