四川省达州市大竹县文星中学2014-2015学年高二5月月考数学试卷含答案
2014-2015年四川省达州高中高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF
10 2 ﹣x） ＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10， 则 （a0+a2+…+a10） ﹣ （a1+a3+…
+a9）2 的值为（ A．0
） B．2 C．﹣1 D．1
8． （5 分）f（x） ，g（x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x＜0 时，f′ （x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，且 f（﹣2）＝0，则不等式 f（x）g（x）＜ 0 的解集为（ ） B． （﹣2，0）∪（0，2） D． （﹣∞，﹣2）∪（0，2）
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2014-2015 学年四川省达州高中高二（下）期中数学试卷（理科）
3． （5 分）若 f′（x0）＝﹣3，则 A．﹣3 B．﹣6
4． （5 分）某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成，其中 4 个 数字互不相同的牌照号码共有（ A． C． 个 ） B． D． 个 个
5． （5 分）如果对于任意实数 x，[x]表示不超过 x 的最大整数．例如[3.27]＝3， [0.6]＝0．那么“[x]＝[y]”是“|x﹣y|＜1”的（ A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 ）
A． （﹣2，0）∪（2，+∞） C． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
9． （5 分）从 5 位同学中选派 4 位Байду номын сангаас学在星期五、星期六、星期日参加公益活动， 每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同 的选派方法共有（ A．40 种 10． （5 分）若函数 b 的大小关系是（ A．a＞b C．a＝b ） B．a＜b D．b 的大小关系不能确定 ） B．60 种 C．100 种 D．120 种 ，则 a，
2014-2015学年四川省达州市大竹县文星中学高三下学期期中数学试卷(理科)【解析版】
2014-2015学年四川省达州市大竹县文星中学高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M＝{﹣1}，N＝{1+cos，log0.2（|m|+1）}，若M⊆N，则集合N等于（）A．{2}B．{﹣2，2}C．{0}D．{﹣1，0} 2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．命题“∀x≥0，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x0＜0，x02+x0﹣1≥0”C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8＝6+a11，则S9的值等于（）A．54B．45C．36D．274．（5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．5．（5分）曲线+＝1与曲线+＝1（12＜k＜16）的（）A．长轴长与实轴长相等B．短轴长与虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等6．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）运行如图的程序框图，则输出s的结果是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，偶函数f（x）的图象形如字母M（图1），奇函数g（x）的图象形如字母N（图2），若方程f（g（x））＝0．g（f（x））＝0的实根个数分别为a，b，则a+b＝（）A．18B．21C．24D．279．（5分）△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]10．（5分）下面四个图象中，有一个是函数f（x）＝x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R）的导函数y＝f'（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A．B．﹣C．D．﹣或11．（5分）函数f（x）＝（1﹣cos x）sin x在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）已知由不等式组，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M的坐标为（1，﹣2），若N∈Ω，O为坐标原点，则的最小值是（）A．﹣8B．﹣7C．﹣6D．﹣4二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．）13．（4分）若α为锐角，且sin（α﹣）＝，则sinα的值为．14．（4分）设等差数列{a n}前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣1，S m＝0，S m+1＝2，则m＝．15．（4分）点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，使Z＝y﹣2x的值取得最小的点为A（x0，y0），则（O为坐标原点）的取值范围是．16．（4分）给出下列命题（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；（2）m＝3是直线（m+3）x+my﹣2＝0与直线mx﹣6y+5＝0互相垂直的充要条件；（3）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为＝1.23x+0.08；（4）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）＝f（x），则f（2016）＝0．其中真命题的序号是．（把所有真命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知平面向量＝（cosφ，sinφ），＝（cos x，sin x），＝（sinφ，﹣cosφ），其中0＜φ＜π，且函数f（x）＝（•）cos x+（•）sin x的图象过点（，1）．（1）求φ的值；（2）将函数y＝f（x）图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在[0，]上的最大值和最小值．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+1＝2S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的各项均为正数，且b n是与的等比中项，求b n的前n 项和T n．19．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．20．（12分）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（Ⅰ）打满4局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ．21．（12分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）＝0，导函数f′（x）＝，g（x）＝f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．22．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k2的值．2014-2015学年四川省达州市大竹县文星中学高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M＝{﹣1}，N＝{1+cos，log0.2（|m|+1）}，若M⊆N，则集合N等于（）A．{2}B．{﹣2，2}C．{0}D．{﹣1，0}【解答】解：∵集合M＝{﹣1}，N＝{1+cos，log0.2（|m|+1）}，且M⊆N，∴﹣1∈N；∴选项D满足条件．故选：D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．命题“∀x≥0，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x0＜0，x02+x0﹣1≥0”C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题【解答】解：对于A：否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；对于B：否定是“∃x0≥0，x02+x0﹣1≥0”，故B错误；对于C：逆否命题为：若“sin x≠sin y，则x≠y”，是真命题，故C错误；A，B，C，都错误，故D正确，故选：D．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8＝6+a11，则S9的值等于（）A．54B．45C．36D．27【解答】解：∵2a8＝a11+6由等差数列的性质可得，2a8＝a11+a5＝a11+6从而可得，a5＝6由等差数列的前n项和可得，故选：A．4．（5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为C；若俯视图为D，则正视图中上图中间还有一条虚线，故该几何体的俯视图不可能是D故选：D．5．（5分）曲线+＝1与曲线+＝1（12＜k＜16）的（）A．长轴长与实轴长相等B．短轴长与虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【解答】解：曲线+＝1是焦点在x轴上的椭圆，半焦距＝2．曲线+＝1（12＜k＜16）表示焦点在x轴上的双曲线，半焦距c2＝＝2．∴两曲线的焦距相等．故选：C．6．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于1，＝AB×h＝h，由于S△ABP则三角形的高要h≥1，高即为P点到AB的距离要不小于1，同样，P点到AD的距离要不小于，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是2×＝，∴概率为＝．故选：A．7．（5分）运行如图的程序框图，则输出s的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：当n＝2时，满足进入循环的条件，执行循环体后，S＝，n＝4；当n＝4时，满足进入循环的条件，执行循环体后，S＝，n＝6；当n＝6时，满足进入循环的条件，执行循环体后，S＝，n＝8；当n＝8时，满足进入循环的条件，执行循环体后，S＝，n＝10；当n＝10时，不满足进入循环的条件，故输出的S值为，故选：B．