山东省青岛市高一下学期期末数学试卷
山东省青岛市高一下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共15分)
1. （1分） (2017高一下·扶余期末) 过两点A ，B 的直线L的倾斜角为
，则m=________
2. （1分） (2017高二下·三台期中) 已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则
（其中a+c≠0）的取值范围为________．
3. （2分）(2017·绍兴模拟) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A= ，b= ，△ABC的面积为，则c=________，B=________．
4. （1分） (2016高二上·苏州期中) 已知平面外一条直线上有两个不同的点到这个平面的距离相等，则这条直线与该平面的位置关系是________．
5. （1分） (2016高二上·徐州期中) 经过点（2，1），且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为________．
6. （1分） (2016高二上·叶县期中) 等比数列{an}的前n项和Sn=3n+t，则t+a3的值为________．
7. （1分） (2017高一下·西安期中) 如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，，并在点处测得塔顶
的仰角为，塔高为________．
8. （1分）已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，PC为球O的直径，且PC=4，则此三棱锥的体积为________．
9. （1分）(2017·南京模拟) 已知实数x，y满足，则的最小值是________．
10. （1分）已知点A（4，﹣3）与B（2，﹣1）关于直线l对称，在l上有一点P，使点P到直线4x+3y﹣2=0的距离等于2，则点P的坐标是________．
11. （1分）已知球的体积是36π，一个平面截该球得到直径为2的圆，则球心到这个平面的距离是________
12. （1分）(2017·日照模拟) 已知向量 =（m，1）， =（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥ ，则
+ 的最小值________．
13. （1分） (2017高一下·南通期中) 点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是________．
14. （1分）(2020·上饶模拟) 一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是________．
二、解答题 (共6题；共55分)
15. （10分） (2015高二上·邯郸期末) △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知（a+c）2﹣b2=3ac
（1）求角B；
（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．
16. （5分）(2017·漳州模拟) 如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．
17. （5分） (2016高三上·金华期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=2﹣an ，n∈N* ，设函数f （x）=log x，数列{bn}满足bn=f（an），记{bn}的前n项和为Tn ．
（Ⅰ）求an及Tn；
（Ⅱ）记cn=an•bn ，求cn的最大值．
18. （10分） (2016高一下·淄川开学考) 已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，∠B的平分线BN所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：
（1）顶点B的坐标；
（2）直线BC的方程．
19. （15分） (2018高一上·荆州月考) 小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量y（百件）与销售单价x（元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.
（1）把y表示为x的函数；
（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数；
（3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）
20. （10分） (2018高一下·扶余期末) 已知数列满足 ,其中 . （1）设 ,求证:数列是等差数列,并求出的通项公式;
（2）设 ,数列的前项和为 .
参考答案一、填空题 (共14题；共15分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共6题；共55分)
15-1、15-2、
16-1、
17-1、18-1、
18-2、
19-1、19-2、19-3、
20-1、20-2、。
山东省青岛市西海岸2023-2024学年高一下学期期末学业水平检测数学试题
山东省青岛市西海岸2023-2024学年高一下学期期末学业水平检测数学试题一、单选题1．已知复数z 满足21i 1z =-+，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i2．在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,1,2A 关于y 轴对称点的坐标为（ ） A ．()1,1,2- B ．()1,1,2- C ．()1,1,2-- D ．()1,1,2-3．已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（ ）A ．,,m n αβαβ⊥⊥∥B ．,,m n αβαβ⊂⊥∥C ．,,m n αβαβ⊥⊥∥D ．,,m n αβαβ⊥⊂∥4．若{},,a b c r r r 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A ．,,b c b b c +-r r r r r B ．,,a a b a b +-r r r r rC ．,,a b a b c +-r r r r rD ．,,a b a b c c +++r r r r r r 5．如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P 处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P 处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）AB ．3C ．D ．6．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4）A ．6B ．C ．24D ．447．若△ABC 为斜三角形，sin cos A B =，则tan tan tan A B C +的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．18．已知AB ⊂平面α，AC ⊥平面α，BD AB ⊥，BD 与平面α所成的角为30°，1BD AC ==，2AB =，则点C 与点D 之间的距离为（ ）A B C D二、多选题9．正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，AB 的中点，则（ ）A ．AC 与EF 为异面直线B ．//EF 平面11BDD BC ．过点A ，E ，F 的平面截正方体的截面为三角形D ．EF ⊥平面1AB C10．已知向量a r 在向量b r 上的投影向量为32⎫⎪⎪⎝⎭，向量(b =r ，则向量a r 可以为（ ）A ．()0,2B ．()2,0C ．(D ．)11．已知四面体VABC 的所有棱长都等于6，点P 在侧面VBC 内运动（包含边界），且AP 与平面VBC 所成角的正切值为Q 是棱VB 的中点，则（ ）A ．该四面体的高为B ．该四面体的体积为C ．点P 的运动轨迹长度为D ．过ACQ 的平面截该四面体内最大球的截面面积为3π2三、填空题12．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg ，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为N ．（重力加速度g 取210m ）13．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在表面积为20π的球的表面上，1AB AC AA ==，2π3BAC ∠=，则此直棱柱的体积为． 14．在四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 所成的二面角为30︒，顶点A 在面BCD 上的射影是H ，ABC V 的重心是G ，若AD BC ⊥，4AB AC BC ===，则GH =．四、解答题15．如图，圆台1OO 上下底面半径分别为1，2，1AA ，1BB 为其两条母线，且母线长为2．(1)证明：四边形11AA B B 为等腰梯形；(2)若在圆台1OO 内部挖去一个以O 为顶点，圆1O 为底面的圆锥，求剩余部分的体积． 16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，1AC =，160BAC A AB ∠=∠=︒，平面11A ABB ⊥底面ABC ，,M N 分别是11,AC AC 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点．(1)证明：平面1//PB N 平面1BA M ；(2)求平面PAB 与平面1ACM 夹角的余弦值． 17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c222sin sin sin sin sin A C B A C +=-．(1)求B ；(2)若B 的角平分线交AC 于点D ，BD =E 在线段AC 上，2EC EA =，求BDE △的面积．18．如图1，直角梯形ABED 中，1AB AD ==，2DE =，AD DE ⊥，BC DE ⊥，以BC 为轴将梯形ABED 旋转180o 后得到几何体W ，如图2，其中GF ，HE 分别为上下底面直径，点P ，Q 分别在圆弧GF ，HE 上，直线//PF 平面BHQ .(1)证明：平面BHQ ⊥平面PGH ；(2)若直线GQ 与平面PGH P 到平面BHQ 的距离；(3)若平面BHQ 与平面BEQ 夹角的余弦值13，求HQ ． 19．如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面.得到的几何体称之为“斜截圆柱”．AB 是底面圆O 的直径，2AB =，椭圆面过点B 且垂直于平面ABC ，且与底面所成二面角为45°，椭圆上的点()1,2,3,,i E i n =L 在底面上的投影分别为i F ，且i F 均在直径AB 同一侧．(1)当1π3AOF ∠=时，求11E F 的长度；(2)当6n =时，若下图中，点1F ，2F ，3F ，…，F 6将半圆平均分成7等分，求()()()()()()112233445566111111E F E F E F E F E F E F ------；(3)证明：¼¼11112221πn n n n AF E F F F E F F F E F -⋅+⋅++⋅<nL ．。
山东省青岛市高一下学期数学期末考试试卷
山东省青岛市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知数列{an},{bn}满足a1=1,a2=2,b1=2，且对任意的正整数，当i+j=k+l时，都有ai+bj=ak+bl ，则的值是A . 2012B . 2013C . 2014D . 20152. （2分） (2019高一下·砀山月考) 某年级有学生560人，现用系统抽样的方法抽取一个容量为80的样本，把学生编号为1～560号，已知编号为20的学生被抽中，则样本中编号最小的是（）A . 004B . 005C . 006D . 0073. （2分） (2017高一下·宿州期中) 已知a，b，c为实数，且a＞b，则下列不等式关系正确的是（）A . a2＞b2B . ac＞bcC . a+c＞b+cD . ac2＞bc24. （2分） (2019高二上·尚志月考) 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A .B .C .D .5. （2分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为（）A . 6B . 4C . 3D . 26. （2分） (2016高一下·老河口期中) 满足条件的的个数是（）A . 一个B . 两个C . 无数个D . 零个7. （2分）(2020·南昌模拟) 等比数列中，，前三项和，则公比的值为（）A . 1B .C . 1或D . －1或8. （2分）已知函数f（x）=x2+x﹣2，x∈[﹣4，6]，在函数f（x）的定义域内任取一点x0 ，使得f（x0）≥0的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）按下列程序框图来计算：如果输入的=" 5," 应该运算（）次才停止.A . 2B . 3C . 4D . 510. （2分） (2019高一下·朝阳期末) 从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按，，，，分组，绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为（）A . 3B . 4C . 5D . 611. （2分）已知实数满足，则目标函数的最大值为（）A . －3B .C . 5D . 612. （2分） (2019高二上·成都期中) 下列说法正确的是（）A . 命题“3能被2整除”是真命题B . 命题“ ，”的否定是“ ，”C . 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题D . 命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是假命题二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·衡水模拟) 四张扑克牌上分别写有“战”“狼”“2”“火”这四个文字，则随机从这四张牌中抽取两张，恰好抽中的两张牌能拼成“战狼”二字的概率为________．14. （1分）某小学三个年级共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要用抽样方法抽取10人形成样本，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，……，270，如果抽得号码有下列四种情况：①5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；②7,34,61,88,115,142,，169,196，223,250；③30,57,84,111,138，165,192,219,246,270；④11,38,60,90,119,146,173,200,227，254.其中可能是由分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的一组号码为________．（填序号）15. （1分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣4，则输出的y值是________16. （1分）已知x＞0，y＞0且2x+y=2，则的最小值为________三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）(2020·淮南模拟) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知点P在边BC上，，，，求的面积．18. （5分）某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准？19. （10分） (2016高二上·菏泽期中) 已知数列{an}为单调递减的等差数列，a1+a2+a3=21，且a1﹣1，a2﹣3，a3﹣3成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=|an|，求数列{bn}的前项n和Tn．20. （10分） (2019高二上·南宁期中) 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月2日12月3日12月4日温差（）111312发芽数（颗）253026（1）请根据12月2日至12月4日的数据，求出关于的线性回归方程；（2）该农科所确定的研究方案是：先用上面的3组数据求线性回归方程，再选取2组数据进行检验．若12月5日温差为，发芽数16颗，12月6日温差为，发芽数23颗．由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？注：，．21. （10分） (2016高一下·内江期末) 已知数列{an}与{bn}，若a1=3且对任意正整数n满足an+1﹣an=2，数列{bn}的前n项和Sn=n2+an ．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{ }的前n项和Tn．22. （10分） (2018高二上·鞍山期中) 已知双曲线 =1，P为双曲线右支上除x轴上之外的一点．（1）若∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面积．（2）若该双曲线与椭圆 +y2=1有共同的焦点且过点A（2，1），求△F1PF2内切圆的圆心轨迹方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
山东省青岛市高一下学期数学期末考试试卷
山东省青岛市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）直线的倾斜角是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一下·武宁期末) 一个圆经过以下三个点，，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一下·海淀期中) 在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为（）A . 正三角形B . 等腰三角形或直角三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形4. （2分） (2016高二下·六安开学考) 若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（）A . 11B . ﹣11C . 13D . ﹣135. （2分） (2016高二上·友谊开学考) 若函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象经过点P（m，n），且过点Q（m﹣1，n）的直线 l被圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣7=0截得的弦长为3 ，则直线l的斜率为（）A . ﹣1或者﹣7B . ﹣7或C . 0或D . 0或﹣16. （2分）若不等式x+|x﹣a|＞1的解集为R，则实数a的取值范围是（）A . （1，+∞）B . [1，+∞）C . （﹣∞，1）D . （﹣∞，1]7. （2分） (2018高二上·抚顺期末) 已知数列的等差数列，，，则数列的前项和为（）A .B .C .D .8. （2分）已知不等式的解集为，点在直线上，其中，则的最小值为（）A .B . 8C . 9D . 129. （2分）设x，y∈R，且x+y=4，则5x+5y的最小值是（）A . 9B . 25C . 162D . 5010. （2分）已知数列满足，，，若数列满足，则（）A .B .C .D .二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2020高一上·吴江期中) 图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营成本)与乘客量x的函数图象.目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是________；图③的建议是________.12. （1分） (2020高三上·浙江月考) 已知数列满足，，则 ________.13. （1分）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），且．（Ⅰ）圆的标准方程为________ ；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的序号是 ________ . （写出所有正确结论的序号）14. （1分）已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线x-y+=0上，则m+c的值是________三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分）(2019·昌平模拟) 等差数列满足，则a5=________；若，则n=________时，{an}的前n项和取得最大值．16. （1分）sin347°cos148°+sin32°cos13°=________．17. （1分） (2019高二上·增城期中) 已知下列四个命题：直线与平面内的无数条直线垂直，则；若，则；若，则；在中，若，则；其中真命题的个数________.（请用数字作答）四、解答题 (共5题；共55分)18. （10分） (2020高三上·成都月考) 已知向量，，（1）求的最小正周期和最大值；（2）若，的周长为12，且，求的面积.19. （10分） (2020高二下·深圳期中) 已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前n项和为Tn ，求T2020.20. （10分） (2016高一上·南宁期中) 已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．21. （10分） (2017高一上·西安期末) 如图所示，在Rt△ABC中，已知A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），点C在x轴上．（Ⅰ）求Rt△ABC外接圆的方程；（Ⅱ）求过点（﹣4，0）且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程．22. （15分） (2019高三上·镇海期中) 已知数列的前n项和为，且满足：．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列通项公式．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、双空题 (共4题；共4分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、填空题 (共3题；共3分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：四、解答题 (共5题；共55分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
山东省青岛市高一下学期期末数学考试试卷
山东省青岛市高一下学期期末数学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （2分）(2018·浙江学考) 已知函数，则的最小正周期是________，的最大值是________.2. （1分） (2018高二上·嘉兴月考) 经过点A(1,1)且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程是________．3. （1分）已知，，则当正数m=________时，使得．4. （1分）已知 =（，），是单位向量，且• = ，则 =________．5. （2分） (2015高一下·广安期中) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a1=﹣9，且﹣S1=1，则{an}的公差是________，Sn的最小值为________．6. （1分） (2017高二下·营口会考) 下列说法正确的有：________．①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③分别在两个平行平面内的两条直线互相平行；④过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行．7. （1分） (2018高一下·芜湖期末) 已知数列的前项之和，则数列的通项公式________．8. （1分） (2018高三上·东区期末) 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为________9. （1分）(2020·海安模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则点C的坐标是________．10. （1分）函数y=cosx的对称轴方程为________11. （1分）过点（3,1）作圆（x－2）2＋（y－2）2＝4的弦，其中最短弦的长为________.12. （1分）(2017·三明模拟) 已知函数f（n）=n2cos（nπ），数列{an}满足an=f（n）+f（n+1）（n∈N+），则a1+a2+…+a2n=________．13. （1分）(2020·南京模拟) 已知是的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则的值为________.14. （1分） (2019高三上·广东月考) 已知的内角的对边分别为，，，若，则 ________.二、解答题： (共6题；共50分)15. （5分）如图几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD=2．面EAD⊥面ABCD，面FCB⊥面ABCD，且CF⊥BC．（1）证明：BD⊥AE；（2）若△ADE是正三角形，点P为AF上的点，且PF=2PA，，证明：EP∥面ABCD．16. （10分） (2017高一下·西华期末) 已知向量与向量的夹角为θ，且| |=1，| |= ．（1）若∥ ，求• ；（2）若﹣与垂直，求θ．17. （5分） (2018高一下·黑龙江开学考) 已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）将的图像向右平移个单位得到函数的图像，若，求函数的值域．18. （10分） (2017高一下·安庆期末) △ABC的外接圆半径R= ，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 =（1）求角B和边长b；（2）求S△AB C的最大值及取得最大值时的a，c的值，并判断此时三角形的形状．19. （5分）已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这个数列．20. （15分） (2016高二上·南通开学考) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得 + = ，求实数t的取值范围．参考答案一、填空题 (共14题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题： (共6题；共50分)15-1、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、。
山东省青岛市高一下学期数学期末考试试卷
山东省青岛市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）直线的倾斜角为（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·贵州模拟) 在等差数列中，已知，则该数列前9项和（）A . 18B . 27C . 36D . 453. （2分）在中，若，则是（）A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 不等边三角形D . 直角三角形4. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 设，那么下列条件中正确的是（）.A . a＞ab＞ab2B .C . ab＞ab2＞aD .6. （2分） (2017高二上·江门月考) 数列前项的和为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一下·彭水期中) 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则是（）A . 钝角三角形B . 直角三角形C . 对角三角形D . 等边三角形8. （2分）公差不为0的等差数列{an}的第2，3，7项恰为等比数列{bn}的连续三项，则{bn}的公比为（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）已知，则函数的最小值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·鹤岗期中) 不解三角形，下列判断中正确的是（）A . 有两解B . 无解C . 有两解D . 有一解二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分）(2019高一上·利辛月考) 在中，角的对边分别，满足，则的面积为________．12. （1分） (2017高一下·启东期末) 已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为________．13. （1分）若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x﹣1平行，则m=________14. （1分）若实数x，y满足方程组，则cos（x+2y）=________．15. （1分）(2018·兰州模拟) 已知数列满足，若，则数列的通项________．16. （1分）(2018·宣城模拟) 已知函数，若正实数满足，则的最小值是________．17. （1分） (2018高一下·雅安期中) 如图,在中,D是边BC上一点，AB= ,，则 ________18. （1分）对∀n∈N* ，13+23+…+（n﹣1）3＜n4•S＜13+23+…+n3恒成立，则S=________三、解答题 (共4题；共20分)19. （5分） (2019高一下·镇江期末) 如图，在道路边安装路灯，路面宽，灯柱高14，灯杆与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，轴线，灯杆都在灯柱和路面宽线确定的平面内．（1）当灯杆长度为多少时，灯罩轴线正好通过路面的中线?（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面的中线，此时有一高2.5 的警示牌直立在处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．20. （5分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知是定义在上的奇函数，且，若，且时，有恒成立．（Ⅰ）用定义证明函数在上是增函数；（Ⅱ）解不等式：；（Ⅲ）若对所有恒成立，求实数m的取值范围．21. （5分） (2017高二上·江门月考) 在中，设边所对的角分别为，都不是直角，且（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求面积的最大值.22. （5分）已知递增数列{an}的前n项和为Sn ，且满足a1=3，．设（n∈N*）且数列{bn}的前n项和为Tn ．（Ⅰ）求证：数列{an}为等差数列；（Ⅱ）试求所有的正整数m，使得为整数；（Ⅲ）若对任意的n∈N* ，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共8题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共20分)19-1、19-2、20-1、21-1、。
2023-2024学年山东省青岛市胶州市高一下学期期末学业水平检测数学试题(含答案)
2023-2024学年山东省青岛市胶州市高一下学期期末学业水平检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
=1−i，则z的虚部为1.已知复数z满足2z+1A. −1B. 1C. −iD. i2.在空间直角坐标系O−xyz中，点A(1,1,2)关于y轴对称点的坐标为A. (1,1,−2)B. (−1,1,2)C. (−1,1,−2)D. (1,−1,2)3.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，能使“m⊥n”成立的一组条件是A. α//β，m⊥α，n⊥βB. α//β，m⊂α，n⊥βC. α⊥β，m⊥α，n//βD. α⊥β，m⊂α，n//β4.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是A. a+b，a+b+c，cB. a+b，a−b，cC. b+c，b，b−cD. a，a+b，a−b5.如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为A. 3B. 3C. 23D. 336.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是3，则它的侧面积为A. 6B. 123C. 24D. 447.若△ABC为斜三角形，sin A=cos B，则tan A+tan B的值为( )tan CA. −2B. −1C. 0D. 18.已知AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α所成的角为30°，BD=AC=1，AB=2，则点C与点D之间的距离为A. 7B. 13C. 5或7D. 5或13二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为AD1，AB的中点，则A. AC与EF为异面直线B. EF//平面BDD1B1C. 过点A，E，F的平面截正方体的截面为三角形D. EF⊥平面AB1C10.已知向量a在向量b上的投影向量为(32,32)，向量b=(1,3)，则向量a可以为A. (0,2)B. (2,0)C. (1,3)D. (3,1)11.已知四面体VABC的所有棱长都等于6，点P在侧面VBC内运动(包含边界)，且AP与平面VBC所成角的正切值为22，点Q是棱VB的中点，则A. 该四面体的高为26B. 该四面体的体积为62C. 点P的运动轨迹长度为23ππD. 过ACQ的平面截该四面体内最大球的截面面积为32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
山东省青岛市2024届数学高一第二学期期末复习检测模拟试题含解析
山东省青岛市2024届数学高一第二学期期末复习检测模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知,0c d a b <>>，下列不等式中必成立的一个是( ) A ．a c b d +>+ B ．a c b d ->- C ．ad bc < D ．a b c d> 2．如图所示，在，已知，角的平分线把三角形面积分为两部分，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．若直线30x y a -+=平分圆22240x y x y ++-=的周长，则a 的值为（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．54．用数学归纳法证明“()()()()12213...21nn n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-”,从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为( ) A ．21k +B ．()221k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 5．在数列{}n a 中，已知31a =，53a =，79a =则{}n a 一定（ ） A ．是等差数列B ．是等比数列C ．不是等差数列D ．不是等比数列6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，己知A=60°，43,42a b ==则B=（ ） A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．以上都不对7．已知,,a b c 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若//,a b b α⊂，则//a αB ．若,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂，则a α⊥C ．若,,a b a αβαβ⊥=⊥，则b α⊥ D ．若,a a αβ⊥⊥，则//αβ8．已知(0,)απ∈，4πα≠，sin 2cos 2αα+=，则tan()4πα+=（ ）A ．17-B ．17C ．-7D ．79．三棱锥,73,10,8,6P ABC PA PB PC AB BC CA -======则二面角P AC B --的大小为( )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒10．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，3A π=，sin 2sin C B =，则ABC 的周长为（ ） A ．323+B ．326+C ．333+D ．336+二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
