含绝对值的不等式恒成立问题
绝对值不等式
绝对值不等式知识总结：1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a (－a ，a ) ∅∅ |x |>a(－∞，－a )∪(a ，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .题型一：绝对值不等式的解法例1：不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)例2：若关于x 的不等式|x －1|－|x －3|>a 2－3a 的解集为非空数集，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a <2 B.3－172<a <3＋172C ．a <1或a >2D ．a ≤1或a ≥2举一反三：变式1：设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，则a ＝________.变式2:不等式|x －2|＋|x ＋2|≥5的解集为______________．题型二：利用绝对值不等式求最值例1：对于任意实数a 和b (b ≠0)，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|b |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，则实数x 的取值范围是________．例2：记max{p ，q }＝⎩⎨⎧p ，p ≥q ，q ，p <q ，设M (x ，y )＝max{|x 2＋y ＋1|，|y 2－x ＋1|}，其中x ，y ∈R ，则M (x ，y )的最小值是________．举一反三：变式1：若关于x 的不等式|x ＋t 2－2|＋|x ＋t 2＋2t －1|<3t 无解，则实数t 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1 B ．(－∞，0] C ．(－∞，1]D ．(－∞，5]变式2：(2020·浙江第二次联盟联考)定义min{x ，y }＝⎩⎨⎧x ，x ≤y ，y ，x >y ，已知x 是不为2或8的实数，若S ＝min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2|x －2|，1|x －8|，则S 的最大值为________．题型三：绝对值不等式的综合应用例1：已知a ，b 为实数，不等式|x 2＋ax ＋b |≤|x 2－7x ＋12|对一切实数x 都成立，则a ＋b ＝________.例2：已知函数f (x )＝x |x －a |－1.①当a ＝1时，解不等式f (x )<x －1；②当x ∈(0,1]时，f (x )≤12x 2恒成立，求实数a 的取值范围．举一反三：变式1：已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .(1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．课后练习：1．不等式|2x －1|<3的解集是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2)C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)2．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |x >1}D ．{x |x <－1或x >1}3．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．74．已知数列{a n }为等差数列，且a 8＝1，则2|a 9|＋|a 10|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．设函数f (x )＝|2x －1|，若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)6．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或87．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π2x ，|x |≤1，x 2－1，|x |>1.若|f (x )＋f (x ＋l )－2|＋|f (x )－f (x ＋l )|>2(l >0)对任意的实数x都成立，则正数l 的取值范围为( ) A ．(0,23) B ．(23，＋∞) C ．(0,23]D ．[23，＋∞)8．若a ，b ，c ∈R ，且|a |≤1，|b |≤1，|c |≤1，则下列说法正确的是( ) A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2 B.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b －c 2 D ．以上都不正确9．若关于x 的不等式|x |＋|x ＋a |<b 的解集为(－2,1)，则实数a ＝________，b ＝________.10．已知f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x －a ＋2x －2a (x >0)的最小值为32，则实数a ＝________.11．当1≤x ≤3时，|3a ＋2b |－|a －2b |≤|a |⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x ＋1对任意的实数a ，b 都成立，则实数m 的取值范围是________．12．对任意的x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为________；若正实数x ，y ，z 满足x 2＋2y 2＋z 2＝1，则t ＝433xy ＋2yz ＋xz 的最大值是________．13．已知函数f (x )＝x －1，若|f (x )－1|＋1|f (x －1)|－a >0对任意的x ∈R 且x ≠2恒成立，则实数a的取值范围为________；不等式|f (2x )|≤5－|f (2x －1)|的解集为__________．14．已知a >0，若集合A ＝{x ∈Z ||2x 2－x －a －2|＋|2x 2－x ＋a －2|－2a ＝0}中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为______．15．已知a ，b ∈R ，f (x )＝|2x ＋ax ＋b |，若对于任意的x ∈[0,4]，f (x )≤12恒成立，则a ＋2b ＝________.。
绝对值不等式的恒成立问题
绝对值不等式的恒成立问题【例4】(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(Ⅱ)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．【解】(Ⅰ)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(Ⅱ)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞).(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)求不等式f (x )≤6的解集．(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x >32，(2x ＋1)＋(2x －3)≤6，或 ⎩⎨⎧ －12≤x ≤32，(2x ＋1)－(2x －3)≤6，或 ⎩⎨⎧ x <－12，－(2x ＋1)－(2x －3)≤6.解之得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12.即不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)因为f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，所以|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5.1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≤0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时右边等号成立．2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c<0，则不等式解集为R.。
绝对值不等式恒成立
h( x) 0 恒成立，转化为最值问题： h( x)max 0
当a=0时，原式为：0<0，不恒成立。
h( x) 是开口向上的二次函数。 当 a 0时，
最大值只与两个端点有关，此时不用讨论。
只需把两个端点代入不等式中。有：
h(0) 0 h(1) 0
0 a 2,
写成区间形式： a (0, 2]
即取 f(x)>-a和f(x)<a的交集
f ( x) a f ( x) a.or. f ( x) a
即取f(x)<-a、f(x)>a的并集
一、去绝对值的方法： 定义法、公式法、平方法
3、平方法:
a
2
a
2
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2 2
不等号两边保证为非负的情况
绝对值不等式恒成立问题
2018年高考数学第23题第二问解法初探 主讲人：河北保定 周率（老π）
本文总结去绝对值的三种方法，并结合历届高
考题给出恒成立转化为最值的求法，对解答高考数
学23题具有很好的指导意义。
绝对值不等式恒成立问题，其实很简单，因为它有规律可依：
一是去掉绝对值 二是把恒成立问题转化为最值问题
详细讲解请观看本人【恒成立】有关讲座
例3、（2018年高考文科数学23题）已知：
若 x (0,1) 时，不等式
f ( x) x 1 ax 1
f ( x) x 恒成立，求a的取值范围。
解：一系列等价变形，先去掉绝对值：
f ( x) x x 1 ax 1 x
x 1 对应的零点是：x 1
2 2
2
(ax 1) 1
第二十二讲 绝对值不等式恒成立能成立问题(经典题型+答案)
第二十二讲 绝对值不等式问题 例1：解不等式|23||3|4x x ++->；解：3339|23|3||||3||42222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为R 。
例2：3232≤-++x x解：3337|23|2||||2||32222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为φ。
例3：3232≤---x x解：222|2|3|2|||2||333x x x x x ---=----+根据同小反大原理负号的绝对值较大，属于反大类型，故有最大值2224|2|||2||23333x x x -----≤-=，不等式解集为R 。
秒杀秘籍:绝对值不等式之最值确定之前谈到绝对值不等式，主要谈及不等式的数轴解法，但对于一些不等式如2236x x x +++>-之类的，就需要另外的解法。
定理1：()2f x x a x b x a x b x b a b x b =-+-=-+-+-≥-+-，当x b =时取得最小值a b -； 这个定理可以演绎为：当0n m ≥>时；()f x m x a n x b =-+-()()m x a x b n m x b =-+-+-- ()m a b n m x b ≥-+--；故两个一次绝对值不等式之和能求出最小值，并且在绝对值系数较大的部分为零时取到最小。
定理2：()2f x x a x b x a x b x b a b x b =---=-----≤---，当x b =时取得最大值a b -； 这个定理可以演绎为：当0n m ≥>时；()f x m x a n x b =---()()m x a x b n m x b =------ ()m a b n m x b ≤----；故两个一次绝对值不等式之差能求出最大值，并且在绝对值系数较大的部分为零时取到最大。
定理3：()2f x x a x b x a x b x a x a a b =---=---+-≥---，当x a =时取得最小值a b --； 这个定理可以演绎为：当0n m ≥>时；()f x n x a m x b =---()()m x a x b n m x a =---+-- ()n m x a m a b ≥----；故两个一次绝对值不等式之差能求出最小值，并且在绝对值系数较大的部分为零时取到最小。
绝对值不等式恒成立
1． 已知当[]1,3x ∈，不等式21a x a -≥-恒成立，则a 的取值范围是．解法一：结合()2f x a x =-的图象分类讨论： 当21a ≤，即12a ≤时，112a a -≤-，解得12a ≤ 当23a ≥，即32a ≥时，123a a -≤-，解得2a ≥ 当123a <<，即1322a <<时，10a -≤，解得112a <≤ 综上可知： 1a ≤或2a ≥解法二：当1a ≤时显然成立当1a >时，有2121a x a x a a -≥-⇔-≥-或21x a a -≤-进而有：min13x a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭或()max 1a x ≥-所以23a ≤或2a ≥ 综上：1a ≤或2a ≥2．设实数a 使得不等式2232x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则满足条件a 组成的集合是。
解法一：设()232f x x a x a =-+-当0a ≥时，()53,22,23253,3a x a x a a f x x a x a x a x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩所以()min 233a a f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以23a a ≤，解得103a ≤≤ 当0a <时，()253,32,3253,2a x a x a a f x x a x a x a x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩所以()min 233a a f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭所以23a a ≤-，解得103a -≤< 综上，1133a -≤≤解法二：由齐次化思想，令()x at t =∈R ，则原不等式为22132a t a t a -+-≥ 转化为2132a t t ≤-+-对任意t ∈R 恒成立易得()min 121323t t -+-= 所以13a ≤，解得1133a -≤≤2015年浙江第18题3.设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 为()y f x =在[]1,1-上的最大值 （1）设2a ≥，求证：(),2M a b ≥（2）若(),2M a b ≤，请求出a b +的最值。
2020年高考数学(文)母题题源解密23 不等式选讲(全国Ⅱ专版原卷版)
专题23 不等式选讲【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a aa a =-+-+≥---+=-+-=-，当且仅当221a x a -≤≤时取等号，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----． 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞．【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立． 故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥， 所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．【命题意图】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）a b a b +≤+. （2） a b a c c b -≤-+-.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥.2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养. 【命题规律】从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等. 【方法总结】（一）解绝对值不等式的常用方法有：（1）公式法：对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|<g (x )，利用公式|x|<a ⇔−a<x<a (a>0)和|x|>a ⇔x>a 或x<−a (a>0)直接求解不等式；（2）平方法：对于形如|f (x )|≥|g (x )|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f (x )|≥|g (x )|⇔f (x )2≥g 2(x )；（3）零点分段法：对于形如|f (x )|±|g (x )|≥a ，|f (x )|±|g (x )|≤a ，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c ，|x±a|±|x±b|≥c ，利用绝对值三角不等式的性质求解，即 ①定理1:如果a ，b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立.②定理2:如果a ，b ，c 是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b )(b−c )≥0时，等号成立. ③推论1:||a|−|b||≤|a+b|. ④推论2:||a|−|b||≤|a−b|.（5）图象法：对于形如|f (x )|+|g (x )|≥a 可构造y=|f (x )|+|g (x )|−a 或y=|f (x )|+|g (x )|与y=a ，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数. （二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题. （三）不等式的证明（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.（2）基本不等式:如果a ，b>0，那么2a b+≥，当且仅当a=b 时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12nn a a a n+++≥当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立.1．（2020·山西省高三）已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围．2．（2020·四川省泸县第二中学高三二模）已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值. 3．（2020·深圳市宝安中学（集团）高三月考）已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a .（1）求a 的值.（2）若p ，q ，r 为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥.4．（2020·江西省高三）已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为m ，且实数a ，b 满足222a b m +=，求34a b +的最大值. 5．