【全国百强校】江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第一次月考理数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知函数lg y x =的定义域为集合A ，集合{}01B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,1]C ．[0,1)D ．(0,1]【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，{}|0A x x =>，则A B =(0,1]，故选D.考点：集合的交集.2．已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan(π＋α)的值是( ) A.43B.34C ． 43-D ．34-【答案】D考点：同角的基本关系. 3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B ．已知()y f x = 是R 上的可导函数，则“0()0f x '=”是“0x 是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是:“对任意x ∈R,均有x 2＋x ＋1＜0”D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题【答案】B考点：1.命题的真假；2. 常用逻辑关系.4．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 2【答案】D 【解析】试题分析：因为 2r =；由任意三角函数的定义：sin cos 2yrα==-，故答案是D.考点：任意角的三角函数.5．设21log 3a =，12b e -=，ln c π=，则（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c << 【答案】C 【解析】试题分析：因为1221log 01ln 3a b e c π-=<<=<<=，所以a b c <<.考点：1.对数；2.大小比较.6．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点,P 点处切线倾斜角α的取值范围 A ．),65[)2,0[πππ B ． ),32[ππC ．),32[)2,0[πππD ．]65,2(ππ 【答案】C 【解析】试题分析：因23y x '=≥，故切线斜率k ≥切线倾斜角α的取值范围是20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭。

考点：导数的应用. 7．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移23π个单位，再将所得的函数图象上的各点纵 坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =与2x π=-，3x π=，x 轴围成的图形面积为（ ） A ．12 B ．32C．1 D．1【答案】B考点：1.函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；2.定积分．8．已知函数25,(1)(),(1)x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨ >⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．3-≤a ＜0B ．3-≤a ≤2-C ．a ≤2-D ．a ＜0 【答案】B 【解析】试题分析：函数25,(1)(),(1)x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨ >⎪⎩是R 上的增函数，则25,(1)x ax x ---≤单调递增，故它的对称轴12a -≥，即2a ≤-，此时(1)ax x>也单调递增，要保证在R 上是增函数，只需在1x =满足 21151aa ---≤，即3a ≥-，综上所述a 的取值范围是32a -≤≤-．考点：函数的单调性．9．已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，且()()11-=+x f x f ，当[]1,0∈x 时，()12-=x x f ，则函数()()ln 2xg x f x =-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B考点：函数奇偶性的性质． 10．若βα,都是锐角，且55cos =α，1010)sin(=-βα，则=βcos （ ） A ．22B ．102C ．22或102- D ．22或102 【答案】A 【解析】试题分析：因为βα,都是锐角，所以，22ππαβ-<-<又因为55cos =α，1010)sin(=-βα所以()sin ααβ==-===所以，()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦==，故选A. 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和与差的三角函数公式. 11．已知ln 1x x a x -≤＋对任意1[,2]2x ∈恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A考点：利用导数求闭区间上函数的最值．12．设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <， 则a 的取值范围是（ ） A ． 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ． 33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ． 33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ． 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】试题分析：设()g x =(21)xe x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)xg x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，max [()]g x =12-2e -，当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D.考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.不等式成立问题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）13．已知tan 2α=，则 2sin 2sin 2-αα= ． 【答案】45-考点：1.同角的基本关系；2.二倍角公式.14．已知函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()2'232xf x x f +=，则()'4f = ．【答案】0 【解析】试题分析：因为()()2'232xf x x f +=，所以'()62'(2)'(2)122'(2)'(2)12f x x f f f f =+⇒=+⇒=-，所以'()624'(4)24240f x x f =-⇒=-=. 考点：导数的计算.15. 在ABC ∆中，如果cos()2sin sin 1B A A B ++=，那么△ABC 的形状是________.【答案】等腰三角形 【解析】试题分析：cos()2sin sin 1,cos cos sin sin 1,cos()1B A A B A B A B A B ++=∴+=∴-=，所以在ABC ∆中，0A B A B -=⇒=，所以此三角形是等腰三角形. 考点：解三角形.16. 已知函数()2sin f x x ω=（其中常数0ω>），若存在12,03x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，20,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为 ．【答案】3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭考点：1、函数的奇偶性；2、三角函数的图象与性质．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题10分）已知函数()sin()(,0,0)2f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间． 【答案】（Ⅰ）f (x)＝2sin(2x ＋π6);（Ⅱ）ππ[ππ]36k k -+，(k ∈Z).考点：1.正弦型函数解析式的求法；2.三角函数的单调性. 18．（本小题12分） 已知函数223()m m f x x-++= ()m Z ∈是偶函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增．（Ⅰ）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（Ⅱ）2()log [32()]g x x f x =--，求()g x 的定义域和值域。

【答案】（Ⅰ）1m =，()2f x x =; （Ⅱ）(],2-∞【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()22log 23g x x x =--+，由2230x x --+>得31x -<<， 所以()g x 的定义域为(3,1)-。

…………9分 设223,(3,1)t x x x =--+∈-，则(]0,4t ∈，此时()g x 的值域，就是函数(]2log ,0,4y t t =∈的值域.2log y t =在区间(]0,4上是增函数，所以(],2y ∈-∞；所以函数()g x 的值域为(],2-∞.…………12分. 考点：1.幂函数的性质；2.分类讨论. 19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，已知223cos cos 222C A a c b +=． （Ⅰ）求2a c b +-的值；（Ⅱ）若3B π=，S =，求b ．【答案】（Ⅰ）20a c b +-=; （Ⅱ）4b = 【解析】考点：1.正弦定理；2.余弦定理. 20. (本小题满分12分)如图，已知四棱锥S ABCD -，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ，60ADC ∠=，E F ，分别是,SC BC 的中点．SBFCEA（Ⅰ）证明：SD AF ⊥；（Ⅱ）若2,4AB SA ==,求二面角F AE C --的余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析;试题解析：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ADC ∠=，可得ABC △为正三角形．因为F 为BC 的中点，所以AF BC ⊥．又BC AD ∥，因此AF AD ⊥．…………2分因为SA ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ，所以SA AF ⊥．而SA ⊂平面SAD ，AD ⊂平面SAD 且SA AD A =，所以AF ⊥平面SAD ．又SD ⊂平面SAD ，…………5分所以AF SD ⊥． ………… 6分考点：1.线面垂直的判断；2.空间向量在求二面角中的应用.21．(本小题满分12分)已知()sin f x ax x =+()a R ∈ （Ⅰ）当12a =时，求()f x 在[0,]π上的最值； （Ⅱ）若函数()()()g x f x f x '=+在区间[,]22ππ-上不单调．．．.求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）max 2()()332ππf x f ==+，min ()(0)0f x f ==; （Ⅱ）( 【解析】试题分析：（I ）当12a =时，1()sin 2f x x x =+，∴1()cos 2f x x '=+令()0f x '=，得23πx =，列出函数的单调性表，可得max 2()()3πf x f =，min ()(0)f x f =.（II ）由题意可知()sin cos g x ax x x a =+++则()cos sin )4g x a x x a x π'=+-=-)[4x π-∈，对a ≤1a ≥进行分类讨论；可知函数()()()g x f x f x '=+在区间[,]22ππ-上不单调．．．，则1a <，即可. 试题解析：解：（I ）当12a =时，1()sin 2f x x x =+，∴1()cos 2f x x '=+ 令()0f x '=，得23πx =。