常用逻辑用语章末复习提升PPT空间
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常用逻辑用语课件PPT
解析答案
12345
5.若“x<m”是“(x－1)(x－2)>0”的充分不必要条件，求m的取值范围. 解 由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1， 由已知条件，知{x|x<m} {x|x>2或x<1}. ∴m≤1.
解析答案
课堂小结
1.充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否 命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即可. (3)利用集合间的包含关系进行判断. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、 必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系， 然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
答案
思考 (1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？ 答案 充分条件. (2)性质定理给出了结论成立的什么条件？ 答案 必要条件.
答案
返回
题型探究
题型一 充分条件、必要条件 例1 给出下列四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； 解 ∵两个三角形相似⇏两个三角形全等， 但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p是q的必要不充分条件. (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 解 ∵矩形的对角线相等，∴p⇒q， 而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇏p. ∴p是q的充分不必要条件.
知识梳理
自主学习
知识点 充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们 就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的 充分条件，q是p的 必要条件 . (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法 不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系. (2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条 件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q. (3)“若p，则q”为假命题时，记作“p⇏q”，则p不是q的充分条件，q不 是p的必要条件.
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5.若“x<m”是“(x－1)(x－2)>0”的充分不必要条件，求m的取值范围. 解 由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1， 由已知条件，知{x|x<m} {x|x>2或x<1}. ∴m≤1.
解析答案
课堂小结
1.充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否 命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即可. (3)利用集合间的包含关系进行判断. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、 必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系， 然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
答案
思考 (1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？ 答案 充分条件. (2)性质定理给出了结论成立的什么条件？ 答案 必要条件.
答案
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题型探究
题型一 充分条件、必要条件 例1 给出下列四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； 解 ∵两个三角形相似⇏两个三角形全等， 但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p是q的必要不充分条件. (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 解 ∵矩形的对角线相等，∴p⇒q， 而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇏p. ∴p是q的充分不必要条件.
知识梳理
自主学习
知识点 充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们 就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的 充分条件，q是p的 必要条件 . (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法 不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系. (2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条 件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q. (3)“若p，则q”为假命题时，记作“p⇏q”，则p不是q的充分条件，q不 是p的必要条件.
高考数学专题复习《常用逻辑用语》PPT课件
故选A.
解题心得充要条件的三种判断方法:
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否同时成立进行判断.
(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:指对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成
容易判断充要条件为止.
对点训练1(1)(2020河南开封三模,文3,理3)已知a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的
B.存在偶函数的图像关于y轴对称
C.存在偶函数的图像不关于y轴对称
D.不存在偶函数的图像不关于y轴对称
答案 C
解析 “偶函数的图像关于y轴对称”等价于“所有的偶函数的图像关于y轴对
称”,根据全称命题进行否定规则,全称量词改写为存在量词,条件不变,否定
结论.所以原命题否定是“存在偶函数的图像不关于y轴对称”.故选C.
“a|a|>b|b|”的充分必要条件,故选 C.
(2)若 p 成立,则 a=4 -2 =
x
1
-4, + ∞
x
2
1
2 - 2
1
− 4,所以
1
a≥-4,即
a 的取值范围为
;若 q 成立,则 x+a-2>1 对∀x>0 恒成立,所以 a>3-x 对∀x>0 恒
成立,则 a≥3.即 a 的取值范围为[3,+∞).由于[3,+∞)⫋
4
1
4
1
4
∴- ≤m< ,或- <m≤ ,∴- ≤m≤ .
2
3
2
3
2
3
解题心得解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并
由此列出关于参数的不等式(组)求解.要注意区间端点值的检验,不等式是
解题心得充要条件的三种判断方法:
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否同时成立进行判断.
(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:指对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成
容易判断充要条件为止.
对点训练1(1)(2020河南开封三模,文3,理3)已知a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的
B.存在偶函数的图像关于y轴对称
C.存在偶函数的图像不关于y轴对称
D.不存在偶函数的图像不关于y轴对称
答案 C
解析 “偶函数的图像关于y轴对称”等价于“所有的偶函数的图像关于y轴对
称”,根据全称命题进行否定规则,全称量词改写为存在量词,条件不变,否定
结论.所以原命题否定是“存在偶函数的图像不关于y轴对称”.故选C.
“a|a|>b|b|”的充分必要条件,故选 C.
(2)若 p 成立,则 a=4 -2 =
x
1
-4, + ∞
x
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2 - 2
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− 4,所以
1
a≥-4,即
a 的取值范围为
;若 q 成立,则 x+a-2>1 对∀x>0 恒成立,所以 a>3-x 对∀x>0 恒
成立,则 a≥3.即 a 的取值范围为[3,+∞).由于[3,+∞)⫋
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∴- ≤m< ,或- <m≤ ,∴- ≤m≤ .
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解题心得解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并
由此列出关于参数的不等式(组)求解.要注意区间端点值的检验,不等式是
常用逻辑用语的小结与复习PPT优秀课件
（2）∵ “∀x∈R， p(x)为假”是“∃x∈R，使p(x) 为真”
的否定
又 ∴ 若s ∀in xx ∈ Rc ，o sx p( x)为2 假si，n (则x m≥1)2
4
∴由∀x∈R， q(x)为真可得 m 2
由 m 1 且 m 2 可 得 ， m 2
∴若∀x∈R， p(x)为假， q(x)为真，则m的取值范围 是 ( 2,)
解：（1）∵x2+2x+m=(x+1)2+m-1 ∴若∃x∈R，使p(x)为真 则m-1<0，即m<1 ∴ m的取值范围是(-∞，1)
（2）∵ “∀x∈R， p(x)为假”是“∃x∈R，使p(x)为真” 的否定
∴ 若∀x∈R， p(x)为假，则m≥1
练习 1.已知p(x)：x2+2x+m<0，q(x)：sinx+cosx<m （2）若∀x∈R， p(x)为假， q(x)为真， 求m的取值范围.
∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1
∴a+b+c=0 （2）充分性 ∵a+b+c=0，即c=-a-b ∴方程ax2+bx+c=0可化为ax2+bx-a-b =0
整理得 (ax+a+b)(x-1)=0 ∴1是这个方程的一个根 综上所述，方程ax2+bx+c=0有一个根为1的 充要条件是a+b+c=0
若 p 为真， a 1或a 1 若 q 为 真 ， a0 或 a2
∴若 p 真 q 假，则 a {a | a 1或a 1} {a | a 0且a 2} 即 a {a | a 1，或1 a 2，或a 2}
的否定
又 ∴ 若s ∀in xx ∈ Rc ，o sx p( x)为2 假si，n (则x m≥1)2
4
∴由∀x∈R， q(x)为真可得 m 2
由 m 1 且 m 2 可 得 ， m 2
∴若∀x∈R， p(x)为假， q(x)为真，则m的取值范围 是 ( 2,)
解：（1）∵x2+2x+m=(x+1)2+m-1 ∴若∃x∈R，使p(x)为真 则m-1<0，即m<1 ∴ m的取值范围是(-∞，1)
（2）∵ “∀x∈R， p(x)为假”是“∃x∈R，使p(x)为真” 的否定
∴ 若∀x∈R， p(x)为假，则m≥1
练习 1.已知p(x)：x2+2x+m<0，q(x)：sinx+cosx<m （2）若∀x∈R， p(x)为假， q(x)为真， 求m的取值范围.
∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1
∴a+b+c=0 （2）充分性 ∵a+b+c=0，即c=-a-b ∴方程ax2+bx+c=0可化为ax2+bx-a-b =0
整理得 (ax+a+b)(x-1)=0 ∴1是这个方程的一个根 综上所述，方程ax2+bx+c=0有一个根为1的 充要条件是a+b+c=0
若 p 为真， a 1或a 1 若 q 为 真 ， a0 或 a2
∴若 p 真 q 假，则 a {a | a 1或a 1} {a | a 0且a 2} 即 a {a | a 1，或1 a 2，或a 2}
常用逻辑用语章末复习提升课件PPT
解析答案
跟踪训练4 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个
不相等的实根，则实数k的取值范围是( B )
A.(0，12)
B.(12，1)
C.(1,2)
D.(2，＋∞)
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示， 当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1， 当直线 g(x)＝kx 过 A 点时斜率为12， 故 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k 的取值范围为(12，1).
