2012-2013学年第一学期一元微积分(A下)试卷(B)答案
2016-2017 学年第一学期一元微积分(B 下)试卷 A 答案
（A）
3
gx
9 x2 dx
（B）
3
2 gx
9 x2 dx
0
0 （C）3x来自9 x2 dx0
（D）
3
2 gπx
9 x2 dx .
0
8.
设
f
x 为连续函数，且
f
x
1
x 20
f
t dt
，则
2 _____.
0
2
3. 方程 y 4y 4y 0 的通解为
y (c1 c2x)e2x
.
4. 二阶微分方程 y 4y 5y xe2x 的特解形式为 y* (ax b)e2x
.
二、选择题（每题 4 分，共 32 分）
1. 设 f (x) 在[a, a] 上连续，则 a f (x)dx ( A ). a
为任意常数，则方程的通解是（D）.
（A） c1 y1 c2 y2 y3
（B） c1y1 c2 y2 (c1 c2 ) y3
（C） c1( y1 y2 ) c2 ( y1 y2 ) y3
（D） c1( y1 y3) c2 ( y2 y3) y1 .
5. 微分方程 y ay by 0 （ a,b 是常数）的特征方程的两个根分别是 1 和 2，
x 1
y(x) (x 1)2(x c)
y(0) 1 c 1
解为 y (x 1)3 .
5.
计算星形线
x y
=
a a
cos3 sin3
t, t,
(a
0)
一元微积分高难度习题
第一章、极限与连续 1．求21)]1x x x -→+∞+-。
2。
求n (0≥x )。
3． 设3214lim1x x ax x l x →---+=+，求常数,a l 。
4。
求已知()0lim x f x →存在，且3x →=，求()0lim x f x →．5。
极限sin sin sin lim sin x t xt xt x -→⎛⎫⎪⎝⎭，并记此极限为()f x ，求函数()f x 的间断点并指出其间断类型。
6。
求常数,a b ，使()1,0, 011arctan , 1-1x x f x ax b x x x ⎧<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩在所定义的区间上连续． 7。
设()()21211lim ,1n n n n n x a x f x a x ax +→∞+--=--为常数，求()f x 的分段表达式，并确定常数a 的值，使()f x 在[0,)+∞上连续． 8．设101=x , n n x x +=+61(Λ,3,2,1=n ),试证数列{}n x 极限存在,并求此极限。
第二章、导数1．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0),0(,0,)()(x f x x x f x F 其中)(x f 在0=x 处可导，0)0(≠'f ，0)0(=f ，则的是 )( 0x F x =（ ）（A ）连续点； （B ）第一类间断点； （C ）第二类间断点； （D ）不能确定。
2．函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点的个数是（ ）. (A)3； (B)2； (C)1； (D)0。
3．⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=,0 ),(,0 ,cos 1)(2x x g x x xxx f 其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 处（ ）（A ）极限不存在；（B ）极限存在但不连续；（C ）连续但不可导；（D ）可导。
4．设x x x x f -=2)(，则)(x f （ ）（A ）处处不可导；（B ）处处可导；（C ）有且仅有一个不可导点；（D ）有且仅有两个不可导点。
一元微积分A(上)试题
（勤奋、求是、创新、奉献）2012 ～ 2013学年第一学期考试 2012. 11课程代码 210151 班级 姓名___ ______ 学号 ___ _________一元微积分A （上）试卷（本卷考试时间 120 分钟）题号一二三 四 五 六七 八 九 十 十一 十二总 分分值 20分18分5分 5分 6分 5 分5分 6分 7分 9分 8分 6分 100分得 分一、填空题（每小题4分，共5小题20分）1. 极限233632lim 15n n n n→∞++=+ ．2. 3. 设2sin ln3y x =+, 则dy = dx .4. 设函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，则方程()0f x '=正好有 个实根.5. 函数23x y xe =+的驻点是x = .二、单项选择题（每小题3分，共6小题18分）2t a n 2,00.,0xx y x k xk x x ⎧<⎪===⎨⎪+≥⎩设函数在点连续，则()y f x =O yx2-2()y f x =O yx 2-2O yx 2-2()y f x =Oyx -22-11()y f x =1. 