认识等腰三角形
小学五年级数学下册认识等腰三角形与等边三角形
小学五年级数学下册认识等腰三角形与等边三角形认识等腰三角形与等边三角形数学是一门抽象而精密的学科，它的分支众多，其中包括几何学。
在小学五年级的数学下册中，我们将学习认识等腰三角形与等边三角形。
本文将详细介绍这两种特殊的三角形及其性质。
一、等腰三角形等腰三角形是指具有两边相等的三角形。
我们先来认识等腰三角形的基本构造和性质。
1. 构造等腰三角形的构造有很多方法，这里我们以直角工具为例进行构造。
首先，使用直尺画一条任意线段AB，然后以A和B为圆心，任取一个半径，分别画弧交于C点。
连接AC和BC，就得到了一个等腰三角形。
2. 性质（1）两底角（底边所对的两个角）是相等的。
（2）顶角等于等腰三角形中的两个底角的一半。
（3）等腰三角形中的两条腰相等。
这些性质是等腰三角形的基本特点，也是我们在解题过程中可以应用的重要知识点。
二、等边三角形等边三角形是指三条边都相等的三角形。
我们继续学习等边三角形的构造和性质。
1. 构造等边三角形的构造最简单的方法就是使用等边三角尺。
将等边三角尺的一个顶点放在纸上的任意位置，然后旋转三角尺，保持其边始终与纸面接触，便能画出一个等边三角形。
2. 性质（1）等边三角形的三个内角都是60°。
（2）等边三角形的三条边都相等。
（3）等边三角形的高、中线、垂心（三角形内一条边上到对边的垂线的足）与边长之间有一定的关系。
以上是等边三角形的基本构造和性质，我们可以根据这些性质解决与等边三角形相关的问题。
三、等腰三角形和等边三角形的联系等腰三角形和等边三角形都属于特殊的三角形，它们之间存在一定的联系。
1. 关系（1）等边三角形是等腰三角形的特殊情况，当一个等腰三角形的两条腰相等时，它也是一个等边三角形。
（2）等边三角形中的每个角都是60°，等腰三角形中的顶角等于底角的一半，可以推导出等腰三角形的顶角也是60°。
2. 应用在解题过程中，我们可以利用等腰三角形和等边三角形的性质来求解相关的问题。
认识等腰三角形和等边三角形
认识等腰三角形和等边三角形等腰三角形和等边三角形是初中数学中基础的图形概念。
在学习三角形的时候，这两种形状的三角形是我们首先接触到的。
本文将讲解等腰三角形和等边三角形的概念、性质、应用以及习题解析等方面的内容。
一、等腰三角形的概念和性质等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
其中一条边叫做底边，其余两条边叫做腰。
SAS是判定等腰三角形的条件之一，即如果一个三角形的两边相等，且夹角也相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
等腰三角形的性质有：1. 等腰三角形的两个底角（顶点在底边的角）相等。
2. 等腰三角形的两个腰相等。
3. 等腰三角形的高线（从底边到对立面的顶点所在的直线）所在垂线中点到底边中点的距离相等。
二、等边三角形的概念和性质等边三角形是指三个边都相等的三角形。
怎样判定一个三角形是等边三角形呢？如果一个三角形的三边长度都相等，那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形的性质有：1. 等边三角形的三个角都相等，每个角都是60度。
2. 等边三角形的高线、中线、中垂线和角平分线都重合。
3. 等边三角形的面积可以用勾股定理计算，S=a^2√3/4。
三、等腰三角形和等边三角形的应用等腰三角形和等边三角形在几何中有很多应用。
下面举几个例子：1. 在房子、桥梁等建筑物中，常常会出现等腰三角形或等边三角形的形状。
2. 在计算三角形的面积时，等腰三角形和等边三角形的面积计算公式十分简单，可大大减少计算量。
3. 在测量角度时，可以利用等边三角形或等腰三角形的性质来进行测量。
四、习题解析下面提供一些等边三角形和等腰三角形的练习题，希望读者通过练习加深对这两个概念的理解和应用。
1. 已知两个等腰三角形，其中一个底边长为6cm，腰长为5cm，另一个底边长为8cm，面积相等，求另一个等腰三角形的腰长。
2. 某等边三角形的周长为12cm，求其面积。
3. 在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、CA上，并且DE=BC/2。
连接AD、BE、CF三条线段，求三角形DEF的面积与三角形ABC的比值。
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点等腰三角形是初中数学中的一种基本几何图形，具有很多特殊的性质和定理。
