2019版一轮复习理数通用版“导数及其应用”双基过关检测
2019年高考数学(理科)一轮复习通用版：“导数及其应用”双基过关检测
“导数及其应用”双基过关检测一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B. 1e C.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e. 2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选C 由曲线y ＝x 2＋ax ＋b ，得y ′＝2x ＋a ， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝3，k ＝2＋a ，1＋a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，a ＝0，b ＝2，所以2a ＋b ＝2.3．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：选C y ′＝6x 2－6x ，由y ′＝6x 2－6x >0，可得x >1或x <0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)． 由y ′＝6x 2－6x <0，可得0<x <1，即单调减区间是(0,1)，所以函数在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解析：选C 由题意，f ′(x )＝－x ＋mx ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x 2>1，所以m ≤1.5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B f (x )＝x (x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ， 所以f ′(x )＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m )(3x －m )． 由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3. 当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1<x <3时，f ′(x )<0，当x <1或x >3时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x )＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x )<0，当x <13或x >1时，f ′(x )>0， 此时在x ＝1处取得极小值．选B.7．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴所围成的封闭图形的面积是( ) A.⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎠⎛02|x 2－1|d xC.⎠⎛02(x 2－1)d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析：选B 作出封闭图形的示意图如图所示，易得所围成的封闭图形的面积是S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，0≤f (x )＝1－2x <1；当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2. 由题意得0≤a －2≤1，解得2≤a ≤3，选A. 二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数， 则需方程1＋ax ＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0. 答案：(－∞，0)10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3， ∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x －1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1.根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x ＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫14≤10，f (1)≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2成立，从而得b ≤74， 所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74. 14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值．。
2019版一轮复习理数通用版：“计数原理”双基过关检测.doc
“计数原理”双基过关检测一、选择题1. 5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”则第二天可能出现的不同情况的种数为（）B. 25解析：选B不妨设5名同学分别是A, B, C, D, E,对于A同学来说，第二天可能出现的不同情况有去和不去2种,同样对于〃，C, D f E都是2种,由分步乘法计数原理可得，第二天可能出现的不同情况的种数为2X2X2X2X2=25（种）.2•现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A. 24种B. 30种C・36种 D. 48种解析：选D 按A-^B-^C-^D顺序分四步涂色，共有4X3X2X2=48（种）.3・（2018-云南师大附中适应性考试）在（。
+工）7展开式中兀4的系数为280,则实数a的值为（）A. 1B. ±1C・2 D・±2解析：选C 由题知，鬱/=280,解得a=2.4•如图，ZMON的边OM上有四点Ai，A2, A3, A4, ON上有三点Bi，B2f爲，则以O, Ai，A29A4, B I，B lt B3为顶点的三角形个数为（）A. 30B. 42C. 54D. 56解析：选B用间接法.先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形C殳个，再减去三点共线的情形即可.共有Cl-C^-d=42（个）.5.张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人入园顺序的排法种数为（）A. 12 B・24解析：选B 将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2Aj种排法，故总的排法有2X2XAi=24(种).6.已知(l+ov)(l+xf的展开式中/的系数为5,则a=()A. -4B. -3C・—2 D・—1解析：选D 展开式中含兀$的系数为cl+aCl=5f解得a= — l.7・(2018*成都一中撰底)设(F+ 1)(2工+1)9=血+如(尤+2)+。
2019版一轮复习理数通用版“数列”双基过关检测
“数列”双基过关检测一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3da 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 2．(2018·江西六校联考)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( ) A ．3 B.17 C ．9D ．13解析：选A 由a 3a 5a 7＝－33，得a 35＝－33，即a 5＝－3，故a 2a 8＝a 25＝3.3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 018＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2解析：选D 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8. 所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 018＝a 335×6＋8＝a 8＝2. 4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)，则a 7＝( ) A ．53 B ．54 C ．55D ．109解析：选C a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7， 各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44 B ．45 C.13×(46－1) D.14×(45－1) 解析：选B 由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3S 1＝3. 当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，即a n ＋1＝4a n ，n ≥2，则数列{a n }从第二项起构成等比数列，所以S 6＝a 73＝3×453＝45.6．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，对一切自然数n ，都有S n T n ＝nn ＋1，则a 5b 5等于( ) A.34 B.56 C.910D.1011解析：选C ∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5，T 9＝9(b 1＋b 9)2＝9b 5，∴a 5b 5＝S 9T 9＝910. 7．已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，若5S 2＝S 4，则log 4a 3的值为( )A ．1B ．2C ．0或1D ．0或2解析：选C 由题意得，等比数列{a n }中，5S 2＝S 4，a 1＝1， 所以5(a 1＋a 2)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 即5(1＋q )＝1＋q ＋q 2＋q 3，q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q ＋1)(q 2－4)＝0， 解得q ＝－1或±2，当q ＝－1时，a 3＝1，log 4a 3＝0. 当q ＝±2时，a 3＝4，log 4a 3＝1. 综上所述，log 4a 3的值为0或1.8．设数列{a n }是公差为d (d >0)的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．75B ．90C ．105D ．120解析：选C 由a 1＋a 2＋a 3＝15得3a 2＝15，解得a 2＝5， 由a 1a 2a 3＝80，得(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80， 将a 2＝5代入，得d ＝3(d ＝－3舍去)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105. 二、填空题9．若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n－1a n＝n3－n－13＝13，则a n＝1 3n.当n＝1时，a1＝13满足a n＝13n，所以a n＝1 3n.答案：a n＝1 3n10．数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n－1，则a n＝________.解析：∵S n＝2a n－1，①∴S n－1＝2a n－1－1(n≥2)，②①－②得a n＝2a n－2a n－1，即a n＝2a n－1.∵S1＝a1＝2a1－1，即a1＝1，∴数列{a n}为首项是1，公比是2的等比数列，故a n＝2n－1.答案：2n－111．已知数列{a n}中，a2n＝a2n－1＋(－1)n，a2n＋1＝a2n＋n，a1＝1，则a20＝________.解析：由a2n＝a2n－1＋(－1)n，得a2n－a2n－1＝(－1)n，由a2n＋1＝a2n＋n，得a2n＋1－a2n＝n，故a2－a1＝－1，a4－a3＝1，a6－a5＝－1，…，a20－a19＝1.a3－a2＝1，a5－a4＝2，a7－a6＝3，…，a19－a18＝9.又a1＝1，累加得：a20＝46.答案：4612．数列{a n}为正项等比数列，若a3＝3，且a n＋1＝2a n＋3a n－1(n≥2，n∈N*)，则此数列的前5项和S5＝________.解析：设公比为q(q>0)，由a n＋1＝2a n＋3a n－1，可得q2＝2q＋3，所以q＝3，又a3＝3，则a1＝1 3，所以此数列的前5项和S5＝13×(1－35)1－3＝1213.答案：121 3三、解答题13．已知在等差数列{a n }中，a 3＝5，a 1＋a 19＝－18. (1)求公差d 及通项a n ；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取得最大值时n 的值． 解：(1)∵a 3＝5，a 1＋a 19＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，2a 1＋18d ＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，∴a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (9＋11－2n )2＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴n ＝5时，S n 取得最大值．14．已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n2，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n ，∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n －12n －1＝(n －1)2＋n －1，两式相减得a n 2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋1(n ≥2)．又∵当n ＝1时，a 12＝1＋1，∴a 1＝4，满足a n ＝n ·2n ＋1.∴a n ＝n ·2n ＋1.(2)∵b n ＝(－1)n a n 2＝n (－2)n ，∴S n ＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n ×(－2)n .－2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n (－2)n ＋1， ∴两式相减得3S n ＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n －n (－2)n＋1＝－2[1－(－2)n ]1－(－2)－n (－2)n ＋1＝－(－2)n ＋1－23－n (－2)n ＋1＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋23，∴S n ＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋29.。
2019版高考数学(理科)一轮复习通用版：“基本初等函数(Ⅰ)及应用”双基过关检测
