第二讲 质点的运动微分方程
质点运动微分方程
则该一阶微分方程称为质点运动微分方程的运动
积分, 积分常数 C 由初始条件确定. 从 数学 上看 , 找 到运动积分 使 运动微分方程 由二阶微分方程降为一阶微分方程, 有利于求解. 从物理上看 , 第一积分 对 应 着某 个运动 守恒 量, 可能有明确的物理意义. 我 们常 利 用 物理意义明 确的第一积分 , 如动 量守恒、 角动量守恒和机械能守恒等, 以达到简 化问题求解过程的目的. 三、约束 牛顿力学中力的分类 1. 约束的概念和约束方程. 约束是预先给定的、 由约束物给出的对力学 系统 (目前指质点) 运动的限制. 有关约束, 读者应注意以下三点: (1) 约束是预先给定的并由约束物给出. (2) 我 们 抛 出一个质点 , 忽略空气阻 力时 , 它 必沿某 一 抛物 线运动 , 这 是由动力学 规 律和运 动初始条件 决 定的 , 质点不 受约束 , 运动是 自 由 的. (3) 约束既 包括 对 质点位置的 限制 , 又 包括 对质点速度的限制. 用数学方 法表述约束 条件的方程称为 约束 方 程. 质点受到约束, 其自由度减少. 自由质点和非自由质点.
x 2 + y 2 = l 2 z = 0
质 点 受 约 束 力 FR = FT F = W = mg .
r = l 或 z = 0
( 绳 张 力 ), 主 动 力
(2)约束方程为
y = 0 z = 0
质点受约束力 FR = FN + F f , 注意支撑力 FN 和摩擦力 F f
未知函数即为运动学方程 r = r(t). 相当于 3 个标量
的二阶微分方程,如
= Fx ( x, y, z, x , y , z m , t ) x = Fy ( x, y, z, x , y , z , t ) y m , y , z , t ) mz = Fz ( x, y, z, x
动力学基本定律 质点的运动微分方程
2
动力学
第十章
质点动力学的基本方程
11
动力学基本定律 质点的运动微分方程 §11–1 §11–2 §11–3 引言 动力学基本定律 质点的运动微分方程
3
动力学
引言
§11–1 引
言
研究物体的机械运动与作用力之间的关系 一.研究对象：
二.力学模型：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点； 质点。
解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。
取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。
火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
mM F f 2 x mM mg f R2 m gR2 F x2
建立质点运动微分方程
m
dx 2 dt
2
mgR2 x2
即：
dvx R 2 mg mvx 2 dx x
动力学
质点动力学的基本方程
dy v0 sin 0 代入最高点A处值，得： v0 sin 0 gt 0, 即 t dt g 将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程， 得
v0 cos 0
sg 2 gH
v0 sin 0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态越不容易 改变，也就是质点的惯性越大，因此，质量是质点惯性的度量； 另外应注意公式中国际单位制（SI）的表示以及国际单位制和 工程单位制的换算关系。
7
动力学
第十章
质点动力学的基本方程
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向 相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。 这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体， 而且也适用于任何运动的物体。
02第二讲：质点运动微分方程
θ
F n τ
m = F +m a g && τ : mlθ = −mgsinθ & η : mlθ2 = F −mgcosθ
积分上式可得： 积分上式可得：
运动微分方程
s
u
mg
u2 F = m (3cosθ − 2) + m g l
9
§1-2 质点运动微分方程 分析小球的运动
（1）微幅摆动 ） 微分方程的通解
所谓已知力是指： 所谓已知力是指：力F 可以表示成 F = F(v, r, t) 的已知函数
4
§1-2 质点运动微分方程 两类问题综合
已知部分力和部分运动， 已知部分力和部分运动，求另一部分的力和运动
已知：发动机的输出扭矩、车的重力、车沿直线行驶。 已知：发动机的输出扭矩、车的重力、车沿直线行驶。 待求：地面约束力，车身的运动（前行速度，上下振动）。 待求：地面约束力，车身的运动（前行速度，上下振动）。
10
& & θ +ω2θ = 0
§1-2 质点运动微分方程
（2）大幅摆动 ）
& +ω2 sinθ = 0 & θ
大 幅 摆 动 不 具
θ / rad
有 等 时 性
t /s
11
§1-2 质点运动微分方程
•