8．（5分）如图，偶函数f（x）的图象形如字母M（图1），奇函数g（x）的图象形如字母N（图2），若方程f（g（x））＝0．g（f（x））＝0的实根个数分别为a，b，则a+b＝（）A．18B．21C．24D．27【解答】解：由图象知，f（x）＝0有3个根，0，±，g（x）＝0有3个根，0，±（假设与x轴交点横坐标为±），由f（g（x））＝0，得g（x）＝0或±，由图象可知g（x）所对每一个值都能有3个根，因而a＝9；由g（f（x））＝0，知f（x）＝0 或±，由图象可可以看出0时对应有3个根，而时有4个，而﹣时只有2个，加在一起也是9个，即b＝9，∴a+b＝9+9＝18，故选：A．9．（5分）△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]【解答】解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设＝+（0≤λ≤1）．∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，∴＝2×1×cos120°＝﹣1．∴•＝[+]•＝﹣+＝﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ＝﹣7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]．∴•的取值范围是[﹣5，2]．故选：D．10．（5分）下面四个图象中，有一个是函数f（x）＝x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R）的导函数y＝f'（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A．B．﹣C．D．﹣或【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）＝x2+2ax+（a2﹣1）＝（x+a）2﹣1，则f′（x）的图象开口向上，排除（2）（4），若是（1）则，对称轴关于y轴对称，则2a＝0，即a＝0，f（x）＝x3﹣x+1，∴f（﹣1）＝﹣+1+1＝，若对应的图象应为（3），则函数过原点，a2﹣1＝0，解得a＝1，或a＝﹣1且对称轴x＝﹣a＞0，即a＜0，∴a＝﹣1∴f（x）＝x3﹣x2+1，∴f（﹣1）＝﹣﹣1+1＝﹣，故选：D．11．（5分）函数f（x）＝（1﹣cos x）sin x在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：f（﹣x）＝（1﹣cos x）sin（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故可排除B，又因为当x∈（0，π）时，1﹣cos x＞0，sin x＞0，故f（x）＞0，可排除A，又f′（x）＝（1﹣cos x）′sin x+（1﹣cos x）（sin x）′＝sin2x+cos x﹣cos2x＝cos x﹣cos2x，故可得f′（0）＝0，可排除D，故选：C．12．（5分）已知由不等式组，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M的坐标为（1，﹣2），若N∈Ω，O为坐标原点，则的最小值是（）A．﹣8B．﹣7C．﹣6D．﹣4【解答】解：依题意画出不等式组所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线y＝kx+2恒过点B（0，2），且原点的坐标恒满足y﹣kx≤2，当k＝0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6＜7，由此可得k＜0．由可得，依题意应有，因此k＝﹣1（k＝3，舍去）．故有D（﹣1，3），设N（x，y），由，可化为，∵，∴当直线过点D时，截距最大，即z取得最小值﹣7．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．）13．（4分）若α为锐角，且sin（α﹣）＝，则sinα的值为．【解答】解：∵α为锐角，∴α﹣∈（，），又∵sin（α﹣）＝，∴cos（α﹣）＝＝，∴sinα＝sin[（α﹣）+]＝sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin＝＝故答案为：．14．（4分）设等差数列{a n}前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣1，S m＝0，S m+1＝2，则m＝3．【解答】解：解法一：∵等差数列{a n}前n项和为S n，满足S m﹣1＝﹣1，S m＝0，S m+1＝2，∴，解得m＝3．解法二：由等差数列的性质可得：为等差数列，∴2×＝+，解得m＝3．＝2，a m+1＝S m+1﹣S m＝3，解法三：a m＝S m﹣S m﹣1所以公差d＝a m+1﹣a m＝1，S m＝＝0，得a1＝﹣2，所以a m＝﹣2+（m﹣1）•1＝2，解得m＝5，故答案为3．15．（4分）点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，使Z＝y﹣2x的值取得最小的点为A（x0，y0），则（O为坐标原点）的取值范围是[0，6]．【解答】解：满足约束条件的平面区域Ω如下图所示：由图可知，当x＝，y＝1时，Z＝y﹣2x取得最小值1﹣2故＝（，1）设＝（x，y）则＝x+y，则当M与O重合时，取最小值0；当M点坐标为（，3）时，取最大值6故则（O为坐标原点）的取值范围是[0，6]故答案为：[0，6]16．（4分）给出下列命题（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；（2）m＝3是直线（m+3）x+my﹣2＝0与直线mx﹣6y+5＝0互相垂直的充要条件；（3）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为＝1.23x+0.08；（4）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）＝f（x），则f（2016）＝0．其中真命题的序号是（3）（4）．（把所有真命题的序号都填上）【解答】解：（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故（1）错误；（2）由m＝3，得两直线分别为6x+3y﹣2＝0和3x﹣6y+5＝0，两直线斜率互为负倒数，两直线垂直，由直线（m+3）x+my﹣2＝0与直线mx﹣6y+5＝0互相垂直，也可能m＝0，∴m ＝3是直线（m+3）x+my﹣2＝0与直线mx﹣6y+5＝0互相垂直的充分不必要条件，故（2）错误；（3）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，则回归直线方程为＝1.23x+a，代入样本点的中心（4，5），得a＝0.08，则回归直线方程为＝1.23x+0.08，故（3）正确；（4）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）＝f（x），则f（2016）＝f（504×4+0）＝f（0）＝0，故（4）正确．故答案为：（3）（4）．三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知平面向量＝（cosφ，sinφ），＝（cos x，sin x），＝（sinφ，﹣cosφ），其中0＜φ＜π，且函数f（x）＝（•）cos x+（•）sin x的图象过点（，1）．（1）求φ的值；（2）将函数y＝f（x）图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵…（1分）…（2分）∴f（x）＝（＝cos（φ﹣x）cos x+sin（φ﹣x）sin x＝cos（φ﹣x﹣x）＝cos（2x﹣φ），…（4分）即f（x）＝cos（2x﹣φ）∴f（﹣φ）＝1，而0＜φ＜π，∴φ＝．…（6分）（2）由（1）得，f（x）＝cos（2x﹣），于是g（x）＝cos（2（），即g（x）＝cos（x﹣）．…（9分）当x∈[0，]时，﹣，所以）≤1，…（11分）即当x＝0时，g（x）取得最小值，当x＝时，g（x）取得最大值1．…（12分）18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+1＝2S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的各项均为正数，且b n是与的等比中项，求b n的前n 项和T n．【解答】解：（1）由a n+1＝2S n+2，得a n＝2S n﹣1+2（n≥2），）＝2a n，两式作差得：a n+1﹣a n＝2（S n﹣S n﹣1即．又a2＝2S1+2＝2a1+2＝6，∴．∴数列{a n}是以2为首项，以3为公比的等比数列．则；（2）∵数列{b n}的各项均为正数，且b n是与的等比中项，∴，．∴．．作差得：＝＝．∴．19．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC＝BC＝AC＝4，BD＝a，体积V＝＝16，解得a＝2；（2）在RT△ABD中，，BD＝2，AD＝6，过B作AD的垂线BH，垂足为H，得，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为，所以圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，故该旋转体的表面积为．20．（12分）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（Ⅰ）打满4局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ．【解答】（本小题满分14分）解：令A k ，B k ，∁k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知， 打满4局比赛还未停止的概率为： P （A 1C 2B 3A 4）+P （B 1C 2A 3B 4）＝＝．…（6分） （各3分）（Ⅱ）由题设知ξ的所有可能值为2，3，4，5，6， 且P （ξ＝2）＝P （A 1A 2）+P （B 1B 2）＝＝，P （ξ＝3）＝P （A 1C 2C 3）+P （B 1C 2C 3）＝＝，P （ξ＝4）＝P （A 1C 2B 3B 4）+P （B 1C 2A 3A 4）＝＝，P （ξ＝5）＝P （A 1C 2B 3A 4A 5）+P （B 1C 2A 3B 4B 5）＝＝，P （ξ＝6）＝P （A 1C 2B 3A 4C 5）+P （B 1C 2A 3B 4C 5）＝＝，…（11分）故ξ的布列为∴E ξ＝＝．…（14分）21．