第2章2.3.4 两条平行线间的距离 课件-人教A版高中数学选择性必修第一册(共31张PPT)
变式 1．上述问题中，当 d 取最大值时，请求出两条直线的方程．
解析：由上图可知，当 d 取最大值时，两直线与 AB 垂直． 而 kAB＝26－－－－13＝13， ∴所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－3(x＋3)， 即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
跟踪训练
跟踪训练 2．直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1∥l2，且 l1 与 l2 间的距 离为 5，求 l1，l2 的方程．
[解] 若直线 l1，l2 的斜率存在，设直线 l1 与 l2 的斜率为 k， 由斜截式得 l1 的方程为 y＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0， 由点斜式可得 l2 的方程为 y＝k(x－5)，即 kx－y－5k＝0.在直线 l1 上取点 A(0,1)， 则点 A 到直线 l2 的距离 d＝|11＋＋5kk2|＝5，
由x2＋x－y＋y＋1＝2＝00， 得正方形的中心坐标为 P(－1,0)， 由点 P 到两直线 l，l1 的距离相等，得|－112＋－352|＝|－112＋＋3c2|，得 c＝7 或 c ＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0. 又正方形另两边所在直线与 l 垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为 3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0.
金题典例
金题典例：已知正方形的中心为直线 2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0 的交点，正 方形一边所在的直线 l 的方程为 x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的 方程．
思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另 外三边与已知边 l 平行或垂直求解．
[解] 设与直线 l：x＋3y－5＝0 平行的边所在的直线方程为 l1：x＋3y＋c ＝0(c≠－5)．
典例解析
例 3．两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(－3，－1)，并且各自绕着 A， B 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d.你能求出 d 的取值范围吗？
解析：如图， 显然有 0<d≤|AB|. 而|AB|＝ 6＋32＋2＋12＝3 10. 故所求的 d 的变化范围为(0,3 10]．
又 d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|， 解得 m＝－25 或 m＝－9. 故所求直线 l 的方程为 3x－2y－25＝0 或 3x－2y－9＝0.
归纳总结
求两平行直线间距离的两种思路 1利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点 到另一条直线的距离. 2直接利用两平行线间的距离公式，当直线 l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋ b2，且 b1≠b2 时，d＝|b1k－2＋b21|；当直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2 ＝0 且 C1≠C2 时，d＝ |CA1－2＋CB22| ，必须注意两直线方程中 x，y 的系数对应相 等.
思路探究：由题设知 l1∥l2，故 l∥l1∥l2，设出 l 的方程，利用距离公式表示 出 d1，d2.进而求出直线方程．
[解] 由直线 l1，l2 的方程知 l1∥l2.又由题意知，直线 l 与 l1，l2 均平行(否 则 d1＝0 或 d2＝0，不符合题意)．
设直线 l：3x－2y＋m＝0(m≠－1 且 m≠－13)，由两平行线间的距离公 式，得 d1＝|m＋131|，d2＝|m＋1313|，
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝152. ∴l1 的方程为 12x－5y＋5＝0， l2 的方程为 12x－5y－60＝0. 若直线 l1，l2 的斜率不存在，则 l1 的方程为 x＝0，l2 的方程为 x＝5， 它们之间的距离为 5，满足条件． 则满足条件的直线方程有以下两组： l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0； l1：x＝0，l2：x＝5.
人教2019 A版 选择性必修 一
第二章 直线和圆的方程
2.3.4 两条平行线间的距离
学习目标
1.理解两条平行线间的距离公式的推导， 2.会求两条平行直线间的距离．
问题导学
前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的 距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离 也是值得研究的。
思考1：立定跳远测量的什么距离？
A.两平行线的距离 B.点到直线的距离 C. 点到点的距离
公式解析
两条平行直线间的距离
1. 定义：夹在两平行线间的__公__垂__线__段__的长.
2. 图示：
3. 求法：转化为点到直线的距离.
小试牛刀
1．原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离是( )
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
D [d＝ |1－2＋5|22＝ 5.选 D.]
13
26
20
解析:因为两直线平行,所以 m=2. 将 6x+2y+1=0 化为 3x+y+ 1 =0,
2
3 1
由两条平行线间的距离公式得 d=
2 = 7 10 ,选 D.
