高考数学重点难点32极限及应用总结
高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用
高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用函数的连续及其应用是高考数学中的一个重要难点，对于很多学生来说，理解和掌握这个知识点是比较困难的。
本文将分为三个部分进行讲解，首先是函数连续的概念和定义；其次是连续函数的性质和判断方法；最后是函数连续的应用。
一、函数连续的概念和定义在数学中，函数连续是指函数在一些点上没有突变、断层，即在该点上没有跳跃，也没有突变的现象。
具体来说，对于函数f(x)在点x=a处连续，需要满足以下三个条件：1.函数在点x=a处存在；2.函数在点x=a处的左极限和右极限存在且相等；3.函数在点x=a处的极限等于函数在该点的函数值。
符号化表示如下：f(a-)=f(a+)=f(a)二、连续函数的性质和判断方法1.连续函数的四则运算性质：如果函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，则它们的和、差、积、商也在点x=a处连续。
2.连续函数的复合函数性质：如果函数f(x)在点x=a处连续，函数g(x)在点x=b处连续，并且a是g(x)的定义域内特定点的函数值，则复合函数f(g(x))在点x=b处连续。
3.连续函数的初等函数性质：初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们在其定义域上都是连续的。
对于函数连续的判断方法，可以通过根据定义依次检查函数是否满足连续的条件，也可以利用函数的性质进行判断。
三、函数连续的应用1.函数连续与导数的关系：对于连续函数f(x)，在其定义域内的每个点上都有导数存在。
2.函数连续与极值的关系：对于连续函数f(x)，在闭区间[a,b]上，如果f(x)在内部点取得最大值或最小值，则必然在[a,b]的边界点或者内部存在极值。
3.函数连续与介值定理的关系：对于连续函数f(x)，如果[a,b]上f(a)和f(b)异号，那么在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。
4.函数连续与零点存在性的关系：对于连续函数f(x)，如果f(a)和f(b)异号，则在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。
高中数学中的极限运算知识点总结
高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。
本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。
一、极限的概念1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。
即极限是函数在某一点附近的局部性质。
2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。
3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。
二、极限的性质1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。
2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。
3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。
4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。
三、极限的计算方法1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。
2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。
四、常用的极限运算知识点1. 常用极限：- sinx/x的极限lim(x→0) = 1；- a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。
2. 极限的四则运算：- 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）；- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积；- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。
3. 极限的复合运算：- 实数函数与数列的极限运算；- 函数的函数与数列的极限运算。
五、极限的实际应用极限在数学、物理、经济等学科中具有广泛的应用，常见应用包括：1. 利用极限的概念和性质，推导出数学中的重要定理和公式；2. 在物理学中，通过极限，可以计算出物体在某一瞬间的速度、加速度等相关信息；3. 在经济学中，通过极限，可以计算出市场需求、供应等相关指标。
高考数学32条秒杀公式
高考数学32条秒杀公式高考数学是每个学生都要面对的挑战之一。
然而，对于很多学生来说，数学可能是最令人头疼的一门科目。
为了帮助学生更好地应对高考数学，本文将介绍32条秒杀公式，希望能帮助学生在高考中取得好成绩。
一、代数部分1. 二元一次方程： ax + by = c解法：找到两个不同系数的方程，通过加减消去其中一个未知数。
2. 因式分解：将多项式分解为不可再分解的乘积形式。
解法：找到公因式，然后使用配方法或特殊公式进行分解。
3. 二次函数的顶点坐标： x = -b/2a解法：利用顶点坐标公式可以轻松求出二次函数的顶点坐标。
4. 二次函数的最大最小值：最大值/最小值 = -D/4a解法：根据最大最小值公式可以求得二次函数的最大最小值。
5. 幂函数的性质： a^x * a^y = a^(x+y)解法：利用幂函数性质进行合并或拆分。
二、函数部分1. 函数的图像与方程：根据给定的函数图像，确定函数方程。
解法：根据图像的性质，确定函数的一些特征，进而得到函数的方程。
2. 函数的复合：(f◦g)(x) = f(g(x))解法：将复合函数的内部函数代入外部函数，并根据题目要求进行计算。
