2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课件：第二章 第八节 函数与方程
2020届高三一轮复习理科数学课件 第2章-2.8-函数与方程
夯实双击 自主梳理
1．函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数 y＝f(x)，把使 ff((xx))＝＝00 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程根的关系 方程 f(x)＝0 有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 xx轴轴 有交点 函数 y ＝f(x)有 零零点点 ．
2．函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是(B)
A．(－2，－1)
B．(－1，0)
C．(0，1)
D．(1，2)
解析 易知 f(x)＝2x＋3x 在 R 上是增函数． 而 f(－2)＝2－2－6＜0，f(－1)＝2－1－3＜0，f(0)＝20＝1＞0，∴f(－1)·f(0) ＜0，故函数 f(x)在区间(－1，0)上有零点．故选 B.
3．(教材改编)函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是(B)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 由已知得 f′(x)＝ex＋3＞0，∴f(x)在 R 上单调递增，又 f(－1)＝1e
－3＜0，f(0)＝1＞0，因此函数 f(x)有且只有一个零点．
4．函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点所在区间为(B)
(4)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)·f(b)＜0，则函数 f(x)在[a，b]上有且 只有一个零点．(√√)
解析 由已知条件，数形结合可得 f(x)与 x 轴在区间[a，b]上有且仅有 一个交点．
(5)函数 y＝2sin x－1 的零点有无数多个．(√ ) 解析 函数 y＝2sin x－1 的零点即为方程 sin x＝12的实数根，有无数 多个．
(3)零点存在性定理 若函数 y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线； ② ff((aa))··ff((bb))＜＜00 ，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，即存在 c∈(a， b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
2020届高考高中理科数学一轮专题复习第二章 2.8函数与方程
§2.8函数与方程1.函数的零点(1)函数零点的定义函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像与零点的关系概念方法微思考函数f(x)的图像连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图像与x 轴的交点.( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图像连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x ).( √ ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点.( √ ) 题组二 教材改编2.函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是( )A.(1,2)B.(2,3)C.⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3,4)D.(4，＋∞)答案 B解析 ∵f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－23>0且函数f (x )的图像在(0，＋∞)上连续不断，f (x )为增函数， ∴f (x )的零点在区间(2,3)内.3.函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 由f ′(x )＝e x ＋3>0，得f (x )在R 上是增加的，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点. 题组三 易错自纠4.函数f (x )＝ln 2x －3ln x ＋2的零点是( ) A.(e,0)或(e 2,0) B.(1,0)或(e 2,0) C.(e 2,0) D.e 或e 2 答案 D解析 f (x )＝ln 2x －3ln x ＋2＝(ln x －1)(ln x －2)， 由f (x )＝0得x ＝e 或x ＝e 2.5.若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0,4)上存在零点，则实数m 的取值范围是 . 答案 (－8,1]解析 m ＝－x 2＋2x 在(0,4)上有解，又－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，∴y ＝－x 2＋2x 在(0,4)上的值域为(－8,1]，∴－8<m ≤1.6.已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则( ) A.x 1<x 2<x 3 B.x 2<x 1<x 3 C.x 2<x 3<x 1 D.x 3<x 1<x 2答案 C解析 作出y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的图像，如图所示，可知选C.题型一 函数零点所在区间的判定1.函数f (x )＝ln x －2x －1的零点所在的区间是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)答案 B解析 函数f (x )＝ln x －2x －1在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续.因为f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>0，所以f (2)f (3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3).2.若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A.(a ，b )和(b ，c )内B.(－∞，a )和(a ，b )内C.(b ，c )和(c ，＋∞)内D.(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 ∵a <b <c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )>0， f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点.因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.3.已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0且a ≠1).当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ＋，则n ＝ . 答案 2解析 对于函数y ＝log a x ，当x ＝2时，可得y <1，当x ＝3时，可得y >1，在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝－x ＋b 的图像，判断两个函数图像的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)时，n ＝2.思维升华 判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理.对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图像进行分析，一般是转化为两函数图像的交点，分析其横坐标的情况进行求解.题型二 函数零点个数的判断例1 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是 .答案 2解析 当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f (x )有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数.又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C解析 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图像，如图所示.由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. (3)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点答案 B解析 当x ∈(0，1]时，因为f ′(x )＝12x ＋sin x ，x >0，sin x >0，所以f ′(x )>0，故f (x )在[0,1]上是增加的，且f (0)＝－1<0，f (1)＝1－cos 1>0，所以f (x )在[0,1]内有唯一零点.当x >1时，f (x )＝x －cos x >0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B. 思维升华 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点.(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数. (3)利用函数图像的交点个数判断.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x >0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x <1，易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x <1时，函数g (x )有2个零点，所以函数g (x )的零点共有3个，故选C.(2)函数f (x )＝4cos 2x2·cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为 . 答案 2解析 f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，函数f (x )的零点个数即为函数y 1＝sin 2x (x >－1)与y 2＝|ln(x ＋1)|(x >－1)的图像的交点个数. 分别作出两个函数的图像，如图，可知有两个交点，则f (x )有两个零点.题型三 函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例2 (1)(2018·安庆模拟)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A.(2，＋∞) B.