2020寒假高三数学二轮复习微专题6 与不等式相关的三角最值问题
2020届高考数学二轮复习专题《可转化为基本不等式的三角最值问题》
＝23π，
所以
S△
ABC
＝
1 2
absinC
＝
3 4 ab
＝
3 12
c，可得
c ＝ 3ab ， 所 以
cosC＝ຫໍສະໝຸດ －1 2＝
a2＋b2－c2 2ab
＝
a2＋b22a－b9a2b2≥2ab－2a9ba2b2，即 ab(3ab－1)≥0，可得 ab≥13，当且仅当 a＝b＝ 33时，等号成
立，即 ab 的最小值是13.
的面积 S＝123c，则 ab 的最小值为________．
1 3
因为 2ccosB＝2a＋b，由正弦定理可得：2sinCcosB＝2sinA＋sinB，可得 2sinCcosB
＝2sin(B＋C)＋sinB，
即 2sinBcosC＝－sinB，因为在△ ABC 中，sinB≠0，可得 cosC＝－12，在△ ABC 中可得 C
运用基本不等式求三角形中的最值、范围问题主要有：求角或边的最值或范围； 求某个三角函数值或某个含有三角函数的代数式的最值或范围问题，解题思路一般是先 从已知条件出发，求出关于三边的约束条件，然后利用此条件，结合基本不等式的解题 技法求出相应的最值或范围.
在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c, 且 2ccosB＝2a＋b，若△ ABC
1 2
由题意可得：2csoinsBB＋csoinsCC＝cossBincBosC＋cossCincCosB， 即：2(sinBcosC＋sinCcosB)＝sinB＋sinC，即 2sin(B＋C)＝sinB＋sinC 故 2sinA＝sinB＋sinC，由正弦定理可得：2a＝b＋c， 由余弦定理有：cosA＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋c22－bc(b＋2 c)2＝3(4b×2＋2bcc2)－14≥34××22bbcc－14＝12. 当且仅当 b＝c 时等号成立．据此可得 cosA 的最小值为12.
微专题6 与不等式相关的三角最值问题
而 2ab≤a2＋b2＝8－2c2⇒ab≤4－2c2， 1 所以 S△ABC≤2
2 2 8 － 3 c 2 2 4－ c － 4
2 2 5 c ＋ 16 － 5 c 2 5 1 2 1 8 2 2 ＝4 c 16－5c ≤4× ＝ 5 ，当且仅当 a＝b，c ＝5 2 5
1 当 a＝b 时取等号，所以 cosC 的最小值为2.
2．在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，若 a＝ 3， π A＝3，则 b＋c 的最大值为 2 3 .
2 2 π b ＋c －3 解析：由余弦定理得 cos3＝ 2bc ，整理得 b2＋c2＝3＋bc，则有(b c ＋ b 2 2 2 ＋c) ＝3＋3bc≤3＋ ，即 ( b ＋ c ) ≤12，所以 2
微专题6
与不等式相关的三角最值问 题
1．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2＋b2＝2c2， 1 则 cosC 的最小值为 2 .
2 2 2 2 2 a ＋ b － c a ＋ b 2ab 1 2 2 2 解析：由 a ＋b ＝2c ，得 cosC＝ 2ab ＝ 4ab ≥4ab＝2，当且仅
2
2
5 3 因为 PB ＋PC ＝3，所以 cosα＋cosβ＝ 6 .设 sinα－sinβ＝t，两式
2 2
1 1 2 平方相加得 cos(α＋β)＝24＋t ≥24，当且仅当 t＝0，即 sinα＝sinβ 时取 1 5 23 等号，此时 cosA＝cos(α＋β)的最小值为24，即 sinA 的最大值为 24 ， 1 5 23 所以 S△ABC＝2AB· AC×sinA≤ 16 .
(2)由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab a＋b2 ＝4－3ab，又因为 ab≤ 4 ＝1，当且仅当 a＝b＝1 时等号成立，所 以 c2＝4－3ab≥1，即 c≥1，故 c 的最小值为 1.
微专题6 与不等式相关的三角最值问题
与不等式相关的三角最值问 题
热点追踪
不等式是解决最值问题的重要方法， 有关三角最值问题是高考的热 点和难点， 解决此类问题的关键是将所求量转化为单一变量的函数或者 双变量的表达式(后者必须找到这两个变量的关系式)，从而考虑采用不 等式的方法求最值.
Байду номын сангаас
例题：(2016· 江苏卷)在锐角三角形 ABC 中，若 sinA＝2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 8 .