3. 函数的奇偶性判断：f(-x) = f(x) (偶函数)， f(-x) = -f(x) (奇函数)解法：将函数代入判断奇偶性的条件，并比较函数在对称轴两侧的取值情况。
4. 极限的计算：利用极限的性质和公式，求函数在某个点的极限。
解法：根据题目要求，利用极限的性质和公式进行计算。
三、几何部分1. 三角函数的基本关系：sin²x + cos²x = 1, tanx = sinx/cosx解法：根据三角函数的基本关系，进行三角函数的计算和变换。
2. 三角函数的求值：利用三角函数的周期性质，求解三角函数的特殊值。
解法：根据三角函数的周期性质，求解三角函数在一定区间内的值。
3. 三角函数的和差化积：sin(x±y) = sinxcosy ± cosxsiny,cos(x±y) = cosxcosy ∓ sinxsiny解法：根据和差化积公式，将三角函数的和差形式转化为积的形式。
高考高数知识点总结
高考高数知识点总结高考对于每一个学生来说都是一次重要的考试，而其中的数学科目更是让很多学生头疼的难题。
高考数学中，高等数学是其中一个难点，涵盖的内容较广，涉及的知识点较多。
为了帮助同学们更好地备考高数，下面将对高考高数的知识点进行总结，希望对同学们有所帮助。
一、函数与极限1. 函数的定义域、值域、单调性以及图像的绘制方法。
2. 极限的定义及其性质，常用的极限运算法则。
3. 无穷大与无穷小的概念，无穷小量的比较与性质。
二、导数与微分1. 导数的定义及其几何意义，导数的性质与常用求导法则。
2. 高阶导数的概念，高阶导数与原函数的关系。
3. 微分的概念及其应用，微分的计算与应用。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质，常用的不定积分法则。
2. 定积分的概念及其性质，定积分的计算与应用。
3. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的几何应用。
四、微分方程1. 一阶微分方程的概念与解法，常见的一阶微分方程型。
2. 高阶微分方程的概念与解法，可降阶的高阶微分方程。
3. 变量分离与同解微分方程的解法。
五、向量及其运算1. 向量的定义及其表示方法，向量的加法与数乘。
2. 向量的线性相关性与线性无关性，向量的共线性与垂直性。
3. 平面向量的数量积与向量积，向量积的应用。
六、空间解析几何1. 空间点的位置与坐标，空间直线与平面的位置与方程。
2. 直线的方向向量与点向式方程，直线与平面的位置关系。
3. 空间中直线与直线、直线与平面的位置关系。
七、数列与数学归纳法1. 数列的概念及其相关术语，数列的通项公式与和的计算。
2. 数列的极限与无穷项级数收敛性判定。
3. 数学归纳法及其应用。
以上仅为高考高数知识点总结的一部分，每个知识点都需要彻底理解并进行大量的练习。
除了掌握这些知识点外，同学们还需要注重做题技巧的积累与应用，不断提高解题的速度与准确性。
在备考过程中，要保持积极的心态，相信自己的实力，相信付出一定会有回报。
祝愿所有参加高考的同学们取得优异的成绩！。
高考数学难知识点大全
高考数学难知识点大全一、导数与微分在高考数学中，导数与微分是一个重要的知识点，也是很多同学觉得难以理解和运用的内容。
导数的概念一般不难，但在应用中容易出现问题。
在求导时，需要注意使用各种求导法则和技巧，尤其是复合函数的求导、参数方程的导数以及隐函数的求导。
二、极限与无穷小极限与无穷小是数学分析的重要内容，也是高考数学中的难点之一。
需要掌握极限的定义和性质，理解极限的思维方式。
在求极限时，要灵活运用各种极限运算法则，如夹逼准则、洛必达法则等。
另外，对于无穷小的概念和性质，也需要有深入的理解和运用能力。
三、向量与空间几何向量与空间几何是高考数学中的一大难点，需要理解向量的定义、性质以及向量的线性运算。
在解题中，要善于利用向量的基本运算关系和几何意义，理解线性相关与线性无关的概念，掌握向量共线、垂直和夹角等几何特性。
同时，空间几何的内容也要掌握，包括平面与直线的交点、距离计算、平行与垂直关系等。
四、概率与统计概率与统计是高考数学中的一门重要课程，也是一些同学感到困惑的难点。
在概率的学习中，需要理解事件、样本空间、概率的定义及性质，掌握概率的计算方法，如加法原理、乘法原理和条件概率等。
统计是概率的应用，需要理解和掌握一些统计概念，如频率、频率分布、均值、方差、标准差等。
五、平面解析几何平面解析几何是一门常见的高考数学难点，需要对平面上的点、直线、圆的性质有深入了解。
在解题时，要熟悉直线和圆的方程，掌握直线与圆的位置关系和性质，善于利用平面几何的基本定理和定比分点公式解决问题。
六、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高考数学中的基础知识，也是考察同学的逻辑思维和归纳能力的重要内容。
需要掌握数列的定义及常见数列的性质，理解递推公式和通项公式的关系，善于利用数学归纳法证明数列的性质和判断结论。
七、立体几何立体几何是高考数学中的一大难点，需要对空间中的立体体积、表面积有深入了解。
在解题时，需要掌握计算各种立体的体积和表面积的方法，理解立体几何的投影和截面的性质。
高考数学中的函数的极限应用总结
高考数学中的函数的极限应用总结高考数学中函数的极限应用是一道难点，需要学生在掌握基本概念的同时还需具备灵活的应用能力。
本文将总结常见的函数的极限应用，为学生备战高考提供参考。
一、极限的定义在深入学习函数的极限应用之前，我们需要先掌握极限的定义。
极限是指当自变量无限接近某一值时，函数值趋向于一个确定的值。
其定义如下：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，$A$ 为常数，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数$\delta$ 使得对于一切满足 $0<|x-x_0|<\delta$ 的 $x$，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 成立，则称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_0$ 时有极限 $A$，记作 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$。
