高考数学二轮复习寒假作业十等差等比数列注意命题点的区分度理
(典型题)高考数学二轮复习 知识点总结 等差数列、等比数列
等差数列、等比数列【高考考情解读】 高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题．1． a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2． 等差数列和等比数列S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d(1)q ≠1，S n ＝a 1－qn1－q＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 1考点一 与等差数列有关的问题例1 在等差数列{a n }中，满足3a 5＝5a 8，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若a 1>0，当S n 取得最大值时，求n 的值； (2)若a 1＝－46，记b n ＝S n －a nn，求b n 的最小值． 解 (1)设{a n }的公差为d ，则由3a 5＝5a 8，得3(a 1＋4d )＝5(a 1＋7d )，∴d ＝－223a 1.∴S n ＝na 1＋n n －12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223a 1＝－123a 1n 2＋2423a 1n＝－123a 1(n －12)2＋14423a 1.∵a 1>0，∴当n ＝12时，S n 取得最大值． (2)由(1)及a 1＝－46，得d ＝－223×(－46)＝4，∴a n ＝－46＋(n －1)×4＝4n －50，S n ＝－46n ＋n n －12×4＝2n 2－48n .∴b n ＝S n －a n n ＝2n 2－52n ＋50n＝2n ＋50n－52≥22n ×50n－52＝－32，当且仅当2n ＝50n，即n ＝5时，等号成立．故b n 的最小值为－32.(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用． (2)等差数列的性质①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列； ③a m －a n ＝(m －n )d ⇔d ＝a m －a n m －n(m ，n ∈N *)； ④a n b n ＝A 2n －1B 2n －1(A 2n －1，B 2n －1分别为{a n }，{b n }的前2n －1项的和)．(3)数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝f (n )是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即S n ＝An 2＋Bn (A 2＋B 2≠0)．(1)(2012·浙江)设Sn 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列(2)(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 (1)C (2)C解析 (1)利用函数思想，通过讨论S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 的单调性判断．设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确． (2)a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1， 因为S m ＝0，故ma 1＋m m －2d ＝0，故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝5， 故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5， 即m ＝5.考点二 与等比数列有关的问题例2 (1)(2012·课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.答案 (1)D (2)32解析 (1)利用等比数列的性质求解．由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解．S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2，将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得，3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0， 解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去)．(1)证明数列是等比数列的两个方法：①利用定义：a n ＋1a n(n ∈N *)是常数，②利用等比中项a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．(2)等比数列中的五个量：a 1，a n ，q ，n ，S n 可以“知三求二”． (3){a n }为等比数列，其性质如下：①若m 、n 、r 、s ∈N *，且m ＋n ＝r ＋s ，则a m ·a n ＝a r ·a s ； ②a n ＝a m qn －m；③S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列(q ≠－1)． (4)等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝，a 1－q n 1－q＝a 1－a n q1－q q①能“知三求二”；②注意讨论公比q 是否为1；③a 1≠0.(1)(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________. 答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. (2)(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.①求数列{a n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解 ①设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18.即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q ＋q ＋q 2＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.②由①有S n ＝3[1－－n]1－－＝1－(－2)n .假设存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n>0.上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n≤－2 012， 即2n≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 考点三 等差数列、等比数列的综合应用例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n－n2. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4[1－12m]1－12＝8[1－(12)m]，∵(12)m随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n－n 2＝－12(n 2－9n ) ＝－12[(n －92)2－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<4＋λ，得λ>6.等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－3a n ＝3n(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝3－na n .(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)设S n ＝a 13＋a 24＋a 35＋…＋a n n ＋2，求满足不等式1128<S n S 2n <14的所有正整数n 的值．(1)证明 由b n ＝3－na n 得a n ＝3nb n ， 则a n ＋1＝3n ＋1b n ＋1.代入a n ＋1－3a n ＝3n中，得3n ＋1b n ＋1－3n ＋1b n ＝3n ，即得b n ＋1－b n ＝13.所以数列{b n }是等差数列．(2)解 因为数列{b n }是首项为b 1＝3－1a 1＝1， 公差为13的等差数列，则b n ＝1＋13(n －1)＝n ＋23，则a n ＝3nb n ＝(n ＋2)×3n －1，从而有a nn ＋2＝3n －1，故S n ＝a 13＋a 24＋a 35＋…＋a nn ＋2＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝1－3n 1－3＝3n－12， 则S n S 2n ＝3n －132n －1＝13n ＋1， 由1128<S n S 2n <14，得1128<13n ＋1<14， 即3<3n<127，得1<n ≤4.故满足不等式1128<S n S 2n <14的所有正整数n 的值为2,3,4.1． 在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算． 2． 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 3． 等差、等比数列的单调性(1)等差数列的单调性d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值． d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值． d ＝0⇔{a n }为常数列．(2)等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4． 常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S n n}仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n}等也是等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝a 2－a 1qa 2－a 1＝q .