春八年级数学下册第16章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质练习课件(新版)沪科版
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人教版八年级数学下册课件 16-1-2 二次根式的性质(1)
B
)
A.
2
1 2
2
C.
2
1 2
2
B.
17 2 4
17 2 D. 4
随堂练习
3．化简 |a－3|＋( 1 a )2 的结果为( D )
A．－2
B．2
C．2a－4
D．4－2a
随堂练习
4． 计算：（1）( 3 )2；
（2）(3 2 )2.
解：（1）( 3 )2＝3; （2）(3 2)2＝32×( 2 )2＝9×2＝18.
规律方法：二次根式具有双重非负性，即对于二次根式 a 来说， a≥0，且 a≥0．它常与 a2，| a | 等一起进行考查.
随堂练习
1．下列计算正确的是( A ) A．－( 6 )2＝－6 C．( 16 )2＝±16
B．( 3 )2＝9
2
D．
16 25
16 25
随堂练习
2．把
4
1 4
写成一个正数的平方的形式是(
典例精析
例 2 若 a 2 (b 3)2 0 ， 则 (a b)2 022 ____1____.
解析：∵ a 2≥0 ， (b 3)2≥0 ， a 2 (b 3)2 0 ， ∴ a 2 0 ， (b 3)2 0 ， 解得 a 2 ， b 3 ， ∴ (a b)2 022 (1)2 022 1.
被开方数大于或等于零.
合作探究
思考：二次根式 a 中被开方数 a 的取值范围是 a≥0，那么 a 的取值范围是 什么？ 当 a＞0 的时候， a 表示 a 的算术平方根，则 a ＞0；
当 a＝0 的时候， a 表示 0 的算术平方根，则 a ＝0.
当 a≥0 时， a 是非负数，即 a ≥0.
最新人教版八年级数学下册第16章二次根式全套课件PPT(完美版)
A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3
(
x
2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是
1
人教版 八年级 数学 下册 第十六章 16.2 二次根式的乘除法课件(共16张PPT)
除法法则：a a (a 0,b 0) bb
二次根式相除,实际上就是把被开方数相
除,而根号不变．
请计算下列各式
32 (1)
2
3 4 1 7
5 10
如果根号前有系数，就把 系数相除，仍作为二次根号 前的系数。
(2) 50 10
(4)2 11 5 1 26
除法法则：a a (a 0,b 0) bb
a b a2c b2c （a＞b＞0）
6u2 10u3v （u＞0）
1）：课本：Page 10-11 1.2.3.4.8 课上完成
2）：课本：Page 11 5.6.7.10.11 课下完成
0.4 10
3 2 23
2 32
1 8 2
乘法法则： a • b ab(a 0,b 0)
二次根式相乘,实际上就是把被开方数 相乘,而根号不变．
逆用乘法法则： ab a • b(a 0,b 0)
积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积．
请计算下列各式
12
a3 a 0
225
逆用除法法则：a a (a 0,b 0) bb
2a 3b ?
2a 2a • 3b 6ab 6ab
3b 3b • 3b ( 3b)2 3b
把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘 以同一个适当的代数式，（目的：使分母不 含根号）.
将下列各式分母有理化:
5
4 9
2
2
3 2
====
9 25 3 5
16 9
4 9 9 25
思考：根据上述结果，我们是否能得出 一个结论呢？ 提示：是否可以将其推广到一般情况呢？
乘法法则： a • b ab(a 0,b 0)
二次根式相除,实际上就是把被开方数相
除,而根号不变．
请计算下列各式
32 (1)
2
3 4 1 7
5 10
如果根号前有系数，就把 系数相除，仍作为二次根号 前的系数。
(2) 50 10
(4)2 11 5 1 26
除法法则：a a (a 0,b 0) bb
a b a2c b2c （a＞b＞0）
6u2 10u3v （u＞0）
1）：课本：Page 10-11 1.2.3.4.8 课上完成
2）：课本：Page 11 5.6.7.10.11 课下完成
0.4 10
3 2 23
2 32
1 8 2
乘法法则： a • b ab(a 0,b 0)
二次根式相乘,实际上就是把被开方数 相乘,而根号不变．
逆用乘法法则： ab a • b(a 0,b 0)
积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积．
请计算下列各式
12
a3 a 0
225
逆用除法法则：a a (a 0,b 0) bb
2a 3b ?
2a 2a • 3b 6ab 6ab
3b 3b • 3b ( 3b)2 3b
把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘 以同一个适当的代数式，（目的：使分母不 含根号）.
将下列各式分母有理化:
5
4 9
2
2
3 2
====
9 25 3 5
16 9
4 9 9 25
思考：根据上述结果，我们是否能得出 一个结论呢？ 提示：是否可以将其推广到一般情况呢？
乘法法则： a • b ab(a 0,b 0)
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式 课件(共27张)
第十六章 二次根式
锦囊妙计 解决图案类的规律探究题的技巧
应先观察图案的变化趋势, 然后从第一个图案开始进行分析, 运用从特殊到 一般的探索方式, 分析、归纳出函数解析式, 最后用代入法求出特殊情况下 的函数值.
谢 谢 观 看！
第十六章 二次根式
锦囊妙计 列代数式的常用方法
(1)直接法：根据问题的语言叙述直接列出代数式. (2)公式法：根据公式列出代数式. (3)探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的规律用代数式表示出来.
第十六章 二次根式
分析 物体的总数等于各层物体数之和, 每层物体的个数和它的层数有关. 设物体 的总数为 y. 从上往下数, 第 1 层放 1 个, 第 2 层放 2 个, 第 3 层放 3 个, …, 第 n 层放 n 个, 即 y=1+2+3+…+n. 求 1+2+3+…+n 需要一定的技巧. ∵y=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n, 又∵y=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1, ∴2y=(n+1)+(n+1)+ …+(n+1)= n(n+1), ∴y=n(n2+1).
第十六章 二次根式
题型三 二次根式中被开方数的非负性的应用
例 题 3 若 b=
1-2a +
2a-1
-1-
1 2
,
则 代 数 式 (a-b)2020 的 值 为
____1_____.
第十六章 二次根式
分析
第十六章 二次根式
锦囊妙计 求二次根式中字母的取值的技巧
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式 课件(共35张PPT)
而 2a b2 0
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
八年级数学下册第16章课件 (2)
____________．
综合运用
练习3 性质（ a）2=a （a≥0）和 a2 =a （a≥0）有什 么区别和联系？
课堂小结
（1）你知道了二次根式的哪些性质？ （2）Βιβλιοθήκη 用二次根式性质进行化简需要注意什么？
（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？ （4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表
示数得到的式子？说说你对代数式的认识．
新课引入
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
性质的探究
问题1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1）４ ９ =
2 ____3___；
4= 2 9 ____3___；
（2） 16 25
答案：（1） a为任何实数； （2） a =1．
总结：被开方数不小于零．
比较辨别 探索性质
问题 请比较 a 和0 的大小． 分类讨论思想
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a（a≥0）是一个非负数．
双重非负性
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算
术平方根是二次根式．
回顾总结 反思提升
我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行 运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
课后作业
作业：教科书第5页第1，3，5，6，7，10题．
八年级 下册
16.1 二次根式（2）
=4 ____5___；
16 = 25
综合运用
练习3 性质（ a）2=a （a≥0）和 a2 =a （a≥0）有什 么区别和联系？
课堂小结
（1）你知道了二次根式的哪些性质？ （2）Βιβλιοθήκη 用二次根式性质进行化简需要注意什么？
（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？ （4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表
示数得到的式子？说说你对代数式的认识．
新课引入
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
性质的探究
问题1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1）４ ９ =
2 ____3___；
4= 2 9 ____3___；
（2） 16 25
答案：（1） a为任何实数； （2） a =1．
总结：被开方数不小于零．
比较辨别 探索性质
问题 请比较 a 和0 的大小． 分类讨论思想
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a（a≥0）是一个非负数．
双重非负性
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算
术平方根是二次根式．
回顾总结 反思提升
我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行 运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
课后作业
作业：教科书第5页第1，3，5，6，7，10题．
八年级 下册
16.1 二次根式（2）
=4 ____5___；
16 = 25
人教版八年级下册数学 第16章 16.2.1 二次根式的乘法 习题课件
(4) 4y·
1 4xy.
