2016-2017学年黑龙江哈师大附中高一上学期期中数学试卷

2016-2017学年哈师大附中高一上学期期中数学试卷考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上1．已知全集U R =，集合{|1}A x x =<，{|2}B x x =≥，则()UA B =（ ）A ．{|12}x x ≤<B ．{|12}x x <≤C ．{|1}x x ≥D ．{|2}x x ≤ 2．下列函数是偶函数并且在区间()0+∞，上是增函数的是（ ） A. 2y x -= B. 232y x x =++ C. ln y x = D. 3xy =3．不等式2601x x x +->+的解集为（ ） A ．{|21,x x -<<-或3}x > B ．{|31,x x -<<-或2}x > C ．{|3,x x <-或12}x -<< D ．{|3,x x <-或2}x > 4．函数211(0,x y aa -=+>且1)a ≠恒过定点（ ）A. ()01，B. ()1,2C. ()1,1a +D. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭5．下列各组函数中不表示．．．同一函数的是（ ） A.2()lg f x x =，()2lg g x x = B.()f x x =，()g x =C.()f x =，()g x =D. ()1f x x =+，11()11x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，，6．已知函数(1)1xf x x -=+，则函数()f x 的解析式为（ ） A.1()2x f x x +=+ B.()1xf x x =+C.1()x f x x -=D.1()2f x x =+ 7．已知0.32a =，2log 0.3b =，20.3c =，则（ ） A ．c b a << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<8．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，则函数()()(1)2xg x f f x =+-的定义域为（ ） A. ()2,0- B. ()2,2- C. ()02， D. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭9．已知)(x f 为定义在实数集R 上的奇函数，且在区间(0,＋∞)上是增函数，又)2(f ＝0，则不等式()0x f x <的解集是（ ） A ．(2,0)(2,)-+∞ B ．(,2)(0,2)-∞- C ．(2)(2,)-∞-+∞， D ．(2,0)(0,2)-10．函数2()lg(43)f x x x =-+的单调递增区间为（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,2)-∞ C ．(3,)+∞ D ．(2,)+∞ 11．函数1()ln()f x x x=-的图象是（ ）12．定义函数(),y f x x D =∈，若存在常数C ，对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使12()+()2f x f x C =,则称函数()f x 在D 上的“均值”为C ，已知[]2()log ,2,8f x x x =∈，则函数()f x 在[]28，上的“均值”为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 413．已知函数21,2(2)2,2x x x f x x -⎧+>⎪-=⎨≤⎪⎩，则(1)f = ．14．函数()f x 的值域为 ． 15．已知关于x 的方程|2|1xa -=有两个不相等的实数解，则实数a 的取值围是 ．16．已知函数(31()ln 1x x e f x x e +=++在区间[],(0)k k k ->上的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M ．17．计算：13341log 2log 27+2(lg lg 8⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.18．已知集合203x A x x ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2230B x x x =--<，{}2(21)(1)0C x x a x a a =-+++<.(Ⅰ)求集合,A B 及A B ；(Ⅱ)若()C AB ⊆,数a 的取值围.19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()21xf x =-. (Ⅰ)求(3)(1)f f +-； (Ⅱ)求()f x 在R 上的解析式； (Ⅲ)求不等式7()3f x -≤≤的解集.20．已知函数4()2x xaf x -=是奇函数．(Ⅰ)数a 的值；(Ⅱ)用定义证明函数()f x 在R 上的单调性；(Ⅲ)若对任意的x R ∈，不等式22()(2)0f x x f x k -+->恒成立，数k 的取值围． 21．已知二次函数2()f x x bx c =++，且(3)(1),(0)0f f f -==. (Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)若函数2)24()()(++-=x a x f x g ，[]2,1∈x ，求函数)(x g 的最值． 