[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 D解析 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有实数解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x <1，12log x ，x ≥1，若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，则实数k的取值范围是 . 答案 (－1,0)解析 关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝k 的图像有三个不同的交点，作出函数的图像如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(－1,0).命题点2 根据函数零点的范围求参数例3 若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是 . 答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图像分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.思维升华 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解.跟踪训练2 (1)方程12log (a －2x )＝2＋x 有解，则a 的最小值为 .答案 1解析 若方程12log (a －2x )＝2＋x 有解，则⎝⎛⎭⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝⎛⎭⎫12x ＋2x ＝a 有解，因为14⎝⎛⎭⎫12x ＋2x ≥1，故a 的最小值为1.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是 .答案 ⎝⎛⎦⎤－14，0 解析 作出函数f (x )的图像如图所示.当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 的图像有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－14，0.利用转化思想求解函数零点问题在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图像的交点个数，利用数形结合求解参数范围. (2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决.例 (1)若函数f (x )＝|log a x |－2－x (a >0且a ≠1)的两个零点是m ，n ，则( )A.mn ＝1B.mn >1C.0<mn <1D.以上都不对答案 C解析 由题设可得|log a x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，不妨设a >1，m <n ，画出函数y ＝|log ax |，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像如图所示，结合图像可知0<m <1，n >1，且－log a m ＝⎝⎛⎭⎫12m ，log an ＝⎝⎛⎭⎫12n，以上两式两边相减可得log a (mn )＝⎝⎛⎭⎫12n －⎝⎛⎭⎫12m<0，所以0<mn <1，故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1,0)B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)答案 C解析 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x ).在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图像的示意图，如图所示.若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图像与y ＝h (x )的图像有2个交点.方法一 平移y ＝h (x )的图像可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意. 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞). 故选C.方法二 由图知－a ≤1，∴a ≥－1.(3)若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为 . 答案 (－∞，2－22]解析 由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1 ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.1.已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4，＋∞)答案 C解析 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4).2.函数f (x )＝12x －⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 函数f (x )＝12x －⎝⎛⎭⎫12x的零点个数是方程12x －⎝⎛⎭⎫12x ＝0的解的个数，即方程12x ＝⎝⎛⎭⎫12x 的解的个数，也就是函数y ＝12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图像如图所示，可得交点个数为1.3.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)答案 C解析 因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3，故选C.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，1x ，x >0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A.(1,2)B.(－∞，－2]C.(－∞，1)∪(2，＋∞)D.(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D解析 当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1x ＝m ，解得m ≥2，即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).故选D.5.已知关于x 的方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，0)B.(0,1)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)答案 C 解析 方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解等价于函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图像有三个不同的交点.在同一直角坐标系中作出函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图像，如图所示，由图易知，a >0.当－2<x <0时，设函数y ＝a |x |＝－ax 的图像与函数y ＝f (x )＝1x ＋2的图像相切于点(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝－1(x ＋2)2，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－ax 0，y 0＝1x 0＋2，1(x 0＋2)2＝a ，解得a ＝1，所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)，故选C.6.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为 .答案 2解析 函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图像的交点个数.作出函数图像可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点.7.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是 .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <1 解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a ，－2×3＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )>0， 即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <1. 8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是 .答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)解析 令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝b 有两个交点，结合图像(图略)可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2，解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞).9.定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 019x ＋log 2 019x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为 . 答案 3解析 因为函数f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 019x ＋log 2 019x 在区间⎝⎛⎭⎫0，12 019内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，从而函数f (x )在R 上的零点个数为3.10.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，g (x )＝12log x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )>g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为 . 答案 5解析 由题意知函数h (x )的图像如图所示，易知函数h (x )的图像关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图像交点横坐标的和，设图像交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图像的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.11.