11-7_8 非对称弯曲应力
北京科技大学材料力学C选择试题及答案
材料力学试题及答案一、单项选择题1. 截面上的全应力的方向（ ）A 、平行于截面B 、垂直于截面C 、可以与截面任意夹角D 、与截面无关 2. 脆性材料的延伸率（ ）A 、小于5%B 、小于等于5%C 、大于5%D 、大于等于5%3. 如图所示简支梁，已知C 点转角为θ。
在其它条件不变的情况下，若将荷载F 减小一半，则C 点的转角为（ ） A 、0.125θ B 、0.5θ C 、θ D 、2θ4.危险截面是（）所在的截面。
A 、最大面积B 、最小面积C 、最大应力D 、最大内力 5. 图示单元体应力状态，沿x 方向的线应变εx 可表示为（ ） A 、E yσ B 、)(1y x Eμσσ- C 、)(1x y E μσσ- D 、Gτ 6. 描述构件上一截面变形前后的夹角叫（A 、线位移B 、转角C 、线应变D 、角应变7. 塑性材料的名义屈服应力使用（ ）A 、σS 表示B 、σb 表示C 、σp 表示 D 、σ0.2表示 8.拉（压）杆应力公式A F N=σ的应用条件是（）A 、应力在比例极限内B 、应力在屈服极限内C 、外力合力作用线必须沿着杆的轴线D 、杆件必须为矩形截面杆9.下列截面中，弯曲中心与其形心重合者是（）A 、Z 字形型钢B 、槽钢C 、T 字形型钢D 、等边角钢10. 如图所示简支梁，已知C 点转角为θ。
在其它条件不变的情况下，若将杆长增加一倍，则C 点的转角为（ ）A 、2θB 、4θC 、8θD 、16θ二、填空题1. 用主应力表示的第四强度理论的相当应力是 。
2. 已知自由落体冲击问题的动荷系数K d ，对应静载荷问题的最大位移为Δjmax ，则冲击问题的最大位移可以表示为 。
3. 图示木榫联接。
横截面为正方形，边长为a ，联接处长度为2t 。
则木榫联接处受剪切面的名义切应力等于 。
4. 主平面上的切应力等于 。
5. 功的互等定理的表达式为 。
6.自由落体冲击问题的动荷系数为jd hK ∆++=211，其中h 表示 。
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
理论力学第七章梁的应力
WZ
IZ y max
圆截面
IZ
d 4 64
d 3 W Z 32
空心圆截面
IZ
D4
64
(14)
WZ
D3
32
(14)
矩形截面
IZ
bh 3 12
WZ
bh 2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ(b1 0h023b13h2)/(h0/2)
q=40kN/m
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.
k
d
o
k'
o'
y
最大切应力发生在中性轴上
maxFISzSb*z
4FS 3A
式中 A πd 2 为圆截面的面积. 4
4.圆环形截面梁
z
k
图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为
，环的平均半径为r0，由于 «r0 故可假设
z （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
d
o
k'
o'
y
（b）切应力的方向与圆周相切.
A
C
FAY
1.5m l = 3m
解：
B
x
FBY
FS 90kN
x
90kN 1. 绘制内力图
x
M
材料力学《第五章》弯曲应力
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
a
1
b
2
O z y
由变形的连续形可知：
从伸长到缩短的过程中，必存在一 层纵向纤维既不伸长也不缩短，保 持原来的长度。 中性层：由既不伸长也不缩短的纵 M 向纤维组成。 中性轴：中性层与梁横截面的交线。 中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。 a
1
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
b
2
3. 在伸长区，梁宽度减小， 在缩短区，梁宽度增加。 与轴向拉、压时变形相似。
上海交通大学
O z y
二、假设 1. 梁弯曲平面假设 梁弯曲变形后，横截面仍保持为平 面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直， 只是绕该截面内某轴转过一个微小 M 角度。 2. 单向受力假设 设想梁由许多层纵向纤维组成，弯 曲时各纵向纤维处于单向受拉或单 向受压状态。 由实验现象和假设可推知： 弯曲变形时： 靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短； 靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。
O1Biblioteka 1dqr2
O2
M
a
1
y
b
2
中性层下方，y 为正值， s 也为正值，表示为拉应力； 中性层上方，y 为负值， s 也为负值，表示为压应力。 y =0 (中性轴上)，s = 0 ； y |max (上、下表层)， s max 。
由(b)式可得s 的分布规律，但因r 的数值未知，中性轴的位置未确定， y 无从算起，所以仍不能计算正应力，用静力学关系解决。
第十二章 非对称弯曲
对称弯曲
非对称弯曲
Page 2
第十二章 平面图形的主形心轴
非对称弯曲与特殊梁
z
0
y z dA
截面的惯性积 I yz
A
yzdA
z
截面的主轴 I yz
A
yzdA 0
截面的主形心轴： y
y
当坐标系的原点位于截面形心时， 相应的主轴称为截面的主形心轴
Page 3
第十二章 非对称弯曲的正应力分析
0
b
3FSy1b 2 h(h 6b1 )
切向微内力的合力作用点位置：
根据合力矩定理(对C’取矩）：
FSyez F1h
F1h 31b 2 ez FSy h 6b1
Page16
第十二章 Fsy ez
非对称弯曲与特殊梁
Me C
x
z
F F y
要使梁 z 轴发生平面弯曲，外力必须通过截面上剪力 的作用点，并与y轴平行。 如果外力加在形心C处，则必须附加一力偶Me方能使梁 保持平面弯曲，若没有该附加力偶，则梁发生反向扭转
非对称弯曲与特殊梁
y和z轴为主形心轴 弯矩矢量Mz沿z轴方向
先研究一个特殊的非对称弯曲：
中性轴
Mz C z
试验表明：平面假设和单向受力假设 仍然成立
那么，截面上一定存在中性轴，方位？
y
变形几何关系，胡克定律 E E
——中性层曲率半径
Page 4
第十二章
中性轴
Mz C y z
max
FS πR0
Page13
第十二章
非对称弯曲与特殊梁
一些薄壁截面梁的平面弯曲条件下的剪流分布
非对称齿廓齿轮弯曲疲劳强度理论分析与试验
万方数据 万方数据 万方数据２００８年ｌＯ月肖望强等：非对称齿廓齿轮弯曲疲劳强度理论分析与试验４７Ｅ要骥葛｛《罄趣锤蓝图２工作齿侧齿根过渡曲线对应弯曲应力示意图不同工作齿侧压力角的齿根应力分布如图３所示，图３中的曲线描述了在工作齿侧的过渡曲线部分齿根弯曲应力的变化。
由图３可以清楚看出，曲线的拐点处就是齿根危险断面，也即齿根弯曲应力最大值处。