（12分）设函数f （x ）定义在（0，+∞）上，f （1）＝0，导函数f ′（x ）＝，g （x ）＝f （x ）+f ′（x ）． （Ⅰ）求g （x ）的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论g （x ）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x 0＞0，使得|g （x ）﹣g （x 0）|＜对任意x ＞0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题设易知f （x ）＝lnx ，g （x ）＝lnx +， ∴g ′（x ）＝，令g ′（x ）＝0，得x ＝1，当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，故g （x ）的单调递减区间是（0，1），当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞），因此x＝1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，∴最小值为g（1）＝1；（Ⅱ）＝﹣lnx+x，设h（x）＝g（x）﹣＝2lnx﹣x+，则h′（x）＝，当x＝1时，h（1）＝0，即g（x）＝，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）＝0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）＝0，即g（x）＞，当x＞1，时，h（x）＜h（1）＝0，即g（x）＜，（Ⅲ）满足条件的x0 不存在．证明如下：证法一假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，有，（*）但对上述x0，取时，有lnx1＝g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜成立．由（Ⅰ）知，的最小值为g（1）＝1．又＞lnx，而x＞1 时，lnx的值域为（0，+∞），∴x≥1 时，g（x）的值域为[1，+∞），从而可取一个x1＞1，使g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）﹣g（x0）≥1，故|g（x1）﹣g（x0）|≥1＞，与假设矛盾．∴不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．22．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k2的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，．…（2分）解得，…（4分）所以b2＝a2﹣c2＝1，椭圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B点的直线为y＝kx+1，由得（4k2+1）x2+8kx＝0，…（6分）所以，所以，…（8分）依题意k≠0，．因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，所以|BE|2＝|BD||DE|，…（9分）所以b2＝（1﹣y D）|y D|，即（1﹣y D）|y D|＝1，…（10分）当y D＞0时，y D2﹣y D+1＝0，无解，…（11分）当y D＜0时，y D2﹣y D﹣1＝0，解得，…（12分）所以，解得，所以，当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时，．…（14分）。
四川省达州市大竹县文星中学高二数学5月月考试题
四川省大竹县文星中学2014-2015学年高二下期5月月考数学试题（时间：150分钟；满分：150分）第I 卷一、选择题（60分）1. 下列命题中不正确的个数是( ) ①终边不同的角的同名三角函数值不等； ②若sin α>0，则α是第一、二象限角；③若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y2.A ．0B ．1C ．2D ．32.下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 13π4<tan 13π5B ．sin π5>cos(－π7)C ．sin(π－1)<sin1°D ．cos 7π5<cos(－2π5)3. 已知|a |＝22，|b |＝3，a 、b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD →的长度为( )A ．152B ．152C ．7D ．84. 下列各式中值为22的是( ) A ．sin45°cos15°＋cos45°sin15° B ．sin45°cos15°－cos45°sin15° C ．cos75°cos30°＋sin75°sin30°D ．tan60°－tan30°1＋tan60°tan30° 5. 在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( ) A ．－12B ．32C ．12或32D ．126. 设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A ． 5B ．10C ．2 5D ．107. 在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝60°，△ABC 的面积为33，那么b 等于( )A ．2 2B ．2 3C ． 3D ． 29. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≤1y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n＝( )A ．5B ．6C ．7D ．810. 已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92B ．0C ．3D ．15211. 已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( )A ．1B ．12C ．34D ．5812.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C ．若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A ． 6 B ．2 C ． 3D ． 2 第II 卷二、填空题。
四川省达州市大竹县文星中学2014-2015学年高二数学下学期开学调研考试试题
四川省达州市大竹县文星中学2014-2015学年高二数学下学期开学调研考试试题考试时间：120分钟；满分150分第I卷（选择题）一、选择题：共12题每题5分共60分1．在中，A.B.或C.D.或【答案】D【解析】根据正弦定理可知，，结合已知条件,因为，故可知答案为D.2．若等比数列的前项和，则 =A.0B.-1C.1D.3【答案】B【解析】∵，，(n≥2，n∈N+)，∴，由通项得，公比为3，∴，又，∴r=-1.故选B3．下列函数中,最小值为 2 是A.y=,x∈R且x≠0B.y=lg x+,1<x<10C.y=3x + 3-x,x∈RD.y=sin x+,0<x<【答案】C【解析】选项A:y没有最小值;选项B:∵1<x<10,∴ 0<lg x<1.∴y≥2,当且仅当lg x=1,即x=10时,y min=2.此时不满足1<x<10;选项C:∵3x>0,∴y=3x+≥2,当且仅当x=0时,y min= 2;选项D:∵0<x<,∴sin x>0.∴y≥2,当且仅当sin x=,即sin x = 1,即x=时等号成立,但不满足 0<x<.4．设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1}.若A∪B=R,则a的取值范围为A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【答案】B【解析】当a≥1时,集合A={x|x≤1或x≥a}.因为A∪B=R,且集合B={x|x≥a-1},所以a-1≤1,解得a≤2,即1≤a≤2;当a<1时,集合A={x|x≤a或x≥1},且a-1≤a,从而A∪B=R恒成立.综上可得a≤2.5．椭圆的离心率为A.B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查椭圆的离心率的计算。
因为a2=16,b2=8,所以c2=a2-b2=16-8=8,离心率e==6．抛物线焦点坐标是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查抛物线的焦点坐标。
高二数学月考试题及答案-大竹县文星中学2014-2015学年高二下期3月月考
四川省大竹县文星中学2014-2015学年高二下学期3月月考数学试卷考试时间：120分钟；满分150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题：共12题每题5分共60分1．已知，若的必要条件是，则之间的关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查充分必要条件.等价于；因为的必要条件是，即的必要条件是，所以.选A.2．已知命题;命题.则下列判断正确的是A.p是假命题B.q是真命题C.是真命题D.是真命题【答案】C【解析】本题考查命题及其关系. 命题为真命题，；，可得，所以命题为假命题,；排除A、B; 所以是真命题，选C.3．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查函数与方程.因为有一个正根和一个负根，等价于=a<0，即；而的充分不必要条件是；所以有一个正根和一个负根的充分不必要条件是.选C.4．若集合,则“”是“”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题考查集合的基本运算，充分必要条件. “”等价于，即；而“”是“”的必要不充分条件，所以“”是“”的必要非充分条件.选B.5．已知动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值.则动点P的轨迹方程CA. B. C. D.【答案】B【解析】设动点P的坐标是(x,y),由题意得,k PA·k PB=.∴,化简整理得+y2=1.故P点的轨迹方程C是+y2=1(x≠±).6．“”是“直线与直线垂直”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件，直线垂直. “直线与直线垂直”等价于“”；而“”是“”的充分而不必要条件.所以“”是“直线与直线垂直”的充分而不必要条件.选A.7．“直线l的方程x-y-5=0”是“直线l平分圆(x-2)2+(y+3)2=1的周长”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】圆(x-2)2+(y+3)2=1的圆心坐标为(2,-3),直线l经过圆(x-2)2+(y+3)2=1的圆心,所以直线l平分圆(x-2)2+(y+3)2=1的周长.因为过圆心的直线都平分圆的周长,所以这样的直线有无数多条.由此可知“直线l的方程x-y-5=0”是“直线l平分圆(x-2)2+(y+3)2=1的周长”的充分而不必要条件.8．已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上,长轴长为6,离心率为.则椭圆方程A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得,a=3,e=,∴c=2,b=,∴所求椭圆方程为9．