山东省青岛市高一下学期期末数学试卷
山东省青岛市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （1分） (2020高二下·吉林月考) 过曲线上两点，的割线的斜率为________2. （1分） (2020高一下·长春期中) 记等差数列的前n项和为，已知，，则________．3. （1分） (2017高一上·江苏月考) 函数的最小正周期为________4. （1分）(2017·上海模拟) 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________．5. （1分） (2017高一下·平顶山期末) 连掷两次骰子得到点数分别为m和n，记向量 =（m，n）与向量 =（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，）的概率是________6. （1分）(2016·江西模拟) 运行如图语句，则输出的结果T=________．7. （2分）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________ 、________ ．8. （1分）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是 ________．9. （2分）(2017·温州模拟) 若实数x，y满足，则y的最大值为________，的取值范围是________．10. （1分）在区间[﹣4，4]上随机地抽取一个实数x，若x满足x2≤m的概率为，则实数m的值为________11. （1分）若是________12. （1分） (2015高一上·秦安期末) 经过直线l1：2x+3y﹣5=0，l2：3x﹣2y﹣3=0的交点且平行于直线2x+y ﹣3=0的直线方程为________．13. （1分） (2019高一下·江东月考) 已知两个等差数列的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n有________个．14. （1分） (2016高二下·宝坻期末) 不等式2x2﹣2axy+y2≥0对任意x∈[1，2]及任意y∈[1，4]恒成立，则实数a取值范围是________．二、解答题 (共6题；共40分)15. （5分） (2018高一上·陆川期末) 若，， .（I）求的值；（II）求的值.16. （5分）已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b（b﹣c）=（a﹣c）（a+c），且角B 为钝角．（1）求角A的大小；（2）若a=，求b﹣c的取值范围．17. （10分） (2017高二上·信阳期末) 已知数列{an}满足a2= ，且an+1=3an﹣1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式以及数列{an}的前n项和Sn的表达式；（2）若不等式≤m对∀n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．18. （10分）已知函数f（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．（1）求a，b的值；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞﹣x+m恒成立，求实数m的取值范围．19. （5分）如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ，EF长为y米．（1）将y表示成θ的函数；（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．20. （5分） (2018高二上·湘西月考) 已知数列，，为数列的前n项和，， .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：数列为等差数列；（Ⅲ）若，求数列的前项之和.参考答案一、填空题 (共14题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共40分)15-1、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、。
山东省青岛市高一下学期期末数学试卷
山东省青岛市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）函数f1（x）=|sinx|，f2（x）=|cosx|，f3（x）=sin|x|，f4（x）=cos|x|中周期为π，且在[0， ]上递减的函数共有________个．2. （1分）与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________3. （1分）若ta nα= ，则cos2α+sin2α=________．4. （1分） (2016高一上·西城期末) 若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于________．5. （1分） (2017高二下·彭州期中) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a3+a4=18﹣a6﹣a5 ，则S8=________．6. （1分） (2019高二上·慈溪期中) 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出如下命题:①若⊥ ，m// ，则m⊥ ;②若⊥ ，⊥ ，则 // ;③若⊥ ，m⊥ ，，则m// ;④若⊥ ，∩ =m，，n⊥m，则n⊥ .其中正确的是________.7. （1分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a2=3，a6=48，则公比q=________8. （1分） (2017高一下·扬州期末) 已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为________．9. （1分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为________10. （1分）函数f（x）=cos（2x+θ）+sin（2x+θ）是偶函数，则θ=________11. （1分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是________．12. （1分） (2019高三上·鹤岗月考) 设数列的前n项和为，已知，且，记，则数列的前10项和为________．13. （1分）在△ABC中，为BC边的中点，设= ，= ，若= ，则x+y=________．14. （1分） (2019高三上·日喀则月考) 在中，，则 ________.二、解答题 (共6题；共55分)15. （5分） (2017高二上·晋中期末) 如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．16. （10分） (2016高一下·衡阳期中) 已知 =（ sinx，m+cosx）， =（cosx，﹣m+cosx），且f（x）=（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣， ]时，f（x）的最小值是﹣4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．17. （10分）(2019·达州模拟) 在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角A；（2）若，，求b．18. （10分）海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 海里；货轮向正北由A处行驶到D处时看灯塔B在货轮的北偏东120°．（要画图）（1） A处与D处之间的距离；（2）灯塔C与D处之间的距离．19. （10分）已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为Sn ，，（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求证：b1+b2+…+bn＜2．20. （10分）(2017·烟台模拟) 已知点C为圆的圆心，，P是圆上的动点，线段FP的垂直平分线交CP于点Q．（1）求点Q的轨迹D的方程；（2）设A（2，0），B（0，1），过点A的直线l1与曲线D交于点M（异于点A），过点B的直线l2与曲线D 交于点N，直线l1与l2倾斜角互补．①直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；②设△AMN与△BMN的面积之和为S，求S的取值范围．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共55分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