下列极限中存在的是（ ）. A. 11lim 2xx →-； B. 01lim sinx x→； C. 11lim 1x x →-； D. lim arctan x x →∞．2. 设质点的运动方程为)sin(θω+=t A s ，其中,,A ωθ为常数，则（ ）成立.A. 0ds s dt ω+=;B. 2220d s s dt ω+=; C. 220d s ds dt dt ω+=; D. 220d s ds dt dt+=． 3. 函数21()lim1nn xf x x →∞+=+有（ ）个间断点.A. 3;B. 2;C. 1;D. 0.4．在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的函数是（ ）. A. 41()f x x=； B. 2()1f x x =+； C . ()tan f x x =； D .()||f x x =. 5. 设函数()f x 可导，且0lim ()1x f x →'=，则0x =是函数()f x 的（ ） A ．零点; B ．驻点; C ．极值点; D ．以上都不是.6. 设函数()f x 可导，在(,2)-∞-上()0f x '>，在(2,2)-上()0f x '<，在(2,)+∞上()0f x '>，则此函数的图形是( ).A ．B ．C. D ．三、（5分）求极限30sin 21lim x x x e x→+-.四、（5分）设sin tan arccos ln 2xy x x x x =+++，求dxdy .五、（6分）设 sin cos ,cos sin ,x t t t y t t t =-⎧⎨=+⎩， 求4t dydx π=，22d y dx．六、（5分）方程35y y xe x +=确定y 为x 的函数，求出它在1,0x y ==处的导数.七、（5分）一球形物体收缩时，其半径以2cm/s 的速率缩短，试求半径为４m 时，该球形物体体积的变化率.八、(6分) 设函数)(x f ln(2),0sin 2,0ax x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，问b a ,为何值时，(1) )(x f 在0=x 连续； (2) )(x f 在0=x 可导；(3) )(x f 在0=x 可导时，求出)(x f '．九、（7分）设曲线c bx ax x y +++=23过)0,1(点，且在该点与直线33+-=x y 相切，此外该函数)(x y y =在2-=x 取得极值，求常数c b a ,,的值.十、(9分)求曲线2ln=的凹凸区间与拐点.y x x十一、（8分）油脂公司要制作一个容积为16πkL的圆柱形储油罐，问应当如何确定油罐的底圆半径r和高h，才能使得造价最省？(体积单位与容积单位的换算公式：3=)1m1kL十二、(6分) 设函数)(x f 在],[b a 上可导，在),(b a 内有二阶导数，且()()0,()()0,f a f b f a f b ''==>试证明：在),(b a 内至少有两个点,ξη，使得()0,()0.f f ξη''==。
2013-2014一元微积分A下试题
2013-2014学年第一学期一元微积分(A 下)试卷（A 卷）踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负一、填空题（10小题，每题4分，共40分） 1．已知2()xx f edx e C =+⎰，则()f x = 2x^2 。
2．214dx x =-⎰ 1/4ln(x+2/x-2 )+c 。
3．ln(x dx +=⎰xln(x+(1+x)^1/2)-1/3(1+x^2)^3/2+1/3x^3+c 。
4．若12()()f x x xf x dx =+⎰，则1()f x dx ⎰的值为 3/4 。
5．2422(sin()sin )x x e x x dx ππ-++=⎰ 2 。
6．0|sin |n x dx π=⎰2n 。
7．10=⎰ -4 。
8．方程21x y ydy e dx -=的通解为 y^2=x+c 。
9．方程tan dy y y dx x x =+满足条件(1)2y π=的特解为 y=xarcsinx 。
10．方程23sin y y y x x '''+-=的特解形式 y=x(ax+b)sinx+x(cx+d)cosx 。
（不必求解）二、求解下列各题（6小题，每题6分，共36分）1．假设()f x 的一个原函数为2tan(1)x +，求不定积分()xf x dx '⎰。
2．计算不定积分1sin 1cos xdx x -+⎰。
3．利用定积分定义计算极限21lim n n →∞ 。
4．假设函数()y y x =满足20()2()xf x f t dt x +=⎰，求()f x 。
係數5．判断反常积分2(1)(1)dxx x +∞++⎰是否收敛，若收敛，求其值。