求解动力学问题的基本步骤
1. 对研究对象进行受力分析，画其受力图 对研究对象进行受力分析， 2. 根据运动的特点，选取坐标系 根据运动的特点， 3. 建立矢量形式的微分方程 4. 将矢量方程投影到坐标轴上（标量形式的微 将矢量方程投影到坐标轴上（ 分方程）， ），并写出相应的初始条件 分方程），并写出相应的初始条件 5. 求解微分方程（积分或数值解） 求解微分方程（积分或数值解） 6. 分析讨论数学结果的物理含义
质点运动微分方程
质点运动微分方程
质点运动微分方程是描述质点在运动中位置、速度和加速度之间关系的微分方程。
根据牛顿第二定律，质点的加速度与作用在质点上的合力成正比，与质点的质量成反比。
因此，可以得到质点的运动微分方程为 F = ma，即 F(x(t), v(t), t) = m * v'(t)，其中 F表示作用在质点上的合力，m表示质点的质量，v(t)表示质点的速度，x(t)表示质点的位移。
解决质点运动微分方程可以得到质点的速度和位移的函数表达式，从而可以进一步分析质点的运动规律和特性。
质点运动微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛应用，例如在运动学、力学、电学、热学等方面，都需要使用微分方程来研究质点的运动。
- 1 -。
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
运动微分方程的求解(共7页)
§2-3 运动(yùndòng)微分方程的求解1.求解步骤1)确定分析对象（隔离体）2)作受力分析（施力物、超距力、接触力），画隔离体图3)建立合适坐标系，写出方程解析式并给出初始位置、速度4)给出二阶常微分方程组的数字解5)阐明结果的物理含意与实质作用力为时间、位置、速度的函数；若力只是其中某一项的函数，则问题可加以简化。
2.常力作用下质点的运动〖例2-1〗求质点m在常力作用下的运动。
已知t=0时初位置和初速度分别为。
解：3.力只是时间的函数〖例2-2〗求自由电子-e在沿x轴的电场中的运动。
已知t=0时。
解：4.力只是速度的函数〖例2-3〗求在阻力正比于速度即的介质中抛物体的运动。
已知t=0时。
解：消去t得轨道方程为若阻力很小或距离很短（开始运动），即时，有轨道开始时接近抛物线，x趋于时y趋于无穷大，即为竖直直线。
5.力只是坐标的函数〖例2-4〗求做一维振动的弹性系数为k的弹簧振子的运动。
解：二维振动与利萨如图形。
6.复杂情况力为时间、坐标、速度的函数一维：（受迫振动）如LRC电路：为二阶常系数线性常微分方程，可用数值计算。
7.例题〖例2-5〗P39例1〖例2-6〗P41例3§2-4 加速(jiā sù)平动非惯性系动力学1.问题的提出在惯性系S中成立，在动系S’中是否成立？作加速平动的参照系为非惯性系。
2.改进的牛顿定律引入惯性力后牛顿定律仍成立。
3.讨论？为什么选择非惯性系：方便？惯性力与普通力的差别惯性力只是一种记号，它无施力物体，也无反作用力4.例题〖例2-7〗P44例质点运动(yùndòng)微分方程小结1.运动微分方程2.运动微分方程的解析式或3.理想光滑线约束力的求解4.平动加速非惯性系的加上惯性力后牛顿定律仍然成立处理5.例题〖例2-8〗P98补例1.4〖例2-9〗P99补例1.56.习题三〖P105习题1.21，1.27，1.32，1.33〗§2-5 质点的能量(néngliàng)积分1.第一积分直接求解运动微分方程是研究动力学问题的基本方法，但对具体问题解出微分方程有时比较困难。
质点运动微分方程
x
ay
d2y dt 2
d 2
sin
t
2 y
2、求质点所受的力
由
d2x m dt 2
d2y Fxi , m dt 2
Fyi 得
Fx max m2x, Fy may m2 y
Fx max m2x, Fy may m2 y
讨论： 求质点的轨迹方程：
从运动方程中消去 t，得
x2 y2 b2 d 2 1
动力学的理论基础： 牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律
牛顿定律的适用范围（1）不适于微观物体；（2）物体的运动速 度不能太大。
动力学分为质点动力学和质点系动力学： 质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质 点系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体 系统） 本课程重点放在质点系动力学。
§9-2 质点的运动微分方程
根据牛顿第二定律，若质点M的质量z 为m，受n个力F1 , F2 ,…., Fn作用，
则有
n
m a Fi 或 m a FR
i 1
k
Fi
F1
M Fn
FR
r
aa
而
d 2r a dt 2
i oj
y
x
则
d 2r
m dt 2
n i 1
Fi
矢量形式的质点运动微分方程。
1. 质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
FR
dt
运动的起始条件为：t = 0时，v0 = 0，x0 = 0
v dv
t
dt
0 g bv 0
v g 1 ebt b
x dx
关于质点系运动微分方程的应用