二、极限的性质在应用函数的极限时，我们还需掌握极限的一些基本性质，包括：1. 唯一性：如果 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在，那么它唯一。
2. 保号性：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，且存在极限 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$，若 $A>0$（或$A<0$），则存在某一去心邻域，使得在这个邻域内，函数值$f(x)$ 不为 $0$ 且同号于 $A$。
3. 局部有界性：若 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$，则 $f(x)$ 在接近 $x_0$ 的位置上有界。
三、常见的函数的极限应用1. 利用极限求导在求导过程中，有时候我们需要利用函数的极限来求导。
例如，对于函数 $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，我们可以通过求$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 的极限值，然后取其导数，从而求出 $f(x)$ 的导数$\dfrac{d}{dx}(\dfrac{\sin x}{x})$。
高考常考的数学知识难点总结
高考常考的数学知识难点总结高考是每一个学生人生中至关重要的一道关卡，是学生从高中阶段跨越到大学阶段的必经之路。
而数学作为高考重要的考核科目之一，在其中所占比例相当大。
因此，学生需要掌握高考常考的数学知识难点，以提高自己在数学考试中的成绩。
一、数列与函数数学中的数列和函数是较为难以理解的部分，需要花费较多的时间去学习和掌握。
在数列方面，需要掌握其基本概念和计算方法，以及数列的极限、通项公式、等比数列、等差数列等重要概念；在函数方面，需要掌握关于函数的一般概念、函数导数、函数极值、函数的单调性、图形的对称轴、渐近线等重要的知识点。
因此，学生需要对这些知识点进行充分的总结和记忆，以便在考试中更好地理解和运用。
二、几何与三角函数几何与三角函数也是高考常考的数学知识难点，需要学生具备较强的空间直观能力和图像思维能力。
在几何方面，需要学会掌握图形相似、直角三角形、正三角形、等边六边形、平行四边形等图形的面积和周长的计算方法，对基本图形的性质进行深入了解，并能够熟练掌握几何证明方法；在三角函数方面，需要学习正弦、余弦、正切及其倒数函数之间的性质和关系，掌握解三角形的计算方法和相关证明，以及三角函数的一些特殊求值技巧。
因此，学生应该对这些知识点进行充分的认识，并在实践中多进行练习，以提高空间直观能力和图像思维能力。
三、概率与统计在数学考试中，概率与统计是一些学生容易混淆的知识点。
在概率方面，需要学习有关事件、概率、全概率定理、随机变量、期望等相关概念和计算方法，并能根据实际问题进行概率模型的建立和求解；在统计方面，需要掌握数据的分类、整理、统计分布、变异系数等基本概念和计算方法，并能用大量的样本进行强有力的推断。
因此，学生需要对这些知识点进行充分的掌握和理解，并能够将其应用到实际问题中去。
总之，高考数学部分难度较高，需要学生做好全面的复习和准备。
通过对常考数学知识难点的总结和掌握，学生能够更好地应对数学考试，提高自己的成绩。
高考数学极限运算方面精讲
高考数学极限运算方面精讲在高考数学中，极限运算是考察学生数学素养和逻辑思维的重要知识点之一。
在这篇文章中，将系统、全面地讲解高考数学中与极限运算相关的知识点，帮助学生更好地掌握这一难点。
一、极限的概念首先，我们需要了解什么是极限。
极限是指函数在自变量趋近于某个值时，相应的函数值也趋近于某个确定的值。
通俗地说，如果一个序列或者函数在某个点附近越来越接近一个确定的值，那么我们就称这个确定的值为这个序列或者函数的极限。
通常用符号“lim”表示。
例如：lim(x→1) (x²-1)/(x-1) = 2其中“x→1”表示x趋近于1的时候，函数值的极限是2。
在高中数学课程中，我们已经学习了一些基础的极限运算，包括无穷小量的定义、极限的四则运算、夹挤定理等等。
这里我们不再赘述。
二、常用的极限公式除了基本的极限运算，高中数学还有一些常用的极限公式，下面分别介绍。
1. 洛必达法则洛必达法则是求解不定式的极限时常用的一种方法。
它的核心思想是将极限转化为求导数的极限。
具体而言，如果一个不定式的极限为0/0或者±∞/±∞时，我们可以对这个不定式进行求导，再重新计算极限，如果新的极限存在，那么它就是原不定式的极限。
例如：lim(x→0) sinx/x这个不定式的极限为0/0型。
我们对它求导得到：lim(x→0) cosx/1 = cos0/1 = 1因此，原不定式的极限为1。
需要注意的是，洛必达法则是一种常用的方法，但并不是所有的不定式都可以用它来求解。
对于其他类型的不定式，我们需要采取不同的方法。
2. Π面积公式Π面积公式是一种计算极限的常用公式，它的核心思想是将面积转化为无穷小量的加和求解。
具体而言，如果一个曲线在自变量趋近于无穷大的时候，它的面积趋近于某个确定的值，那么我们就可以用Π面积公式计算这个确定的值。
例如：lim(n→∞) Σ(k=1→n) 1/n*[1+(k/n)]²这个极限表示一个从1到n，等差为1/n的序列。
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重点重点难点31 数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●重点重点难点磁场(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2= (an2+bn+c).●案例探究［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak•c+ck•a.证明：(1)设a、b、c为等比数列，a= ,c=bq(q＞0且q≠1)∴an+cn= +bnqn=bn( +qn)＞2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞( )n(n≥2且n∈N*)下面用数学归纳法证明：①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴②设n=k时成立，即则当n=k+1时，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak•c+ck•a)= (ak+ck)(a+c)＞( )k•( )=( )k+1［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列.