常用逻辑用语章末归纳总结(20200725115818).pdf
常用逻辑用语复习小结(精华)
6
同步练习
1. A
2.
C
3. B
7
4.设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a<0；q：实数x满足 x2-x-6≤0或x2+2x-8>0，且¬P是¬q的必要不充分条件， 求a的取值范围． 分析：本题可依据四种命题间的关系进行等价转化． 解：由¬P是¬ q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题 q是P的必要不充分条件，即P是q的充分不必要条件， 也就是pq且q p． 化简条件p得，A={x|3a<x<a,a<0} 化简条件q得，B={x|x<-4或x≥-2}
∴“点 P(2,3)∈A∩(CUB)”的充要条件是“m>-1 且 n<5”
16
练习三: 1.已知命题 p:方程 x 2 3x 2 0 的根是 x=2;命题 q:方程 x 2 3x 2 0 的根是 x=1,则命题 p或q 为____________.
方程 x 2 3x 2 0 的根一定是 x=2 或一定是 x=1 2. 写 出 命 题 “ a 、 b 、 c R ， 若 x a 2 2b 1 ， y b 2 2c 1， z c 2 2a 1 ，则 x 、 y 、 z 中至少有一个不
法二:假设 x, y 均不大于 1，即 x ≤1且y ≤1, 则x y ≤ 2 ，这与已知条件 x y 2 矛盾 x, y 中至少有一个大于 1
12
练习1.设0 < a, b, c < 1， 求证:(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于1/4
1 1 1 证：设(1 a)b > , (1 b)c > , (1 c)a > 4 4 4 1 ① 则三式相乘:(1a)b•(1b)c•(1c)a >
(完整版)常用逻辑用语知识点总结
常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q⇒/.2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：p qp∧q p∨q¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真*p∧q：p、q有一假为假，*p∨q：一真为真，*p与¬p：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题 存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题 其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否 对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”。
常用逻辑用语小结
2.集合法
q 记 p : A x | p( x)成立 ， : B x | q( x)成立 有
(1)若A B，则p是q的
充分
条件;
(2)若AB时，则p是q的 充分不必要 条件; (3)若B A，则p是q的 必要 条件; (4)若BA时，则p是q的 必要不充分 条件; (5)若A=B时，则p, q互为 充要 条件; (6)若AB且BA时，则p是q的 既不充分也不必要 条件。
规律总结： 集合法判定，主要在于判 断p , q相应的集合关系
3.等价判断法
利用等价命题进行转换，当要证明p成 立时，就可以去证明q成立。
一般地，对于条件或结论是否定形式 的命题，可运用等价转化法判断。
三、简单的逻辑联结词
逻辑联 结词
“或”
两个命题中至少 有一个成立
符号
“∨”
即a 1.
综上所述，实数
归纳小结:
a
1 的取值范围是0 a 2
或 a 1.
本题考查了指数不等式、对数式的定义域、 命题真假判断和集合运算等知识，突出考查了分 类讨论思结：
本节课通过知识梳理及练习讲解，旨在进一 步加深概念的理解，熟练逻辑用语的使用技巧， 提高逻辑推理能力和分析问题，解决问题的能力。
p或q”、“p且q”、“非p”的真假性的判断 真假相反 （1）“非p” -（2）“p且q” ----- 一假必假,全真为真
（3）“p或q” ----- 一真必真,全假为假
四、全称量词与存在量词 全称命题p： 它的否定为﹁p: 存在性命题P:
:
x M , p( x)
x0 M , p( x0 )
归纳小结：
对于条件或结论是否定形式的命题，可运用 等价转化法判断。
常用逻辑用语知识总结
常用逻辑用语知识总结1.复合命题真假的判断。
“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。
如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。
其中正确的是__________（答：⑴⑶）2.四种命题及其相互关系。
若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若﹁p 则﹁q ” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p ”。
提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假，这也是反证法的理论依据。
（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为（答：在ABC ∆中，若90C ∠≠，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11x x f x a a x -=+>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。
3.充要条件。
关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。
从集合角度解释，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。
如（1）给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。
常用逻辑用语知识点复习
1.我们把用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句称为命题．
其中判断为真的语句称为真命题，判断为 假的语句称为假命题． 2.通常,我们把“若P, 则q”这种形式的命题中的P
叫做命题的条件,q叫做结论.记做: p q
3 四种命题之间的相互关系
原命题 互 逆 逆命题
若p则q
它的否定 p : x M,p(x)
的否命题真假性无关,而原命题与它的否定真假性相反.