已知点A,B分别是椭圆长轴的左、右顶点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,椭圆上的点到点M的距离d的最小值A. B. C.-1 D.1【答案】B【解析】直线AP 的方程是x-y+6=0.设点M 的坐标是(m,0), 则M 到直线AP 的距离是,又B(6,0),于是=|m-6|,又-6≤m ≤6,解得m=2,椭圆上的点(x,y)到点M 的距离为d,有d 2=(x-2)2+y 2=x 2-4x+4+20-x 2= (x-)2+15,由于-6≤x ≤6,∴当x=时,d 取最小值.本题考查椭圆与向量、椭圆与直线以及求最值等有关问题,综合性较强.解决此类问题的突破口是利用方程的思想、函数的思想等进行综合考量.有关方程的解的问题,函数的图象、性质、最值问题,在此类题目中进行交汇对接,在难度和技巧上都有较高要求.10．已知椭圆的左、 右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且倾斜角为45°的直线l 与椭圆相交于A,B 两点.则AB 的中点坐标 A. (-53,52). B.(1,-1) C.(-1,52) D.(-1,1)【答案】A 【解析】由,知a=,b=,c=1.∴F 1(-1,0),F 2(1,0),∴l 的方程为y=x+1, 联立消去y 得5x 2+6x-3=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点M(x 0,y 0),则 x 1+x 2=,x 1x 2=,x 0=,y 0=(或y 0=x 0+1=-+1=),∴中点坐标为M(-53,52).11．设F 1,F 2分别为椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,直线l 的倾斜角为60°,F 1到直线l 的距离为2.则椭圆C 的焦距A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】设焦距为2c,由已知可得,F 1到直线l 的距离为c=2,故c=2.所以椭圆C 的焦距为4.12．如图,已知椭圆(a>b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C,D 两点.存在k 的值,使以CD 为直径的圆过E 点,则k=A.67B.-67 C.3 D.6【答案】A【解析】假设存在这样的k 值,由,得(1+3k 2)x 2+12kx+9=0.∴Δ=(12k)2-36(1+3k 2)>0. ①设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则 ②而y 1·y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4.要使以CD 为直径的圆过点E(-1,0),当且仅当CE ⊥DE,则=-1,即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0,∴(k 2+1)x 1x 2+(2k+1)(x 1+x 2)+5=0. ③将②代入③,解得k=67.经验证,k=67使①成立. 综上可知,存在k=67,使得以CD 为直径的圆过点E. 本题考查椭圆的轨迹方程及直线与椭圆的位置关系.当直线与椭圆相交时,其解题的一般步骤是:(1)联立直线和椭圆的方程;(2)化为一元二次方程;(3)判别式大于零;(4)根与系数的关系;(5)将根与系数的关系应用于题设条件,建立方程或不等式,解决相关问题.第II卷（非选择题）二、填空题：共4题每题4分共16分13．设p:≤x≤1,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p是¬q的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是.【答案】【解析】由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得(x-a)(x-a-1)≤0,则a≤x≤a+1,若¬p是¬q的必要而不充分条件,则q是p的必要而不充分条件,有,得0≤14．命题“存在，使”的否定是【答案】对任意，使【解析】本题考查全称命题与特称命题.全称命题的否定是特称命题，所以命题“存在，使”的否定是对任意，使.15．在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＋＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________.【答案】2－5【解析】直线A 1B2的方程为＋＝1，直线B1F的方程为＋＝1，二者联立，得T，则M ()在椭圆＋＝1(a>b>0)上，∴＋＝1，c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝2－5.16．给出以下四个命题:①命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∃x0∈R,+x0+1≤0”;②“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真;③设{a n}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件;④若命题p:向量a=(1,-2)与向量b=(1,m)的夹角为锐角为真命题,则实数m的取值范围是(-∞,). 其中正确命题的序号是(写出所有满足题意的序号).【答案】①③【解析】①命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∃x 0∈R,+x0+1≤0”,所以①正确.②若“am2<bm2,则a<b”的逆命题为“若a<b,则am2<bm2”,当m=0时,am2=bm2,所以②错误.③设数列{a n}的公比为q,因为a1<a2,且a1>0,所以有a1<a1q,解得q>1,所以数列{a n}是递增数列;反之,若数列{a n}是递增数列,则公比q>1且a1>0,所以a1<a1q,即a1<a2,所以“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件,所以③正确.④若a∥b,即-2-m=0,所以m=-2,此时有a=b,向量夹角为0.要使a,b的夹角为锐角,则有a·b>0且m≠-2,即1-2m>0,得m<,所以m<且m≠-2,所以④错误.故正确的命题的序号为①③.三、解答题：共6题, 17～21每题12分,22题14分，共74分17．已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解.若p∧q是假命题，￢p也是假命题.求实数a的取值范围.【答案】解：∵p∧q是假命题，￢p是假命题，∴命题p是真命题，命题q是假命题.∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，∴∴|x 1－x2|＝＝，∴当m∈时，|x1－x2|max＝3.由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈恒成立，可得a2－5a－3≥3.∴a≥6或a≤－1，∴当命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，①当a>0时，显然有解；②当a＝0时，2x－1>0有解；③当a<0时，∵ax2＋2x－1>0，∴Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0.从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时，a>－1.又命题q是假命题，∴a≤－1.综上所述：⇒a≤－1.所以所求a的取值范围为(－∞，－1].【解析】本题主要考查不等式恒成立问题，逻辑联结词和韦达定理。
达州市大竹县文星中学2014-2015学年高一5月月考数学试题
)
12. 若直线 ax＋by－3＝0 和圆 x2＋y2＋4x－1＝0 切于点 P(－1,2)，则 ab 的为( A．－3 C．2 B．－2 D．3
第 II 卷（非选择题，90 分） 二、填空题 x y 13. 已知 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)| ＋ ＝1}，若 A∩B 是单元素集，则 a，b 满足的关系式 a b 为________． 14.两圆相交于点 A(1,3)、B(m，－1)，两圆的圆心均在直线 x－y＋c＝0 上，则 m＋c 的值为________． 15. 设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m )．
)
3.对于不重合的两直线 m、n 和平面 α，下列说法中正确的是( A．如果 mα，n α，m，n 是异面直线，那么 n∥α
B．如果 mα，n∥α，m，n 共面，那么 m∥n C．如果 mα，n α，m，n 是异面直线，那么 n 与 α 相交 D．如果 m∥α，n∥α，m，n 共面，那么 m∥n 4. 设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( A．若 α⊥β，mα，nβ，则 m⊥ n B．若 α∥β，mα，nβ，则 m∥n C．若 m⊥ n，mα，nβ，则 α⊥β D．若 m⊥α，m∥n，n∥β，则 α⊥β 5. 圆 C1：x2＋ y2＋4x－4y＋7＝0 和圆 C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0 的公切线有( A．2 条 C．4 条
则该几何体的体积为________m3. 16. 下列关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中真命题的序号是________． 三、解答题 17. ．如图是某几何体的三视图，(1)你能想象出它的几何结构并画出它的直观图吗？(2)根据三视图的 有关数据(单位：mm)，计算这个几何体的表面积．
2015达州市2015年高中阶段教育学校招生统一考试数学参考答案