6．已知()f x 在0x =处可导，且(0)0,(0)1f f '==，计算极限3()limxx f xt dt x →⎰做錯了，換元換限三、[7分]（1） 验证1x y e =是二阶线性微分方程(21)(1)0xy x y x y '''--+-=的一个特解。
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
初一试卷-2012-2013学年七年级数学上学期第一次单元测试试卷及答案
初一试卷:2012-2013 学年七年级数学上学期第一次单元测试试卷及答案2012 学年第一学期七年级数学第一单元检测班级学号姓名成绩亲爱的同学们：恭喜你幸运地进入新纪元实验学校，很快一个单元的快乐学习也告一段落。
数学已经从幕后走到台前，为社会直接创造了巨大的价值，数学在高科技的发展中发挥越来越大的作用，在很多地方是“本质和核心的技术”。
祝愿你在数学的天空中尽情地展翅飞翔。
一、仔细选一选（30 分）1. 0 是（）A．正有理数B．负有理数C．整数D．负整数2. 中国第一座跨海大桥——杭州湾跨海大桥全长36 千米，其中36 属于（）A．计数B．测量C．标号或排序D．以上都不是3. 下列说法不正确的是( )A．0 既不是正数，也不是负数B．0 的绝对值是0C．一个有理数不是整数就是分数D．1 是绝对值最小的数4. 在数－, 0 , 4.5, |－9|, －6.79 中,属于正数的有( )个A．2 B．3 C．4 D．55. 一个数的相反数是3，那么这个数是（）A．3 B．－3 C．D．6. 下列式子正确的是（）A．2>0>-4>-1 B．-4>-1>2>0 C．-4 D．0-17. 一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是（）A．1 B．1 C．0 D．－18. 把数轴上表示数2 的点移动3 个单位后，表示的数为（）A．5 B．1 C．5 或1 D．5 或－19. 大于－2.2 的最小整数是（）A．－2 B．－3 C．－1 D．010. 学校、家、书店依次座落在一条东西走向的大街上，学校在家的西边20 米，书店在家东边100 米,张明同学从家里出发，向东走了50 米，接着又向西走了70 米，此时张明的位置在( )A. 在家B. 在学校C. 在书店D. 不在上述地方二、认真填一填（本题共30 分）11.若上升15 米记作+15 米，则－8 米表示。
12．举出一个既是负数又是整数的数。
微积分1基础试题及答案
微积分1基础试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2的导数是：A. 2xB. x^2C. 2x^2D. x答案：A2. 下列哪个函数是偶函数？A. y=x^3B. y=x^2C. y=x^5D. y=x答案：B3. 积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：A4. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^x + CC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C答案：A5. 函数y=ln(x)的导数是：A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A6. 函数y=sin(x)的二阶导数是：A. -sin(x)B. cos(x)C. -cos(x)D. sin(x)答案：C7. 函数y=x^3 - 3x^2 + 2x的极值点是：A. x=0B. x=1C. x=2D. x=3答案：B8. 曲线y=x^2在x=1处的切线斜率是：B. 1C. 0D. -1答案：A9. 函数y=x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B10. 积分∫(0到π) sin(x) dx的值是：A. 0B. 2C. πD. -π答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数y=x^3的二阶导数是_______。
答案：6x2. 函数y=cos(x)的不定积分是_______。
答案：sin(x) + C3. 曲线y=ln(x)在x=e处的切线斜率是_______。
答案：1/e4. 函数y=x^2 - 4x + 4的最小值是_______。
答案：05. 函数y=e^(-x)的导数是_______。
答案：-e^(-x)6. 函数y=x^4的不定积分是_______。
答案：x^5/5 + C7. 曲线y=x^3在x=-1处的切线斜率是_______。
答案：-38. 函数y=sin(x)的二阶导数是_______。
高等数学一元微积分学课后练习题含答案
高等数学一元微积分学课后练习题含答案概述高等数学一元微积分是大学数学中的重要课程，掌握好微积分理论和应用，对于理解和学习后续相关数学课程都有非常重要的作用。
