数学必修4导学案§_2.4平面向量的数量积
高中数学 2.4平面向量的数量积教案1 新人教A版必修4
课题：平面向量的数量积（1）二．教学目标：1.理解平面向量数量积的概念；2.掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π；3.掌握两向量共线及垂直的充要条件；4.掌握向量数量积的性质。
三．教学重、难点：向量数量积及其重要性质。
四．教学过程： （一）引入：物理课中，物体所做的功的计算方法： ||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）．（二）新课讲解： 1．向量的夹角：已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b =，则AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角。
当0θ=时，a 与b 同向；当180θ=时，a 与b 反向；当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0．3．数量积的几何意义： （1）投影的概念：如图，OA a =，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是一负值；当90θ=时，它是0；当0θ=时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -．（2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。
Aa b）Bb1B O1 1()B【练习】：①已知||5a =，||4b =，a 与b 的夹角120θ=，则a b ⋅=10-；②已知||4b =，a 在b 上的投影是1||2b ，则a b ⋅= 8 ； ③已知||5a =，||4b =，32a b ⋅=-a 与b 的夹角θ=135．（3）数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||a ba b θ⋅=；②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-； 特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅；③||||||a b a b ⋅≤； ④a b ⊥0a b ⇔⋅=；若e 是与b 方向相同的单位向量，则 ⑤||cos e a a e a θ⋅=⋅=．4．例题分析：例1．已知正ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅． 解：如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120，∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 122()362=⨯⨯-⨯=-．例2．已知||3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．解：作AB c =，BC a =， ∵0a b c ++=， ∴CA b =，∵||||||||||||a b c a b -<<+且222||||||c a b =+， ∴ABC ∆中，90C =， ∴tan 3A =，∴30A ∠=，60B ∠=， 所以，3323cos1209312a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⨯+⨯=--=-．五．课后练习：课本119P 练习第2，3，4．补充：1．若非零向量a 与b 满足||||a b a b +=-，则a b ⋅= 0 ．六．课堂小结：1．向量数量积的概念； 2．向量数量积的几何意义； 3．向量数量积的性质。
2023高中数学平面向量的数量积教案范文
2023高中数学平面向量的数量积教案范文2020高中数学平面向量的数量积教案范文一一、教学内容分析1、教学主要内容(1)平面向量数量积及其几何意义(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题2、教材编写特点本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。
3、教学内容的核心教学思想用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。
4、我的思考本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。
因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。
二、学生分析1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。
因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。
对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。
2、我的思考对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。
三、学习目标1、知识与技能(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。
(2)平面向量数量积的应用。
2、过程与方法通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。
3、情感态度与价值观培养学生运算推理的能力。
四、教学活动内容师生互动设计意图时间 1、课题引入师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。
生：加法、减法，数乘师：这些运算所得的结果是数还是向量。
生：向量。
师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。
3min 2、平面向里的数量积定义师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab②O与任何向量的数里积为O。
高中数学苏教版必修四《2.4平面向量的数量积2》课件
• 1. a b | a || b | cos
• 2.