32 12 20
典例解析
例 2.已知直线 l1：3x－2y－1＝0 和 l2：3x－2y－13＝0，直线 l 与 l1，l2 的距 离分别是 d1，d2，若 d1∶d2＝2∶1，求直线 l 的方程.
归纳总结
距离公式综合应用的三种常用类型 1最值问题. ①利用对称转化为两点之间的距离问题. ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.
③ 利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值.
2求参数问题. 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值. 3求方程的问题. 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结 合直线的位置关系平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设 直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.)
思考 3：两条平行直线间的距离公式写成 d＝ |CA1－2＋CB22| 时对两条直线应有什么 要求？
[提示] 两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等．
跟踪训练
跟踪训练1 两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )Βιβλιοθήκη A.4B. 2 13
C. 5 13
D. 7 10
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新教材高中数学第二章两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册ppt
得到的.当A=0或B=0时,上述公式仍然成立.
微练习
原点到直线x+2y-5=0的距离为(
B. 3
A.1
解析 d=
|-5|
12 +22
)
C.2
D. 5
= 5.
答案 D
微思考
点P(x0,y0)到x轴,y轴,直线y=a,x=b的距离分别是什么?
提示 到x轴的距离d=|y0|,到y轴的距离d=|x0|,到y=a的距离d=|y0-a|,到x=b的
(方法 2)∵直线 x=2 与 y 轴平行,
∴由图知 d=|-1-2|=3.
=3.
|-1×0+2-1|
(3)(方法 1)由点到直线的距离公式,得 d=
02 +12
=1.
(方法 2)∵直线 y-1=0 与 x 轴平行,
∴由图知 d=|2-1|=1.
反思感悟 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接利用点到直线
方法总结
解此类题目有两种方法,一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离
相等的点的直线有两条(三定点不共线),根据这两条直线的几何特征可求
出其直线方程.二是求此类问题的一般方法,它应用了点到直线的距离公式,
且x,y分别对应的系数一模一样的情况,如果两平行直线的方程中x,y的系数
对应不同,必须先等价化为系数对应相同才能套用公式.
微练习
两条平行线l1:3x-4y-1=0与l2:6x-8y-7=0间的距离为(
1
A.
2
3
B.
5
解析 l2 的方程可化为
d=
7
2
-1+
32 +(-4)2
第2章2.3.4 两条平行线间的距离 课件-人教A版高中数学选择性必修第一册(共31张PPT)
思考 3：两条平行直线间的距离公式写成 d＝ |CA1－2＋CB22| 时对两条直线应有什么 要求？
[提示] 两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等．
跟踪训练
跟踪训练1 两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )
A.4
B. 2 13
C. 5 13
D. 7 10
∴由两点式方程得对角线方程为：－y1－52－0 0＝15x＋＋11，即 2x＋y＋2＝0.
由x3＋x－3yy－－53＝＝00， 可得正方形另一顶点坐标为75，65，又正方形中心为 P(－1,0)，
∴由两点式得另一对角线方程为：65y－－00＝75x＋＋11，即 x－2y＋1＝0. 综上可知正方形的两条对角线方程为 x－2y＋1＝0 或 2x＋2y＋2＝0.
【解析】 ∵与 l 平行的直线方程为 5x－12y＋b＝0， 根据两平行直线间的距离公式得 52＋|b－－6|122＝3， 解得 b＝45 或 b＝－33. ∴所求直线方程为 5x－12y＋45＝0 或 5x－12y－33＝0.
课堂小结
点到直线的距离与两条平行线间的距离
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
当堂检测
1．平行直线 l1：3x－y＝0 与 l2：3x－y＋ 10＝0 的距离等于( )
A．1
B．0
C． 10
D．3
【答案】A [l1、l2 的距离为 d＝| 3120＋－102|＝1.选 A.]
