2015届高考数学第一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语章末检测(新人教A版)

第一章 章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2013·安徽)若集合A ＝{x |log 12x ≥12}，则∁R A 等于( ) A ．(－∞，0]∪(22，＋∞) B ．(22，＋∞) C ．(－∞，0]∪[22，＋∞) D ．[22，＋∞) 答案 A 解析 log 12x ≥12⇔log 12x ≥log 1222. ⇔0<x ≤22. ∴∁R A ＝(－∞，0]∪(22，＋∞)． 2．(2013·广东)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( ) A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件答案 A解析 一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解⇔Δ＝1－4m ≥0⇔m ≤14，m <14⇒m ≤14且m ≤14D /⇒m <14，故选A. 3．(2013·南平一中期中)已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则( )A ． p ：∃x ∈R ，x <sin xB ． p ：∀x ∈R ，x ≤sin xC ． p ：∃x ∈R ，x ≤sin xD ． p ：∀x ∈R ，x <sin x答案 C解析 对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论，故选C.4．(2013·华南师大附中期中)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1,2,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个答案 A解析 由题意得A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5}，A ∩B ＝{1,2,4}，所以∁U (A ∩B )＝{0,3,5}．5．(2013·合肥一中期中)设集合M ＝{x |2x 2－2x <1}，N ＝{x |y ＝lg(4－x 2)}，则( )A ．M ∪N ＝MB ．(∁R M )∩N ＝RC ．(∁R M )∩N ＝∅D ．M ∩N ＝M答案 D解析 依题意，化简得M ＝{x |0<x <2}，N ＝{x |－2<x <2}，所以M ∩N ＝M .6．(2013·西安交大附中月考)下列命题错误的是( )A ．命题“若m ≤0，则方程x 2＋x ＋m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x ＋m ＝0无实数根，则m >0”B ．“x ＝2”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 中必有一真一假D ．对于命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则 p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0答案 C解析 若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题．故C 错．7．(2013·威海模拟)已知命题p ：无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }是等差数列，则点列{(n ，S n )}在一条抛物线上；命题q ：若实数m >1，则mx 2＋(2m －2)x －1>0的解集为(－∞，＋∞)．对于命题p 的逆否命题s 与命题q 的逆命题r ，下列判断正确的是( )A ．s 是假命题，r 是真命题B ．s 是真命题，r 是假命题C ．s 是假命题，r 是假命题D ．s 是真命题，r 是真命题答案 C解析 对于命题p ，当{a n }为常数数列时为假命题，从而其逆否命题s 也是假命题；由于使mx 2＋(2m －2)x －1>0的解集为(－∞，＋∞)的m 不存在，故命题q 的逆命题r 是假命题．8．已知命题p ：关于x 的不等式x 4－x 2＋1x 2>m 的解集为{x |x ≠0，x ∈R }；命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)答案 B解析 p 真⇔m <x 2＋1x 2－1恒成立⇔m <1. q 真⇔5－2m >1⇔m <2.∵p 与q 中一真一假，∴1≤m <2.9．(2013·淮南月考)已知集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(1,1)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅答案 C解析 方法一 M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }＝{a |a ＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }＝{a |a ＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R }．令(1＋3λ1 ,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2，解得λ1＝－1，λ2＝0， ∴M ∩N ＝{a |a ＝(－2，－2)}． 方法二 设OA =(1，2)+λ(3，4)，λ∈R ， OB = (－2，－2)+λ(4，5)，λ∈R ，∴点A 的轨迹方程为y －2＝43(x －1)， 点B 的轨迹方程为y ＋2＝54(x ＋2)， 由①②联立解得x ＝－2，y ＝－2，∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．10．设f (x )是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}，Q ＝{x |f (x )<－1}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A ．t ≤0B ．t ≥0C ．t ≤－3D ．t ≥－3答案 C解析 P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}＝{x |－1<f (x ＋t )<3}＝{x |f (3)<f (x ＋t )<f (0)}＝{x |0<x ＋t <3}＝{x |－t <x <3－t }，Q ＝{x |x >3}，又由已知得P Q ，∴－t ≥3，∴t ≤－3.11．(2013·昆明模拟)若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N *}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |4y ∈N *，y ∈N *，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 A ＝{x |0<x <9，x ∈N *}＝{1,2，…，8}，B ＝{1,2,4}，∴A ∩B ＝B .12．