在学习一元微积分的过程中，做好练习题也是非常重要的一环。
因此，本文档提供了一些高等数学一元微积分学课后练习题和答案，供大家练习和参考，希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。
练习题与答案题目 1已知点A(0,1)和点B(2,5)，则过点 A 且斜率为 3 的直线方程为？答案利用两点式，设所求直线方程为y=kx+1，则有：$$ k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2 $$因为所求直线的斜率为 3，所以有k=3，代入上式得：y=3x+1所以答案为y=3x+1。
题目 2已知函数f(x)=x3−6x2+11x−6，求其零点。
答案为了求出函数f(x)的零点，我们需要通过解方程f(x)=0来得到。
对于一个三次函数，我们可以通过因式分解或利用根的判别式来求解。
首先，我们尝试对f(x)进行因式分解：f(x)=x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)因此，函数f(x)的零点为x=1,2,3。
题目 3求函数f(x)=x3−3x+2在[−1,2]上的最大值和最小值。
答案为了求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值，我们需要使用微积分中的极值定理。
首先，求出函数f(x)的导数：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f′(x)在[−1,1]上是负数，在(1,2]上是正数，因此，f(x)在x=1处取得极大值，f(x)在x=−1和x=2处取得极小值。
当x=−1时，有f(−1)=(−1)3−3(−1)+2=6，即最小值为 6。
当x=1时，有f(1)=13−3(1)+2=0，即最大值为 0。
当x=2时，有f(2)=23−3(2)+2=4，即最小值为 4。
因此，函数f(x)在[−1,2]上的最大值为 0，最小值为 4。
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踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负
教师 试题 得分 班号 一 二 专业班级 三 四 学号 五 姓名 六 成绩 七 总分
一、填空题（每题 4 分，共 40 分） 1. 若 f ( x) = e ，则
−x
∫
f ′(ln x ) 1 d x ＝ +C x x
（3）设 S1 + S 2 =
1 a a 3 2a 3 − 3a + 2 − + = （2 分） 3 2 3 6
令 S′ =
6a 2 − 3 2 2 =0， （2 分）驻点为 a = ± ，负的舍去，得惟一驻点。 a = ，最小 6 2 2
（2 分） 六 、 (4 分 ) 设 f ( x ) 在 [0,1] 上 是 非 负 、 单 调 减 的 连 续 函 数 , 且 0 < a < b < 1 , 证 明 ：
0 0 0
∫ (1 − x
0
1
2
)d x
(4 分)
a = 3 (1 分)
f ( x) = 3 x − 3 1 − x 2
(1 分)
4. 求心形线 ρ = a (1 + cos ϕ ) ( a > 0) 的周长.
2π
解: l =
∫
0
a 2 (1 + cos ϕ ) 2 + a 2 sin 2 ϕ d ϕ (4 分)
三、(8 分) 试求 y ′′ = x 的经过点 (0,1) 且在此点与直线 y =
x + 1 相切的积分曲线. 2
⎧ ⎪ y′′ = x ⎪ 解:由已知 ⎨ y (0) = 1 ⎪ 1 ⎪ y′(0) = ⎩ 2
y=
(3 分) y′ =
1 2 1 (1 分) x + C1 (1 分) C1 = 2 2
y′′ − 4 y ′ + 5 y = 0
9.
∫ lim
x →1
x
1
et
2
ln x
＝e
10.
∫
π 2 π − 2
6 cos 4θ d θ =
9π 4
二、解下列各题（每题 6 分，共 30 分） 1.
∫ 1 + sin x + cos x
dx
解:原式=
∫
dx 1 dx = ∫ x x x 2 x x 2sin cos + 2 cos 2 cos 2 (1 + tan ) 2 2 2 2 2
∫
a
0
f ( x) d x ≥
a b f ( x) d x . b ∫a
解：设 F ( x) = x
∫
a
0
f ( x) d x − a ∫ f ( x) d x ，则 F ( x ) 在 [ a,1] 上连续、可导，且
a
x
F ′( x) = ∫ f ( x) d x − af ( x) = af (ξ ) − af ( x) = a[ f (ξ ) − f ( x)], 0 < ξ < a
x = 1 围成的面积为 S 2 。 （1）求 S1 ； （2）求 S 2 ； （3）确定 a 使 S1 ＋ S 2 最小.