(4)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公差为q k.等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d .5． 易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起． (2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的必要条件是b 2＝ac .1． 已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7等于( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2答案 C解析 记等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0， 由题意知a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q . 因为a 1≠0，所以有q 2－2q －1＝0， 由此解得q ＝1±2， 又q >0，所以q ＝1＋ 2.所以a 8＋a 9a 6＋a 7＝q 2a 6＋a 7a 6＋a 7＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.2． 已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为 ( )A.32 B.53C.94D ．不存在答案 A解析 因为a 7＝a 6＋2a 5，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． 又a m a n ＝a 21qm ＋n －2＝4a 1，所以m ＋n ＝6.则1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n ) ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ＋4m n ＋4≥32.当且仅当n m ＝4mn，即n ＝2m 时，等号成立． 此时m ＝2，n ＝4.3． 已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q . (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．解 (1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2，所以q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍)， 从而a 2＝6，所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1.(2)由(1)知，c n ＝3b n －λ·2a n3＝3n－λ·2n.由题意，得c n ＋1>c n 对任意的n ∈N *恒成立， 即3n ＋1－λ·2n ＋1>3n －λ·2n恒成立，亦即λ·2n <2·3n恒成立，即λ<2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立．由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n min ＝2×32＝3， 故λ<3，即λ的取值范围为(－∞，3)．(推荐时间：60分钟)一、选择题1． (2013·江西)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24答案 A解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)． 解得x ＝－3或x ＝－1(不合题意，舍去)． 故数列的第四项为－24.2． (2013·课标全国Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( )A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.3． (2013·课标全国Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n答案 D解析 S n ＝a 1－q n1－q＝a 1－q ·a n1－q ＝1－23a n13＝3－2a n .故选D.4． 在等差数列{a n }中，a 5<0，a 6>0且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列说法正确的是( )A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6…均大于0B ．S 1，S 2，…S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11…均大于0D ．S 1，S 2，…S 11均小于0，S 12，S 13…均大于0 答案 C解析 由题意可知a 6＋a 5>0，故S 10＝a 1＋a 102＝a 5＋a 62>0，而S 9＝a 1＋a 92＝2a 5×92＝9a 5<0，故选C.5． 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2011，a 2 011)，则OP →·OQ →等于 ( )A ．2 011B ．－2 011C ．0D ．1答案 A解析 由S 21＝S 4 000得a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝0， 由于a 22＋a 4 000＝a 23＋a 3 999＝…＝2a 2 011， 所以a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝3 979a 2 011＝0， 从而a 2 011＝0，而OP →·OQ →＝2 011＋a 2 011a n ＝2 011.6． 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．11答案 B解析 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－－10－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8， 所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝ ＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3. 二、填空题7． (2013·广东)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.答案 20解析 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，∴3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20. 8． 各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝________.答案5－12解析 依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ，则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值)．a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4q ＋q 2a 2a 4q 2＋q 3＝1q ＝21＋5＝5－12.9． 在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值等于________．答案 9解析 由a 1＋a 2＋…＋a 10＝30得a 5＋a 6＝305＝6，又a n >0，∴a 5·a 6≤⎝⎛⎭⎪⎫a 5＋a 622＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9.10．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________. 答案 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2n解析 由a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，可得a n ＋1＝12S n ，所以S n ＋1－S n ＝12S n ，即S n ＋1＝32S n ，由此可知数列{S n }是一个等比数列，其中首项S 1＝a 1＝2，公比为32，所以S n＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，由此得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2n三、解答题11．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列． (1)解 由已知，得a n ＝aqn －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)．当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1， 可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52.(2)证明 若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列． 若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a q m －q －1＋a q l －q －1＝2aq n －q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n. 因此，a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m＋q l)＝2aqn ＋k －1＝2a n ＋k .所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．