应用质点系运动微分方程的研究技术一、质点系运动微分方程的定义质点系运动微分方程是一种描述物体在特定的空间内的运动轨迹的数学方程。
它是一种描述物体运动的微分方程，可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
它是一种描述物体运动轨迹的一般微分方程，可以用来解决质点系的运动问题，它可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
质点系运动微分方程的定义是：当物体处于一定的空间中，它的运动轨迹可以用一个特殊的微分方程来描述，这个微分方程就是质点系运动微分方程。
它由一个或多个未知函数的求导与一个或多个已知函数的乘积组成，这些函数可以是时间函数、位置函数或速度函数等，只要它们满足物体运动的物理规律。
例如，用质点系运动微分方程来描述一个抛物运动的物体，可以得到一个如下的微分方程：\frac{d^2x}{dt^2}=-g，其中，g表示重力加速度。
又如，用质点系运动微分方程来描述一个摆动运动的物体，可以得到一个如下的微分方程：\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin(x)，其中，g表示重力加速度，l表示摆的长度。
总之，质点系运动微分方程是一种描述物体在特定的空间内的运动轨迹的数学方程，它由一个或多个未知函数的求导与一个或多个已知函数的乘积组成，它可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
二、质点系运动微分方程的常见形式质点系运动微分方程是一组常见的微分方程，它们描述了质点系的运动。
它们的形式是一般的欧拉方程，也就是一阶微分方程组，其中有n个未知函数，每个函数有m个变量。
它们的具体形式是：$$\frac{d \mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x},t)$$其中，$\mathbf{x}$ 是质点系的状态变量，$\mathbf{f}$ 是质点系的动力学方程，描述了质点系的运动规律。
质点系运动微分方程有许多不同的形式，比如牛顿运动方程，描述了质点受到外力时的运动规律：$$m \frac{d^2 \mathbf{x}}{dt^2} = \mathbf{F}(\mathbf{x}, t)$$这里，$m$ 是质量，$\mathbf{F}$ 是外力。
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钢丝
y
x2 = 4ay
小环
x 例：钢丝为抛物线，小环作约束运动，约束方程 2 = 4ay 。
x
（3） 约束反力——约束物（钢丝）对被约束的质点所施加的作用力。
O
注：
（1）约束反力不仅取决于约束本身，还与作用在质点上的其他力及质点本身的运动状态有 关（举例）；
=
0
方程通解 x = A cos (w0t + j ) ——振子的运动方程
×
×
设初始条件为 t = 0 时， x = x0 , x = x0
e0
×
由运动方程可得 x = - Aw0 sin (w0t + j ) 代入初始条件得
A=
x02
+
æ ç
ç è
×
x0
w
ö2 ÷
÷ ø
， tanj
=
-
×
x0
w x0
（2）单靠约束反力不能引起质点的任何运动，∴称约束反力为被动力（一般未知）， 而像：万有引力、电磁力等为主动力；
（3）摩擦力为被动力，因此也属于约束反力。 2、 求质点约束运动的方法——去掉约束，代之以约束反力（隔离体法） 3、 质点约束运动的微分方程
设质点所受主动力的合力为
ur F
æ ç
r r,
r× r
第二讲 质点的运动微分方程及有关应用
教学时间
教学目的要求：
1 使学生深刻理解牛顿运动三定律的内涵和伽利略力学相对性原理的意义。 2 使学生熟练运用牛顿运动定律，列出有关实际问题的运动微分方程并能进行求解。 重点：质点运动微分方程的建立，初始条件的确立。
难点：对力仅是速度函数的情况下运动方程的求解。
教学方法：通过典型实例研究各种情况的运动微分方程及求解。
uur 例：质量为的物体以初速度 v0 与水平方向成a 角抛出，物体在
y
ur
r
uur
运动过程中所受阻力 f = -mkv ，求此抛射体的轨道
v0
解：将抛射体视作质点为研究对象
ur ur
以抛射点为坐标原点，质点的运动平面为坐标面（质点作平面
f mg
x
曲线运动）建立竖直坐标系 o - xy ，如图所示
ur r
××
x
=
Fx
æ çè
x,
y,
z;
×
x,
×
y,
×
z; t
ö ÷ø
1、
在直角坐标系下
ïím ï
××
y
=
Fy
æ çè
x,
y,
z;
×
x,
×
y,
×
z; t
ö ÷ø
ï ïm î
××
z
=
Fz
æ çè
x,
y,
z;
×
x,
×
y,
×
z;
t
ö ÷ø
解此方程组，会出现六个积分常数，由初始条件确定，
t
=
0时 ,
ìï x í×
=
+
kv0
g cosa
ö ÷ ø
x
+
g k2
ln
æ ç1 è
v0
kx cos a
ö ÷ ø
将轨道方程进行级数展开 f ( x) = f (0) + f ' (0) x + f '' (0) x2 + ....... + f (n) (0) xn + .......，
2!
n!