2022-2023学年山东省青岛二中高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝1+i （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．（0，1）B ．（0，﹣1）C ．（﹣1，0）D ．（1，0）2．已知平面向量a →=(√3，−1)，|b →|=4，且(a →−2b →)⊥a →，则|a →−b →|=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β4．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm 和10cm ，高为15cm ．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装（1000cm 3＝1L ）（ ）A ．1.9LB ．2.2LC ．2.4LD ．4.6L5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ＝a 2+b 2﹣c 2，则tan C 的值为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．46．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →=3MC →，若BM →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则μ﹣λ＝（ ） A ．−13B ．−12C ．13D ．127．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，设直线l 与BD ，B 1C 分别交于点P ，Q ，且l ⊥BD ，l ⊥B 1C ，则线段PQ 的长为（ ）A ．√23B ．√33C ．√63D ．√668．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A ．0.96B ．0.94C ．0.79D ．0.75二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知平面向量a →=(1，1)，b →=(−3，4)，则下列说法正确的是（ ） A ．cos〈a →，b →〉=√210B ．b →在a →方向上的投影向量为(√22，√22)C ．与b →垂直的单位向量的坐标为(45，35)或(−45，−35) D ．若向量a →+λb →与非零向量a →−λb →共线，则λ＝010．有一组从小到大排列的样本数据x 1，x 2，…，x n ﹣1，x n （n ≥4），若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据不变，得到新的一组数据x 1﹣1，x 2，…，x n ﹣1，x n +2，则下列统计量中，相比原来的数据变大的有（ ） A ．极差B ．中位数C ．平均数D ．方差11．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M 为“第一次向下的数字为1或2”，事件N 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A ．事件M 与事件N 互斥B ．事件M 发生的概率为12C ．事件M 与事件N 相互独立D ．事件M +N 发生的概率为112．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是棱BC ，CC 1的中点，点M 满足BM →=tBA →，t ∈[0，1]，下列结论正确的是（ ） A ．若t ＝1，则A 1B 1∥平面MPQB ．若t ＝1，则过点M ，P ，Q 的截面面积是92C ．若t =12，则点A 1到平面MPQ 的距离是√36D ．若t =12，则AB 与平面MPQ 所成角的正切值为√22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm ）数据如下：163 165 161 157 162 165 158 155 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是 ．14．在△ABC 中，AB ＝2，∠BAC =60°，BC =√6，D 为BC 上一点，AD 为∠BAC 的平分线，则AD ＝ ．15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ēn ào ）．已知四面体A ﹣BCD 为鳖臑，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =12BC =13CD ，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为 ．16．已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM →⋅AN →的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C +√3a sin C ﹣b ﹣c ＝0． （1）求角A ；（2）若a ＝2，△ABC 的面积为√3，求b ，c ．18．（12分）某海域的东西方向上分别有A ，B 两个观测点（如图），它们相距25√6海里．现有一艘轮船在D 点发出求救信号，经探测得知D 点位于A 点北偏东45°，B 点北偏西75°，这时位于B 点南偏西45°且与B 相距80海里的C 点有一救援船，其航行速度为35海里/小时． （1）求B 点到D 点的距离BD ；（2）若命令C 处的救援船立即前往D 点营救，求该救援船到达D 点需要的时间．19．（12分）青岛二中高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中b ＝3a ．（1）估计测试成绩的上四分位数和平均分；（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[80，100]内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[80，90）内的概率．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥CD ，AD ＝1，CD ＝4．（1）证明：AD ⊥平面PCD ；（2）若PD ＝3，求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值．21．（12分）甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．22．（12分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是梯形，P A ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，AB =√2，CD ＝1，AD ＝2BC ＝2，P A ＝1．（1）求点A 到平面PBC 的距离；（2）求平面PBA 于平面PBC 的夹角的大小．2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝1+i （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．（0，1） B ．（0，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（1，0）解：（1﹣i ）z ＝1+i ，则z =1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i ，则z =−i ，故z 在复平面内对应的点的坐标是（0，﹣1）． 故选：B ．2．已知平面向量a →=(√3，−1)，|b →|=4，且(a →−2b →)⊥a →，则|a →−b →|=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5解：由平面向量a →=(√3，−1)，可得|a →|=√3+1=2， 由(a →−2b →)⊥a →，可得a →•（a →−2b →）＝0， 即a →2＝2a →•b →=4， 则a →•b →=2，|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√4−2×2+16=4， 故选：C ．3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β解：m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．对于A ，若m ⊥α，n ⊥α，则由线面垂直的性质定理得m ∥n ，故A 正确；对于B ，若α⊥β，m ⊥β，则由面面垂直、线面垂直的性质得m ⊂α或m ∥α，故B 错误； 对于C ，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故C 错误； 对于D ，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α与β相交或平行，故D 错误． 故选：A ．4．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm 和10cm ，高为15cm ．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装（1000cm 3＝1L ）（ ）A ．1.9LB ．2.2LC ．2.4LD ．4.6L解：由台体的体积公式可知，V =13×15×(102+152+√102×152)=2375(cm 3)，2375cm 3≈2.4L ， 故选：C ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ＝a 2+b 2﹣c 2，则tan C 的值为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：因为△ABC 的面积为S ＝a 2+b 2﹣c 2， 所以12absinC =a 2+b 2−c 2，又∵cosC =a 2+b 2−c 22ab， ∴2abcosC =12absinC ，则tan C ＝4． 故选：D ．6．