一、选择题(本题10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)二、填空题(本题6个小题，每小题3分，共18分.把最后答案直接填在题中的横线上)11.－2 12.2 13.(40－x)(20＋2x)＝120014.94 15.4≤a ＜5 16.22n －3三、解答题(72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(一)(本题2个小题，共13分)17.(6分)解：原式＝－1＋1＋12－(3－12)(3分)＝12－3＋12(5分)＝1－3(6分)18.(7分)解：原式＝a(a ＋2)(a －2)·a ＋2a(a －3)＋1a －2(1分)＝1(a －2)(a －3)＋a －3(a －2)(a －3)(2分)＝1＋a －3(a －2)(a －3)＝1a －3(3分)∵a,2,3是△ABC 的三边∴1 a 5且a 为整数(4分)∴a ＝2,3,4(5分)∵a 取2或3时，原分式无意义，所以a 只能取4(6分)当a ＝4时，原式＝14－3＝1(7分)(二)(本题2个小题，共15分)19.(7分)解：(1)40,20,30，(一空1分)(4分)(2)树状图(6分)所有可能：(A 1，A 2)(A 1，B 1)(A 1，B 2)(A 2，A 1)(A 2，B 1)(A 2，B 2)(B 1，A 1)(B 1，A 2)(B 1，B 2)(B 2，A 1)(B 2，A 2)(B 2，B 1)共12种，每种可能机会均等.P(一男一女参加比赛)＝812＝23(7分) 另解： 列表法：共12种可能，每种可能机会均等.P(一男一女参加比赛)＝812＝23(7分) 20.(8分)(1)解：设购买1台平板电脑x 元，购买1台学习机y 元.根据题意，得错误!(2分)解得错误!答：购买1台平板电脑3000元，购买1台学习机800元.(4分)(2)设购买平板电脑m 台，则学习机(100－m)台.根据题意，得错误!(5分)解得37127≤m ≤40 ∵m 取整数，∴一共有3种方案.(6分)方案一：平板电脑38台，学习机62台；方案二：平板电脑39台，学习机61台；方案三：平板电脑40台，学习机60台；(7分)方案一费用163600元，方案二费用165800元，方案三费用168000元，∵163600＜165800＜168000 另解：总费用y ＝3000m ＋800(100－m)y ＝2200m ＋80000∵2200＞0，y 随m 的增大而增大∴当m 取38时，y 的值最小，y 的最小值为163600元∴方案一平板电脑38台，学习机62台最省钱(8分)(三)(本题2个小题，共15分)21.(7分)解：设AH 为x 米，则EH ＝(x ＋12)米在Rt △EHG 中，∵∠EGH ＝45°∴EH ＝HG ＝(x ＋12)米(2分)∵GF ＝DC ＝288米∴HF ＝x ＋12＋288＝(x ＋300)米(3分)在Rt △AHF 中，∵∠AFH ＝30°∴tan ∠AFH ＝AH HF 即x x ＋300＝33(4分) 解得x ＝1503＋150(6分)∵CF ＝HB ＝1.5米∴AB ＝HB ＋AH ＝1503＋151.5≈411米∴凤凰山与中心广场的相对高度AB 为411米(7分)22.(8分)解：(1)连接AC 交BO 于点E ，过D 作DF ⊥OB 于点F.∵四边形ABCO 是菱形∴AE ⊥BO ，且BO ＝2EO∵tan ∠AOB ＝12∴AE EO ＝12设AE ＝x ，则EO ＝2x ，∵AE 2＋EO 2＝AO 2，AO ＝ 5∴x 2＋(2x)2＝(5)2解得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)∴AE ＝1，EO ＝2∴A(－2,1)，B(－4,0)(1分)将A(－2,1)，B(－4,0)代入y ＝k 1x ＋b得错误!解得错误!∴一次函数的关系式：y ＝12x ＋2(3分) ∵DF ⊥BO ，AE ⊥BO∴DF ∥AE∴△DFO ∽△AEO∵D 为AO 的中点 ∴DF AE ＝FO EO ＝12∴D(－1，12)(4分) 将D(－1，12)代入y ＝k 2x ，得k 2＝－12∴反比例函数的表达式：y ＝－12x(5分) (2)由题意得错误!∴12x ＋b ＝－12x即x 2＋2bx ＋1＝0(6分) 当(2b)2－4×1×1＝0时只有一个交点此时b ＝±1(7分)∴当－1＜b ＜1时，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k 2x的图象无交点(8分) (四)(本题2个小题，共17分)23.(8分)问题1：2,8(一空1分)(2分)问题2：2,6(一空1分)(4分)问题3：解：设学校每天的支出总费用为y 元则y ＝4900＋10x ＋0.01x 2(5分)每天的生均投入为y x ＝4900x＋10＋0.01x(6分) 4900x ＝0.01x 时，y x的值最小 即x ＝700时，每天生均投入费用最低，最低费用24元.(8分)24.(9分)解：(1)DB ＝DA ，理由如下：∵CD 平分∠MCA∴∠MCD ＝∠DCA∵∠MCD ＋∠BCD ＝180°而∠BCD ＋∠BAD ＝180°∴∠MCD ＝∠BAD∵∠DCA ＝∠DBA∴∠DAB ＝∠DBA∴DB ＝DA(2分)(2)∵BC ＝AF∴BC ＝AF又∵∠DAB ＝∠DBA∴BCD ＝DFA∴CD ＝DF∴CD ＝DF又∵DB ＝DA∴△BCD ≌△AFD(5分)(3)过D 、O 作⊙O 的直径DN ，连接AN∵∠DCA ＝12∠MCA ＝60° ∴∠DNA ＝∠DCA ＝60°又∵DN 为⊙O 的直径∴∠DAN ＝90°∴DA ＝DN·sin ∠DNA＝2×5×sin 60°＝5 3在四边形ABDF 中，∠ABD ＋∠AFD ＝180°又∵∠DAB ＋∠DAE ＝180°，且∠DBA ＝∠DAB∴∠AFD ＝∠DAE又∵∠FDA ＝∠EDA∴△DAF ∽△DEA(7分)∴DA DE ＝DF DA即DA 2＝DE·DF由(2)知：DF ＝DC ＝6∴DE ＝DA 2DF＝(53)26＝252(9分) (五)(本题12分)25.解：(1)将A(0,4)，C(5,0)代入y ＝45x 2＋bx ＋c 中 得：错误!(1分)解得b ＝－245，c ＝4 ∴该二次函数的表达式为：y ＝45x 2－245x ＋4(3分)(2)∵四边形OABC 是矩形∴DA ⊥y 轴又∵OD 平分∠AOC∴∠AOD ＝45°∴AO ＝DA ＝4∴D(4,4)又∵E 为BC 的中点BC ＝AO ＝4∴E(5,2)作D 点关于y 轴的对称点D′E 点关于x 轴的对称点E′(4分)连接D′E′分别交x 轴，y 轴于F 、G∵BD′＝AD′＋AB ＝AD ＋AB ＝9BE′＝BC ＋CE′＝BC ＋CE ＝4＋2＝6在Rt △BD′E′中，D′E′＝BD′2＋BE′2＝92＋62＝313(6分)根据轴对称性得DG ＝D′G ，EF ＝E′F∴DG ＋GF ＋EF ＝D′E′＝313又∵DE ＝BD 2＋BE 2＝12＋22＝ 5∴四边形DEFG 周长的最小值为313＋5(7分)(3)解：①过O 点作直线OF ⊥OD 与抛物线的对称轴交于点F ，再过点F 作直线MN ∥OD 交抛物线于P 1，P 2，交x 轴于点N ，交y 轴于点M ，在Rt △AOD 中OD ＝AD 2＋AO 2＝42＋42＝4 2∵抛物线的表达式为y ＝45x 2－245x ＋4 ＝45(x －3)2－165∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，∴G(3,0)，OG ＝3∵∠DOC ＝45°，∠DOF ＝90°∴∠COF ＝45°∴OG ＝GF∴OF ＝OG 2＋GF 2＝32＋32＝32(8分)∴S △P 1OD ＝S △P 2OD ＝12OD·OF ＝12×42×32＝12 又∵MN ∥OD∴∠OMN ＝∠AOD ＝45° ∴OM ＝ON又∵OF ⊥MN在Rt △OMF 中OM ＝2·OF ＝2×32＝6∴M(－6,0)∴直线MN 的表达式为：y ＝x －6由题意得方程组错误!解得：错误! 错误!∴P 1(29＋418，－19＋418)，P 2(29－418，－19－418)(10分) ②在OF 的反向延长线上截取OF′＝OF ，过F′作直线M′N′∥OD 分别与x 轴交于N′，与y 轴交于M′，与抛物线分别交于P 3、P 4，则S △P 3OD ＝S △P 4OD ＝12同理，直线M′N′的表达式为：y ＝x ＋6，由题意得方程组错误!解得：错误! 错误!∴P 3(29＋10018，77＋10018)，P 4(29－10018，77－10018)(12分) 综上所述：抛物线上存在点P ，使△ODP 的面积为12.点P 的坐标分别为(29＋418，－19＋418) (29－418，－19－418) (29＋10018，77＋10018) (29－10018，77－10018)。
四川省达州市大竹县文星中学高三数学下学期期初试卷 理(含解析)
2014-2015学年四川省达州市大竹县文星中学高三（下）期初数学试卷（理科）一、选择题：共12题每题5分共60分1．设全集U={1，3，5，7}，M={1，|a﹣5|}，M⊆U，∁U M={5，7}，则a的值为（）A． 2或﹣8 B．﹣8或﹣2 C．﹣2或8 D． 2或82．已知i是虚数单位，则=（）A．﹣i B．+i C．+i D．﹣i3．命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（）A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1C．存在x0∈R，使得x02≥1D．存在x0∈R，使得x02＜14．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．5．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），则f（x）在区间（1，）内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜06．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣17．已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值等于（）A． 9 B． 12 C． 27 D． 368．已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0，m≠），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A、B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C、D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）A． 16 B． 8 C． 4 D． 29．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．B．C．D．10．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（）A． 39 B． 21 C． 81 D． 10211．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A． b＜a＜c B． c＜a＜b C． c＜b＜a D． a＜c＜b 12．下列说法正确的是（）A．若a＞b，则＜B．函数f（x）=e x﹣2的零点落在区间（0，1）内C．函数f（x）=x+的最小值为2D．若m=4，则直线2x+my+1=0与直线mx+8y+2=0互相平行二、填空题：共4题每题4分共16分13．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x﹣1＜0}，则A∩B=．14．已知函数f（x）=asin2x+cos（2x+）的最大值为1，则a= ．15．已知与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣2）且||=2，则在上的投影为．16．如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合（点M从点A按逆时针方向运动至点B），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．