理论力学10 质点运动微分方程

例10-2 设质点M在固定平面内运动。己知质点的 x a cos t ， y b sin t 质量是m，运动方程是： 其中，a，b和都是常量。求作用于质点的力F。
解：本题属于第一类基本问 题，采用直角坐标形式的质点运动 微分方程进行求解。
M点的加速度在固定坐标轴上的投影：
y x O
10 质点运动微分方程
动力学(Dynamics)
研究物体的机械运动与作用力之间关系的科学。 动力学研究的两类力学模型： 质点（Particle） 具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略 不计的物体。例如，在研究地球环绕太阳的运行规律
时，就可以不考虑地球的形状和大小尺寸，而把它抽
象为一个质量集中于质心（Center of mass）的质点 质点系（System of particles
(10-5)
10.2.3 自然坐标形式 设已知质点M的轨迹曲线。以轨迹 曲线上质点所在处为坐标原点，取自然 轴系
d2 s v2 a 2 ; an dt ; ab 0 ; F F
n b τ M
(+)
(－)
; Fn F n ; Fb F b
分别表示加速度a和力F在自然轴轴上的投影，则
动力学基本定律中所说的静止，速度，加速度等 都只是相对于某种参考系而言的。使动力学基本定律 正确成立的参考系称为惯性参考系。
在一般的工程技术问题中，如果忽略地球的自转 和公转而不致带来大的误差时，可以近似地把固结于 地球上的参考系看作惯性参考系。
10.2 质点运动微分方程 当质点受到n个力 F1，… ， Fn 。作用时，
由有限个或无限个有一定联系的质点所组成的
系统。
10.1 动力学基本定律 第一定律（惯性定律） 不受任何力作用的质点，将保持静止或作匀速
直线运动。
1，不受力作用的质点（包括受平衡力系作用 的质点），不是处于静止状态，就是保持匀速直线
运动。这种性质称为惯性（Inertia）。第一定律阐
述了物体作惯性运动的条件，故又称为惯性定律。 2，若质点的运动状态发生改变，必定是受到 其他物体的作用，这种机械作用就是力。
d2 x a x 2 x dt
d2 y a y 2 y dt
d2 z az 2 z dt
Fz Fz
Fx F x
Fy F y
得质点运动微分方程的直角坐标形式：
mx Fx my Fy mz Fz
O
an v / l
j
F1 v F2 v=0 mg
由质点运动微分方程沿法向投影式：
mg F1 mg man mv2 / l 2 2 绳的拉力为： F 1 mg mv / l m( g v / l ) 最高处j角时，速度为零，法向加速度为零，则其运动微 分方程沿法向投影式为： F2 mgcosj man 0 F2 mg cosj 绳的拉力
d 2s ma m 2 F dt 2 v man m Fn mab 0 Fb
(10-6)
质点运动微分方程的自然坐标形式
10.3 质点动力学的两类基本问 题 第一类问题——己知质点的运动，求作用于质点 上的力。
求解第一类问题归结为微分问题。
第二定律（力与加速度关系定律） 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
ma F
质点动力学基本方程
（10多个力作用时，式中 的F应理解为是这些力的合力，即
F
以同样的力作用在不同质量的质点上，质量愈大 的质点获得的加速度愈小，也就不易改变它的运动状 态。这就说明了较大的质量具有较大的惯性。因此， 质量是质点惯性的度量。
v F M y x
x a 2 cos t 2 x
力F在坐标轴上的投影：
y b 2 sin t 2 y
Fx m x 2m x
故力F 的大小为：F
Fy m y 2m y
Fx2 Fy2 2 m x 2 y 2 2 m r
g
在国际单位制中质量，长度和时间的单位被作为基 本单位。质量的单位为千克(kg) ,长度的单位为米(m) ， 时间的单位为秒(s)。力的单位是导出单位，即使质量为 1 kg的物体的物体获得1 m / s2的加速度的力，称为1牛 顿(N)。即 1 N=1 kg × 1m / s2
第三定律（作用与反作用定律） 两质点相互作用时，两质点间相互作用力，总是 大小相等，方向相反，沿着同一直线，分别作用在这 两质点上。 这个定律不仅适用平衡的物体，而且也适用于任 何运动的物体。在动力学问题中，这一定律仍然是分 析两个物体相互作用关系的依据。
F F
在第二定律中，力与加速度是瞬时关系，即只要某 瞬时作用在质点上的合力不为零，则在该瞬时必有确定 的加速度；没有力作用或作用的合力为零，则加速度为 零。 在地球表面，物体受重力G作用而产生的自由落体 加速度 g称为重力加速度。设物体的质量为m ，根据第 二定律则有： G G mg ; m （10-2）
m a F
(10-3)
将式（10-3）中的加速度表示为位置参数的导数形式， 就得到各种形式质点运动微分方程。
10.2.1 矢量形式 由运动学知：
d2 r a 2 dt
z
M(x,y,z)
d2 r m 2 F dt
v
（10-4）
o x
r
F
y
质点运动微分方程的矢量形式。
10.2.2 直角坐标形式
第二类问题——己知作用在质点上的力，求质点 的运动。 这类问题的求解归结为质点运动微分方程的积分。
例10-1 小球质量为m，悬挂于长为l的细绳上。小 球在铅垂面内摆动时，在最低处时速度的大小为v ；摆 到最高处时，绳与铅垂线夹角为j ，此时小球速度为零。 试计算小球在最低与最高位置时绳的拉力。
解：小球作圆周运动，受有重力 G = m g和线的拉力 F 作用，在最低处 有法向加速度为： 2