带电粒子在电场中的直线运动

带电粒子在电场中的直线运动 例1：如图所示：在一对带电平行金属板所形成的匀强电场中，两板间距为d，两板间的电势差为U，带电量为+q，质量为m的粒子由A板静止释放。忽略带电粒子所受重力的影响，试分析带电粒子运动情况，有几种方法可以计算粒子到B板的速度。 拓展1：在上述装置中加上如图所的电压，其U-t图象如图。设A、B板的距离足够的大。试分析该粒子的运动情况。

例2. 如图示，水平放置的A、B两平行金属板相距为d，带有等量异种电荷，有一质量为m，带电量为+q的小球在B板之下h处以初速度为V0，竖直向上从小孔中射入电场，欲使小球不能射到A板，UAB应取何值？

d

h V0 ·+q 例3、如图9－4－11所示，为平行金属板，A．B两极相距为d， 分别与电源两极相连，两板的中央各有一小孔M和N。今有一带 电质点，自A板上方相距为d的P点由静止自由下落（P、M、N 在同一竖直线上）空气阻力忽略不计，到达N孔时的速度恰好为零， 然后沿原路返回。若保持两极板间的电压不变，则 （ ） A．把A板向上平移一小段距离，质点自P点自由下落后仍然返回 图9－4－11 B．把A板向下平移一小段距离，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落 C．把B板向上平移一小段距离，质点自P点自由下落后仍然返回 D．把B板向下平移一小段距离，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落 例4、N个长度逐个增大的金属圆筒和一个靶，它们沿轴线排列成一串，如图9—3—3所示(图中画出了六个圆筒，作为示意).各筒和靶相间地连接到频率为ν，最大电压值为U的正弦交流电源的两端.整个装置放在高真空容器中，圆筒的两底面中心开有小孔.现有一电量为q、质量为m的正离子沿轴线射入圆筒，并将在圆筒间及靶间的缝隙处受到电场力的作用而加速(设圆筒内部没有电场).缝隙的宽度很小，离子穿过缝隙的时间可以不计.已知离子进入第一个圆筒左端的速度为v1，且此时第一、二两个圆筒间的电势差U1-U2=-U.为使打在靶上的离子获得最大能量，各个圆筒的长度应满足什么条件?并求出在这种情况下打到靶子上的离子的能量.

UAB t T 2T U0

－U0 只有当离子在各圆筒内穿过的时间都为t=T/2=1/(2ν)时，离子才有可能每次通过筒间缝

隙都被加速.这样第一个圆筒的长度l1=v1t=v1/2ν.当离子通过第一、二个圆筒间的缝隙时，两筒间电压为U，离子进入第二个圆筒时的动能就增加了qU，所以

E2=mv22/2=mv12/2+qU,v2=mqUv/221.

第二个圆筒的长度l2=v2t=(mqUv/221)/2ν. 如此可知离子进入第三个圆筒时的动能E3=mv22/2+qU=mv12/2+2qU, 速度v3=mqUv/)4(21.

第三个圆筒的长度l3=(mqUv/)4(21)/2ν 离子进入第N个圆筒时的动能EN=mv12/2+(N-1)qU, 速度vN=mqUNv/)1(221, 第N个圆筒的长度 lN=(mqUNv/)1(221)/2ν 此时打到靶上离子的动能Ek=EN+qU=mv12/2+NqU. 本题可进一步思考：上面算出的筒长条件，实际上是离子在最短时间内获得最大能量的条件，当离子穿过每个圆筒的时间只要等于半周期的奇数倍，都能使离子获得最大能量.因此，第N个筒长lN的更一般表达式应为

lN=(2k-1)vN·2T=(2k-1)vvN2,

故lN=(2k-1)21)1(221vmqUNv 例5．静止在太空的飞行器上有一种装置，它利用电场加速带电粒子，形成向外发射的粒子流，从而对飞行器产生反冲力，使其获得加速度。已知飞行器的质量为M，发射的是2价氧离子，发射功率为P，加速电压为U，每个氧离子的质量为m，单位电荷的电量为e，不计发射氧离子后飞行器质量的变化，求： （1）射出的氧离子速度 （2）每秒钟射出的氧离子数 （3）射出氧离子后飞行器开始运动的加速度

〖解析〗（1）．以氧离子为研究对象，由动能定理：△eUqUmvEk22120

所以，氧离子的速度为：meUv2 （2）．设每秒钟射出的氧离子数为，则发射功率可表示为：P=N·△Ek=2NeU 所以，氧离子数为：N=P/2eU （3）．以氧离子和飞行器为系统，设飞行器的反冲速度为，由动量受恒定律： N△tmv－MV=0 ，即：N△tmv=MV

所以，飞行器的加速度为eUmMPMNmvtVa

例6．在图9－6－2（a）中，A和B表示在真空中相 距为d的两平行金属板。加上电压后，它们之间的电场可视 为匀强电场，图9－6－2（b）表示一周期性交变电压的波形， 横坐标代表时间t，纵坐标代表电压u。从t=0开始，电压为 一给定值U0，经过半个周期，突然变为－U0；再经过半个周 期，由突然变为U0……如此周期性地交替变化。