下列说法中正确命题的序号是．（填出所有正确命题的序号）①f（）=1；②f（x）在定义域上单调递增；③方程f（x）=0的解是x=；④f（x）是奇函数；⑤f（x）的图象关于点（，0）对称．三、解答题：共6题每题12分共74分17．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，试判断△ABC的形状，并说明理由；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．18．己知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（n∈N*），（Ⅰ）证明数列{ }是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n）的通项公式；（Ⅲ）设b n=n（n+1）a n求数列{b n}的前n项和S n．19．如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求证：FG∥平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小．20．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．21．已知抛物线C：y=mx2（m＞0），焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A、B两点，P 是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，（1）若抛物线C上有一点R（x R，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值；（2）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）．（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）•f（2x﹣x2）＞1，求x的取值范围．2014-2015学年四川省达州市大竹县文星中学高三（下）期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12题每题5分共60分1．设全集U={1，3，5，7}，M={1，|a ﹣5|}，M ⊆U ，∁U M={5，7}，则a 的值为（ ） A ． 2或﹣8 B ． ﹣8或﹣2 C ． ﹣2或8 D ． 2或8考点： 补集及其运算；集合的确定性、互异性、无序性． 分析： 由C U M={5，7}，得5∉M ，7∉M ，由M ⊆U ，可得|a ﹣5|=3，解出a 即可． 解答： 解：由题意|a ﹣5|=3，a=2或8 故选D 点评： 本题考查集合的基本运算，属基本题．2．已知i 是虚数单位，则=（ ）A ．﹣iB ．+iC ．+iD ．﹣i考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 直接利用复数代数形式的除法运算化简求值． 解答： 解：=．故选：B ． 点评： 本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3．命题“对任意x ∈R 都有x 2≥1”的否定是（ ）A ． 对任意x ∈R ，都有x 2＜1B ． 不存在x ∈R ，使得x 2＜1C ． 存在x 0∈R ，使得x 02≥1D ． 存在x 0∈R ，使得x 02＜1考点： 全称命题；命题的否定． 专题： 规律型． 分析： 利用汽车媒体的否定是特称命题写出结果判断即可． 解答： 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R 都有x 2≥1”的否定是：存在x 0∈R ，使得．故选：D ． 点评： 本题考查全称命题的否定，注意量词以及形式的改变，基本知识的考查．4．函数f （x ）=的图象大致为（ ）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．解答：解：此函数是一个奇函数，故可排除B，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．点评：本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．5．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），则f（x）在区间（1，）内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论．解答：解；因为定义在R上的奇函数满足f（x+1）=f（﹣x），所以f（x+1）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以函数的周期是2，则f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同，设x∈（﹣1，﹣），则x+1∈（0，），又当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），所以f（x+1）=（﹣x），由f（x+1）=f（﹣x）得，f（﹣x）=（﹣x），所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x），由x∈（﹣1，﹣）得，f（x）=﹣（﹣x）在（﹣1，﹣）上是减函数，且f（x）＜f（﹣1）=0，所以则f（x）在区间（1，）内是减函数且f（x）＜0，故选：B．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想．6．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选B．点评：熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．7．已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值等于（）A． 9 B． 12 C． 27 D． 36考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（3，3），化目标函数z=x+3y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z=3+3×3=12．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0，m≠），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A、B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C、D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）A． 16 B． 8 C． 4 D． 2考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，依题意可求得为x A，x B，x C，x D的值，a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，下面利用基本不等式可求最小值解答：解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，则﹣log2x A=m，log2x B=m；﹣log2x C=，log2x D=；∴x A=2﹣m，x B=2m，x C=，x D=．∴a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，∴==又m＞0，∴m+=m+1+﹣1≥2﹣1=4﹣1=3，当且仅当m=1时取“=”号，∴≥23=8，故选：B．点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解投影的概念并能把问题转化为基本不等式求最值是解决问题的关键，属中档题．9．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图我们要以判断出几何体为一个四棱锥，且由图中标识的数据，可以判断出几何体的棱长，高等几何量值，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底的四棱锥底面面积S=4×（1+1）=8高h=故该四棱锥的体积V=Sh=故选C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知条件判断出几何体的几何形状及棱长，高等几何量值，是解答的关键．10．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（）A． 39 B． 21 C． 81 D． 102考点：循环结构．专题：图表型．分析：用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=4时退出循环，即可．解答：解：第一次循环，S=3，n=2；第二次循环，S=3+2×32=21，n=3；第三次循环，S=21+3×33=102，n=4；第四次循环，不满足条件，输出S=21+3×33=102，故选D．点评：本题考查循环结构，判断框中n=4退出循环是解题的关键，考查计算能力．11．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A． b＜a＜c B． c＜a＜b C． c＜b＜a D． a＜c＜b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．解答：解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．12．下列说法正确的是（）A．若a＞b，则＜B．函数f（x）=e x﹣2的零点落在区间（0，1）内C．函数f（x）=x+的最小值为2D．若m=4，则直线2x+my+1=0与直线mx+8y+2=0互相平行考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：A中取特值，a正b负即可判断；B中由根的存在性定理只需判断f（0）f（1）的符号；C中注意检验基本不等式求最值时等号成立的条件；D中可先求出“直线2x+my+1=0与直线mx+8y+2=0互相平行”的充要条件．解答：解：若a=1，b=﹣1，不等式不成立，排除A；f（0）•f（1）=﹣2（e﹣2）＜0，而且函数f（x）在区间（0，1）内单增，所以f（x）在区间（0，1）内存在唯一零点，B正确；令x=﹣1，则f（x）=﹣2，不满足题意，C错；若m=4，则直线重合，D错；故选：B．点评：本题考查不等式性质、基本不等式求最值、函数的零点问题、充要条件的判断等知识，考查知识点较多，属于中档题．二、填空题：共4题每题4分共16分13．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x﹣1＜0}，则A∩B={x|0＜x＜1} ．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据题意和交集的运算求出A∩B．