(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an}所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，Sk=－应舍去，这一点往往容易被忽视.技巧与方法：求通项可证明{ }是以{ }为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式. 解：∵an,Sn,Sn－成等比数列，∴Sn2=an•(Sn－)(n≥2) (*) (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－由a1=1，a2=－,S3= +a3代入(*)式得：a3=－同理可得：a4=－,由此可推出：an=(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立故Sk2=－•(Sk－)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0∴Sk= (舍)由Sk+12=ak+1•(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)由①②知，an= 对一切n∈N成立.(3)由(2)得数列前n项和Sn= ,∴S= Sn=0.●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.●歼灭重点重点难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)•3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A.30B.26C.36D.62.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子：…则可归纳出_________.4.(★★★★)已知a1= ,an+1= ,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明4 +3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n为大于1的自然数，求证：.7.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+ )(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.8.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an•an+1=－qn,求an表达式，又如果S2n＜3,求q的取值范围.参考答案重点重点难点磁场解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立1•22+2•32+…+n(n+1)2=记Sn=1•22+2•32+…+n(n+1)2设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2= (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)= ［3(k+1)2+11(k+1)+10］也就是说，等式对n=k+1也成立.综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.歼灭重点重点难点训练一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)•3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)•3k+1 －(2k+7)•3k=(6k+27)•3k－(2k+7)•3k=(4k+20)•3k=36(k+5)•3k－2 (k≥2)f(k+1)能被36整除∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C2.解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C二、3.解析：(n∈N*)(n∈N*)、、、三、5.证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+1•42+3k+2•3－42k+1•3+42k+1•3=42k+1•13+3•(42k+1+3k+2 )∵42k+1•13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.6.证明：(1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即7.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2(2)证明：由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+…+loga(1+ )=loga［(1+1)(1+ )…(1+ )］而logabn+1=loga ,于是，比较Sn与logabn+1 的大小比较(1+1)(1+ )…(1+ )与的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测：(1+1)(1+ )…(1+ )＞(*)①当n=1时，已验证(*)式成立.②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+ )…(1+ )＞则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1 ,当0＜a＜1时，Sn＜logabn+18.