12．设数列{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋＋a 3＋2＝3a 2，解得a 2＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2， 可得a 1＝2q，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0， 解得q 1＝2，q 2＝12.由题意，得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n， ∴b n ＝ln 23n＝3n ln 2， 又b n ＋1－b n ＝3ln 2， ∴数列{b n }是等差数列．∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n2＝n＋3n 2＝3n n ＋2ln 2.13．(2013·湖北)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而∑n ＝1m1a n ＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m <910<1.若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －k ∈N ＋，0，m ＝2k k ∈N ＋故∑n ＝1m1a n<1.综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n<1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．。
2022届高三数学高考二轮专题复习：等差、等比数列
2022 年高三数学第二轮专题复习——等差、等比数列考大纲求：1.理解等等比数列的观点 .2.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式 .3.能在详细的问题情境中辨别数列的等差、等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.4.认识等差数列与一次函数的关系，认识等比数列与指数函数的关系.考点回首：等差、等比数列是最重要的、最基本的数列模型，因此也是高考要点观察的对象，从近几年的高考看，观察既有选择题、填空题，也有解答题，，既有简单题和中档题，也有难题.客观题一般“小而巧” ，观察平等差、等比数列观点的理解、性质的灵巧运用，主观题则一般“大而全”，除了观察数列的观点、性质、公式的应用外，还常常与其余知识交融在一同，同时也考查分类议论、等价转变、函数与方程等数学思想方法的灵巧应用.考试说明平等差、等比数列都提出了较高的要求，所以，等差、等比数列的综合问题应用问题将是2022 年高考对数列考查的要点 .基础知识过关：等差数列1.等差数列的定义：假如一个数列从第项起，每一项与他的前一项的差都等于，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的.2.等差数列：在一个等差数列中，从第二项起每一项（有穷数列最有一项除外）都是它前一项与后一项的等差中项，即2a n（ n N *且 n 2 ）.3.等差数列的单一性当 d>0 时，是数列；当 d=0 时，是数列；当 d<0 时，是数列 .4.等差数列的前n 项和是用法求得的，要注意这类思想方法在数列乞降中的应用.5.等差数列的通项公式=，前 n 项和公式 ==，两个公式一共波及到五个量 a1, a n , d, n, s n，知其三就能求另二.等比数列：1.等比数列的定义：一般的，假如一个数列从起，每一项与他的的比等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比往常用字母()表示 .2.设等比数列的首项为，公比为q,则它的通项 =.3.等比中项：假如三个数a、 G、 b构成，则 G 叫做 a 和 b 的等比中项，那么G b 即G2.a G4.等比数列的前n 项和公式.答案：等差数列1.同一个常数公差2.a n 1 a n 13.递加常数列递减4.倒序相加5. a 1 (n1)dn(a 1 a n )na 1n( n 1) d22等比数列1.第2项 前一项同一个公比q2. a 1q n 13.等比数列abq 1 s na (1 q n )a 1 a n q4.q=1 时，1时，q 1 q1 高考题型概括：题型 1.等差等比数列的判断与证明：证明一个数列为等差或等比一般用定义或许等差（比）中项来证明，而对于等差数列来说，证明一个数列的通项公式是对于 n 的一次函数或许证明它的前 n 项和事对于 n 的不含常数项的二次函数也能说明它是等差数列 .例 1. 已知数列中，是其前项和，而且S n 1 4a n 2(n 1,2, ), a 1 1 ，⑴设数列b nan 12a n (n 1,2,)，求证：数列是等比数列；c na nn, (n1,2,)⑵设数列 2，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。
高考二轮复习专题-等差数列和等比数列的判定(共15张PPT)
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高中数学二轮复习(命题方向把握 命题角度分析)精选第一部分 22个必考问题 专项突破必考问题9 等差、等比
必考问题9 等差、等比数列的基本问题1．(2012·辽宁)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )． A ．58 B ．88 C ．143D ．176答案： B [利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{a n }是等差数列，所以a 4＋a 8＝2a 6＝16⇒a 6＝8，则该数列的前11项和为S 11＝a 1＋a 112＝11a 6＝88.]2．(2012·新课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )． A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7答案：D [设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，a 10＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.]3．(2012·福建)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )． A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B [在等差数列{a n }中，∵a 1＋a 5＝10，∴2a 3＝10，∴a 3＝5，又a 4＝7，∴所求公差为2.]4．(2012·浙江)设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析 ∵S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3(a 4－a 2)， ∴a 2(q ＋q 2)＝3a 2(q 2－1)， ∴q ＝－1(舍去)或q ＝32.答案 32本部分在高考中常以选择题和填空题的形式出现，考查这两种数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等，属于中档题；以解答题出现时，各省市的要求不太一样，有的考查等差、等比数列的通项公式与求和等知识，属于中档题；有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大．(1)深刻理解两种数列的基本概念和性质，熟练掌握常用的方法和技能；掌握等差数列和等比数列的判定、证明方法，这类问题经常出现在以递推数列为背景的试题的第(1)问中．(2)熟练掌握等差数列和等比数列的性质，并会灵活应用，这是迅速、准确地进行计算的关键.必备知识等差数列的有关公式与性质 (1)a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． (2)a n ＝a 1＋(n －1)d . (3)S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d .(4)2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (5)①a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)；③等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列． 等比数列的有关公式与性质 (1)a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)a n ＝a 1q n －1.(3)S n ＝a 1－q n1－q＝a 1－a n q1－q(q ≠1)． (4)a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (5)①a n ＝a m qn －m；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ；③等比数列{a n }(公比q ≠－1)的前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也成等比数列．必备方法1．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a 1、d (或q )，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．2．深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题．3．等差、等比数列的判定与证明方法：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d为常数)⇔{a n}是等差数列；a n＋1a n＝q(q为非零常数)⇔{a n}是等比数列；(2)利用中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列；a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等比数列(注意等比数列的a n≠0，q≠0)；(3)通项公式法：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列；a n＝cq n(c，q为非零常数)⇔{a n}是等比数列；(4)前n项和公式法：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列；S n＝mq n－m(m为常数，q≠0)⇔{a n}是等比数列；(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a1，a2，a3验证即可．