初中数学竞赛——一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布【公开课教学PPT课件】
充要条件是：
a f (m) 0 a f (n) 0
（4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的
充要条件是： 分两类：
b2 4ac 0
（）在（m, n）右侧 a f (n) 0
n
b
2a
注：前提 m,n不是 方程（1）的根.
b2 4ac 0
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
实根分布问题.
（1）一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的
充要条件是： f (m) f (n) 0.
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
b2 4ac 0
a f (m) 0
a f (n) 0
m
b 2a
n
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
（2）判别式 b2b 4ac
（3）对称轴
x 2a
（4）端点值 f (m) 的符号。
0
k1
பைடு நூலகம்
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
(k1
)
0 b
k1 2a
一元二次方程根的分布(讲课) ppt课件
9 k5
16
2
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y
1 0 1 2 3 x
1
32
练习4、若x2 3 x k 0在[1，1]上有实根，求k的范围。 2
解：要使方程有根，则
0
(k1 ) 0 b k1 2a
2
k2
或
f(k2 ) 0
b k1 k2
2a
2
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f (k1) 0
f
(k2
)
0
30
练习1、若关于x的方程7x2 ( p 13)x p2 p 2 0的
两根、满足0 1 2,求实数p的取值范围。
(m，n)内,求a,b,c满足的条件。
f (x) ax2 bx c (a 0)
0
m
b
n
2a
f (m) 0 f (n) 0
y
1
m0
n
x
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25
例4、已知关于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上
有两个根，求m的取值范围。
例1、若关于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于1，另一根
大于1，试求实数k 的取值范围。
解：设f (x) 3kx2 2x 4k 2
由图象得： kf (1) 0
y
解得：k 4或k 0
2
1
01
3x
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21
类型三：
三、若关于x的方程ax2 +bx + c=0(a>0)的一个根在
4m2 4(m2 1) 0
一元二次方程根的分布
(3) 若f(a).f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b)) 4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b)；否则得复2～4
热身训练： （1）判断方程x=3-lgx是否有根？ （2）求方程x=3-lgx根的个数？ （3）求方程x=3-lgx根的所在区间是
一、复习
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点存在判定法则
如果函数y=f(x)在区间[a,b f(b)<0，那么，函 数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
（7）两个根都在(0,2)内 （8）一个根在(-2,0)内，另一个根在(0,4)内
练习: 1、若一元二次方程（m-1)x2+2(m+1)xm=0有两个正根，求m的取值范围。 2、已知关于x的方程x2+2mx+2m+1=0 （1）若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内， 另一根区间在(1,2)内，求m的取值范围 （2）若方程均在区间(0,1)内，求m的取值范围
A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)
（4）求方程x=3-lgx根的近似解（精确度为0.6）
（5）若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是2和-4， 求a,b的值。
已知方程x2+(m-3)x+m=0,分别满足下列条件 时，求m的取值范围。 （1）两个正根 （2）两个负根 （3）有一正根，有一负根 （4）两根都小于1 （5）两根都大于½ （6）一根大于1，一根小于1
专题一元二次方程根的分布(解析版)
专题04 一元二次方程根的分布二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.若在()+∞∞-,内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考查()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由∆、21x x +、21x x ⋅的值与符号，从而判断出实根的情况.若在区间()n m ,内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定.知识梳理分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）知识结模块一：得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f大致图象（0<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f综合结论（不讨论）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a【例1】已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由典例剖析()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+即为所求的范围．