本文将对等腰三角形的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握等腰三角形的特点和应用。
以下是等腰三角形知识点总结汇总，希望对大家的学习有所帮助。
1、等腰三角形知识总结，定义(1)等腰三角形:有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两条边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
(2)等边三角形:特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等腰三角形知识总结，等腰三角形的相关概念(1)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴。
(2)等腰三角形的外心、内心、重心和垂心都在顶角平分线上，即四心共线。
(3)等边三角形的外心、内心、重心和垂心四心合一，成为等边三角形的中心。
3、等腰三角形知识总结，等腰三角形的性质定理(1）推理格式:在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C。
(2)定理的作用:证明同—个三角形中的两个角相等。
4、等腰三角形知识总结，等腰三角形性质定理的推论(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
5、等腰三角形知识总结，等腰三角形的判定定理(1)该定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
(2)注意:该定理不能叙述为“如果一个三角形中有两个底角相等，那么它的两腰也相等”。
因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”。
相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。
(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180°减去底角的两倍；(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。
等腰三角形性质定理(基础)知识讲解
等腰三角形性质定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝1802A ︒-∠ . （2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx 即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a 的等边三角形它的高是2a ，面积是24a . 【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a ，h （如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC ＝a,BC 边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC 的垂直平分线l,交BC 与点D.3.在直线l 上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC 就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1】1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.【答案与解析】解：∵AB＝AC∴∠B ＝∠C∵AB＝BD∴∠2＝∠3∵∠2＝∠1＋∠C∴∠2＝∠1＋∠B∵∠2＋∠3＋∠B＝180°∴∠B＝180°－2∠2∴∠2＝∠1＋180°－2∠2∴3∠2＝∠1＋180°∵∠1＝30°∴∠2＝70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1练习】举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、（2016秋•威海期中）在等腰三角形中，已知一个角为40°，那么另两个角的度数是．