（2020·山西省高三月考）已知函数()|1|2|2|)(R f x x x x =-+-∈，记()f x 得最小值为m . （1）解不等式()5f x ≤；（2）若2a b m +=，求22a b +的最小值.6．（2020·吉林省高三）已知函数()12f x x x =-+（1）在平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象，并解不等式()2f x ≥； （2）若不等式()15f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥.7．（2020·山西省高三）已知函数()12f x x x a =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得()224m m f x -+=，求实数a 的取值范围.8．（2020·山西省太原五中高三月考）已知函数()1211f x x x =-+++ （1）求不等式()8f x <的解集；（2）若x R ∀∈，函数()2log f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围.9．（2020·全国高三）设函数()|2|f x x x =+-+，集合M 为不等式()0f x ＜的解集. （1）求集合M ；（2）当m ，n M ∈时，证明：3mn n ++.10．（2020·山西省高三）已知不等式23x x -<与不等式()20,x mx n m n R -+<∈的解集相同．（1）求m n -；（2）若(),,0,1a b c ∈，且ab bc ac m n ++=-，求222a b c ++的最小值． 11．（2020·重庆高三）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M . （1）求M ；（2）若正数a ，b 满足3311a b +=Mab ，证明：a 4b +ab 443≥. 12．（2020·福建省高三）已知函数()1f x x a x =-+-. （1）当0a =时，求不等式()1f x ≤的解集A . （2）设()32f x x ≤-的解集为B ，若A B ⊆，求这数a 的值. 13．（2020·福建省高三）已知函数()12f x x x =-+-. （1）求不等式()3f x <的解集I ；（2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333abb cc a++≤+++---.14．（2020·山西省高三）已知函数()2f x x =．(1)求不等式()1f x >的解集； (2)若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值． 15．（2020·山西省太原五中高三月考）已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>． （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（2）若()f x 的值域为[)3,+∞，证明：()224281a b b a b +++≥+．16．（2020·山西省高三）已知函数()()220f x x a x a a =-++>. （1）求不等式()3f x a ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为()20b b ->17．（2020·陕西省西安中学高三）已知,,a b c R +∈，x R ∀∈，不等式|1||2|x x a b c ---≤++恒成立.（1）求证:22213a b c ++≥（2）求证 18．（2020·江苏省高三）已知x ，y ，z 均为正数，且11131112x y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥． 19．（2019·四川省高三月考）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +1|． （1）求不等式f （x ）≤﹣1的解集M ；（2）结合（1），若m 是集合M 中最大的元素，且a +b ＝m （a ＞0，b ＞0），求+ 20．（2020·广东省高三月考） 已知函数()()20,0f x x a x b a b =-++>>. （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x ≥-；（2）若函数()f x 的值域为[)2,+∞，求2242a b b a+的最小值. 21．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三）已知()12f x x x =-+-. （1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立. 22．（2020·河南省高三三模）已知是a ，b ，c 正实数，且21a b c ++=.()1求111abc++的最小值；()2求证：22216a b c ++≥. 23．（2020·江西省高三三模）已知()|||1|.f x k x x =+- （Ⅰ）若2k =，解不等式()5f x ≤.（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1||22|f x x x ≤++-的充分条件是1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求k 的取值范围.24．（2020·河北省高三）已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1. （Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）证明：32a b c b c a c a b ++≥+++. 25．（2020·南昌市新建一中高三）已知函数()21f x x x =---，函数()421g x x x m =---+-． （1）当()0f x >时，求实数x 的取值范围；（2）当()g x 与()f x 的图象有公共点时，求实数m 的取值范围． 26．（2020·四川省高三三模）已知函数()||f x x a =-.（1）当1a =时，求不等式11()x f x +>的解集； （2）设不等式|21|()x f x x -+的解集为M ，若1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围. 27．（2020·福建省高三）已知函数()212f x x x =--+，()221g x x m x =-++. （1）求不等式()2f x <的解集；（2）若存在1x ，2x ∈R ，使得()()120f x g x +=，求m 的取值范围. 28．