例1 判断下列命题的真假.
(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；
解 该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，
它为真命题，故原命题为真.
(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；
解 该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，
故原命题为假.
(3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|.
因为a，b，c，d均为非负数，于是bc＋ad≥0，
故由上式可以知道ac＋bd≤1，
这与已知条件的ac＋bd>1矛盾，
所以假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个负数.
解析答案
跟踪训练5 用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.
已知：在△ABC中，∠BAC>90°，D是BC边上的中点， 求证：AD<12BC(如图所示). 证明 假设 AD≥12BC. ①若 AD＝12BC，由平面几何知识“如果三角形一边上的中线等于该边长的一半， 那么这条边所对的角为直角”知∠BAC＝90°，与题设矛盾.所以 AD≠21BC.
解析答案
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解 綈p是綈q的充分不必要条件， 即綈p⇒綈q且綈q⇏綈p. 设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}， 则A B. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是(1,2].
跟踪训练4 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个
不相等的实根，则实数k的取值范围是( B )
A.(0，12)
B.(12，1)
C.(1,2)
D.(2，＋∞)
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示， 当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1， 当直线 g(x)＝kx 过 A 点时斜率为12， 故 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k 的取值范围为(12，1).
例1 判断下列命题的真假.
(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；
解 该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，
它为真命题，故原命题为真.
(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；
解 该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，
故原命题为假.
(3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|.
因为a，b，c，d均为非负数，于是bc＋ad≥0，
故由上式可以知道ac＋bd≤1，
这与已知条件的ac＋bd>1矛盾，
所以假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个负数.
解析答案
跟踪训练5 用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.
已知：在△ABC中，∠BAC>90°，D是BC边上的中点， 求证：AD<12BC(如图所示). 证明 假设 AD≥12BC. ①若 AD＝12BC，由平面几何知识“如果三角形一边上的中线等于该边长的一半， 那么这条边所对的角为直角”知∠BAC＝90°，与题设矛盾.所以 AD≠21BC.
解析答案
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解 綈p是綈q的充分不必要条件， 即綈p⇒綈q且綈q⇏綈p. 设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}， 则A B. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是(1,2].
常用逻辑用语常考知识点复习小结ppt课件
第一章 常用逻辑用语
常考知识点复习小结（资料收集整理人：林文城）
1.掌握充分条件、必要条件的概念;
p是q的充分不必要条件
pq pq
p是q的必要不充分条件
pq pq
p是q的既不充分也不必要条件 p q pq
2.判断的步骤：（1）认清条件（2）分两步：
判断条件是充分条件还是必要条件
1
1.设 p、q 是简单命题,则“p 且 q 为假”是“p 或 q 为假”的
答案：A
11
11.已知 c＞0，设命题 p：函数 y＝cx 为减函数.命题 q：当 x
∈[12，2]时，函数 f(x)＝x＋1x＞1c恒成立.如果 p 或 q 为真命
题，p 且 q 为假命题.求 c 的取值范围.
11.解：由命题 p 知：0＜c＜1.
由命题 q 知：2≤x＋1x≤52，
要使此式恒成立，则 2＞1c，即 c＞21.
答案：D
10
10.已知命题 p：“∀x∈，x2－a≥0”，命题 q：“∃x∈R，x2
＋2ax＋2－a＝0”.若命题“p 且 q”是真命题，则实数 a 的
取值范围为
()
A.a≤－2 或 a＝1
B.a≤－2 或 1≤a≤2
C.a≥1
D.－2≤a≤1
10.解析：由已知可知 p 和 q 均为真命题，由命题 p 为真 得 a≤1，由命题 q 为真得 a≤－2 或 a≥1，所以 a≤－2， 或 a＝1.
