元素与集合(讲义及答案)
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元素与集合（讲义）
知识点睛
一、集合的含义与表示
1. 用小写字母 a，b，c，…表示元素，用大写字母 A，B，C，… 表示集合．元素与集合的关系记作：a∈A 或 a∉A．
2. 集合中元素的特征：_________、_________、_________．
3. 常用的数集及其记法： 正整数集：____或____；自然数集（非负整数集）：_____； 整数集：_____；有理数集：_____；实数集：_____．
（5）A={x|x≥0}，B={y|y=x2-2x+1，x R}
11. 下列关系式中：①∅ =0；②0∉∅ ；③∅ ={0}；④{0}⊇∅ ；
4
⑤∅ ≠{∅ }；⑥∅ ⊆{∅ }；⑦∅ ∈{∅ }，正确的是__________．
12. （1）若集合 A={x|0≤x<3，x∈N}，则 A 的真子集的个数是（ ）
10. 判断下列集合之间有怎样的包含或相等关系： （1）A={正方形}，B={平行四边形}，C={四边形}，D={矩形}
（2）A={(x，y)|y=2x-1}，
B
(
x，y)
|
2x x 4
y y
1 5
（3）A={y|-2<y<3}，B={x|-1<x<1}
（4）A={x|x=4m，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}
【参考答案】 知识点睛
5
一、2．确定性，互异性，无序性 3． N* ，N ；N ；Z ；Q ；R
三、 ，集合，不含任何元素
四、 n ，n 1，n 1，n 2
（2）
B
{x
|
3
6
x
N，x
N
}
；
（3） C {y | y x2 6，x N，y N } .
3. 用符号“∈”或“∉”填空： （1）0____N，π____Q，sin 60°____Q． （2）3____{x | x ≤ 7} ， 3 ____{x∈Q| x 5 }． （3）若 B={x|x2+x-6=0}，则-3___B． （4）(-1，1)____{y|y=-x，x∈R}， 0____{( x，y) |x2+y2=0，x∈N，y∈N}．
子集 真子集 非空子集 个数
精讲精练
1
非空真子集
1. 用适当的方法表示下列集合： （1）绝对值小于 3 的整数组成的集合
（2）一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图象的交点组成的集合
（3）二次函数 y=x2-4 的函数值组成的集合
（4）坐标平面Fra Baidu bibliotek第二象限的点组成的集合
2. 把下列由描述法表示的集合转化为列举法： （1） A {(x，y) | x y 6，x N，y N} ；
8. 已知集合 A={x|ax2-3x+2=0}，其中 a 为常数，且 a∈R． ①若 A 是空集，则 a 的取值范围为___________； ②若 A 中只有一个元素，则 a 的值为_______； ③若 A 中至少有一个元素，求 a 的范围．
9. 给出下列集合：
3
①A={(1，2)}，B={(2，1)}； ②A={1，a，b，c}，B={c，b，a，1}； ③A={3，2}，B={x|x2-5x+6=0}； ④A={(x，y)|x+y=1}，B={y|x+y=1}； ⑤A={y|y=x-1，x∈R}，B={y|y=x-1，x∈N}； ⑥A={x|x+y=1}，B={y|x+y=1}； ⑦A={x|x=2k-1，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}． 其中 A，B 表示同一集合的是_________________．（填写序号）
C．{1，2，3，6}
D．{-1，2，3，4}
6. 已知集合 S={a，b，c}中的三个元素可构成△ABC 的三条边
长，那么△ABC 一定不是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
7. （1）若 4∈{a2-3a，a}，则 a=_________．
（2）设集合 A={x，xy，xy-1}，其中 x∈Z，y∈Z 且 y≠0，若 0∈A，则 A 中的元素之和为___________．
A⊆C
三、空集
1. 记为_________．特征：______________、_____________． 2. 空集是任何集合的子集，即∅ ⊆A；若 A 非空，则∅ A． 3. 研究含参集合间的基本关系时，要结合题目条件对含参
集合是否为“ ”进行分类讨论．
四、小结 1. 注意区别“∈”、“⊆”． 2. 辨识 0，{0}，∅ ． 3. 假设集合 A 中含有 n 个元素，则
4. 有下列命题：①{} 是空集；②若 a∈N，b∈N，则 a+b≥2；
2
③集合{x|x2-2x+1=0}有两个元素；④集合 B={x| 100 ∈N，x∈Z} x
为无限集，其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5.