【例2】若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1） 方程两实根均为正数； （2） 方程有一正根一负根． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法．解1 （1）由题意，得.45244050)2(0)5(4)2(00022121-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--≥---⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆m m m m m m m m m x x x x 或所以，当4-≤m 时，原方程两实根均为正数；（2）由题意，得.5050021>⇒<-⇒⎩⎨⎧<≥∆m m x x所以，当5>m 时，原方程有一正根一负根．解2 二次函数m x m x y -+-+=5)2(2的图象是开口向上的抛物线． （1）如图，由题意，得4052)2(4)2(022050)2(020)0(22-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+--->-->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->->m m m m m m a b f a b f 。
初中数学一元二次方程的实根分布
第六讲 一元二次方程的实根分布22.注意：（1）利用相应二次函数图象与x 轴交点位置写出相应的等价条件，一般考虑一下三个方面：①判别式Δ＝b 2－4ac 的符号；②对称轴x ＝－b2a的位置分布；③二次函数在实根分布界点处函数值的符号.（2）对于一元二次方程根和解是有区别的.一、一点同侧两根【例1】若关于x的方程x2－（k＋2）x＋4＝0有两个不等的负根，求实数k的取值范围.【练】若关于x的方程x2＋（m＋2）x＋m＋5＝0有两个正数根，求实数m的取值范围.【例2】若关于x的方程kx2－2kx＋（k－1）＝0有两个正实数根，求实数k的取值范围.【练】若关于x的方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0有两个负实根，求实数k的取值范围.【例3】若关于x的方程x2－mx＋（3＋m）＝0有两个大于1的根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的方程mx2＋（2m－1）x－m＋2＝0有两个小于1的根，求实数m的取值范围.二、一点异侧两根【例4】若关于x的方程4x2＋（m－2）x＋m－5＝0的一正根和一负根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的方程（2m＋1）x2－2mx＋m－1＝0有一正根和一个负根，求实数m的取值范围.【例5】若关于x的方程mx2＋（m＋2）x＋9m＝0有两个实数根x1和x2，且x1＜1＜x2，求m的取值范围.【练】若关于x的二次方程2mx2－2x－3m－2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数m的取值范围.三、一点一侧有根【例6】若关于x的方程x2－ax＋4＝0有正实根，则实数a的取值范围是【练】若方程x2＋x＋a＝0至少有一根为非负实数，求实数a的取值范围.【例7】若关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，求实数a的取值范围.【练】若关于x的一元二次方程mx2＋（m－3）x＋1＝0至少有一个正根，求m的取值范围.四、两点中间两根【例8】若关于x的方程x2－ax＋2＝0在区间（0，3）内有两个根，求实数a的取值范围.【练】若关于x的方程x2－2ax＋a2－1＝0的两个不等根在区间（－2，4）上，求实数a 的取值范围.【变】若关于x的二次方程（m－1）x2＋（3m＋4）x＋m＋1＝0的两个根属于（－1，1），求实数m的取值范围.【例9】当实数a和b满足何条件时，关于x的方程x2＋ax＋b＝0在区间[－2，2]上有两个实根？【练】若关于x的方程x2＋（m－1）x＋1＝0有两个相异的实根，且两根均在区间[0，2]上，求实数m的取值范围.【变】若抛物线y＝x2＋ax＋2与连接两点M（0，1）、N（2，3）的线段有两个相异的交点，求a的取值范围.五、两点中间一根【例10】已知关于x的二次方程（2m＋1）x2－2mx＋m－1＝0有且只有一个实根属于（1，2），且x＝1，x＝2都不是方程的根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的二次方程（3m－1）x2＋（2m＋3）x－m＋4＝0有且只有一个实根属于（－1，1），求实数m的取值范围.【变】已知点A、B的坐标分别为(1，0)、（2，0），若二次函数f（x）＝x2＋（a－3）x＋3的图象与线段AB恰有一个交点，求实数a的取值范围.【例11】若关于x的方程ax2＋x＋a－3＝0在（－2，0）上有且只有一个实根，求实数a 的取值范围.【练】若关于x的方程mx2＋（2m－3）x＋4＝0有且只有一个小于1的正根，求实数m的取值范围.六、两点中间有根【例12】若方程x2－2mx＋m－1＝0在区间（－2，4）上有根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0在区间（0，2）内至少存在一根，求实数m的范围.【变】已知关于x的方程2ax2＋2x－a－3＝0在区间[－1，1]上有根，求实数a的取值范围.【例13】集合A＝{(x，y) | y＝x2＋mx＋2}，B＝{(x，y) | x－y＋1，且0≤x≤2}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围.【练】已知抛物线y＝2x2－mx＋m与以点（0，0）和（1，1）为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求实数m的取值范围.七、两点隔两根【例14】关于x的方程4x2＋（m－2）x＋m－5＝0的一根小于1，另一根大于2，求实数m的取值范围.【练】若关于x的方程x2＋（2m－1）x＋m－6＝0的一个根不大于－1，另一个根不小于1，求实数m的取值范围.