抛物线三角形面积求法
探究抛物线中三角形面积求法
★探究抛物线中三角形面积求法OK 1.欢迎指导2、3、4、5、6、7、8、9、10.感谢各位专家和老师11.谢谢指导 12、冲向中考：答案（1）y=-21x 2+25x-2 ；(2)设D(m ，-0.5m 2+2.5m-2)，作DH ⊥OX 轴于点H 则①当0≤m ≤1时S △DCA =-m 2+4m(=S △OAC －S △DHC －S 梯形OADH )；②当1≤m ≤4时S △DCA =-m 2+4m(=S △OAC －S △DHC +S 梯形OADH )；当m=2时S △DCA 最大=4；此时D(2,1) 13、解：由y=2x 及y=x 2-2x+3解得x=1,y=2及x=3,y=6.∴A(1,2)，B(3,6)又C(0,3)，分别作AH ⊥OX,BM ⊥OX 于H,M 点，S △ABC ==S 梯形OCBM - S 梯形OCAH -S 梯形HABM =227-25-8=314、15、16、Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上。
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。
（2）有一点D坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC与点E。
①当△BDE是等腰三角形时，求此时E点坐标。
（要过程）②又连接CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时P点的坐标；若没有，请说明理由；解（1）∵△ABC为Rt△∴∠1＋∠2=90°又由ox⊥oy∴∠1＋∠3=90°∴∠1=∠3在△AOC △ACB中∠1=∠1，∠2=∠3∴△AOC∽△ACB∴OA:AC=OC:BC=AC:AB∴AC2=5OA又在Rt△AOC中OA2+OC2=AC2∴OA2+4=5OA∴OA2-5OA +4=0∴OA=4或OA=1∵OA＜OB∴A(-1,0),B(4,0) ∴OA=1，OB=4。
高中抛物线三角形面积公式
高中抛物线三角形面积公式高中数学中，抛物线是一个常见的曲线类型。
而抛物线的一个重要性质是，它可以被用来构造出一个三角形，其面积可以通过一个简单的公式来计算。
我们需要了解抛物线的基本概念。
抛物线是一个平面曲线，其形状类似于一个开口向上或向下的碗。
它可以由一个二次方程来描述，即y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，x和y是抛物线上的点的坐标。
接下来，我们来看看如何构造一个抛物线三角形。
首先，在抛物线上任选三个点，将它们连接起来，就可以得到一个三角形。
这个三角形的一个顶点是抛物线的顶点，而另外两个顶点则是我们任选的两个点。
接着，我们来看看如何计算这个三角形的面积。
首先，我们需要求出三角形的底边长和高。
底边长可以通过两个顶点的横坐标之差来计算，而高则是从三角形的顶点到底边的垂直距离。
具体来说，我们可以先求出三角形的底边长b，即b=x2-x1，其中x1和x2分别是任选的两个点的横坐标。
接着，我们需要求出三角形的高h。
由于三角形的顶点在抛物线上，因此我们可以通过求出抛物线在顶点处的切线来得到高的长度。
在这里，我们就需要用到一些微积分的知识。
我们可以先求出抛物线在顶点处的导数，即y'=2ax+b。
由于导数表示的是曲线在某一点处的斜率，因此我们可以用这个导数来求出抛物线在顶点处的切线的斜率。
接着，我们可以得到这条切线的方程，即y=2ax0+b，其中x0是抛物线的顶点的横坐标。
我们可以求出这条切线与底边的交点的纵坐标，即三角形的高h。
具体来说，我们可以将这条切线的方程代入三角形底边的方程中，得到一个二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以得到这条切线与底边的交点的纵坐标y0。
因此，三角形的面积可以通过公式S=1/2bh来计算，其中b是底边长，h是三角形的高。
需要注意的是，由于抛物线的形状类似于一个碗，因此在选取三个点构成三角形时，我们需要保证这个三角形是有意义的。
具体来说，三个点应该按照从左到右或从右到左的顺序排列，这样才能够构成一个有意义的三角形。
抛物线焦点三角形面积公式及推导
抛物线焦点三角形面积公式及推导抛物线焦点三角形是指以一条抛物线为边的三角形，其中焦点为顶点，两边切线交于顶点的角度相等。
根据抛物线的特性，可知：在抛物线上，任一点P到焦点F距离的平方等于点P到直线l（抛物线的准线）的距离，即PF²=PL²。
因此，可以推导出抛物线焦点三角形面积的公式为：