“基本初等函数（Ⅰ）及应用”双基过关检测一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0，满足f (x )＝1的x 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－2D ．1或－1解析：选D 由题意，方程f (x )＝1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x －1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 12＝1，解得x ＝－1或1.2．函数f (x )＝ln |x －1|的图象大致是( )解析：选B 令x ＝1，x －1＝0，显然f (x )＝ln|x －1|无意义，故排除A ； 由|x －1|>0可得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除D ； 由复合函数的单调性可知f (x )在(1，＋∞)上是增函数，故排除C ，选B. 3．(2018·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知： 当a <0，且abc >0时，若－b2a<0，则b <0，c >0，故排除A ， 若－b2a>0，则b >0，c <0，故排除B. 当a >0，且abc >0时，若－b2a<0，则b >0，c >0，故排除C ， 若－b2a>0，则b <0，c <0，故选项D 符合． 4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d <b <a <cB ．d <a <b <cC ．b <c <d <aD ．b <d <c <a解析：选B 由对数函数的性质可知c ＝log 25>2，d ＝log 20.3<0， 由指数函数的性质可知0<a ＝0.32<1,1<b ＝20.3<2， 所以d <a <b <c .5．(2018·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B 令2x ＝t ，则函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)． ∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 6．(2017·大连二模)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：34＝3，(－4＝4，则函数f (x )＝x 2(2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x 2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0， 当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]； 当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)． 综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1， ∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x>0，则－1<x <1，排除A 、B ， 又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D.8．(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )＝1－x ＋1，g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)，若对任意x 1∈[0，＋∞)，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的最大值为( )A.94 B ．2 C.92D ．4解析：选A 设g (x )＝ln (ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为函数f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ， 因此h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h (0)＝1，于是，实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9－4a ≥0，解得a ≤94.故选A.二、填空题9．(2018·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________． 解析：设f (x )＝x α， 又f (4)＝3f (2)， ∴4α＝3×2α， 解得α＝log 23， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝13. 答案：1311．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 1－x ，x ≤1，ln (x －1)，x >1，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________．解析：由题意，f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，e 1－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，ln (x －1)≥2，解得x ≤1－ln 2或x ≥1＋e 2，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)． 答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)12．若对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，恒有4x <log a x (a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝4x ，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，g (x )＝log a x ，当a >1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，且g (x )＝log a x <0，不符合题意； 当0<a <1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，解得22≤a <1. 答案：⎣⎡⎭⎫22，1 三、解答题13．函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (2)－f (4)＝1. (1)若f (3m －2)>f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围； (2)求使f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123成立的x 的值． 解：(1)由f (2)－f (4)＝1，得a ＝12.∵函数f (x )＝log 12x 为减函数且f (3m －2)>f (2m ＋5)，∴0<3m －2<2m ＋5，解得23<m <7，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23，7.(2)f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123，即x －4x＝3，x 2－3x －4＝0， 解得x ＝4或x ＝－1. 14．已知函数f (x )＝a －22x＋1为奇函数． (1)求a 的值；(2)试判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴a －22x ＋1＝－a ＋22－x ＋1，∴2a ＝2·2x 2x ＋1＋22x ＋1＝2，∴a ＝1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数．证明如下：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－22 x 1＋1－1＋22 x 2＋1＝2(2x1－2x2) (2 x1＋1)(2 x2＋1).∵x1<x2，∴2 x1－2 x2<0，(2 x1＋1)(2 x2＋1)>0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)为R上的单调递增函数．(3)∵f(x)＝1－22x＋1为奇函数，且在R上为增函数，∴由f[t2－(m－2)t]＋f(t2－m＋1)>0恒成立，∴f[t2－(m－2)t]>－f(t2－m＋1)＝f(m－t2－1)，∴t2－(m－2)t>m－1－t2对t∈R恒成立，化简得2t2－(m－2)t－m＋1>0，∴Δ＝(m－2)2＋8(m－1)<0，解得－2－22<m<－2＋22，故m的取值范围为(－2－22，－2＋22)．。
2019年高考数学(理科)一轮复习通用版：“算法初步、复数、推理与证明”双基过关检测
“算法初步、复数、推理与证明”双基过关检测一、选择题1．若z ＝i(3－2i)(其中i 为复数单位)，则z ＝( )A ．3－2iB ．3＋2iC ．2＋3iD ．2－3i解析：选D 由z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，得z ＝2－3i.2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝a －3i 1－i在复平面上对应的点在y 轴上，则a 为( )A ．－3B ．－13 C.13D ．3 解析：选A ∵z ＝a －3i 1－i ＝(a －3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a ＋3－(3－a )i 2， 又复数z ＝a －3i 1－i在复平面上对应的点在y 轴上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝0，3－a ≠0，解得a ＝－3. 3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 解析：选C b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.4．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：选B 当n ＝k (k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2) ·…·(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)． 5．(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为()A ．2B.32C.53D.85解析：选C 运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3；k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k <3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k <3； k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，此时不满足循环条件，输出s ， 故输出的s 值为53. 6．若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c n nC ．d n ＝ nc n 1＋c n 2＋…＋c n n n D ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n解析：选D 因为数列{a n }是等差数列，所以b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋(n －1)·d 2(d 为等差数列{a n }的公差)，{b n }也为等差数列，因为正项数列{c n }是等比数列，设公比为q ，则d n＝n c 1·c 2·…·c n ＝n c 1·c 1q ·…·c 1q n －1＝c 1q 12n-，所以{d n }也是等比数列．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是99199，则判断框内应填的内容是( )A ．n <98?B ．n <99?C ．n <100?D ．n <101?解析：选B 由14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝1212n －1－12n ＋1， 可知程序框图的功能是计算并输出S ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1的值．由题意令n 2n ＋1＝99199，解得n ＝99, 即当n <99时，执行循环体，若不满足此条件，则退出循环，输出S 的值．8．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”， 注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2， 因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置， 结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．二、填空题9．M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1与1的大小关系为__________．解析：因为M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1 ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1210＋(210－1)所以M <1.答案：M <110．若复数z ＝a ＋i i(其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a ＝________. 解析：因为复数z ＝a ＋i i ＝a i ＋i 2i 2＝1－a i ， 所以－a ＝1，即a ＝－1.答案：－111．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝________.解析：a ＝14，b ＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b ＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a ＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a ＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6>4，a ＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2<4，b ＝4－2＝2；第六次循环：a ＝b ＝2，跳出循环，输出a ＝2.答案：212．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：∵f (21)＝32，f (22)＞2＝42，f (23)＞52，f (24)＞62，∴归纳得f (2n )≥n ＋22(n ∈N *)． 答案：f (2n )≥n ＋22(n ∈N *) 三、解答题13．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d ＋a ＜b ＋c .证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2，即证a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ，因为a ＋d ＝b ＋c ，所以只需证ad ＜bc ，即证ad ＜bc ， 设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )(c ＋d －t )＜0， 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝1＋2，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)，得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， 所以⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。
2019届高考理科数学全国通用版一轮复习单元过关检测卷 Word版含解析(全套打包)