（2020·青海省高三）设函数()21|1|f x x x =---. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若方程2()f x x ax =+有两个不等实数根，求a 的取值范围. 29．（2020·贵州省高三）设函数()16f x x x a =++--. （1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集； （2）若()23f x a ≥-，求a 的取值范围.30．（2020·重庆高三）已知函数()22f x x x =+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 31．（2020·广州市天河外国语学校高三月考）已知函数()123f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使得不等式()230m m f x --<成立，求实数m 的取值范围. 32．（2020·广东省高三）已知函数()1=-f x x . （1）解不等式()(1)4f x f x ++≥；（2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1()()2f x f x-+≥.33．（2020·福建省高三）已知函数2()1,()|||21|,f x x g x x a x a R =+=---∈.（1）当12a =时，解不等式27()2g x <-；（2）对任意12,x x R ∈，若不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 34．（2020·湖北省高三）已知函数()|4||24|f x x x =--+． （1）解不等式()3f x ；（2）若()f x 的最大值为m ，且2a b c m ++=，其中0a ，0b ，3c >，求(1)(1)(3)a b c ++-的最大值．35．（2020·辽宁省高三三模）已知a ，b ，c 均为正数，设函数f （x ）＝|x ﹣b |﹣|x +c |+a ，x ∈R ． （1）若a ＝2b ＝2c ＝2，求不等式f （x ）＜3的解集； （2）若函数f （x ）的最大值为1，证明：14936a b c++≥． 36．（2020·广西柳城县中学高三）设函数()133f x x x a a =-+-+，x ∈R ． （1）当1a =时，求不等式()7f x >的解集； （2）对任意m R +∈，x ∈R 恒有()49f x m m≥--，求实数a 的取值范围． 37．（2020·安徽相山淮北一中高三月考）已知函数()|2|f x ax =-. （Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围. 38．（2020·河南高三月考）已知函数()21f x x x =--+.（1）解不等式()2f x <；（2）若正实数m ，n 满足3m n +=，试比较122m n +与()32f x -的大小，并说明理由. 39．（2020·湖南衡阳市八中高三）已知实数正数x ，y 满足1x y +=.（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 40．（2020·湖南雨花雅礼中学高三）已知函数()33f x x a x =-++. （1）若3a =，解不等式()6f x ≤；（2）若不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+，求实数a 的取值范围. 41．（2020·湖北黄州黄冈中学高三）已知()3f x x x =+-. （1）求不等式()5xf x x>的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22a b c M ++=（a ，b ，c ∈R ），求证：2221a b c ++≥. 42．（2020·湖北黄州黄冈中学高三）已知1()||f x x a x a=++-. （1）当1a =时，求不等式()6f x 的解集M ； （2）若a M ∈，求证：10()3f x . 43．（2020·河北桃城衡水中学高三三模）已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值．44．（2020·宁夏原州固原一中高三）已知函数()|3|2f x x =+-. （1）解不等式|()|4f x <；（2）若x R ∀∈，2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立，求实数t 的取值范围. 45．（2020·河南郑州一中高三）已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1.证明：（1）|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥； （2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c ++）≥3. 46．（2020·贵州贵阳一中高三）已知函数()3f x x x a =--．（1）当0a =时，求解关于x 的不等式2()10f x x +->的解集；（2）当[]2,3x ∈时，该不等式()1f x ≥-恒成立，求a 的取值范围．47．（2020·云南红河高三）已知函数()|1||1|f x x x =++-．（Ⅰ）求不等式()8f x ≤的解集M ；（Ⅱ）若m 为M 中的最大元素，正数a ，b 满足．12m a b +=，证明2142a b ab ++≥．48．（2020·重庆九龙坡高三）已知函数()f x =（1）求()f x 的最大值；（2）若关于x 的不等式()|1|f x a -有解，求实数a 的取值范围.49（2019·河北辛集中学高三月考）已知函数()43f x x x =-++．（1）解不等式()9f x <；（2）若不等式()21f x a <-+在实数R 上的解集不是空集，求正数a 的取值范围.50．（2020·河南南阳高三二模）已知a ，b ，c 均为正实数，函数222111()4f x x x a b c =+-++的最小值为1.证明：（1）22249a b c ++≥；（2）111122ab bc ac++≤. 51．（2020·河南高三）已知函数()221f x x x =-++.（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若函数()1y f x x =++的最小值为k ，求()220km m m+>的最小值. 52．（2020·安徽六安一中高三）已知()()2f x x m m m R =-+∈．