22．已知2()log f x x =,当点(,)M x y 在()y f x =的图象上运动时，点(2,)N x ny -在函数()n y g x =的图象上运动(n N *∈). (Ⅰ)求1()y g x =和2()y g x =的表达式；(Ⅱ)已知关于x 的方程12()(2)g x g x a =-+有实根，数a 的取值围；(Ⅲ)设()1()2n g x n H x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,函数11()()()(0)F x H x g x a x b =-<≤≤的值域为22log ⎡⎢⎣⎦，数,a b 的值.参考答案1．A 【解析】试题分析：由已知{}|12A B x x x =<≥或，则(){}|12RA B x x =≤<.故选A.考点：集合的运算. 2．D 【解析】试题分析：函数2y x -=在()0+∞，上是减函数，函数232y x x =++是既不是偶函数也不是奇函数，函数ln y x =是既不是偶函数也不是奇函数，函数3xy =是偶函数，且在()0+∞，上是增函数.故选D.考点：函数的奇偶性、单调性. 3．B 【解析】试题分析：不等式()()()()()226061021301x x x x x x x x x +->⇒+-+>⇒-++>+，则相应方程的根为3,1,2--，由穿针法可得原不等式的解为{|31,x x -<<-或2}x >.故选B.考点：分式不等式的解.【方法点晴】此题主要考查高次分式不等解的有关方面的知识，属于中低档题型.在解决此类问题的过程中，往往需要将分式等价转换为整式不等式，再通过因式分解，将整式进行分解为若干因式（一般有三个或三个以上），求出对应方程的根（一般有三个或三个以上），并在数轴上把所得的根对应的点标出来，再根据不等号方向，选出符合不等式的未知的围，常称此法为“穿针法”. 4．D 【解析】试题分析：由指数函数xy a =恒过定点()0,1，则210x -=，12x =，012y a =+=.故选D.考点：指数函数的性质. 5．C 【解析】试题分析：选项A 中2()2lg lg g x x x ==，则()f x 与()g x 相同；选项B 中()g x x ==，则()f x 与()g x 相同；选项C 中函数()f x =(][),22,-∞-+∞，函数()g x =[)202,20x x x +≥⎧⇒∈+∞⎨-≥⎩，则()f x 与()g x 不同；选项D中1,1()11,1x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩，则()f x 与()g x 相同.故选C.考点：函数的三要素. 6．A 【解析】试题分析:令1x t -=，则1x t =+，所以()1(1)12x t f x f t x t +-=⇒=++，即1()2x f x x +=+.故选A.考点：函数的解析式. 7．B 【解析】试题分析：由00.322<，则1a >；由22log 0.3log 10<=，则0b <；由2000.30.3<<，则01c <<；所以10a c b >>>>.故选B. 考点：函数单调性的应用. 8．C 【解析】试题分析：由题意得221102202111x x x x x ⎧-<<-<<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨<<⎩⎪-<-<⎩.故选C. 考点：函数的定义域.9．D 【解析】试题分析：由题意可知，函数)(x f 在(),0-∞上亦为增函数，且()()220f f -=-=，所以当()(),20,2x ∈-∞-时，()0f x <，当()()2,02,x ∈-+∞时，()0f x >，因此不等式()0x f x <的解集为(2,0)(0,2)-.故选D.考点：函数性质在解不等式中的应用. 10．C 【解析】试题分析：由题意知，函数()lg 0y x x =>为增函数，函数243y x x =-+在()2,+∞上为增函数，因此23,1430322x x x x x x x ⎧><⎧-+>⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎩或.故选C. 考点：复合函数的单调性.11．B 【解析】试题分析：函数1()ln()f x x x=-既不是奇函数也不是偶函数，排除D ，由10101x x x x->⇒-<<>或，排除A ，由当()211100x x x x x x x ->⇒-->⇒<<>或()0f x >，排除C.故选B.考点：函数性质与图象.【思路点晴】此题主要考查有关函数性质与图象等方面的知识与技能，属于中档题型.在解决此类问题的过程中，一般所给函数解析式相对复杂，需要通过研究函数的单调性、奇偶性、值域以及特殊点等方面进行判断，函数的值域可以判断函数图象位置，单调性可以了解函数的发展趋势，奇偶性可以判断图象是否具有对称性，而特殊点是判断函数值正负等的快捷手段. 12．B 【解析】试题分析：因为过点()22,log 2，()28,log 8的中点的纵坐标为22log 2log 822+=，所以对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得1222()+()log 2log 8222f x f x +==，所以均值2C =.故选B.考点：函数的对称性. 