【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的角度去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴另两个角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解．【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．举一反三：【变式】计算：（1）一个等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，求其它两边的长．（2）已知等腰三角形的一边长等于6cm，一边长等于7cm，求它的周长．（3）已知等腰三角形的一边长等于5cm，一边长等于12cm，求它的周长．【答案】解：（1）①底边长为8，则腰长为：（20﹣8）÷2=6，所以另两边的长为6cm，6cm，能构成三角形；②腰长为8，则底边长为：20﹣8×2=4，底边长为8cm，另一个腰长为4cm，能构成三角形．因此另两边长为8cm、4cm或6cm、6cm；（2）①6是腰长时，周长=6+6+7=19；②6是底边时，7是腰，周长=6+7+7=20；综上，它的周长为19或20；（3）分两种情况：当腰为5cm时，5+5＜12，所以不能构成三角形；当腰为12cm时，12+12＞5，12﹣12＜5，所以能构成三角形，周长是：12+12+5=29cm．类型三、等腰三角形的性质及其运用4、如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．【思路点拨】过E作EF∥AB交BC延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F=∠FCE，从而可得到BD=CE=EF，再根据AAS判定△DGB≌△EGF，根据全等三角形的性质即可证得结论．【答案与解析】证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质。
本文将探讨等腰三角形的性质及其相关应用。
一、等腰三角形的定义及性质等腰三角形是指两条边相等的三角形，它的定义可以表示为AC=BC。
等腰三角形的性质包括以下几个方面：1. 角度性质：等腰三角形的底角（底边两边所夹的角）相等。
即∠ACB = ∠CAB。
2. 边长性质：等腰三角形的底边与顶角所对应的两条边相等。
即AC = BC。
3. 对称性质：等腰三角形的顶点关于底边中点对称。
4. 垂直性质：等腰三角形的高与底边重合，且垂直于底边。
二、等腰三角形的证明方法为了证明一个三角形是等腰三角形，有许多方法可以使用。
下面介绍两种常见的证明方法：1. 通过边长证明：假设AC = BC，然后利用几何定理或勾股定理证明三边相等。
2. 通过角度证明：假设∠ACB = ∠CAB，然后利用角度的性质证明三角形两边相等。
三、等腰三角形的应用由于等腰三角形具有特殊的性质，它在几何学中的应用非常广泛。
下面列举一些常见的应用：1. 三角形分类：等腰三角形是常见的三角形类型之一，通过判断三角形是否具有两边相等可以确定其类型。
2. 三角形的相似性：等腰三角形可以用来证明两个三角形相似，从而推导出它们的其他性质。
3. 三角形的面积计算：对于已知两边相等的等腰三角形，可以利用底边和高的关系计算三角形的面积。
4. 几何证明：等腰三角形的性质经常用于几何证明中，以推导出其他三角形的性质。
总结：等腰三角形是具有两条边相等的三角形，它具有一些特殊的性质，包括角度性质、边长性质、对称性质和垂直性质。
为了证明一个三角形是等腰三角形，可以使用边长证明或角度证明的方法。
等腰三角形在几何学中有许多应用，如三角形分类、相似性、面积计算和几何证明。
通过研究等腰三角形的性质，我们可以更好地理解和应用几何学的知识。
以上就是关于等腰三角形性质的文章。
通过对等腰三角形的定义、性质、证明方法和应用的介绍，我们能够更深入地了解等腰三角形的特点和用途。
人教版小学四年级数学上册教案认识等腰三角形的概念与等腰三角形的判断
人教版小学四年级数学上册教案认识等腰三角形的概念与等腰三角形的判断教案认识等腰三角形的概念与等腰三角形的判断第一节：概念介绍在数学的学习中，我们经常会遇到不同类型的三角形。
其中，等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一些独特的性质和特点。
本节将介绍等腰三角形的概念及其相关知识。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两边相等的三角形。