2．分别过点 A(－2,1)和点 B(3，－5)的两条直线均垂直于 x 轴，则这两条直 线间的距离是________．
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝152. ∴l1 的方程为 12x－5y＋5＝0， l2 的方程为 12x－5y－60＝0. 若直线 l1，l2 的斜率不存在，则 l1 的方程为 x＝0，l2 的方程为 x＝5， 它们之间的距离为 5，满足条件． 则满足条件的直线方程有以下两组： l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0； l1：x＝0，l2：x＝5.
2.3.4两条平行直线间的距离课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
3
已知两条平行直线 l1，l2 的方程，如何求 l1 与 l2 间的距离？
4
根据两条平行直线间距离的含义，在直线 l1 上任取一点 P(x0 , y0 ) ， 点 P(x0 , y0 ) 到直线 l2 的距离就是直线 l1 与直线 l2 间的距离. 这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
最小值为( ) 9
A. 5
18 B. 5
29 C. 10
29 D. 5
答案：C
解析：直线 3x 4 y 12 0 与 6x 8y 5 0 平行，故 PQ 的最小值即两平行
直线之间的距离，即 | PQ |min
5 12 2
5
29 . 10
13
6.若两条直线 l1 : x 2y 6 0 与 l2 : 2x ay 8 0 平行，则 l1 与l2 之间的距离
|
PQ
|
|
QB
|
的最小值为(
)
130 A.
2
B. 13 3 2 2
C. 13
D. 3 2
17
答案：B 解析：法一：如图 1，由平行线间的距离公式得| PQ | 3 2 .
| m (3) | 12 (2)2
5 ，又 m 0 ，所以 m 2 ，所以 m n 2 ，
故选 C.
15
8.两条平行直线 3x 4 y 12 0 与 ax 8y 11 0 之间的距离为(
23
23
A.
B.
C.7
5
10
) 7
D. 2
答案：D 解析：由两直线平行知， a 6 ，此时，两直线方程分别为 6x 8y 24 0 ，
是( ) A. 2 5
14 5 B.
已知两条平行直线 l1，l2 的方程，如何求 l1 与 l2 间的距离？
4
根据两条平行直线间距离的含义，在直线 l1 上任取一点 P(x0 , y0 ) ， 点 P(x0 , y0 ) 到直线 l2 的距离就是直线 l1 与直线 l2 间的距离. 这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
最小值为( ) 9
A. 5
18 B. 5
29 C. 10
29 D. 5
答案：C
解析：直线 3x 4 y 12 0 与 6x 8y 5 0 平行，故 PQ 的最小值即两平行
直线之间的距离，即 | PQ |min
5 12 2
5
29 . 10
13
6.若两条直线 l1 : x 2y 6 0 与 l2 : 2x ay 8 0 平行，则 l1 与l2 之间的距离
|
PQ
|
|
QB
|
的最小值为(
)
130 A.
2
B. 13 3 2 2
C. 13
D. 3 2
17
答案：B 解析：法一：如图 1，由平行线间的距离公式得| PQ | 3 2 .
| m (3) | 12 (2)2
5 ，又 m 0 ，所以 m 2 ，所以 m n 2 ，
故选 C.
15
8.两条平行直线 3x 4 y 12 0 与 ax 8y 11 0 之间的距离为(
23
23
A.
B.
C.7
5
10
) 7
D. 2
答案：D 解析：由两直线平行知， a 6 ，此时，两直线方程分别为 6x 8y 24 0 ，
是( ) A. 2 5
14 5 B.
两条平行线的距离公式-2022-2023学年高二数学上学期课件(人教A版2019选择性必修第一册)
直线与圆的方程
2.3.4两条平行直线的距离公式
教学目标
一
两条平行直线的距离公式的推导与证明
重点
教学
目标
二
三
掌握两条平行直线的距离公式
会用距离公式解决实际问题
难点
新知讲解
问题1 两条平行直线 ， 的方程，如何求 与 间的距离？
l1
我们发现在直线 上任取一点
P , ，点 , 到直线 的距离就
是直线 与直线 间的距离.
这样，求两条平行直线间的距离就转
化为求点到直线的距离.
点是任取的。
满足直线方程
即可！
P
dห้องสมุดไป่ตู้
l2
课堂练习
例1 已知两条平行直线 ： − − = ， ： − − =
求 与 间的距离.