【变1】已知方程（a－1）x2＋（2a－6）x－4a＋1＝0的两根为x1，x2，且－1＜x1＜1＜x2，求实数a的取值范围.【变2】若关于x的方程2x2－（m－2）x－2m2－m＝0的两根在区间[0，1]之外，求实数m 的取值范围.八、多点隔两根【例15】若关于x方程x2－mx－m＋3＝0的一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，求实数m的取值范围.【练】已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋1.若方程有两个根，其中一个在区间（－1，0），另一根在区间（1，2）内，求m的范围.【变】若mx2－（m－1）x＋m2－m＋2＝0的两根分别在0＜x＜1和1＜x＜2的范围内，求实数m的取值范围.【作业】1、已知关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0，分别在下列条件下，求实数m的取值范围.（1）方程有两个正根；（2）方程两个根均小于1；（3）方程的一个根大于1，另一个根小于1；（4）方程的两个根均在（0，2）内；（5）方程的一个根小于2，另一个根大于4.（6）方程的一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内；（7）方程有一个正根，一个负根且正根的绝对值较大；（8）方程的两个根有且仅有一个在（0，2）内；2、若方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根，求实数m的取值范围.3、设|a|＝1，b为整数，关于x的方程ax2－2x－b＋5＝0有两个负实数根，求b的值.4、已知二次函数f（x）＝（m＋2）x2－（2m＋4）x＋3m＋3与x轴有两个交点，分别在点（1，0）左右两边，求实数m的取值范围.5、求实数m的取值范围，使关于x的方程x2＋2（m－1）x＋2m＋6＝0至少有一个正根.6、如果二次函数y＝mx2＋（m－3）x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.7、已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程两根均在区间（0，1）内，求实数m的取值范围.8、若关于x的方程7x2－（m＋13）x＋m2－m－2＝0在区间（0，1）、（1，2）上各有一个实根，求实数m的取值范围.9、已知关于x的方程x2＋（3m－1）x＋3m－2＝0的两根都属于（－3，3），且其中至少有一个根小于1，求实数m的取值范围.10、求证：关于x的方程3ax2＋2bx－（a＋b）＝0在（0，1）内至少有一个实根.。
一元二次方程根的分布(讲义)
一元二次方程根的分布（一）两根在不同区间：例1 若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围。
（3221<<k ）例2已知二次方程x 2－（m + 2）x －3m = 0的两根一个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围。
例3、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得112m -<<即为所求的范围。
例4、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 122m -<<即为所求的范围。
练习：实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程3x 2-5x +a =0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3。
解： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(02523)2(22a f a f a f a f ⇔ -12<a <0例5、已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足：βα<<<10，求m 的取值范围。
（73-<<-m 或72<<m ）（二）两根在同一区间：例1、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
解：由x()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒ ()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+例2 已知关于x 的方程 (k -2)x 2-(3k +6)x +6k =0有两个负根，求k 的取值范围。
一元二次方程根的分布问题
一元二次方程根的分布问题一元二次方程的两根就是相应二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标，因此在讨论方程的根的分布时，一定要分析方程对应的函数图象与坐标轴的交点情况，列出等价的不等式（组）求解。
在列不等式组时，一般情况下需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴与区间端点的关系，有时也可以利用韦达定理。
1. 判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．2.韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．3. 一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为c bx ax x f ++=2)(，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()nm,内，另一根在()q p,内，qpnm<<<大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩4.例题例 1．已知2(3)0x m x m +-+=，分别求方程的根满足下列条件下的m 的取值范围：（1）两个正根； （2）两个负根； （3）两根都小于1； （4）两根都大于1； （5）一根大于1，一根小于1；（6）两根都在区间（0,2）内； （7）两根有且仅有一个在区间（0,2）内；解：（1）由1212000,0200b x x a x x c a ⎧⎪∆>∆>⎧⎪⎪⎪->+>⎨⎨⎪⎪>⎩⎪>⎪⎩即，得01m <≤。