已知集合 M
a
|
6 5a
N且a
Z
，则
M
=(
)
A．{2，3}
B．{1，2，3，4}
（2）设集合 A {2 ，8 ，a} ，B {2 ，a2 3a 4} ，且 A B，则 a 的值为__________．
14. （1）已知集合 A={-1，1}，B={x|ax+1=0}，若 B⊆A，则实数 a 的所有可能取值的集合为____________．
（2）设 A={x|1<x<2}，B={x|x-a<0}，若 A⊆B，则 a 的取值范 围是___________．
列举法
4. 集合的表示方法
．
描述法
二、集合间的基本关系
子集
集合相等
真子集
定 对于 x∈A， 义 都有 x∈B
A⊆B，且 B⊆A
A⊆B， x0 ∈B，且 x0 ∉A
记 A⊆B（或 B⊇A）
法
AB
A B（或 B A）
性 质
A⊆A； A⊆B，B⊆C
A=B，B=C A=C A B，B C A C
A．16
B．8
C．7
D．4
（2）集合 A={-1，0，1}，A 的子集中，含有元素 0 的子集共
有（ ）
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．8 个
（3）已知集合 A={x|x2-4x+3=0}，B={x|0<x<5，x∈N}，则满
足条件 A⊆C⊆B 的集合 C 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
13. （1）若集合{1，a，b }={0，a2，a+b}，则 a-b 的值为__________． a
知识点睛
一、集合的含义与表示
1. 用小写字母 a，b，c，…表示元素，用大写字母 A，B，C，… 表示集合．元素与集合的关系记作：a∈A 或 a∉A．
2. 集合中元素的特征：_________、_________、_________．
3. 常用的数集及其记法： 正整数集：____或____；自然数集（非负整数集）：_____； 整数集：_____；有理数集：_____；实数集：_____．
（5）A={x|x≥0}，B={y|y=x2-2x+1，x R}
11. 下列关系式中：①∅ =0；②0∉∅ ；③∅ ={0}；④{0}⊇∅ ；
4
⑤∅ ≠{∅ }；⑥∅ ⊆{∅ }；⑦∅ ∈{∅ }，正确的是__________．
12. （1）若集合 A={x|0≤x<3，x∈N}，则 A 的真子集的个数是（ ）
10. 判断下列集合之间有怎样的包含或相等关系： （1）A={正方形}，B={平行四边形}，C={四边形}，D={矩形}
（2）A={(x，y)|y=2x-1}，
B
(
x，y)
|
2x x 4
y y
1 5
（3）A={y|-2<y<3}，B={x|-1<x<1}
（4）A={x|x=4m，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}
【参考答案】 知识点睛
5
一、2．确定性，互异性，无序性 3． N* ，N ；N ；Z ；Q ；R
三、 ，集合，不含任何元素
四、 n ，n 1，n 1，n 2
（2）
B
{x
|
3
6
x
N，x
N
}
；
（3） C {y | y x2 6，x N，y N } .
3. 用符号“∈”或“∉”填空： （1）0____N，π____Q，sin 60°____Q． （2）3____{x | x ≤ 7} ， 3 ____{x∈Q| x 5 }． （3）若 B={x|x2+x-6=0}，则-3___B． （4）(-1，1)____{y|y=-x，x∈R}， 0____{( x，y) |x2+y2=0，x∈N，y∈N}．
子集 真子集 非空子集 个数
精讲精练
1
非空真子集
1. 用适当的方法表示下列集合： （1）绝对值小于 3 的整数组成的集合
（2）一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图象的交点组成的集合
（3）二次函数 y=x2-4 的函数值组成的集合
（4）坐标平面Fra Baidu bibliotek第二象限的点组成的集合
2. 把下列由描述法表示的集合转化为列举法： （1） A {(x，y) | x y 6，x N，y N} ；
8. 已知集合 A={x|ax2-3x+2=0}，其中 a 为常数，且 a∈R． ①若 A 是空集，则 a 的取值范围为___________； ②若 A 中只有一个元素，则 a 的值为_______； ③若 A 中至少有一个元素，求 a 的范围．
9. 给出下列集合：
3
①A={(1，2)}，B={(2，1)}； ②A={1，a，b，c}，B={c，b，a，1}； ③A={3，2}，B={x|x2-5x+6=0}； ④A={(x，y)|x+y=1}，B={y|x+y=1}； ⑤A={y|y=x-1，x∈R}，B={y|y=x-1，x∈N}； ⑥A={x|x+y=1}，B={y|x+y=1}； ⑦A={x|x=2k-1，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}． 其中 A，B 表示同一集合的是_________________．（填写序号）
C．{1，2，3，6}
D．{-1，2，3，4}
6. 已知集合 S={a，b，c}中的三个元素可构成△ABC 的三条边
长，那么△ABC 一定不是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
7. （1）若 4∈{a2-3a，a}，则 a=_________．
（2）设集合 A={x，xy，xy-1}，其中 x∈Z，y∈Z 且 y≠0，若 0∈A，则 A 中的元素之和为___________．
A⊆C
三、空集
1. 记为_________．特征：______________、_____________． 2. 空集是任何集合的子集，即∅ ⊆A；若 A 非空，则∅ A． 3. 研究含参集合间的基本关系时，要结合题目条件对含参
集合是否为“ ”进行分类讨论．
四、小结 1. 注意区别“∈”、“⊆”． 2. 辨识 0，{0}，∅ ． 3. 假设集合 A 中含有 n 个元素，则
4. 有下列命题：①{} 是空集；②若 a∈N，b∈N，则 a+b≥2；
2
③集合{x|x2-2x+1=0}有两个元素；④集合 B={x| 100 ∈N，x∈Z} x
为无限集，其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5.
已知集合 M
a
|
6 5a
N且a
Z
，则
M
=(
)
A．{2，3}
B．{1，2，3，4}
（2）设集合 A {2 ，8 ，a} ，B {2 ，a2 3a 4} ，且 A B，则 a 的值为__________．
14. （1）已知集合 A={-1，1}，B={x|ax+1=0}，若 B⊆A，则实数 a 的所有可能取值的集合为____________．
（2）设 A={x|1<x<2}，B={x|x-a<0}，若 A⊆B，则 a 的取值范 围是___________．
列举法
4. 集合的表示方法
．
描述法
二、集合间的基本关系
子集
集合相等
真子集
定 对于 x∈A， 义 都有 x∈B
A⊆B，且 B⊆A
A⊆B， x0 ∈B，且 x0 ∉A
记 A⊆B（或 B⊇A）
法
AB
A B（或 B A）
性 质
A⊆A； A⊆B，B⊆C
A=B，B=C A=C A B，B C A C
A．16
B．8
C．7
D．4
（2）集合 A={-1，0，1}，A 的子集中，含有元素 0 的子集共
有（ ）
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．8 个
（3）已知集合 A={x|x2-4x+3=0}，B={x|0<x<5，x∈N}，则满
足条件 A⊆C⊆B 的集合 C 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
13. （1）若集合{1，a，b }={0，a2，a+b}，则 a-b 的值为__________． a