等差比数列的基本运算等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性，是高考必考内容，着重考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，题型不仅有选择题、填空题、还有解答题，题目难度中等．【例1】►(2011·江西)已知两个等比数列{a n}、{b n}满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{a n}唯一，求a的值．[审题视点][听课记录][审题视点] (1)利用b1、b2、b3等比求解；(2)利用(1)问的解题思路，结合方程的相关知识可求解．解(1)设{a n}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－2，所以{a n}的通项公式为a n＝(2＋2)n－1或a n＝(2－2)n－1.(2)设{a n}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0.(*)由a>0得，Δ＝4a2＋4a>0，故方程(*)有两个不同的实根，由{a n}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝1 3 .关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识．【突破训练1】(2011·广东改编)等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，a k＋a4＝0，则k＝( )．A．10 B．12 C．15 D．20答案： A [设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S9－S4＝0，即a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0,5a7＝0，故a7＝0，而a k＋a4＝0，故k＝10.]等差、等比数列的判断与证明高考对该内容的考查主要是等差、等比数列的定义，常与递推数列相结合考查．常作为数列解答题的第一问，为求数列的通项公式做准备，属于中档题．【例2】► 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)先利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 将S n ＋1＝4a n ＋2转化为关于a n 的递推关系式，再利用b n ＝a n ＋1－2a n 的形式及递推关系式构造新数列来求证．(2)借助(1)问结果，通过构造新数列的方式求通项． (1)证明 由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3，由S n ＋1＝4a n ＋2，① 则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2.② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1. ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． 又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，∴{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列， (2)解 由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14， 所以a n ＝(3n －1)·2n －2.判断一个数列是等差数列或等比数列的首选方法是根据定义去判断，其次是由等差中项或等比中项的性质去判断．【突破训练2】 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n. (1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋2n，∴a n ＋12n＝a n2n －1＋1.即有b n ＋1＝b n ＋1，所以{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知b n ＝n ，从而a n ＝n ·2n －1.S n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1，∴2S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n.两式相减得，S n ＝n ×2n －20－21－22－…－2n －1＝n ×2n －2n ＋1＝(n －1)2n ＋1.等差数列与等比数列的综合应用从近几年的考题看，对于等差与等比数列的综合考查也频频出现．考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上．【例3】► (2012·石家庄二模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S 1、2S 2、3S 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n －a n }是首项为－6，公差为2的等差数列，求数列{b n }的前n 项和． [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)列出关于公比q 的方程求q ；(2)先求出b n 后，再根据公式求和． 解 (1)由已知4S 2＝S 1＋3S 3,4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3a 1(1＋q ＋q 2)， 3q 2－q ＝0，∴q ＝0(舍)，或q ＝13，∴a n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)由题意得：b n －a n ＝2n －8，b n ＝a n ＋2n －8＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋2n －8.设数列{b n }的前n 项和为T n ，T n ＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＋n－6＋2n－2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋n (n －7) ＝－13n －1＋n 2－7n ＋3.(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．(2)方程思想的应用往往是破题的关键．【突破训练3】 数列{a n }为等差数列，a n 为正整数，其前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且a 1＝3，b 1＝1，数列{ba n }是公比为64的等比数列，b 2S 2＝64.(1)求a n ，b n ；(2)求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜34.(1)解 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝qn －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ba n ＋1ba n ＝q 3＋ndq3＋n －d ＝q d ＝64＝26，S 2b 2＝＋d q ＝64，①由(6＋d )q ＝64知q 为正有理数， 故d 为6的因子1,2,3,6之一， 解①得d ＝2，q ＝8，故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明 S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＜34.递推数列及其应用递推数列问题一直是高考命题的特点，递推数列在求数列的通项、求和及其它应用中往往起至关重要的纽带作用，是解决后面问题的基础和台阶，此类题目需根据不同的题设条件，抓住数列递推关系式的特点，选择恰当的求解方法．【示例】► (2011·湖北)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1＝a (a ≠0)，a n ＋1＝rS n (n ∈N *，r ∈R ，r ≠－1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在k ∈N *，使得S k ＋1，S k ，S k ＋2成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2是否成等差数列，并证明你的结论．[满分解答] (1)由已知a n ＋1＝rS n ，可得a n ＋2＝rS n ＋1，两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝r (S n ＋1－S n )＝ra n ＋1，即a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1.(2分) 又a 2＝ra 1＝ra ，所以，当r ＝0时，数列{a n }为：a,0，…，0，…；(3分) 当r ≠0，r ≠－1时，由已知a ≠0，所以a n ≠0(n ∈N *)， 于是由a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，可得a n ＋2a n ＋1＝r ＋1(n ∈N *)， ∴a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列， ∴当n ≥2时，a n ＝r (r ＋1)n －2a .(5分)综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，r r ＋n －2a ，a ≥2.