换句话说，等腰三角形的两条边长度相等，而第三边则与这两边不相等。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底边：等腰三角形的底边是指两边不相等的那条边，也就是不等腰边。
2. 等腰三角形的顶角：等腰三角形的顶角是指两边相等的那个角，也就是等腰角。
3. 等腰三角形的底边角：等腰三角形的底边角是指底边两侧的两个角，它们的度数相等。
第二节：等腰三角形的判断方法在我们的学习过程中，需要能够准确地判断一个三角形是否为等腰三角形。
下面，我们将介绍几种判断等腰三角形的方法。
一、边长相等判断法当一个三角形的两条边长度相等时，我们可以初步判断它为等腰三角形。
通过测量三角形的边长，我们可以快速判断是否为等腰三角形。
二、角度相等判断法除了边长相等，等腰三角形的顶角也是一个重要的判断依据。
当一个三角形的两个角度相等时，也可以判断它为等腰三角形。
三、等腰边夹角相等判断法如果我们知道一个三角形的两条边长度相等，并且这两条边夹角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
四、等腰三角形判断综合法在实际问题中，我们往往需要综合运用以上判断方法来判断一个三角形是否为等腰三角形。
通过测量边长和角度，并综合判断，我们可以确定一个三角形的类型。
第三节：实例演练在我们掌握了等腰三角形的概念和判断方法后，下面让我们通过一些实例来进行演练。
实例一：判断三角形ABC是否为等腰三角形，若是，请说明理由。
- 点A与点B之间的距离为5cm，点C与点B之间的距离为5cm，点A与点C之间的距离为7cm。
解答：通过测量，我们可以确定点A与点B之间的距离与点C与点B之间的距离相等，即AB=BC=5cm。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的性质是数学中的重要概念之一，它具有许多有趣的特点和性质。
本文将介绍等腰三角形的性质及其相关定理。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，这两条边被称为腰，而另外一条边称为底边。
由于两条腰的长度相等，所以等腰三角形的底角也必然相等。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角相等：由等腰三角形的定义可知，两条腰的长度相等，因此底角也必然相等。
这是等腰三角形最基本的性质之一。
2. 等腰三角形的顶角平分底角：在等腰三角形中，顶角与底角之间的关系十分特殊。
根据平分角的性质，等腰三角形的顶角将平分底角，使得等腰三角形的顶角等于底角的一半。
3. 等腰三角形中，顶角、底边、高线之间存在特殊关系：等腰三角形中，高线是从顶角向底边作垂直线，垂足处的线段被称为高线。
根据等腰三角形的性质，高线将底边平分，并且高线与底边垂直。
4. 等腰三角形的两条腰上的高线相等：等腰三角形的两条腰上的高线长度相等。
因为两条腰的长度相等，所以它们与底边构成的高线长度也必然相等。
5. 等腰三角形的两边夹角相等：等腰三角形的两边夹角等于顶角的一半。
这是等腰三角形中重要的定理之一，也是许多证明问题中的关键。
6. 等腰三角形中，高线、中线、角平分线重合：在等腰三角形中，高线、中线和角平分线三者的垂足点重合。
这是等腰三角形中有趣的性质之一。
三、等腰三角形的应用1. 利用等腰三角形的性质求解几何问题：等腰三角形的性质可以应用于各种几何问题的求解过程中。
例如，通过已知条件推导等腰三角形的性质，进而解决其他相关问题。
2. 构造等腰三角形：在实际应用中，有时候需要根据具体要求构造等腰三角形。
通过利用等腰三角形的性质，可以在平面上进行精确的构造，满足特定的需求。
4. 证明几何定理：在数学证明中，等腰三角形的性质往往被用作证明其他几何定理的基础，通过运用等腰三角形的特性来推导其他结论。
小学数学知识归纳认识简单的等腰三角形和等边三角形
小学数学知识归纳认识简单的等腰三角形和等边三角形小学数学知识归纳：认识简单的等腰三角形和等边三角形数学是一门重要的学科，对于小学生来说，学好数学知识是非常关键的。
在小学数学中，等腰三角形和等边三角形是重要的几何图形，本文将对这两种三角形进行归纳和认识。
一、等腰三角形的认识等腰三角形是指两边的长度相等，而另外一边则不相等的三角形。
下面我们来简单了解一下等腰三角形的性质和特点。
1. 等腰三角形的定义等腰三角形的定义是指一个三角形的两边是相等的，而且两个底角也相等。
换句话说，等腰三角形是一种拥有两条边相等的三角形。
2. 等腰三角形的性质等腰三角形的性质可以归纳如下：（1）等腰三角形的底角相等。
（2）等腰三角形的顶角等于180度减去两个底角的和。
（3）等腰三角形的高线是等腰三角形两边的中线、中线和角平分线。
（4）等腰三角形的对称轴是等腰三角形的高线、中线和角平分线的交点。
二、等边三角形的认识等边三角形是指三个边的长度都相等的三角形。
下面我们来了解一下等边三角形的特点和性质。
1. 等边三角形的定义等边三角形的定义是指一个三角形的三条边长度都相等。
2. 等边三角形的性质等边三角形的性质可以归纳如下：（1）等边三角形的三个内角都是60度。
（2）等边三角形的三个角平分线也是等边三角形的高线、中线和对称轴。
（3）等边三角形的内切圆和外接圆的圆心都在等边三角形的重心上。
三、等腰三角形和等边三角形的区别和联系虽然等腰三角形和等边三角形都是具有一定特点的三角形，但它们也有不同之处。
1. 区别（1）等腰三角形的两边相等，而等边三角形的三边都相等。
（2）等腰三角形的内角可以不相等，等边三角形的内角都是相等的。
2. 联系（1）等腰三角形和等边三角形都是特殊的三角形，是几何图形中的重要概念。
（2）等腰三角形和等边三角形都有明显的对称性，在计算和绘图时有一定的规律和便利之处。
总结：通过以上的归纳和认识，我们对小学数学中的等腰三角形和等边三角形有了进一步的了解。
等腰三角形认识等腰三角形的特性与求解方法
等腰三角形认识等腰三角形的特性与求解方法等腰三角形是初中数学中经常出现的一个重要概念，它具有独特的特性和求解方法。
在本文中，我将详细介绍等腰三角形的定义、特性以及如何求解等腰三角形的各种问题。
1. 定义等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两条相等的边称为腰，而不等的边称为底边。
等腰三角形的顶角又称为顶点角，而底边上的高称为高线。
2. 特性等腰三角形有一些独特的特性，下面将逐一介绍：2.1 三边关系在等腰三角形中，两个腰的边长是相等的，而底边的边长则与腰不相等。
简记为AB=AC，但AB≠BC。
这个特性是等腰三角形最基本的特征之一。
2.2 顶角性质等腰三角形的顶角是其最独特的特性之一。
在等腰三角形中，顶角的角度必然相等，简记为∠B=∠C。
这表明等腰三角形在两个腰之间有一条对称轴。
2.3 高线等腰三角形的高线有一些特殊的性质。
它是从顶点所在的角平分线上垂直于底边的线段。
在等腰三角形中，高线同时是中线、角平分线和垂直平分线。
2.4 对称性由于等腰三角形的特殊性质，它具有对称性。
即等腰三角形可以沿腰轴进行翻折，两个腰重叠，从而得到全等的两个三角形。
3. 求解方法求解等腰三角形涉及到计算腰长、底边长、顶角以及高的长度。
下面将介绍一些常用的求解方法：3.1 腰长的计算如果已知等腰三角形的底边长和顶角，可以通过正弦定理来计算腰的长度。
正弦定理表达式为sin∠B = BA / AB，通过代入已知数据进行求解。
3.2 底边长的计算已知等腰三角形的腰长和顶角，可以通过余弦定理计算底边的长度。
余弦定理表达式为cos∠B = BC / AB，通过代入已知数据进行求解。
3.3 顶角的计算如果已知等腰三角形的两个腰长，可以通过正弦定理或余弦定理计算顶角的大小。
3.4 高线的计算已知等腰三角形的底边长和顶角，可以通过正弦定理或余弦定理计算高的长度。
在解题过程中，我们可以灵活运用以上的求解方法，根据已知条件和待求量的关系来选择合适的方法。
人教版八年级上册 第十三章 认识等腰直角三角形
走进等腰直角三角形等腰直角三角形，是一类特殊的等腰三角形．其具体的特点是：（1）每一个锐角都是45°．（2）斜边：直角边=2：1.（3）过斜边的中点，分别作两直角边的垂线，则等腰直角三角形的直角顶点、两个垂足和斜边的中点构成一个正方形．（4）等腰直角三角形的面积等于一条直角边的平方的一半．其次在应用时，常用到等腰三角形的性质和勾股定理．下面就结合09年的考题，谈谈等腰直角三角形的应用，供学习时参考．1求等腰直角三角形底角的度数例1等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°分析：等腰三角形的两个底角相等，所以等腰直角三角形的两个底角也是相等的．因为等腰直角三角形的顶角为90°，所以每一个底角等于21（180°-90°）=45°． 解：选B ．2三角板中求度数例2、一副三角板，如图1所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 .分析：熟悉一副三角板的意义是解题的关键．一副三角板包括一个30°角的的直角三角板和一个45°角的的直角三角板．解：如图2所示，三角形BEF 是含45°角的的直角三角板，因此∠ABC=45°，三角形ADC 是含30°角的的直角三角板，因此∠ADC=30°，所以∠DAB=45°-30°=15°，所以∠α=90°-15°=75°．3等腰直角三角形背景中求三角形的面积例3如图3所示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ＝86，点E为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF ⊥BE ，则△CEF 的面积是（ ）A ． 16B ． 18C ．66 D76分析：如图4所示，过点E 作EG ⊥BC ，垂足为点G ，由∠A=90°，AB=AC ＝86，得到∠C=45°，所以EG=GC ；由点E 为AC 的中点，所以AE=EC=4．BC=86×2=163.在直角三角形ABE 中，2BE =22AE AB +=22)64()68(+=480；在直角三角形EGC 中， EG=GC=2EC =264=43.因此BG=123.设GF=x ，在直角三角形BEF 中， 2BF =22EF BE +，所以2)312(x +=480+22)34(x +，解得x=334，所以CF=43-334=338,所以△CEF 的面积是：3433821⨯⨯=16. 解：选A ．4构造等腰直角三角形证题例4如图5所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=40°，分别以AB 、AC 为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使∠BAD=∠CAE=90°．（1）求∠DBC 的度数；（2）求证：BD=CE ．分析：（1）仔细观察图形，知道∠DBC=∠DBA+∠ABC ，∠DBA 时等腰直角三角形的锐角， ∠ABC 是顶角为40°的等腰三角形ABC 的底角．（2）利用三角形的全等证明．我们是容易证明△BAD ≌△CAE ．解：（１）因为三角形ABD 、三角形ACE 都是等腰直角三角形，且∠BAD=∠CAE=90°， 所以∠DBA=45°．因为∠ABC 是顶角为40°的等腰三角形ABC 的底角，所以∠ABC=21（180°-40°）=70°，所以∠DBC=∠DBA+∠ABC=45°+70°=110°． （2）证明：因为三角形ABD 、三角形ACE 都是等腰直角三角形，且∠BAD=∠CAE=90°，所以BA=AD ，CA=AE ，因为AB=AC ，所以BA=AD=CA=AE ，所以△BAD ≌△CAE （SAS ），所以BD=CE ．5等腰直角三角形中的动态问题例5如图6所示，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE ．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形，③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①④⑤C ．①③④D ．③④⑤分析：如图7所示，连接CF ，F 是AB 边上的中点，AC=CB ，所以根据等腰三角形的性质得： ∠CFA=∠CFB=90°，CF=FB=FA ，∠ACF=∠BCF=45°，∠A=∠B=45°，所以∠DCF=∠EBF ； 由AC=BC,AD=CE ，得：AC- AD=BC-CE ，即DC=EB ．在三角形DCF 和三角形EBF 中，EBF FB CF DCF EB DC ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=所以△DCF ≌△EBF ，所以DF=EF ，∠DFC=∠EFB ，因为∠EFB+∠CFE=∠CFB=90°，所以∠DFC +∠CFE=90°，即∠DFE=90°，所以三角形DEF 是一个等腰直角三角形，因此①是正确的；当点D 、点E 分别是AC 、BC 的中点时，四边形DFEC 就是一个正方形．