设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1，若函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)(a >1)在区间[－2，6]内恰有三个零点，则实数a 的取值范围是 . 答案 (34，2)解析 根据题意得f ((x ＋2)－2)＝f ((x ＋2)＋2)，即f (x )＝f (x ＋4)，故函数f (x )的周期为4. 若方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间[－2,6]内恰有三个不同的实根， 则函数y ＝f (x )和y ＝log a (x ＋2)的图像在区间[－2,6]内恰有三个不同的交点， 根据图像可知，log a (6＋2)>3且log a (2＋2)<3，解得34<a <2.12.关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围. 解 显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解，0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x 在(0,1]上是减少的，在[1,2]上是增加的，∴y ＝x ＋1x 在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1， 故m 的取值范围是(－∞，－1].13.已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C.－78 D.－38 答案 C解析 依题意，方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有1个解，故f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)有1个实数解，∴2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0有两相等实数解， 故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.14.定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，求函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和.解 由题意知，当x <0时，f (x )＝⎩⎨⎧－2x1－x ，x ∈(－1，0)，|x ＋3|－1，x ∈(－∞，－1]，作出函数f (x )的图像如图所示，设函数y ＝f (x )的图像与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图像的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0， 令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π.15.已知函数f (x )是偶函数，f (0)＝0，且x >0时，f (x )是增函数，f (3)＝0，则函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点个数为 . 答案 3解析 画出函数y ＝f (x )和y ＝－lg|x ＋1|的大致图像，如图所示.∴由图像知，函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为3.16.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|log 2x |，0<x ≤2，(x －3)(x －4)，x >2，若f (x )＝m 有四个零点a ，b ，c ，d ，求abcd 的取值范围.解 作出函数f (x )的图像，不妨设a <b <c <d ，则－log 2a ＝log 2b ，∴ab ＝1.又根据二次函数的对称性，可知c＋d＝7，∴cd＝c(7－c)＝7c－c2(2<c<3)，∴10<cd<12，∴abcd的取值范围是(10,12).。
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第8节函数与方程教学案理新人教版
第八节函数与方程[考纲传真]结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系1．f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)C [由题意得f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， f (4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0，∴f (x )的零点所在的区间为(2,3)．]3．(教材改编)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0， 故函数f (x )在区间[1,6]内至少有3个零点．]4．函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点有________个．1 [如图所示，函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点有1个．]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线， 由题意可得f (－1)·f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]判断函数零点所在的区间1．函数f (x )＝ln x －2x2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)B [由题意知函数f (x )是增函数，因为f (1)＜0，f (2)＝ln 2－12＝ln 2－ln e ＞0，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1,2)．故选B.]2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内A [∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a ，b )(b ，c )内分别存在一个零点； 又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点，因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.]3．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k ＋12(k ∈Z)内，那么k ＝________.5 [∵f ′(x )＝1x ＋2＞0，x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln52－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，∴f (x )的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3内，则整数k ＝5.]解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来判断利用零点存在性定理进行判断数形结合画出函数图象，通过观察图象与判断函数零点的个数【例1】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(1)D (2)C [依题意，在考虑x ＞0时可以画出函数y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x ≤0时，函数f (x )＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，综上，函数f (x )有3个零点．故选D. (2)因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即x ＝0是函数f (x )的1个零点． 当x ＞0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0，则e x＝－x ＋3，分别画出函数y＝e x和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x )有1个零点．根据对称性知，当x ＜0时，函数f (x )也有1个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.]直接求零点，令x＝零点存在性定理，要求函数在区间a f b ＜再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.(1)0.5A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．(1)B (2)3 [(1)令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．故选B.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0，该方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0 ，－2＋x ＝0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0.②解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2.因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]函数零点的应用【例2】 (1)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )＜0＜f (b ) B ．f (b )＜0＜g (a ) C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． (1)A (2)(3，＋∞) [(1)∵f (x )＝e x＋x －2， ∴f ′(x )＝e x＋1＞0， 则f (x )在R 上为增函数，又f (0)＝e 0－2＜0，f (1)＝e －1＞0，且f (a )＝0，∴0＜a ＜1.∵g (x )＝ln x ＋x 2－3， ∴g ′(x )＝1x＋2x .当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0， ∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又g (1)＝ln 1－2＝－2＜0，g (2)＝ln 2＋1＞0，且g (b )＝0，∴1＜b ＜2，∴a ＜b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f b ＞f a ＝0，g a ＜g b ＝0.故选A.(2)画出f (x )的草图如图所示，若存在实数b ，使得f (x )＝b 有3个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0， 又m ＞0，解得m ＞3.]直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解(1)c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c(2)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(1)A (2)C [(1)在同一坐标系中，画出函数y ＝e x，y ＝ln x 与y ＝－x ，y ＝－1的图象如图所示． 由图可知a ＜b ＜c ， 故选A.(2)∵函数f (x )＝2x－2x－a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3.]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)C [函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( ) A ．－12B.13C.12D ．1C [法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)＝(x －1)2＋a [ex －1＋e－(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t＋e －t)－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t＋e t)－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．又－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a ＞0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 故选C.]。