a bab 0
2
a
|
a
|2
3.投影
2.4
谢谢大家
苏教版 高中数学
常用公式
(1)(a
b)2
2
2a b
2
b
2
2
(2)(a b) (a b) a b
例题
已知 | a | 6,| b | 4,a与b的夹角为60，求
a
b，
2
a
,
2
b,
(a 2b) (a 3b),
(a b)2, | a b |
解:a b | a || b | cos 12
2
a
2.4
平面向量的 数量积
苏教版 高中数学
• 1.多动脑筋 • 2.数形结合 • 3.总结基本题型 • 4.限时训练
• 已知两个非零向量 a 与 b，它们的
• 夹角为θ，我们把数量 | a | | b |cos 叫做a 与 b的
数量积（或内积,点乘），
a b | a || b | cos
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么
2
a
102 100
(3) | a | 8，
2
a a 82 64
2
(4)a
4，
|
a
|2
2
a
4
,| a |
42
2
(5)a
7，
|
a
|2
2
a
7
,| a |
7
数量积运算律
• 经验证，数量积满足如下运算率
(1)a b b a
(2)( a) b (a b) ( a) b
平面向量的数量积教案
2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时）2017级应用数学专业康萍一．教学内容分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4(人教A版）§2。
4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律，本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程。
二．学生学习情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法。
在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上，学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断。
三．设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导,采用探究式教学,以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究,在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。
四．教学目标知识与技能：以物理中功的实例认识理解平面向量数量积的含义及物理意义。
过程与方法：培养学生观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律的一般方法。
情感态度价值观：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一步参悟数学的本质。
五．教学重点和难点重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用.六．教学过程设计活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答:向量的加法、减法及数乘运算。
这些运算的结果是向量.很好,那既然两个向量可以进行加法、减法运算。
我们自然就想：两个向量能进行乘法运算吗？如果能，结果也是向量吗?【设计意图】1。
让学生明白新旧知识的联系性。
人教数学必修四2.4《平面向量的数量积》课件
2. 4 平面向量的数量积问题提出1.向量的模和夹角分别是什么概念? 当两个向量的夹角分别为0。
, 90° , 180°时，这两个向量的位置关系如何?2•任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律•由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.探究（一）：平面向量数量积的背景与含义如图，一个物体在力F的作用下产生位移s,且力F与位移s的夹角为0 ,F那么力F所做的功W是多少?。
W= | F | | s I cos0功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功” 称为向量F与s “数量积” •一般地，对工命零向量a与方的数量积是指什么？对于两个非零向量Q与方，设其夹角为e，把丨a I I b I cos 0叫做a与方的数量积（或内积），记作即那么a •方的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？0・a=0对于两个非零向量Q与方，其数量积0“何时为正数？何时为负数？何时为零？对于两个非零向 量a 与方，设箕夹角为0, 那么丨a I cos 0的几何意 义如何？ o对于两个非零向量a与方，设其夹 角为9 , I a I cos 0叫做向量a 在方方向 上的投影•那么该投影一定是正数吗？向 量方在a 方尙上的藏影是存么？不一定；|方| cosO.Z B a cos 0 A 】根据投影的概念，数量积a・b= | b I cosO的几何意义如何?数量积。
・方等于a的模与方在a方向上的投影丨I cos 0的乘积，或等于方的模与a在方方向上的投影| a | cos。
的乘积，探究（二）:平面向量数量积的运算性质设a 与方都是非零向量，若a丄方，贝妝力等于多少？反之成立吗？当a与方同向时，a•方等于什么？当a与方反向时，a•方等于什么？特别地，a・a等于什么？当a与方同向时，a・b= \ a \ \ b \ ；当a与方反向时，a・b = — | a \ I方I ；a*a=a2= \ a \ \ a \ =Ja^a .刊与肌是什么关系？为什么? 对于实数入，（加）•方有意义吗？它可以转化为哪些运算？I a ・b I与 系如何？为什b I 的大小关对于向量a, b 9 c, （a+“c 有意 义吗？它与a ・c+Zrc 相等吗？为什么？ A对于非零向量a, b, c 9 （a •方）・c 有意义吗？ （a-b ）-c 与a •（方・c ）相等吗？为 什么？(a 9b)9c^a 9(b 9c)对于非零向量a, b, c9若a・b=a・c,男B么方=c吗？思考9：对于向量a, b9等式@+方）2= 0+2a •方+方2和（a +方）（a —方）=0—方2是否成立？为什么？对于向量a, b9如何求它们的夹角0? 理论迁移a xb cosq = a\\b\例1已知丨a | =5, I b I =4, a与方的夹角为120。
