基本初等函数章末复习
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的奇偶性与周期性
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f (x )，g (x )的奇偶性，那么函数f (x )±g (x )，f (x )·g (x )的奇偶性有什么结论？提示在函数f (x )，g (x )公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f (x )满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)；(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )．提示(1)T ＝2|a |(2)T ＝2|a |(3)T ＝|a －b |题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√)题组二教材改编2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________.答案－2解析f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f 32______.答案1解析f 32＝f －124×－122＋2＝1.4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是()A ．－13 B.13C.12D ．－12答案B 解析∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.答案3解析∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36；(2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )2＋x ，x <0，x 2＋x ，x >0.解(1)－x 2≥0，2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称，∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0.∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)－x 2>0，－2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝ln (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A ．f (x )＝x ＋sin 2xB ．f (x )＝x 2－cos xC ．f (x )＝3x －13xD ．f (x )＝x 2＋tan x答案D解析对于选项A ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋sin 2x 为奇函数；对于选项B ，函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )＝x 2－cos x 为偶函数；对于选项C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＝－x f (x )，所以f (x )＝3x －13x 为奇函数；只有f (x )＝x 2＋tan x 既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)(2018·石景山模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()A ．y ＝xB ．y ＝－x 3C ．y ＝12log xD ．y ＝x ＋1x答案B解析由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y＝x ＋1x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.题型二函数的周期性及其应用1．(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.答案－2解析f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________.答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝1－f(2)，所以f(4)＝－1f(2)＝－12－3＝－2－ 3.故f(2020)＝－2－ 3.3．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.4．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f(1)＋f(2)＋________.答案2－1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴f(1)＋f(2)＋＝0＋f(0)＋＝f(0)＋＝f(0)＝122－1＋20－1＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2021)＝________.答案－12解析设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________.答案e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0解析∵当x >0时，－x <0，∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2求参数问题例3(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________.答案1解析∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0.∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f 12＝f 32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以ff (－1)＝f (1)，故从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________．答案[－1,0]解析因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0－a －2＝a 2≤0，1－a ≤0，≤0，≥－1，即－1≤a ≤0.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)(2018·聊城模拟)已知函数f (x )＝|x |(10x －10－x )，则不等式f (1－2x )＋f (3)>0的解集为()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案A解析由于f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，且为单调递增函数，故f (1－2x )＋f (3)>0等价于f (1－2x )>－f (3)＝f (－3)，所以1－2x >－3，x <2，故选A.(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，解不等式f (x )>f (2x －1)．解由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)．当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，因为y＝ln(1＋x)与y＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得13<x<1.所以符合题意的x思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)，当x ，12时，f(x)＝12log(1)x ，则f(x)()A．减函数且f(x)>0B．减函数且f(x)<0 C．增函数且f(x)>0D．增函数且f(x)<0答案D解析当x ，12时，由f(x)＝12log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间－12，f(x)<0.由f(x)知，函数的周期为32，f(x)<0.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[3,5]B．[－1,1]C．[1,3]D．[－1,1]∪[3,5]答案D解析由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则在区间(－∞，0)上单调递减，又f(1)＝－1，f(3)＝1，则f(－1)＝－1，f(－3)＝1，要使得－1≤f(x－2)≤1，即1≤|x－2|≤3，即1≤x－2≤3或－3≤x－2≤－1，解得－1≤x≤1或3≤x≤5，即不等式的解集为[－1,1]∪[3,5]，故选D.(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)3，x≤0，(x)，x>0，解不等式f(6－x2)>f(x)．解∵g(x)是奇函数，∴当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，∴－3<x<2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、函数性质的判断例1(1)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)上单调递增B．f(x)在(0,2)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称答案C解析f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A，B错误；∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．故选C.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A．[3,7]B．[4,5]C．[5,8]D．[6,10]答案B解析依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，所以f(x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f(x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f(x)在[4,5]上单调递减．(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案①②③解析由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的最小正周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对．二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则()A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案D解析因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．(3)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则满足f (a －2)>0的实数a 的取值范围为__________．答案{a |a >4或a <0}解析∵偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，∴不等式f (a －2)>0等价于f (|a －2|)>f (2)，即|a －2|>2，即a －2>2或a －2<－2，解得a >4或a <0.1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝－cos x答案B解析函数f (x )＝1x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)等于()A ．－3B ．－54C.54D ．3答案A 解析由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x .A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案D解析由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证，①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数；③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数；④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知②④正确，故选D.4．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f (1)等于()A ．－2B ．0C ．2D ．1答案A解析∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)，∴f (1)＝0，124＝－2，∴f (1)＝－2.5．(2018·惠州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为()A ．(2，＋∞)(2，＋∞)(2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案B解析f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．(2018·海南联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，当x ∈[0,6]时，f (x )＝log 6(x ＋1)，若f (a )＝1(a ∈[0,2020])，则a 的最大值是()A ．2018B ．2010C ．2020D ．2011答案D解析由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，可得f (－x )＝f (12＋x )，即f (x )＝f (12＋x )，故函数的周期为12.令log 6(a ＋1)＝1，解得a ＝5，∴在[0,12]上f (a )＝1的根为5,7；又2020＝12×168＋4，∴a 的最大值在[2004,2016]上，即2004＋7＝2011.故选D.7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ________．答案－ln 2解析由已知可得ln 1e2＝－2，所以f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f (－2)＝－f (2)＝－ln 2.9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案9解析由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋2f (1)，那么t 的取值范围是________．答案1e，e 解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝由f (ln t )＋2f (1)，得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e.11．已知函数f (x )x 2＋2x ，x >0，，x ＝0，2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)－2>－1，－2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2023)＝________.答案1解析因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x )为偶函数，所以f (2023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2023)＝f (1)＝1.14．(2018·天津河西区模拟)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1，0≤x <1，－2x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m的最大值是()A ．－1B ．－13C ．－12D.13答案B解析易知函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，则由f (1－x )≤f (x ＋m )，得|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2，即g (x )＝(2m ＋2)x ＋m 2－1≤0在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，当m ＝－1时，g (x )＝0，符合要求，当m ≠－1(m )＝(3m －1)(m ＋1)≤0，(m ＋1)＝(m ＋1)(3m ＋1)≤0，解得－1<m ≤－13，所以－1≤m ≤－13，即m 的最大值为－13.15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为______________________________．答案2解析易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，m ∈[－2,2](－2)<0，(2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)的值．解因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2020)＝0.。
初等函数复习
八人行教育个性化辅导授课案教师： 李培胜 学生： 时间： 年 月 日内容（课题）函数教学目的注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等；掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。
重难点能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 教学过程一、本章知识结构：二、高考要求 （1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、热点分析函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。
在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。
以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。
②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。