2020版高考数学一轮复习教案- 第2章 第8节 函数与方程
第八节 函数与方程[考纲传真] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断 一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数 y ＝f (x )(x ∈D )，把使 f (x )＝0 成立的实数 x 叫做函数 y ＝f (x )(x ∈D )的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程 f (x )＝0 有实根⇔函数 y ＝f (x )的图象与 x 轴有交点⇔函数 y ＝f (x )有零点．(3)零点存在性定理：如果函数 y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一 条曲线，并且有 f (a )·f (b )＜0，那么函数 y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在x 0∈(a ，b )，使得 f (x 0)＝0.2．二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与 x 轴的交点(x 1,0)， (x 2,0) (x 1,0) (或(x 2,0)) 无交点零点个数21[常用结论]1．函数 f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，则“f (a )·f (b )＜0”是 函数 f (x )在区间(a ，b )内有零点的充分不必要条件．2．若函数 f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，且 f (a )·f (b )＜0，则函数 f (x )在区 间(a ，b )内只有一个零点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0. ()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0 时没有零点．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．31B[∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，e∴f(x)在(－1,0)内有零点，又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．]3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1A[由于y＝sin x是奇函数，y＝ln x是非奇非偶函数，y＝x2＋1 是偶函数但没有零点，只有y＝cos x是偶函数又有零点．]4．函数f(x)＝3x－x2 的零点所在区间是()A．(0,1)B．(1,2) C．(－2，－1)D．(－1,0)35 2D[∵f(－2)＝－，f(－1)＝－，9 3f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选D.]5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．1，1)[∵函数f(x)的图象为直线，(3由题意可得f(－1)f(1)＜0，Earlybird1∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，31∴实数a 的取值范围是(，1).]3判断函数零点所在的区间1．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内A[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)和(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.]1 x2．设x0 是方程( ＝的解，则x0 所在的范围是()x3 )1 1 1A.(B.0，，3) ( 2)31 2 2C.(D. ，1)，3)( 231xB [构造函数 f (x )＝(－ ，x3)1因为 f (0)＝(－ ＝1＞0，3)111 1 1 1 1 1111 1f(＝－ ＝ 3－(2＞0，f(＝ － ＝ 323 ) (3 )3(3 ) 3) 2) (3 )21(3) 111 1x－＜0.所以由零点存在性定理可得函数 f (x )＝ － x在2(2(2) 3)Earlybird1 1 1 1，上存在零点，即x0∈，，故选B.]( 2) ( 2)3 31 x－23．设函数y1＝x3 与y2＝( 的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋2 )1)，n∈N，则x0 所在的区间是________．1 x－2(1,2)[设f(x)＝x3－( ，则f(x)在R上是增函数，2 )又f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝8－1＝7＞0，则x0∈(1,2)．]4．已知[x]表示不超过实数x 的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0 是函数f(x) 2＝ln x－的零点，则g(x0)＝________.x22[f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，则x0∈(2,3)，故g(x0)＝2.]3[规律方法]判断函数零点所在区间的3 种方法1解方程法：当对应方程f x＝0 易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上.2定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f x在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f a·f b＜0.若有，则函数y＝f x在区间a，b内必有零点.3图象法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.判断函数零点(或方程根)的个数【例1】(1)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为()A．1B．2 C．3D．4(2)(2019·兰州模拟)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1.Earlybird1则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是()2A．5B．6C．7D．8(3)函数f(x)＝Error!的零点个数是________．(1)B(2)A(3)3[(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，1可得|log0.5x|＝( x.2 )1设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝( x，在同一直角坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)2 )的图象，可以发现两个函数图象一定有2 个交点，因此函数f(x)有2 个零点．(2)由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是周期为2 的函数，在同一直角坐标系中，画1出y1＝f(x)与y2＝log2|x|的图象，如图所示．2由图象可得方程解的个数为5，故选A.(3)当x＞0 时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，由图知，当x＞0 时，f(x)有2 个零点；当x≤0 时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f(x)有3 个零点．][规律方法]判断函数零点个数的3 种方法1方程法：令f x＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.Earlybird2零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f a·f b＜0，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.3数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.(1)函数f(x)＝Error!的零点个数为()A．3B．2C．1D．0(2)(2019·泰安模拟)已知函数f(x)＝Error!若关于x 的方程f(x)＋x－a＝0 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．(1)B(2)(1，＋∞)[(1)法一：由f(x)＝0 得Error!或Error!解得x＝－2 或x＝e.因此函数f(x)共有2 个零点．法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2 个零点．(2)问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a 的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象(如图所示)，结合函数图象可知a＞1.]函数零点的应用►考法1根据零点的范围求参数【例2】若函数f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在区间(2,3)上有零点，则k＝________.4[函数f(x)＝log2x＋x－k在(2,3)上单调递增，所以f(2)·f(3)＜0，即(log22＋2－k)·(log23＋3－k)＜0，整理得(3－k)(log23＋3－k)＜0，解得3＜k＜3＋log23，而4＜3＋log23＜5，因为k∈Z，故k＝4.]