【方法点晴】此题主要考查新概念题型中关于函数对称性问题的有关方面的知识与技能，以及学生的应变能力，属于中高档题型.在解决问题的过程中，根据题目定义，计算区间两个端点的函数值，即点()22,log 2，()28,log 8，计算它们中点的纵坐标22log 2log 822+=，所以根据题意，由函数的对称性，易知对任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得1222()+()log 2log 8222f x f x +==，从而问题得解.13．10【解析】试题分析：由已知，令21x -=，则3x =，由于32>，故()211310f =+=.考点：分段函数. 14．[)1,1- 【解析】试题分析： 由题意得()1f x =，因为0≥，则02<≤，即111-≤<，故所求函数的值域为[)1,1-. 考点：分式函数的值域. 15．()1,+∞【解析】试题分析：由已知，“关于x 的方程21x a -=有两个不相等的实数解”等价于“2x y a =-的图象和直线1y =有2个交点”，当0a ≤时，22x x y a a =-=-，在R 上单调递增，不满足条件，故0a >；当x 趋于+∞时，2x y a =-的值趋于+∞，当x 趋于-∞时，2x y a =-的值趋于0a a -=，故有1a >，则实数a 的取值围为()1,+∞.考点：方程根的存在性及个数判断. 【方法点晴】此题主要考查含参数方程根的存在性及根的个数判断等有关方面的知识和技能，属于中档题型.在解决此类问题过程中，常将“方程根的个数”转化为“两个函数图象交点的个数”来进行判断，这其中常伴有数形结合法，通过平移、对称、翻折等手段画出所给函数的图象，再根据题目要求，找到两函数图象交点个数的位置，从而得到所求参数的取围，达到解决问题的目的. 16．4 【解析】试题分析：由((312()ln ln 311x x x e f x x x e e +=++=++-++，则易知函数()f x 在R 上为单调递增，所以()(2ln 31k M f k k e ==+-+，()(2ln 31k m f k k e -==-+-+，故()()11ln16262411x k M m f k f k e e -⎛⎫+=+-=+-+=-= ⎪++⎝⎭.考点：函数的单调性、最值的应用.【方法点晴】此题主要考查函数单调性在求函数最值中应用的有关方面的知识和技能，属于中高档题型.在解决此类问题过程中，根据题意对函数的解析式进行整理化简，接着对函数的单调性进行判断求证，在判断函数的单调性中，常借助基本初等函数（比如指数函数、对数函数等）的单调性进行判断，再由题目所给区间分别计算函数的最大值与最小值，从而问题可得解.17．0． 【解析】试题分析：根据题意，由分数指数幂的定义，以及对数运算的性质进行计算化简即可.由分数指数幂的定义得1113333311118222⨯⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由对数运算性质可得233432log 2log 27log 2log 3⨯=⨯3233log 2log 322=⨯=，(112lg 2lg 2lg 5lg 2lg 5122⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，故原式131022=-+=.试题解析：13341log 2log 27+28⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭（ 3213log 2log 3+lg1022=-⨯ …… 5分 13+122=- 0= …… 10分考点：1.分数指数幂的定义；2.对数运算性质. 18．(Ⅰ)(]3,2A =-，()1,3B =-,()3,3A B =-；（Ⅱ）11a -≤≤. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，根据分式不等式、二次不等式的解法解得集合(]3,2A =-，集合()1,3B =-，再根据集合并集的运算性质，可得()3,3A B =-；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得(]1,2A B =-，又根据二次不等式的解法得{}1C x a x a =<<+，由题意()C A B ⊆，即集合C 是集合AB 的子集，()(],11,2a a +⊂-，从而可得112a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解之得11a -≤≤.试题解析：（Ⅰ）203xx-≥+， 32x ∴-<≤，(]3,2A ∴=-， …… 2分2230x x --<， 13x ∴-<<，()1,3B ∴=- …… 4分()3,3A B ∴=- …… 6分(Ⅱ) (]1,2AB =-， ……8分且由2(21)(1)0x a x a a -+++<，()()10x a x a ∴---<，{}1C x a x a =<<+，…… 10分()C A B ⊆，112a a ≥-⎧∴⎨+≤⎩11a ∴-≤≤ …… 12分考点：1.分式不等式、二次不等式的解；2.集合的运算.19．（Ⅰ）6；（Ⅱ）()21,021,0xx x f x x -⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩；（Ⅲ）[]3,2-.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，根据奇函数的定义可得()()111211f f -=-=-+=-，又()33217f =-=，所以()()31716f f +-=-=；（Ⅱ）由已知，根据奇函数的定义可求得函数的解析式，取0x <，则0x ->，所以()21xf x --=-，()21x f x --=-，即()21xf x -=-+，因此()21,021,0xxx f x x -⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩；（Ⅲ）由分段函数分段讨论进行求解，①当0x <时, 7213,228xx ---≤-+≤∴-≤≤,且0x <,30x ∴-≤<；②当0x ≥时,7213,624,x x -≤-≤∴-≤≤且0x ≥,02x ∴≤≤.从而可得解.试题解析：（Ⅰ) (3)(1)(3)(1)716f f f f +-=-=-= …… 2分 (Ⅱ)当0x <时,()()()2121x x f x f x --=--=--=-+， …… 4分21,0()21,0xxx f x x -⎧-+<⎪∴=⎨-≥⎪⎩. …… 6分 （Ⅲ）①当0x <时, 7213,228xx ---≤-+≤∴-≤≤,且0x <,30x ∴-≤<. (8)分②当0x ≥时, 7213,624,x x-≤-≤∴-≤≤且0x ≥,02x ∴≤≤. …… 10分 综上：解集为[]3,2-. …… 12分考点：1.函数奇偶性的应用；2.分段函数与不等式问题. 20．（Ⅰ）1；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）112k <-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，函数()f x 是R 上的奇函数，则有(0)0f =，从而可解得1a =；（Ⅱ）用定义法证明函数单调性的步骤为：①取值，根据定义域（或指定的区域）任取12,(,)x x ∈-∞+∞，且12x x <；②作差（或作商），12()()f x f x -，对其式子进行化简整理；③判断符号，即12()()f x f x <，或12()()f x f x >；④下结论；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知函数()f x 是奇函数，且在R 上单调递增，则22()(2)0f x x f x k -+->，等价于22()(2)f x x f k x ->-，即222x x k x ->-，再分离参数得23k x x <-，由不等式恒成立问题，从而可得解.试题解析：（Ⅰ)∵函数()f x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，∴(0)0f =，解得1a = 此时()22xxf x -=-，满足()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数．∴1a =． …… 4分(Ⅱ) 任取12,(,)x x ∈-∞+∞，且12x x <，则1222x x<，1211()()22x x >，于是12122112121111()()2222()()02222x x x x x x x x f x f x -=--+=-+-< 即12()()f x f x <，故函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数． …… 8分 （Ⅲ）由22()(2)f x x f x k ->--及()f x 是奇函数，知22()(2)f x x f k x ->- 又由()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，得222x x k x ->-，即23k x x <-对任意的x R ∈恒成立 ∵当16x =时，23x x -取最小值112-，∴112k <- …… 12分 考点：1.函数性质的应用；2.含参量不等式的解.21．（Ⅰ）2()2f x x x =+；（Ⅱ）当0a ≤时，min ()12g x a =-，max ()24g x a =-，当102a <<时， 2min ()21g x a a =--+，max ()24g x a =-，当12a =时，min 17()4g x =-，max ()2g x =-，当112a <<时， 2min ()21g x a a =--+，max ()12g x a =-，当1a ≥时，min ()24g x a =-，max ()12g x a =-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，建立方程组()()()31931000f f b c b cc f -=⎧-+=++⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，从而可得解；（Ⅱ）根据题意可得2()()(42)2(22)2g x f x a x x a x =-++=-++，则此函数的对称轴为1x a =+，又[]2,1∈x ，因此需要对其对称轴1x a =+与区间[]1,2的位置进行分类讨论：①11a +≤；②3112a <+<；③31=2a +；④3122a <+<；⑤12a +≥.从而可得解.