解:先求 与轴的交点A的坐标．容易知道，点A的坐标为(4，
0).点A到直线 的距离 =
所以 与 间的距离为
×−×−
+
.
=
=
，
新知讲解
求证:两条平行直线 + + 1 = 0与 + + 2 = 0间的距离
为 =
1 −2
2 +2
证明:在直线 + + = 上任取一点 , ，点 , 到直线
(2) ： + = ， ： + = .
随堂练习
2.已知两条平行直线 ： − + = 与 ： − + =
间的距离为3，求C的值.
随堂练习
3．如图，已知直线 ： − + = 与直线 ： − + = ，
2.3.4两条平行直线的距离公式
教学目标
一
两条平行直线的距离公式的推导与证明
重点
教学
目标
二
三
掌握两条平行直线的距离公式
会用距离公式解决实际问题
难点
新知讲解
问题1 两条平行直线 ， 的方程，如何求 与 间的距离？
l1
我们发现在直线 上任取一点
P , ，点 , 到直线 的距离就
是直线 与直线 间的距离.
这样，求两条平行直线间的距离就转
化为求点到直线的距离.
点是任取的。
满足直线方程
即可！
P
dห้องสมุดไป่ตู้
l2
课堂练习
例1 已知两条平行直线 ： − − = ， ： − − =
求 与 间的距离.
解:先求 与轴的交点A的坐标．容易知道，点A的坐标为(4，
0).点A到直线 的距离 =
所以 与 间的距离为
×−×−
+
.
=
=
，
新知讲解
求证:两条平行直线 + + 1 = 0与 + + 2 = 0间的距离
为 =
1 −2
2 +2
证明:在直线 + + = 上任取一点 , ，点 , 到直线
(2) ： + = ， ： + = .
随堂练习
2.已知两条平行直线 ： − + = 与 ： − + =
间的距离为3，求C的值.
随堂练习
3．如图，已知直线 ： − + = 与直线 ： − + = ，
2.3.4 两条平行直线间的距离 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
探究1:两条平行直线间的距离是指什么线段的长？
两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长。
探究2：直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y－2＝0
与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？
A,B,C到直线l2距离分别为
3 ＋4
故所求直线方程为 3x－4y－35＝0 或 3x－4y－5＝0.
两平行线距离的应用
2.求下列直线方程：
(1)与直线 l：3x－4y－20＝0 平行且距离为 3 的直线；
(2)与两条平行线 l1：3x＋2y－6＝0 和 l2：6x＋4y－3＝0 等距离的直线 l3.
3
解：(2)∵l1：3x＋2y－6＝0，l2：3x＋2y－ ＝0.
解得
=
=
4
5
8
−
5
，所以 ’
4
5
,−
8
5
故直线的方程为2x+11y+16=0．
3×
+2
2
−2
+4
4
3
× −
2
=
1=0
，则 M ,’ 都在直线 2 上，所以 ’ 所在直线为
+2
8
5
− +2
=
−3
4
−3
5
，
两平行线距离的应用
5两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：
两平行线距离的应用
2.求下列直线方程：
(1)与直线 l：3x－4y－20＝0 平行且距离为 3 的直线；
两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长。
探究2：直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y－2＝0
与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？
A,B,C到直线l2距离分别为
3 ＋4
故所求直线方程为 3x－4y－35＝0 或 3x－4y－5＝0.
两平行线距离的应用
2.求下列直线方程：
(1)与直线 l：3x－4y－20＝0 平行且距离为 3 的直线；
(2)与两条平行线 l1：3x＋2y－6＝0 和 l2：6x＋4y－3＝0 等距离的直线 l3.
3
解：(2)∵l1：3x＋2y－6＝0，l2：3x＋2y－ ＝0.
解得
=
=
4
5
8
−
5
，所以 ’
4
5
,−
8
5
故直线的方程为2x+11y+16=0．
3×
+2
2
−2
+4
4
3
× −
2
=
1=0
，则 M ,’ 都在直线 2 上，所以 ’ 所在直线为
+2
8
5
− +2
=
−3
4
−3
5
，
两平行线距离的应用
5两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：
两平行线距离的应用
2.求下列直线方程：
(1)与直线 l：3x－4y－20＝0 平行且距离为 3 的直线；
2.3.4 两条平行直线间的距离(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
环节三：抽象概括，形成概念
问题2：已知两条平行直线l1, l2的方程,如何求l1与l2间的距离?