(2013·吉林实验中学高三月考)已知f (x )＝(12)x ，命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≤1，则( )A ．p 是假命题， p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1B ．p 是假命题， p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1C ．p 是真命题， p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1D ．p 是真命题， p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1答案 C解析 ∵f (x )＝(12)x 是R 上的减函数， ∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤f (0)＝1.∴p 为真命题，全称命题p 的 p 为：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2013·济南一中期中)“lg x >lg y ”是“10x >10y ”的________条件．答案 充分不必要解析 考虑对数的真数需大于零即可．14．命题“∃x <0，有x 2>0”的否定是______________．答案 ∀x <0，有x 2≤0解析 “存在”即“∃”的否定词是“任意”即“∀”，而对“>”的否定是“≤”．15．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的________条件． 答案 充分不必要解析 ∵p ：x <－3或x >1，∴ p ：－3≤x ≤1.∵q ：2<x <3，∴ q ：x ≤2或x ≥3，则 p ⇒ q .16．(2013·江苏苏北三市高三联考)若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为______．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 要使命题为真命题，只需Δ＝(a －1)2－4>0，即|a －1|>2，∴a >3或a <－1.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知A ＝{a ＋2,2a 2＋a }，若3∈A ，求a 的值．解 若a ＋2＝3，得a ＝1.∵a ＝1时，2a 2＋a ＝3＝a ＋2，∴a ＝1时不符合题意．(4分)若2a 2＋a ＝3，解得a ＝1或a ＝－32.(6分)由上面知a ＝1不符合题意，a ＝－32 时，A ＝{12，3}，(8分) 综上，符合题意的a 的值为－32.(10分) 18．(12分)(2013·铁岭月考)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围．解 P ＝{x |x 2－8x －20≤0}＝{x |－2≤x ≤10}，S ＝{x |1－m ≤x ≤m ＋1}．假设存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则必有P ＝S .(6分)所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝1－m ，10＝m ＋1，此方程组无解．(10分) 所以不存在实数m 使条件成立．(12分)19．(12分)(2013·温州模拟)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝{x |(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝{x |12≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． (6分)由 p 是 q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.(10分) 故所求实数a 的取值范围是[0，12]．(12分) 20．(12分)已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围． 解 由命题p ，得a >1，对于命题q ，因x ∈R ，ax 2－ax ＋1>0恒成立，又因a >0，所以Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4.由题意知p 与q 一真一假，(6分)当p 真q 假时 ，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤0或a ≥4. 所以a ≥4.(8分)当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0<a <4，即0<a ≤1.(10分) 综上可知，a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．(12分)21．(12分)(2013·温州模拟)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数；命题q ：当x ∈[12，2]时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， 求c 的取值范围．解 ∵函数y ＝c x 为减函数，∴0<c <1，即p 真时，0<c <1.(2分)函数f (x )＝x ＋1x >1c 对∈[12，2]恒成立， f (x )min ＝2x ·1x ＝2，当x ＝1x ，即x ＝1∈[12，2]时，有1c <2，得c >12，即q 真时，c >12.(5分) ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假．(7分)①p 真q 假时，0<c ≤12；(9分) ②p 假q 真时，c ≥1.(11分)故c 的取值范围为0<c ≤12或c ≥1.(12分) 22．(14分)(2013·沈阳模拟)已知三个集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，问同时满足B A ，A ∪C ＝A 的实数a 、b 是否存在？若存在，求出a 、b ；若不存在，请说明理由．解 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{2,1}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}，又∵B A ，∴a －1＝1，∴a ＝2.(4分)∵A ∪C ＝A ，∴C ⊆A ，则C 中元素有以下三种情况：①若C ＝∅，即方程x 2－bx ＋2＝0无实根，∴Δ＝b 2－8<0，∴－22<b <22，(7分)②若C ＝{1}或{2}，即方程x 2－bx ＋2＝0有两个相等的实根，∴Δ＝b 2－8＝0，∴b ＝±22，此时C ＝{2}或{－2}不符合题意，舍去．(9分) ③若C ＝{1,2}，则b ＝1＋2＝3，而两根之积恰好为2.(11分)综上所述，a ＝2，b ＝3或－22<b <2 2.(12分)。