3b2· 4c2 － 2bccosA ＝
8（2 3－cosA） 8（2 3－cosA） bc 4 3－2cosA ＝ .令 f (A)＝ ，A∈(0， sinA sinA 8（1－2 3cosA） 1 11 π)， f′(A)＝ ， 令 f′(A)＝0， 解得 cosA＝ ， sinA＝ ， sin2A 2 3 2 3 由单调性可知此时 f (A)取得最小值为 8 11.当且仅当 3b＝2c 且 cosA＝ 1 2 3 时取等号，则 a ＋2b ＋3c 的最小值为 8 11.
变式 1(2018· 浙江模拟)若△ ABC 的内角满足 sinA＋ 2sinB＝2sinC，求 cosC 的最小值．
6－ 2 答案： 4 .
解析：设△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则由正 弦定理得 a＋ 2b＝2c，
a2＋b2－c2 所 以 cosC ＝ ＝ 2ab 2ab 3 2 1 2 2 2 4a × b － ab 6－ 2 2 2 3 2 1 2 2 a ≥ ＝ 4 ， 当且仅当4a ＝2b 时， 即b＝ 时等号 2ab 3 6－ 2 成立，所以 cosC 的最小值为 4 . a＋ 2 2 a ＋b － 2
微专题6 与不等式相关的三角最值问题答案
微专题6例题1 答案：8.解析：由sin A ＝sin (π－A)＝sin (B ＋C)＝sin B cos C ＋cos B sin C ，sin A ＝2sin B sin C ，可得sin Bcos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C.由三角形ABC 为锐角三角形，则cos B ＞0，cos C ＞0，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C.又tan A ＝－tan (π－A)＝－tan (B ＋C)＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ，则tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ，由A ，B ，C为锐角可得tan A ＞0，tan B ＞0，tan C ＞0，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， 即tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ，即tan B ＝2＋2，tan C ＝2－2，tan A ＝4(或tan B ，tan C 互换)时取到等号，因此tan A tan B tan C 最小值为8.变式联想变式1 答案：6－24. 解析：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ≥234a 2×12b 2－22ab 2ab＝6－24，当且仅当34a 2＝12b 2时，即a b ＝23时等号成立，所以cos C 的最小值为6－24. 变式2 答案：811.解析：由S ＝12bc sin A ，得bc ＝4sin A .又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2＋2b 2＋3c 2＝3b 2＋4c 2－2bc cos A ≥23b 2·4c 2－2bc cos A ＝bc ()43－2cos A ＝8（23－cos A ）sin A .令f(A)＝8（23－cos A ）sin A，A ∈(0，π)，f ′(A)＝8（1－23cos A ）sin 2A ，令f′(A)＝0，解得cos A ＝123，sin A ＝1123，由单调性可知此时f(A)取得最小值为811.当且仅当3b ＝2c 且cos A ＝123时取等号，则a 2＋2b 2＋3c 2的最小值为811.串讲激活串讲1 答案：3.解析：设∠CBA ＝α，AB ＝BD ＝a ，则在△BCD 中，由余弦定理可知CD 2＝2＋a 2＋22sin α，在三角形ABC 中，由余弦定理可知cos α＝a 2＋122a ，可得sin α＝－a 4＋6a 2－122a ，所以CD 2＝2＋a 2＋－a 4＋6a 2－1，令t ＝2＋a 2，则CD 2＝t ＋－t 2＋10t －17＝t ＋－（t －5）2＋8≤2·（t －5）2＋[－（t －5）2＋8]＋5＝9，当(t －5)2＝4时等号成立．∴CD 的最大值为3. 串讲2答案：(1)π3；(2)2.解析：(1)由条件可知a(sin A －sin B)＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab ，又由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ∈(0，π)，得C ＝π3.在△ABC 中可(2)由mtan C＝1tan A＋1tan B ，可得m ＝)tan 1tan 1(B A +tan C ，即m ＝sin Ccos C )sin cos sin cos (A B B A +＝sin C cos C×cos A sin B ＋cos B sin A sin A sin B ＝sin C cos C ×sin C sin A sin B .由正、余弦定理可得m min ＝c 2ab ×1cos C ＝2c 2ab ＝2（a 2＋b 2－ab ）ab ＝2)1(-+baa b ≥2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以实数m 的最小值为2.新题在线答案：(1)S ＝a )sin 2cos 334(+-αα，α∈)32,3(ππ；(2)AD ＝5＋510时，S 最小．解析：(1)在△ABD 中，由正弦定理得1sin α＝BD sinπ3＝AD sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，所以BD ＝32sin α，AD ＝3cos α2sin α＋12，则S ＝a )21sin 2cos 3(+αα＋2a )]21sin 2cos 3(1[+-αα＋4a )sin 23(α＝a )23sin 2cos 334(+-α，由题意得α∈)32,3(ππ. (2)令S′＝3a·1－4cosαsin 2α＝0.设cos α0＝14.所以当cos α＝14时，S 最小，此时sin α＝154，AD ＝3cos α2sin α＋12＝5＋510.。
【高考数学大题精做】专题06 三角形中的最值问题(第一篇)(含答案详解)
1 / 26第一篇 三角函数与解三角形专题06 三角形中的最值问题【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-=（1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域． 【思路引导】 （1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】2 / 26在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】3 / 26已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值． 【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ； （2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解.【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】4 / 26已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-u r ，(2,0)n =r. （1）若23B π=，求m u r 与n r 的夹角θ； （2）若||1,m b ==r，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】 （1）将23B π=代入可求得m u r .