高中数学苏教版必修四《第2章平面向量2.4向量的数量积》课件
(5)
讨论：向量的夹角范围 [0，X]
向量的数量积定义
已知两个非零向量a和b，他们的夹角是X，我 们把数量|a||b|cos叫做向量a和向量b的数量积 （或内积），记作a·b，即
a·b=|a||b|cos
我们规定：零向量与任一向量的数量积为0
向量数量积的性质
规定:0·a=0
<a,b>=900 <=> a⊥b <=>a·b=0
a,b同向 <=> a·b=|a|·|b| a,b反向 <=> a·b=-|a|·|b| a,b共线 <=> a·b=±|a|·|b|
cos<a,b>=
a·b | a || b |
a·a=a2=|a|2
|a|= a·a
|a·b|≤|a||b|
运算律
• 向量a,b,c，实数 ab=b·a (a)·b=a·(b)= (a·b)= a·b (a+b)·c=a·c+b·c 思考(a·b)·c=a(b·c) ? a·b=b·c => a=c ? 若b=0,a·b=b·c => a=c ? 不满足结合律，消去律
(a+2b) ·(a-2b), (a+b) ·(a-b), (a+b)2
总结
• （1）a·b结果是数量 • （2）利用a·b=|a||b|cos ，可求向量夹角，尤其
是判定垂直 • （3）两向量夹角范围 [0，x] • （4）运算律
思考
• 已知|a|=2,|b|=4,且a与b不共线，当且仅当k为何值时，向量a+kb与 向量a-kb垂直？
苏教版 高中数学
向量的数量积
一、创设情景
高中数学苏教版必修四《2.4平面向量的数量积1》课件
• 二级
• 三级
另一方面 3 1cos
ab 2 8 2 2
3 1sin 2
•
四∴级 a b • 五级
3 1cos
3 1cos
……①
又 sin 2 cos2 1
……②
解之得： cos， 1 sin 3
或，
2
cos 3
2
2
sin
1
2
b1
3 2
,
1 2
或b2
a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
3
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向量数量积的几何意义
• 单击此a处•b编的辑几母何版意文义本：样式
• 二级
• 三级 数量积a•b等于a的长度│a│与b在a的方 • 四级• 五向级 上的投影│b│cosθ的积
OB＝ │b│cosθ
b
θa
O
B
4
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解： ab 567 4 2
cos
x1x2 y1 y2
2 962
x12 y12 x22 y22 74 52 962
8
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练习1 已知 A1,2，B2,3 ，C 2,5 ，求证 △ABC 是直角三角形.
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• 二级 证明：∵ AB 2 1,3 2 1,1
• 二|级a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
• 三级
• 四级
a b | a || b | cos
• 五级
│b│cosθ叫做向量b在向量a上的投影。
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
新人教A版必修4高中数学2.4.1平面向量数量积的含义学案
高中数学 2.4.1平面向量数量积的含义学案新人教A 版必修4【学习目标】1、 理解平面向量数量积的含义，2、 掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义；3、 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质和运算律解决有关问题。
【重点难点】1、 掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义；2、 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质和运算律解决有关问题。
【学习内容】问题情境导学一、向量数量积的定义【想一想】(1)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？(2)如果我们把上述公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又如何表述？【填一填】(1)已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量_____叫做a与b 数量积(或内积),记作b a ⋅即b a ⋅=________，(2)规定零向量与任一向量的数量积为______________．【思考】向量的数量积运算与向量的线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？二、向量数量积的几何意义【想一想】 结合图形，你能作出θcos b 吗？【填一填】数量积的几何意义：数量积b a ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影___________的乘积．【思考】b 在a 方向上的投影θcos b 是个什么量？三、向量数量积的性质【想一想】的夹角︒=0θ，︒90，︒180时，b a ⋅的结果怎样？当b a =时，b a ⋅的结果又怎样？【填一填】设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________________；(2)当a 与b 同向时，b a ⋅=________，当a 与b 反向时，b a ⋅=________；(3)a a ⋅=________或a a a ⋅=2a =；(4)ba b a ⋅=θcos ； (5) ||b a ⋅b a =．【思考】若b a ⋅0>，a 与b 的夹角是锐角吗？若b a ⋅0<，a 与b 的夹角是钝角吗？返过来呢？四、向量数量积的运算律 【想一想】若c b a ，，，λ是实数，则下列运算律成立：(1)a b b a ⋅=⋅；(2))()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅；(3)c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(；(4))()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅． 若以上字母除λ外都是向量，以上运算律还成立吗？【填一填】(1)b a ⋅=________；(2)=⋅b a )(λ________________))((R b a ∈⋅=λλ ；(3)=⋅+c b a )(__________________．【思考】若c a b a ⋅=⋅，b 与c 一定相等吗？为什么？课堂互动探究【类型一】数量积的基本运算例１、已知4=a ，5=b ，当①a //b ；②b a ⊥；③a 与b 的夹角为︒135时，分别求a 与b 的数量积．【类型二】与向量的模有关的问题例2、已知向量a 、b 满足2=a ，3=b ，4=+b a 求 b a -．【类型三】两向量的垂直与夹角问题例3、已知3=a ，2=b ，向量a 、b 的夹角为︒60，=c b a 53+，b a m d 3-=，求当m 为何值时，d c 与垂直？【课后作业与练习】基础达标(1)若2=a ，21=b ，a 与b 的夹角为︒60，则b a ⋅为 (A)21 (B)41(C)1 (D)2(2)已知3=b ，a 在b 方向上的投影是32，则b a⋅为(A)31 (B)34 (C)3 (D)2 (3)已知10=a ，12=b ，且b a ⋅60-=，则a 与b 的夹角(A)︒60 (B)︒120 (C)︒135 (D)︒150(4)设a 与b 的模分别为4或3，夹角为︒60，则b a +等于(A)37 (B)13 (C)37 (D)13(5)已知a 、b 是非零向量，且满足a b a ⊥-)2(，b a b ⊥-)2(，则a 与b的夹角是 (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π (6)若两个单位向量1e ，2e 夹角为32π，且向量2112e e b -=，21243e e b +=，则=⋅21b b ___________________．(7)已知向量a 、b 满足b a ⋅，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角是___________________．(8) 已知非零向量a 与b 的夹角为︒120，若b a c +=，且a c ⊥，则b a的值为___________________． 能力提升(9)已知1=a ，b a ⋅21= ，21)()(=+⋅-b a b a ． ①求a 与b 的夹角θ；②求b a +．(10)在边长为1的正三角形ABC 中，设BD BC 2=， CE CA 3=，求BE AD ⋅．(11)已知b a ⊥，且2=a ，1=b ，若对两个不同时为零的实数k ，t ，使得b t a )3(-+与b t a k +-垂直，试求k 的最小值．(12) 已知非零向量a 与b 的夹角为︒120，2=a ，4=b ，设)(R x b a x y ∈+= ，试求y 的最小值，并求出相应的x 值．。
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牡丹江农垦管局高中第一教学部 高一数学◆必修4第4课时◆导学案 编写：丛谱日 梁冰 校审： 班级 姓名 授课时间: 2012 年 12 月 31日 小组评价： 教师评价：
§ 2.4平面向量的数量积
自我评价 你完成本节导学案的情况为
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
学习目标：
一、1．掌握平面向量的数量积及其几何意义；2．掌握平面向量数量积的重要性质及
运算律；3．了解用数量积可以处理有关长度角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；
二、 教学重点： 平面向量的数量积定义
教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
一、 复习回顾
1、已知两个非零向量a和b,作,OAaOAb,则___叫做向量a与b的夹角。
2、向量夹角θ的范围是__ __,a与b同向时,夹角___＿;a与b反向时,夹角____。
3、如果向量a与b的夹角是___,则a与b垂直,记作______。
4、向量数乘运算的定义是 .
思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与
向量能否“相乘”呢？
二、探究过程:
1._____________________________ __________叫做ab与的夹角。
2.已知两个______向量ab与，我们把______________叫ab与的数量积。（或________）
记作___________即ab＝______________________其中是ab与的夹角。
______________________叫做向量ab在方向上的___________。
3.零向量与任意向量的数量积为___________。
4.平面向量数量积的性质：设ab与均为非零向量：
①ab___________ ②当ab与同向时，ba＝ __ 当ab与反向时，
ab
＝_____ __，特别地，aa= 或a= 。
③cos= ④|ab| __ |a||b|
5. ba的几何意义：________________________________________________________。
6.向量的数量积满足下列运算律：已知向量abc，，与实数。
①ab＝___________（______律）
②ab＝___________= = ③a+bc＝_________ __
说明：①记法“a·b”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
三、典型例题
例1 已知5a，4b，a和b的夹角为120，求ab？
例2: 对任意ba,是否有222)(.2)()(bbaaba和 22)()())((bababa成立？
例3:已知已知6a，4b，a和b的夹角为60，求)3)(2(baba
四、 达标训练:
1、已知5a，4b若ab，求ab.若//ab，求ab.
2、已知5a，4b，ab=-10，求a与b的夹角.
3、已知5a，4b，ab=-10，求向量a在向量b的方向上的投影.
4、⑴在ABC中，若0ABBC，或0ABBC.试判断ABC的形状
牡丹江农垦管局高中第一教学部 高一数学◆必修4第4课时◆导学案 编写：丛谱日 梁冰 校审： 班级 姓名 授课时间: 2012 年 12 月 31日 小组评价： 教师评价：