解答：解：因为集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x﹣1＜0}={x|x＜1}，所以A∩B={x|0＜x＜1}，故答案为：{x|0＜x＜1}．点评：本题考查交集及其运算，属于基础题．14．已知函数f（x）=asin2x+cos（2x+）的最大值为1，则a= 0或．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先，借助于两角和的余弦公式，展开cos（2x+），然后，利用辅助角公式，得到f（x）=sin（2x+θ），再利用最值关系式，求解a的取值．解答：解：∵函数f（x）=asin2x+cos（2x+）=asin2x+cos2xcos﹣sin2xsin=asin2x+cos2x﹣sin2x=（a﹣）sin2x+cos2x=sin（2x+θ），∴f（x）max═∴=1，两边平方，得（a﹣）2+=1，∴|a﹣|=，∴a=0或．故答案为：0或．点评：本题综合考查了两角和与差的三角公式及其灵活运用，辅助角公式，三角函数的最值等知识，考查比较综合，属于中档题．15．已知与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣2）且||=2，则在上的投影为﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：因为向量与的夹角为120°，所以在上的投影为cos120°=﹣，问题转化为求．解答：解：∵与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣2）且||=2，∴（+）•（﹣2）=0，即﹣﹣22=0，∴4+﹣22=0，解得=，∴在上的投影为cos120°=﹣=﹣×=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查在上的投影的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．16．如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合（点M从点A按逆时针方向运动至点B），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．下列说法中正确命题的序号是②③⑤．（填出所有正确命题的序号）①f（）=1；②f（x）在定义域上单调递增；③方程f（x）=0的解是x=；④f（x）是奇函数；⑤f（x）的图象关于点（，0）对称．考点：进行简单的合情推理．专题：阅读型；函数的性质及应用；推理和证明．分析：由题中对映射运算描述，对五个命题逐一判断其真伪，①m=此时M恰好处在左半圆弧的中点上，求出直线AM的方程后易得N的横坐标，即可判断；②可由图3，由M的运动规律观察出函数值的变化，得出单调性，即可判断；③可由②的单调性，结合图3即可判断；④可由奇偶函数的定义域关于原点对称来确定正误；④可由图3中圆关于y轴的对称判断出正误．解答：解：对于①，因为当m=，此时M恰好处在左半圆弧的中点上，此时直线AM的方程为y=x+1，即f（）=﹣1，故①错；对于②，当x从0→1变化时，点N从左边向右边移动，其对应的坐标值渐渐增大，故f（x）在定义域上单调递增，故②正确．对于③，由②f（x）在定义域上单调递增，则M运动到AB的中点，即有直线AM为x=0，即有f（）=0，故③正确；对于④，由于函数f（x）的定义域为（0，1），不关于原点对称，则函数f（x）是非奇非偶函数，故④错．对于⑤，由图3可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于y轴对称，即此时函数值互为相反数，故可知f（x）的图象关于点（，0）对称，故⑤正确．故答案为：②③⑤．点评：本题考查映射的概念，解答本题关键是理解题设中所给的对应关系，正确认识三个图象的意义，由此对五个命题的正误作出判断，本题题型新颖，寓数于形，是一个考查理解能力的题，对题设中所给的关系进行探究，方可得出正确答案，本题易因为理解不了题意而导致无法下手，题目较抽象．三、解答题：共6题每题12分共74分17．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，试判断△ABC的形状，并说明理由；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）△ABC为等边三角形，理由为：利用余弦定理列出关系式，把c，cosC的值代入得到关系式，再由△ABC的面积等于，利用三角形面积公式列出关系式，两式联立求出a与b的值，即可对于△ABC的形状做出判断；（Ⅱ）已知等式利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简，再利用和差化积公式变形，由cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可．解答：解：（Ⅰ）△ABC为等边三角形，理由为：∵c=2，C=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4①，∵△ABC的面积等于②，∴absinC=，即ab=4，联立①②解得：a=b=2，则△ABC为等边三角形；（Ⅱ）由sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，变形得：sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，若cosA=0，即A=，由c=2，C=，得b=，此时△ABC面积S=bc=；若cosA≠0，可得sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a③，联立①③得：a=，b=，此时△ABC面积为S=absinC=．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．己知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（n∈N*），（Ⅰ）证明数列{ }是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n）的通项公式；（Ⅲ）设b n=n（n+1）a n求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由a n+1=（n∈N*）变形两边取倒数即可得出；（Ⅱ）由（I）利用等差数列的通项公式即可得出；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b n=n（n+1）a n=n•2n，利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=（n∈N*），∴，即，∴数列是公差为1的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得=n+1，∴．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b n=n（n+1）a n=n•2n，∴S n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，2S n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减得：﹣S n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴S n=（n﹣1）•2n+1+2．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求证：FG∥平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）利用三角形的中位线的性质证明FG∥PE，再根据直线和平面平行的判定定理证得结论；（2）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小解答：（1）证明：∵F，G分别为PB，BE的中点，∴FG∥PE，∵FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，∴FG∥平面PED；（2）解：∵EA⊥平面ABCD，EA∥PD，∴PD⊥平面ABCD，∵AD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD．以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设EA=1∵AD=PD=2EA，∴D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1），∴=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣2）．∵F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，∴F（1，1，1），G（2，1，0.5），H（0，1，1），∴=（﹣1，0，0.5），=（﹣2，0，0.5）设=（x，y，z）为平面FGH的一个法向量，则，得=（0，1，0）同理可得平面PBC的一个法向量为=（0，1，1），∴cos＜，＞=||=，∴平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为45°．点评：本题考查了线面平行的判定，考查了面面角，训练了利用平面法向量求解二面角的大小，解答此类问题的关键是正确建系，准确求用到的点的坐标，此题是中档题．20．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）设甲乙两人考试合格分别为事件A、B；根据题意，由排列、组合公式，易得答案，（Ⅱ）因为事件A、B相互独立，先计算“甲、乙两人考试均不合格的概率”，由“甲、乙两人考试均不合格”与“甲、乙两人至少有一人考试合格”为对立事件，根据独立事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：（Ⅰ）设甲乙两人考试合格分别为事件A、B，则P（A）===，P（B）===；答：甲乙两人考试合格的概率分别为和；（Ⅱ）因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P（•）=P（）•P（）=（1﹣）（1﹣）=，甲乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1﹣P（•）=1﹣=；答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．点评：本题考查对立事件、相互独立事件的概率计算，为了简化计算，一般把“至少”、“最多”一类的问题转化为对立事件，由其公式，计算可得答案．21．