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅u r r ,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =r 及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】5 / 26如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）； （2）求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】6 / 26已知ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. （1）求B ； （2）设b =ABC V 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 22A C C =⋅⋅-，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】7 / 26ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围． 【思路引导】（1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.8 / 261. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC V 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ； （2）已知3C π=，当ABC V 的面积取得最大值时，求ABC V 的周长.3. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求A ； （2）若a =b c +的最大值.5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-r ，(1,cos cos )n a C c A =+r，且//m n r r.（1）求角C 的大小； （2）若c =ABC ∆的周长的取值范围.6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.9 / 26（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD V 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211mr r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值. 7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】 在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =u u u r u u u u r ，求a 的最小值．9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=． （1）求角B 的值； （2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．11. ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆o的面积为 （1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=o ，求DEF ∆面积的最小值.10 / 26第一篇 三角函数与解三角形专题08 三角形与平面向量结合问题【典例1】【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且有()2cos cos cos sin sin A A C B B C +-=（Ⅰ）求角A ；（Ⅰ）若ABC ∆的内切圆面积为π，当AB AC ⋅u u u v u u u v的值最小时，求ABC ∆的面积． 【思路引导】（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为2cos sin sin sin sin A B C C B =，从而求得1cos 2A =；结合()0,A π∈可求得结果；11 / 26（Ⅰ）根据内切圆面积可知内切圆半径为1，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到b c a +-=入余弦定理中可得到b c +与bc 的关系，利用基本不等式可构造不等式求得12bc ≥，从而得到当b c =时，AB AC ⋅u u u v u u u v取得最小值，将12bc =代入三角形面积公式即可求得结果.解：（Ⅰ）()()()2cos cos cos cos cos cos A A C B A B C C B +-=-++-⎡⎤⎣⎦Q()cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos sin sin A B C B C C B C B A B C =-+++= 2cos sin sin sin sin A B C C B ∴=(),0,B C π∈Q ，sin sin 0C B ∴≠ ，1cos 2A ∴=， ()0,A π∈Q ，3A π∴=。
【2020高考数学】 三角形中的最值问题专项复习
【2020高考数学】 三角形中的最值问题专项复习1.与解三角形相关的结论 (1)在△ABC 中,A>B ⇔ .(2)在锐角三角形ABC 中,A+B>,sin A> .,cos A< .(3)在钝角三角形ABC 中,设C 为钝角,则A+B<,sin A< .,cos A> . (4)在△ABC 中,=||||cos C=abcos C=ab·.2.基本不等式与余弦定理的联系性：222()2a b a b ab +=+-a 2+b 2≥2ab 与ab≤，222()22a b a b ++≥1.边的角度：三边变两边，借助基本不等式求最值；2.角的方向：正弦定理边化角，三角化一角然后借助三角函数有界性求范围；3.函数观点：引入变量，明确变量的范围，建立函数关系式，利用求导等方法求范围；4.结构转化：化简结构，把多元减少为二元或者一元，然后借助对应方法求解.解决与三角形相关的范围问题的方法例(1) ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且满足2a =， ()cos 2cos a B c b A =-． （1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．2.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0a b C c B ++=． （1）求角C 的大小；（2）求sin cos A B 的取值范围．一、单选题1．（2020·黑龙江高三（理））设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，在ABC V 中，6BC =,60BAC ∠=︒,则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2020·山西高三（理））在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c+=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）AB ．2C ．1D ．3．（2018·河南高考模拟（理））已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a ac =+，则()2sin sin AB A -的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．1,22⎛ ⎝⎭C ．1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．0,2⎛ ⎝⎭4．（2019·安徽高三月考（理））阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）AB C ．43D ．535．（2019·长沙市明德中学高三开学考试（理））已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2+c 2﹣bc ，a ＝3，则△ABC 的周长的最大值为（ ）A ．B ．