基于Matlab-Simulink的机械振动仿真研究

目 录1引言——机械振动的仿真原理 (1)1.1 Matlab Simulink 功能简述 (1)1.2机械振动的物理模型 (1)1.2.1简谐振动的物理模型 (1)1.2.2阻尼振动的物理模型 (2)1.2.3受迫振动的物理模型 (2)1.3 Matlab Simulink 仿真原理简述 (4)2简谐振动方程的解及其模拟仿真 (5)2.1简谐振动方程的求解 (5)2.2简谐振动模型的仿真研究 (5)2.2.1基本模型的建立 (5)2.2.2 速度、加速度的监测 (7)2.2.3 动能、势能、机械能监测 (8)2.3简谐振动的图像分析 (9)3阻尼振动方程的求解和仿真模拟 (11)3.1弹簧振子做阻尼振动方程的求解 (11)3.2弹簧振子做阻尼振动的模拟仿真研究 (11)3.3阻尼振动的图像分析 (14)4受迫振动的方程的求解和仿真模拟 (16)4.1弹簧振子做受迫振动方程的求解 (16)4.2弹簧振子做受迫振动的仿真模拟研究 (17)4.2.1策动力频率0ωω<时弹簧振子的受迫振动仿真模拟 (17)4.2.2策动力频率0ωω>时弹簧振子受迫振动的仿真模拟 (20)4.2.3策动力频率0ωω=时弹簧振子的仿真模拟 (22)4.3受迫振动的图像分析 (23)5几点补充说明与仿真模拟中问题分析 (25)5.1物理振动模型建立的补充说明 (25)5.2方程求解中的补充说明 (25)5.3仿真模拟中的问题分析 (25)6结语 (27)参考文献 (28)附录 (29)致 (30)摘要机械振动主要有简谐振动，阻尼振动，受迫振动三种。

对三种振动建立模型，列出振动方程，再对三种振动给定初始条件，就可以利用Matlab Simulink功能对三种振动进行仿真模拟，得出振动的位移，速度，加速度，动能，势能，机械能随时间的变化关系图像。

另外，我们对振动方程求解，得出振子位移关于时间的函数，再分别对其求一阶、二阶导数，就可以得出速度、加速度函数，再经过简单运算就可以得到动能、势能、机械能函数。

我们再通过分析函数来分析其图像，再对比仿真模拟出的图像，就可以确定我们的仿真研究方法的可信度。

关键词：简谐振动；阻尼振动；受迫振动；共振AbstractThe mechanical vibration mainly includes three kinds of vibrations: the simple harmonic oscillator, the pure damping vibration and the forced damping vibration. According to the three vibrations, we can build models for them, list the vibration equations. After giving the initial conditions, we can carry out analog simulations to test the three vibrations by using Matlab Simulink functions, and obtain the images of vibration displacement, velocity, acceleration, kinetic energy, potential energy, mechanical energy variation over time. In addition, we come to the function of oscillator displacement over time after we seek the solution of equations. And then we can gain the derivatives of their first order and second order respectively, so we can draw functions of speed and acceleration. Furthermore, we can get the functions of kinetic energy, potential energy, mechanical energy by a simple operation. Let us analyze the images by analyzing the functions, and then we make a comparison between the images of analog simulations and them. Finally, we can determine the credibility of the simulation methodology.Keywords:Simple harmonic oscillator; Damping vibration; Forced vibration; Resonance1引言——机械振动的仿真原理1.1 Matlab Simulink 功能简述Simulink 是基于Matlab 的框图设计环境，可以用来对各种动态系统进行建模、分析和仿真，它的建模围广泛，可以针对任何能用数学来描述的系统进行建模，例如航空航天动力学系统、卫星控制制导系统、通信系统、船舶及汽车等，其中包括了连续、离散，条件执行，事件驱动，单速率、多速率和混杂系统等。

Simulink 提供了利用鼠标拖放的方法来建立系统框图模型的图形界面，而且还提供了丰富的功能块以及不同的专业模块集合，利用Simulink 几乎可以做到不书写一行代码即完成整个动态系统的建模工作。

除此之外，Simulink 还支持Stateflow ，用来仿真事件驱动过程。

Simulink 是从底层开发的一个完整的仿真环境和图形界面，是模块化了的编程工具，它把Matlab 的许多功能都设计成一个个直观的功能模块，把需要的功能模块用连线连起来就可以实现需要的仿真功能了。

也可以根据自己的需要设计自己的功能模块，Simulink 功能强大，界面友好，是一种很不错的仿真工具[1]。

1.2机械振动的物理模型物理学中的机械振动主要分为简谐振动、阻尼振动、受迫振动三种。

下面我们根据这三种类型的振动建立物理模型来分别研究。

1.2.1简谐振动的物理模型图1 弹簧振子做简谐振动物理实验模型如上图所示，弹簧振子在O 附近做简谐振动。

已知弹簧振子质量为m ，所受合力为F ，弹簧劲度系数为k ，则有：F kx =-。

又由牛顿第二定律有： 22d x F ma m dt == (1) 于是可以得到： 220d x k x dt m+= (2) 令m k =2ω，则可得： 2220d x x dt ω+= (3) 方程(3)的解x 即为弹簧振子在时刻t 时的振动位移，一阶导数x 即为弹簧振子在时刻t 时振动速度，其二阶导数x 即为弹簧振子在时刻t 时的加速度。

1.2.2阻尼振动的物理模型如图1，若弹簧振子在x 轴上受到粘滞阻尼的作用力，则弹簧振子做阻尼的振动。

设弹簧振子受到的阻尼力为： dx f v dtγγ=-=- (4) 式中γ 为阻尼系数，与物体的形状以及周围性质有关。

弹簧振子受到的弹力为F kx =-，则对弹簧振子，有牛顿第二定律有：22d d d d x x m kx t tγ=-- (5) 整理后得： 22d d d d x k x x t m m tγ=-- (6) 令20k m ω=，2n mγ=，则有： 2202d d 20d d x x n x t tω++= (7) 这就是阻尼振动的振动方程。

其解x 即为弹簧振子在时刻t 时的振动位移，一阶导数x 即为弹簧振子在时刻t 时振动速度，其二阶导数x即为弹簧振子在时刻t 时的加速度。

1.2.3受迫振动的物理模型如图2，弹簧振子在O 附近做阻尼振动。

已知弹簧振子质量为m ,弹簧劲度系数为k 。

平行于x 轴的平面对弹簧振子有阻尼力的作用。

对弹簧振子施加一外加激励力()f t ,设0()sin f t F t ω=，则称为谐激励力，其中ω为外施激励频率，t 是持续时间。

对弹簧振子受力分析，其所受弹力为：F kx =-。

由于阻尼振动是振幅(或能量)随时间不断减少的振动。

能量减少的原因是有粘滞阻尼和辐射阻尼。

为方便，均视为粘滞阻尼。

则弹簧图2 弹簧振子在外加激励力作用下做阻尼受迫振动振子所受阻尼力为： dx f v dtγγ=-=- (8) 式中γ 为阻尼系数，与物体的形状以及周围性质有关。

则对弹簧振子，由牛顿第二定律有：202sin d x dx m kx F t dt dt γω=--+ (9) 对(9)式变形可得:202sin F d x k dx x t dt m m dt mγω=--+ (10) 令00,2,F k n h m m m γω===，0ω为固有频率，n 为阻尼因数，则(10)可变为： 22022sin d x dx n x h t dt dtωω++= (11) 方程(11)的解就是时刻t 时弹簧振子的位移，其一阶导数x 即为弹簧振子在时刻t 时振动速度，其二阶导数x 即为弹簧振子在时刻t 时的加速度[2]。

我们记0/n ξω=为相对阻尼系数或阻尼比。

根据阻尼对系统振动的影响，振动响应分为弱阻尼(ξ＜1)、强阻尼(ξ＞1)和临界阻尼(ξ=1)三种情况，这里仅讨论弱阻尼的情况。

1.3 Matlab Simulink仿真原理简述在得到弹簧振子的简谐振动、阻尼振动和受迫振动方程后，通过这三个方程，我们可以用高等数学的方法求出这三个方程的通解。

同时，我们可以用Matlab的计算功能求出它们的通解。

这三个方程的通解表示振子位移随时间的变化情况。

我们得到的这三个方程，前两个为二阶常系数线性齐次微分方程，第三个为二阶常系数非齐次微分方程。

根据这三个方程，我们可以通过Matlab Simulink中的各种模块模拟弹簧振子的位移、速度、加速度，再添加一个平方模块，设置好系数，就可以模拟振子动能、势能、机械能，用线连接各模块，这样流程图就做好了。

设置好各模块的参数后，再设置好系统环境变量，点击运行，通过示波器模块就可以模拟出相应的图像曲线[3]。

图像的横坐标均表示时间，纵坐标相应为位移、速度、加速度、动能、势能、机械能。

图像表示这些物理量随时间变化关系。

通过这三种情况方程的通解，我们可以分析振子位移随时间变化情况，再和模拟出的图像对比分析。

对方程通解求一阶导，就可以得到振子速度随时间变化关系，分析出速度随时间变化情况，再和模拟出的图像对比分析。