（1）若不等式()2f x ≤的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的值； （2）在（1）的条件下，若a ，b ，c +∈R ，且4a b c m ++=，求证：4436ac bc ab abc ++≥． 53．（2020·辽宁实验中学高三）设函数()|21|f x x =-．（1）设()(1)5f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b c a b c---⋅⋅≥． 54．（2020·安徽芜湖高三一模）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）证明：22213x y z ++≥； （2）求()()()222111x y z -++++的最小值.55．（2020·河南高三）已知函数()2f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()7f x ≤的解集；（2）若0x R ∃∈，()03f x a ≤-，求实数a 的取值范围.56．（2020·河南开封高三二模）已知函数()2231f x x x =+--．（1）求函数()f x 的最大值M ；（2）已知0a >，0b >，4a b M +=，求2221a b a b +++的最大值． 57．（2020·福建高三）已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x <的解集I ；（2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333a b b c c a ++≤+++---.58．（2020·湖南雅礼中学高三月考）已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ； （2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c ++=，求2993a b c ++的最小值.59．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三）已知函数()211f x x x =++-. （1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且122a b c m ++=，求222a b c ++的最小值. 60．（2020·广东东莞高三）已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈． （1）当1k =时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．。
含绝对值不等式的恒成立的问题
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
(－a，a)
∅
∅
|x|>a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
例2(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.
解(1)f(x)＝
当x<－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；
题型一 绝对值不等式的解法
题型二 利用绝对值不等式求最值
题型三 绝对值不等式的综合应用
例1(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
①当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
②若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围.
解①当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.(*)
当x<－1时，(*)式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，(*)式化为x2－x－2≤0，
从而－1≤x≤1；
当x>1时，(*)式化为x2＋x－4≤0，
含绝对值不等式恒成立问题的解法
例 ｌ 已知 函数 ． 厂 （ ） 是偶 函数 且 在 ［ ０ ， ＋ ） 上
［ ｏ ， ２ ］ 上单 调递增 ， 则 ① ｆ （ ｚ ） 是 偶 函 数 ；② ＿ ， （ ） 是 周期 函数 ；③ ． 厂 （ １ ５ ） 一０ ；④ ＿ 厂 （ ） 在［ 一１ ８ ， 一１ ６ ］ － ｋ 单调 递减 ； ⑤ ， ’ （ ） 图象 关 于直 线 ｚ：３对称 ， 正确 的
２ ） ＝厂 （ ２ 一ｚ ） ， 又 ， ’ （ ｚ十 ２ ） 一一ｆ （ ｚ ） ， 故 厂 （ ２ 一ｚ） ＝
～
厂 （ ） ，所 以 厂 （ － ｚ ） 的图象 关 于点 （ １ ， ０ ） 对称 ． 根 据 对
最 ［ １ １ ａ ｘ ＋
＋ ｌ ￣Ｏ
＇
≤
一
，
或 （ ＿ 杰 二 ？ ； ￣ 一 ２ － ． ； Ｕ 在 ∈ ，
象 的对 称点 ． 故正 确 的命 题有 ①② ③④． 以上例 题 中 ， 例１ 、 例 ２主要 利用 ＇ 『双对 称 函数具 有周期 性． 而例 ３ 、 例４ 、 例 ５的解法 有 如 下解 题 规律 ： 先设法 求 出 函数 的 周期 、 某 一 条 对称 轴 、 某 一 个 对 称
则难免 出错．
■●
０ ２ ４ ＼ ＼ ６ ／８
／ ｌ
所 以 ４ － ２ ＋３ ２ ３ 十 ４ 一 ６× ２ ＋２ Ｘ ２ 一一８ ．
一
例 ５ 定义 在 Ｒ上 的 函数 ． 厂 （ ） 满足 ｆ （ ｘ ＋２ ） ＝ ＝ ＝ ／ （ ｚ ） ， 且 ／（ ＋２ ） 图 象关 于 轴 对 称 ， 且 ／ （ ） 在
．
， （ ～４ ） 一． ， （ 一 ） ， 故 ， ‘ （ ） 的 图象 关于 直 线 工 一 一２
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复习
1. 含绝对值不等式的解法
形如 | x a | | x b | c (或 c )
(i)零点分段讨论法；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义．
2. 一类函数最值的求法
f (x) | x a | | x b |
(i)绝对值三角不等式；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义．
的取值范围．
答案： a 3 或 a 5
设函数 f (x) | x 1| | x a | ．
如果x R ，f (x) 2 ，求实数 a 的取值范围．
答案： a 1 或 a 3
例2. 求使不等式| x 4 | | x 3 | a 恒成立的 a 的取值范围.