6C D ．96．（2019·山西太原五中高三月考）在ABC ∆中，若23()2||CA AB CB AB AB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则1tan tan A B+的最小值为（ ）A B ．CD ．27．（2019·河南高三月考（理））在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，则C 的取值范围为（ ）A ．(0,)4πB ．(,)62ππ C ．(,)63ππD ．(,)64ππ8．（2019·吉林高三月考（理））ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若b =ABC ∆的面积为)222=+-S a c b ，则a c +的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．（2019·黑龙江鹤岗一中高三月考（理））锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B =2A ，则asinAb 的取值范围是（ ）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．12⎛⎝⎭D ．12⎫⎪⎪⎝⎭10．（2019·重庆南开中学高三月考（理））在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2cos c a a B -=，则3a cb+的最小值为（ ）AB C ．D ．311．（2019·安徽高考模拟（文））已知锐角ABC V 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，三角形ABC 的面积1ABC S =△，则22a b +的取值范围为( )A ．17,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．()9,+∞C ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．17,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．（2019·四川高三月考（文））已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,若c =，则ABC △的周长的最大值为（ ）A ．B ．3+C ．D ．3+13．（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为,,a b c ，若4ac =，sin 2sin cos 0B C A +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．1BC ．2D ．4二、填空题14．（2019·河北高三月考（文））已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，且2222a a bcosB b c ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则b +c 的取值范围为_____．15．（2019·安徽高三期末（理））在ABC ∆中，已知22cos 2A A =，若a =，则ABC ∆周长的取值范围为__________．16．（2019·重庆高三月考（理））在ABC ∆中，4BC =，sin 2sin C B =，则当ABC ∆的面积取得最大值时，BC 边上的高为______.17．（2019·江西高三月考（理））设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________. 18．（2019·广东高考模拟（文））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 19．（2019·辽宁沈阳二中高三月考（理））已知ABC ∆为锐角三角形，满足()222sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-，ABC ∆外接圆的圆心为O ，半径为1，则()A AB ACO +⋅u u u r u u u r u u u r 的取值范围是______.【2020高考数学】 三角形中的最值问题专项复习例(1)ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且满足2a =， ()cos 2cos a B c b A =-．（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．【答案】解：（1）由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=． 2ccosA acosB bcosA +=由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=2sinCcosA sinAcosB sinBcosA +=，即()sin 2sin cos A B C A += ()sin A B 2sinCcosA +=．因为()()sin sin sin A B C C π+=-=， ()()sin A B sin πC sinC +=-= 所以sin 2sin cos C C A =． sinC 2sinCcosA = 因为sin 0C ≠ sinC 0≠，所以1cos 2A =． 因为0A π<<，所以π33A π=．（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 2222a b c bccosA =+- 得224bc b c +=+，即()234b c bc +=+．因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()()22344b c b c +≤++． 即4b c +≤（当且仅当2b c ==2b c == 时等号成立）． 所以6a b c ++≤．故△ABC 周长 a b c ++的最大值为6．2.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0a b C c B ++=． （1）求角C 的大小；（2）求sin cos A B 的取值范围．【答案】解：（1）因为()2cos cos 0a b C c B ++=，所以()2cos cos cos a C b C c B =-+， 由正弦定理得()()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C B C C B B C A =-+=-+=-， 因为在ABC ∆中sin 0A ≠，所以1cos 2C =-，所以23C π=．（2）由（1）知3A B π+=，所以033B A A ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，所以1sin cos sin cos sin cos 32A B A A A A A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 22sin 2423A A A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为03A π＜＜，所以2333A πππ--＜＜，此时1sin 223A π⎛⎫- ⎪⎝⎭＜，则10sin 223A π⎛⎫- ⎪⎝⎭＜sin cos A B 的取值范围为⎛ ⎝⎭．一、单选题1．（2020·黑龙江高三（理））设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，在ABC V 中，6BC =,60BAC ∠=︒,则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】ABC V 中，6BC =,60BAC ∠=︒，则62sin sin 60a r r A ===∴=︒max 6h R ==222222cos 36a b c bc A b c bc bc bc =+-=+-≥∴≤ ，1sin 2S bc A =≤当6a b c ===时等号成立，此时13V Sh ==，故选：B2．（2020·山西高三（理））在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c+=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）A B ．2C ．1D ．【答案】A【解析】因为222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c=-， 所以22sin sin ac BB b c=-，因为sin 0B ≠， 所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 可得2cos a c B c -=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-， 所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=， 得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC ∆是锐角三角形，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，得64C ππ<<，即tan C ∈，所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥-，当且仅当tan 2C =，取等号.故选:A 3．（2018·河南高考模拟（理））已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a ac =+，则()2sin sin AB A -的取值范围是（ ） A．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．1,22⎛⎝⎭ C．1,22⎛⎝⎭D．0,2⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】因为2()b a a c =+，所以22b a ac =+，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B a ac +-=+，所以2cos a a B c +=，由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=，因为()C A B π=-+， 所以sin 2sin cos sin()sin cos cos sin A A B A B A B A B +=+=+， 即sin sin()A B A =-，因为三角形是锐角三角形，所以(0,)2A π∈，所以02B A π<-<，所以A B A =-或A B A π+-=，所以2B A =或B π=（不合题意）， 因为三角形是锐角三角形，所以0,02,03222A A A ππππ<<<<<-<，所以64A ππ<<，则2sin 1sin (sin()2A A B A =∈-，故选C.4．（2019·安徽高三月考（理））阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A BC ．43D ．53【答案】C【解析】依题意，sin 2sin A B =，得2BC AC =，222222cos cos 222a c b b c a a B b A c c c+-+-+=+==即2AB =，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴 建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，设(,),0C x y x ¹， 由2BC AC =，则C 的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为22516(),039x y x -+=?，边AB 高的最大值为43，∴max 4()3ABC S ∆=.故选:C5．（2019·长沙市明德中学高三开学考试（理））已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2+c 2﹣bc ，a ＝3，则△ABC 的周长的最大值为（ ）A ．B ．6C D ．9【答案】D【解析】由题,222b c a bc +-=,即()22223a b c bc b c bc =+-=+-,()293b c bc ∴=+-,()2224b c b c bc ++⎛⎫≤=⎪⎝⎭Q , ()()()22231944b c b c b c +∴≥+-=+,即()236b c +≤,则6b c +≤,当且仅当b c =时取等,()()max 369ABC C a b c ∴=++=+=V ,故选：D6．（2019·山西太原五中高三月考）在ABC ∆中，若23()2||CA AB CB AB AB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则1tan tan A B+的最小值为（ ） AB．CD【答案】B【解析】设ABC △的内角A ，B ，C 所对应的三条边分别为a b c ，，， 则有3(?·)CA AB CB AB +=u u u r u u u r u u u r u u u r23(cos cos )2bc A ac B c -+=，由正弦定理得：()()3sinBcosA sinAcosB 22sin sinC A B -+==+ 展开可得sin cos 5cos sin A B A B =，所以tan 5tan A B =， 则1tan tan A B +=15tan tan B B +≥tan B =时，等号成立，故选B ．7．（2019·河南高三月考（理））在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，则C 的取值范围为（ ）A ．(0,)4π B ．(,)62ππ C ．(,)63ππD ．(,)64ππ【答案】D【解析】因为222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c =-，所以22sin sin ac BB b c=-，因为sin 0B ≠， 所以22b c ac =+.由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2cos a c B c -=， 再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=.因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-， 所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=，得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC △是锐角三角形，所以0,202,203,2C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩得64C ππ<<.故选：D.8．（2019·吉林高三月考（理））ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c，若b =ABC ∆的面积为)2224=-+-S a c b ，则a c +的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】由余弦定理可得：2222cos a c b ac B =+-，又)222=+-S a c b ，1sin cos 2∴=ac B B，因此tan B =23B π=.所以(22222222()32cos ()()()44+==+-=+-+-=+a c b a c ac B a c ac a c a c …，即223()4a c +…2()16a c ∴+…，即4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，故a c +的最大值为4. 故选：D9．（2019·黑龙江鹤岗一中高三月考（理））锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B =2A ，则asinAb 的取值范围是（ ） A．62⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．42⎛⎝⎭C．1,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭ D．1,62⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】∵2B A =，∴sin 22B sin A sinAcosA ==， 由正弦定理得2b acosA =，∴12a b cosA =，∴sin 122a A sinA tanAb cosA ==． ∵ABC ∆是锐角三角形，∴02022032A B A C A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，解得64A ππ<<，∴13tanA <<，∴11622tanA <<．即sina Ab的值范围是31,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭．故选D10．（2019·重庆南开中学高三月考（理））在ABC∆中，内角A B C，，所对的边分别为a b c，，，若2cosc a a B-=，则3a cb+的最小值为（）A．2B．3C．22D．3【答案】C【解析】因为2cosc a a B-=，由余弦定理可得：22222+--=⋅a c bc a aac，整理得：2=-bc aa，所以22322222++==+≥⋅=baa c ab a bab b b a b a，当且仅当2a bb a=，即2b a=时，取等号.故选：C11．（2019·安徽高考模拟（文））已知锐角ABCV的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1c=，三角形ABC的面积1ABCS=△，则22a b+的取值范围为()A．17,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．()9,+∞C．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．17,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】因为三角形为锐角三角形，所以过C作CD AB⊥于D，D在边AB上，如图：因为：112S ABC AB CD=⋅=V，所以2CD=，在三角形ADC中，2224AD AC CD b=-=-在三角形BDC中，2224BD BC CD a-=-1AD BD AB +==Q ，1=，222222224488(18a b a b ∴+=-+-+=++=++29=-()0,1Q ．设()0,1t 222229a t t b ∴=-++结合二次函数的性质得到：2217,92a b ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭．故选D ．12．（2019·四川高三月考（文））已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,若c =，则ABC △的周长的最大值为（ ）A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】C【解析】由正弦定理得()22a b a c b -⋅=-，222a b c ab +-=，所以222cos 122a b c C ab +-==，因为0πC <<，所以π3C =，由正弦定理求得4sin sin sin a b cA B C===.所以4sin 4sin a b c A B ++=++2π4sin 4sin 3A A ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭π6A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2π03A <<，故当π3A =时，周长取得最大值为=.故选：C.13．（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为,,a b c ，若4ac =，sin 2sin cos 0B C A +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．1 BC ．2D ．4【答案】A【解析】由正弦定理得：2cos 0b c A +=由余弦定理得：222202b c a b c bc+-+⋅=，即2222b a c =-22222222232cos 22442a c a c a cb ac B ac ac ac ac -+-+-+===≥=当且仅当23c =，23b =，2a = 0,6B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦,1sin 2B ∴≤则111sin 41222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=，所以ABC ∆面积的最大值1. 故选A . 二、填空题14．（2019·河北高三月考（文））已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，且2222a a bcosB b c ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则b +c 的取值范围为_____．【答案】)+∞【解析】4a =Q ，且222(cos )2a a b B b c -+=，2222cos a ab B b c ∴-+=，即2222cos a b c ab B +-=，又Q 由余弦定理可得2222cos a b c ab C +-=，∴可得2cos 2cos ab B ab C =，即cos cos B C =，B C ∴=，b c =，又A 为锐角，cos (0,1)A ∴∈， 4a =Q ，4b c ∴+>，设b c x ==，由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-，2221622cos 2(1cos )x x A x A ∴=-=-g ，∴2881cos x A=>-，∴x >2x >故b c +>)+∞．15．（2019·安徽高三期末（理））在ABC ∆中，已知22cos 23A A =，若a =，则ABC ∆周长的取值范围为__________．【答案】(4+【解析】由题意，22cos 112A A -=-，即cos 1A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=， 设ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥，（当且仅当b c =时取“=”）， 所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为()22212b c bc b c bc =++=+-，所以()2124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+又因为b c a +>，所以2a b c a ++>=即4a b c ++≤+故ABC ∆周长的取值范围为(+.16．（2019·重庆高三月考（理））在ABC ∆中，4BC =，sin 2sin C B =，则当ABC ∆的面积取得最大值时，BC 边上的高为______. 【答案】83.【解析】以线段BC 所在的直线为x 轴，以线段BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，如图所示：则()2,0B -，()2,0C ，因为sin 2sin C B =，所以2AB AC =设(),A x y =()221064039x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭则当ABC ∆面积取得最大值时，A 的坐标为108,33⎛⎫± ⎪⎝⎭，则BC 边上的高为83.故答案为：8317．（2019·江西高三月考（理））设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.