(6分)(2)对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列，证明如下：当r ＝0时，由(1)知，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，0，n ≥2.∴对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列．(8分) 当r ≠0，r ≠－1时，∵S k ＋2＝S k ＋a k ＋1＋a k ＋2，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1， 若存在k ∈N *，使得S k ＋1，S k ，S k ＋2成等差数列， 则S k ＋1＋S k ＋2＝2S k ，∴2S k ＋2a k ＋1＋a k ＋2＝2S k ，即a k ＋2＝－2a k ＋1.(10分) 由(1)知，a 2，a 3，…，a m ，…的公比r ＋1＝－2， 于是对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1＝－2a m ， 从而a m ＋2＝4a m ， ∴a m ＋1＋a m ＋2＝2a m ，即a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列．(12分)综上，对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列．(13分)老师叮咛：本题是以a n 和S n 为先导的综合问题，主要考查等差、等比数列的基础知识以及处理递推关系式的一般方法．失分的原因有：第(1)问中漏掉r ＝0的情况，导致结论写为a n ＝r (r ＋1)n －2a ；第(2)问中有的考生也漏掉r ＝0的情况，很多考生不知将S k ＋1＋S k ＋2＝2S k 转化为a k ＋1与a k ＋2的关系式，从而证明受阻．【试一试】 (2012·四川)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求a 1，a 2的值；(2)设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2，② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2，③ (i)若a 2＝0，由①知a 1＝0， (ii)若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①、④解得，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2.综上可知a 1＝0，a 2＝0；或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. (2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2.当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1， 所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1.令b n ＝lg 10a 1a n，则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1，所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－12lg 2)，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg 1＝0，当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg 1＝0，故n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为T 7＝b 1＋b 72＝＋1－2＝7－212lg 2.。
等差数列等比数列知识点归纳总结
等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。
这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
1. 基本概念一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
2. 性质（1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。
（2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。
（3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。
（2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。
（3）经济学中的利润、销售额等。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。
这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。
1. 基本概念一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。
2. 性质（1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。
（2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。
（3）前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。
3. 应用等比数列也广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的倍数关系、增长衰减等。
（2）物理问题中的连续等比分布、指数增长等。
高考数学二轮复习寒假作业十一数列的通项与数列求和注意命题点的区分度文51.doc
寒假作业(十一) 数列的通项与数列求和(注意命题点的区分度)一、选择题1．(2017·安溪质检)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( )A ．9B ．8C ．17D ．16解析：选A S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1a 1＋a 2＋…＋a n，则数列{b n }的前n 项和为( )A.n ＋1n ＋B.34－2n ＋3n ＋n ＋C.n －1n ＋2D.34－2n ＋3n ＋n ＋解析：选B 易得a 1＋a 2＋…＋a n ＝n＋2n ＋2＝n (n ＋2)，所以b n ＝1n n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，故T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋3n ＋n ＋.3．(2018届高三·湖南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3， ∴数列{a n }是公差d ＝3的等差数列， 又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21， ∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72d ＝92.法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝a 1＋a 82＝a 4＋a 52＝92.4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值31解析：选B S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n ＋1n ＋2＝log 22n ＋2<－5，∴2n ＋2<2－5，∴n ＋2>26，∴n >62.又n ∈N *，∴n 有最小值63. 5．设{a n }是正项数列，其前n 项和S n 满足4S n ＝(a n －1)·(a n ＋3)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A ．2n＋1 B ．2n－1 C ．2n －1D ．2n ＋1解析：选D 由4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)， 得4S n －1＝(a n －1－1)·(a n －1＋3)，n ≥2， 两式相减得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 又{a n }是正项数列， ∴a n －a n －1－2＝0(n ≥2)，则数列{a n }是公差为2的等差数列，a 1＝3， ∴a n ＝2n ＋1.6．已知数列2 015,2 016,1，－2 015，－2 016，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 017项和S 2 017等于( )A ．2 018B ．2 015C ．1D ．0解析：选B 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1，故数列的前8项依次为2 015,2 016,1，－2 015，－2 016，－1,2 015,2 016.由此可知数列为周期数列，且周期为6，S 6＝0.∵2 017＝6×336＋1，∴S 2 017＝2 015.7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －n 为奇数，n n 为偶数，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝( )A ．4 800B ．4 900C ．5 000D ．5 100解析：选 C 由题意得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100＝2(2＋4＋6＋…＋98)＋100＝2×＋2＋100＝5 000.8．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是( )A ．