14 短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫
做全称量词．用符号“ ”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。 常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” “所有 的”等.
15 短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常
叫做存在量词．用符号“ ”表示。
若q则p
互
互
否
互为 逆否
否
否命题
逆否命题
若 p则 q 互 逆 若 q则 p
4 四种命题的真假相互关系
1、原命题为真，它的逆命题不一定为真.
2、原命题为真，它的否命题不一定为真. 3、原命题为真，它的逆否命题一定为真. 4、原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真同假.
等价命题
互为逆否的两个命题
5 一般地，“若p则q”是真命题，则说明
8 断充要条件的步骤
判断时注意：
(1)确定条件p是什么，结论q是什么；
(2)先从条件推结论，再从结论推条件。
(3)要证明条件是充要的，就既要证明原命题成立， 又要证明它的逆命题成立。
9 在数学中常常要使用逻辑联结 词“或”、“且”、“非”，它们与 日常生活中这些词语所表达的含义和 用法是不尽相同的，下面我们就分别 介绍数学中使用联结词“或”、 “且”、“非”联结命题时的含义与 用法。
高二数学 第一章 常用逻辑用语章末小结 新人教A版选修1-1
高中数学第一章常用逻辑用语章末小结逻辑是研究思维形式及规律的一门基础学科，基本的逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具，因此，高考对本章内容的考查以考查四种命题、逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定为主，以及以充要条件为载体考查函数、数列等知识．在难度上以容易题为主，题型主要是选择题和填空题．专题一命题及其关系原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的：同真同假．一般来说，命题p⇒q的四种形式之间有如下关系：(1)互为逆否的两个命题是等价的(同真同假)．因此，证明原命题也可以改证它的逆否命题．(2)互逆或互否的两个命题是不等价的．原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.答案：A变式训练1．下列有关命题的说法正确的是(D)A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝6”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“对任意x ∈R ，均有x 2－x ＋1＞0”的否定是“存在x ∈R ，使得x 2－x ＋1＜0”D ．命题“若x ＝y ，则cos x ＝cos y ”的逆否命题为真命题解析：命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 不正确；“x＝6”⇒“x 2－5x －6＝0”，但“x 2－5x －6＝0”⇒“x ＝6”，故“x ＝6”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；命题“对任意x ∉R ，均有x 2－x ＋1＞0”的否定是“存在x ∉R ，使得x 2－x ＋1≤0”，故C 不正确；命题“若x ＝y ，则cos x ＝cos y ”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，故D 正确．故选D.专题二 充分条件与必要条件有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，因此是高考的热点，与函数、不等式等重要知识的联系密切，是历年命题者考虑的重要题型．判断充分条件和必要条件的方法有：①定义法；②等价法；③集合的包含关系，要注意传递性的应用．(1)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >bB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0且a ≠1)的图象不过第二象限C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数解析：B 选项中，当b ＝1，a >1时，q 推不出p 成立，因而p 为q 的充分不必要条件．C 选项中，q 为x ＝0或1，不能够推出p 成立，因而p 为q 的充分不必要条件．D 选项中，p 、q 可以互推，因而p 为q 的充要条件．故本题选A.答案：A方程3x 2－10x ＋k ＝0(k ∈R )有相异的两个同号实根的充要条件是________．解析：设方程的两相异同号实根为x 1，x 2则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－10）2－4×3×k >0，x 1x 2＝k 3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k <25，k >0， ∴0<k <253. 答案：0<k <253变式训练2．