单元过关检测（一）(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合M={x|x≥2},N={x|x2-6x+5<0},则M∩N= ( )A.(1,5)B.[2,5)C.(1,2]D.[2,+∞)【解析】选B.由题意得,x2-6x+5<0⇒1<x<5,则M∩N={x|2≤x<5}.2.设全集U={1,3,5,7},集合A={1,5},则U A的子集的个数是( )A.4B.3C.2D.1【解析】选A. U A={3,7},所以U A的子集的个数是22=4.3.(2018·唐山模拟)“x2+5x-6>0”是“x>2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由x2+5x-6>0得{x|x>1或x<-6},{x|x>2}⊆{x|x>1或x<-6},故“x2+5x-6>0”是“x>2”的必要不充分条件.4.(2018·西安模拟)若命题p:对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0,则p为( )A.不存在x0∈R,使得-+1<0B.存在x0∈R,使得-+1<0C.对任意的x∈R,都有x3-x2+1≥0D.存在x0∈R,使得-+1≥0【解析】选D.命题p:对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0的否定为p:存在x0∈R,使得-+1≥0.【变式备选】已知命题p:“∀x∈R,都有x2-2x+3>0”,则命题p为( )A.∀x∈R,都有x2-2x+3≤0B.∃x0∈R,使得-2x0+3≤0C.∀x∈R,都有x2-2x+3<0D.∃x0∈R,使得-2x0+3>0【解析】选B.p:“∀x∈R,都有x2-2x+3>0”的否定为“∃x0∈R,使得-2x0+3≤0”.5.(2018·资阳模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{x|x≤-1或x≥3}B.{x|x<1或x≥3}C.{x|x≤1}D.{x|x≤-1}【解析】选D.由题意可知:A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},题中阴影部分表示的集合为U(A∪B)={x|x≤-1}.6.(2018·重庆模拟)命题p:甲的数学成绩不低于100分,命题q:乙的数学成绩低于100分,则p∨(q)表示( )A.甲、乙两人数学成绩都低于100分B.甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C.甲、乙两人数学成绩都不低于100分D.甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分【解析】选D.由题设可知q:表示乙的数学成绩不低于100分,则p∨(q)表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分.7.(2018·厦门模拟)已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,则实数a的取值范围是 ( )A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>2【解析】选C.因为B=(1,2),A∩B=B⇒B⊆A,所以a≥2.【变式备选】已知集合A={x|x2-x+1=0},若A∩R=∅,则实数m的取值范围为( ) A.m<4 B.m>4C.0<m<4D. 0≤m<4【解析】选A.因为A∩R=∅,所以A=∅,即方程x2-x+1=0无解,若m≤0,则方程x2-x+1=0无意义,满足条件.若m>0,则Δ=m-4<0,即0<m<4.综上所述,m<4.8.下列命题中,真命题是( )A.∀x∈R,x2-x-1>0B.∀α,β∈R,sin (α+β)<sin α+sin βC.∃x0∈R,-x0+1=0D.∃α0,β0∈R,sin (α0+β0)=cos α0+cos β0【解析】选D.因为x2-x-1=-,所以A是假命题;当α=β=0时,有sin (α+β)=sin α+sin β,所以B是假命题;x2-x+1=+≥,所以C是假命题;当α0=β0=时,有sin (α0+β0)=cos α0+cos β0,所以D是真命题.9.已知命题p:∃x0∈R,x0-2>0,命题q:∀x∈R,<x,则下列说法中正确的是( )A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧(q)是真命题D.命题p∨(q)是假命题【解析】选C.命题p为真命题.对命题q,当x=时,=>x=,故为假命题, q为真命题.【变式备选】已知命题p:若a>|b|,则a2>b2;命题q:若x2=4,则x=2.下列说法正确的是( )A.“p∨q”为真命题B.“p∧q”为真命题C.“p”为真命题D.“q”为假命题【解析】选A.若a>|b|,则a2>b2,所以命题p为真命题,因为若x2=4,则x=±2,所以命题q为假命题,所以p∨q为真命题.10.命题p:“∀x>e,a-ln x<0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A.a≤1B.a<1C.a≥1D.a>1【解析】选B.由题意得a<(ln x)min,因为x>e,所以ln x>1,所以a≤1,因为(-∞,1)⊆(-∞,1],(-∞,1)≠(-∞,1],因此一个充分不必要条件是a<1.11.已知命题p:>0,则p对应的x的集合为( )A.{x|-1<x<2}B. {x|-1≤x≤2}C.{x|-2<x<1}D.{x|-2≤x≤1}【解析】选B.由p:>0得p:x>2或x<-1,所以p对应的x 值的取值范围是{x|-1≤x≤2}.【误区警示】解答本题易出现以下两种情况:一是误认为p为≤0而错解;二是运算错误导致结论不正确.12.(2018·葫芦岛模拟)设命题p:实数x,y满足x2+y2<4,命题q:实数x,y满足则命题p是命题q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.作出不等式组对应的区域如图:则不等式组对应的区域在圆x2+y2=4内部和外部都有点存在,故命题p 是命题q的既不充分也不必要条件.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.设集合A={-1,0,1},B=,A∩B={0},则实数a的值为________.【解析】因为a+≠0,所以a-1=0,a=1.答案: 114.(2018·黄冈模拟)若命题“∃x0∈R,-2x0+m≤0”是假命题,则m 的取值范围是________.【解析】因为命题“∃x0∈R,-2x0+m≤0”是假命题,所以“∀x∈R,x2-2x+m>0”为真命题,即Δ=4-4m<0,m>1.答案:(1,+∞)15.设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(U A)∩B=∅,则m=________.【解析】因为A={-1,-2},由题设可知B⊆A,所以当m=1时,B={-1}⊆A成立;当m=2时,B={-1,-2}⊆A,应填答案1或2.答案:1或216.已知命题p:“关于x的方程x2-4x+a=0有实根”,若p为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,则实数m的取值范围是________.【解析】命题p:a≤4, p为a>4,又p为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,故3m+1>4⇒m>1.答案:(1,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0},且A∪B=A,求实数m的值组成的集合.【解析】A={x|x2-5x+6=0}={2,3},因为A∪B=A,所以B⊆A.①当m=0时,B=∅,B⊆A,符合题意;②当m≠0时,由mx+1=0,得x=-.因为B⊆A,所以-=2或-=3,得m=-或m=-.所以实数m的值组成的集合为.18.(12分)已知集合M={0,1},A={(x,y)|x∈M,y∈M},B={(x,y)|y=-x+1}.(1)请用列举法表示集合A.(2)求A∩B,并写出集合A∩B的所有子集.【解析】(1)A={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)集合A中元素(0,0),(1,1)∉B,且(0,1),(1,0)∈B,所以A∩B={(1,0),(0,1)}.集合A∩B的所有子集为∅,{(1,0)},{(0,1)},{(1,0),(0,1)}.19.(12分)已知命题p:∃x0∈[0,2],log2(x0+2)<2m;命题q:关于x的方程3x2-2x+m2=0有两个相异实数根.(1)若(p)∧q为真命题,求实数m的取值范围.(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.【解析】令f(x)=log2(x+2),则f(x)在[0,2]上是增函数,故当x∈[0,2]时,f(x)最小值为f(0)=1,故若p为真,则2m>1,m>. 当Δ=4-12m2>0,即m2<时,方程3x2-2x+m2=0有两相异实数根.所以-<m<.(1)若(p)∧q为真,则实数m满足故-<m≤,即实数m的取值范围为.(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p,q一真一假,若p真q假,则实数m满足即m≥;若p假q真,则实数m满足即-<m≤.综上所述,实数m的取值范围为∪.20.(12分)已知集合A=,B={x|[x-(a+1)][x-(a+4)]<0}.(1)若A∩B=A,求a的取值范围.(2)若A∩B≠∅,求a的取值范围.【解析】若x∈A,则1-≥0,即≥0,所以解得-1<x≤0,所以A={x|-1<x≤0};若x∈B,则[x-(a+1)]·[x-(a+4)]<0,解得a+1<x<a+4,所以B={x|a+1<x<a+4}.(1)若A∩B=A,则A⊆B,所以解得-4<a≤-2.(2)若A∩B=∅,则a+4≤-1或a+1≥0,即a≤-5或a≥-1,所以若A∩B≠∅,则a的取值范围是(-5,-1).21.(12分)已知命题P:函数f(x)为(0,+∞)上的单调减函数,实数m满足不等式f(m+1)<f(3-2m).命题Q:当x∈时,函数m=sin2x-2sin x+1+a.若命题P是命题Q的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.【解析】设命题P,Q所对应集合分别为A,B,对于命题P:由函数f(x)为(0,+∞)上的单调减函数,得解得<m<,即A=.对于命题Q:由x∈,得sin x∈[0,1],m=sin2x-2sinx+a+1=(sin x-1)2+a,当sin x=1时,m min=a;当sin x=0时,m max=a+1⇒B=[a,a+1].由题意:命题P是命题Q的充分不必要条件⇒A=B=[a,a+1]⇒⇒≤a≤.22.(12分)已知集合P={x|x2-8x-20≤0},S={x||x-1|≤m}.(1)若(P∪S)⊆P,求实数m的取值范围.(2)是否存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,所以P=[-2,10].由|x-1|≤m,当m≥0时得1-m≤x≤1+m,所以S=[1-m,1+m].(1)要使(P∪S)⊆P,则S⊆P.①若S=∅,则m<0;②若S≠∅,则解得0≤m≤3.综合①②可知,实数m的取值范围为(-∞,3].(2)由“x∈P”是“x∈S”的充要条件,知S=P,则此方程组无解,所以这样的实数m不存在.单元过关检测（二）(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选C.只有y=x3,y=2sin x是奇函数.2.(2018·福州模拟)函数f(x)=2x-sin x的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.显然f(x)的一个零点是0,而f′(x)=2-cos x>0,即f(x)在R上单调递增,因此函数f(x)只有一个零点.3.(2018·南宁模拟)函数f(x)=+ln(1-x)的定义域是( )A.[-1,2)B.(-2,1)C.(-2,1]D.[-2,1)【解析】选D.由题意得,⇒-2≤x<1,故函数f(x)的定义域为[-2,1).【变式备选】函数y=的定义域为 ( )A. B.C. D.【解析】选C.由题意得:lo(4x-3)≥0⇒0<4x-3≤1⇒<x≤1.4.(2018·大连模拟)f(x)=若f(f(0))=2a,则实数a=( )A. B.1 C.2 D.4【解析】选B.f(0)=30+1=2,f(f(0))=f(2)=4-2a=2a.解得a=1.【变式备选】(2018·济南模拟)已知f(x)=则f(2 016)=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选D.f(2 016)=f(1)=f(1-5)=f(-4)=log24=2.5.(2018·秦皇岛模拟)已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.由题可知g(x)=ln x-,因为g(1)=-1<0,g(2)=ln 2-=ln 2-ln>0,所以g(x)的零点所在的区间是(1,2).【变式备选】(2018·太原模拟)函数f(x)=-6+2x的零点一定位于区间( )A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(5,6)【解析】选B.f(1)=-3<0,f(2)=-<0,f(3)=>0.6.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为( ) A.(1,3) B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)【解析】选C.f′(x)=3x2-1,令f′(x)=2,即3x2-1=2⇒x=1或-1,所以P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上.7.(2018·锦州模拟)已知函数f(x)=在(-∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(0,2)D.(0,2]【解析】选B.因为f(x)为(-∞,+∞)上的减函数,所以解得0<a≤1.8.(2018·保定模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则 ( )A.f(2)<f(5)<f(8)B.f(5)<f(8)<f(2)C.f(5)<f(2)<f(8)D.f(8)<f(2)<f(5)【解题导引】由函数为奇函数及f(x-4)=-f(x)确定函数的周期,再利用函数在区间[0,2]上是增函数求解.【解析】选B.因为f(x-4)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且周期为8,所以f(8)=f(0),f(5)=-f(1)=f(-1),因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以函数f(x)在区间[-2,2]上是增函数,又-2<-1<0<2,所以f(5)<f(8)<f(2).9.定义在R上的函数f(x)满足:f(x-1)=f(x+1)=f(1-x)成立,且f(x)在[-1,0]上单调递增,设a=f(3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a【解析】选D.因为f(x-1)=f(x+1),所以T=2,a=f(3)=f(-1),b=f()=f(-2),c=f(2)=f(0),因为-1<-2<0,且f(x)在[-1,0]上单调递增,所以c>b>a.【变式备选】已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lg x,设a=f(3),b=f,c=f(-2),则( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>a>c【解析】选 A.因为f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lg x,所以a=f(3)=lg 3, b=f=-lg 4,c=f(-2)=-f(2)=-lg 2,因为lg 3>-lg 2>-lg 4,所以a>c>b.10.已知函数f(x)=(b∈R),若存在x∈,使得f(x)>-x·f′(x),则实数b的取值范围是( )A.(-∞,)B.C. D.(-∞,3)【解析】选C.由题意,得f′(x)=,则f(x)+xf′(x)=+=.若存在x∈,使得f(x)>-x·f′(x),则1+2x(x-b)>0,所以b<x+.设g(x)=x+,则g′(x)=1-=,当≤x<时,g′(x)<0;当<x≤2时,g′(x)>0,所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,所以当x=2时,函数g(x)取最大值,最大值为g(2)=2+=,所以b<g(x)max=.11.某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行,决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设.已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 ( )A.5千米处B.4千米处C.3千米处D.2千米处【解题指南】设仓库应建在离车站x千米处,由仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,利用给出的x=10及对应的费用求出比例系数,得到y1,y2关于x的函数关系式,写出这两项费用之和,由基本不等式求最值. 