4.解析 :由题意知 P＝{x|-1＜ f(x+t)＜3}＝{x|-t＜x＜ 3-t},Q＝{x|f(x)＜f(3)}＝{x|x＞3}, ∵“x∈P”是“x∈Q”的充分而不必要条件, ∴P Q.∴-t≥3,t≤-3.故选 C. 答案:C
常考知识点复习小结（资料收集整理人：林文城）
1.掌握充分条件、必要条件的概念;
p是q的充分不必要条件
pq pq
p是q的必要不充分条件
pq pq
p是q的既不充分也不必要条件 p q pq
2.判断的步骤：（1）认清条件（2）分两步：
判断条件是充分条件还是必要条件
1
1.设 p、q 是简单命题,则“p 且 q 为假”是“p 或 q 为假”的
答案：A
11
11.已知 c＞0，设命题 p：函数 y＝cx 为减函数.命题 q：当 x
∈[12，2]时，函数 f(x)＝x＋1x＞1c恒成立.如果 p 或 q 为真命
题，p 且 q 为假命题.求 c 的取值范围.
11.解：由命题 p 知：0＜c＜1.
由命题 q 知：2≤x＋1x≤52，
要使此式恒成立，则 2＞1c，即 c＞21.
答案：D
10
10.已知命题 p：“∀x∈，x2－a≥0”，命题 q：“∃x∈R，x2
＋2ax＋2－a＝0”.若命题“p 且 q”是真命题，则实数 a 的
取值范围为
()
A.a≤－2 或 a＝1
B.a≤－2 或 1≤a≤2
C.a≥1
D.－2≤a≤1
10.解析：由已知可知 p 和 q 均为真命题，由命题 p 为真 得 a≤1，由命题 q 为真得 a≤－2 或 a≥1，所以 a≤－2， 或 a＝1.
4.解析 :由题意知 P＝{x|-1＜ f(x+t)＜3}＝{x|-t＜x＜ 3-t},Q＝{x|f(x)＜f(3)}＝{x|x＞3}, ∵“x∈P”是“x∈Q”的充分而不必要条件, ∴P Q.∴-t≥3,t≤-3.故选 C. 答案:C
常用逻辑用语的小结与复习ppt 人教课标版
x R 使得 x 2ax a 0 ，若命题 p∧q 为真命题，求
2
实数 a 的取值范围． 变式 1.已知命题 p ： 对 x [1, 2], 2 x 2 x a 0恒成立 ， 命题 q ： x R 使得 x 2ax a 0 ，若命题 p∧q 为真
二、简单的逻辑联结词
三种复合命题“或”“且”“非”与集合关系的理 解： 设全集为U，且A⊆U、B⊆U，若p：x∈A，q：x∈B，则
“p或q”为真 “p且q”为真 “﹁p”为真
x AB x AB
x CU A
三、全称命题与特称命题 全称命题与特称命题的关系：
对 全 称 命 题 p : xM , p ( x )
若 q 为真，则 对方程x2 2ax 2a 0
2 有 4 a 80 a , 解 得 a 0 或 a 2
2.已知命题 p ：方程 a 2 x 2 ax 2 0 在[－1，1]上有解，
2 q 命题 ：只有一个实数 x 满足不等式 x 2ax 2a 0 ，
若 p 假 q 真，则 a {a | 1 a 1} {a | a 0或a 2} 即 a=0 综上所述，当命题p和q一假一真时，
a { a | a 1 ， 或 12 a ， 或 a 2 ， 或 a 0 }
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
解：（1）∵x2+2x+m=(x+1)2+m-1 ∴若∃x∈R，使p(x)为真 则m-1<0，即m<1 ∴ m的取值范围是(-∞，1) （2）∵ “∀x∈R， p(x)为假”是“∃x∈R，使p(x)为真” 的否定 ∴ 若∀x∈R， p(x)为假，则m≥1
《章末复习课》集合与常用逻辑用语教材课件ppt
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2019秋高中数学第一章常用逻辑用语章末复习课课件新人教A版选修2_1
[变式训练] 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其 中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且 ¬p是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．
解：令A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＜0} ＝{x|3a＜x＜a，a＜0}， B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0} ＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2} ＝{x|x＜－4或x≥－2}．
因为平移后所得函数为y＝2sin2x－π6＋π3＝2sin 2x， 易知此函数为奇函数， 所以函数图象关于原点对称，所以q为真命题． 所以(¬p)∧(¬q)为假命题． 答案：D
[变式训练] 给出以下命题，其中为真命题的是____． ①函数y＝ax(a>0，a≠1)与函数y＝logaax(a>0，a≠1)的 定义域相同； ②若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝π2； ③函数y＝(x－1)2与y＝2x－1在区间[0，＋∞)上都是增函 数； ④若不等式|x－4|<a的解集非空，则必有a>0.