(1)设x 、y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的(A)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2013·茂名一模)已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a ⊥b 的充分条件是(D)A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0解析：(1)由不等式性质知：当x ≥1且y ≥2时，x ＋y ≥3；而当x ＝2，y ＝1.5时满足x ＋y ≥3，但不满足x ≥1且y ≥2，故“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的充分不必要条件．(2)a⊥b ⇔2(x －1)＋2×1＝0⇔2x －2＋2＝0⇔x ＝0，故选D.专题三 逻辑联结词由逻辑联结词联结组成的复合命题的结构判断和命题的真假判断是本专题的重点内容，结构的判断不能只看是否含有逻辑联结词，还要从结构上去判断能否用逻辑联结词联结．命题真假的判断根据真值表即可．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－12，－4]∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，12)∪(－4，4)D ．[－12，＋∞)解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a 4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：C点评：根据命题真假求参数步骤：(1)求出当命题p ，q 为真命题时所含参数的取值范围；(2)判断命题p ，q 的真假性；(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围． 变式训练3．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数ƒ(x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围．解析：∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1，即p ：0＜c ＜1.∵c ＞0且c ≠1，∴綈p ：c ＞1.又∵ƒ(x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0＜c ≤12，∵c ＜0且c ≠1，∴綈q ：c ＞12且c ≠1. 又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假。
常用逻辑用语知识点总结
常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断⇒/.1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：*p ∧q ： p 、q 有一假为假， *p ∨q ：一真为真， *p 与¬p ：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为∃x 0∈M ，P (x 0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”．3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题.(2)含有逻辑连接词命题的否定“p或q”的否定：“⌝p且⌝q”；“p且q”的否定：“⌝p或⌝q”(3)“若p则q“命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否对命题p的否定（即非p）是否定命题p所作的判断，而“否命题”是“若⌝p则⌝q”。
常用逻辑用语知识点总结
常用逻辑用语知识点总结在数学的学习中，常用逻辑用语是非常重要的一部分，它能够帮助我们清晰、准确地表达思维和推理过程。
下面就来详细总结一下常用逻辑用语的相关知识点。
一、命题命题是能够判断真假的陈述句。
比如“2 是偶数”，这是一个真命题；“1 ＋ 1 ＝4”，这是一个假命题。
需要注意的是，疑问句、祈使句和感叹句都不是命题。
命题通常用小写字母 p，q，r 等来表示。
根据命题的真假情况，命题可以分为真命题和假命题。
二、四种命题及其关系1、原命题：若 p，则 q。
2、逆命题：若 q，则 p。
3、否命题：若¬p，则¬q。
4、逆否命题：若¬q，则¬p。
原命题和逆否命题、逆命题和否命题互为逆否关系，它们的真假性相同。
例如，原命题“若 a ＞ 0，则 a²＞0”是真命题，那么它的逆否命题“若a² ≤ 0，则a ≤ 0”也是真命题。
三、充分条件与必要条件如果有“若 p，则q”为真命题，那么就说 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。
比如“若 x ＞ 2，则 x ＞1”，因为 x ＞ 2 能推出 x ＞ 1，所以“x ＞2”是“x ＞1”的充分条件，“x ＞ 1”是“x ＞2”的必要条件。
充分不必要条件：p 能推出 q，但 q 不能推出 p。
必要不充分条件：q 能推出 p，但 p 不能推出 q。
充要条件：p 能推出 q，q 也能推出 p。
四、逻辑联结词1、“且”（∧）：当两个命题 p 和 q 都为真时，p ∧ q 为真；只要有一个为假，p ∧ q 就为假。
例如，命题“2 是偶数且 3 是奇数”是真命题，因为“2 是偶数”和“3是奇数”都是真命题。
2、“或”（∨）：只要两个命题 p 和 q 中有一个为真，p ∨ q 就为真；只有两个都为假时，p ∨ q 才为假。
比如，“2 是奇数或 3 是偶数”是假命题，因为“2 是奇数”和“3 是偶数”都是假命题。