解：∵a1•a2=－q,a1=2,a2≠0,∴q≠0,a2=－,∵an•an+1=－qn,an+1•an+2=－qn+1两式相除，得,即an+2=q•an于是，a1=2,a3=2•q,a5=2•qn…猜想：a2n+1=－qn(n=1,2,3,…)综合①②，猜想通项公式为an=下证：(1)当n=1,2时猜想成立(2)设n=2k－1时，a2k－1=2•qk－1则n=2k+1时，由于a2k+1=q•a2k－1∴a2k+1=2•qk即n=2k－1成立.可推知n=2k+1也成立.设n=2k时，a2k=－qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=q•a2k ,所以a2k+2=－qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.这样所求通项公式为an=S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1 )－(q+q2+…+qn)由于|q|＜1,∴=依题意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜重点难点32 极限及其运算极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题.●重点难点磁场(★★★★)求.●案例探究［例1］已知( －ax－b)=0,确定a与b的值.命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本知识的系统掌握能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法.错解分析：本题重点难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错.技巧与方法：有理化处理.解：要使上式极限存在，则1－a2=0,当1－a2=0时，∴解得［例2］设数列a1,a2,…,an,…的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1－ban－,其中b是与n 无关的常数，且b≠－1.(1)求an和an－1的关系式；(2)写出用n和b表示an的表达式；(3)当0＜b＜1时，求极限Sn.命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n项和Sn等有紧密的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n项和Sn再求极限，本题考查学生的综合能力.属★★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系.错解分析：本题重点难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n=1与n=2时的式子不统一性.技巧与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻找规律.解：(1)an=Sn－Sn－1=－b(an－an－1)－=－b(an－an－1)+ (n≥2)解得an= (n≥2)●锦囊妙计1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限.2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限.3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：●歼灭重点难点训练一、选择题1.(★★★★)an是(1+x)n展开式中含x2的项的系数，则等于( )A.2B.0C.1D.－12.(★★★★)若三数a,1,c成等差数列且a2,1,c2又成等比数列，则的值是( )A.0B.1C.0或1D.不存在二、填空题3.(★★★★) =_________.4.(★★★★)若=1,则ab的值是_________.三、解答题5.(★★★★★)在数列{an}中，已知a1= ,a2= ,且数列{an+1－an}是公比为的等比数列，数列{lg(an+1－an}是公差为－1的等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)Sn=a1+a2+…+an(n≥1),求Sn.6.(★★★★)设f(x)是x的三次多项式，已知=1,试求的值.(a为非零常数).7.(★★★★)已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列，公式分别为p、q,其中p＞q,且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求的值.8.(★★★★★)已知数列{an}是公差为d的等差数列，d≠0且a1=0,bn=2 (n∈N*),Sn是{bn}的前n项和，Tn= (n∈N*).(1)求{Tn}的通项公式；(2)当d＞0时，求Tn.参考答案重点难点磁场歼灭重点难点训练一、1.解析：，答案：A2.解析：答案：C二、3.解析：答案：4.解析：原式=∴a•b=8答案：8三、5.解：(1)由{an+1－an}是公比为的等比数列，且a1= ,a2= ,∴an+1－an=(a2－a1)( )n-1=( －×)( )n-1= ,∴an+1= an+ ①又由数列{lg(an+1－an)}是公差为－1的等差数列，且首项lg(a2－a1)=lg( －×)=－2,∴其通项lg(an+1－an)=－2+(n－1)(－1)=－(n+1),∴an+1－an=10－(n+1),即an+1= an+10－(n+1) ②①②联立解得an= ［( )n+1－( )n+1］(2)Sn=6.解：由于=1，可知，f(2a)=0 ①同理f(4a)=0 ②由①②可知f(x)必含有(x－2a)与(x－4a)的因式，由于f(x)是x的三次多项式，故可设f(x)=A(x －2a)(x－4a)(x－C),这里A、C均为待定的常数，,即4a2A－2aCA=－1 ③同理，由于=1,得A(4a－2a)(4a－C)=1,即8a2A－2aCA=1 ④由③④得C=3a,A= ,因而f(x)= (x－2a)(x－4a)(x－3a),由数列{an}、{bn}都是由正数组成的等比数列，知p＞0,q＞0当p＜1时,q＜1,8.解：(1)an=(n－1)d,bn=2 =2(n－1)dSn=b1+b2+b3+…+bn=20+2d+22d+…+2(n－1)d由d≠0,2d≠1,∴Sn=∴Tn=(2)当d＞0时，2d＞1。