得 y = tan a x - g x2 - kg x3 - .......
讲授要点及内容：
一、牛顿运动定律的物理意义（对牛顿运动定律的复习）
1、 牛顿定律是经典力学的基础，整个经典力学大厦就是以牛顿定律为基础建立起来的。 2、 牛顿定律只适用于一种特殊的参考系——惯性系。 3、 牛顿定律的理论基础是伽利略力学相对性原理——对于力学规律而言，所有的惯性系都 是等价的。
二、质点的两种运动形式
x x
（其中两个角由题中所给已知条件确定一个）
（关于三维简谐运动同学自己阅读）
ur ur
3、 力仅是速度的函数—— F = F (v)
以抛射体为例，这类问题比较复杂，可在自然坐标系下求解（同学自己看书）也可在直角坐
标系下求解。在此，我们研究最简单的情况，抛射体运动过程中所受阻力与速度成正比，且
抛射体可视为质点。
ìïm ï
dv dt
=
Ft
+
Rt
运动微分方程
ïím ï
v2 r
=
Fn
+
Rn
ï0 ï
=
Fb
+
Rb
î
平面运动无此方程
（1） 光滑线约束——无 Rt 分量。
通过第一个方程可求质点运动规律，后两个方程确定约束反力，这样分开求解对解决问题带 来极大方便，这就是利用内禀方程求解光滑线约束的优越性。 （2） 非光滑线约束——质点受到沿切线方向的摩擦力作用。
力要受到空间、时间、速度等的影响（例跑步、骑车、坐汽车时感受到的风力不同），
一般情况下，力是
r r,
r× r,
t
的函数，即
ur F
=
ur F
æ ç
r r,
r× r,
t
ö ÷
èø
根据牛顿运动定律得出质点的运动微分方程为
m
r×× r
=
ur F
æ ç
r r,
r× r,
t
ö ÷
——二阶常微分方程。
èø
ìïm ï
2v02 cos2 a
3v03 cos3 a
当 x 取值很小时，即 kx = 1 ，可略去高阶小量，轨道方程为 v0 cosa
y = tana x -
g
x2 ——初始一小段时间为二次抛物线
2v02 cos2 a
x 取值越大，轨道形状越偏离抛物线，当 x ® v0 cosa 时， y ® ¥ 轨道为竖直直线 k
解方程（2）
y
=
C
+
De-kt
-
g
t,
×
y
=
Dke - kt
-
g
k
k
（3）
代入初始条件，得
D
=
-
æ çè
v0 k
sin a
+
g k2
ö ÷ø
，则
y
=
C
-
æ çè
v0 k
sin a
+
g k2
ö ÷ø
e-
kt
-
g k
t
再代入初始条件得 C
=
v0 k
sin a
+
g k2
( ) 则抛射体沿
y
轴的运动方程为
y
例：沿 x 轴有一振荡电场 Ex = E0 cos (wt + q ) ，求自由电子沿此电场的运动方程
初始条件 t = 0 时， x = x0 , v = v0x
解：由已知可得自由电子所受的主动力为 F = -eEx = -eE0 cos (wt + q )
其运动微分方程
m
dv dt
=
-eE0
cos (wt
ì ïïm í
æ ç è
××
r
-
×
rq 2
ö ÷ ø
=
Fr
æ çè
r,q ;
××
r,q
;t
ö ÷ø
ïïîm
æ çè
r
××
q
+
2
×
r
×
q
ö ÷ø
=
Fq
æ çè
r,q
;
××
r,q
;t
ö ÷ø
3、 在自然坐标系下：当质点运动轨迹已知时，可采用此坐标系
ìïm ï
dv dt
=
Ft
ï í ï
m
v2 r
=
Fn
ï0 ï
ur ur
r
振子位于处所受的作用力： mg, f = -k (e0 + x) i
××
根据牛顿定律列质量运动微分方程 m x = mg - k (e0 + x)
（1）
由已知条件得 mg - ke0 = 0 （2）
由（1）（2）两式得
××
x+
k m
x
=
0
，令 w02
=
k m
，方程改写为
××
x+ w02 x
+q
)
积分并代入初始条件 t = 0, v = v0x
得v=Leabharlann dx dt=v0 x
+
eE0 mw
sin q
-
eE 0 mw
sin (wt
+q
)
二次积分代入初始条件 t = 0, x = x0
得
x
=
x0
-
eE0 mw 2
cosq
+
æ çè
v0
x
+
eE0 mw
sin q
ö ÷ø
+
eE 0 mw 2
cos (wt
受力分析 mg, -mk v
××
×
根据牛顿定律列方程 m x = -mk x
××
×