已知抛物线C：y=mx2（m＞0），焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A、B两点，P 是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，（1）若抛物线C上有一点R（x R，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值；（2）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）先求出焦点坐标，再利用抛物线的定义把焦点F的距离为3转化为到准线的距离为3即可求m的值；（也可以直接利用两点间的距离公式求解．）（2）△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形即是，把直线方程和抛物线方程联立，可以得到A，B两点的坐标进而求得P以及Q的坐标，代入，即可求出m的值．解答：解：（1）∵抛物线C的焦点，∴，得．（2）联立方程，消去y得mx2﹣2x﹣2=0，设A（x1，mx12），B（x2，mx22），则（*），∵P是线段AB的中点，∴，即，∴，得，若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则，即，结合（*）化简得，即2m2﹣3m﹣2=0，∴m=2或（舍去），∴存在实数m=2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．点评：本题考查抛物线的应用以及直线与抛物线的综合问题．解决本题的关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解．22．定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）．（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）•f（2x﹣x2）＞1，求x的取值范围．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；证明题．分析：（1）利用赋值法解决，令x=y=0即得；（2）利用条件：“当x＞0时，f（x）＞1”，只须证明当x≤0时，f（x）＞0即可；（3）利用单调函数的定义证明，设x1＜x2，将f（x2）写成f[（x2﹣x1）+x1]的形式后展开，结合（2）的结论即可证得；（4）由f（x）•f（2x﹣x2）＞f（0）得f（3x﹣x2）＞f（0）．结合f（x）的单调性去掉符号“f”后，转化成一元二次不等式解决即可．解答：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f2（0）．又f（0）≠0，∴f（0）=1．（2）证明：当x≤0时，﹣x＞0，∴f（0）=f（x）•f（﹣x）=1．∴f（﹣x）=＞0．又x＞0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0．（3）证明：设x1＜x2，则x2﹣x1＞0．∴f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）•f（x1）．∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1．又f（x1）＞0，∴f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1）．∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）是R上的增函数．（4）解：由f（x）•f（2x﹣x2）＞1，f（0）=1得f（3x﹣x2）＞f（0）．又f（x）是R上的增函数，∴3x﹣x2＞0，∴0＜x＜3．点评：本题主要考查抽象函数及其应用、函数单调性的判断与证明．解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略．。
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四川省大竹县文星中学2014-2015学年高二下期5月月考
数学试题
（时间：150分钟；满分：150分）
第I 卷
一、选择题（60分）
1. 下列命题中不正确的个数是( ) ①终边不同的角的同名三角函数值不等； ②若sin α>0，则α是第一、二象限角；
③若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2
.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2.下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 13π4<tan 13π5
B ．sin π5>cos(－π
7)
C ．sin(π－1)<sin1°
D ．cos 7π5<cos(－2π5)
3. 已知|a |＝22，|b |＝3，a 、b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →
＝a －3b ，
且D 为BC 中点，则AD →
的长度为( )
A ．152
B ．
15
2
C ．7
D ．8
4. 下列各式中值为
2
2
的是( ) A ．sin45°cos15°＋cos45°sin15° B ．sin45°cos15°－cos45°sin15° C ．cos75°cos30°＋sin75°sin30°
D ．tan60°－tan30°1＋tan60°tan30°
5. 在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( ) A ．－12
B ．
32
C ．12或32
D ．12
6. 设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )
A ． 5
B ．10
C ．2 5
D ．10
7. 在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
8. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝60°，△ABC 的面积为33，那么b 等于( )
A ．22
B ．2 3
C ．3
D ． 2
9. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x x ＋y ≤1
y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和
n ，则m －n ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 10. 已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－9
2
B ．0
C ．3
D ．152
11. 已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋1
2n ，则此数列的第三项是( )
A ．1
B ．12
C ．3
4
D ．58
12.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C ．若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )
A ．6
B ．2
C ．3
D ． 2
第II 卷
二、填空题。
13. 在△ABC 中，已知AB →·AC →
＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________.
14. 函数y ＝cos x 的单调递减区间是________．
15. 若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则AM →·MB →
＝
________.
16. 关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2；
②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫
π24，13π24上单调递减；
④将函数y ＝2cos2x 的图像向左平移π
24个单位后，与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上) 三、解答题。
17. 函数f (x )＝A sin(ωx －π
6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间
的距离为π
2
.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)设α∈(0，π2)，f (α
2
)＝2，求α的值．
18.已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为2π
3，求：
(1)a 在b 方向上的投影； (2)(a －2b )·b .
19. 已知α为锐角，且tan(π
4＋α)＝2.
(1)求tan α的值；
(2)求2sin (2α＋π
4
)cos α－sin α
cos2α
的值．
20. 某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．
(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
21. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝5
2
，求cos C 的值；
(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92
sin C ，求a 和b 的值．
22. 设等差数列{a n}的公差为d，点(a n，b n)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{a n}的前n项和S n；
(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－
1
ln2，求数列{
a n
b n}
的前n项和T n.
参考答案
1-5 DDACD 6-10 BCBBC 11-12 CD 13. 16
14. ⎣
⎡⎦⎤2k π，2k π＋π
2(k ∈Z ) 15. －2 16. ①②③
17. (1)函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π
6
)＋1.
(2)α＝π3
.
18. (1)a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝－1.
(2)(a －2b )·b ＝－3. 19. (1) tan α＝13
.
(2)2sin (2α＋π
4)cos α－sin α
cos2α＝210
5.
20. (1) y ＝16(－2x 2＋23x －50)．
(2)运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元． 21. (1) cos C ＝－1
5.
(2) a ＝3，b ＝3.
22. (1) S n ＝na 1＋n (n －1)
2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .
(2) T n ＝2n ＋
1－n －2
2n
.。