【解析】选A.设仓库应建在离车站x千米处.因为仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,令反比例系数为m(m>0),则y1=,当x=10时,y1==2,所以m=20;因为每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,令正比例系数为n(n>0),则y2=nx,当x=10时,y2=10n=8,所以n=.所以两项费用之和:y=y1+y2=+≥2=8(万元).当且仅当=,即x=5时,取等号.所以仓库应建在离车站5千米处,可使这两项费用之和最小,为8万元.12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是 ( )A.0B.0或-C.-或-D.0或-【解析】选D.因为f(x+2)=f(x),所以T=2.又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如图.显然a=0时,y=x与y=x2在[0,2]内恰有两不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个公共点,由题意知y′=(x2)′=2x=1,所以x=.所以A,又A点在y=x+a上,所以a=-.【变式备选】(2018·郑州模拟)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是 ( )A.[-1,1)B.[0,2]C.[-2,2)D.[-1,2)【解析】选D.由题意知g(x)=因为g(x)恰有三个不同的零点,所以2-x=0,当x>a时,有一个解,由x=2得a<2.由x2+3x+2=0得x=-1或x=-2,由x≤a得a≥-1.综上,实数a的取值范围为[-1,2).【一题多解】本题还可以采用以下方法选 D.已知利用排除法,在同一平面直角坐标系内作出函数y=x+2,y=x2+5x+2的图象和直线y=2x,如图所示.由图可知,当a<2时,直线y=2x与y=x+2在(a,+∞)上有一个交点,当a≥-1时,直线y=2x 与y=x2+5x+2的图象在(-∞,a]上有两个交点,由于函数g(x)=f(x)-2x 恰有三个不同的零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=2x恰有三个交点,故-1≤a<2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2018·长沙模拟)已知f(x)=ln(e2x+1)+kx是偶函数,则k=________.【解析】函数是偶函数,则f(ln 2)=f(-ln 2),即ln(e2ln 2+1)+kln 2=ln(e2×(-ln 2)+1)+k×(-ln 2),解得:k=-1.答案:-114.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f(x)在点x=1处的切线方程为________.【解题指南】利用换元法求出函数解析式,先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义:函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率,即可求出切线的斜率,从而问题解决.【解析】令t=e x,因为f(e x)=x+e x,所以f(t)=t+ln t,所以f(x)=x+ln x,所以f′(x)=1+,所以f′(1)=2,因为f(1)=1,所以f(x)在x=1处的切线方程为2x-y-1=0.答案:2x-y-1=0【变式备选】曲线y=f(x)=xe x+2x+1在点(0,1)处的切线方程为________.【解析】因为f′(x)=e x+xe x+2,所以f′(0)=3,所以函数f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.答案:y=3x+115.若dx=3+ln 2(a>1),则a的值是__________.【解析】dx=(x2+ln x)=a2+ln a-1=3+ln 2,得所以a=2.答案:216. (2018·黄冈模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=e x-ax,若函数f(x)在R上有且仅有4个零点,则a的取值范围是________.【解题指南】根据函数在R上为偶函数,结合函数的图象,讨论x>0时的情形即可.【解析】函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以研究函数零点的个数,只考虑x>0的情况,作出函数y=e x,y=ax图象,当两函数有两交点时,满足题意,即求出过原点与函数y=e x相切的直线斜率,y′=e x,设切点坐标为(x0,),=⇒x0=1,切线的斜率为k=e,故当a>e时有四个零点.答案:(e,+∞)【变式备选】函数f(x)=log2(x+2)-x2的零点个数为________个. 【解析】令f(x)=0得log2(x+2)=x2,画出这两个函数如图所示,由图可知,零点为2个.答案:2【方法技巧】对于函数与方程,常考:1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,了解函数的零点与方程根的联系.2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.函数零点的求法:①(代数法)求方程f(x)=0的实数根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数,其中a,b 为实数.(1)求a,b的值.(2)用定义证明f(x)在R上是减函数.【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,可得b=1.又f(-1)=-f(1),所以=-,解得a=1.当a=1且b=1时,f(x)=,经检验,满足f(x)是R上的奇函数.(2)由(1)得f(x)==-1+,任取实数x1,x2,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为x1<x2,所以<,且(+1)(+1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在R上为减函数.18.(12分)(2018·青岛模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+4ln x的极值点为1和2.(1)求实数a,b的值.(2)求函数f(x)在区间(0,3]上的最大值.【解析】(1)f′(x)=2ax+b+= ,x∈(0,+∞),由y=f(x)的极值点为1和2,所以2ax2+bx+4=0的两根为1和2,所以解得(2)由(1)得f(x)=x2-6x+4ln x,所以f′(x)=2x-6+==,x∈(0,3].当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如表:因为f(3)=4ln 3-9>f(1)=-5>f(2)=4ln 2-8,所以f(x)max=f(3)=4ln 3-9.19.(12分)(2018·天津模拟)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y=x3-x+8(0<x<120).(1)当x=64千米/小时时,行驶100千米耗油量多少升?【解析】 (1)当x=64千米/小时时,要行驶100千米需要=小时,要耗油×=11.95(升).(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米,由题意得,×=22.5,所以a=,设h(x)=x2+-,则当h(x)最小时,a取最大值,h′(x)=x-=,令h′(x)=0⇒x=80,当x∈(0,80)时,h′(x)<0,当x∈(80,120)时,h′(x)>0,故当x∈(0,80)时,函数h(x)为减函数,当x∈(80,120)时,函数h(x)为增函数,所以当x=80时,h(x)取得最小值,此时a取最大值为=200.20.(12分) (2018·宁波模拟)已知函数f(x)=ln x-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.(1)求a的值.(2)求函数f(x)的单调区间和极值.【解析】(1)f′(x)=+,因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x,所以f′(1)=a+1=-1,所以a=-2.(2)由(1)知f(x)=ln x+,则f′(x)=-=,令f′(x)=0,解得x=2,又f(x)的定义域为(0,+∞),当x∈(0,2)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,2)内为减函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(2,+∞)内为增函数,故该函数的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(0,2).由上面得如下表格:由表格知函数f(x)在x=2处取得极小值ln 2+1.21.(12分)(2018·海口模拟)设函数f(x)=x2+ax-ln x(a∈R).(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间.(2)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,证明:切点的横坐标为1. 【解析】(1)a=1时,f(x)=x2+x-ln x(x>0),所以f′(x)=2x+1-=,当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)设切点为M(t,f(t)),f′(x)=2x+a-,切线的斜率k=2t+a-,又切线过原点,则k=,所以=2t+a-,即t2+at-ln t=2t2+at-1.所以t2-1+ln t=0,存在性:t=1满足方程t2-1+ln t=0,所以t=1是方程t2-1+ln t=0的根.再证唯一性:设φ(t)=t2-1+ln t,φ′(t)=2t+>0,φ(t)在(0,+∞)上单调递增,且φ(1)=0,所以方程t2-1+ln t=0有唯一解.综上,切点的横坐标为1.22.(12分)(2018·娄底模拟)已知函数f(x)=,g(x)=k(x-1).(1)证明:任意k∈R,直线y=g(x)都不是曲线y=f(x)的切线.(2)若存在x∈[e,e2],使f(x)≤g(x)+成立,求实数k的取值范围. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f′(x)=,直线y=g(x)过定点(1,0),若直线y=g(x)与曲线y=f(x)相切于点(x0>0且x0≠1),则k==,即ln x0+x0-1=0, ①设h(x)=ln x+x-1,x∈(0,+∞),则h′(x)=+1>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,从而当且仅当x0=1时,①成立,这与x0≠1矛盾.所以,任意k∈R,直线y=g(x)都不是曲线y=f(x)的切线.(2)f(x)≤g(x)+,即-k(x-1)≤,令φ(x)=-k(x-1),x∈[e,e2],则存在x∈[e,e2],使f(x)≤g(x)+成立⇔φ(x)min≤,φ′(x)=-k=-+-k=-+-k.当k≥时,φ′(x)≤0, φ(x)在[e,e2]上为减函数,于是φ(x)min=φ(e2)=-k(e2-1),由-k(e2-1)≤得k≥,满足k≥,所以k≥符合题意;当k<时,由y=-+-k及t=的单调性知φ′(x)=-+-k在[e,e2]上为增函数,所以φ′(e)≤φ′(x)≤φ′(e2),即-k≤φ′(x)≤-k,①若-k≥0,即k≤0,则φ′(x)≥0,所以φ(x)在[e,e2]上为增函数,于是φ(x)min=φ(e)=e-k(e-1)≥e>,不合题意;②若-k<0,即0<k<,则由φ′(e)=-k<0,φ′(e2)=-k>0及φ′(x)的单调性知存在唯一x0∈(e,e2),使φ′(x0)=0,且当x∈(e,x0)时,φ′(x)<0,φ(x)为减函数;当x∈(x0,e2)时,φ′(x)>0,φ(x)为增函数;所以φ(x)min=φ(x0)=-k(x0-1),由-k(x0-1)≤得k≥>=>,这与0<k<矛盾,不合题意.综上可知, k的取值范围是.【变式备选】已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,有f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围.【解题指南】 (1)a=1时,求f(x)的导函数,计算曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k,写出该点处的切线方程.(2)由题意设g(x)=f(x)+2x(x>0),g(x)应是增函数,即g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,求出a的取值范围.【解析】(1)a=1时,f(x)=x2-3x+ln x,f(1)=-2,所以f′(x)=2x-3+,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k=f′(1)=0;所以在点(1,f(1))处的切线方程为 y=-2.(2)令g(x)=f(x)+2x=ax2-ax+ln x(x>0);由题意知g(x)在(0,+∞)单调递增,所以g′(x)=2ax-a+≥0在(0,+∞)上恒成立,即2ax2-ax+1≥0在(0,+∞)上恒成立;令h(x)=2ax2-ax+1(x>0);则①若a=0,h(x)=1≥0恒成立,②若a<0,二次函数h(x)≥0不恒成立,舍去,③若a>0,二次函数h(x)≥0恒成立,只需满足最小值h≥0,即-+1≥0,解得0<a≤8;综上,a的取值范围是[0,8].单元过关检测（三）(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于第二象限的点P,则cos α+sin α= ( )A. B.- C. D.-【解析】选B.由任意角三角函数的定义知sin α=,又α是第二象限角,所以cos α =-=-,因此cos α+sin α=-.2.记cos(-80°)=k,那么tan 100°等于 ( )A. B.-C. D.-【解析】选B.因为cos(-80°)=cos 80°=k,所以sin 80°==.所以tan 100°=-tan 80°=-=-.3.(2018·嘉兴模拟)将函数f(x)=cos ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位,若所得图象与原图象重合,则f不可能等于( )A.0B.1C.D.【解析】选D.由题意=·k(k∈N*),所以ω=6k(k∈N*),因此f(x)=cos 6kx,从而f=cos,可知f不可能等于.4.(2018·广州模拟)为了得到函数y=sin(2x-)的图象,只需将函数y=sin xcos x的图象( )A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【解析】选D.因为y=sin=sin2,因此只需将y=sin x cos x=sin 2x向右平移个单位即可.【变式备选】将函数f(x)=2sin(x+)+1的图象向右平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得函数y=g(x)的图象,则g(x)图象的一个对称中心为( )A. B.C. D.【解析】选D.由题意y=g(x)=2sin+1,令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,令k=0可得g(x)图象的一个对称中心为.5.(2018·北京模拟)将函数f(x)=cos 2x图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)在区间[0,a]上单调递增,则实数a的最大值为( )A. B. C. D.π【解析】选B.将函数f(x)=cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)=cos2=sin 2x的图象,令2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故当k=0时,g(x)在区间上单调递增,由于g(x)在区间[0,a]上单调递增,可得0<a≤,即实数a的最大值为.6.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,若它的终边经过点P(2,3),则tan= ( )A.-B.C.D.-【解析】选D.