随着工作齿侧分度圆压力角的增大，非对称齿轮齿根最大弯曲应力值减小；同时齿根的危险断面越来越向下移，而且越来越靠近过渡曲线的起始点，离渐开线齿侧越来越近。
当翰＝３５０时，危险断面离工作齿侧渐开线终点很近，齿根弯曲应力很快就达到了最大值；当ａ钮＝４００时，过渡曲线起点处即为齿根危险界面。
芒蒌占Ｒ毯鲁｛缸．警魍工作齿侧横坐标ｘ／ｍｍ图３不同工作齿侧压力角的齿根应力分布图图４为非对称齿轮齿根应力随压力角、齿数及齿宽变化图，从图４上可以看出，随着压力角与齿宽的增大，非对称齿轮齿根应力随之降低；随着压力角与齿数的增大，非对称齿轮齿根应力也随之降低。
图４非对称齿轮齿根应力随压力角、齿数及齿宽变化图３非对称齿轮强度有限元法计算方法解析法有一定近似性，结果一般偏于保守，而用有限元法计算非对称齿轮齿根应力既方便又准确。
３．１有限元模型的建立根据非对称齿轮两侧的齿廓渐开线方程以及齿根过渡曲线方程，用ＭＡＴＬＡＢ语言编制了生成非对称渐开线齿轮齿形的计算机程序。
该程序适用于任何模数、齿数、压力角的对称与非对称渐开线齿轮。
该程序将基本参数存放在一个数据文件之中，便于修改，以生成满足不同需要的齿轮齿廓。
有限元模型的几何参数与解析法选用的数据相同。
当输入初始参数运算完毕后，将得到的坐标结果输入到ＡＮＳＹＳ前处理模块中，产生齿轮的几何模型。
本文将非对称渐开线齿轮划分为映射网格，由于载荷和齿根拉应力都出现在工作齿面，因此将工作齿面的网格细化，优化后的单元可以较好地模拟齿根应力。
３．２轮齿的约束条件和边界处理当轮齿受力时，齿轮体不可能是绝对刚性，与轮齿相连部分也有变形，当离齿根的深度大于或等 万方数据机械工程学报第４４卷第ｌＯ期于模数的４．５倍时基本上不再受影响【２‘，可以近似看作该处的实际位移为零；另外，两侧齿间中点处的位移很小，也可以认为该处的实际位移为零，这样即可划定其零位移约束边界。
10 第十一章 非对称弯曲解析
第十一章 非对称弯曲
匀质直梁对称弯曲的回顾
3
第十一章 非对称弯曲
矩形截面互垂对称面弯曲变形的讨论
l
C
z
yP
挠度之比
变形面方位角
arctg
wz wy
arctg
Iz Iy
Pz Py
arctg
I I
z y
tg
一般 ，弯曲变形不发生在外力作用面内。
Iy
Iz
中性轴过截面形心
tan z I y Mz
y IzMy
12
第十一章 非对称弯曲
中性轴
a
Mz
C My
M
z
C b
z
y
y
tan z I y Mz
y IzMy 最大弯曲正应力位置？
是否是平面弯曲？
Myz Mz y
Iy
Iz
13
第十一章 非对称弯曲
弯曲
对称弯曲 非对称弯曲
0
y z
dA
yy
z
截面的惯性积
I yz
yzdA
A
z
截面的主轴
I yz
yzdA 0
A
截面的主形心轴：
当坐标系的原点位于截面形心时， 相应的主轴称为截面的主形心轴
7
第十一章 非对称弯曲
根据转轴公式
若 I y1z1 0, I y1 I z1
则对任意 , I yz 0, I y Iz
16
第十一章 非对称弯曲
§11-2 薄壁梁的弯曲切应力
工字形梁的弯曲切应力 腹板：//腹板侧边，均匀分布。
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
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得到轴向压力和附加力偶。
F 将偏心压力平移到截面形心后 轴力： N A
弯矩：M Fe
3 偏心压缩
横截面上任一点的正应力为：
F Fey A Iz
偏心距的大小决定横截面上应力的拉压性质。
例 11-9a
F = 10 kN，l = 2 m，e = l / 10， ， MPa。试选择工字钢型号
上海海事大学
11.7&8 非对称弯曲应力及拉弯组合
物流工程学院 刘 龙
VII 双对称截面梁的非对称弯曲
非对称弯曲 弯曲正应力分析 中性轴
3.3 内力分量
弯矩 剪力 扭矩
弯矩 剪力
轴力
1 非对称(斜)弯曲
载荷偏离纵向对称面
两个纵向对称面同时作用载荷
1 非对称(斜)弯曲
