质心与形心
考研数学曲线质心和形心的计算方法分析
考研数学：曲线质心和形心的计算方法分析来源：文都网校在考研数学一和数学二的考试大纲中，要求考生掌握一些定积分在物理方面的应用，包括会用定积分计算变力做功、引力、压力、质心和形心等，另外，对于数学一的考生，还要求会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些物理量，包括：计算物体的质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等，其中关于细棒和平面薄片、立体的质心和形心的计算，在一般高等数学教材和复习资料上都有相应的介绍，但对于曲线的质心和形心的计算，一般资料上都没有或很少介绍，有些同学对此感到有些困惑，为了帮助同学们了解这一点，下面文都网校的蔡老师对曲线的质心和形心的计算方法做些介绍，供大家参考。
一、曲线质心和形心的计算方法 1）平面曲线质心和形心计算公式：①设平面曲线L 的线密度为(,)x y ρ，则L 的质心(,)x y 为：(,)(,),(,)(,)LLLLx x y ds y x y ds x y x y ds x y dsρρρρ= =⎰⎰⎰⎰； 若密度(,)x y ρ为常数，则得曲线形心坐标为,LLLLxds yds x y ds ds= =⎰⎰⎰⎰。
②以参数方程形式表示的平面曲线的质心和形心计算公式：若曲线L 的参数方程为()()()x x t t y y t αβ=⎧ ≤≤⎨=⎩，则()[(),(()[(),(x t x t y t y t x t y t x y ββρρ==若密度(,)x y ρ为常数，则得曲线形心坐标为((x t y t x y ββ==。
2）空间曲线质心和形心计算公式：①设空间曲线Γ的线密度为(,,)x y z ρ，则Γ的质心(,,)x y z 为：(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)x x y z ds y x y z ds z x y z ds x y z x y z ds x y z ds x y z dsρρρρρρΓΓΓΓΓΓ= = =⎰⎰⎰⎰⎰⎰；若密度(,,)x y z ρ为常数，则得曲线形心坐标为,,xds yds zds x y z ds ds dsΓΓΓΓΓΓ= = =⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
平面图形的形心计算公式
平面图形的形心计算公式
形心的公式：
c=[∫a(ρdA)]、ρA=[∫a(dA)]、A=Sy、A
Yc=[∫a(ρydA)]、ρA=[∫a(ydA)]、A=S、A
质心的公式：
Rc=m1r1+m2r2+m3r3+。
∑m
形心：
面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的，而形
心是针对抽象几何体而言
的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。
质心：
质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心
不一定要在有重力场的系统中。
扩展资料：
质心:物体质量中心。
重心:物体重力中心。
重力G=mg,其中m是物体
质量,g为一常数。
重心和质心一般情况下是重合的。
判断形心的位置：
当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。
据此，可
以很方便的确定圆形、圆环形、正方形。
的形一个对称轴的截面，其形心
一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。
我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。
质心——精选推荐
质心mass，centre of质量中心或称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。
在一个N维空间中的质量中心，坐标系计算公式为：X表示某一坐标轴mi 表示物质系统中，某i质点的质量xi 表示物质系统中，某i质点的坐标。
质点系质量分布的平均位置。
质量中心的简称。
它同作用于质点系上的力系无关。
设n个质点组成的质点系，其各质点的质量分别为m1，m2，…，mn。
若用r1 ，r2，…，rn分别表示质点系中各质点相对某固定点的矢径，rc 表示质心的矢径，则有rc＝Image:质心１.jpgmiri ／Image:质心１.jpgmi。