【答案】34【解析】()cos cos A C B --Q ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，①又,,a b c Q 成等比数列，2b ac ∴=， 由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，②①-②得21sin cos cos sin sin 4B A C A C -=-()cos cos A C B =+=-， 21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==，由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A CB -=+=，0,AC A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD o ∆=⋅ ()()133222a a a =-=- ()2233444a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立．即ACD ∆18．（2019·广东高考模拟（文））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.19．（2019·辽宁沈阳二中高三月考（理））已知ABC ∆为锐角三角形，满足()222sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-，ABC ∆外接圆的圆心为O ，半径为1，则()A AB ACO +⋅u u u r u u u r u u u r的取值范围是______.【答案】722⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【解析】根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 将()222sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-转化为222sin 12cos 2b c a A bc A +-⋅=即1sin 2A =，又因A 为锐角，所以6A π=.所以()()2AB A OA OA OB OC A C O ⋅=+⋅+-u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r u r u u u r22OA OB OA OC OA =⋅+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r cos cos 2AOB AOC =∠+∠-cos2cos22C B =+-5cos 2cos 222B B π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭3cos 2222B B =-226B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为ABC ∆是锐角三角形，所以22B B A ππ⎧<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，所以32B ππ<<，得572666B πππ<+<，722262B π⎛⎫⎡⎫+-∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭故()A AB AC O +⋅u u u r u u u r u u u r的取值范围是722⎡⎫---⎪⎢⎣⎭.。
解三角形中的范围(最值)问题教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：解三角形中的范围(最值)问题教学设计一、教学内容分析在高中数学知识体系中，解三角形是一个基础知识点，也是高考的一个必考点。
在解三角形的题型中，考查正弦定理和余弦定理的应用，涉及最值和范围的问题相对较难，综合性也较强。
解三角形问题是高考高频考点，在解三角形中的求最值或范围问题是高三复习中的难点，这类问题常常在知识的交汇点处命题，其涵盖及关联三角函数、平面向量、平面几何、基本不等式、导数等多领域的知识。
近几年的高考突出以能力立意，加强对知识综合性的考查，故常常在知识的交汇处设计问题。
主要考查“三基”（基本知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，以选择题、填空题、解答题体现。
试题难度多为容易题和中档题，主要考查灵活变式求解计算能力，推理论证能力，数学应用意识，数形结合思想等。
而在解三角形中求解某个量（式子）最值或范围是命题的热点，又是一个重点，本节课通过近几年高考试题及模拟试题进行分析，对解三角形的范围(最值)进行优化归纳，并给出针对性巩固练习，以期求得热点难点的突破。
二、学情诊断分析授课对象为高三平行班学生。
本节课之前，学生已经学习了正余弦定理、基本不等式、三角函数、导数等有关内容，但是对于知识前后间联系、理解、应用综合性强的题有一定难度，学习起来比较吃力。
题目稍作变形就不会，独立分析、解决问题的能力有限。
但对一些简单数学规律和基本数学方法的学习，具有一定的基础。
本节课是针对他们在做此类型题目中能做但不能得全对的情形下做的一个探究归纳，使学生对此类问题有一个更高更深刻的认识掌握，解题能力有一个提升。
三、教学目标分析1.巩固正弦、余弦定理的应用，学会利用均值不等式、三角函数有界性和导数在处理范围问题中的应用；2.强化转化与化归的数学思想以及数形结合的数学思想，提高学生研究问题，分析问题与解决问题的能力。
四．教学重难点分析重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用，能运用正弦余弦和差角公式进行简单的三角函数的恒等变换，理解基本不等式、三角函数的图像与性质和导数简单应用。
微专题6与不等式相关的三角最值问题答案
微专题61．答案：12.解析：由a 2＋b 2＝2c 2，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 24ab≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时取等号，所以cos C 的最小值为12.2．答案：2 3.解析：由余弦定理得cos π3＝b 2＋c 2－32bc，整理得b 2＋c 2＝3＋bc ，则有(b ＋c )2＝3＋3bc ≤3＋⎝⎛⎭⎫c ＋b 22，即(b ＋c )2≤12，所以b ＋c ≤23，当且仅当b ＝c 时取等号．所以b ＋c 的最大值为2 3.3．答案：32.解析：由sin A sin(B －C )＝sin B sin C cos A ，得sin A (sin B cos C －cos B sin C )＝sin B sin C cos A ，由正弦定理可得ab cos C －ac cos B ＝bc cos A ，由余弦定理可得ab ·a 2＋b 2－c 22ab －ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc，化简得a 2＋b 2＝3c 2，又因为3c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，可得ab c 2≤32，所以ab c 2的最大值为32. 4．答案：255.解析：S △ABC ＝12ab sin C＝12ab 1－cos 2C ＝ 12（ab ）2－（a 2＋b 2－c 2）24＝12（ab ）2－（8－3c 2）24而2ab ≤a 2＋b 2＝8－2c 2ab ≤4－2c 2， 所以S △ABC ≤ 12（4－c 2）2－（8－3c 2）24＝14c 2（16－5c 2）≤ 14×5c 2＋（16－5c 2）25＝255，当且仅当a ＝b ，c 2＝85时取等号． 5．答案：52316.解析：设∠BAP ＝α，∠CAP ＝β，由余弦定理得PB 2＝4－23cos α，PC 2＝4－23cos β.因为PB 2＋PC 2＝3，所以cos α＋cos β＝536.设sin α－sin β＝t ，两式平方相加得cos(α＋β)＝124＋t 2≥124，当且仅当t ＝0，即sin α＝sin β时取等号，此时cos A ＝cos(α＋β)的最小值为124，即sin A 的最大值为52324，所以S △ABC ＝12AB ·AC ×sin A ≤52316.6．答案：100. 