函数的三要素函数的表示法函数的性质反函数函数的应用 初等函数 基本初等函数： 指数函数 对数函数 对数指数 映射 函数射③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。
四、复习建议1. 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等； ⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。
第二章基本初等函数(I)复习课第一和二课时
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
1
3x
2 .
例4.比较下列各组中两个值的大小：
1 log6 7, log7 6; 2 log3 , log2 0.8.
例5.设 f x 4x a 2x1 b, 当x=2时，f(x)有最小值10.
求a,b的值。
解： f x 4 x a 2 x1 b 2 x 2 2a 2 x b 2 x a 2 b a 2
质 (3)a>1 时，a 越大越靠近 y 轴，0<a<1 时，a 越小越靠近 y 轴，
(4)在 R 上是增函数
(4)在 R 上是减函数
11．对数的定义:如果 ab N（ a 0且a 1）,那么数 b 就叫做以 a 为底 的 N 的对数，记作 log a N b ,其中 N 0,b R 12．指数式与对数式的互化
若a≤0,则f(x)不存在最值。若a>0，由题
意可知，要取最小值，需 a 2 x a 4
此时，最小值为b a 2 b 16 10,b 26
综上：a=4,b=26
例6.设0<x<1,a>0且a≠1,比较 log a 1 x和log a 1 x
的大小。
解：
log
a
1
x
log
a
1
x
log
对数与对数函数
对数换底公式
函数性质与基本初等函数复习作业A学生版
第二章 函数性质与基本初等函数 复习作业A一、单选题1．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）函数()2f x =的定义域为（ ）A ．RB ．[)0,∞+C ．(],0-∞D ．()(),00,∞-+∞2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若1e ()sin 1e xx a f x x -=+为偶函数，则=a （ ）A ．1B ．0C ．1-D ．23．（2024·安徽合肥·模拟预测）函数()()2e cos 2e e 1x x x f x =-（e 为自然函数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()20f =，则满足()()120m f m --≤的m 的取值范围是（ ）A ．(],4∞-B ．(][],01,4∞-⋃C ．[][]1,02,5-⋃D ．[]1,5-5．（2024·全国·高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞6．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，当()32f -=-时，则()2023f 等于（ ）A ．2B ．2-C ．0D ．4-7．已知函数()2+1f x x x x =-+，则下列结论正确的是A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的递减区间是(1,1)-C ．若方程()+0f x k =有三个不同的实数根，则20k -≤≤D ．任意的0a >，1(lg )(lg )2f a f a +=8．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N =D ．3221N N =二、多选题9．已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()f xy yf x xf y =+，则以下一定成立的是（ ） A ．()10f = B ．()22f = C ．()f x 为奇函数 D ．()f x 在()1,∞+上是增函数10．已知函数()()()log 1m f x x m m =+>的定义域为()4,-+∞，则（ ）A ．4m =B ．()122f -= C ．3是()f x 的零点 D ．()12f x f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭三、填空题11．三个数0.540.54,0.5,log 4a b c ===的大小关系为 ．12．已知函数f （x ）=x 2﹣a x （a ＞0且a≠1），当x∈（﹣1，1）时，1()2f x <恒成立，则实数a 的取值范围是 ．13．（2024·全国·高考真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．。
学业水平考试复习《第二章基本初等函数》
在[2，3]有最大值5和最小值2，求a，b的值.
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函数及其表 示
函数的基 本性质
b c c
b c
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★要点解读 对应法则. 1.函数的三要素 定义域 、 值域 、
▲判断两个函数相等（图象相同）：
定义域和对应法则相同即可.
▲实战 导引P45 . A第5题，B第1题.
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★要点解读 列表法 、 图像法 . 2.函数的表示法 解析法 、
▲实战 导引P45 . A第25题.
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★要点解读
6.函数的奇偶性.
①对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 若f(－x)＝f(x)，则函数f(x)叫做 偶函数 .
若f(－x)＝ － f(x)，则函数f(x)叫做 奇函数 . ②函数f(x)是偶函数等价于图像 关于y轴对称 . 函数f(x)是奇函数等价于图像 关于原点对称 .
2014年1月 学业水平考试总复习
第二章 基本初等函数
第1节
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★考试内容与考试要求
单元 知识条目 ▲1.函数的概念 ①函数的概念 ②函数符号y=f(x) ③函数的定义域 ④函数的值域 ⑤区间的概念及其表示法 ▲2.函数的表示法 ①函数的解析法表示 ②函数的图象法表示，描点法作图 ③函数的列表法表示 ④分段函数的意义与应用 ⑤映射的概念 ▲1.单调性与最大（小）值 ①增函数、减函数的概念 ②函数的单调性、单调区间 ③函数的最大值和最小值 ▲2.奇偶性 ①奇函数、偶函数的概念 ②奇函数、偶函数的性质 考试要求 b b b b a b b a b a
例7.函数f (x)＝x2 ＋2 (a－1)x＋2在区间 (－∞，4]上单调递减，则a的取值范围 是( B )
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)章末复习提升课课件新人教A版必修1
定成立的是( )
A．3c>3b
B．3c>3a
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2
【解析】 (1)由题意 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过(3，1)点，
可解得 a＝3.选项 A 中，y＝3－x＝13x，显然图象错误；选项 B
中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项 C 中，y＝(－x)3＝
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
章末复习提升课
指数与对数的运算
求下列各式的值： (1)287－23－3 e·e23＋ （2－e）2＋10lg 2； (2)lg25＋lg2×lg 500－12lg215－log29×log32.
【解】 (1)287－23－3 e·e23＋ （2－e）2＋10lg 2 ＝233－23－e13·e23＋(e－2)＋2 ＝23－2－e＋e－2＋2＝322＝94. (2)lg25＋lg 2×lg 500－12lg215－log29×log32 ＝lg25＋lg 2×lg 5＋2lg 2－lg15－log39 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2－lg 2＋1－2 ＝lg 5＋lg 2－1＝1－1＝0.
解析：当 x＝－1 时，y＝a0－2＝－1，所以该定点的坐标是(－1， －1)． 答案：(－1，－1)
2．已知 lg a＋lg b＝0，则函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－logbx 的 图象可能是________(填序号)．
解析：因为 lg a＋lg b＝lg(ab)＝0， 所以 ab＝1，即 b＝1a， 则 f(x)＝ax，g(x)＝logax. 当 a>1 时，在各自的定义域内，f(x)是增函数，g(x)是增函数， 所以②正确；0<a<1 时，在各自的定义域内，f(x)是减函数，g(x) 是减函数，所以①③④都不正确．
高中数学必修一第二章 章末复习课课件
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
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题型探究
类型一 指数、对数的运算
提炼化简方向：根式化分数指数幂，异底化同底.