[12,16]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤8，323C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，323D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤163，323解析：选C 因为{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，所以q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12，a 1＝4，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝a 1a 2－q 2n 1－q 2＝323(1－q 2n)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，323，故选C. 9．(2017·宁波二模)已知在数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，则a n ＝( )A.32n －23n B.23n －32n C.12n －23n D.23n －12n 解析：选A 法一：a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边同时乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1，令b n ＝2n·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1，即b n ＋1－3＝23(b n －3)，所以数列{b n －3}是以b 1－3＝－43为首项，23为公比的等比数列，所以b n －3＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，所以a n ＝b n 2n ＝32n －23n .法二：a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边同时乘以3n ＋1，得3n ＋1·a n ＋1＝3n·a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1，令b n ＝3n·a n ，则b n ＋1＝b n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1，可得b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，以上各式累加可得b n －b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n，又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋32，所以b n ＝1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2，a n ＝b n 3n ＝32n －23n .10．(2017·福州二模)已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 6＝6332，且a 2，a 4，a 3成等差数列，若数列{b n }满足b n ＝na n ，则数列{b n }的前10项和T 10为( )A.6348B.5348C.5338D.7348解析：选 A 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 6＝6332，a 2＋a 3＝2a 4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1－q 61－q＝6332，a 1q ＋a 1q 2＝2a 1q 3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－12⇒a n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.于是b n ＝3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.T 10＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－120＋3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋…＋3×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－129，① －12T 10＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＋…＋3×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1210，② ①－②得32T 10＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－120＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－129－30×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1210，整理得T 10＝43－⎝⎛⎭⎪⎫20＋43×11 024＝6348.11．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n ＋a n 的前n 项和T n ＝( ) A ．－n2n ＋1B.n 2n ＋1C ．－2n2n ＋1D.2n2n ＋1解析：选C 设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a 3－a 12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152.因为S 1，S 2，S 4成等比数列， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 1－542＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－152a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，解得a 1＝－52或a 1＝－12.当a 1＝－52时，公差d ＝0，不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a 3－a 12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以1n ＋a n＝－2n －n ＋＝－⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以其前n 项和T n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝－2n 2n ＋1，故选C. 12．(2017·郑州第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a na 1a 2a 3…a n －1＝2n2n －2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，故等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，选D. 二、填空题13．(2017·衡水调研)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝________. 解析：令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)．与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2，∴a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也满足该式． ∴a n ＝4(n ＋1)2， ∴a nn ＋1＝4n ＋4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是以8为首项，4为公差的等差数列，∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n 8＋4n ＋42＝2n 2＋6n .答案：2n 2＋6n14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝________. 解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，②∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2， ∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 018＝1－21 0091－2＋－21 0091－2＝3×21 009－3.答案：3×21 009－315．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －4(n ∈N *)，数列{log 2a n }的前n 项和为T n ，则不等式2T n >a n 的解集为________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －4－2a n －1＋4，∴a n ＝2a n －1；当n ＝1时，a 1＝2a 1－4，∴a 1＝4，∴数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列， 则a n ＝4·2n －1＝2n ＋1.设b n ＝log 2a n ，则b n ＝n ＋1， ∴T n ＝2＋3＋…＋n ＋1＝n 2＋3n2.若2T n >a n ，则n 2＋3n >2n ＋1，解得n ＝2或n ＝3，∴不等式的解集为{2,3}． 答案：{2,3}16．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.解析：∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1(n ≥2)，∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n－1a n －1＋12n (n ≥2)．