试题解析：(Ⅰ)(0)00f c =∴=， (3)(1),931,2f f b b b -=∴-=+∴=，2()2f x x x ∴=+… 4分(Ⅱ) 2()()(42)2(22)2g x f x a x x a x =-++=-++，[]2,1∈x①当11a +≤时，即0a ≤时，当1x =时min ()12g x a =-，当2x =时max ()24g x a =-；…… 6分②当3112a <+<时，即102a <<时，当1x a =+时2min ()21g x a a =--+， 当2x =时max ()24g x a =-； …… 8分③当31=2a +时，即12a =时，当32x =时min 17()4g x =-，当1x =或2时max ()2g x =-； ④当3122a <+<时，即112a <<时，当1x a =+时2min ()21g x a a =--+，当1x =时max ()12g x a =-； …… 10分⑤当12a +≥时，即1a ≥时，当2x =时min ()24g x a =-，当1x =时max ()12g x a =-. …… 12分考点：1.求二次函数的解析式；2.求含参变量函数的最值问题. 【方法点晴】此题主要考查建立方程组求二次函数的解析式，以及求含参变量的二次函数最值的有关方面知识技能，属于中高档题型.在求函数的解析式中，常用方程法进行求解，即根据题目所给条件，列出关于解析式参数的方程组，通过解析方程组，得到参数的值，从而可求得函数的解析式；在解决含参数的二次函数的最值问题中，需要对二次函数对称轴与所求区间的位置进行分类讨论，两者位置的不同，二次函数的最值就不同，这是含参数二次函数求最值的一个特点，也是常考点.22．（Ⅰ）()12()log +2 2g x x x =>-（），()22()2log +2 2g x x x =>-（）；（Ⅱ）94a ≤；（Ⅲ）23a b =⎧⎨=⎩.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，联立()()2n y f x ny g x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，从而可得解.由()()12y f x y g x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，得12(2)()log g x f x x -==，从而可得()12()log +22g x x x =>-（），同理可求得()22()2log +22g x x x =>-（）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()1222()(2)log 22log g x g x a x x a =-+⇒+=+，(20)x a x =++>，分离参数得a x =-+，再由换元法求二次函数的最值，从而问题可得解；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可求得函数()F x 的解析式，并对函数()F x 的单调性进行判断，利用函数单调性求函数的最值，由题意，可建立关于,a b 的方程组()()22log 2log2F a a F b b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，从而可得解.试题解析：(Ⅰ)由1()(2)y f x y g x =⎧⎨=-⎩得，12(2)()log g x f x x -==()12()log +22g x x x ∴=>-（）. …… 2分 由2()2(2)y f x y g x =⎧⎨=-⎩得，22(2)2()2log g x f x x -==()22()2log +22g x x x ∴=>-（）. …… 4分 (Ⅱ)方程22log +2=2log ()x x a +（）(20)x a x =++>， 分离a得a x =-+…… 6分22199(0),2()244t t a t t t =>∴=-++=--+≤ 94a ∴≤ …… 8分 (Ⅲ)2log (2)111()22x H x x +⎛⎫==⎪+⎝⎭，21()log (2)2F x x x ∴=-++下面证明()F x 在()2-∞，+上是减函数 任取122x x -<<，则()2111221222()()log 222x x x F x F x x x x -+-=-+++（）()211212220,log 0222x x x x x x -+><+++（）12()()F x F x ∴>即()F x 在()2-∞，+上递减，故在()F x 在[],a b 上递减 …… 10分22()log2()log 2Fa a Fb b ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩，即22221log (2)log 221log (2)log 22a a a b b b ⎧-+=⎪⎪++⎨⎪-+=⎪++⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩， 故23a b =⎧⎨=⎩. …… 12分考点：1.新概念函数解析式的求解；2.求关于方程中参量的围；3.利用函数性质求参量的值. 【方法点晴】此题意主要考查新概环境下念函数解析式的求解、函数性质在含变量方程中求参变量取值围中的应用、利用函数性质求参变量的值等有关方面的知识、技能，属于高档题型.在新概念题目中，要根据题中所给的条件环境对问题进行求解，主要考查学生的适应能力和应变能力；在求有关参变量的方程、函数解析式、不等式等问题中，常用分离法将参变量与未知数分开等式（或不等式）的两边，再结合函数的性质、等式（或不等式）恒成立问题等，进行求解.。