化简技巧：分与合.
注意事项：变形过程中字母范2
8) 3
(3
102
9
)2
105；
解
3
原式＝(22
－2
)3
29
(103 )2
5
10 2
＝2－1
103
10－52＝2－1
解析答案
1
2.函数 y＝x3 的图象是( B )
1 2345
解析 ∵0＜13＜1.
1
∴在第一象限增且上凸，又 y＝x3 为奇函数，过(1,1)，故选B.
解析答案
1 2345
3.函数
f(x)＝12x
与函数
g
x＝log1
2
x 在区间(－∞,0)上的单调性为(
D
)
A.都是增函数B.都是减函数
C.f(x)是增函数，g(x)是减函数D.f(x)是减函数，g(x)是增函数
5.对数的换底公式
logaN＝llooggmmNa ：a>0，且 a≠1，m>0，且 m≠1，N>0.
推论：log
a
m
bn＝
n m
log
a
b
：a>0，且a≠1，m，n>0，且m≠1，n≠1，b>0.
6.对数的四则运算法则
若a>0，a≠1，M>0，N>0，则
(1) loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)logaMN ＝logaM－logaN；
∴log10.42<log10.43<log10.44，
新课标版数学理高三总复习之2-5函数与基本初等函数
答案 D
解析 设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题 意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.
第31页
第二章
函数与基本初等函数
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
【讲评】
上述四个题目相同但所给的区间不同，最后
得到的值域也不同，主要是由于二次函数在不同区间上的单 调性不同而产生的，因此在求二次函数值域时一定要考虑函 数是针对哪一个区间上的值域和此时图像是什么样子．
第32页
第二章
函数与基本初等函数
段长应为|x1－x2|＝
(3)当时 f(x)<0.
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b2－4ac |a|
.
a<0， Δ<0 时
a>0， Δ<0
，恒有 f(x)>0；当
， 恒 有
第二章
函数与基本初等函数
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
4．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n] 上的最大、最小值的分布情况 b ，f(x) f m ， f n (1)若－ ∈[m，n]，则 f(x)max＝max min 2a
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
探究2
用配方法．
配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本
方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使
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如果a<2，则当t＝2时，y有最小值2－4a. 此时2x＋2－x＝2，(2x－1)2＝0， ∴2x＝1，∴x＝0. 综上所述，若a≥2，当x＝log2(a± a2－4)－1时，ymin＝ －a2－2. 若a<2，当x＝0时，ymin＝2－4a.
[点评] 当问题所给的对象不能进行统一的研究时， 就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究， 得出一类的结果，最后综合各类的结果得到问题的解 答．这种解决问题的思想即分类讨论思想．引起讨论的原 因常见的有：问题涉及分类定义的概念，分类给出的性质， 用分段函数表示的解析式，有范围或条件限制的定理、公 式、法则，同一术语包含几种不同的情形、位置或形状不 确定的图形等．特别是问题涉及参数且对参数的不同取值 有不同结果．在进行分类时必须按照确定的分类标准，做 到分类不重复又不遗漏．
本章第4节即用函数模型来描述，即函数建模，最后还 需将模型的结果与研究的实际问题作比较，以检验所建模 型及计算过程的合理性，如果检验结果不符合实际，应该 修改、补充，通常一个模型可以经过多次反复修改才能得 到满意的结果．因此，函数建模的主要过程即为：
在学习本章时，要注意运用由特殊到一般，运用对比 的方法，搞清几个意义相近概念的内涵，利用数形结合的 思想方法来说明比较抽象的概念及性质．在知识的发生、 发展过程中提高运用知识解决问题的能力．
专题一 数形结合思想 数形结合是高中数学中的一种重要的数学思想方法， 这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时， 能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思 索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图 形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确， 从而使问题得到简捷解决．运用数形结合的思想方法解决 问题时，一般要遵循等价性、双向性和简单性原则．
函数建模时往往涉及很多因素，如果把涉及到的所有 因素都考虑到，是不可能的，也没有必要，而且还会使问 题复杂化而导致建模失败，要想把实际问题变为数学问题， 需要对其进行必要的合理的简化和假设，梳理相应的数学 问题即提出问题，有了数学问题，就可以选择适当的数学 工具并根据已有的知识和搜集到的信息来描述变量之间的 关系，
[例1] 方程log2(x＋4)＝3x解的个数是(
A．0个
B．1个
C．2个
) D．3个
[答案] C
[解析] 在同一坐标系中画出函数y＝log2(x＋4)及y＝ 3x的图象，如图所示．由图象可知，它们的图象有两个交
点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ故选C.