当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ，a n －1＝12n －1，从而可得a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128，a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128. ∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋123＋…＋1299－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1.答案：13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1三、解答题17．(2017·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)由已知得a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是首项为1，公差d ＝2的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)由(1)知数列{a n }的前n 项和S n ＝＋2n －n2＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以公比q ＝3，b n ＝3n －1.所以数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n1－3＝3n－12.若T n ≤S n ，即3n－12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.18．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n .数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，等比数列{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝qn －1. 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧q＋d ＝6，q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－43，q ＝9(舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)，即1S n ＝2nn ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 19．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知条件可得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，而4×1－3＝1，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)， 当n 为偶数时，T n ＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n －3)＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.20．(2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2. 所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②由①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ， 由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.。
等差等比数列知识点 归纳总结
等差等比数列知识点归纳总结数学中的数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式。
它们具有一些特定的性质和规律，对于理解数学的推理和应用领域都具有重要意义。
本文将对等差数列和等比数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、等差数列的概念和性质等差数列是指数列中的相邻两项之差保持恒定的数列。
每一项与它的前一项之差称为等差d。
等差数列通常表示为{a，a + d，a + 2d，...}，其中a是首项，d是公差。
等差数列具有以下性质：1. 公差：等差数列的公差是相邻两项之差，常用字母d表示。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。
通项公式为an = a + (n - 1)d，其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。
3. 首项和末项：等差数列的首项为a，末项为an。
4. 求和公式：等差数列的前n项和可以使用求和公式来表示。
求和公式为Sn = (n/2)(a + an)，其中Sn表示前n项和。
5. 通项之和：对于相等间隔的等差数列，任意两项之和都等于首项和末项的和。
二、等比数列的概念和性质等比数列是指数列中的相邻两项之商保持恒定的数列。
每一项与它的前一项之比称为公比r。
等比数列通常表示为{a，ar，ar^2，...}，其中a是首项，r是公比。
等比数列具有以下性质：1. 公比：等比数列的公比是相邻两项之比，常用字母r表示。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。
通项公式为an = a * r^(n-1)，其中an表示第n项，a表示首项，r表示公比。
3. 首项和末项：等比数列的首项为a，末项为an。
4. 求和公式：等比数列的前n项和可以使用求和公式来表示。
求和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。
5. 通项之积：对于相等间隔的等比数列，任意两项之积都等于首项和公比的幂次方之积。
2024年高考数学数列易错知识点总结
2024年高考数学数列易错知识点总结在2024年高考中，数学数列是一个常见的考点，也是一道容易出错的题型。
为了帮助考生顺利应对数列相关的考试题目，下面总结了一些常见的易错知识点。
一、等差数列的通项公式：等差数列是指数列中任意两项之间的差相等的数列。
它的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$。
对于等差数列来说，考生容易犯的错误有：1. 弄混公差和公比。
公差指的是等差数列中任意两项之间的差，公比指的是等比数列中任意两项之间的比值。
考生在计算等差数列的时候，应该注意区分这两个概念。
2. 弄混首项和通项。
首项指的是数列中的第一项，通项指的是数列中第n项的表达式。
在计算等差数列的时候，考生应该注意首项和通项的区别。
3. 对于计算等差数列的题目，考生有时会直接套用公式，而忽略对问题的分析和推理。
在解题过程中，不应只关注于公式的使用，还应注重思考问题的本质，并结合实际情况进行合理的推理和分析。
二、等差数列的前n项和公式：等差数列的前n项和公式为：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 +a_n)$。
在计算等差数列前n项和的过程中，考生容易犯的错误有：1. 弄混首项和末项。
求前n项和的公式中，首项$a_1$和末项$a_n$都是需要用到的。
考生容易弄混这两个项，在计算过程中应该注意清楚。
2. 计算公式时漏写除以2。
前n项和的公式是$\\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，但考生在计算的时候经常漏写除以2的操作，导致结果错误。
3. 求前n项和时，考生有时对问题的理解不准确。
在一些应用题中，需要根据题目给出的条件和要求来求解前n项和。
考生如果对问题的理解不准确，很容易在计算过程中出错。
三、等比数列的通项公式：等比数列是指数列中任意两项之间的比值相等的数列。
它的通项公式为：$a_n = a_1 \\times q^{(n-1)}$。
对于等比数列来说，考生容易犯的错误有：1. 弄混公比和公差。
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寒假作业(十) 等差、等比数列(注意命题点的区分度)一、选择题1．已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝8，则a 3a 4a 5＝( ) A ．±64 B ．64 C ．32D ．16解析：选B 由等比数列的性质可知a 2·a 6＝a 24＝16，而a 2，a 4，a 6同号，所以a 4＝4，所以a 3a 4a 5＝a 34＝64. 2．已知等差数列{a n }中，a 1＝－12，S 13＝0，则使得a n >0的最小正整数n 为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选B 由已知得S 13＝a 1＋a 132＝13a 7＝0，故a 7＝0，又a 1＝－12<0，故使得a n >0的最小正整数n 为8.3．已知S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2＋a 3a 1＝( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：选C 设数列{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，故(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得d ＝2a 1，所以a 2＋a 3a 1＝2a 1＋3d a 1＝8a 1a 1＝8，选C. 4．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．2解析：选D 由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.5．(2018届高三·吉林实验中学摸底)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若6a 3＋2a 4－3a 2＝5，则S 7＝( ) A ．28 B ．21 C ．14D ．7解析：选D 法一：由6a 3＋2a 4－3a 2＝5，得6(a 1＋2d )＋2(a 1＋3d )－3(a 1＋d )＝5a 1＋15d ＝5(a 1＋3d )＝5，即5a 4＝5，所以a 4＝1，所以S 7＝a 1＋a 72＝7×2a 42＝7a 4＝7，故选D.