原式＝
4y·14xy＝ y2x＝y x.
素质一练通
12．计算： (1)【2021·福建】 12＋| 3－3|－13－1；
解：原式＝2 3＋3－ 3－3＝ 3；
(2)【原20式21＝·上3＋海】2－9121＋－|112－×2
2|－2－1× 2
8；
＝3＋ 2－1－ 2
＝2；
素质一练通
A．x≥0
B．x≤0
C．0≤x≤5
D．x≥5
【点拨】由题意得xx≥ －05， ≥0，解得xx≥ ≥05， ，∴x≥5.
新知基本功 11．【教材P7例3变式】计算： (1) 2× 10；解：原式＝ 2×10＝ 22×5＝2 5； (2) 27× 23；原式＝ 27×23＝ 32×2＝3 2；
(3)3 14×2 7；原式＝3×2× 14×7＝6× 72×2＝42 2；
精彩一题
(1)请将上述解答过程补充完整； 解：原式＝(－5 110)2×(2 5)2① ＝(－5)2×( 110)2×__2_2___×_(__5_)_2_② 1 ＝__2_5___×___1_0__×___4___×___5___③ ＝50.
精彩一题
(2)上述解答过程第①步运用了公式_a_·_a_＝__a_2_，第②步运用了 公式_(a_b_)_2_＝__a_2·_b_2__，第③步运用了公式_(__a__)_2＝__a_(_a_≥__0；)
精彩一题
(3)根据上述过程，请完成计算：
(－5 25)2×2 0.3×(－2 130)×(－12 3)2.
解：原式＝(－5)2×
252×[2×(－2)]×
＝25×25×(－4)×130×14×3
＝－9.
人教版八年级下册数学 第16章 16.1.1 二次根式的定义 习题课件
认知基础练
【点拨】 根据二次根式的定义进行识别. a中，a＜0 时不是二 次根式．
认知基础练
3 【教材 P2 例 1 改编】【2021·襄阳】若二次根式 x＋3在 实数范围内有意义，则 x 的取值范围是( A ) A．x≥－3 B．x≥3 C．x≤－3 D．x＞－3
认知基础练
4 若 ab是二次根式，则 a，b 应满足的条件是( D ) A．a，b 均为非负数 B．a，b 同号 C．a≥0，b＞0 D．a≥0，b＞0 或 a≤0，b＜0
认知基础练
【点拨】 由题意得－(a－2)2≥0，而(a－2)2≥0，则a－2＝0，
故a＝2.
认知基础练
7 已知 y＝ x－4＋ 4－x＋3，则xy的值为( C ) A．43 B．－43 C．34 ．－34
认知基础练
8 【中考·宿迁】若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4＝0， 且 m，n 恰好是等腰三角形 ABC 的两条边的长，则△ ABC 的周长是( B ) A．12 B．10 C．8 D．6
认知基础练
【点拨】 本题易错在漏掉分母不为0这个条件．由题意知
x≠0且x＋1＞0，解得x＞－1且x≠0.
思维发散练
10 (1)若 x，y 为实数，且 y＞ x－3＋ 3－x＋2，化简：|1y－－1y|； 解：由x3－－3x≥≥00，，解得 x＝3， ∴y＞2. ∴|1y－－1y|＝yy－－11＝1.
思维发散练
(2)若 y· 2x－2＋ 1－x＝y＋2，求 y2＋5x的值.
解：由21x－－x2≥≥00，，解得 x＝1， ∴y＋2＝0，即 y＝－2. ∴ y2＋5x＝ （－2）2＋5×1＝ 9＝3.
思维发散练
11 已知 2x＋y－3＋ x－2y－4＝ a＋b－2 024×