2 弯曲正应力分析
N M
F M max y A Iz
2 弯拉（压）组合分析
任一点的正应力沿截面线性变化; 中性轴不通过形心; 最大正应力出现在横截面顶部或底部边缘处。
如果横向位移与截面高度不能忽略，则轴向载荷的 附加弯矩不能忽略，须考虑横向力与轴向力的相互影响。
3 偏心压缩
外力作用线平等于杆轴但偏离截面形心的加载形式。
例 11-9b
1. 内力分析
轴向力Fc使梁受拉； y轴横向力Fy 附加力偶Me使梁产生弯曲变形。
Fc F cos 30; Fy F sin 30; M e Fx e
例 11-9c
2. 危险截面
横截面A为危险面。
例 11-9c
2. 截面型号初选 最大正应力须满足：
max
My Wy
Mz Wz
例 11-8
起重机大梁为 20a 号工字钢， l=4m 。被吊物体偏离 纵向垂直对称面一个角度5，F=20KN。 试计算梁内的最大弯曲正应力。
例 11-8
1. 外力分解
Fy F cos 19.9kN Fz F sin 1.7kN
2. 弯矩最大值 当载荷位于跨度中点时，弯矩值最大； Fy l M z ,max 19.9kN m 4 Fz l M y ,max 1.7kN m 4
例 11-8
3. 抗弯截面系数 查型钢表得，No.20工字钢的系数为：
Wy 3.15 104 mm 3 Wz 2.37 105 mm 3
4. 最大弯曲正应力
max
Mz 139.4 MPa Wy Wz
My
例1
起 重 机 大 梁 截 面 为 实 心 圆 轴 ， 直 径 为 120mm ， l=4m。被吊物体偏离纵向垂直对称面一个角度5， F=20KN。试计算梁内的最大弯曲正应力。
W W y Wz
d
3
32
4. 最大弯曲正应力
max
M M
2 y
2 z
W
32 M M
2 y
2 z
d
3
118MPa
VII 弯拉(压)组合
弯拉(压)组合 偏心压缩
1 弯拉(压)组合
同时作用轴向力与横向力 偏心拉伸
（横向载荷＋轴向载荷）
（外力平行且偏离轴线）
1 弯拉(压)组合
FNA M A [ ] A Wz
考虑最大弯曲正应力一般大于轴向拉伸应 力，因此可先按弯曲强度初步设计，然后根据弯 拉组合校核强度。
MA [ ] Wz
例 11-9d
3. 截面型号初选
按弯曲强度初步设计
MA [ ] Wz
MA Wz 5.17 10 5 m4 [ ]
例1
1. 外力分解
Fy F cos 19.9kN Fz F sin 1.7kN
2. 弯矩最大值 当载荷位于跨度中点时，弯矩值最大； Fy l M z ,max 19.9kN m 4 Fz l M y ,max 1.7kN m 4
例1
3. 抗弯截面系数
梁截面的弯矩：
M y Fz x; M z Fy x
k点的弯曲正应力为：
N
Myz Iy
Mz y Iz
3 中性轴
1）弯曲正应力沿横截面线性分布 2) max 发生在离中性轴最远之点处
3 中性轴
横截面上各点沿法向画出弯曲正应力的矢量， 该矢量末端组成的平面与横截面的交线
最大弯曲正应力发 生在距中性轴最远处：
Fy、Fz 分别使梁在x y、x z平面内发生对称弯曲
1 非对称(斜)弯曲
Fz M y Fz l
压应力区
z y
1 非对称(斜)弯曲
Fy M z Fy l
压应力区
1 非对称(斜)弯曲
Fz
最大拉应力点 拉应力叠加区
Fy
压应力叠加区
最大压应力点
拉、压应力共同作用区
2 弯曲正应力分析
P
h
1 弯拉(压)组合
P q
h
水坝
1 弯拉(压)组合
2 弯拉（压）组合分析
内力－FN，M(x)
轴力对应的正应力均匀分布: 弯矩引起的正应力线性分布:
F N A
Mmaxy M Iz
2 弯拉（压）组合分析
c ,max N M t ,max N M
选 №12.6, Wz=7.75×10-4 m4 , A=1.81×10-3 m2
4. 校核
max
FNA M A 111.5 MPa [ ] 满足强度要求 A Wz作业Fra bibliotek11-22
自选：11-23
上海海事大学