在t=0时，将上述交变电压u加在A、B两板上，使开始时A板电势比B板高，这时在紧靠B板处有一初速度为零的电子（质量为m，电量为e）,在电场作用下开始运动，要想使这电子到达A时具有最大的动能，问所加交变电压的频率最大不能超过多少？ 〖解析〗由题意，电子开始做匀加速直线运动，其动能不断增大。若频率很高，即周期很短，在电子尚未到达A板之前，交变电压已过了半个周期而开始加反向电压，故电子将沿原方向做匀减速直线运动；再过半个周期后，其动能又减小到零。接着又变为匀加速运动，半个周期后又做匀减速运动，这样交替进行下去，最后电子到达B板。 在匀减速直线运动过程中，电子动能减少，因此，要想使电子到达A板时具有最大的动能，必须使电子从B到A的过程中始终做加速运动，就是说，要使交变电压的半周期不小于电子从B极处于一直加速到A板处所需的时间，即频率不能大于某一值。

设电子的电量和质量分别为e和m，在电场力的作用下，电子的加速度a为：。mdeUa0

设t为电子从B一直加速到A所需的时间，则221atd→adt2 令T表示交变电压周期，f表示其频率，依题意，应满足以下要求：t≤T/2, 即 f≤1/2t

由上面各式可得208mdeUf ， .A

.BE

.E.B

Amg

v0Eq

即交变电压的频率不能超过208mdeU 。 〖点评〗若作出对应的v－t图，电子从到运动的图 运动，则到达板时动能最大，通过三角形“面积”求出相应的周期和频率。

反馈练习： 1．下列粒子从初速度为零经相同的电场加速后，速度最大的是：（ ） A、质子 B、氘核 C、氚核 D、粒子 3．匀强电场方向水平向右，一带电微粒沿图中虚线做直线运动，带电微粒从A到B的过程中，关于其能量变化及带电情况的说法正确的是（ ） A、颗粒一定带负电 B、颗粒可能带正电 C、颗粒的机械能减小，电势能增大 D、颗粒的电势能减小，动能增大 2.如图所示,质量为m、带+q电量的滑块,沿绝缘斜面匀速下滑,当滑块滑至竖直向下的匀强电场区时,滑块运动的状态为( ) A.继续匀速下滑 B.将加速下滑 C.将减速下滑 D.上述三种情况都可能发生 3.在静电场中,一个负电荷在外力作用下由A点运动到B点的过程中,下列说法正确的是( ) A.外力所做的功等于电势能的增量与动能增量之和 B.外力和电场力做功之和等于电荷电势能增量与动能增量之和 C. 外力和电场力做功之和等于电荷动能增量 D.电荷克服电场力做功等于电荷电势能的增量 4．如图9－6－12所示，在固定的等量异种电荷的连线上， 靠近负电荷的P点释放一个初速度为零的质点，则带电质点在 运动过程中 （ ） 图9－6－12 A．加速度越来越大 B．动能越来越大 C．电势逐渐增大 D．所通过各点的电势越来越高

5.如图所示,匀强电场水平向左,带正电物体沿绝缘水平板向右运动,经A点时动能为100J,到B点时,动能减少了原来的54,减少的动能中53转化为电势能,则它再经过B点时动能大小是( ) A.4J B.20J C.52J D.80J d6、如图所示，匀强电场方向与水平线间夹角θ=30°,斜向右上方，电场强度为E，质量为m的小球带负电，以初速度v0开始运动，初速度方向与电场方向一致。 （1）若小球的带电量为q=mg/E,为使小球能做匀速直线运动，应对小球施加的恒力F1的大小和方向各如何？ （2）若小球的带电量为q=2mg/E，为使小球能做直线运动，应对小球施加的最小恒力F2的大小和方向各如何？

7、图为密立根油滴实验示意图，设两平行板间距d=0.5cm，板间电压U=150V，电键S断开时，从上板小孔飘入的带电油滴能以速度V0匀速下降。合上S，油滴由下降转为上升，当速度大小V0时能匀速上升，假设油滴在运动中所受阻力与速度大小成正比，（即f=Kv）测得油滴的直径D=1.10×10-6m油的密度ρ=1.05×103Kg/m3，试计算油滴的带电量并说明电性。

反馈练习： 5．图9－5－6中从A极释放的一个无初速度的电子向 B板方向运动，指出下列说法中哪些是正确的 （ ） A．电子到达B时动能为1eV B．电子从B到C，动能变化为零 C．电子达到D点时动能为1eV D．电子将在A、D间往复运动 9.密立根油滴实验进一步证实了电子的存在，揭示了电荷的非连续性.如图1—26—8所示是密立根实验的原理示意图，设小油滴质量为m，调节两板间电势差为U,当小油滴悬浮不动时，测出两板间距离为d.可求出小油滴的电荷量q=_______.

图1—26—8