[点评] “数形结合”是根据数量与图形之间的关系， 认识研究对象的数学特征，寻找解决问题方法的一种数学 思想．通常包括“以数解形”和“以形助数”两方面．
已知log2a＋3(1－4a)>2，求a的取值范围．
[解析] 由题意，得21a－＋43a>>1(2a＋3)2 ， 或00<<21a－＋43a<<(12a＋3)2 ，
化简得aa>2＋－41a＋2<0
－32<a<－1 ，或a<14
.
a2＋4a＋2>0
解得－1<a<－2＋ 2.
专题三 等价转化思想 数学问题中，已知条件是结论成立的保证，但有的问 题已知条件和结论之间距离比较大，难于解出．因此，如 何将已知条件经过转化，逐步向需求结论靠拢，这就是解 题过程中经常要做的工作，变更条件就是利用与原条件等 价的条件去代替，使得原条件中的隐含因素显露出来，使 各种关系明朗化，从而缩短已知条件和结论之间的距离， 找出它们之间的内在联系，以便应用数学规律、方法将问 题解决．
[解析] 将原函数整理为y＝(2x＋2－x)2－2a(2x＋2－x)－2 设2x＋2－x＝t.则t≥2，y＝t2－2at－2. 如果a≥2，则当t＝a时，y有最小值－a2－2. 此时2x＋2－x＝a. 即(2x)2－a·2x＋1＝0. 解得2x＝a± a22－4(a≥2)． ∴x＝log2(a± a2－4)－1.
通过“以数解形”或“以形助数”，可以使复杂问题 简单化，抽象问题具体化，数形结合兼数的严谨与形的直 观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是基本的数学 方法．
A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案] D [解析] 解法一：当x≤0时，2－x－1>1. ∴2－x>2. ∴－x>1.∴x<－1. 当x>0时，x12>1，∴x>1. ∴f(x0)>1时，x0的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋ ∞)．故选D.
基本初等函数章末复习
章末归纳总结
指数函数、对数函数和简单的幂函数是重要的基本初 等函数，是高中数学函数部分的主体内容，是历届高考的 重点．本章是在初中学习了整数指数幂及运算性质的基础 上，引入了分数指数幂的概念，然后将分数指数幂推广到 实数指数幂，进而研究指数、指数函数的概念及图象性质； 对数运算、对数函数的概念及其图象和性质．另外，函数 的实际应用是新课标增添的内容．但它的研究思想方法， 一直是高中数学的重点及难点之一，也是高考中常见题 型．
解法二：数形结合方法．
在同一直角坐标系中分别作f(x)及y3＝1的图象． 满足f(x0)>1的x0的取值范围即为图象y1、y2在y3＝1的图 象上方的部分对应的x值的集合，观察图象，即得x0<－1或 x0>1.故选D.
专题二 分类讨论思想 分类讨论问题的实质是把整体问题代为部分来解决， 化成部分从而增加题设条件，这是解分类讨论问题的指导 思想． [例2] 设a是实常数，求函数y＝4x＋4－x－2a(2x＋2－x) 的最小值，并求相应的x值． [分析] 将2x＋2－x看作整体，问题转化为求二次函数 在给定区间上的最值问题．
[例3] 已知三个集合，分别为A＝{x|x2－ax＋a2－19＝ 0}，B＝{x|log2(x2－5x＋8)＝1}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，求 当a取什么实数时，A∩B≠∅与A∩C＝∅同时成立．
[分析] 转化条件A∩B≠∅与A∩C＝∅，将集合问题转化 为方程解的问题．
[解析] ∵B＝{2,3}，C＝{2，－4}，要使A∩C＝∅成 立，即2与－4都不是方程x2－ax＋a2－19＝0的解．要使 A∩B≠∅，即3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解，即32－a·3＋ a2－19＝0，∴a＝5或a＝－2.