解： 由题意知，只需 (| x 4 | | x 3 |)min a
1. 分离参数法：
通过参数分离,将问题转化为 a f (x) (或 a f (x) ) 求最值；
a f (x) 对 x D 恒成立 a [ f (x)]max
a f (x) 对 x D 恒成立 a [ f (x)]min
类似的
a f (x) 对 x D 有解 a [ f (x)]min
a f (x) 对 x D 有解 a [ f (x)]max
a f (x) 对 x D 无解 a [ f (x)]min a f (x) 对 x D 无解 a [ f (x)]max
例1. 求使不等式| x 4 | | x 3 | a 恒成立的 a 的取值范围.
解： 由题意知，只需 (| x 4 | | x 3 |)min a 因为 | x 4 | | x 3 || (x 4) (x 3) | 1 ，当且仅当
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。12:5 5:4012: 55:4012 :5512/ 12/2020 12:55:40 PM
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 212:55: 4012:5 5Dec-20 12-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 12:55:4 012:55: 4012:5 5Saturday, December 12, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 220.12. 1212:5 5:4012: 55:40D ecembe r 12, 2020
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月12 日星期 六下午 12时55 分40秒 12:55:4 020.12. 12
练习
1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k
恒成立，则k的取值范围是 （ B）
(A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D)k≤-3
2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的
取值范围是-(----∞）
2. 数形结合法：
(3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．
解：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1， |x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)． (2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．
(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．
对于 f (x) g(x) 型问题,也常用数形结合思想转化为函数图象
再处理.
例3.已知函数 f (x) | 2x 4 | 1 .
(1)作出函数 y f (x) 的图象； (２)若不等式 f (x) ax 的解集非空，求实数 a 的取值范围
解:(1)略
(２)令y f (x) , y ax
由图象可知,
只需 y f (x) 的图象有落在 y ax 的图象下方(或有公共点)的部分. 故a 的取值范围是 a 1 或 a 2 .
2
练习3
设函数 f (x) | x 3 | | x 4 |
a 若存在实数 a 满足 f (x) ax 1 ，试求实数 的取值范围.
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020
令 f (x) | x 4 | | x 3 |，则
1, x 3, f (x) 2x 7, 3 x 4,
1, x 4.
则函数 f (x) 的最小值为 1 ． 则 a 1 ．
故实数 a 的取值范围是(,1] ．
练习2
已知不等式 2 | x 3 | | x 4 | 2a ,
(x 4)(x 3) 0 ，即 3 x 4 时取等号． 所以 | x 4 | | x 3 | 的最小值为 1 ．则 a 1 ． 故实数 a 的取值范围是 (,1] ．
练习１
已知函数 f (x) | 2x 1 | | 2x 3 | ． 若关于 x 的不等式 f (x) | a 1 | 的解集非空，求实数 a
含绝对值不等式恒成立问题
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
(1) f x a(a 0) f x a或f x a
(2) f x a(a 0) a f x a
(3) f x g( x) f x g( x)或f x g( x) (4) f x g( x) g( x) f x g(x) (5) f x g x f x2 g x2
a 若不等式的解集不是空集，求实数 的取值范围．
分析：
3x 1 0, x 3,
f
(
x)
2
x
7, ．
3 x 4,
3x 10, x 4.
a1 2
[练] 已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m. (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为∅. 分别求出m的范围．
[练] 已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m. (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R；