当物体具有连续分布的质量时，质心C的矢径rc＝Image:质心２.jpgρrdτ／Image:质心２.jpgρdτ，式中ρ为体（或面、线）密度；dτ为相当于ρ的体（或面、线）元；积分在具有分布密度ρ的整个物质体（或面、线）上进行。
由牛顿运动定律或质点系的动量定理，可推导出质心运动定理：质心的运动和一个位于质心的质点的运动相同，该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平移到这一点后的矢量和。
由这个定理可推知：①质点系的内力不能影响质心的运动。
②若质点系所受外力的主矢始终为零，则其质心作匀速直线运动或保持静止状态。
③若作用于质点系上外力的主矢在某一轴上的投影始终为零，则质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
质点系的任何运动一般都可分解为质心的平动和相对于质心的运动。
质点系相对某一静止坐标系的动能等于质心的动能和质点系相对随质心作平动的参考系运动的动能之和。
质心位置在工程上有重要意义，例如要使起重机保持稳定，其质心位置应满足一定条件；飞机、轮船、车辆等的运动稳定性也与质心位置密切相关；此外，若高速转动飞轮的质心不在转动轴线上，则会引起剧烈振动而影响机器正常工作和寿命。
数学二质心和形心
数学中的二质心和形心是指两个点，它们具有一定的性质。
二质心：在平面内，若两个点$A$ 和$B$ 分别与另外两个点$C$ 和$D$ 连线，当连线$AC$ 和 $BD$ 上的质心坐标相等时，称 $AC$ 和 $BD$ 为二质心。
形心：在平面内，若两个点$A$ 和$B$ 分别与另外两个点$C$ 和$D$ 连线，当连线$AC$ 和 $BD$ 上的形心坐标相等时，称 $AC$ 和 $BD$ 为形心。
二质心和形心在数学中有着重要的意义，可以用来解决平面几何中的许多问题。
例如，可以用二质心来确定两个线段的平行关系，用形心来判断两个三角形是否共线。
形心的计算
形心的计算
形心计算是一种用来计算形状的方法，它可以帮助我们确定一个物体的形状轮廓。
形心计算常用于工程设计、建筑设计、物体检测等领域。
让我们来了解一下什么是形心。
形心是一个物体的质心或重心，它代表了物体的平均分布位置。
在二维空间中，形心可以通过计算物体的面积加权平均值来确定。
具体来说，我们可以将物体分割成许多小块，然后计算每个小块的面积和重心位置，最后将所有小块的面积加权平均值作为形心的位置。
形心计算在实际应用中非常有用。
例如，在建筑设计中，我们可以通过计算建筑物的形心来确定建筑物的重心位置，从而合理安排结构和材料的布局。
在物体检测中，形心计算可以帮助我们快速准确地识别物体的形状，从而实现自动化检测和分类。
形心计算的原理相对简单，但是实际应用中可能会遇到一些挑战。
例如，当物体形状复杂或不规则时，形心的计算可能变得困难。
此外，形心计算还可能受到噪声和误差的影响，需要进行适当的处理和校正。
总的来说，形心计算是一种用来计算形状轮廓的方法，它在工程设计、建筑设计和物体检测等领域有着广泛的应用。
通过计算物体的面积加权平均值，我们可以确定物体的形心位置，从而帮助我们进
行合理的设计和判断。
形心计算虽然简单，但在实际应用中可能会遇到一些挑战，需要进行适当的处理和校正。
希望通过形心计算的介绍，能够让读者对这一方法有所了解，并认识到它的重要性和应用价值。
材料力学 第2章 力系简化
而合力的作用点即平行力系的中心：
n
xC
lim
n
Fi xi
i 1 n
l
q( x) xdx
0 l
lim
n
i 1
Fi
0 q(x)dx
分布力对点A之矩
分布力包围的面积
结论：分布力的合力的大小等于分布力载荷图的面积，合
力的作用线通过载荷图的形心。
2.2 物体的重心、质心和形心
例2-5 如图所示，已知q、l, 求分布力对A点之矩。
2.2 物体的重心、质心和形心
xC
ΣFi xi ΣFi
，yC
ΣFi yi ΣFi
，zC
ΣFi zi ΣFi
3、平行力系中心的性质
平行力系的中心位置只与各平行力的大小和作用点的 位置有关，与平行力的方向无关。
2.2 物体的重心、质心和形心
二、物体的重心、质心和形心
1、重心
n个小体积ΔVi
坐标xi、yi、zi
（2）实验测定方法 悬挂法
称重法
l
A
C
B
xC G
FNB
二力平衡 两次悬挂
2.2 物体的重心、质心和形心
三、分布力
工程上存在大量分布力的情况，通常需要确定这些分布力
的合力的大小及其合力作用线的位置。对于图示的线分布力，
可以视为由无穷个集中力所构成的平行力系，
其合力的大小：FR
l
q ( x)dx
0
FP1 450kN，FP2 200kN
F1 300kN ，F2 70kN
求：
（1）力系向点 O 简化的结果；
（2）力系简化的最终结果。
2.1 力系简化
解：（1）确定简化中心为O点