依题意,角α的终边经过点P(2,3),则tan α=,tan 2α==-,于是tan==-.7.已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则sin(α+)的值为( )A. B.C.D.【解析】选A.因为sin α+cos α=,所以sin αcos α<0,又因为α∈(0,π),所以α∈,所以α+∈,因为sin α+cos α=sin=,所以sin =, 所以cos =-,sin =sin =sincos -cossin=×-×=. 8.(2018·杭州模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈的图象如图所示,若f(x 1)=f(x 2),且x 1≠x 2,则f(x 1+x 2)= ( )A.1B.C.D.2【解析】选A.由题图知=-=,故T=π,所以ω==2,又f=0,所以2×+φ=0,φ=,故f(x)=2sin,又f(x1)=f(x2)且x1≠x2,不妨设x1=0,则x2=,所以x1+x2=,因此f(x1+x2)=2sin=1.9.(2018·淄博模拟)使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)是奇函数,且在上是减函数的θ的一个值是( )A. B. C. D.【解题指南】利用辅助角公式化简得f(x)=2sin(2x+θ+),由于它是奇函数,故θ+=kπ,k∈Z,再讨论k是奇数和偶数,使f(x)满足在上是减函数得到θ值.【解析】选 B.因为函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin是奇函数,故θ+=kπ,k∈Z,θ=kπ-,k∈Z.当k为奇数时,令k=2n-1,n∈Z,f(x)=-2sin 2x,满足在上是减函数,此时,θ=2nπ-,n∈Z,选项B满足条件.当k为偶数时,令k=2n,f(x)=2sin 2x,不满足在上是减函数. 综上,只有选项B满足条件.10.(2018·长沙模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=1,c=2,cos C=,则△ABC的面积为( )A. B. C. D.【解析】选C.因为a=1,c=2,cos C=,则sin C==,所以由余弦定理得:=,整理得2b2-b-6=0,解得b=2或b=-(舍),所以S△ABC=absin C =×1×2×=.11.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为,半径等于4米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米【解析】选B.如图,由题意可得:∠AOB=,OA=4,在Rt△AOD中,可得:∠AOD=,∠DAO=,OD=AO=×4=2,可得:矢=4-2=2,由AD=AO·sin=4×=2,可得:弦=2AD=2×2=4,所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=(4×2+22)=4+2≈9(平方米).12.(2018·九江模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(2sin B+sin A)+(2a+b)sin A=2csin C,则C= ( )A. B. C. D.【解析】选C.因为b(2sin B+sin A)+(2a+b)sin A=2csin C.所以由正弦定理可得:b(2b+a)+(2a+b)a=2c2,整理可得:b2+a2-c2=-ab,所以由余弦定理可得:cos C===-.因为C∈(0,π),所以C=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数y=sin 2x+cos2x的最小正周期为________.【解析】y=sin 2x+=sin 2x+cos 2x+=sin+,故T===π.答案:π14.如图,某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°,乙山山顶B的仰角为45°,∠APB的大小为45°,山脚P到山顶A的直线距离为2 km,在A处测得山顶B的仰角为30°,则乙山的高度为________ km.【解析】假设甲山底部为C,乙山底部为D,过A作AE⊥BD于点E.由题意可知∠APC=30°,∠BPD=45°,AP=2,所以AC=AP·sin 30°=1,DE=AC=1,设BD=h,则DP=BD=h,BE=h-1,所以BP=h.因为∠BAE=30°,所以AB=2BE=2h-2.在△ABP中,由余弦定理得:cos 45°===.解得h=2.所以乙山的高度为2 km.答案:215.(2017·浙江高考)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2. 点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是________,cos∠BDC=________.【解析】因为在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,所以由余弦定理得cos∠ABC= ==,则sin∠DBC=sin∠ABC=,所以S△BDC=BD·BCsin∠DBC=,因为BD=BC=2,所以∠BDC=∠ABC, 则cos∠BDC==.答案:16.(2018·长春模拟)非零实数a,b满足tan x=x,且a2≠b2,则(a-b)sin(a+b)- (a+b)sin(a-b)=__________.【解析】因为非零实数a,b满足tan x=x,且a2≠b2,所以可得:b=tan b,a=tan a,所以原式=(a-b)(sin acos b+cos asin b)-(a+b)(sin acos b-cos asin b)=2acos asin b-2bsin acos b=2tan acos asin b-2tan bsin acos b=2sin asin b-2sin asin b=0.答案:0三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2017·山东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a.【解析】因为·=-6,所以bccos A=-6,又S△ABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=,又b=3,所以c=2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2×3×2×=29,所以a=.【变式备选】(2016·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知asin 2B=bsin A.(1)求B.(2)若cos A=,求sin C的值.【解题指南】(1)利用正弦定理实现边化角,化简得到cos B,结合B 的范围得出B.(2)利用三角形内角和为π,将所求角化为两已知角的和,再根据两角和的正弦公式求解.【解析】(1)在△ABC中,由=可得asin B=bsin A,又由asin 2B=bsin A得2asin B·cos B=bsin A,整理得cos B=,因为B为△ABC的内角,所以B=.(2)在△ABC中,sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),由cos A=得sin A=,所以sin C=sin=sin A+cos A=.18.(12分)如图,两同心圆(圆心在原点)分别与OA,OB交于A,B两点,其中A(,1),|OB|=,阴影部分为两同心圆构成的扇环,已知扇环的面积为.(1)设角θ的始边为x轴的正半轴,终边为OA,求的值.(2)求点B的坐标.【解析】(1)由A(,1)得|OA|=,则sin θ==,cos θ==,所以====.(2)设∠AOB=α,因为扇环的面积为,所以=α·|OB|2-α·|OA|2=α(|OB|2-|OA|2)=α·(6-3)=α.所以α=.由题意知B,因为cos===.sin===,即B.19.(12分)(2018·潍坊模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2 -1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为.(1)当x∈时,求f(x)的单调递减区间.(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈[-,]时,求函数g(x)的值域.【解析】(1)由题意可得:函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1 =sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin(ω>0,0<φ<π)为奇函数,所以φ-=kπ,k∈Z,所以φ=.因为相邻两对称轴间的距离为==,所以ω=2,f(x)=2sin 2x.令2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),求得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),故函数的减区间为,k∈Z .结合x∈,可得f(x)的单调递减区间为.(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin的图象;再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)=2sin的图象,当x∈时,4x-∈,此时,sin∈,故函数g(x)∈[-2,].20.(12分)(2018·九江模拟)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R且f=.(1)求A的值.(2)若f(θ)+f(-θ)=,θ∈,求f.【解析】(1)因为函数f(x)=Asin,x∈R且f=,所以Asin=Asin =A·=,故A=.(2)由(1)得f(x)=sin,所以f(θ)+f(-θ)=sin+sin=2sin cos θ=cos θ=,故cos θ=,又因为θ∈,所以sin θ==.所以f=sin=sin(π-θ)=sin θ=.21.(12分)(2017·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2).(1)求cos A的值.(2)求sin(2B-A)的值.【解析】(1)由asin A=4bsin B,及=,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理,得cos A===-.(2)由(1)可得sin A=,代入asin A=4bsin B,得sin B==.由(1)知,A为钝角,所以cos B==,于是sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=×-×=-.22.(12分)(2018·石家庄模拟)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A 相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sin θ=, 0°<θ<90°)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时).(2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.【解题指南】(1)先根据题意画出简图确定AB,AC,∠BAC的值,求出θ的余弦值,再由余弦定理求出BC的值,从而可得到船的行驶速度.(2)先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q,根据余弦定理求出cos ∠ABC的值,进而可得到sin∠ABC的值,再由正弦定理可得AQ的长度,从而可确定Q在点A和点E之间,根据QE=AE-AQ,求出QE的长度,然后过点E作EP⊥BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离,进而在Rt△QPE中求出PE 的值,再与7进行比较即可得到答案.【解析】(1)如图,AB=40,AC=10,∠BAC=θ,sin θ=,由于0°<θ<90°,所以cos θ==.由余弦定理得BC==10.所以船的行驶速度为=15(海里/小时).(2)设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中,由余弦定理得,cos∠ABC===.从而sin∠ABC===.在△ABQ中,由正弦定理得,AQ===40.由于AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP⊥BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE 中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15×=3<7.所以船会进入警戒水域.【变式备选】如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米.。
2019版高考数学(理科)一轮复习通用版：第四单元导数及其应用
第四单元 导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过1．基本初等函数的导数公式12．(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 3．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[小题速通]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B. 2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．3．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ， 所以f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103.4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3 5．函数y ＝ln (2x ＋1)x的导数为________． 解析：y ′＝⎣⎡⎦⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.答案：y ′＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2[清易错]1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n－1中n ≠0且n ∈Q *，(cos x )′＝－sinx .2．注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.1．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．2解析：选B ∵f ′(x )＝(sin x －cos x )′＝cos x ＋sin x ， 又f ′(x )＝12f (x )，∴cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3.2．若函数f (x )＝2x ＋ln x 且f ′(a )＝0，则2a ln 2a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选A f ′(x )＝2x ln 2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln 2＋1a ＝0，得2a ln 2＝－1a，则a ·2a ·ln 2＝－1，即2a ln 2a ＝－1.导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[小题速通]1.(2018·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．已知曲线y ＝2x 2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．解析：因为y ′＝4x ，设切点为(m ，n )，则4m ＝2，所以m ＝12，则n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＝12，则切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12. 答案：⎝⎛⎭⎫12，124．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：因为函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，所以f ′(1)＝3，且f (1)＝3×1－2＝1，所以f (1)＋f ′(1)＝1＋3＝4.答案：4[清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． 1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.2.(2017·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________． 解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：31．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间． [小题速通]1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)解析：选A 解f ′(x )＝6x 2－18x ＋12<0可得1<x <2，所以单调减区间是(1,2)．2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B.⎝⎛⎦⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－24>0，－a4≤1，g (1)＝5＋a ≥0⇔－26≤a ≤26或a >26⇔a ≥－26，故选C.[清易错]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[小题速通]1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点． 2．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5. 3．(2017·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.4．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，则a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x(x >0)， 因为函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，令g (x )＝x 2－ax ＋1，且g (0)＝1>0，所以⎩⎨⎧a2>0，g ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24＋1<0，解得a >2.答案：(2，＋∞)5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意，f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x ＝a3或a .又∵x 1<2<x 2，∴x 1＝a3，x 2＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a 3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)[清易错]1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：选D 因为A 、B 为单调函数，所以不存在极值，C 不是奇函数，故选D.2．设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )>0可得x >1或x <－1， 由f ′(x )<0可得－1<x <1，所以函数f (x )的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]． 又因为f (－2)＝－1，f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (2)＝3， 所以M ＝3，m ＝－1， 所以M ＋m ＝2. 答案：2定积分[过双基]1．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3) ⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x ) ⎪⎪ba ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x ) ⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．[小题速通]1．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪a0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.2.⎠⎛01(e x ＋x)d x ＝________.解析：⎠⎛01(e x＋x )dx ＝⎝⎛⎭⎫e x＋12x 2⎪⎪10＝⎝⎛⎭⎫e 1＋12－(e 0＋0)＝e －12. 答案：e －123．(2015·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A(1,1)． 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16. 答案：16[清易错]定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(如图所示)的面积为( )A .23 B.13 C .12D.14解析：选D 由题意及图形可得阴影部分的面积 S ＝⎰201⎝⎛⎭⎫14－x 2dx ＋⎰211⎝⎛⎭⎫x 2－14dx＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3⎪⎪⎪⎪12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x ⎪⎪⎪⎪112＝14.一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1e C.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e .2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选C 由曲线y ＝x 2＋ax ＋b ，得y ′＝2x ＋a ， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝3，k ＝2＋a ，1＋a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，a ＝0，b ＝2，所以2a ＋b ＝2.3．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：选C y ′＝6x 2－6x ，由y ′＝6x 2－6x >0，可得x >1或x <0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)． 由y ′＝6x 2－6x <0，可得0<x <1，即单调减区间是(0,1)，所以函数在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解析：选C 由题意，f ′(x )＝－x ＋mx ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x 2>1，所以m ≤1.5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B f(x)＝x(x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f ′(x)＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m)(3x －m)．由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f ′(x)＝3(x －1)(x －3)，当1<x<3时，f ′(x)<0，当x<1或x>3时，f ′(x)>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x)＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x)<0，当x<13或x>1时，f ′(x)>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B .7．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴所围成的封闭图形的面积是( ) A .⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎠⎛02|x 2－1|d x C .⎠⎛02(x 2－1)d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析：选B 作出封闭图形的示意图如图所示，易得所围成的封闭图形的面积是S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，0≤f (x )＝1－2x <1；当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得0≤a －2≤1，解得2≤a ≤3，选A. 二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋ax ＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3， ∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x －1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1. 根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x ＋9. (2)由(1)知f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f ′(x ) ＋0 －－0 ＋(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫14≤10，f (1)≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2成立，从而得b ≤74， 所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74. 14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值． 高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．sin x ＋cos xD ．cos x －sin x(3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e[解析] (1)∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. (2)∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ，故选D.(3)由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x . ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. [答案] (1)C (2)D (3)B [方法技巧]1．可导函数的求导步骤(1)分析函数y ＝f (x )的结构特点，进行化简； (2)选择恰当的求导法则与导数公式求导； (3)化简整理答案． 2．求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．[即时演练]1．(2018·江西九校联考)已知y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，则y ′＝( ) A ．3x 2－12x ＋6 B ．x 2＋12x －11 C ．x 2＋12x ＋6D ．3x 2＋12x ＋11解析：选D 法一：y ′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11. 法二：∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.2．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2， 即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 答案：e导数的几何意义(1)问中，难度较低，属中、低档题.常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)确定切点坐标；(3)已知切线求参数值或范围； (4)切线的综合应用. 角度一：求切线方程1．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：∵f ′(x )＝11＋x－1＋2x ，∴f ′(1)＝32，f (1)＝ln 2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0. 答案：3x －2y ＋2ln 2－3＝0角度二：确定切点坐标2．已知函数f (x )＝e xx (x >0)，直线l ：x －ty －2＝0.若直线l 与曲线y ＝f (x )相切，则切点横坐标的值为________． 解析：由f (x )＝e xx (x >0)，得f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2(x >0)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 根据直线l 的方程x ＝ty ＋2，可得l 恒过点(2,0)．①当t ＝0时，直线l ：x ＝2垂直于x 轴，不与曲线y ＝f (x )相切，舍去；②当t ≠0时，设切点A (x 0，y 0)，直线l 可化为y ＝1t x －2t ，斜率k ＝1t ＝f ′(x 0)＝e x 0(x 0－1)x 20，又直线l 和曲线y ＝f (x )均过点A (x 0，y 0)，则满足y 0＝1t x 0－2t ＝e x 0x 0，所以e x 0(x 0－1)x 20＝e x 0(x 0－1)x 0·x 0＝⎝⎛⎭⎫1t x 0－2t ·x 0－1x 0＝x 0－2t ·x 0－1x 0＝1t ，两边约去t 后，可得(x 0－2)·x 0－1x 0＝1，化简得x 20－4x 0＋2＝0，解得x 0＝2±2.综上所述，切点的横坐标为2±2. 答案：2±2角度三：已知切线求参数值或范围3．(2017·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根， 即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.答案：⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 4．若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范围是________． 解析：设y ＝a ln x －1的切点为(x 0，y 0)，求导y ′＝ax ，则切线的斜率为ax 0，所以公切线方程为y －(a ln x 0－1)＝ax 0(x －x 0)，联立方程y ＝x 2－1可得x 2－ax 0x ＋a －a ln x 0＝0，由题意，可得Δ＝⎝⎛⎭⎫－ax 02－4(a －a ln x 0)＝0， 则a ＝4x 20(1－ln x 0)．令f (x )＝4x 2(1－ln x )(x >0)，则f ′(x )＝4x (1－2ln x )，易知，函数f (x )＝4x 2(1－ln x )在(0，e)上是增函数，在(e ，＋∞)上是减函数， 所以函数f (x )＝4x 2(1－ln x )的最大值是f (e)＝2e ， 则正实数a 的取值范围是(0,2e]． 答案：(0,2e]角度四：切线的综合应用5．已知函数f (x )＝m ln(x ＋1)，g (x )＝xx ＋1(x >－1)．(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )在(－1，＋∞)上的单调性；(2)若y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值． 