一元二次方程根在区间的分布
一元二次方程根在区间的分布一元二次方程是数学中的一个重要概念，它表示为ax² + bx + c = 0。
在解析几何、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
而方程的根是指使方程成立的未知数的值，解二次方程的根通常可以得到方程的图像、方程解的情况以及相关应用的启示。
首先，我们来探究一元二次方程根的分布情况。
方程根的分布与方程的判别式Δ = b² - 4ac有着密切的关联。
当Δ > 0时，方程有两个实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程无实数根，而有两个复数根。
接下来，我们讨论根在区间的分布。
对于具有两个不同实数根的方程，我们可以通过求导的方法或者判别式的符号来确定它们的分布。
以方程的标准形式ax² + bx + c = 0为例，如果a > 0，则开口朝上，两个实根分布在抛物线的两侧；如果a < 0，则开口朝下，两个实根分布在抛物线的中间。
更进一步地，我们可以通过求解方程来确定根在区间的具体分布情况。
例如，将方程化简为标准形式后，我们可以通过配方法、因式分解或者公式法来求解方程，得到两个根x₁和x₂。
然后，我们可以将区间划分成三个部分：小于x₁的值、介于x₁和x₂之间的值，以及大于x₂的值。
然后，我们可以选择区间内的一些特定值，将其代入方程，判断方程是否成立，从而得到根在区间的分布情况。
此外，根在区间的分布还与一元二次方程图像的性质相关。
方程的图像是一个抛物线，对于a > 0的情况，图像开口朝上，两个实根分布在抛物线上方的部分；对于a < 0的情况，图像开口朝下，两个实根分布在抛物线下方的部分。
最后，了解一元二次方程根在区间的分布对我们在实际问题中的解题过程具有指导意义。
通过分析根的分布情况，我们可以确定方程解的数量及其位置，从而解决与方程相关的各种问题。
无论是在几何学中的求解平方根，还是在物理学中的运动问题，对方程根的区间分布的理解都能够帮助我们更好地解决问题。
一元二次方程根的分布
第九讲 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。
这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。
知识点：1.为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号"f(x)".例如二次函数记作f(x)= ax 2+bx+c (a ≠0)， x=1时的函数值记作f(1)， 即f(1)=a+b+c. 2.韦达定理： 1212,b c x x x x a a+=-= 3.一元二次方程根的分布函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0下面我们将主要结合二次函数图象的性质，系统地介绍一元二次方程实根的分布（1）开口方向； （2）对称轴位置； （3）判别式； （4）端点函数值符号。
例题：例1.若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
例2.若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。
变式：k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？例3．已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。
变式（1）方程()f x =2ax bx c ++=0(a >0)的两个根都大于1的充要条件是 ( )A 、△≥0且f (1)>0B 、f (1)>0且－ab >2C 、△≥0且－a b >2，ca>1D 、△≥0且f (1)>0，－ab>2变式（2）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。
变式（3）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。
例4.已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围。
根的分布
一元二次方程根的分布
（1）关于x的方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有
两实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围; （2）关于x的方程x2+2(m+3)x+2m+14=0 有两实根，一根小于1，另一根大于3， 求m的取值范围； （3）关于x的方程 mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且一 个大于4，一个小于4，求m的取值范围.
f(1)<0
f(3)<0
m<
即m<
21 . 4
21 4 41 m< 8
,
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（3）令g(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14. 当m=0时，g(x)=6x+14，这时它只有一个实根，不 符合题意，需舍去， 当m≠0时，依题意得
m>0
g(4)<0或 g(4)>0, 19 解得 - 13 <m<0.
【分析】一元二次方程根的分布问题通常转化为一元 二次函数，利用一元二次函数的性质和图象来解决.
返回
【解析】（1）令f(x)=x2+2(m+3)x+2m+14.
∵对应抛物线开口向上， ∴方程有两实根，且一个大于 1，一个小于1等价于f(1)<0, 21 即m< 4 . （2）令f(x)=x2+2(m+3)x+2m+14. 由图知原命题等价于
返回
（2）当方程有一正根一负根时，f(0)<0,∴m<7.
（3）方程两根均大于1时，满足
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思维的发掘 能力的飞跃
第9讲 一元二次方程根的分布
典型例题
一. 基础练习
【例1】 已知方程2210xpx的两个实根一个小于1，一个大于1，求p的取值范围．
【例2】 关于x的一元二次方程222320axxa的一根大于1，另一根小于1，求a的取值范围.