根据两条平行直线间距离的含义, 在直线l1上任取一点P( x0 , y0 ), 点P( x0 , y0 )到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离. 这样, 求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
A2 B2
证明：在直线Ax By C1 0上任取一点P( x0 , y0 ), 点P( x0 , y0 )到直线
Ax By C2 0的距离就是这两条平行直线间的距离,
即d Ax0 By0 C2 A2 B2
因为点P( x0 , y0 )在直线Ax By C1 0上,所以Ax0 By0 C1 0,
解：由已知及平行四边形的性质知, 直线l / / AB且直线l与AB的距离等于 l与CD的距离, 等于AB与CD距离的一半,
因为直线AB与CD距离为 | 3 5 | 4 ,所以l与CD的距离为 2 .
62 82 5
5
9. 三条直线ax 2 y 8 0, 4x 3 y 10与2x y 10相交于一点,求a的 值.
夹在两条平行直线间公垂线段的 长度
公式
两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0
点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C
与 l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间
|Ax0＋By0＋C| ＝0 的距离 d＝____A__2＋__B__2 ____
|C1－C2| 的距离 d＝___A_2_＋__B_2___
解：由
4 2
x x
3 y 10 y 10
,
解得
x y
4 2
,
交点坐标为(4,
2),
2.3.4两条平行线间的距离课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
|Ax0＋By0＋C2|， A2＋B2
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，
即Ax0＋By0＝－C1，
因此 d＝|Ax0＋By0＋C2|＝|－C1＋C2|＝ |C1－C2| .
A2＋B2
A2＋B2 A2＋B2
知识梳理
1.两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的 公垂线段 的长.
解
由题意，将
l2
的方程化为
3x＋5y＋5＝0， 2
| | 1－5
3
所以 d＝
2＝ 32＋52
2 ＝3 34. 34 68
(2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋ y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为
A.1
B. 2
C. 3
D.2
√
解析 由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平
反思感悟 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数” 转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当 图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变 化情况，进而可求出这些量的变化范围.
跟踪训练3 已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)
A2＋B2.
跟踪训练1 已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝
0平行，则它们之间的距离是
1
A√.1
B.2
C.2
D.4
解析 由两条直线平行可得 5 ＝12，解得 m＝24. 10 m
则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
|－3－10|
人教A版选择性2.3.4两条平行直线间的距离课件(35张)
六、变式应用
变式 3：平行四边形 ABCD 的四条边所在直线的方程分别是 l1 : x 4 y 5 0 ， l2 : 2x y 8 0 ， l3 : x 4 y 14 0 ，
l4 : 2x y 1 0 ，求平行四边形 ABCD 的面积. 解： l1 与 l3 的距离
d C1 C2 5 14 9 17 A2 B2 12 (4)2 17
O
A(4,0)
l1:2x-7y-8=0
四、典例探究
例题 1：已知两条平行直线 l1 : 2x 7 y 8 0, l2 : 6x 21y 1 0 ，
求 l1与l2 间的距离. 解：取 l1 上的点 A（4,0），则点 A 到直线l2 的距离就是两平行线之间
的距离；
所以 dl1 l2
d Al2
解： 6x 4 y 2 0 可以化为3x 2 y 1 0 ， 所以 d 1 (1) 2 2 13 . 32 22 13 13
五、新知巩固
4. P , Q 分别为 3x 4 y 12 0 和 6x 8y 6 0 上的任意一点，则
PQ 的最小值是？ 分析：直线 3x 4y 12 0 和直线 6x 8y 6 0 的位置关系为平 行关系，则两平行线上任意两点间的距离最短为平行线间的距 离，即将问题转化为求两平行线间的距离.
y Al1
l2
M
O
x
四、典例探究
例题 1：已知两条平行直线 l1 : 2x 7 y 8 0, l2 : 6x 21y 1 0 ，
求 l1与l2 间的距离.