2．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类： (1)充分不必要条件，即p⇒q，而q p. (2)必要不充分条件，即p q，而q⇒p. (3)充要条件，既有p⇒q，又有q⇒p. (4)既不充分也不必要条件，既有p q，又有q p. 3．充分条件与必要条件的判断． (1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充 分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)
答案：①④
题型二 充分条件、必要条件的判断及应用 1．充分条件、必要条件的判断问题，几乎是每年 都考，也是近几年高考的一类热点考题，一般以选择 题、填空题的形式进行考查，并且与其他数学知识的考 查融合在一起．因此必须准确地理解充分条件、必要条 件、充要条件的含义，并能判断所给条件是结论的何种 条件，还要能够利用充要条件解决问题，例如寻求某个 结论的充要条件、求参数的取值范围等．
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方法总结
思想构建
1.转化与化归思想 将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法 称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家 熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的 转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简单化， 抽象问题具体化.
故p是q的充要条件.
解析答案
(2)p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1. 解 綈q：x＝－1且y＝－1，綈p：x＋y＝－2. ∵綈q⇒綈p，而綈p⇏綈q， ∴綈q是綈p的充分不必要条件， 从而，p是q的充分不必要条件.
解析答案
例 2 设命题 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，其中 a>0，命题 q：实数 x
解析答案
跟踪训练 3 命题 p：函数 f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的定义域为 R；命题 q：函 数 g(x)＝xx＋－a2在(2，＋∞)上是增函数.如果 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题， 求实数 a 的取值范围.
解析答案
3.数形结合思想 “数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观 的几何图形有机结合起来，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过 对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而 使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件 的判定上.
解析答案
2.分类讨论思想 分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关 键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语这 章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行 分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏.
例3 已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减； q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p∨q为真，p∧q 为假，求a的取值范围.
例1 判断下列命题的真假.
(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；
解 该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，
它为真命题，故原命题为真.
(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；
解 该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，
故原命题为假.
(3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|.
解析答案
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解 綈p是綈q的充分不必要条件， 即綈p⇒綈q且綈q⇏綈p. 设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}， 则A B. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是(1,2].
解析答案
跟踪训练2 命题p：∀x∈R，x2＋1>a，命题q：a2－4>0，若p∨q为真， p∧q为假，求实数a的取值范围. 解 若p为真命题，则a<1； 若q为真命题，则a2>4，即a>2或a<－2. 由已知条件知：p与q一真一假， 当 p 为真，q 为假时有：－a<21≤，a≤2， 所以－2≤a<1， 当 q 为真，p 为假时有：aa≥ >21或，a<－2， 所以 a>2， 综上所述，－2≤a<1或a>2.
第一章 常用逻辑用语
章末复习提升
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1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换. 2.正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是 “不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可 兼”的“或”. 3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分. 4.常用“都是”表示全称肯定，它的特称否定为“不都是”，两者互为 否定；用“都不是”表示全称否定，它的特称肯定可用“至少有一个是” 来表示.
满足xx22－ ＋2x－x－68≤>00，. (1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
解 由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0. 又a>0，所以a<x<3a，
当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3. 由xx22＋－2x－x－68≤>00，， 解得x－<2－≤4x或≤x3>，2. 即2<x≤3. 所以q为真时，实数x的取值范围是2<x≤3. 若 p∧q 为真，则12<<xx<≤33， ⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3).
5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看 由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证， 证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混. 6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p，则q”，其否命题形式为 “若綈p，则綈q”，其命题的否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条 件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方 式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式 再判断.
解 该命题的逆否命题：“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它为假命题，
故原命题为假.