【例3】 设二次方程22120xaxa有一根比1大，另一根比1小，试确定实数a的范围．
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【例4】 实数a在什么范围内取值时，关于x的方程2(2)50xaxa的一个根大于0而小于2，
另一个根大于4而小于6？
【例5】 已知关于x的方程2(23)40xmxm的二根为1，2，且满足132＜＜，20＞，
求m的取值范围.
【例6】 若二次方程2210axx（0a＞）在区间13，内仅有较大实根，另一根不等于1，求a的
取值范围．
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【例7】 已知方程20xaxb的两根均大于2，求ab，的关系式．
【例8】 已知方程210xkxk有两个大于2的实根，求k的取值范围．
【例9】 已知函数22(1)21ymxmx的图像与x轴的交点的横坐标都是比1小的正数，求m的取值
范围.
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【例10】 设方程22210xmxm的两个实根分别为，，那么m，k满足什么关系时，，在
方程220xmxk的两个实根之间？
二. 巩固提高
【例11】 已知m、n均为正整数，若关于x的方程2420xmxn的两个实数根都大于1且小于2，求
m、n
的值．
【例12】 设有整系数二次函数2fxaxbxc，其图像开口方向朝上，且与x轴有两个交点，分别
在10，、1，内，且0fx的判别式等于5，试求abc，，的值．
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【例13】 整系数方程2(3)(23)0xkxk的两根异号且正根的绝对值小于负根的绝对值，求k.
【例14】 已知方程240axxb0a＜的两实根为1x、2x，方程230axxb的两实根为、．
（1）若a、b均为负整数，且||1，求a、b的值；
（2）若12＜＜＜，12xx＜，求证：1221xx＜＜＜．
【例15】 已知方程20xbxc有两个实数根st、，并且22xt，＜＜．证明：
（1）4c＜；
（2）4bc＜．
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【例16】 已知二次函数2yaxbxc，且0a＜，0abc＞，则一定有（ ）
A. 240bac＞ B. 240bac C. 240bac＜ D. 240bac≤
三. 思维飞跃
【例17】 已知方程20axbxc有两个不同实根，求证：方程202baxbxckxa至少有一个
根，在前一个方程的两根之间．（此处0k）
【例18】 已知当10x＜＜时，二次函数243yxmx的值恒大于1，求m的取值范围.
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【例19】 实数a、b、c满足()()0acabc＜，证明：2()4()bcaabc＞.
【例20】 设实数a、b、c、m满足条件：021abcmmm，且0a≥，0m＞.求证：方程
2
0axbxc
有一根满足001x＜＜.
作业
1. 关于x的方程22(1)20xaxa有两个不相等的实根，一个大于1，另一个小于1，求实数a的
取值范围.
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2. 求使得一元二次方程2260xkxk的根分别满足下列条件的k的取值范围.
（1）两根均大于1；
（2）一根大于1，另一根小于1；
（3）两根均大于1且小于4.
3. 若关于x的二次方程2271320xpxpp的两根、满足012＜＜＜＜，求实数
p
的取值范围．
4. 方程211300xxa有两实根，且两根都大于5，证明104a≤．
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5. 已知抛物线2(41)21yxmxm与x轴交于两点，如果一个交点的横坐标大于2，另一个交点
的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在102，的下方，求m的取值范围.
6. 若x的二次方程2420xmxn，因为方程0fx的解都位于01x＜＜的范围中，求正整数
mn，
的值．
7. 设二次方程20axbxc的系数a、b、c都是奇数，它的两个实根1x、2x满足110x＜＜，21x＞.
若245bac，求1x、2x.
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8. 已知a、b、c为实数，0ac＜，且2350abc.求证：一元二次方程20axbxc有一
个根介于35与1之间.
9. 对于0abc＞＞＞，有抛物线2()()()fxxabcxabbcca.
（1）若抛物线与x轴有交点，求证：以a，b，c为边不能构成三角形；
（2）若抛物线与x轴的一个交点为0x，求证：0bcxa＜＜；
（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c.
10. 设二次函数2()fxaxbxc（0a），方程()fxx的根为1x、2x，且211xxa＞.当
1
0tx
＜＜
时，试比较()ft与1x的大小关系.