分析：先在直线 l1 任取一点 A 因点 A 的任意性，故取 l1 与 x 轴的交点 A(4,0)；过 A 做 l2 的垂线.
y
l2: 6x-21y-1=0
人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离
| 0 +0 +|
d=
2 + 2
.
2.在平面直角坐标系中,原点(0,0)到直线x+2y-5=0的距离为(
A.1
C.2
B. 3
D. 5
解析:由点到直线的距离公式,得 d=
答案:D
|-5|
12 +22
=
|-5|
5
= 5.
)
二、两条平行直线间的距离
1.两条平行直线间的距离
(1)概念:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段
解:(1)由图可知,当两条平行直线与 AB 垂直时,两条平行直线间的距离最
大,此时 d=|AB|= (6 + 3)2 + (2 + 1)2 =3 10,当两条平行直线各自绕点 A,B
沿逆时针方向旋转时,距离逐渐变小,越来越接近于 0,所以 0<d≤3 10,即 d
的变化范围是(0,3 10].
(2)当 d 取最大值 3 10时,两条平行直线都垂直于 AB,
.
反思感悟 应用距离公式解答有关问题时,要注意以下几点
(1)直线的方程是一般式,在应用两条平行直线间的距离公式时,两个直线
方程中x,y的系数对应相等.
(2)要结合图形,帮助解答.
(3)求直线方程时,要特别注意斜率不存在的情况.
【变式训练3】 求经过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线
|1 -2 |
2 + 2
;思路二:先
在直线l1上任取一点A(2,1),再求点A到直线l2的距离即为两条平行直线间的
距离.
解法一:应用两条平行直线间的距离公式求解.
|-10-(-15)|
d=
2 + 2
.
2.在平面直角坐标系中,原点(0,0)到直线x+2y-5=0的距离为(
A.1
C.2
B. 3
D. 5
解析:由点到直线的距离公式,得 d=
答案:D
|-5|
12 +22
=
|-5|
5
= 5.
)
二、两条平行直线间的距离
1.两条平行直线间的距离
(1)概念:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段
解:(1)由图可知,当两条平行直线与 AB 垂直时,两条平行直线间的距离最
大,此时 d=|AB|= (6 + 3)2 + (2 + 1)2 =3 10,当两条平行直线各自绕点 A,B
沿逆时针方向旋转时,距离逐渐变小,越来越接近于 0,所以 0<d≤3 10,即 d
的变化范围是(0,3 10].
(2)当 d 取最大值 3 10时,两条平行直线都垂直于 AB,
.
反思感悟 应用距离公式解答有关问题时,要注意以下几点
(1)直线的方程是一般式,在应用两条平行直线间的距离公式时,两个直线
方程中x,y的系数对应相等.
(2)要结合图形,帮助解答.
(3)求直线方程时,要特别注意斜率不存在的情况.
【变式训练3】 求经过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线
|1 -2 |
2 + 2
;思路二:先
在直线l1上任取一点A(2,1),再求点A到直线l2的距离即为两条平行直线间的
距离.
解法一:应用两条平行直线间的距离公式求解.
|-10-(-15)|
两条平行直线间的距离课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
P
l2
x
(1)把直线方程化为,y的系数必须分别相等；
小结
已知两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0，求l1，l2间的 距离方法：
(1)转化法： 两条平行直线间的距离 转化 点到直线的距离
(2)公式法： d C2 C1 A2 B2
例3 求与直线l：5x-12y+6=0平行，且到l得距离为2的 直线的方程．
练3.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝ 0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．
此时点M的坐标为________．
课堂小结 1.两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)两点间的距离公式：
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.点P0(x0, y0)到直线 l : Ax By C 0的距离：
d Ax0 By0 C A2 B2
3.两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离：
d C2 C1 A2 B2
THANKS
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.3.4两条平行直线间的距离
问题 1 已知两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0，如何 求l1，l2间的距离？
定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
两平行线间的距离处处相等
两条平行直线间的距离 转化 点到直线的距离
题型一 求两平行直线间的距离
1.平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的距离是___2__13_; 2.两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是__2__. 2 13 3.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是_____1_3_.