解：(1)F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝m x ＋1－1(x ＋1)2＝m (x ＋1)－1(x ＋1)2(x >－1)， 当m ≤0时，F ′(x )<0，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当m >0时，由F ′(x )<0，得－1<x <－1＋1m ，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－1＋1m 上单调递减； 由F ′(x )>0，得x >－1＋1m ，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎫－1＋1m ，＋∞上单调递增． 综上所述，当m ≤0时，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减，当m >0时，函数F (x )在⎝⎛⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－1＋1m ，＋∞上单调递增． (2)函数f (x )＝m ln(x ＋1)在点(a ，m ln(a ＋1))处的切线方程为y －m ln(a ＋1)＝ma ＋1(x －a )，即y ＝m a ＋1x ＋m ln(a ＋1)－maa ＋1.函数g (x )＝x x ＋1在点⎝⎛⎭⎫b ，b b ＋1处的切线方程为y －b b ＋1＝1(b ＋1)2(x －b )，即y ＝1(b ＋1)2x ＋b 2(b ＋1)2.因为y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，即⎩⎨⎧m a ＋1＝1(b ＋1)2， ①m ln (a ＋1)－ma a ＋1＝b2(b ＋1)2， ②所以有唯一数对(a ，b )，满足这个方程组，由①得a ＋1＝m (b ＋1)2，代入②消去a 整理得：2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0，关于b (b >－1)的方程有唯一的解，令h (b )＝2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1， 则h ′(b )＝2m b ＋1－2(b ＋1)2＝2[m (b ＋1)－1](b ＋1)2， 方程组有解时，m >0，所以h (b )在⎝⎛⎭⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－1＋1m ，＋∞上单调递增， 所以h (b )min ＝h ⎝⎛⎭⎫－1＋1m ＝m －m ln m －1， 因为b →＋∞，h (b )→＋∞，b →－1，h (b )→＋∞， 所以只需m －m ln m －1＝0.令p (m )＝m －m ln m －1，则p ′(m )＝－ln m 在m >0时为单调递减函数，且m ＝1时，p ′(m )＝0. 所以p (m )max ＝p (1)＝0，所以m ＝1时，关于b (b >－1)的方程2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0有唯一解，此时a ＝b ＝0，公切线为y ＝x .[方法技巧]利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．定积分及应用[典例] (1)(2018·东营模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在(2)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛-12f (x )dx 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3(3)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] (1)如图，⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. (2) ⎠⎛-12f (x )dx ＝⎠⎛-111－x 2dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx ，因为⎠⎛1－11－x 2d x 表示圆心在原点，半径为1的上半圆的面积，则⎠⎛-111－x 2dx ＝π2；⎠⎛12 (x 2－1)dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 21＝43， 所以⎠⎛-12f (x )dx ＝π2＋43.(3)封闭图形如图所示， 则⎠⎛0ax dx ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.[答案] (1)C (2)A (3)49[方法技巧]求定积分的2种方法及注意事项(1)定理法运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： ①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． (2)面积法根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． [即时演练]1．(2018·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e .故选C .2．直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成封闭图形的面积为________． 解析：如图，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2，可得x 1＝－1，x 2＝3，故所求图形面积为S ＝⎠⎛-13 [(2x ＋3)－x 2]dx ＝⎠⎛-13－1(2x ＋3)dx －⎠⎛-13x 2dx ＝(x 2＋3x ) ⎪⎪⎪3-1－13x 3⎪⎪⎪3-1＝323.答案：3233．如图，在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率为________．解析：由图知长方形OABC 的面积为e ；函数y ＝a x 过点(1，e )，则a ＝e ，所以曲线的方程为y ＝e x ，A ，D 在直线y ＝1－x 上， 所以阴影部分的面积S ＝⎠⎛01(e x ＋x －1)dx ＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12x 2－x 10＝e －32， 所以在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率P ＝e －32e ＝1－32e .答案：1－32e1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________. 解析：y ＝ln x ＋2的切线方程为： y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)， y ＝ln(x ＋1)的切线方程为： y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点的横坐标为x 2)， ∴⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 24．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ， 得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.答案：8一、选择题1．若a ＝⎠⎛02x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫x －a ＋1x 6展开式中的常数项是( )A ．20B ．－20C ．－540D ．540解析：选C a ＝⎠⎛02xdx ＝12x ⎪⎪⎪20＝2，则⎝⎛⎭⎫x －3x 6展开式的通项T r ＋1＝(－3)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0可得r ＝3，则常数项是T 4＝(－3)3C 36＝－540.2．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.3．(2018·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C .1eD ．－1e解析：选C 法一：∵f (x )＝ln x ，x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x.设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝k OP ＝ln x 0x 0.∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y ＝ln x 及曲线y ＝ln x 经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C .4．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， 又因为y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m ＜0)， 解得m ＝－2，故选D.5．(2018·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π.6．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选A y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A . 二、填空题7．若a 和b 是计算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数f(x)＝lg (ax 2＋4x ＋4b)的值域为R 的概率为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <2，0<b <2所表示的平面区域是正方形，其面积为4.因为函数f (x )＝lg(ax 2＋4x ＋4b )的值域为R ，所以ax 2＋4x ＋4b 取遍所有的正数，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－16ab ≥0，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ab ≤1，如图所示，不等式⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ≤1所表示的图形的面积S ＝2×12＋⎠⎛2121a d a ＝1＋ln a 212＝1＋2ln 2，所以所求事件的概率为1＋2ln 24.答案：1＋2ln 248．已知函数f (x )＝e ax ＋bx (a <0)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝5x ＋1，且f (1)＋f ′(1)＝12.则a ，b 的值分别为________．解析：f (x )＝e ax ＋bx ，那么f ′(x )＝a e ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝5，f (1)＋f ′(1)＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，a e a ＋b ＋b ＋e a ＝12，化简得(e a －2)(a ＋1)＝0， 由a <0，得a ＝－1，b ＝6. 答案：－1,69．(2017·东营一模)函数f (x )＝x ln x 在点P(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1⇔ln x 0＋1＝1⇔ln x 0＝0⇔x 0＝1， ∴f (x 0)＝1·ln 1＝0， ∴P(1,0)．答案：(1,0)10．设过曲线f (x )＝－e x －x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范围是________．解析：设曲线f (x )上任意一点A(x 1，y 1)，曲线g(x )上存在一点B(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x －1，g ′(x )＝m －3cos x . 由题意可得f ′(x 1)g ′(x 2)＝－1，且f ′(x 1)＝－ex 1－1∈(－∞，－1)，g ′(x 2)＝m －3cos x 2∈[m －3，m ＋3]． 因为过曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，所以(0,1)⊆[m －3，m ＋3]，所以m －3≤0，且m ＋3≥1，解得－2≤m ≤3. 答案：[－2,3] 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(3－a )ln x ，a ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)>－5. 解：(1)∵f ′(x )＝x －a ＋3－a x ＝x 2－ax ＋3－ax ，∴f ′(1)＝4－2a ，由题意知4－2a ＝－12，解得a ＝94.(2)证明：由题意知，x 1，x 2为f ′(x )＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(3－a )>0，a >0，3－a >0，∴2<a <3.又x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝3－a ， ∴f (x 1)＋f (x 2)＝12(x 21＋x 22)－a (x 1＋x 2)＋(3－a )ln x 1x 2 ＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )．设h (a )＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )，a ∈(2,3)，则h ′(a )＝－a －ln(3－a )， h ″(a )＝－1＋13－a ＝a －23－a>0，故h ′(a )在(2,3)上递增． 又h ′(2)＝－2<0，a →3时，h ′(a )→＋∞，∴∃a 0∈(2,3)，当a ∈(2，a 0)时，h (a )递减，当a ∈(a 0,3)时，h (a )递增，∴h (a )min ＝h (a 0)＝－12a 20＋a 0－3＋(3－a 0)·(－a 0)＝12a 20－2a 0－3＝12(a 0－2)2－5>－5， ∴∀a ∈(2,3)，h (a )>－5， 综上，f (x 1)＋f (x 2)>－5.1．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3解析：选D y ＝ln x ，x ∈(0,1)的导数y ′＝1x >1，设切点为(t ，ln t )，则切线l 的方程为y ＝1t x ＋ln t －1，因为函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线l 的斜率为2x 0， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1t ，x 20＝1－ln t ，则1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)， 所以该函数的零点就是x 0，则排除A 、B ；又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x >0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增．又g (1)＝－ln 2<0，g (2)＝1－ln 22<0，g (3)＝2－ln 23>0， 从而2<x 0< 3.2．函数y ＝f (x )图象上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N )＝|k M －k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f (x )＝x 3＋2上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N )的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2，设x 1＋x 2＝t (|t |>2)， 则φ(M ，N )＝|3x 21－3x 22|(x 1－x 2)2＋(x 31＋2－x 32－2)2 ＝|3x 21－3x 22|(x 1－x 2)2[1＋(x 21＋x 1x 2＋x 22)2]＝3|x 1－x 2|·|x 1＋x 2||x 1－x 2|1＋[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]2＝3|x 1＋x 2|1＋[(x 1＋x 2)2－1]2＝3|t |1＋(t 2－1)2＝3t 2＋2t 2－2.设g (x )＝x ＋2x ，x >4，则g ′(x )＝1－2x 2>0，所以g (x )在(4，＋∞)上单调递增，所以g (x )>g (4)＝92.所以t 2＋2t 2－2>52，所以0<φ(M ，N )<3105.答案：⎝⎛⎭⎫0，3105高考研究课(二) 函数单调性必考，导数工具离不了 [全国卷5年命题分析][典例] (2016·山东高考节选)已知f (x )＝a (x －ln x )＋x 2，a ∈R ，讨论f (x )的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a ≤0，x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x － 2a ⎝⎛⎭⎫x ＋ 2a . ①若0＜a ＜2，则 2a＞1， 当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． ②若a ＝2，则2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③若a ＞2，则0＜ 2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1， 2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫ 2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． [方法技巧]导数法判断函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． [即时演练]1．(2017·芜湖一模)函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A.()0，＋∞ B.()－∞，0 C.()－∞，1D.()1，＋∞解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )＞0，解得x ＞1，故选D.2．(2016·全国卷Ⅱ节选)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x ＋x ＋2>0.解：f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x －(x －2)e x (x ＋2)2＝x 2ex(x ＋2)2≥0， 当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0.1.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，若函数f (x )的图象如图所示，则一定有( )A ．b >0，c >0B ．b <0，c >0C ．b >0，c <0D ．b <0，c <0解析：选B 由函数的图象与y 轴的交点在原点的上方可知，d >0，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数的图象可知，函数f (x )有两个极值点，且先增，再减，最后增，所以方程f ′(x )＝0有两个大于0不同的实根，且a >0，由根与系数的关系可得－2b 3a >0，c3a>0，则b <0，c >0.2.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：选B 由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．角度二：比较大小3．设定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (2－x )＝f (x )，f ′(x )x －1<0，若x 1＋x 2>2，x 1<x 2，则( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定解析：选C 由f (2－x )＝f (x )，可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，。
2019版一轮复习理数通用版：“空间位置关系”双基过关检测.doc
“空间位置关系”双基过关检测一、选择题1・设三条不同的直线齐，【2, Z 3,满足齐丄人，b 丄b 则人与＜2（） A. 是异面直线 B. 是相交直线 C.是平行直线D.可能相交、平行或异面解析：选D 如图所示，在正方体ABCD-EFGH 中，丄AD,AE 丄AD f 则 ABC\AE=A; AB 丄AE 9 4E 丄DC,则 AB//DC; 4B 丄AE, 丄AE,则4〃与FH 是异面直线，故选D ・2.在正方体ABCD-AiBrCtDi 中，下列几种说法正确的是（）B. AC 】丄BiCC. A 』与平面DD^B 成45。
角D. AiB 与 BiC 成 30。
角解析：选B 易知四边形是平行四边形，所以DB 〃D\B\, 又因为AiB 与D 〃相交，所以Ai 〃与DiBi 是异面直线，故A 错误；连 接A1G 交于点O,连接BO,易知AiG 垂直平面DD X B X B 9所以 A/与平面DD 、B\B 成30。
角，故C 错误；连接AQ,则三角形A|BD 是等边三角形，且AiD 〃BiC,则AiB 与EC 成60。
角，故D 错误，选B.若m//a 9 fi 丄卩,a 丄〃，则加与比相交或平行或异面，即B 错误；3・已知空间两条不同的直线m, n 和两个不同的平面么，“，则下列命题中正确的是（n//0, a//0,则 m//n〃丄0, a 丄0,则 m // nn//p, a 丄“，则加丄兀n 丄卩,o 丄卩,贝I ） m ± nA. C. 若 m//a,若 m//a,若加丄a,若“2丄a,解析：选D若加丄tz, n// p, a丄“，则加与w相交、平行或异面，即C错误，故选D.4.（2018•广东棋拟）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形，E, F 分别为円，PD 的中点，在此几何体中，给 出下面四个结论：① BE 与CF 异面； ② BE 与AF 异面； ③EF 〃平面PBC ； ④平面〃CE 丄平面PAD. 其中正确结论的个数是（）A. 1 C ・3D ・4解析：选B 画出该几何体，如图，因为E, F 分别是£4, PD 的中点、,所以EF//AD, 所以EF//BC fBE 与CF 是共面直线，故①不正确;② 〃E 与AF 满足异面直线的定义，故②正确；③ 由E, F 分别是P4, PD 的中点，可知所以EF//BC,因为平面PBC,BCU 平面PBC,所以EF 〃平面PBC,故③正确；④ 因为BE 与P4的关系不能确定，所以不能判定平面BCE 丄平面P4D,故④不正确•故 选B.5•如图所示,P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O, M 为PB的中点，给出下列五个结论：①PD 〃平面AMC ；②OM 〃平面 PCD ；③OM 〃平面PD4；④OM 〃平面⑤OM 〃平面PBC.其中正 确的个数有（） B. 2 D ・4解析：选C 因为矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O, 所以O 为BD 的中点. 在中，M 是PB 的中点，所以OM 是△PBD 的中位线，OM 〃加，则PD 〃平面AMC 9 OM 〃平面PCD,且OM 〃平面PDA. 因为MGPB,所以OM 与平面PBA 、平面PBC 相交.6・（2018・余姚棋拟）如图，在正方体ABCD^AxB x C x D x 中，M, N 分 别是BC\, CDi的中点，则下列说法错误的是（）A ・MN 与CCi 垂直B ・ 2C ・3B. MN与AC垂直PC. MN与〃D平行D. MN与A/i平行解析：选D 如图，连接CiD,在厶C\DB中，MN//BD,故C 正确；V CCx丄平面ABCD,〃£>U平面ABCD,:・CC\ 丄BD, Z.MN 与CCi垂直，故A正确；VAC丄BD, MN//BD, :.MN与AC垂直，故B正确，故选D・7•如图，正方体ABCD-AJhCtDr的棱长为1,线段B4i上有两个动点E, F,且EF=l则下列结论中错误的是（）A・ACLBEB. EF〃平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与的面积相等解析：选D 因为AC丄平面BEU平面BDD x B if所以AC丄BE, A项正确；根据线面平行的判定定理，知B项正确；因为三棱锥的底面的面积是定值，且点A 到平面BDDg的距离是定值半，所以其体积为定值，C项正确；很显然，点A和点〃到EF的距离不相等，故D项错误.8. （2018•福州质检）在三棱柱ABC・A]B]Ci中，E, F分别为棱AA” CCi的中点，则在空间中与直线A/i，EF, BC都相交的直线（）A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条解析：选D 在EF上任意取一点直线A/i与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N,而直线MN与AiB lf EF, BC分别有交点P, M,N,如图，故有无数条直线与直线A/],EF, BC都相交.二、填空题9・如图所示，平面<z,卩,y两两相交，a, b, c为三条交线，且a〃儿则a,庆c的位置关系是_______ ・解析：°：a"b, aUa, Ma, *.b//a. 又•:bU卩,aC“=c, :.b//c.：.a//b//c.答案：a//b//c10. （2018•天漳六校联考）设a,方为不重合的两条直线，a, “为不重合的两个平面，给 出下列命题：① 若a//a 且〃〃么，贝0 a//b\ ② 若a 丄a 且a 丄“，贝0 a//P\③ 若么丄0,则一定存在平面y,使得y 丄a, y 丄0； ④ 若么丄0,则一定存在直线/,使得/丄a, l//p. 其中真命题的序号是 ________ ・解析：①中a 与方也可能相交或异面，故不正确.② 垂直于同一直线的两平面平行，正确. ③ 中存在卩，使得？与a, “都垂直，正确. ④ 中只需直线Z 丄么且也"就可以，正确.答案：②③④11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E, F 分别是CCi ，4D 的中点，那么异面直线和旳F 所成角的余弦值等于 _____________ ・答案：i12. （2017•全国卷HIM ，方为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角 边AC 所在直线与a,方都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：① 当直线AB 与a 成60。
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“导数及其应用”双基过关检测一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B. 1e C.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e. 2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选C 由曲线y ＝x 2＋ax ＋b ，得y ′＝2x ＋a ， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝3，k ＝2＋a ，1＋a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，a ＝0，b ＝2，所以2a ＋b ＝2.3．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：选C y ′＝6x 2－6x ，由y ′＝6x 2－6x >0，可得x >1或x <0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)． 由y ′＝6x 2－6x <0，可得0<x <1，即单调减区间是(0,1)，所以函数在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解析：选C 由题意，f ′(x )＝－x ＋mx ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x 2>1，所以m ≤1.5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B f (x )＝x (x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ， 所以f ′(x )＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m )(3x －m )． 由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3. 当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1<x <3时，f ′(x )<0，当x <1或x >3时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x )＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x )<0，当x <13或x >1时，f ′(x )>0， 此时在x ＝1处取得极小值．选B.7．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴所围成的封闭图形的面积是( ) A.⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎠⎛02|x 2－1|d xC.⎠⎛02(x 2－1)d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析：选B 作出封闭图形的示意图如图所示， 易得所围成的封闭图形的面积是S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a的取值范围是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，0≤f (x )＝1－2x <1； 当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2. 由题意得0≤a －2≤1，解得2≤a ≤3，选A. 二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数， 则需方程1＋ax ＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ， 令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1， ∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x －1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1. 根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1.答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x ＋9. (2)由(1)知f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－a ) － a(－a ，0)(0，a )(a ，＋∞)f ′(x ) ＋0 －－0 ＋f (x )极大值极小值所以当a >0时，f (x )在(－∞，－a )，(a ，＋∞)上是增函数，在(－a ，0)，(0，a )上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫14≤10，f (1)≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2成立，从而得b ≤74， 所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74. 14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值．。