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →=3MC →，若BM →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则μ﹣λ＝（ ） A ．−13B ．−12C ．13D ．12解：因为AM →=3MC →，所以AM →=34AC →=34（BC →−BA →），所以BM →=BA →+AM →=BA →+34（BC →−BA →）=14BA →+34BC →，因为BM →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)， 所以λ=14，μ=34， 故μ−λ=12． 故选：D ．7．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，设直线l 与BD ，B 1C 分别交于点P ，Q ，且l ⊥BD ，l ⊥B 1C ，则线段PQ 的长为（ ）A ．√23B ．√33C ．√63D ．√66解：由题意可得PQ 为异面直线BD ，B 1C 的距离， 连接B 1D 1，D 1C ，由BD ∥B 1D 1，BD ⊄平面D 1B 1C ，B 1D 1⊂平面D 1B 1C ， 所以BD ∥平面D 1B 1C ，则PQ 即为直线BD 和平面D 1B 1C 的距离，即B 到平面D 1B 1C 的距离，设为h ， 由V B−B 1D 1C =V D 1−BB 1C ，可得13h •√34×（√2）2=13×1×12×1×1， 解得h =√33．故选：B ．8．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A ．0.96B ．0.94C ．0.79D ．0.75解：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：8001200+800×9+12001200+800×8=8.4（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为：8001200+800×[1+(9−8.4)2]+12001200+800×[0.5+(8−8.4)2]=0.94． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知平面向量a →=(1，1)，b →=(−3，4)，则下列说法正确的是（ ） A ．cos〈a →，b →〉=√210B ．b →在a →方向上的投影向量为(√22，√22)C ．与b →垂直的单位向量的坐标为(45，35)或(−45，−35) D ．若向量a →+λb →与非零向量a →−λb →共线，则λ＝0 解：对于选项A ，因为a →=(1，1)，b →=(−3，4)， 所以|a →|=√12+12=√2，|b →|=√(−3)2+42=5，a →⋅b →=1×(−3)+1×4=1，则cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →||b →|=1√2×5=√210，故A 正确； 对于选项B ，b →在a →方向上的投影向量为|b →|cos〈a →，b →〉⋅a →|a →|=5×√210⋅a →2=12a →=（12，12），故B 错误；对于选项C ，设与b →垂直的单位向量的坐标（x 0，y 0），则有{−3x 0+4y 0=0x 02+y 02=1，解得{x 0=45y 0=35或{x 0=−45y 0=−35，所以与b →垂直的单位向量的坐标为(45，35)或(−45，−35)，故C 正确； 对于选项D ，显然a →与b →不共线，因为a →+λb →=（1﹣3λ，1+4λ），a →−λb →=（1+3λ，1﹣4λ）， 且向量a →+λb →与向量a →−λb →共线，所以（1﹣3λ）（1﹣4λ）﹣（1+3λ）（1+4λ）＝0， 解得λ＝0，故D 正确． 故选：ACD ．10．有一组从小到大排列的样本数据x 1，x 2，…，x n ﹣1，x n （n ≥4），若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据不变，得到新的一组数据x 1﹣1，x 2，…，x n ﹣1，x n +2，则下列统计量中，相比原来的数据变大的有（ ） A ．极差B ．中位数C ．平均数D ．方差解：极差比原数据大3，故A 正确； 中位数不变，故B 不正确； x =x 1+x 2+x 3+⋯+x n n ，x 1=x 1−1+x 2+x 3+⋯+x n +2n =x 1+x 2+x 3+⋯+x n +1n， 所以平均数变大，故C 正确；因为最小的数据变小，最大的数据变大，其余数据不变，显然新数据较原数据相对于各自的平均值波动变大，由方差的意义易知方差也变大了，故D 正确． 故选：ACD ．11．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M 为“第一次向下的数字为1或2”，事件N 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A ．事件M 与事件N 互斥B ．事件M 发生的概率为12C ．事件M 与事件N 相互独立D ．事件M +N 发生的概率为1解：当两次抛掷的点数为（1，4）时，事件M 与事件N 同时发生，所以事件M 与事件N 不互斥，故A 错误；由题意可得P(M)=24=12，故B 正确； 事件M 与事件N 同时发生的情况有（1，2），（1，4），（2，1），（2，3）共4种， 所以P(MN)=416=14， 又P(N)=816=12， 所以P （MN ）＝P （M ）•P （N ），故事件M 与事件N 相互独立，故C 正确； P(M +N)=P(M)+P(N)−P(MN)=12+12−14=34，故D 错误． 故选：BC ．12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是棱BC ，CC 1的中点，点M 满足BM →=tBA →，t ∈[0，1]，下列结论正确的是（ ） A ．若t ＝1，则A 1B 1∥平面MPQB ．若t ＝1，则过点M ，P ，Q 的截面面积是92C ．若t =12，则点A 1到平面MPQ 的距离是√36D ．若t =12，则AB 与平面MPQ 所成角的正切值为√22解：对A ，B 选项，若t ＝1，则M 与A 重合，如图所示：延长B 1B 与QP 交于点E ，易知A 1B 1不平行AE ， ∴A 1B 1不平行平面MPQ ，∴A 选项错误； 连接MD 1，QD 1，则根据题意易知MD 1∥PQ ， ∴过点M ，P ，Q 的截面为等腰梯形PQD 1M ，又根据题意易得PM ＝QD 1=√5，PQ =√2，D 1M =2√2，∴易得等腰梯形PQD 1M 的高为√5−12=32，∴等腰梯形PQD 1M 的面积为12×(√2+2√2)×√2=92，∴B 选项正确；对C ，D 选项，若t =12，则M 为AB 的中点，连接A 1C 1，如图所示：易知A 1C 1∥MP ，∴A 1到平面MPQ 的距离等于C 1到平面MPQ 的距离d ， 则根据等体积法思想可得：V C 1−MPQ =V M−PQC 1，又PM ＝PQ =√2，MQ =√5+1=√6，∴S △MPQ =12×√6×√(√2)2−(62)2=√32， ∴13×S △MPQ ×d =13×S △PQC 1×MB ，∴13×√32×d =13×12×1×1×1，∴d =√33，∴C 选项错误； 又易知BC 1∥PQ ，∴B 到平面MPQ 的距离等于C 1到平面MPQ 的距离d =√33， 又MB ＝1，设AB 与平面MPQ 所成角为θ，则sin θ=d MB =√33，∴cos θ=√63，∴tan θ=sinθcosθ=√22，∴D 选项正确． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm ）数据如下：163 165 161 157 162 165 158 155 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是 158 ． 解：10×25%＝2.5，第25百分位数是从小到大第3个数为158． 故答案为：158．14．在△ABC 中，AB ＝2，∠BAC =60°，BC =√6，D 为BC 上一点，AD 为∠BAC 的平分线，则AD ＝ 2 ．解：由余弦定理可得cos ∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC，而AB ＝2，∠BAC =60°，BC =√6，所以12=4+AC 2−62×2AC，整理可得：AC 2﹣2AC ﹣2＝0，解得AC =√3+1或AC ＝1−√3（舍），AD 为∠BAC 的平分线，所以∠BAD ＝∠CAD ＝30°， 因为S △ABC =12AB •AC sin ∠BAC =12×2×（√3+1）×√32=14×2×（3+√3）， 而S △ABC ＝S △BAD +S △CAD =12AB •AD •sin ∠BAD +12AC •AD •sin ∠CAD =12AD ×12×（AB +AC ）=14（3+√3）•AD ，所以14×2×（3+√3）=14×（3+√3）AD ，解得AD ＝2． 故答案为：2．15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ēn ào ）．已知四面体A ﹣BCD 为鳖臑，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =12BC =13CD ，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为 14π ．