高等数学求形心公式
高等数学求形心公式形心公式，又称为质心公式，是高等数学中一个重要而基础的概念和公式。
它在解决几何问题中起着重要的指导作用。
形心公式可以帮助我们求出一个平面图形（包括平面曲线、平面区域等）的形心坐标，从而对其进行分析和应用。
首先，让我们来了解什么是形心。
形心又称质心，是指一个平面图形所包含的所有点综合考虑后的一个代表点。
形心可以看作是平面图形的“重心”，它代表着整个图形的平衡点。
通过求解形心坐标，我们可以定量描述图形的位置、大小和形状等重要属性。
那么如何求解形心公式呢？对于一个平面图形，其形心坐标可以通过计算其各个点的坐标和其对应的权重（面积或长度）的乘积之和，并除以总的权重（总面积或总长度）来得到。
举个简单的例子，假设我们要求解一个平面区域ABC的形心。
我们可以先将该区域划分为无数个无限小的矩形，然后计算每个矩形的形心坐标和对应的权重（矩形面积），再将它们相加，并除以总的权重（总面积）来得到区域的形心坐标。
具体的计算方法如下：1.将区域ABC划分为无数个无限小的矩形，记作dA。
2.对每个矩形dA，计算其形心坐标（x,y）和对应的权重dA。
3.将每个矩形的形心坐标（x,y）乘以对应的权重dA，得到（xdA,ydA）。
4.将所有的（xdA,ydA）相加，得到总和（sum(xdA),sum(ydA)）。
5.将总和（sum(xdA),sum(ydA)）除以总的权重（总面积）来得到区域的形心坐标（x₀,y₀）。
通过以上计算步骤，我们可以求解出区域ABC的形心坐标（x₀,y₀）。
这个坐标可以直观地反映整个区域的位置和重心。
形心公式在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，可以通过求解物体的形心坐标来计算物体的重心和其它重要物理量。
在工程学中，可以通过形心公式来分析和设计各种结构和构件。
在地理学中，可以通过形心公式来研究地理区域的特征和变化规律等。
需要注意的是，在实际应用中，如果图形较为复杂，计算形心公式可能会变得非常复杂和繁琐。
工程力学形心计算公式
工程力学形心计算公式工程力学形心计算公式是工程力学中的一个重要概念，用来描述物体的形状和质量分布对于力的作用点的影响。
在工程中，形心计算公式被广泛应用于各种结构物和力学系统的分析与设计中。
形心，也被称为重心或质心，是一个物体所有质点所在位置的平均值，可以看作是物体的几何中心。
形心计算公式通过将物体划分为无限小的质点，然后计算这些质点的位置和质量对形心的贡献，从而得到整个物体的形心位置。
对于一个均匀物体，其形心可以通过几何的方法求解。
比如，对于一个均匀的平面图形，其形心可以通过对图形进行分割，然后计算每个小区域的形心位置，并根据每个小区域的面积加权平均得到。
同样地，对于一个均匀的立体物体，可以将其分割为无数个小体积，并根据每个小体积的位置和体积加权平均求得形心位置。
然而，在大多数实际工程问题中，物体的形状和质量分布往往并不均匀，因此需要使用形心计算公式来求解。
形心计算公式根据物体的几何形状和质量分布提供了计算形心位置的方法。
常见的形心计算公式包括：1. 平面图形的形心计算：对于一个平面图形，可以使用一些特定的公式来计算其形心位置。
比如，对于一个矩形，其形心位于中心点；对于一个三角形，其形心位于三条边的交点的重心位置。
2. 立体物体的形心计算：对于一个立体物体，可以将其分割为无数个小体积，并根据每个小体积的位置和体积加权平均求得形心位置。
具体的计算方法可以根据物体的几何形状和质量分布的特点来确定。
形心计算公式的应用非常广泛。
在建筑工程中，形心计算公式可以用来确定建筑结构的荷载传递和受力分析。
在机械工程中，形心计算公式可以用来确定机械零件的平衡位置和稳定性。
在航空航天工程中，形心计算公式可以用来确定飞行器的姿态控制和稳定性。
形心计算公式是工程力学中一个重要的概念，可以用来描述物体的形状和质量分布对于力的作用点的影响。
通过使用形心计算公式，工程师可以准确地计算物体的形心位置，为工程设计和分析提供有效的方法和工具。
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三者概念
质心：即质量中心，是物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。有质量的
物体就有质心。
重心：即重力作用中心，是假定该物体的重力都集中于该点。有地球引力的情况
下才有重心可言。
形心：物体的几何中心。有体积的物体就有形心。
2. 三者之间的关系
重力分布均匀时，即当物体的尺寸比地球半径小得多时，质心和重心重合。
物体密度分布均匀的时，质心和形心重合。
重力分布和物体密度分布都均匀时，三者重合。