所以②是错误的，这样我们就可以排除选项A ；设CE=AD=x ，则DC =AC-AD=8-x ，在直角三角形CDE 中，根据勾股定理，得：222DC CE DE +==22)8(x x -+=22x -16x+64，根据二次函数的性质，知道y=22x -16x+64有最小值，且当x=-a b 2=-2216⨯-=4时，y 有最小值，且为y=2×24-16×4+64， =32，即2DE 的最小值为32，所以DE 的最小值为32=42，所以③时错误的；因为四边形CDFE 的面积等于三角形DCF 的面积与三角形CEF 的面积，且△DCF ≌△EBF ， 所以四边形CDFE 的面积等于三角形EBF 的面积与三角形CEF 的面积，即三角形CBF 的面积，而三角形CBF 的面积恰好是等腰直角三角形面积的一半，所以四边形CDFE 的面积保持不变； 因此④是正确的；设CE=AD=x ，则DC =AC-AD=8-x ，在直角三角形CDE 中，△CDE 面积等于=21×CE ×DC=21x （8-x ）=-212x +4x ， 根据二次函数的性质，知道y=-212x +4x ，有最大值，且当x=-a b 2=-)21(24-⨯=4时，y 有最大值，且为y=-212x +4x=-21×24+4×4=8，即△CDE 面积最大值为8，所以⑤是正确的； 因此正确的答案是B ．解：选B．。
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认识等腰三角形
一、填空。
1、（）是等腰三角形。
2、等腰三角形中有两条( )是相等的，有两个( )是相等的。
3、用32厘米的绳子围成一个腰长10厘米的等腰三角形，底长( )厘米，若围成的等腰三角形底长10厘米，腰长( )厘米。
4、一个等腰三角形的一个底角是36°，它的顶角是( )。
5、一个等腰三角形的顶角是102°，它的底角是( )。
6、一个等腰三角形的底边长是12厘米，腰长是15厘米，它的周长是( )厘米。
7、把一根长15厘米的铁丝做成一个腰长6厘米的等腰三角形，它的底边长是( )厘米。
8、一个等腰三角形有两条边的长度分别是3分米和7分米。
这个三
角形的周长是（）分米。
9、一个等腰三角形顶角度数是一个底角的3倍，这个等腰三角形底角是()0，顶角是()0。
10、一个等腰三角形的周长是19厘米，其中一边长5厘米，其余两条边长（）厘米和（）厘米。
二、判断。
1、底角是600的等腰三角形是等边三角形。
( )
2、一个等腰三角形中有一个角是800，它一定是锐角三角形。
( )
3、一个等腰三角形中有一个角200，它一定是一个钝角三角形。
( )
4、用一根18厘米的绳围成一个等腰三角形，底是10厘米，腰一定是4厘米。
( )
5、有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形。
( )
6、2厘米、2厘米、11厘米这三根小棒可以围成一个等腰三角形。
( )
三、选择。
1、把一个等腰三角形分成2个完全一样的三角形，每个三角形的内角和是()
A、900
B、1800
C、2700
D、3600
2、底角是440的等腰三角形也是()
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等边三角形
3、下面（）组的三条线段能围成一个等腰三角形。
A、2厘米、2厘米、5厘米
B、5厘米、10厘米、5厘米
C、6厘米、6厘米、4厘米
D、3厘米、3厘米、7厘米
4、等腰三角形相邻两条边的长分别是10厘米和8厘米，它的周长（）
A、一定是28厘米
B、一定是26厘米
C、可能是28厘米，也可能是26厘米
5、把12厘米的小棒截成3段，围成一个等腰三角形，下面（）是正确的。
A、3厘米、4厘米、5厘米
B、 8厘米、2厘米、2厘米
C 2厘米、5厘米、5厘米
四、画图题。
1、画一个底边长4厘米、底角是500的等腰三角形。
2、画一个顶角是500、高3厘米的等腰三角形。
3、画一个顶角是1000、腰长3厘米的等腰三角形。
4、在点子图上画出一个满足条件的三角形然后画出最长边上的高。
①有一个角是直角；②有两条边长度相等。
五、解决实际问题。
1、一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，它的底角是多少度？
2、一个等腰三角形的一条边长4厘米，另一条边长8厘米，这个三角形周长是多少？
3、用一根长20米的绳子，围成一个腰长8米、底5米的等腰三角形，能不能做到？为什么？
4、等腰三角形的顶角是68°，它的底角是多少度？
5、一个等腰三角形的周长是48米，它的底长10米，一条腰长多少米？
6、一个等腰三角形中每个底角比顶角多30°，顶角和一个底角各是多少度？
7、一个等腰三角形的底角是56°它的顶角是多少度。
8、一个等腰三角形的顶角是1000，沿着它底边上的高对折后，得到
两个完全一样的直角三角形，这个直角三角形的两个锐角各是多少度？（先画一画，再计算）。