解：由已知，因为AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，可令AB =12BC =13CD =x ， 所以V ABCD =13AB ⋅S △BCD =13AB ⋅12⋅CD ⋅BC =16x ⋅6x 2=1，所以x ＝1， 所以AB ＝1，BC ＝2，CD ＝3，由已知，鳖臑的外接球可还原在以AB ，CD ，BC 为长宽高的长方体中，设其外接球半径为R ， 所以其外接球的半径R =√12+(2)2+(3)22=√142，所以其外接球的表面积S =4πR 2=4π⋅(√142)2=14π．故答案为：14π．16．已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM →⋅AN →的最大值为 1 ． 解：建立如图的平面坐标系， 则A （﹣1，1），设M （﹣1，b ），（﹣1≤b ≤1），则N （1，﹣b ），则AM →⋅AN →=（0，b ﹣1）•（2，﹣b ﹣1）＝（b ﹣1）（﹣b ﹣1）＝﹣（b ﹣1）（b +1）＝﹣b 2+1， 则当b ＝0时，y ＝﹣b 2+1取得最大值1，即，AM →⋅AN →的最大值为1． 故答案为：1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C +√3a sin C ﹣b ﹣c ＝0． （1）求角A ；（2）若a ＝2，△ABC 的面积为√3，求b ，c ． 解：（1）△ABC 中，∵a cos C +√3a sin C ﹣b ﹣c ＝0，利用正弦定理可得sin A cos C +√3sin A sin C ＝sin B +sin C ＝sin （A +C ）+sin C ， 化简可得√3sin A ﹣cos A ＝1，∴sin （A ﹣30°）=12， ∴A ﹣30°＝30°，∴A ＝60°． （2）若a ＝2，△ABC 的面积为12bc •sin A =√34bc =√3，∴bc ＝4 ①．再利用余弦定理可得a 2＝4＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ＝（b +c ）2﹣2bc ﹣bc ＝（b +c ）2﹣3•4， ∴b +c ＝4 ②．结合①②求得b ＝c ＝2．18．（12分）某海域的东西方向上分别有A ，B 两个观测点（如图），它们相距25√6海里．现有一艘轮船在D 点发出求救信号，经探测得知D 点位于A 点北偏东45°，B 点北偏西75°，这时位于B 点南偏西45°且与B 相距80海里的C 点有一救援船，其航行速度为35海里/小时． （1）求B 点到D 点的距离BD ；（2）若命令C 处的救援船立即前往D 点营救，求该救援船到达D 点需要的时间．解：（1）由题可知，AB ＝25√6，∠DBA ＝90°﹣75°＝15°，∠DAB ＝90°﹣45°＝45°， 所以∠ADB ＝180°﹣45°﹣15°＝120°， 在△ABD 中，由正弦定理可得BD sin∠DAB=AB sin∠ADB，即BD sin45°=25√6sin120°，所以BD =25√6sin45°sin120°=25√6×√22√32=50海里； （2）在△BCD 中，∠CBD ＝180°﹣75°﹣45°＝60°，BC ＝80，BD ＝50， 由余弦定理可得，CD 2＝BC 2+BD 2﹣2BC •BD cos ∠CBD ＝6400+2500﹣2×80×50×12=4900， 所以CD ＝70海里， 所以所需时间为7035=2小时，所以B 点到D 点的距离BD ＝50海里，救援船到达D 点需要的时间为2小时．19．（12分）青岛二中高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中b ＝3a ．（1）估计测试成绩的上四分位数和平均分；（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[80，100]内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[80，90）内的概率．解：（1）由频率分布直方图可知（a +0.015+0.035+b +a ）×10＝1，可得b +2a ＝0.05， 由题可得{b +2a =0.05b =3a⇒{a =0.01b =0.03，前三组的频率之和为0.1+0.15+0.35＝0.6＜0.75，前四组的频率之和为0.6+0.3＝0.9＞0.75， 则75%分位数m ∈[80，90），且m ＝80+0.75−0.60.9−0.6=85，平均数为：55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1＝76.5； （2）成绩在[80，90）和[90，100]内的人数之比为3：1，故抽取的4人中成绩在[80，90）内的有3人，设为a ，b ，c ，成绩在[90，100]内的有1人，设为D ， 再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为（a ，b ），（a ，c ），（a ，D ），（b ，c ），（b ，D ），（c ，D ），共6种，这2人成绩均在[80，90）内的情况有（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），共3种， 故这2人成绩都在[80，90）内的概率为P =36=12． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥CD ，AD ＝1，CD ＝4．（1）证明：AD ⊥平面PCD ；（2）若PD ＝3，求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值．解：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，AD 、DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥AD ，PD ⊥DC ．又P A ⊥CD ，P A 、PD ⊂平面P AD ，P A ∩PD ＝P ， ∴CD ⊥平面P AD ． 而AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AD ．而DC 、PD ⊂平面PCD ，且DC ∩PD ＝D ， ∴AD ⊥平面PCD ．（2）由（1）知PD 、DA 、DC 两两垂直，如图所示以D 为中心建立空间直角坐标系，则A （1，0，0）、B （1，4，0）、C （0，4，0），P （0，0，3），PA →=(1，0，−3)、PB →=(1，4，−3)、PC →=(0，4，−3)，设面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则有{PB →⋅n →=0PC →⋅n →=0，即{x +4y −3z =04y −3z =0， 令y ＝3，则z ＝4，x ＝0，即n →=(0，3，4)设直线P A 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=|cos〈n →，PA →〉|=|n →⋅PA→|n →|⋅|PA →||=12510=6√1025．21．（12分）甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 解：（1）因为甲每轮猜对的概率为23，所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率P ＝1﹣（1−23）2=89；（2）“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词，包括两轮比赛中甲猜对2个，乙猜对一个，和甲猜对1个，乙猜对2个，所以所求概率为P =(23)2×2×34×(1−34)+2×23×(1−23)×(34)2=512．22．（12分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是梯形，P A ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，AB =√2，CD ＝1，AD ＝2BC ＝2，P A ＝1．（1）求点A到平面PBC的距离；（2）求平面PBA于平面PBC的夹角的大小．解：取AD的中点F，连接CF，∵AB=√2，CD＝1，AD＝2BC＝2，∴AF＝FD＝1，∵BC∥AD，∴四边形ABCF是平行四边形，则CF＝AB=√2，则DF2+CD2＝1+1＝2＝CF2，即△CDF是直角三角形，∴CD⊥AD，过A作直线AE∥CD，交CB的延长线于E，则AE⊥AD，连接PE，∵P A⊥平面ABCD，P A⊂平面P AE，∴平面P AE⊥平面ABCD，过A作AM⊥PE与M，则AM⊥平面PCE，即AM是A到平面PBC的距离，则Rt△P AE中，P A＝1，AE＝CD＝1，则PE=√2，则PE•AM＝P A•AE，得√2AM＝1，得AM=√22，即A到平面PBC的距离是√22．建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P （0，0，1），A （0，0，0），B （1，1，0），C （1，2，0），则AP →=（0，0，1），AB →=（1，1，0），BC →=（0，1，0），PB →=（1，1，﹣1）， 设平面P AB 的法向量为m →=（x ，y ，z ），平面PBC 的法向量为n →=（a ，b ，c ），由{m →⋅AP →=0m →⋅AB →=0，即{z =0x +y =0，设x ＝1，则y ＝﹣1，即m →=（1，﹣1，0）， 由{n →⋅BC →=0n →⋅PB →=0，即{b =0a +b −c =0，即{b =0a =c ，设a ＝1，则c ＝1，即n →=（1，0，1）， 则cos ＜n →，m →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12×2=12，则＜n →，m →＞=60°，∴平面PBA 于平面PBC 的夹角是60°．。