解析答案
跟踪训练1 下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2(其中r>0)； 解 若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切， 圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r， 即 r＝ a|2c＋| b2，所以 c2＝(a2＋b2)r2； 反过来，若c2＝(a2＋b2)r2， 则 a|2c＋| b2＝r 成立，说明圆 x2＋y2＝r2 与直线 ax＋by＋c＝0 相切，
例4 设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数的 充要条件是__0_<_m_<_1__. 解析 作出函数 f(x)＝|log2x|的图象如图所示，可得20m<m＋<11>，1， 故 0<m<1 即 为 f(x) 在 区 间 (m,2m ＋ 1)(m>0) 上 不是单调函数的充要条件. 故填0<m<1.
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1.转化与化归思想 将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法 称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家 熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的 转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简单化， 抽象问题具体化.
故p是q的充要条件.
解析答案
(2)p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1. 解 綈q：x＝－1且y＝－1，綈p：x＋y＝－2. ∵綈q⇒綈p，而綈p⇏綈q， ∴綈q是綈p的充分不必要条件， 从而，p是q的充分不必要条件.
解析答案
例 2 设命题 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，其中 a>0，命题 q：实数 x
解析答案
跟踪训练 3 命题 p：函数 f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的定义域为 R；命题 q：函 数 g(x)＝xx＋－a2在(2，＋∞)上是增函数.如果 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题， 求实数 a 的取值范围.
解析答案
3.数形结合思想 “数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观 的几何图形有机结合起来，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过 对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而 使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件 的判定上.
解析答案
2.分类讨论思想 分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关 键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语这 章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行 分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏.
例3 已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减； q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p∨q为真，p∧q 为假，求a的取值范围.
例1 判断下列命题的真假.
(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；
解 该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，
它为真命题，故原命题为真.
(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；
解 该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，
故原命题为假.
(3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|.
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(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解 綈p是綈q的充分不必要条件， 即綈p⇒綈q且綈q⇏綈p. 设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}， 则A B. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是(1,2].
解析答案
跟踪训练2 命题p：∀x∈R，x2＋1>a，命题q：a2－4>0，若p∨q为真， p∧q为假，求实数a的取值范围. 解 若p为真命题，则a<1； 若q为真命题，则a2>4，即a>2或a<－2. 由已知条件知：p与q一真一假， 当 p 为真，q 为假时有：－a<21≤，a≤2， 所以－2≤a<1， 当 q 为真，p 为假时有：aa≥ >21或，a<－2， 所以 a>2， 综上所述，－2≤a<1或a>2.
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1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换. 2.正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是 “不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可 兼”的“或”. 3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分. 4.常用“都是”表示全称肯定，它的特称否定为“不都是”，两者互为 否定；用“都不是”表示全称否定，它的特称肯定可用“至少有一个是” 来表示.
满足xx22－ ＋2x－x－68≤>00，. (1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
解 由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0. 又a>0，所以a<x<3a，
当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3. 由xx22＋－2x－x－68≤>00，， 解得x－<2－≤4x或≤x3>，2. 即2<x≤3. 所以q为真时，实数x的取值范围是2<x≤3. 若 p∧q 为真，则12<<xx<≤33， ⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3).
5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看 由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证， 证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混. 6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p，则q”，其否命题形式为 “若綈p，则綈q”，其命题的否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条 件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方 式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式 再判断.
解 该命题的逆否命题：“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它为假命题，
故原命题为假.
解析答案
跟踪训练1 下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2(其中r>0)； 解 若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切， 圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r， 即 r＝ a|2c＋| b2，所以 c2＝(a2＋b2)r2； 反过来，若c2＝(a2＋b2)r2， 则 a|2c＋| b2＝r 成立，说明圆 x2＋y2＝r2 与直线 ax＋by＋c＝0 相切，
例4 设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数的 充要条件是__0_<_m_<_1__. 解析 作出函数 f(x)＝|log2x|的图象如图所示，可得20m<m＋<11>，1， 故 0<m<1 即 为 f(x) 在 区 间 (m,2m ＋ 1)(m>0) 上 不是单调函数的充要条件. 故填0<m<1.