解： （1） S1 = ( ax − x 2 ) d x =
0 1
∫
a
a3 6
（2 分）
（2） S 2 = ( x 2 − ax ) d x =
a
∫
1 − a3 a − a3 1 a a3 − = − + (0 < a < 1) （2 分） 3 2 3 2 6
3. 极限 lim( 5.
∫
2
−2
( 4 − x 2 + arctan x) d x ＝ 2π
6. 广义积分
∫
+∞
xd x 1 + x2
−∞
发散 填（ “收敛”或“发散”)
7.
y′′′ = x + sin x 的通解是 y =
x4 + cos x + C1 x 2 + C2 x + C3 24
8. 已 知 二 阶 数 线 性 齐 次 方 程 的 特 征 根 为 r1,2 = 2 ± i ， 则 其 所 对 应 的 方 程 是
(3 分)
x d(tan ) 2 = ln 1 + tan x + C =∫ x 2 1 + tan 2
⎧2 xy ′ = y − x 3 的解. 2. 求初值问题 ⎨ ⎩ y x =1 = 0
解: y′ −
(3 分)
y x2 =− 2x 2
p( x) = −
1 x2 , q ( x) = − 2x 2
x n d e− x (2 分) = − x n e− x
+ ∫ e− x d x n (1 分)
0
+∞
= n∫
+∞
+∞
0
−x
x n −1e− x d x = nI n−1 (3 分)
d x = 1 (1 分) I n = n ! (1 分)
2
I0 =
∫e
0
五、 （10 分）设直线 y = ax (0 < a < 1) 与抛物线 y = x 围成的图形的面积为 S1 。它们和直线
2. 若 f ( x ) 的导函数是 sin x ，则 f ( x ) 有一个原函数为 − sin x
1 1 1 + +"+ ) ＝ ln 2 . n →∞ n + 1 n+2 n+n x2 x2 dy 4. 设 ∫ xf (t ) d t , 其中 f (t ) 是连续函数，则 ＝ ∫ xf (t ) d t + 2 x 2 f ( x 2 ) 0 0 dx
∫
0
2π
πy 2 d x =
∫ π(a(1 − cos t )
0
2
d a (t − sin t )
(3 分)
= πa 3 ∫ (1 − 3cos t + 3cos 2 t − cos3 t ) dt = πa 3 (t
0
2π
2π 0
3 + (1 + cos 2t ) 2
2π 0
)
= 5πa 3
(3 分)
(2 分)
(2 分)
1 1 2 − − dx ⎡ −x − dx ⎤ y = e ∫ 2x ⎢∫ e∫ 2 x d x + C ⎥ ⎣ 2 ⎦
= x⎢
⎡ − x2 1 ⎤ x3 d + x C = − + C x (1 分) ⎥ ∫ 5 ⎣ 2 x ⎦
1 5
2
代入初值条件 C =
解为 −
x3 x (1 分) + 5 5
π
2π
=
∫a
0
2(1 + cos ϕ ) d ϕ = 2 ∫ a cos
0
ϕ
2
d ϕ = 8a (2 分)
5. 摆线 x = a (t − sin t ), y = a (1 − cos t ) 的一拱 (0 ≤ t ≤ 2 π ) 与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所 得的旋转体体积.
2 πa
解: V =
0
a
由
f ( x ) 在 [0,1] 上 非 负 , 单 调 减 , 可 得 F ′( x ) > 0 , 所 以
a
F (b) > f ( a ) = a ∫ f ( x) d x > 0 ,原命题得证.
0
1 3 1 1 1 x + x + C2 (1 分) C2 = 1 (1 分) y = x 3 + x + 1 (1 分) 6 2 6 2
四、 (8 分) 利用递推公式计算反常积分 I n = 解: I n =
∫
+∞
0
x ne− x d x .
+∞ 0
∫
+∞
0
x ne− x d x = − ∫
+∞
0
3. 已知函数 f ( x) = 3 x − 1 − x
2
∫
1
0
f 2 ( x) d x, 求 f ( x ) .
2
解: 两边同时平方 f ( x) = (3x − 1 − x
1 1 1 2 2
∫
1
0
f 2 ( x) d x)) d x = ∫ 9 x d x − a ∫ 6 x 1 − x d x + a