S=1/2*AF*BF*sin(θ)
其中，A、B为三角形的底边两个顶点，F为顶点，θ为底边两条切线夹角的一半。
推导过程如下：
由于具体证明的过程较为复杂，此处不再赘述，请有兴趣的读者自行查询相关资料。
总之，通过上述公式，就可以求解出抛物线焦点三角形的面积了。
二次函数应用抛物线与三角形的面积
抛物线与三角形的面积
已知抛物线:
y
2 3
x
2
4 3
x
2
(1)求抛物线与坐标轴交点坐标及顶点坐标;
(2)画出抛物线的草图;
(3)设抛物线与x轴交于A、B两点，
y
与y轴交于C点，顶点为D。 求：①△DAB和△CAB的面积；
②四边形ABCD的面积；
D
C
A
B
O
x
③ △ACD的面积；
抛物线与3
x2
4x2 3
(4)求直线AC的解析式；
（5）抛物线上有一动点P在直线AC上方，
问：是否存在一点P，使△PAC的面积
y
最大，若存在，求P点坐标； 若不存在，请说明理由。
D C
A
B
O
x
（6）求△PAC的最大面积。
练习：
已知二次函数 y x2 2x 3 的图像与x轴交于A、 B两点，在x轴上方的抛物线上是否存在一点C， 使△ABC的面积为10，若存在求出C点坐标； 若不存在，请说明理由。
抛物线与三角形的面积
• 抛物线与三角形面积相结合的问题涉及代数、 几何的许多定理、公式，有一定的难度，近年 来的中考试题中，经常出现抛物线与三角形面 积结合的综合题，以考查学生的综合运用所学 知识解决问题的能力。
●这节课我们共同来探索一下顶点都在抛物线
y ax2 bx c 上的三角形面积的求法。
例谈抛物线中三角形面积最值问题的解法
知识导航三角形面积的最值问题一般比较简单，但抛物线中的三角形面积最值问题却较为复杂，这类三角形的面积常与动点的坐标有关，因而此类问题的难度一般较大.解题时需灵活运用平面几何知识、函数的图象和性质、基本不等式、三角形的性质和面积公式、抛物线的定义和性质等知识.那么，如何解答此类问题呢？一般可运用构造法和分割法来求解.下面我们结合实例来进行探讨.一、构造法构造法是指通过添加辅助线，构造出三角形的底或高，以能直接利用三角形的面积公式求得问题的答案.通常，可过三角形的一个顶点作x 轴或y 轴的垂线，使其与三角形的一条边相交，从而确定三角形的底或高，这样就可以根据三角形的面积公式进行计算了.例1.如图1所示，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为（-3，-4），线段OB 绕原点逆时针旋转后与x 轴的正半轴重合，点B 的对应点为A ，如果点P 是抛物线上的一个动点且在x 轴的上方，当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？解析：由于点P 是抛物线上的一个动点，所以我们无法确定△PAB 的形状，也就无法确定三角形的高和底，不能直接利用三角形的面积公式来求解，需要构造出三角形的高和底.可过点P 作PE 垂直x 轴交AB 于点E ，则S △ABP =S △APE +S △BPE ，此时△APE 的底为PE ，高为A 到PE 的距离；△BPE 的底为PE ，高为B 到PE 的距离，而A 、B 到PE 的距离之和为A 、B 的横坐标之差.当|PE |最大时，△PAB 的面积最大.借助两点间的距离公式和二次函数的性质便可顺利求得△PAB 面积的最值.解：过P 点作PE ⊥x 轴交AB 于点E ，如图1所示，设点P 坐标为(m ，-16m 2+56m )，可得到点E 的坐标为（m ，-12m -52）.所以S △ABP =S △APE +S △BPE =12|PE |×8=4|PE |=4×(-16m 2+56m -12m +52)=-23m 2+43m +10，当m =-b 2a=1，S △ABP 取最大值，即S △ABP =（43）2-4×(-23)×104×(-23)=323.所以，当P 点坐标为（1，23）时，S △ABP 取最大值，且最大面积是323.一般地，当三角形底边的长为定值时，三角形的高与面积成正比，高越大其面积越大，只要求得高的最大值，便可求得面积的最大值.二、分割法当求三角形的面积遇到困难时，我们可以运用分割法，将三角形分割为两个或者两个以上的简单几何图形，借助简单几何图形的面积公式求得三角形的面积.当求抛物线中三角形面积的最值时，我们也可以将三角形分割为几个小三角形、平行四边形、梯形等，然后分别利用三角形、平行四边形、梯形面积公式求出各图形的面积，最后综合所得的结果即可求得三角形面积的表达式，借助函数的性质、基本不等式来求得最值.例2.如图2，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与直线相交于A （-1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ，若点P 是该抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，试求△APC 面积的最大值.解：，如图2，过点P 作PQ 垂直x 轴于点H ，交AC 于点Q ，过点C 作CG 垂直x 轴于点G .设Q （x ,x +1），则P （x ,-x 2+2x +3），则S △APC =S △APE +S 直角梯形PHGC -S △AGC=12(x +1)(-x 2+2x +3)+12(-x 2+2x +3)(2-x )-12×3×3=-32(x -12)2+278所以△APC 面积的最大值为278.由于点P 是该抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，所以我们无法确定△APC 的形状，可以采用分割法来求解.将△APC 分割成两个小三角形△APE 、△AGC 和一个直角梯形形PHGC ，从而把三角形分割成几个规则的简单几何图形，运用三角形的面积公式和梯形的面积公式便可快速求得△APC 面积的表达式，将其视为关于x 的二次函数，借助二次函数的性质就能求得△APC 面积的最大值.总之，同学们在解答抛物线中三角形面积最值问题时，可根据三角形的特点和已知条件合理添加辅助线，构造出三角形的底或高，也可以将三角形分割为几个简单的几何图形，借助简单几何图形的面积公式来求解.在求得三角形面积的表达式后，可借助函数的性质或基本不等式来求得最值.（作者单位：江苏省盐城中学）陈巧巧图1图238。
抛物线焦点弦三角形的面积(抛物线的弦相关的问题)
抛物线焦点弦三角形的面积本内容主要研究抛物线焦点弦三角形的面积.以抛物线的顶点及其焦点弦的两个端点为顶点的三角形，称为抛物线的焦点弦三角形.给出三种抛物线焦点弦三角形的面积公式，根据已知条件合理选择.例：过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为( ) A.22 B.2 C.322 D.22解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0),因为|AF |=3,所以x 1+1=3,x 1=2,代入抛物线方程得122y =,故A (2,22),所以直线AB 的方程为22(1)=-y x ,由22220,4x y y x⎧--=⎪⎨=⎪⎩得2240y --=. 所以122y y +y 1y 2=－4,则22121219||1()[()4]222AB y y y y ⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦.又可求得圆点O 到直线AB 的距离为223,故△AOB 的面积为1922322222S =⨯⨯=.[一题多解]设∠AFx =θ(0<θ<π)及|BF |=m ,则点A 到准线l :x =－1的距离为3,得1323cos cos 3θθ=+⇔=,又 232cos()1cos 2,=+π-⇔===+m m BF m m θθ,△AOB 的面积为113||||sin 1(3)22233S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=. 答案：C注意：前法是解决此类问题的通法,一般通过求弦长和点到直线的距离进行求解,后法则有一定的技巧性.整理：B AOF过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,且11(,)A x y ，22(,)B x y ，O 为坐标原点.则△AOB 的面积为(1)121||||2S OF y y =⨯⨯-=; (2) 1||2=⨯⨯S AB d ,d 为点O 到直线AB 的距离; (3)11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅其中∠AFx =θ(0<θ<π).再看一个例题：例：设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0), ∠AFx =60°所以直线AB 的方程为3(1)=-y x ,由23(1),4⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x得231020-+=x x . 所以12103x x +=,则1216||3AB x x p =++=. 又11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅ 故△AOB 的面积为116341=32323∆=⨯⨯⨯OAB S总结：1.根据已知条件合理选择我三种抛物线焦点弦三角形的面积公式.2.掌握抛物线的焦点弦长计算方法.练习：1.已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ,焦点为F (1,0),经过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点.(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程;(Ⅱ)若△AOB 的面积为4,求|AB |.2. 设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )C.6332D.943. 已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,过点A 作准线l 的垂线,垂足为E ,当A 点坐标为(3,y 0)时,△AEF 为正三角形,则此时△OAB 的面积为( )A.4C.3D.3。
抛物线之三角形面积最大技巧讲义
抛物线之三角形面积最大技巧讲义抛物线是一种常见的二次曲线，定义为平面上所有与固定点（焦点）F和直线（准线）L的距离之比等于1的点的集合。
抛物线具有非常特殊的形状，常常在几何问题中发挥重要作用。
其中一个有趣的问题是找出以抛物线为一边的三角形面积最大值。
在这篇文章中，我将为您提供关于如何解决这个问题的技巧说明。
首先，让我们考虑一个一般的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c。
为了简化问题，我们可以假设抛物线的焦点位于原点（0，0），并且准线为 x 轴。
这将使我们的抛物线方程变为 y = ax^现在，让我们将三角形的底边设置在x轴上，其中顶点位于抛物线上。
我们将抛物线上顶点的坐标设为(x,y)。
则三角形的底边长度为2x。
我们的目标是找出使得三角形面积最大的顶点坐标(x,y)。
要解决这个问题，我们可以利用简单的几何原理和微积分的知识。
让我们逐步进行推导。
首先，我们知道三角形的面积可以通过底边长度和高度的乘积除以2来计算。
因此，我们需要找到高度。
现在，考虑到我们的抛物线方程是 y = ax^2，我们可以通过将 x 代入来计算 y 的值。
我们得到顶点坐标为 (x, ax^2)。
接下来，我们计算三角形的高度。
我们可以使用两个点之间的距离公式。
通过这个公式，我们可以得到三角形的高度 h等于抛物线上的点到x 轴的垂直距离。
这个垂直距离等于抛物线方程中的 y 值。
因此，我们的高度 h等于 ax^2现在，我们知道三角形的底边长度为 2x，高度为 ax^2、我们可以使用这些值计算三角形的面积。
根据面积公式，我们有：面积=底边长度*高度/2= 2x * ax^2 / 2= ax^3至此，我们得到了三角形面积的关于x的表达式。
要找到最大面积，我们需要找到其中的最大值。
为了找到最大值，我们可以对面积函数求导，并将导数设为零。
这将给出使面积最大的x值。
对面积函数 ax^3 求导，我们得到导数为 3ax^2、令导数等于零，我们有：3ax^2 = 0由于我们在问题的假设下，a不等于零，所以唯一的解是x=0。
初中抛物线求三角形面积乐乐课堂
初中抛物线求三角形面积乐乐课堂导语：今天乐乐课堂为大家带来了一个有趣又实用的数学知识——初中抛物线求三角形面积。
抛物线是一个经典的曲线，在几何学和物理学中有着广泛的应用。
学习如何通过抛物线求三角形面积不仅能加深对抛物线性质的理解，还能拓展数学思维，培养创造解题方法的能力。
让我们一起来探索这个有趣的数学问题吧！一、抛物线的定义和性质抛物线是由平面上的一条直线与一个定点相互关联形成的图形。
这个定点称为焦点，与这条直线上的各点到焦点的距离相等。
抛物线的形状特点是左右对称，上半部分比下半部分开口大或开口小。
二、求抛物线与直线的交点1. 联立方程我们可以通过联立抛物线和直线所对应的方程，求得它们的交点坐标。
假设抛物线的方程为f(x)=ax^2+bx+c，直线的方程为y=mx+n，其中a、b、c、m、n为已知常数。
联立这两个方程，得到二次方程ax^2+bx+c=mx+n，化简为ax^2+(b-m)x+(c-n)=0。
2. 求交点坐标利用求解二次方程的方法，我们可以得到交点的x坐标。
再将x坐标代入抛物线方程中，即可得到交点的y坐标。
这样就求得抛物线与直线的交点坐标。
三、求三角形面积的步骤1. 求焦点坐标通过抛物线方程的形式可以得到焦点的坐标。
如果抛物线的方程为f(x)=ax^2+bx+c，在求交点的过程中已经得到了焦点坐标。
2. 确定三个交点由于抛物线是左右对称的，所以交点可以确定为两个。
将焦点的坐标设为F(a,b)，已知交点的横坐标为x1、x2，则交点的坐标为A(x1,y1)和B(x2,y2)。
3. 求三角形面积利用向量的方法可以求得三角形的面积。
设向量AB=a，向量AF=b，向量BF=c，则三角形的面积可以表示为|a×b|/2，其中×表示叉乘。
四、实例演练为了更好地理解如何利用初中抛物线求三角形面积，我们来看一个实际的例子。
例题：已知抛物线y=x^2与直线y=2x+1相交于A、B两点，求三角形OAB的面积。
抛物线焦点三角形面积公式
抛物线焦点三角形面积公式
抛物线焦点三角形面积公式：
1、抛物线焦点三角形的基本概念：抛物线焦点三角形是一种由抛物线的两个焦点所围成的三角形。
它是一种特殊的三角形，因为它的全部边都是由两个抛物线的焦点和一条直线组成的。
2、抛物线两个焦点间距离公式：在抛物线中，首先需要计算两个焦点之间的距离，计算公式如下：
距离=抛物线焦点距离=2*抛物线离心率。
3、抛物线焦点三角形面积公式：抛物线焦点三角形的面积可通过下式计算：
S=½*[(2*焦点距离)+(外边长)^2-4*(外边长*内边长)].
4、该公式应用场景：抛物线焦点三角形面积计算可以在有关椭圆和抛物线的数学问题中得到应用，如抛物线的焦点定理以及大约椭圆和抛物线的物理应用等。
因此，抛物线焦点三角形面积公式是在计算椭圆和抛物线方面极其重要的公式。
抛物线中三角形面积的计算方法
“抛物线中三角形面积及面积的最值”教学设计
教学目标：1：掌握在抛物线中求三角形面积的方法
2.会利用铅锤高乘水平宽计算一般三角形的面积
教学过程：
一、数学思想方法
分三种情况
1：有一边在坐标轴上
图1，2中A,B两点是抛物线与坐标轴的焦点，AB的长度就是B的横坐标减去A的横坐标，C的纵坐标的相反数就是高线。
以AB为底边，OC长度为高线就能求出面积。
图3中仍以AB为底边，高线就是点C的纵坐标
2、一边与坐标轴平行
当三角形有一边与x轴平行时，已知A的纵坐标就能求出A,C两点的横坐标，这样就能求出线段AC的长度，高线的长度就是A和B两点的纵坐标之差的绝对值。
2、当三边均不与坐标轴平行时
当三边均不与坐标轴平行时，就采取割补法中的割。
分割成两个三角形。
分别以AE为底边，高线就是B,C两点的横坐标差的绝对值。
AE称作铅垂高，B,C两点横坐标差的绝对值称作水平宽。
这种三角形面积的求法就可以采取铅垂高乘水平宽解决。
二、知识应用
•例：如图二次函数与x轴交于点C，与y轴交于点A，B为抛物线与直线AC下方抛物线上一动点，求△ABC面积的最大值。
223 y x x
=--。
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抛物线内接三角形面积的计算通法
一、问题的提出
(2016年酒泉中考题)如图1(1)，已知抛物线经过(3,0)A，(0,3)B两点.
(1)求此抛物线的解析式和直线AB的解析式;
(2)如图1(1)，动点E，从O点出发，沿着OA的方向以1个单位/秒的速度向终点A匀
速运动，同时，动点F从点A出发，沿着AB方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运
动，当EF中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动.连结EF，设运动时间为t秒，当
t
为何值时，AEF为直角三角形?
(3)如图1(2)，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使
笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些
三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐
标;如果不存在，请简要说明理由.
本题第(3)问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通
用的方法呢?值得我们探究.
二、几种特殊情况
1.抛物线内接三角形有一边在x轴上:(这里约定A点的横坐标记为Ax，A点的纵坐
标记为为Ay)
如图2(1)，有
11
22
ABCABCSABOCxxy
.
如图2(2)，有
11
22
ABCABCSABDCxxy
.
如图2(3)，有
11
22
ABCABCSABDCxxy
.
2.抛物线内接三角形有一边与x轴平行:如图3(1)，有
11
22
ABCABCDSABDCxxyy
,
或1122ABCBADCSABOCxxyy;
如图3(2)，有
11
22
ABCABCDSABDCxxyy
,
或1122ABCBADCSABOCxxyy.
在以上特殊情况下，只要求出A、B、C、D的坐标，代入即可以求出抛物线内接三
角形的面积.
三、建立模型
当抛物线内接三角形的三边均不与坐标轴平行时(如图4)，三角形的面积又该怎么计算
呢?
解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形，然后类比解决.
如图4，过点C作“轴的垂线交AB于点D,则ABC被分成了两个以CD为一公共边
的三角形.
过点A作AECD于点E，过B作BFCD于点F，则
11
()22ABCCDAABCSSSCDAECDBFCDAEBF
，
CD
CDyy
，
CABC
AEBFxxxx
.
ACB
xxx
,
AB
AEBFxx
,
1
2
ABCABCDSxxyy
.
综合上述，已知三角形三个顶点坐标，可得抛物线内接ABC的面积公式:
设,ABDaxxhyCy .
a
为两点的横坐标之差，可看成是两点之间的水平距离，可以称为水平宽; h表示的是
两点的纵坐标之差，可称为铅直高.在坐标系中，不规则三角形的面积公式可表示为:
1
2
ABCSah
.
此公式适用于坐标系中的任意三角形，它和一般三角形的面积公式形成了完美的一致.
当三角形的三个顶点都在抛物线上时，点的横坐标不可能州样，不妨设ACBxxx.
则AaxxB，即是水平宽.
过点C作x轴的垂线，与直线AB的交点记为D，则CDhyy，即是铅直高，于
是有
11
22
ABCABCDSahxxyy
.
四、问题解决
上述问题中，过点P作//PNx轴，垂足为N，交AB于点M (如图1(2))，抛物线解
析式为
2
23yxx
,
直线AB的解析式为
3yx
.
设(,3)Nxx，则2(,23)Mxxx.
于是有
1
2
ABCABPMSxxyx
2
1
(30)(23)(3)2xxx
2
39
22
xx
2
3327
()228x
,
即当32x时，ABP面积最大，最大面积是278，此时P点的坐标为327(,)28.
五、模型应用(动点B在定点A与C之内)
例1 如图5，二次函数与x轴交于点C,与y轴交于点A，B为直线AC下方抛物线
上一点，求ABC面积的最大值.
解 易得点(0,4)A，点(6,0)C，则水平宽6ACaxx.
直线AC的解析式为243yx.
设点B的坐标为213(,4)34xxx,
则点D的坐标为2(,4)3xx.
铅垂高22144(4)323BDhyyxx2123xx,
故222116(2)6(3)923ABCSxxxxx.
06x
,
当3x时，即当点(3,5)B时，ABC面积最大，最大面积是9.
评注 题中的ABC满足公式中的,AC为定点，B为一动点，但在运动过程中，B的
横坐标介于,AC的横坐标之间，所以直接套用公式即得.由此题可看出，在这种动点问题中，
水平宽是两个定点间的水平跨度，铅直高即是由动点向x轴作垂线，垂线与两定点的连线交
于一点，动点和这个交点在竖直方向的跨度.
六、模型拓展(动点P在定点A与C之外)
例2 如图6(1)，二次函数与x轴交于点C，与y轴交于点A，直线AB与x轴平行，
且点B在抛物线上，点P是直线AC上方抛物线上的动点，是否存在点P，使
2PACABCSS
,若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
解析 由题意不难得出8ABCS,
要使2PACABCSS，即求16PACS.
因为PAC为动点三角形，由通用公式PACSah，其中a为水平宽，6CAaxx,
h
为铅直高，应该过动点P向x轴作垂线;交直线AC于点D，则PDhyy.
问题是此时动点P不在两定点,AC之间，而是运动到了两定点,AC之外，那么通用公
式还成立吗?
由图6(2)可知，当动点P在两定点,AC之外时，
11
22
PACPDCPDASSSPDCEPDAF
111
()()222CAPDCEAFPDxxah
.
由此可见，当动点运动到两定点之外时，通用公式依然成立.区别是:动点在两定点之间
时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之和，用的是加法运算;动点在两定点之外时，
动点图形的面积是两个规则图形的面积之差，用的是减法运算.