法二：由6a 3＋2a 4－3a 2＝5，得6(a 4－d )＋2a 4－3(a 4－2d )＝5，即5a 4＝5，所以a 4＝1，所以S 7＝a 1＋a 72＝7×2a 42＝7a 4＝7，故选D. 6．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *，但{a n }不是等比数列，因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时，有a n a n －1＝2，n ≥2，n ∈N *，即a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *，所以必要性成立．故选B. 7．(2017·福州质检)设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( ) A ．5 B ．6 C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项， 所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ， 所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]， 所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9或k ＝0(舍去)，故选C.8．设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：选A 由题可得{a n }的公差d ＝3－74－2＝－2，a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，可见{a n }是递减数列，且a 5>0>a 6，a 5＋a 6＝0，于是S 9＝2a 52·9>0，S 10＝a 5＋a 62·10＝0，S 11＝2a 62·11<0，故使得S n >0成立的最大的自然数n 为9. 9．已知{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．(－7，－6)C ．(－8，－6)D ．(－6，－5)解析：选A b n ＝1＋a n a n ＝1a n ＋1，∵对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，∴1a n ≥1a 8，又∵{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0，a 9>0，即a ∈(－8，－7)．10．(2018届高三·江西九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tanb 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1 B.22C ．－22D ．－ 3解析：选D ∵{a n }是等比数列，{b n }是等差数列， 且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π， ∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3，∴tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 61－a 26＝tan2×7π31－32＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3. 11．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立．若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f －2－a n(n ∈N *)，则a 2 017的值为( ) A ．4 033 B ．3 029 C ．2 249D ．2 209解析：选A 根据题意，不妨设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则a 1＝f (0)＝1，∵f (a n ＋1)＝1f －2－a n，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝2n －1，∴a 2 017＝4 033.12．已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( ) A ．29B ．210C ．211D ．212解析：选C 由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝2b 1b 2b 3·…·b 20.又{b n }为等比数列， ∴a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)·…·(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211. 二、填空题13．(2017·北京高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2， 所以a 2b 2＝1. 答案：114．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由题意得a 1－1＝1,3a n ＋1－3a n ＝12，即a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4，∴数列{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列，∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2.答案：4n －215．如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差构成等比数列，我们就称其为“差等比数列”．已知数列{a n }是差等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，则a 10＝________.解析：设b n ＝a n ＋1－a n ，则b 1＝a 2－a 1＝2，b 2＝a 3－a 2＝4，又数列{b n }为等比数列，所以b n ＝2n，从而a 10＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b 9＝1＋2＋22＋…＋29＝210－1＝1 023.答案：1 02316．(2017·兰州诊断)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2 017＝________.解析：当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n －S 2n ＝－S n S n －1，∴2S n －2S n －1＝1， 又2S 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，∴2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 017＝11 009. 答案：11 009三、解答题17．(2017·广西三市一联)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 42n －1＋1＝n ＋12，则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12， ∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n n －2d ＝n 2＋3n4.18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝4S n －1(n ∈N *)． (1)证明：a n ＋2－a n ＝4；精品(2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：∵a n a n ＋1＝4S n －1， ∴a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－1， ∴a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 又a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝4.(2)由a n a n ＋1＝4S n －1，a 1＝1，得a 2＝3.由a n ＋2－a n ＝4知数列{a 2n }和{a 2n －1}都是公差为4的等差数列， ∴a 2n ＝3＋4(n －1)＝2(2n )－1，a 2n －1＝1＋4(n －1)＝2(2n －1)－1，∴a n ＝2n －1.19．(2017·北京高考)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 1＝1，b 2b 4＝a 5，所以b 1q ·b 1q 3＝9. 解得q 2＝3. 所以b 2n －1＝b 1q2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12.20．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m . 解：(1)因为{a n }是等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝84， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，即a 4＝28，设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d ，得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8，n ∈N *. (2)对任意m ∈N *，若9m <a n <92m， 则9m＋8<9n <92m ＋8， 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1，故得b m ＝92m －1－9m －1，于是S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m精品＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝－81m1－81－－9m1－9＝92m＋1－10×9m＋180.。