►考法2已知函数零点或方程根的个数求参数【例3】(2019·青岛模拟)已知函数f(x)＝Error!其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．(3，＋∞)[作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0. 又m>0，解得m>3.][规律方法]已知函数的零点或方程根，求参数问题的三种方法1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.2(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取x值范围是()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)(2)已知函数f(x)＝Error!则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是()A．[0,1) B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)2(1)C(2)D[(1)∵函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝x22x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a x－3)＜0，∴0＜a＜3，故选C.(2)函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＝m－x的根，在同一坐标系中画出函数f(x)和y＝m－x的图象，如图所示，由图象知，当m≤0 或m＞1 时方程f(x)＝m－x有根，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点，故选D.]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(e x－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a ＝()1 1A．－ B.2 31C. D．12C[法一：f(x)＝x2－2x＋a(e x－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[e x－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(e t＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋e t)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数．∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，1∴2a－1＝0，解得a＝.2故选C.法二：f(x)＝0⇔a(e x－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.e x－1＋e－x＋1≥2 e x－1·e－x＋1＝2，当且仅当x＝1 时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1 时取“＝”．若a>0，则a(e x－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝1.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．2故选C.]2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)B[f′(x)＝3ax2－6x，当a＝3 时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；2x∈(0，时，f′(x)<0；3)2 2 5x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f( ＝>0，则f(x)的大致图象3 93 )如图(1)所示．图(1)不符合题意，排除A、C.4 3当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈－∞，－时，3 ( 2)3 3 f′(x)<0，x∈( ，0)时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f(－－2 )25＝－，则f(x)的大致图象如图(2)所示．4Earlybird图(2) 不符合题意，排除D.]。
2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8节函数与方程教学案含解析理
第八节函数与方程[考纲传真] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)(或(x2,0))无交点零点个数210(1)定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)二分法求函数零点近似值的步骤[常用结论]1．函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，则“f (a )·f (b )＜0”是函数f (x )在区间(a ，b )内有零点的充分不必要条件．2．若函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个零点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点． ( )(2)函数y ＝f (x )，x ∈D 在区间(a ，b )⊆D 内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )＜0.( )(3)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在b 2－4ac ＜0时没有零点． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3B [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．] 3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1A [由于y ＝sin x 是奇函数，y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－2，－1) D ．(－1,0)D [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]判断函数零点所在的区间1．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内A [∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a ，b )和(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点，因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.]2．设x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝x 的解，则x 0所在的范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 B [构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－x ， 因为f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130－0＝1＞0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313－13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313－⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312－⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＜0.所以由零点存在性定理可得函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12上存在零点，即x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，故选B.] 3．设函数y 1＝x 3与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________．(1,2) [设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (x )在R 上是增函数，又f (1)＝1－2＝－1＜0，f (2)＝8－1＝7＞0，则x 0∈(1,2)．]4．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则g (x 0)＝________.2 [f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，则x 0∈(2,3)，故g (x 0)＝2.][规律方法] 判断函数零点所在区间的3种方法1解方程法：当对应方程f x ＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上.2定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y ＝f x 在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f a ·f b ＜0.若有，则函数y ＝f x 在区间a ，b 内必有零点.3图象法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.判断函数零点(或方程根)的个数【例1】 (1)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4(2)(2019·兰州模拟)已知函数f (x )满足： ①定义域为R ；②∀x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )； ③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1.则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3,5]内解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8(3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0x 2－2，x ≤0的零点个数是________．(1)B (2)A (3)3 [(1)令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一直角坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)由f (x ＋2)＝f (x )知函数f (x )是周期为2的函数，在同一直角坐标系中，画出y 1＝f (x )与y 2＝12log 2|x |的图象，如图所示．由图象可得方程解的个数为5，故选A.(3)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去) 所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f (x )有3个零点．] [规律方法] 判断函数零点个数的3种方法1方程法：令f x ＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.2零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f a ·f b ＜0，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.3数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)(2019·泰安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)(1，＋∞) [(1)法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.因此函数f (x )共有2个零点．法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．(2)问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，作出函数f (x )的图象(如图所示)，结合函数图象可知a ＞1.]函数零点的应用►考法1 根据零点的范围求参数【例2】 若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2,3)上有零点，则k ＝________. 4 [函数f (x )＝log 2x ＋x －k 在(2,3)上单调递增，所以f (2)·f (3)＜0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )＜0，整理得(3－k )(log 23＋3－k )＜0，解得3＜k ＜3＋log 23，而4＜3＋log 23＜5，因为k ∈Z ，故k ＝4.]►考法2 已知函数零点或方程根的个数求参数【例3】 (2019·青岛模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(3，＋∞) [作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.][规律方法] 已知函数的零点或方程根，求参数问题的三种方法1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围. 2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.(1)函数f (x )＝2x－x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)(1)C (2)D [(1)∵函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3，故选C.(2)函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＝m －x 的根，在同一坐标系中画出函数f (x )和y ＝m －x 的图象，如图所示，由图象知，当m ≤0或m ＞1时方程f (x )＝m －x 有根，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，故选D.]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13C.12D ．1C [法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)＝(x －1)2＋a [ex －1＋e－(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t＋e －t)－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t＋e t)－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点． 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.法二：f (x )＝0⇔a (ex －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．故选C.]2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)B [f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)， 则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝59>0，则f (x )的大致图象如图(1)所示．图(1)不符合题意，排除A 、C.当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32时，f ′(x )<0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－32，0时，f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎪⎫－32＝－54，则f (x )的大致图象如图(2)所示．图(2)不符合题意，排除D.]自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
2020年高考人教A版理科数学一轮复习(全册PPT课件 1520张)
2020版高考 全册精品 PPT课件
第1章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 第二节 函数的单调性与最值 第三节 函数的奇偶性与周期性 第四节 二次函数与幂函数 第五节 指数与指数函数 第六节 对数与对数函数 第七节 函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教 材 改 编 ) 若 集 合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
22
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第二节 两条直线的位置关系 第三节 圆的方程 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第五节 椭 圆
第1课时 椭圆的定义、标准方程及其性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系
第六节 双曲线 第七节 抛物线 第八节 曲线与方程 第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题 高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章 算法初步、统计与统计案例 第一节 算法与程序框图 第二节 随机抽样 第三节 用样本估计总体 第四节 变量间的相关关系与统计案例
《课堂新坐标》高考数学一轮总复习课件：第二章 第八节 函数与方程(共33张PPT)
2＋4 确度 ε＝0.01，取区间(2，4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算
得 f(2)·f(x1)＜0，则此时零点 x0 所在的区间为( )
A．(2，4)
B．(3，4)
探究·提知能
C．(2，3)
D．(2.5，3)
课后作
【解析】 由零点存在性定理知x0∈(2，3)，故选C.
【答案】 C
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Δ＝b2－4ac
落实·固基础
Δ>0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
Δ＝0
Δ<0
高考体验·明
探究·提知能与x轴的交点 零点个数
_(_x_1，___0_)，___(x_2_，__0__) __(_x_1，___0_)_
2
1
无交点 课后作 0
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落实·固基础
1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注 高考体验·明 意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．
2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y
＝f(x)的图象在[a，b]内连续不间断，②f(a)·f(b)＜0.(2)
在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计
落实·固基础
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第八节 函数与方程
高考体验·明
探究·提知能 菜单
课后作
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落实·固基础 1．函数零点
高考体验·明
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使____f_(x_)_＝_0___成
2020高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第八节函数与方程教师用书理
第八节函数与方程☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点。
(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点。
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。
2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210微点提醒1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点。
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号。
2．三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点。
小|题|快|练一、走进教材1．(必修1P92A组T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234 5f(x)－4－2147A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)【解析】由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2,3)内有零点，故选B。