解析：由正弦定理得kb 2＋ac ＞19bc ，则k 大于19bc －acb 2的最大值.19bc －ac b 2＝（19b －a ）cb 2＜（19b －a ）（a ＋b ）b 2＝－⎝⎛⎭⎫a b －92＋100≤100.因此k ≥100，即k 的最小值为100.7．答案：(1)π3；(2)1.解析：(1)由正弦定理可得cos B cos C＝2a －b c＝2sin A －sin Bsin C ，可得cos B sin C＝(2sin A －sin B )cos C ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，sin A ＝2sin A cos C ，在△ABC 中，sin A ≠0，cos C ＝12，所以C＝π3. (2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝4－3ab ，又因为ab ≤（a ＋b ）24＝1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，所以c 2＝4－3ab ≥1，即c ≥1，故c 的最小值为1.8．答案：(1)16 5 m ；(2)①80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2；②当sin θ＝22－2时，绿化区域面积之和最大．解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．(1)直线PB 的方程为y ＝2x ，半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，由⎩⎨⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝402（y ≥0），得y ＝16 5.所以，点P 到AD 的距离为16 5 m.(2)①由题意，得P (40cos θ，40sin θ)．直线PB 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ＋1(x ＋40)，令y＝0，得x E ＝80cos θ＋80sin θ＋2－40＝80cos θ－40sin θsin θ＋2.直线PC 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ－1(x －40)，令y ＝0，得x F ＝80cos θ－80sin θ＋2＋40＝80cos θ＋40sin θsin θ＋2.所以，EF 的长度为f (θ)＝x F －x E ＝80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫80－80sin θsin θ＋2×80＝6400sin θ＋2，区域Ⅱ的面积为S 2＝12×EF ×40sin θ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫80sin θsin θ＋2×40sin θ＝1600sin 2θsin θ＋2，所以S 1＋S 2＝1600sin 2θ＋6400sin θ＋2⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2.设sin θ＋2＝t ，则2＜t ＜3，S 1＋S 2＝ 1600（t －2）2＋6400t ＝1600⎝⎛⎭⎫t ＋8t －4≥1600(28－4)＝6400(2－1)．当且仅当t ＝22，即sin θ＝22－2时“＝”成立．所以，休闲区域Ⅱ，Ⅳ，Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6400(2－1)m 2.答：当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ，Ⅲ，Ⅴ的面积之和最大．。
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微专题6与不等式相关的三角最值问题
不等式是解决最值问题的重要方法，有关三角最值问题是高考的热点和难点，解决此
例题：(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是________________．
变式1(2018·浙江模拟)若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，求cos C的最小值．
变式2(2018·盐城三模)设△ABC的面积为2，若角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则a2＋2b2＋3c2的最小值为________________．
串讲1在△ABC中，BC＝2，AC＝1，以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧)，当∠C变化时，线段CD长的最大值为________________．
串讲2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点(a，b)在直线x(sin A －sin B)＋y sin B＝c sin C上．
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形且满足m
tan C＝1
tan A＋
1
tan B，求实数m的最小值．
(2018·镇江期末)如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段，其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC长为1米，若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD是4a元/米．设∠ADB＝α，则制作整个支架的总成本记为S元．
(1)求S关于α的函数表达式，并求出α的取值范围；
(2)问AD段多长时，S最小？
(2018·扬州期末)如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P ，Q 分别在射线OA 和OB 上．经测量得，扇形OPQ 的圆心角(即∠POQ)为2π3
，半径为1千米．为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA ，OB 交于M ，N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，设∠POS ＝α(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计．
(1)试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围；
(2)试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值．
答案：(1)MN ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1
，其中π6＜α＜π2； (2)当α＝π
3
时，MN 长度的最小值为23千米． 解析：(1)因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN.在Rt △OSM 中，因为OS ＝1，
∠MOS ＝α，所以SM ＝tan α，在Rt △OSN 中，∠NOS ＝2π3－α，所以SN ＝tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α， 所以MN ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1
，4分 其中π6＜α＜π2.6分 (2)因为π6＜α＜π2，所以3tan α－1＞0，令t ＝3tan α－1＞0，则tan α＝33
(t ＋1)， 所以MN ＝33·⎝⎛⎭⎫t ＋4t
＋2，8分 由基本不等式得MN ≥33·⎝⎛⎭⎫2t ×4t ＋2＝23，10分 当且仅当t ＝4t 即t ＝2时取“＝”.12分 当时tan α＝3，由于π6＜α＜π2，故α＝π3
.13分 答：(1)MN ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1
，其中π6＜α＜π2. (2)当α＝π3时，MN 长度的最小值为23千米.14分。