5年高考3年模拟A版2021高考数学专题十二推理与证明试题文.docx

专题十二 推理与证明 探考情 悟真题

【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点

合情推理与演绎推理 ①了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用;②了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行简单的推理;③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 2019课标全国Ⅱ,5,5分 合情推理 — ★★☆ 2016课标全国Ⅱ,16,5分 合情推理 —

2019课标全国Ⅰ,4,5分 合情推理 —

直接证明与间接证明 ①了解直接证明的两种基本方法:分析法与综合法,并了解分析法和综合法的思考过程、特点;②了解间接证明的一种基本方2018江苏,20,16分 直接证明 等差、等比数列 的综合应用

★★

☆ 法:反证法,并了解反证法的思考过程、特点

分析解读 本专题在高考中主要考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本专题内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属于中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属于中高档题.

破考点 练考向 【考点集训】 考点一 合情推理与演绎推理 1.(2019安徽六校教育研究会第一次素质测试,8)如图,第1个图形由正三角形扩展而成,共12个顶点.第n个图形由正(n+2)边形扩展而来,其中n∈N*,则第n个图形的顶点个数是( )

A.(2n+1)(2n+2) B.3(2n+2) C.2n(5n+1) D.(n+2)(n+3) 答案 D 2.(命题标准样题,14)甲、乙、丙、丁参加一比赛,赛前甲、乙、丙分别作出预测. 甲说:乙会获得奖牌; 乙说:丙会获得金牌; 丙说:丁不会获得银牌. 比赛结果有3人分别获得金牌、银牌和铜牌,另外1人没获得奖牌.如果甲、乙、丙中有一人获得了金牌,而且只有获得金牌的那个人预测正确,则获得金牌的是 . 答案 甲 3.(2019广东珠海期末,14)某班级的四位学生A、B、C、D参加了文科综合知识竞赛,在竞赛结果公布前,地理老师预测得冠军的是A或B;历史老师预测得冠军的是C;政治老师预测得冠军的不可能是A或D;语文老师预测得冠军的是B,而班主任老师看了竞赛结果后说以上只有两位老师都说对了,则得冠军的是 . 答案 C 考点二 直接证明与间接证明 1.(2018湖北普通高中联考,7)分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设aac<3c2,则证明的依据应是( ) A.c-b>0 B.c-a>0 C.(c-b)(c-a)>0 D.(c-b)(c-a)<0 答案 C 2.(2020届河南许昌质量检测,7)用反证法证明命题“已知x,y∈N*,如果xy可被7整除,那么x,y至少有一个能被7整除”时,假设的内容是( ) A.x,y都不能被7整除 B.x,y都能被7整除 C.x,y只有一个能被7整除 D.只有x不能被7整除 答案 A

炼技法 提能力 【方法集训】 方法 归纳推理与类比推理的应用 1.(2019江西吉安教学质量检测,9)斐波那契数列又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,在数学上,斐波那契数列{an}定义为a1=1,a2=1,an+2=an+an+1,斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合,如根据an+2=an+an+1可得an=an+2-an+1,所以a1+a2+…+an=(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,类比这一方法,可得𝑎12+𝑎22+…+𝑎102=( ) A.714 B.1870 C.4895 D.4896 答案 C 2.(2018广东肇庆一模,14)观察下列不等式:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,……,照此规律,第五个不等式为 . 答案 1+122+132+142+152+162<116

【五年高考】 A组 统一命题·课标卷题组 1.(2019课标全国Ⅰ,4,5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-12√5-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与

咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( )

A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm 答案 B 2.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 . 答案 1和3

B组 自主命题·省(区、市)卷题组 考点一 合情推理与演绎推理 1.(2015陕西,16,5分)观察下列等式 1-12=12 1-12+13-14=13+14 1-12+13-14+15-16=14+15+16 …… 据此规律,第n个等式可为 . 答案 1-12+13-14+…+12𝑎-1-12𝑎=1𝑎+1+1𝑎+2+…+12𝑎 2.(2016山东,12,5分)观察下列等式: (sinπ3)-2+(sin2π3)-2=43×1×2;

(sinπ5)-2+(sin2π5)-2+(sin3π5)-2+(sin4π5)-2=43×2×3; (sinπ7)-2+(sin2π7)-2+(sin3π7)-2+…+(sin6π7)-2=43×3×4;

(sinπ9)-2+(sin2π9)-2+(sin3π9)-2+…+(sin8π9)-2=43×4×5;

…… 照此规律, (sinπ2𝑎+1)-2+(sin2π2𝑎+1)-2+(sin3π2𝑎+1)-2+…+(sin2𝑎π2𝑎+1)-2= .

答案 4𝑎(𝑎+1)3 3.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ; ②该小组人数的最小值为 . 答案 ①6 ②12

考点二 直接证明与间接证明 (2018江苏,20,16分)设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{bn}是首项为b1,公比为q的等比数列. (1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围; (2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,√2𝑎],证明:存在d∈R,使得|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示). 答案 (1)由条件知an=(n-1)d,bn=2n-1. 因为|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立, 即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1,2,3,4均成立. 即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得73≤d≤52. 因此,d的取值范围为[73,52].

(2)由条件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1. 若存在d∈R,使得|an-bn|≤b1(n=2,3,…,m+1)均成立, 即|b1+(n-1)d-b1qn-1|≤b1(n=2,3,…,m+1).

即当n=2,3,…,m+1时,d满足𝑎𝑎-1-2𝑎-1b1≤d≤𝑎𝑎-1𝑎-1b1. 因为q∈(1,√2𝑎], 所以1从而𝑎𝑎-1-2𝑎-1b1≤0,𝑎𝑎-1𝑎-1b1>0,对n=2,3,…,m+1均成立. 因此,取d=0时,|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立. 下面讨论数列{𝑎𝑎-1-2𝑎-1}的最大值和数列{𝑎𝑎-1

𝑎-1

}的最小值(n=2,3,…,m+1).

①当2≤n≤m时,𝑎𝑎-2𝑎-𝑎𝑎-1-2𝑎-1=𝑎𝑎𝑎-𝑎𝑎-n𝑎𝑎-1+2𝑎(𝑎-1)=𝑎(𝑎𝑎-𝑎𝑎-1)-𝑎𝑎+2𝑎(𝑎-1), 当1从而n(qn-qn-1)-qn+2>0. 因此,当2≤n≤m+1时,数列{𝑎𝑎-1

-2

𝑎-1

}单调递增,

故数列{𝑎𝑎-1-2𝑎-1}的最大值为𝑎𝑎-2𝑎. ②设f(x)=2x(1-x),当x>0时,f'(x)=(ln2-1-xln2)2x<0. 所以f(x)单调递减, 从而f(x)当2≤n≤m时,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎-1𝑎-1=𝑎(𝑎-1)𝑎≤21𝑎(1-1𝑎)=f(1𝑎)<1.

因此,当2≤n≤m+1时,数列{𝑎𝑎-1

𝑎-1

}单调递减,

故数列{𝑎𝑎-1𝑎-1}的最小值为𝑎𝑎𝑎. 因此,d的取值范围为[𝑎1(𝑎𝑎-2)𝑎,𝑎1𝑎𝑎𝑎].

C组 教师专用题组 考点一 合情推理与演绎推理 1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远(单位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60

30秒跳绳(单位:次) 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65

在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )