元素与集合(讲义及答案)
10. 判断下列集合之间有怎样的包含或相等关系： （1）A={正方形}，B={平行四边形}，C={四边形}，D={矩形}
（2）A={(x，y)|y=2x-1}，
B
(
x，y)
|
2x x 4
y y
1 5
（3）A={y|-2<y<3}，B={x|-1<x<1}
（4）A={x|x=4m，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}
【参考答案】 知识点睛
5
一、2．确定性，互异性，无序性 3． N* ，N ；N ；Z ；Q ；R
三、 ，集合，不含任何元素
四、 n ，n 1，n 1，n 2
A．16
B．8
C．7
D．4
（2）集合 A={-1，0，1}，A 的子集中，含有元素 0 的子集共
有（ ）
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．8 个
（3）已知集合 A={x|x2-4x+3=0}，B={x|0<x<5，x∈N}，则满
足条件 A⊆C⊆B 的集合 C 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
13. （1）若集合{1，a，b }={0，a2，a+b}，则 a-b 的值为__________． a
列举法
4. 集合的表示方法
．
描述法
二、集合间的基本关系
子集
集合相等
真子集
定 对于 x∈A， 义 都有 x∈B
A⊆B，且 B⊆A
A⊆B， x0 ∈B，且 x0 ∉A
记 A⊆B（或 B⊇A）
法
AB
A B（或 B A）
性 质
A⊆A； A⊆B，B⊆C
A=B，B=C A=C A B，B C A C
（5）A={x|x≥0}，B={y|y=x2-2x+1，x R}
11. 下列关系式中：①∅ =0；②0∉∅ ；③∅ ={0}；④{0}⊇∅ ；
4
⑤∅ ≠{∅ }；⑥∅ ⊆{∅ }；⑦∅ ∈{∅ }，正确的是__________．
12. （1）若集合 A={x|0≤x<3，x∈N}，则 A 的真子集的个数是（ ）
（2）
B
{x
|
3
6
x
N，x
N
}
；
（3） C {y | y x2 6，x N，y N } .
3. 用符号“∈”或“∉”填空： （1）0____N，π____Q，sin 60°____Q． （2）3____{x | x ≤ 7} ， 3 ____{x∈Q| x 5 }． （3）若 B={x|x2+x-6=0}，则-3___B． （4）(-1，1)____{y|y=-x，x∈R}， 0____{( x，y) |x2+y2=0，x∈N，y∈N}．
4. 有下列命题：①{} 是空集；②若 a∈N，b∈N，则 a+b≥2；
2
③集合{x|x2-2x+1=0}有两个元素；④集合 B={x| 100 ∈N，x∈Z} x
为无限集，其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
Байду номын сангаас
D．3
5.
已知集合 M
a
|
6 5a
N且a
Z
，则
M
=(
)
A．{2，3}
B．{1，2，3，4}
子集 真子集 非空子集 个数
精讲精练
1
非空真子集
1. 用适当的方法表示下列集合： （1）绝对值小于 3 的整数组成的集合
（2）一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图象的交点组成的集合
（3）二次函数 y=x2-4 的函数值组成的集合
（4）坐标平面内第二象限的点组成的集合
2. 把下列由描述法表示的集合转化为列举法： （1） A {(x，y) | x y 6，x N，y N} ；
8. 已知集合 A={x|ax2-3x+2=0}，其中 a 为常数，且 a∈R． ①若 A 是空集，则 a 的取值范围为___________； ②若 A 中只有一个元素，则 a 的值为_______； ③若 A 中至少有一个元素，求 a 的范围．
9. 给出下列集合：
3
①A={(1，2)}，B={(2，1)}； ②A={1，a，b，c}，B={c，b，a，1}； ③A={3，2}，B={x|x2-5x+6=0}； ④A={(x，y)|x+y=1}，B={y|x+y=1}； ⑤A={y|y=x-1，x∈R}，B={y|y=x-1，x∈N}； ⑥A={x|x+y=1}，B={y|x+y=1}； ⑦A={x|x=2k-1，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}． 其中 A，B 表示同一集合的是_________________．（填写序号）
A⊆C
三、空集
1. 记为_________．特征：______________、_____________． 2. 空集是任何集合的子集，即∅ ⊆A；若 A 非空，则∅ A． 3. 研究含参集合间的基本关系时，要结合题目条件对含参
集合是否为“ ”进行分类讨论．
四、小结 1. 注意区别“∈”、“⊆”． 2. 辨识 0，{0}，∅ ． 3. 假设集合 A 中含有 n 个元素，则
C．{1，2，3，6}
D．{-1，2，3，4}
6. 已知集合 S={a，b，c}中的三个元素可构成△ABC 的三条边
长，那么△ABC 一定不是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
7. （1）若 4∈{a2-3a，a}，则 a=_________．
（2）设集合 A={x，xy，xy-1}，其中 x∈Z，y∈Z 且 y≠0，若 0∈A，则 A 中的元素之和为___________．
（2）设集合 A {2 ，8 ，a} ，B {2 ，a2 3a 4} ，且 A B，则 a 的值为__________．
14. （1）已知集合 A={-1，1}，B={x|ax+1=0}，若 B⊆A，则实数 a 的所有可能取值的集合为____________．
（2）设 A={x|1<x<2}，B={x|x-a<0}，若 A⊆B，则 a 的取值范 围是___________．
元素与集合（讲义）
知识点睛
一、集合的含义与表示
1. 用小写字母 a，b，c，…表示元素，用大写字母 A，B，C，… 表示集合．元素与集合的关系记作：a∈A 或 a∉A．
2. 集合中元素的特征：_________、_________、_________．
3. 常用的数集及其记法： 正整数集：____或____；自然数集（非负整数集）：_____； 整数集：_____；有理数集：_____；实数集：_____．
高中必修1第一章集合复习(讲义+例题+练习)
集合章节复习1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．2．元素与集合有且只有两种关系：∈，∉.（属于、不属于）3．集合表示方法有列举法，描述法，韦恩图法，常用数集字母代号．4．集合间的关系与集合的运算符号定义Venn图子集A⊆B x∈A⇒x∈B真子集A B A⊆B且存在x0∈B但x0∉A并集A∪B {x|x∈A或x∈B}交集A∩B {x|x∈A且x∈B}补集∁U A(A⊆U) {x|x∈U且x∉A}5.常用结论(1)∅⊆A.(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔A⊇B.(3)A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.(4)A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.1．若A ＝{}x ，|x |，则x <0.( √ ) 2．任何集合至少有两个子集．( × )3．若{}x |ax 2＋x ＋1＝0有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a ＝0.( × ) 4．设A ，B 为全集的子集，则A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .( √ )类型一 集合的概念及表示法例1 下列表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈N }D ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R } 答案 B解析 A 选项中M ，N 两集合的元素个数不同，故不可能相同；B 选项中M ，N 均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M ＝N ；C 选项中M ，N 均为数集，显然有NM ；D 选项中M 为点集，即抛物线y ＝x 2－1上所有点的集合，而N 为数集，即抛物线y ＝x 2－1的值域，故选B.反思与感悟 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．跟踪训练1 设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －3y ＋4＝0}，则A ∩B ＝________. 答案 {(4,4)}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，2x －3y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.∴A ∩B ＝{(4,4)}．类型二 集合间的基本关系例2 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可能取值组成的集合．解 由题意得，P ＝{－3,2}． 当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ，为满足S ⊆P ，可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．(2)对于两集合A ，B ，当A ⊆B 时，不要忽略A ＝∅的情况． 跟踪训练2 下列说法中不正确的是________．(填序号) ①若集合A ＝∅，则∅⊆A ；②若集合A ＝{x |x 2－1＝0}，B ＝{－1,1}，则A ＝B ； ③已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则a >2. 答案 ③解析 ∅是任何集合的子集，故①正确； ∵x 2－1＝0，∴x ＝±1，∴A ＝{－1,1}， ∴A ＝B ，故②正确；若A ⊆B ，则a ≥2，故③错误．类型三集合的交、并、补运算命题角度1用符号语言表示的集合运算例3设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.解把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}．∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．反思与感悟求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．跟踪训练3已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3，6}，B＝{1,4,5}，则A∩(∁U B)等于() A．{1} B．{3,6}C．{4,5} D．{1,3,4,5,6}答案 B解析∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，∴∁U B＝{0,2,3,6}，又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(∁U B)＝{3,6}，故选B.命题角度2用图形语言表示的集合运算例4设全集U＝R，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}．则图中阴影部分表示的集合为____________．答案{x|1≤x<2}解析图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)，因为∁U B＝{x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩(∁U B)＝{x|1≤x＜2}．反思与感悟解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．跟踪训练4学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？解设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出V enn图(如图)，则没有参加过比赛的同学有：45－(12＋20－6)＝19(名)．答这个班共有19名同学没有参加过比赛．类型四关于集合的新定义题例5设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A 为封闭集．①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A.其中正确结论的序号是________．答案②④解析①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封闭集；②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，故②正确；③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集，故③不正确；④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④. 反思与感悟新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．跟踪训练5 设数集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }(b >a )的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112 D.512 答案 C解析 方法一 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，解得0≤m ≤14，13≤n ≤1.取字母m 的最小值0，字母n 的最大值1，可得M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23≤x ≤1， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 0≤x ≤34∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 23≤x ≤1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 23≤x ≤34， 此时得集合M ∩N 的“长度”为34－23＝112.方法二 集合M 的“长度”为34，集合N 的“长度”为13.由于M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集， 而{x |0≤x ≤1}的“长度”为1，由此可得集合M ∩N 的“长度”的最小值是⎝⎛⎭⎫34＋13－1＝112.1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个答案 B2．下列关系中正确的个数为( ) ①22∈R ；②0∈N ＋；③{－5}⊆Z . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 ①③正确．3．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <0} C ．{x |0<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 A解析 由A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}， 得A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}．故选A.4．设全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{b ，d ，e }，那么(∁I M )∩(∁I N )等于( ) A ．∅ B ．{d } C ．{b ，e } D ．{a ，c } 答案 A5．已知集合U ＝R ，集合A ＝{}x |x <－2或x >4，B ＝{}x |－3≤x ≤3，则(∁U A )∩B ＝________. 考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 答案{}x |－2≤x ≤3.解析 由图知(∁U A )∩B ＝{}x |－2≤x ≤3.1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系． 2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．课时对点练一、选择题1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}，则M∩N等于() A．{1,4} B．{－1，－4}C．{0} D．∅答案 D解析因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，所以M∩N ＝∅，故选D.2．已知集合A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案 D解析A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B⊆A.3．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1,3,5}答案 D解析画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．4．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是()A．－1 B．0 C．1 D．1或－1答案 A解析由M∩N＝N得N⊆M.当a＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；当a＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；当a＝－1时，N＝{－1,1}，符合题意．5．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＜3或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为()A．a＞3 B．a≥3C．a≥7 D．a＞7答案 A解析因为A＝{x|x＜3或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x＜7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a＞3.6．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为()答案 A解析如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.二、填空题7．设全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∩(∁U B)＝________.答案{1,4}解析∵∁U B＝{x|x<2或x>3}，∴A∩(∁U B)＝{1,4}．8．设集合A＝{1，－1，a}，B＝{1，a}，A∩B＝B，则a＝______.答案0解析∵A ∩B ＝B ，即B ⊆A ，∴a ∈A . 要使a 有意义，a ≥0. ∴a ＝a ，∴a ＝0或a ＝1， 由元素互异，舍去a ＝1.∴a ＝0.9．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N ＝________. 答案 {(3，－1)}解析 M ，N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中的元素也是点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴M ∩N ＝{(3，－1)}．10．已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－12≤a ≤2或a >3 解析 ①若A ＝∅，则A ∩B ＝∅， 此时2a >a ＋3，即a >3.②若A ≠∅，如图，由A ∩B ＝∅，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－12≤a ≤2或a >3. 三、解答题11．如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M .解结合图形可得M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x，y)⎪⎪xy≥0，－2≤x≤52，－1≤y≤32.12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；(2)当A＝{x∈Z|－2≤x≤5|}时，求A的非空真子集的个数；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．考点集合各类问题的综合题点集合各类问题的综合解(1)因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；当B≠∅时，根据题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．(2)当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.(3)当B＝∅时，由(1)知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m－1≥m＋1，2m－1<－2或⎩⎪⎨⎪⎧2m－1≥m＋1，m＋1>5，解得m>4.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．13．设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1.四、探究与拓展14．已知全集U ＝{2,4，a 2－a ＋1}，A ＝{a ＋4,4}，∁U A ＝{7}，则a ＝________.答案 －2解析 由题意，得a 2－a ＋1＝7，即a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3.当a ＝3时，A ＝{7,4}，不合题意，舍去，故a ＝－2.15．对于集合A ，B ，我们把集合{}(a ，b )|a ∈A ，b ∈B 记作A ×B .例如，A ＝{}1，2，B ＝{}3，4，则有：A ×B ＝{}(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，B ×A ＝{}(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，A ×A ＝{}(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，B ×B ＝{}(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4). 据此，试回答下列问题：(1)已知C ＝{}a ，D ＝{}1，2，3，求C ×D ；(2)已知A ×B ＝{}(1，2)，(2，2)，求集合A ，B ；(3)若集合A 中有3个元素，集合B 中有4个元素，试确定A ×B 中有多少个元素． 考点 集合各类问题的综合题点 集合各类问题的综合解析 (1)C ×D ＝{}(a ，1)，(a ，2)，(a ，3).(1，2)，(2，2)，(2)因为A×B＝{}所以A＝{}1，2，B＝{}2.(3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中应有m×n个元素．于是，若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则A×B中有12个元素．。
1-11集合部讲义
一、集合的含义与表示1、集合的含义：一般地，具有相同属性的对象构成的整体，我们称之为集合。
那么我们所研究的具有相同属性的对象称之为集合的元素。
2、元素与集合的关系：若元素a在集合A中，则a∈A（a属于A）；若元素a不在集合A中，则a∉A（a属于A）。
3、元素的特性：1）确定性2）互异性3）无序性说明：(I)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(II)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(II)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(IV)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
4、常用数集的表示：1）自然数集(非负整数集)N 2）正整数集N*或N+3）整数集Z4）有理数集Q 5）实数集R5、集合的表示：{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}探究以下描述的不同：{ x | y=x2+ 1} = R = { y | y=x2+ 1}{ y | y=x2+ 1} ={ y≥1}{(x,y) | y=x2+ 1}函数上所有点的集合（3）图示法（文氏图）：封闭的曲线6、集合的分类：1) 有限集含有有限个元素的集合2) 无限集含有无限个元素的集合3) 空集不含任何元素的集合二、集合间基本关系及相关运算1、子集(包含关系)对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B注意：1）有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
第1讲 集合的概念与运算 讲义--高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第1讲集合的概念与运算1.元素与集合的概念(1)集合：研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合.(2)集合元素的特性：确定性、互异性.2.元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 3.集合的分类(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅.(2)非空集合：①有限集：含有有限个元素的集合.②无限集：含有无限个元素的集合.4.常用数集的表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋或N*Z Q R5.列举法把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法.6.描述法(1)集合的特征性质如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.(2)特征性质描述法集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.7.集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.8.集合的运算(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}例1(大纲全国，1) 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6例2 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．[玩转跟踪]1.(新课标全国，1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B 中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.102.已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.3.(探究与创新)设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1).求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集.题型二集合的表示方法例3 下面三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}. 问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？例4 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .1.已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧m |m ＝x |x |＋y |y |＋⎭⎬⎫xy |xy |为( )A.{0,3}B.{1,3}C.{－1,3}D.{1，－3}2.(探究与创新)已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R }： (1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； (2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.题型三 集合间的基本关系例5 集合{－1，0，1}共有________个子集. 例6 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ，412|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ，421|，则( ) A ．N M =B ．NM C ．MN D ．=N M ∅例7 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A . 求实数m 的取值范围.1.设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( ) A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个2.(2016·山东北镇中学、莱芜一中、德州一中4月联考)定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B },若集合M ＝{1,2,3,4,5},集合N ＝{x |x ＝2k －1,k ∈Z },则集合M －N 的子集个数为( ) A.2 B.3C.4D.无数个3.已有集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的集合.题型四 集合的基本运算例8 设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0},B ＝{x |2x －3>0},则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3 例9 (2015·四川,1)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0},集合B ＝{x |1＜x ＜3},则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3} 例10 (1)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－3<x <－1}B ．{x |－3<x <0}C ．{x |－1≤x ＜0}D ．{x |x <－3}(2).若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0<x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}例11 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.[玩转跟踪]1.若集合P ＝{x ||x |＜3,且x ∈Z },Q ＝{x |x (x －3)≤0,且x ∈N },则P ∩Q 等于( ) A.{0,1,2} B.{1,2,3} C.{1,2} D.{0,1,2,3}2.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A.(M ∩P )∩SB.(M ∩P )∪SC.(M ∩P )∩(∁I S )D.(M ∩P )∪(∁I S )3.(探究与创新)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅D ．M ∪N ＝R3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．44.(2018·济南模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1≤0}，集合B ＝{x |x 2－x －6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <3}B ．{x |－3<x ≤1}C ．{x |x <2}D ．{x |－2<x ≤1}5．(2018·潍坊模拟)设集合A ＝N ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －3≤0，则A ∩B 等于( ) A ．[0,3) B ．{1,2} C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}6．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5}7．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)8.满足{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }的集合B 的个数是________.9.设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________.10.已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为________.11.已知全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，若A＝{b,2}，∁I A＝{5}，求实数a，b.12.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.13.设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}.(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知C＝{x|a＜x＜a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值构成的集合.14.已知集合A＝{x|0＜x－a≤5}，B＝{x|－a2＜x≤6}.(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；(2)若A∪B＝A，求a的取值范围.。
第01讲-集合(讲义版)
第01讲集合一、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.[方法技巧]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).二、经典例题考点一 集合的基本概念【例1-1】（2020·海南省海南中学高三月考）若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62B ．32C ．64D ．30规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 考点二 集合间的基本关系【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解. 考点三 集合的运算【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}|15A x x =-≤≤，{}2|23B x x x =->，则A B =（ ）A ．5}|3{x x <≤B ．{|15}x x -≤≤C ．{|1x x <-或3}x >D ．R【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.[思维升华]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.。
第一章 集合 课程讲义
1.1 集合的含义及其表示一、知识梳理1．集合的定义2．元素与集合的关系3．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性4．常用数集及其记法：5．集合的表示方法：二、例题讲解例1：集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？例2：三个元素的集合1，a，ba，也可表示为0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值．例3：集合A中的元素由(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？（1）0 （2（3例4．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使yx=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；例5．已知A={a|6,3N a Za∈∈-}，试用列举法表示集合A．例6．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．三、巩固练习1、用∈或∉填空________N________R0_______N* π________R 227_______Q cos300_______Z2、由实数-x，|x|x，组成的集合最多含有元素的个数是_________________个.3、用列举法表示下列集合：(1) {x|x为不大于10的正偶数}(2){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z}4、用描述法表示下列集合：(1)不等式2x-3>5的解集；(2)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合；5、集合A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1}，，这三个集合的关系？ 6、已知A={x|12,6N x N x∈∈-}，试用列举法表示集合A ．1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1．子集的概念及记法：2．子集的性质：① A ⊆ A② A ∅⊆3．真子集的概念及记法：4．真子集的性质：①∅是任何非空集合的真子集5．全集的概念：6． 补集的概念：二、例题讲解例1：以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．（1）a 与{a} 0 与 ∅（2）∅与{20，35，∅} （3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2}；（4）S=R ，A={x|x ≤0，x ∈R}，B={x|x>0 ，x ∈R }；例2：设集合A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例3：①方程组210360x x +>⎧⎨-≤⎩的解集为A ，U=R ，试求A 及u C A ． ②设全集U=R ，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，B 是R C A 的真子集，求实数a 的取值范围．三、巩固练习1．指出下列各组中集合A 与B 之间的关系．(1) A={-1，1}，B=Z ；(2)A={1，3，5，15}，B={x|x 是15的正约数}；(3) A = N*，B=N(4) A ={x|x=1+a 2,a ∈N*}，B={x|x=a 2-4a+5,a ∈N*}2．（1）已知{1，2 }⊆M ⊆{1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有多少个？（2）已知M={1，2，3，4，5，6， 7,8，9}，集合P 满足：P ⊆M ，且若P α∈，则10-α∈P ，则这样的集合P 有多少个？3.若U=Z ，A={x|x=2k ，k ∈Z}，B={x|x=2k+1， k ∈Z}，则U C A ___________ U C B ___________：4．设全集是数集U={2，3，a 2+2a-3}，已知A={b ，2}，U C A ={5}，求实数a ，b 的值．5．已知集合A={x|x 2-1=0 }，B={x|x 2-2ax+b=0},B ⊆ A ，求a ，b 的取值范围．1.3 交集、并集一、知识梳理1．交集的定义：注意： 当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B=∅.2．交集的常用性质：（1）(A ∩B)∩C =A ∩(B ∩C)；（2） A ∩B ⊆A ， A ∩B ⊆B3．区间的表示法：4．并集的定义：注意：并集（A ∪B ）实质上是A 与B 的所有元素所组成的集合，但是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.5．并集的常用性质：（1）(A ∪B)∪C =A ∪(B ∪C)；（2） A ⊆A ∪B ， B ⊆A ∪B二、例题讲解例1． （1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A ∩B ；（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；例2：已知数集 A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．例3：（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B；（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，B={(x,y)|y=-x2+2x+34，x∈R}，求A∪B；例4：已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所满足的例5：若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，（1）若A∪B=A∩B，求a的值；（2）∅ A∩B，A∩C=∅，求a的值．例6：已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}（1）若B={5}，求p，q的值．（2）若A∩B= B ，求实数p，q满足的条件．例10、已知集合A={x|－2<x<－1，或x>0}，B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0<x≤2}，A∪B={x|x>－2}，求a、b的值。
集合1.1.1讲义
精锐教育学科教师辅导讲义练习题2答案 1．A 2.D3.B4.B5.C6.{}1,0,1,2-7.1928.⑴()()()(){}0,3,1,2,2,1,3,0;⑵{}0,1,2,,3;9.a =32-或47-. 10.{}3,2,1,0,1,2,3A =---;{}1,0,3,8B =-;()()()()()()(){}3,8,2,3,1,0,0,1,1,0,2,3,3,8C =----状元智慧树（思维导图）：课后作业一、选择题：1.下列说法中正确的是 （ ）A ．2008年北京奥运会的所有比赛项目组成一个集合B ．某个班年龄较小的学生组成一个集合C ．1、2、3组成的集合与2、1、3组成的集合是不同的两个集合 D.{1,0,5,1,2,5}组成的集合有四个元素2.下列说法中①集合N 与集合N +是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素。
其中正确的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.下列条件中，能构成集合的是 （ ） A ．世界著名的化学家B ．在数轴上与原点非常接近的点C ．所有的等腰三角形D ．全年级成绩优秀的学生4.由实数x ，-x ，|x|，2x ，33x -所组成的集合，最多含（ ）A. 2个元素B. 3个元素C. 4个元素D. 5个元素 5.若{}x x 122+∈，，则x 的值为 （ ）A. -2B. 1C. 1或-2D. -1或26.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形7. 设a 、b 、c 是非零的实数，则=+++a b c abc y |a||b||c||abc|的值所组成的集合为 （ ）A.{4}B.{4,4}-C.{4,4,0}-D.{0,4} 二、填空题： 8.用符号“∈”，“∉”填空 ① 0N ，-1N ，3N ，21N ②31-Z ，2Q ，πQ ③ 5Z ，-11Q ，5-R9.集合{1,2}与集合{2,1}是否表示同一集合？ 集合{1,2}与集合{(2,1)}是否表示同一集合？ （填“是”或“不是”）10.对于集合{2,4,6}A =，若a A ∈，则6a A -∈，那么a 的值是 三．解答题11.由0,1,4组成的集合用A 表示，由1，4，(1)x x -组成的集合用B 表示，已知集合A=B ，求x 。
集合及其运算讲义
集合及其运算讲义一、知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( ) (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) 题组二：教材改编2．[P11例9]已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________. 3．[P44A 组T5]已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________． 题组三：易错自纠4．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．25．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 三．典型例题 题型一：集合的含义1．若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________.2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．6思维升华： (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．题型二：集合的基本关系典例 (1)设A ，B 是全集I ＝{1,2,3,4}的子集，A ＝{1,2}，则满足A ⊆B 的集合B 的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________．思维升华 ：(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练 (1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为( ) A.13或－12 B ．－13或12 C.13或－12或0 D ．－13或12或0题型三：集合的基本运算命题点1：集合的运算典例(1)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅(2)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于()A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)命题点2：利用集合的运算求参数典例(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1 C．2 D．4(3)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．思维升华： (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．跟踪训练(1)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于()A．{2} B．{1,2,4} C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为() A．[－1,2) B．[－1,3] C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)题型四：集合的新定义问题典例已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A B中元素的个数为()A．77 B．49 C．45 D．30思维升华：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于()A．{x|3<x≤4} B．{x|3≤x≤4}C．{x|3<x<4} D．{x|2≤x≤4}四、反馈练习1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．－3∈A B．3∉BC．A∩B＝B D．A∪B＝B2．已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q等于()A ．(－1,2)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(1,2)3．已知集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+014x x x ，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B 等于( )A ．(0,4]B ．(0,1)C ．(0,1]D ．[－4,1]5．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( ) A ．{0,1} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}6．已知复数f (n )＝i n (n ∈N *)，则集合{z |z ＝f (n )}中元素的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．无数7．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5}8．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)9．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(∁U B )＝________________. 10．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________．11．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B ＝__________.12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________． 13．已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2m <x <1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是 14．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________.15．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．。
集合讲义
集合讲义1.1 集合的含义与表示【知识梳理】1.集合的概念：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，简称“集”。
集合中每个对象叫做这个集合的元素。
通常用大写字母A，B，C……表示集合，用小写字母a，b，c……表示集合中的元素。
集合的分类：根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集。
1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集。
2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集。
2.集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
3.元素与集合的关系：4.常用数集集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示题型一 集合与元素的含义【例1】已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列关系式：0,2,2≠=≠c b a ，有且只有一个正确，则100a+10b+c=_____.【例2】设R b a ∈,，若集合{}a b a ,1+，=⎭⎬⎫⎩⎨⎧b a b,0，，则_____20182018=+b a【例3】下面四个命题正确的是（ ） A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7} B ．“个子较高的人”不能构成集合 C ．方程0122=+-x x 的解集是{1，1}D ．偶数集为{}N x k x x ∈=,2|【例4】已知集合()(){}210M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a 的值为【例5】求集合2{,2,}x x x -中的元素x 的取值范围.【例6】下面有四个命题：⑴集合N 中最小的数是1； ⑵若a -不属于N ，则a 属于N ； ⑶若,a b ∈∈N N ,则a b +的最小值为2； ⑷212x x +=的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例7】.知A ＝{1,2，3}，B ＝{2，4}，定义集合A 、B 间的运算A*B ＝{x|x ∈A 且B x ∉}，则集合A*B 等于( )A.{1，2,3}B.{2，4}C.{1，3}D.{2}【过关练习】1.分析下列各组对象能否构成集合：（1）比2008大的数；（2）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象上的若干个点； （3）正比例函数y x =与反比例函数1y x=-的图象的交点； （4）面积比较小的三角形.2.下列命题正确的有（ ）⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合； ⑶3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3.下列各选项中的M 与P 表示同一集合的是 （ ）A.{0},M P ==∅B.{(3,7)},{(7,3)}M P =-=-C.2{(,)|3,}M x y y x x R ==+∈, 2{|3,}P y y x x R ==+∈ D. 22{|1,},{|(1)1,}M y y t t R P t t y y R ==+∈==-+∈4.已知集合A={01682=+-x kx }只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A5.集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy ，x ∈A 且y ∈B}，则集合C 中的元素个数为（） A.3 B.4 C.11 D.126.已知集合},,2||,2|||),{(},,,1|),{(22Z y x y x y x B Z y x y x y x A ∈≤≤=∈≤+=，定义集合}),(,),(|),{(22112121B y x A y x y y x x B A ∈∈++=⊕，则B A ⊕中元素的个数为（ ）A.77B.49C.45D.30题型二 集合的表示【例1】已知集合{|8}M x N x N =∈-∈，则M 中元素的个数是 （ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【例2】试选用适当的表示方法表示下列集合：（1）一次函数3y x =-+与26y x =+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数224y x x =-+的函数值组成的集合； （3）反比例函数254y x =-的自变量的值组成的集合. 【例3】已知2()(R ,R)f x x ax b a b =++∈∈，{|(),R}A x x f x x ==∈，{|[()],R}B x x f f x x ==∈．当{1,3}A =-时，用列举法表示集合B【过关练习】1.用列举法表示集合：10,1M mm m ⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭Z Z 2.已知a ∈Z ，{}(,)3A x y ax y =-≤，且(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，求满足条件的a 的值．3.直角坐标平面除去两点(1,1)A 、(2,2)B -可用集合表示为（ ）A ．{}(,)|1,1,2,2x y x y x y ≠≠≠≠B ．1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩或22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠⎪⎩⎭C ．1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩且22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠-⎪⎩⎭ D ．{}2222(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y x y -+--++≠题型二 集合与元素的关系【例1】已知},2|{N x k x x P ∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，求k 。
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解1---集合的概念(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解1 集合的概念考点知识讲解1 元素与集合1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的叫做集合(简称为__)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：、、．答案：（1）研究对象（2）总体集（3）元素（4）确定性无序性互异性2．元素与集合的关系答案：∈∈NN*或N＋ZQR考点知识讲解2 集合的表示方法1．列举法把集合的元素出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：运用列举法表示集合，应注意：(1)元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；(2)元素不重复；(3)元素间无顺序；(4)“{}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略2．描述法(1)定义：用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法．(2)书写形式：，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．答案：一一列举共同特征{x|p(x)}题型一对集合含义的理解1．考察下列每组对象，能构成集合的是（）①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④【答案】B【解析】①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合.故选：B.2．下列每组对象能构成一个集合是________(填序号).（1）某校2019年在校的所有高个子同学；（2）不超过20的非负数；（3）帅哥；（4）平面直角坐标系内第一象限的一些点；（5.【答案】（2）【解析】（1）“高个子”没有明确的标准，因此（1）不能构成集合. （2）任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，故“不超过20的非负数”能构成集合；（3）“帅哥”没有一个明确的标准，因此不能构成集合；（4）“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；（5）”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合.故答案为：（2）题型二元素与集合的关系3．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a∉N，∉N，所以②错误;对于③，当a =b =0时，a +b 取得最小值是0，而不是2，所以③错误; 对于④，解集中只含有元素1，故④错误. 故选：A4．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是（ ）A ．P 是由元素1π构成的集合，Q 是由元素π，1，|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合D ．P 是由满足不等式-1≤x ≤1的整数构成的集合，Q 是由方程x ()()1-1x x +=0的解构成的集合 【答案】AD【解析】由于A ，D 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选：AD. 题型三 元素的特性的应用5．已知集合A ＝{x ∈Z|2x －4x －5<0}，B ＝{x|4x >2m }，若A∩B 有三个元素，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，6)B ．[1，2)C ．[2，4)D ．(2，4] 【答案】C【解析】∵A ＝{x ∈Z|－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x|x>}，A∩B 有三个元素，∴1≤<2，即2≤m<4. 故答案为C6．设a ，b ∈R ，集合A 中含有0，b ，ba三个元素，集合B 中含有1，a ，a +b 三个元素，且集合A 与集合B 相等，则a +2b ＝（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．不确定 【答案】A【解析】由题意可知a ≠0，则只能a +b ＝0，则有以下对应关系：01a b b a a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩①或01a b b a b a⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩②； 由①得a ＝﹣1，b ＝1，符合题意； ②无解；则a +2b ＝﹣1+2＝1． 故选：A题型四 用列举法表示集合 7．集合M ={61aN a ∈+，且a Z ∈}，用列举法表示集合M =______________ 【答案】{}0,1,2,5 【解析】61N a ∈+016a ∴<+≤，即15a -<≤ 又a Z ∈0a ∴=时，661N a =∈+；1a =时，631N a =∈+；2a =时，621N a =∈+； 3a =时，6312N a =∉+；4a =时，6615N a =∉+；5a =时，611N a =∈+ {}0,1,2,5M ∴=本题正确结果：{}0,1,2,5 8．根据要求写出下列集合.（1）已知{}25|50x x ax -∈--=，用列举法表示集合{}2|40x x x a --=. （2）已知集合16|8A N x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法表示集合A ．（3）已知方程组10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，分别用描述法、列举法表示该集合.（4）已知集合B ={(x ，y )|2x +y -5=0，x ∈N ，y ∈N }，用列举法表示该集合. （5）用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.【答案】（1）{2}；（2）{2，4，8，16}；（3）{(x ，y )|x =1，y =2}，{(1，2)}；（4）{(0，5)，(1，3)，(2，1)}；（5）{(x ，y )|xy =0}. 【解析】（1）{}25|50x x ax -∈--=，()()25550a ∴--⨯--=，解得4a =-，2440x x -+=的解为2x =，∴用列举法表示集合{}2|40x x x a --=为{}2；（2）168N x∈-，则8x -可取的值有1，2，4，8，16，x 的可能值有7，6，4，0，8-， x N ∈，7,6,4,0x ∴=，162,4,8,168x∴=-， {}2,4,8,16A ∴=；（3）方程组10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩，∴用描述法表示该集合为(){},1,2x y x y ==，列举法表示该集合为(){}1,2；（4）当0x =时，5y =；当1x =时，3y =；当2x =时，1y =，∴用列举法表示该集合为()()(){}0,5,1,3,2,1；（5）坐标轴上的点满足0x =或0y =，即0xy =， 则该集合可表示为(){},0x y xy =.题型五 用描述法表示集合9．用列举法表示集合**{(,)|5,,}A x y x y x y =+=∈∈N N 是_____________________；用描述法表示“所有被4除余1的整数组成的集合”是_____________________． 【答案】()()()(){}1,42,33,24,1，，，{}41z x z x k k ∈=+∈，【解析】由题意{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}A =，所有被4除余1的整数组成的集合为{|41,}x Z x k k Z ∈=+∈．故答案为：{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}；{|41,}x Z x k k Z ∈=+∈ 题型六 集合表示方法的综合应用10. (1)用列举法表示集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈Z ，且86－x ∈N ＝________.(2)集合A ＝{x ∈R |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .(1)解析 ∵x ∈Z 且86－x ∈N ，∴1≤6－x ≤8，－2≤x ≤5.当x ＝－2时，1∈N ；当x ＝－1时，87∉N ；当x＝0时，43∉N ；当x ＝1时，85∉N ；当x ＝2时，2∈N ；当x ＝3时，83∉N ；当x ＝4时，4∈N ；当x ＝5时，8∈N .综上可知A ＝{－2,2,4,5}． 答案 {－2,2,4,5} 1．下列集合中，结果是空集的是( ) A ．{x ∈R |x 2-1=0}B ．{x |x >6或x <1} C ．{(x ，y )|x 2+y 2=0}D ．{x |x >6且x <1} 【答案】D【解析】A 选项：21{|10}x R x ±∈∈-=，不是空集；B 选项：7∃∈{x |x >6或x <1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈{(x ，y )|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数， 即：{x |x >6且x <1}=∅. 故选：D2．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a∉N，∉N，所以②错误;对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;对于④，解集中只含有元素1，故④错误.故选：A3．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；.其中能构成集合的组数有（）A．2组B．3组C．4组D．5组【答案】A【解析】①“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；③“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；⑤的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合；故③④正确.故选：A.4．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是（ ）A ．P 是由元素1π构成的集合，Q 是由元素π，1，|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合D ．P 是由满足不等式-1≤x ≤1的整数构成的集合，Q 是由方程x ()()1-1x x +=0的解构成的集合 【答案】AD【解析】由于A ，D 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选：AD. 5．下列各组中的M ，P 表示同一集合的是（ ） A ．M ={3，-1}，P ={(3，-1)} B ．M ={(3，1)}，P ={(1，3)} C ．M ={y |y =x -1}，P ={t |t =x -1}D ．集合M ={m |m +1≥5}，P ={y |y =x 2+2x +5，x ∈R } 【答案】CD【解析】在A 中，M ={3，-1}是数集，P ={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故错误；在B 中，M ={(3，1)}，P ={(1，3)}表示的不是同一个点的集合，二者不是同一集合，故错误；在C 中，M ={y |y =x -1}={y |y ≥-1}，P ={t |t =x -1}={t |t ≥-1}，二者表示同一集合，故正确；在D 中，M ={m |m ≥4，m ∈R }，即M 中元素为大于或等于4的所有实数，P ={y |y =(x +1)2+4}，y =(x +1)2+4≥4，所以P 中元素也为大于或等于4的所有实数，故M ，P 表示同一集合，故正确． 故选：CD 6．定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合A B 所有元素之和为________【答案】18【解析】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18 故答案为：187．下列命题正确的个数__ （1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y |y ＝x 2﹣1}与集合{（x ，y ）|y ＝x 2﹣1}是同一个集合； （3）1，361,,||,0.5242-，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合{（x ，y ）|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． 【答案】0【解析】解：对于（1）很小的实数不满足集合中元素的确定性，所以（1）不正确．对于（2）集合{y |y ＝x 2﹣1}表示的是函数y ＝x 2﹣1的值域，而集合{（x ，y ）|y ＝x 2﹣1}表示的是y ＝x 2﹣1图象上的点，故（2）不正确；对于（3）：因为3624=，10.52-=，不满足集合中的元素是互异的，故（3）不正确； 对于（4）集合{（x ，y ）|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集及两个坐标轴上的点，故（4）不正确， 故答案为：0.8．设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A ，则11a - ∈A ，且1∉A ， （1）若3∈A ，求A .（2）证明:若a ∈A ，则11A a -∈. 【答案】（1）123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;（2）证明见解析. 【解析】(1)因为3∈A ， 所以11132A =-∈-， 所以12131()2A =∈--， 所以13213A =∈-， 所以123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. (2)因为a ∈A ， 所以11A a∈-， 所以1111111a A a a a -==-∈---. 9．已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围 【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时0,a ≠∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98=∴a ＝0或a 98= 当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素 由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.。
高考数学专项：集合的概念(讲义)-解析版
1.1集合的概念1.定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合（简称集）2.集合与元素的表示集合通常用大写字母A，B，C， 表示，元素用小写字母a，b，c， 表示3.元素与集合的关系元素与集合的关系记法读法a是集合A的元素Aa a属于集合Aa不是集合A的元素Aa a不属于集合A4.常用数集及其记法数集记法非负整数集（自然数集）NN或*N正整数集整数集Z有理数集Q实数集R例1．下列各组对象不能构成集合的是（）y x=上的所有点A．所有直角三角形B．抛物线2C．某中学高一年级开设的所有课程D【答案】D【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论.【详解】A ，B ，C 中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D 中的对象不具备确定性．故选：D ．变式1-1．下列元素的全体不能组成集合的是（）A ．中国古代四大发明B ．地球上的小河流C ．方程210x -=的实数解D ．周长为10的三角形【答案】B【分析】根据集合中的元素的三要素即可判断各个选项的正误.【详解】中国古代四大发明可以构成一个集合，故A 正确；地球上的小河流不满足集合元素的确定性，即没有标准说多小的河流算小河流，故B 错误；方程210x -=的实数解是1x ，可以构成一个集合，故C 正确；周长为10的所有三角形可以构成一个集合，故D 正确；故选：B.变式1-2．下列叙述能够组成集合的是（）A ．我校所有体质好的同学B ．我校所有800米达标的女生C ．全国所有优秀的运动员D ．全国所有环境优美的城市【答案】B【分析】根据集合元素的确定性，逐一分析可得答案．【详解】A 中，我校所有体质好的同学不具有确定性，不能组成集合；B 中，我校所有800米达标的女生具有确定性，能组成集合；C 中，全国所有优秀的运动员不具有确定性，不能组成集合；D 中，全国所有环境优美的城市不具有确定性，不能组成集合，故选：B ．变式1-3．下列各组对象不能构成集合的是（）A ．上课迟到的学生B ．2022年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于x 的正整数【答案】B【分析】集合中元素具有确定性，对于每一个元素要么属于集合，要么不属于集合，构成集合的元素必要是确定的.【详解】对于B 中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.其它选项的对象都可以构成集合.故选：B例2．下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1 NB ．*0N C QD ．2R5【答案】B【分析】根据常用数集的范围判断即可.【详解】N 表示自然数集，-1不是自然数，故A 错；N 表示正整数集，0不是正整数，故B 正确；Q C 错；R 表示实数集，25是实数，故D 错.故选：B.变式2-1．（多选）下列关系中，正确的是（）．A ．14R B QC ．3 ND Z【答案】AB【分析】根据各数集的概念直接判断即可.【详解】14R ，故A 正确；Q ，故B 正确；N 为自然数集，所以3 N ，故C 错误；Z ，故D 错误；故选：AB ．变式2-2．用符号“ ”或“ ”填空：0______Z ，π______Q ．【答案】【详解】 =3,2,1,0,1,2,30 Z Z∵ Q ∵为有理数集合，π Q故答案为：,变式2-3．用符号“ ”或“ ”N N ．【答案】【分析】根据元素和集合的关系求解即可.【详解】因为集合N 代表自然数集（非负整数集），N 4N ，故答案为： ， 5.集合中元素的性质（1）确定性给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。